Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b)..9. + Khi x[r]
(1)Tìm hiểu sâu định lý Pitago: cách biểu diễn chứng minh - Bài
Ngày gửi bài: 29/11/2007 Số lượt đọc: 2590
Viết Thị Thu Hiền, info@123doc.org Bài 5: Một số cách chứng minh định lý Pitago (tiếp theo) Cách chứng minh Leonardo da Vinci
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) họa sĩ lớn , kỹ sư, nhà phát minh lớn người Ý thời kỳ phục hưng Ông tiếng nhiều lĩnh vực khác nhau, tác giả họa tiếng nàng Mona Lisa Ơng tín nhiệm cách chứng minh định lý Pitago
Dựng hình kiểm tra
1 Vẽ tam giác vng hình vng hai cạnh bên (Trong hình bạn khơng phải vẽ hình vng cạnh huyền)
2 Bạn nối hai đỉnh hai hình vng để vẽ tam giác vuông thứ hai với tam giác vuông ABC ban đầu
3 Hãy vẽ đoạn thẳng qua tâm hình này, đoạn thẳng qua C nối hai điỉnh xa hình vng (là đường nét đứt hình bên).
4 Hãy vẽ trung điểm D đoạn
5 Quan sát hình thấy rằng: đoạn thẳng chia hình thành phần đối xứng Chọn tất đoạn thẳng điểm nằm phía đường thẳng này, tạo nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình đánh dấu
Đặt lại tên cho nút Hide Reflection
(2)7 Đánh dấu điểm D làm điểm tâm quay tồn hình 180o quanh điểm D
Như tạo đa giác có diện tích diện tích đa giác ban dầu
8 Chọn đánh dấu tất đối tượng ( đoạn thẳng điểm) phần hình tạo xoay nửa hình ban đầu tạo1 nút hoạt động Đặt tên cho nút Hide Rotation (xem hình bên dưới)
9 Vẽ đoạn A’B, đoạn B’A Như dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A hình vng cạnh c
10 Tơ màu cho diện tích hình tứ giác BA’B’A hai tam giác vng liền kề
11 Đánh dấu đoạn A’B, đoạn B’A, diện tích đa giác ( gồm tam giác vuông hình tứ giác), tạo thêm nút hoạt động Có tên Hide c Squared.
Nhận xét: Từ bước dựng hìnhnhư trên, hình dung cách chứng minh định lý Leonardo da Vinci:
(3)+ Khi xoay nửa đa giác quanh điểm tâm D đường phân cách 180o cho ta đa giác có diện tích diện tích đa giác ba đầu.
+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a2 + b2 + 2ab) – 2ab = a2 + b2 (1)
cho ta hình vng BA’B’A (Vì AB song+ Việc nối A với B’, B với A’
song A’B’ ; A’B AB’ song song ) Tứ giác diện tích hình vng nàyBA’B’A hình vng có cạnh c c2
(2)
Tử (1) (2) ta có c2 = a2 + b2 Có nghĩa định lý Pitago chứng minh
12 Hãy thử kích vào nút Hide, sau lại kích lại vào chúng Như bạn thấy biến đổi bước làm : từ hình gồm tam giác vng hình vng cạnh bên biến đổi thành hình gồm tam giác vng hình vng cạnh huyền chúng ( mà diện tích tồn hình khơng đổi) Đây cách chứng minh định lý daVinci Cách chứng minh định lý cuả tổng thống
James A Garfield khám phá cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, vài năm trước ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ Một điều thú vị ngành toán học khơng có người trở thành tổng thống Trước Garfield ông Abraham Lincoln, thành viên tổ chức Euclid tác giả sách có sức thuyết phục Ơng vừa luật sư vừa nhà trị Cách chứng minh Garfield minh họa với hình tương dối đơn giản: hình thang Dựng hình kiểm tra
1 Vẽ tam giác vuông ABC đặt tên đỉnh hình bên
2 Đánh dấu điểm B làm tâm quay cạnh c điểm A theo B góc 90o ( sau bước ta hình bên)
(4)cạnh b
4 Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB Và vẽ điểm giao D cỉa tia với đường thẳng qua A’
