b/ Trong tam giaùc vuoâng DEH coù hai ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính r, tieáp xuùc ngoaøi nhau vaø tieáp xuùc vôùi caùc caïnh tam giaùc vuoâng DEH nhö hình döôùi.. Chöùn[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN TỐN
THỪA THIÊN_HUẾ Năm học 2005-2006
* * * * * Mơn : TỐN
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề )
Bài 1 : (3 điểm)
a/ Cho a,b số thực không âm tùy ý
Chứng tỏ : √a+b √a + √b √2(a+b) Khi có dấu đẳng thức ? b/ Xét u, v, z, t số thực khơng âm thay đổiù có tổng
Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = √u + √v + √z + √t
Baøi 2: (2 điểm)
Cho tam giác vng DEH có độ dài hai cạnh góc vng DE = 5cm EH =12cm a/ Tính độ dài bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vng DEH
b/ Trong tam giác vng DEH có hai đường trịn có bán kính r, tiếp xúc tiếp xúc với cạnh tam giác vng DEH hình Tính độ dài r
r r
H E
D
Bài 3:(2 điểm)
a/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : 2x + 9y = 2005 (*)
b/ Chứng minh : x.y 55833 (x,y ) nghiệm nguyên (*) Bài : (2 điểm)
Với giá trị tham số m, xét hàm số : y = x2 – 2mx – – m2
a/ Chứng tỏ với giá trị m tuỳ ý, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành hai điểm phân biệt B, C giao điểm khác gốc tọa độ O
b/ Đường tròn qua giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm điểm K khác A Chứng minh m thay đổi, K điểm cố định
Bài 5: (1 điểm)
Có hộp, hộp chứa trái banh Chứng tỏ ghi số tất trái banh cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau :
1/ Mỗi banh ghi số nguyên, chọn số nguyên từ đến 23 2/ Trong hộp, khơng có hai banh ghi số
3/ Với hai hộp bất kì, có nhiều số xuất đồng thời hai hộp
- Heát -
(2)Thừa Thiên Huế Môn: toán - năm học 2005-2006
Đề thức Đáp án thang điểm
Bài ý Nội dung Điểm
1 3,0
1.a + √a+b √a + √b 2 ab 0 + Dấu đẳng thức a=0 b=0
+ √a + √b √2(a+b) a+b - 2 √ab
( √a - √b )2 0 + Dấu đẳng thức a=b
0,50 0,25 0,25
0,25 1.b Giá trị nhỏ S:
+Dùng câu a/ S= √u + √v + √z + √t √u+v + √z+t √(u+v)+(z+t) = 1.(do u+v+z+t=1)
+ Dấu đẳng thức xảy chỉ:(u0hay v0)và(z0hay t0) (u v 0hay z t 0)và (u v z t 1) Khi u=1,v=z=t=0 u+v+z+t=1và S=1 Vậy : MinS=1
0,50 0,25 0,25 Giá trị lớn S:
+Dùng câu a/ S= √u + √v + √z + √t √2(u+v) + √2(z+t) √2[2(u+v)+2(z+t)] =
+ Dấu đẳng thức xảy khi:
, , 2( ) 2( ), 1
4
u v z t u v z t u v z t u v z t
S 2
Vậy : MaxS=2
0,50 0,25
2 2,0
2.a
(1ñ)
Caâu a
+ DH = 13 + dt(DEH)= 30 + Gọi I tâm đường trịn nội tiếp Ta có :
dt(DEH)= dt(IDE)+ dt(IEH)+ dt(IDH)
+ Gọi R bán kính đường trịn nội tiếp.Ta có : 30 = 12 R.5+ 12 R.12 + 12 R.13 R=2 (cm)
0,25 0,25 0,25 0,25
2.b
(1đ) Câu b + Gọi J tâm đường trịn có
tiếp xúc với cạnh DH
Khoảng cách từ J đến cạnh DH, HE, ED : r; r; 3r
+ dt(DEH)= dt(JDH) +dt(JHE) +dt(JED)
30 =2
1
r.13+
2 r.12 +
2 3r.5 r= = 1,5 (cm)
0,25 0,25 0,50
r r
r
J r r
H E
(3)3 2,0
3.a
(1đ)
+ Ta có: 2005 chia 55 dư 7, nên:
2005 222 9 111 111 503 111 Suy ra: (503;111) nghiệm
+ 2x+9y=2005 2x+9y=2.503 + 9.111 2(x-503)=9(111-y). + Vì (2;9) =1 nên tồn số nguyên t để x-503=9t hay x=503 +9t
+ Nghiệm phương trình : x=503 +9t , y=111-2t ; t số nguyên tuỳ ý
0,25 0,25 0,25 0,25 3.b
(1ñ) + 55833 – xy= 55833 –(503 +9t).( 111-2t) = 18t 2 +7t + Khi t 18t2 +7t 0
+ Khi t -1 18t2 +7t = t(18t+7) > 0.
