Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.. Gọi.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS
BÌNH ĐỊNH KHỐ NGÀY 18 – – 2017
Đề thức Mơn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017
Bài (6,0 điểm).
Cho biểu thức: P =
2 16
2
2 3
m m m
m m m m
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên
Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho
Bài (5,0 điểm).
a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta ln có:
1
x y x y
b) Cho phương trình: 2x2 3mx 0 (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá trị
nhỏ biểu thức: M =
2
2
2 1 2
1
1
1 x x x x
x x
Bài (2,0 điểm)
Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng:
2
1 1 1 1
2
x yz y xz z xy xy yz zx
Bài (7,0 điểm).
1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường trịn
a) Chứng minh MB + MC = MA
b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi
S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng thức:
MH + MI + MK =
2 S + 2S' 3R
(2)Bài (6,0 điểm). 1a) Rút gọn P =
1 m m
(với m 0, m 1) 1b)
P =
1 m m
= +
1 m
Ta có: P N
2
1
1 N m
m
là ước dương m 4; 9
(TMĐK) Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm
2) a + b + c (a, b, c Z)
Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b
Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc
=
2
16k 4ak ack ac 4k b abc
= 64k3 16bk2 16ak2 4abc 16ck2 4bck 4ack abc abc
=
3 2
4 16k 4bk 4ak abk 4ck bck ack 2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư a+ b + c chia dư (1)
Mà: a + b + c a + b + c (theo giả thiết) (2)
Do (1) (2) mâu thuẫn Điều giả sử sai Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 2 2abc (**)
Từ (*) (**) P
Bài (5,0 điểm). a)
1
x y x y
2
4
4
x y
x y xy x y
xy x y
(đúng)
b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2
Ta có:
2 m x x
2
2 x x
M =
2
2
2 1 2
1
1
1 x x x x
x x
= =
2
2 1 2 1 2
1 2 2
1 2
1
1 x x x x
x x x x x x
x x x x
=
2
9
9 8 8
2 m
Dấu “=” xảy m =
Vậy GTNN M 8 m = Bài (2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x2 yz, ta có:
2
x + yz 2 x yz2 2x yz
1 1
2
x yz x yz x yz
Tương tự, ta có:
1 1
y xz y xz
1 1
(3)Suy ra:
2 2
1 1 1 1
2
x yz y xz z xy x yz y xz z xy
(1) Ta có:
1 1
x yz y xz z xy =
yz xz xy
xyz
(2) Ta có: yz xz xy x + y + z (3)
Thật vậy: (*) yz 2 xz 2 xy 2x 2y 2z
x y2 z x2 y x2
(BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z
Từ (2) (3) suy ra:
1 1
x yz y xz z xy
1 1
x y z
xyz yz xz xy
(4)
Từ (1) (4) suy ra: 2
1 1 1 1
2
x yz y xz z xy xy yz zx
Bài (7,0 điểm).
1.a) Cách 1: Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Ta có: BEM tam giác BE = BM = EM
BMA = BEC MA = EC Do đó: MB + MC = MA
Cách 2:
Trên AM lấy điểm E cho ME = MB Ta có: BEM tam giác
BE = BM = EM
MBC = EBA (c.g.c) MC= AE Do đó: MB + MC = MA
1.b) Kẻ AN vng góc với BC N
Vì ABC tam giác nên O trọng tâm tam giác A, O, N thẳng hàng AN =
3 2R
Ta có: AN = AB.sinABN
3
:
2
sin AN
AB R R
ABN Ta có: ABM ABM S
MH AB S MH
AB = ABM S R ACM ACM S
MK AC S MK
AC = ACM S R BCM BCM S
MI BC S MI
BC = BCM S
R = '
3 S R Do đó: MH + MK + MI =
2 ' S
R +
2
3 SABM SACM
R =
2 ' S R +
2 SABMC R
= '
3 S
R +
2 ' ' 3 S S S S R R
(4)Tứ giác AEDB nội tiếp CDE BAC Mà: MKD CDE (vì MK // BC)
Do đó: MKD MAN Tứ giác AMKN nội tiếp
AMN AKN
Ta có: D D 4 (= BAC ) D D
DMK có DA phân giác vừa đường cao nên cân D DM = DK
AMD = AKD (c.g.c) AMD AKD Nên: AMF AKN Ta có: