De ti HSG Tinh (De xuat)

TRƯỜNG THCS VĨNH LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (ĐỀ ĐỀ XUẤT) Môn : Toán - Lớp 9 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Nội dung – chủ đề Mức độ Tổng Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao KQ TL KQ TL KQ TL Căn thức bậc hai 1 1 1 1 2 2 Phương trình bậc hai - Định lý Vi et 2 2 2 2 Bất đẳng thức 1 1 1 1 Số chính phương 1 1 1 1 Bài toán cực trị 1 1 1 1 Tiếp tuyến của đường tròn 1 1,75 1 1,75 Các đường đồng quy 1 1,25 1 1,25 Tổng 2 2 4 4,75 3 3,25 9 10 ĐỀ BÀI Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: 4 4 2 14 28 16 x x x x A x x x x − − + = − + − 1. Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A . 2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên. Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 2 6 0x mx m m − + − − = ( m là tham số). 1. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho 1 2 2 1 18 7 x x x x + = . 2. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho 1 2 8x x + = Bài 3: (3,0 điểm) 1. Cho bốn số thực bất kỳ , , ,a b c d . Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 ab cd a c b d + ≤ + + Dấu bằng xảy ra khi nào ? 2. Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức 3sin 3 cosP α α = + đạt giá trị lớn nhất? Cho biết giá trị lớn nhất đó. 3. Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. Bài 4: (3điểm): Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N 1. Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) 2. Chứng minh AC, BD, ON đồng quy. ……………………………… ……Hết…………………………………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH (ĐỀ ĐỀ XUẤT ) MÔN : TOÁN - LỚP 9 Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: 4 4 2 14 28 16 x x x x A x x x x − − + = − + − 1. Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A . 2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên. Đáp án 2đ 1) Để A có nghìa, trước hết 0x ≥ . Đặt ( ) 0t x x= ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 2 1 4 1 1 4 4 4 2 14 28 16 2 1 2 4 2 2 12 28 16 t t t t t t t t A t t t t t t t t t t − − − + − − − + = = = − + − − − − − − − + 0,5đ Để biểu thức A có nghĩa thì: 0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x ≥ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≥ ≠ ≠ ≠ (*) 0,25đ Khi đó, rút gọn ta được: ( ) 1 2 2 t A t + = − Thay ( ) 0t x x= ≥ . Vậy ( ) 1 2 2 x A x + = − 0,25đ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 t t A t t t − + + = = = + − − − 0,25đ Để A là nguyên thì x nguyên và { } 2 1; 3t − ∈ ± ± 0,25đ . Nếu 2 1 1t t− = − ⇔ = ( Loại vì trái với điều kiện (*)). . Nếu 2 3 1 0t t− = − ⇔ = − < (Loại) . Nếu 2 1 3 9t t x− = ⇔ = ⇔ = và 2A = . Nếu 2 3 5 25t t x− = ⇔ = ⇔ = và 1A = Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì 9x = và 25x = . 0,5đ Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình 2 2 2 6 0x mx m m − + − − = ( m là tham số). 1.Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho 1 2 2 1 18 7 x x x x + = . 2.Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x và 2 x sao cho 1 2 8x x + = Đáp án 2,0 đ 1) Để phương trình 2 2 2 6 0x mx m m − + − − = có hai nghiệm thì ( ) 2 2 ' 6 6 0 6m m m m m ∆ = − − − = + ≥ ⇔ ≥ − (1) 0, 25đ Với điều kiện (1), ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 18 18 18 7 7 7 x x x x x x x x x x x x x x + − + + = ⇔ = ⇔ = và 1 2 0x x ≠ 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 6 18 6 9 2; 3 6 7 6 7 m m m m m m m m m m m − − − + + ⇔ = ⇔ = ≠ − ≠ − − − − 0,25đ 2 1 2 8 48 0 4; 12m m m m ⇔ − − = ⇔ = − = (thỏa mãn điều kiện (1) và đều khác -2 và khác 3) 0,25đ 2) Với điều kiện (1), ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 2 64 2 2 64x x x x x x x x x x x x + = ⇔ + + = ⇔ + − + = (2) 0,25đ +Nếu 1 x và 2 x cùng dấu thì ( ) ( ) 1 2 2 6 0 6 2 3 0 m x x m m m m ≥ −  ≥ ⇔  − − = + − ≥  0,25đ 6 2m ⇔ − ≤ ≤ − hoặc 3m ≥ (3) Khi đó (2) ( ) 2 2 1 2 64 4 64 4x x m m ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ± (thỏa mãn điều kiện (3)). 