+ Vì với số nguyên t có : 55833 xy Dấu đẳng thức t=0 x=503 ;y=111
0,25 0,25 0,25 0,25
4 2,0
4.a
(1ñ)
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung A( 0; -1-m2) A phía trục hồnh + Xét phương trình : x2 - 2mx – - m2=
Do Δ' = +2 m2 >0 nên phương trình có hai nghiệm:x 1;x2
+ Đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt B(x1;0), C(x2;0)
+Vì : x1.x2 < nên B, C khác O O û B, C
0,25 0,25 0,25 0,25 4.b
(1đ)
+ K phía trục hồnh
+ Hai tam giác vng OBA OKC đồng dạng cho : OB.OC = OA.OK + OB.OC= |x1||x2| = |x1x2| = |−1−m2| = OA
+ Do OK=1 K( 0;1) K điểm cố định
0,25 0,25 0,25 0,25
5 1,0
+ Ở hình dưới, đường tượng trưng cho hộp, điểm đường tượng trưng cho banh
+ Có đường; đường chứa giao điểm có tất 23 giao điểm + Mỗi cách đánh số
23 giao điểm, từ đến 23, cho ta cách ghi số banh hộp thỏa điều kiện tốn
Ví dụ :
Hộp I : Hoäp II : 10 11 12 Hoäp III : 13 14 15 16 17 Hoäp VI : 13 18 19 Hoäp V : 14 20 21 Hoäp VI : 10 15 22 23
0,25
0,25
0,25 0,25
23 22
21 20 19
18
17 16 15 14 13
12 11 10
7
4
(4)
Bài 3: Cách 2:
a) 2x9y2005 2x2005 9 y Mà 2005 lẻ, nên 9y phải số lẻ, suy y số leû:
2
y t tZ 2x2005 9(2 t1) x998 9 t t Z. Vaäy: nghiệm phương trình là: x998 , t y2t1tZ
b)
2 2
2 1987 1987 4.18.998
998 18 1987 998 18
36 4.18
xy t t t t t
2
1987 4.18.998
55833,68056 55833
4.18
xy xy
Với
1987 55 36
t
, ta có: xy998 9.55 2.55 1 55833. Do đó: xy55833
SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN TỐN
THỪA THIÊN_HUẾ Năm học 2005-2006
* * * * * Mơn : TỐN
ĐỀ DỰ BỊ Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề )
BÀI 1:(3 điểm)
a/ Chứng tỏ rằng: a3 – b3 + c3 + 3abc = (a-b+c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc - ca), với số thực a,b,c. b/ Chứng minh d, e, f số nguyên thoả: d + e3 2
+ f3 4
= d= e = f= b/ Tìm số hửu tỉ p, q, r để có đẳng thức : 3
3
4
4 3
= p + q3 2 +r3 4
BÀI 2: (2 điểm)
Xét hệ phương trình : {3x −my=x2
3y −mx=y2 (m tham số) a/ Giải hệ cho m=1
b/ Chứng minh m>1 hệ xét khơng thể có nghiệm thoả điều kiện x y BÀI 3: (2 điểm)
Tam giác nhọn ABC có trực tâm H; AH cắt BC D
a/ Chứng tỏ đường tròn nội tiếp tam giác BDH ADC bán kính hai tam giác BDH ADC
b/ Cho BC = 221cm; HD = 65cm Tính độ dài bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ADC, biết tam giác BDH ADC
BAØI 4: (2 điểm)
a/ Tìm số ngun dương x , y, z thoả điều kiện sau : x < y < z x
