De HSG(De xuat)-De11

MA TRẬN Mức độ Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ TL KQ TL KQ TL Số học C4 a 3 C4b 2 2 5 Đại số C1a 2 C3b, C1b 6,5 C2, C3a 2,5 4 11 Hình học C5a 2 C5b 2 2 4 Tổng 2 4 3 7,5 3 8,5 5 20 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT ĐỀ 1 ĐỀ KIỂM TRA Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: 4 4 2 14 28 16 x x x x A x x x x − − + = − + − a, Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A . b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên. Câu 2: (2,5điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 x y z x y z x y z + + =   + + =   + + =  . Tính giá trị biểu thức 201220112010 1 zyx Q ++ = Câu 3: (4,5 điểm) a, Cho bốn số thực bất kỳ , , ,a b c d . Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 ab cd a c b d + ≤ + + Dấu bằng xảy ra khi nào ? b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x 4 + 1)(y 4 + 1) Cho biết , 0 10 x y x y ≥    + =   C âu 4 (5điểm) a, Chứng minh rằng: 4 3 2 4 4 16 384n n n n− − + M , với mọi n chẵn và n > 4 b, Cho 3 số : A = 44… 44 ; B = 22… 22 ; C = 88…… 88 2n chữ số 4 (n + 1) chữ số 2 n chữ số 8 Chứng minh rằng: A + B + C + 7 là 1 số chính phương Câu 5 : (4điểm): Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy. …………………………… ……Hết……………………………………… Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4) a) Để A có nghĩa, trước hết 0x ≥ . Đặt ( ) 0t x x= ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 1 4 1 1 4 4 4 2 14 28 16 2 1 2 4 2 2 12 28 16 t t t t t t t t A t t t t t t t t t t − − − + − − − + = = = − + − − − − − − − + Để biểu thức A có nghĩa thì: 0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x ≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ ≠ ≠ ≠ (*) Khi đó, rút gọn ta được: ( ) 1 2 2 t A t + = − Thay ( ) 0t x x= ≥ . Vậy ( ) 1 2 2 x A x + = − b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 t t A t t t − + + = = = + − − − Để A là nguyên thì x nguyên và { } 2 1; 3t − ∈ ± ± Nếu 2 1 1t t − = − ⇔ = ( Loại vì trái với điều kiện (*)). . Nếu 2 3 1 0t t − = − ⇔ = − < (Loại) . Nếu 2 1 3 9t t x − = ⇔ = ⇔ = và 2A = . Nếu 2 3 5 25t t x − = ⇔ = ⇔ = và 1A = Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì 9x = và 25x = . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu2 (2,5đ) Vì x 2 , y 2 , z 2 > 0, nên từ (2) ⇒ x 2 , y 2 , z 2 < 1 ⇒ -1 < x, y, z < 1 ⇒ 3 2 3 2 3 2 x x y y z z  ≤  ≤   ≤  ⇒ x 3 +y 3 +z 3 < x 2 +y 2 +z 2 = 1. Nhưng do (3) ⇒ 3 2 3 2 3 2 x x y y z z  =  =   =  ⇒ x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1 ⇒ x 2010 =x, y 2011 =y, z 2012 =z ⇒ x 2010 +y 2011 +z 2012 =x+y+z=1 => 1 1 201220112010 = ++ = zyx Q 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a)Ta có: PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Câu3 (4,5đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ab cd a c b d ab cd a c b d ≤ + ≤ + + ⇔ + ≤ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c d abcd a b a d b c c d ⇔ + + ≤ + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0ad bc ad bc ad bc⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kỳ. Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 , , , ,ab cd a c b d a b c d ≤ + ≤ + + ∀ ∈ R Dấu đẳng thức xảy ra khi 0ad bc − = hay ( ) 0, 0 c d a b a b = ≠ ≠ ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ) 1 2 2 1 10 2 2 1 2 40 101 ( 4) 10( 2) 45 45 b A x y x y A x y xy x y x y A xy x y x y A x y x y xy A x y xy = + + +   ⇒ = + − − + +   ⇒ = − − + + ⇒ = + − + ⇒ = − + − + ≥ = >Min A = 45 khi xy = 2 và 10x y+ = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu4 (5đ) a) Ta thấy 384 = 3. 128, với (3, 128 ) = 1 Vì n chẵn và n > 4 2 ,n k k⇒ = ∈Ν và k > 2 ⇒ A = 4 3 2 4 3 2 4 4 16 16 32 16 32n n n n k k k k− − + = − − + ⇒ A = 16k(k 3 -2k 2 – k + 2) = 16k (k - 2)(k - 1)(k + 1) Mà k , (k - 2) , (k - 1) , (k + 1) là 4 số nguyên liên tiếp nên ắt có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 ⇒ (k - 2)(k - 1)k(k + 1)M 8 ⇒ A M 128 Mặt khác: trong 3 số nguyên liên tiếp, có 1 số chia hết cho 3 ⇒ (k - 1)k(k + 1)M 3 ⇒ A M 3, với (3, 128 ) = 1 ⇒ ⇒ A M 384 Vậy: 4 3 2 4 4 16 384n n n n− − + M , với mọi n chẵn và n > 4 2 1 2 1 2 2 2 2 1 4(10 1) 2(10 1) 8(10 1) ) , , 9 9 9 4(10 1) 2(10 1) 8(10 1) 7 9 9 9 4.10 4 20.10 2 8.10 8 4.10 28.10 49 7 9 9 2.10 7 66 .69 3 n n n n n n n n n n n n n chuso b TacoA B C A B C + + − − − − = = = − − − ⇒ + + + = + + − + − + − + + = + =   + = =  ÷   1 4 2 43 Vậy A + B + C + 7 là số chính phương 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 0,5 0,5 0,5 ABC (AB = AC) nội tiếp (O) 2 1 C B A N D M O Câu 5 (4đ) GT Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N KL 1. AD là tiếp tuyến của (O) 2. AC, BD, ON đồng quy Chứng minh: a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))  OA là trung trực của BC  OA  BC Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành) OA  AD Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A. Do đó AD là tiếp tuyến của (O) b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy Ta có: NA = NC và ¶ ¶ 1 2 N N= (Tính chất của tiếp tuyến)  NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tức là AC và BD cắt nhau tại M. Vậy 3 đường thẳng AC, BD, ON đồng quy 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Người ra đề: Dương Thị Thoa. Đơn vị: Trường THCS Vĩnh Lộc.