Mo dau ve so phuc Phan 1

[r]

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn 1 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC

Một số phức z một biểu thức dạng z = a + bi, đó a, b những số thực số i thỏa mãn i2 = –1 Trong đó:

i đơn vịảo

a được gọi phần thực số phức b được gọi phần ảo số phức

Tập hợp điểm biểu diễn số phức kí hiệu C

Chú ý:

♦ Số phức z số thực b = 0, đó z = a

♦ Số phức z sốảo (hay số ảo) nếu a = 0, đó z = bi

♦ Hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '

a a

b b

=  

= 

♦ Với i đơn vịảo ta có: i2 = −1;i3 =i i2 = −i i; =( )i2 =1;i5 =i i4 =i Từđó suy i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0

Ví dụ: Tính tổng S= + + + + +1 i i2 i3 i2012.

Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức sau

a) z = + 3i b) z = 4i c) z = –1

d) z= 2−2i e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) Hướng dẫn giải:

Theo định nghĩa số phức ta có

a) z = + 3i ⇒ a = 2; b =

b) z = 4i ⇒ a = 0; b =

c) z = –1 ⇒ a = –1; b =

d) z= 2−2i⇒a= 2;b= −2

e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức cho dạng rút gọn

Ta có ( ) ( )1+i − −1 i 2= + +(1 2i i2) (− − +1 2i i2)= − −2i ( )2i =4i⇒a=0;b=4, (do i2 = –1 )

f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = – 2i ⇒ a = 9; b = –2

Ví dụ Tìm số thực x y, biết:

a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) (1 3− x) (+ y+1) (i= x+y) (− 2x+1)i

Hướng dẫn giải:

Ta biết hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '

a a

b b

=  

= 

a) Ta có 2

3

x x x

y y y

+ = + =

 

⇒

 

− = + =

 

b) Ta có

( )

3

1

2

1 2

5

x x y x y x

y x x y

y 

− = +

  + = =

 

⇔ ⇒

  

+ = − + + = −

 

  = −

Ví dụ Cho z=(3a+ + −2) (b 4)i Tìm số a, b để: a) z số thực

b) z số ảo

Hướng dẫn giải: a) z số thực b – = 0, hay b =

b) z số thuẩn ảo 3a + = 0, hay a = –2/3

Tài liệu giảng:

01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Bài tập áp dụng:

Bài Xác định phần thực phần ảo số phức:

1 z= − +3 5i 2 z= − 2i

3 z = 12 4 z =

5 z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) 6 z = (1 + i)2 – (1 – i)2

7 z = (2 + i)3 – (3 – i)3 8 z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 9 z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10 z = (2 + i) – (1 + 4i) Bài Cho z=(2a 1− +) (3b+5 i) với a, b∈R Tìm số a, b để:

1 z số thực 2 z số ảo

Bài Tìm số thực x y, biết:

1 (2x 1+ + = − +) 5i (3y−2 i)

2 (x− 2)− = −4i (y i+ )

2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức z = a + bi (a b, ∈R) biểu diễn điểm M(a; b) (hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (hay gọi mặt phẳng phức)

Trong đó:

- Trục hồnh Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b

Ví dụ Cho số phức + 3i; 3; –i; –1 + 2i có điểm biểu diễn lần lượt A, B, C, D

a) Chứng minh rằng ABCD một hình bình hành

b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?