1
+
y +
(5)b/ Chứng tỏ tìm 2005 số nguyên dương đôi khác mà tổng tất nghịch đảo chúng
BÀI 5: (1 điểm)
Với a, b, c số thực dương Đặt : A = a(1+b)1 +
b(1+c)+
c(1+a) ; B=
ab 1+a+
bc 1+b+
ca 1+c ; C = 1+1a+
1+b+
1+c ; D=
b 1+b+
c 1+c+
a 1+a Chứng minh : A + B C + D
- Heát -
SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUN TỐN
THỪA THIÊN_HUẾ Năm học 2005-2006
* * * * * Mơn : TỐN
ĐỀ DỰ BỊ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
BÀI (3đ) Câu a
+ Khai triển vế phải
+ So sánh kết với vế trái Câu b
+Đặt x=
√2 ,Ta có x3=2 ; d+ex+fx2=0 (1) ; dx+ex2+2f=0 (2) + Khử x (1) , (2) : x(e2-df)=2f2-de 2(e2-df) 3 =(2f2-de)3 (3)
+ Do d,e,f số nguyên nên từ (3) cho :e2-df= 2f2-de = (Dùng phản chứng ) +Từ : e3=2f3 , suy e=f= d=0.
Caâu c
+ Dùng a/ với a= 1;b =3 2
; c=3 4
: = (1 -
√2 +3 4
)( + 33 2 ) hay : 1−31
√2+3
√4 =
1
(1 + √32 )
+ Do : 3
4
4 3
= (3-33 4 )( 3
(1 + √2
)) = -1 + √2
- 4
+ Câu b cho thấy có : p = -1 ; q = ; r = -1 BÀI 2(2đ)
{3x −my=x
(1) 3y −mx=y2(2) Caâu a
(6)+ Với x=y ta có : 3x –mx = x2
x=0 x= 3-m
Với m = , trường hợp hệ có nghiệm : (x;y) = (0;0) ; (2;2) + Với x+y=3+m=4 ,ta có : 3x –(4-x) = x2 x2 -4x +4= x=2 + Nghiệm hệ phương trình m=1 : ( x= , y = ) ; ( x= , y = ) Câu b
+ Nếu hệ có nghiệm (x;y) mà x y : x+y= 3+m
+ (1) + (2) : (3-m)(x+y) = (x+y) 2 – 2xy Suy xy = m(m+3) + x ,y nghiệm cuûa : t2 – (3+m)t +m(m+3) = (3) + Khi m > Δt = (3+m)(3-3m) <0 Vô lí
BÀI 3(2đ) Câu a
+ Hai tam giác BDH ADC hai tam giác vuông đồng dạng
+ Khi chúng có bán kính đường trịn nội tiếp tỉ số đồng dạng + Do chúng
Caâu b
+ CD=HD = 65
+ BD= 156 ; BH = 169
+ dt(BDH) = 5070 ; cv(BDH)=390
+ Bán kính nội tiếp tam giác ADC bán kính nội tiếp tam giác BDH : 26 (cm)
BÀI 4: (2 điểm) Câu a
+Từ x , y, z số nguyên dương thoả : x < y < z x
1
+
y +
1
z =1 cho < x < Từ x=2
+ Suy : 1y + z =2
1
2(y+z)=yz (y-2)(z-2)=4 + Do y,z nguyên dương 2<y<z nên y-2=1 z-2=4 + Vậy : x=2 ;y=3 ;z=6
Câu b + Ta coù :
1
+
+
6 = vaø 3m=
1 5m+
1 9m+
1 45m + =
1
+( +
1 +45
1
)+ =2
1
+ +
1 +
1 +45
1
+45
= 15 =
1 15 +
1 15 +
1
45 15 ; =2
+ +
1 +
1 +
1 75 +
135 + 225
+ Thực qui trình thêm 1001 lần ta có đẳng thức thoả toán
(7)+ A + B = ( a(1+b)+
ab 1+a)+(
1 b(1+c)+
bc 1+b)+(
1 c(1+a)+
ca 1+c) + Chứng minh : a(11+b) + ab1+a 1+1a + 1+bb (*) + (*) 1-2ab +a2b2 (ab -1)