Đang tải... (xem toàn văn)
Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE.. Gọi I là trung điểm của DE.[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2019-2020 Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm):
a) Tìm x, y nguyên biết: 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b) Chứng minh rằng: 2 2
1 1 1
4 6 8 (2 )n Bài (4 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 + x.y + x + y (với x; y) b) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A =
2
x x x
x Bài (2 điểm):
a) Tìm số m, n để: x
(x −1)=
m x −1+
n
x với x 0, x b) Rút gọn biểu thức:
M =
1
a2−5a+6+
a2−7a+12+
a2−9a+20+
1
a2−11a+30
Bài (4 điểm):
a) Cho ba số a, b, c thỏa mản
2
a b c
a b c 2019; Tính
A a b c
b) Cho phương trình
2x m x
3
x x
, Tìm m để phương trình có nghiệm
dương.
Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
Bài (2 điểm): Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
Hết Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….……… Số BD: ………
(2)HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG MƠN TỐN (2019-2020) Bài (4 điểm)mỗi câu điểm:
Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55
=>
55
3
x
y
(1)
Để x nguyên 3y – Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55
+) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y =
7
3 (Loại) +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y =
13
3 (Loại)
+) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y =
1
3 (Loại)
+) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y =
53
(Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh :
2 2
1 1 1
4 6 8 2n 4
Ta có: 2 2
1 1
(2 )
A
n
2 2
1 1
(2.2) (2.3) (2.4) (2 )
A
n
2 2
1 1 1 1 1
4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1)
A
n n n
1 1 1 1 1
4 2 3 ( 1)
A
n n
1 1
4
A
n
(3)Bài (4 điểm):
a) Ta có x2 + y2 +
x y + x + y x2 + y2 + - x y – x - y 2x2 +2y2 + - 2xy - 2x - 2y
( x2 + y2 - 2xy) + ( x2 + - 2x) + ( y2 + - 2y) (x - y)2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2
Bất đẳng thức ln
Ta có A =
3 ) (
1
1 )
2 )( (
2
2
2
x x
x x
x x
x
Vậy Amax [ ( x+
] ) 2
x+
1
= → x = -
Amax
4
x = -1/2 Bài (2 điểm):
a) m =1 ; n = -1
b) Viết phân thức thành hiệu hai phân thức
1
a2−5a
+6=
a −3−
a −2
a2−7a+12=
a −4−
a−3
a2−9a+20=
a −5−
a −4
a2−11a+30=
a −6−
a −5
M = a−16− a −2=
4 (a −2).(a −6)
Bài (4 điểm)
a) Cho ba số a, b, c thỏa mản
2
a b c
a b c 2019; Tính
A a b c
Ta có
2
2 2
a b c a b c abbcca 2 abbcca
2
2 2
2
2 2 2 a b c 2019
a b b c c a ab bc ca 2abc a b c
2
2
4 4 2 2 2 2 2019
A a b c a b c a b b c c a
(4)2) Điều kiện: x2; x2
2x m x
3 x m 2m 14
x x
m = phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm m1 phương trình trở thành
2m 14 x
1 m
Phương trình có nghiệm dương
2m 14 m
m 2m 14
2
1 m m
2m 14 m
Vậy thỏa mản yêu cầu toán
m m
Bài (4 điểm): Kẻ DF//AC (F thuộc BC) => DF = BD = CE góc FDI = góc CEI => IDF = IEC ( c.g.c )
=> góc DIF = góc EIC => F, I, C thẳng hàng => B, I, C thẳng hàng
Bài (2 điểm):
Ta có:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
x 241 x 220 x 195 x 166
1
17 19 21 23
x 258 x 258 x 258 x 258
17 19 21 23
x 258 1 1 17 19 21 23
x 258
Vậy phương trình có nghiệm x = 258