5 Làm ẩn tia đường thẳng thay vào đoạn BD DA’ Như ta có tứ giác ACDA’ hình thang vng :
+ DA’ CA song song( cách dựng bước 3)
+ Góc ACB vng( ABC tam giác vng ban đầu) góc CDA’ vng
6 Tơ màu đa giác theo tam giác vng bên
7 Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn sử dụng kết đo lường để tính tốn diện tích tam giác tổng chúng :
+ Đo độ dài cạnh cách : lengthdi chuột đến cạnh kích
chuột phải
+ Đo diện tích tam giác : chọn Areakích chuột phải lên tam giác đó
+ Tính tổng tam giác : Calculate.chọn menu Measure
(5)các tính tốn bạn đă làm
- Trong cách chứng minh từ cách dựng , tính diện tích hình thang ACDA’ theo cách : Cách1: Tính theo tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang tổng diện tích tam giác vng tam giác vng màu đỏ có diện tích tính chất phép quay) ta có :
Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)
Cách 2: tính theo tham số a b(dựa vào cơng thức tính diện tích hình thang):
Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)
Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2 c2 = a2 + b2 điều phải
chứng minh
Cách chứng minh định lý Pitago Perigal
- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, lại chứng minh lại người đến nguồn gốc cổ xưa Đây cách chứng minh mà ’ khám phá’ nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, cách chứng minh lại biết đến cách chứng minh nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách hàng nghìn năm
Dựng hình kiểm tra Vẽ hình vng CADE
2 Vẽ hình vng nhỏ sát hình vng CADE vừa vẽ cho hình vng có chung đỉnh( A) đỉnh thứ hai hình vng hình vng nhỏ tạo hình vngnhỏ nằm cạnh DA( đỉnh G)
AGFB Đặt tên cho độ dài cạnh hình vng b, a (hình bên minh họa cho bước – 2)
(6)Cách làm sau :
> Chọn ( theo thứ tự) điểm A điểm B, sau chọn Mark Vector từ menu Transform Sau chọn chọn điểm C chọn Translate từ menu Transform.
4 Vẽ đoạn thẳng EC’ C’F
5 Tô màu cho miền đa giác tam giác ( tam giác ECC’, tam giác C’FB)
Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với hình vng liền kề với nhau, bên hình dựng hai tam giác vuông :
+ Trong tam giác vng ECC’ ta có cạnh EC cạnh hình vng lớn nên có độ dài b ; cạnh CC’ kết việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài đoạn AB có độ dài a
+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB cạnh hình vng nhỏ, nên có độ dài a Cạnh C’B có độ dài b ( Vì đoạn CC’ dài đoạn AB)
> Như tam giác vuông ECC’ C’FB tam giác có diện tích (a*b) /2
Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông c.
(7)7 Đánh dấu điểm E làm tâm quay điểm C’ góc 90o để tạo thành hình vng EC’FC’’
Nhận xét:
- Vì EC cạnh tam giác vng ECC’ nên hình vng EC’FC’’ có diện tích c2.
Vì tam giác vuông ECC’ di chuyển thành tam giác C’’GF : góc ECC’ = góc C’’GF( = 90o )
Cạnh CC’ = cạnh GF( = a). Cạnh CE = cạnh GC’’( =b)
Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.
Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’ Vậy ta có diện tích tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vng có cạnh b, a ban đầu Nên diện tích EC’FC’’ = a2 + b2 Đồng thời EC’FC’’ hình vng có độ dài cạnh độ dài cạnh huyền cuả tam giác vng có cạnh bên b, a( dựng hình bước 7) Nên diện tích hình vng EC’FC’’= c2 Hay tam giác vng có c2= a2 + b2 (c cạnh huyền, a,b cạnh bên).