0,25đ + Nếu 1 x và 2 x trái dấu thì ( ) ( ) 2 1 2 0 6 2 3 0 2 3x x m m m m m < ⇔ − − = + − < ⇔ − < < (4) Khi đó (2) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 4 64 4 4 6 64x x x x m m m ⇔ + − = ⇔ − − − = 6 16 10m m ⇔ + = ⇔ = (không thỏa mãn điều kiện (4)). + Vậy để 1 2 8x x + = thì 4m = ± 0,25đ Bài 3: (3,0 điểm) 1.Cho bốn số thực bất kỳ , , ,a b c d . Chứng minh: ( ) ( ) 2 2 2 2 ab cd a c b d + ≤ + + Dấu bằng xảy ra khi nào ? Đáp án 1đ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ab cd a c b d ab cd a c b d ≤ + ≤ + + ⇔ + ≤ + + 0,25đ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c d abcd a b a d b c c d ⇔ + + ≤ + + + 0,25đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0ad bc ad bc ad bc⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ : Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kỳ. 0,25đ Vậy: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 , , , ,ab cd a c b d a b c d ≤ + ≤ + + ∀ ∈ R Dấu đẳng thức xảy ra khi 0ad bc − = hay ( ) 0, 0 c d a b a b = ≠ ≠ 0,25đ 2.Với giá trị nào của góc nhọn α thì biểu thức 3sin 3 cosP α α = + đạt giá trị lớn nhất? Cho biết giá trị lớn nhất đó. Đáp án 1đ Áp dụng kết quả trên ta có : 3sin 3 cos 0P α α = + > 0,25đ nên ( ) ( ) 2 2 2 2 3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P α α α α = + ≤ + + = 0,25đ max 2 3P = khi 0 sin 3 3cos 3sin 0 3 60 cos 3 tg α α α α α α − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 0,5đ 3. Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. Đáp án 1,0đ Để 18n + và 41n − là hai số chính phương thì 2 18n p + = và ( ) 2 41 ,n q p q − = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q ⇒ − = + − − = ⇔ − + = 0,25đ Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = =   ⇔   + = =   0,25đ Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = 0,25đ Thay vào biểu thức 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương. 0,25đ Bài 4: (3điểm): Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N 1. Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) 2. Chứng minh AC, BD, ON đồng quy. Đáp án 3,0đ 2 1 C B A N D M O GT: ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N KL: 1. AD là tiếp tuyến của (O) 2. AC, BD, ON đồng quy 0,5đ Chứng minh: 1) Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))  OA là trung trực của BC  OA  BC 0,5đ Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành)  OA  AD 0,5đ Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A. Do đó AD là tiếp tuyến của (O) 0,25đ 2) Chứng minh AC, BD, ON đồng quy Ta có: NA = NC và ¶ ¶ 1 2 N N= (Tính chất của tiếp tuyến) 0,25đ  NAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N 0,25đ Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC 0,25đ Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tức là AC và BD cắt nhau tại M. 0,25đ Vậy 3 đường thẳng AC, BD, ON đồng quy 0,25đ Ghi chú: Thí sinh làm bài theo cách khác ( nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định. TRƯỜNG THCS VĨNH LỘC NGƯỜI RA ĐỀ Nguyễn Thị Thu Hằng . giác ABC cân tại A và nội ti p đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD, ti p tuyến tại C của (O) cắt AD tại N 1. Chứng minh AD là ti p tuyến của (O) 2. Chứng. giác ABC cân tại A và nội ti p đường tròn (O). Vẽ hình bình hành ABCD, ti p tuyến tại C của (O) cắt AD tại N 1. Chứng minh AD là ti p tuyến của (O) 2. Chứng