3 MODULE CỦA SỐ PHỨC Khái niệm:

Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu |z| được tính theo biểu thức: z = a2+b2 Ví dụ: Tính module của số phức sau

1 z = + 3i 2 z = 2i 3 z= i−

4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2

Hướng dẫn giải:

Áp dụng cơng thức z = a2+b2 ta có 1 z= +1 3i⇒ z = 9+ = 10

2 z=2i⇒ z = 4=2

3 z= i− ⇒ z = 1+ =2

4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2 = + +(4 2i i2) (+ + +1 4i 4i2)= +(3 2i) (+ 4i 3− =) 6i⇒ z =6 4 SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Khái niệm:

Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp số phức z kí hiệu z được tính theo biểu thức: z= −a bi

Chú ý:

+ Các điểm M(a ; b) M’(a ; –b) biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục Ox + Các số phức z z có module bằng nhau: z = =z a2+b 2

Ví dụ: Viết số phức liên hợp số phức sau tính module chúng 1 z = – 5i

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Hướng dẫn giải:

Áp dụng z= −a bi, ta :

1 z= −2 5i⇒z= +2 5i⇒ z = 4+25= 29

2 z=7i⇒z= −7i⇒ z = 49=7

3 z= +6 i⇒z= −6 i⇒ z = 36 1+ = 37

4 z= 3−2i⇒z= 3+2i⇒ z = 4+ =

LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Bài Tính z+z ', z−z ', z.z ' với

1) z= +5 2i , z '= +4 3i 2) z= −2 3i , z '= +6 4i

3) z= − −4 7i , z '= −2 5i 4) z i , z '= + = − 3+2i

Bài Thực phép tính sau :

1) ( )1 i− 2) (2 3i+ )2

3) ( )1 i+ 3+3i 4) ( )1 i+ 2010

Bài Viết số phức sau dạng đại số:

1)

( )(1 ) z

1 i 3i

=

+ − 2)

5 6i z 3i − + = + 3) z 2i

8 6i

 − 

= 

−

  4)

3 4i z i − = − 5) z

2 3i = − 6) z i 2 = −

7) z 2i i

−

= 8) z i

5i

+ = 9) z 4i

1 i

=

− 10)

1 2i 12i z

12i 2i

+

= +

+ 11) z (2 i)(12i) (2i)(1 2i)

2i i

+ +

= +

+ Bài Cho z 3i

2

= − + Hãy tính: 1, z , z , z2 ( )3 , z z2

z + +

Bài Tính modun, tìm số phức liên hợp số phức sau:

1) z 3i = + 2) 5i z i + = 3) z 3i

2 i − = − 4) 2i z i − = + 5) z= − − +(2 i)( 2i)(5−4i) 6)

( 1)( ) z

1 2i i

=

+ −

7)

( 3i)( )

z

4 i 2i

+ =

+ − 8)

5 5i 20 z

3 4i 3i

+

= +

− +

9) z 7i 8i 3i 3i

+ −

= +

+ − 10)

3 2i (2 i)(4 3i) z

2 i

+ + − −

=

+ 11) z (3 2i)(4 3i) 4i

1 2i

− +

= + −

− 12)

( ) ( )2

3 2i i z

1 i

− −

=

+ 13) z (3 2i 3i)( ) ( )2 i

1 3i

+ −

= + −

+ 14)

( ) ( )

( ) ( )

2

3

1 2i i z

3 2i i

+ − −

=

+ − +

15)

7 1 z i 2i i   =  − 

  16) ( ) ( )( )

33

10

1 i

z i 3i 3i

1 i i

+  

= −  + − + + − +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn 17) z 1= + + + +( ) ( ) ( )1 i i 2+ +1 i 3+ + + ( )1 i 20 18)

8

1 i i z

1 i i

+ −

   

=  + 

− +

    Bài Cho số phức z1 = + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức

đối số phức liên hợp số phức sau:

1) z= + +z1 z2 z3 2) z=z z1 2+z z2 3+z z3 1

3) z=z z z1 3 4) z= + +z12 z22 z32

5)

2

z z z z

z z z

= + + 6)

2 2 2

z z z

z z

+ =

+ Bài Tính z1+z , z2 1−z , z z , z2 1 2 1−2z , 2z2 1+z2, biết:

1) z1= − +5 6i, z2= −1 2i 2) z1= +3 2i, z2= −4 3i

3) z1 i, z2 1i

2