[r]
(1)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn 1 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Một số phức z một biểu thức dạng z = a + bi, đó a, b những số thực số i thỏa mãn i2 = –1 Trong đó:
i đơn vịảo
a được gọi phần thực số phức b được gọi phần ảo số phức
Tập hợp điểm biểu diễn số phức kí hiệu C
Chú ý:
♦ Số phức z số thực b = 0, đó z = a
♦ Số phức z sốảo (hay số ảo) nếu a = 0, đó z = bi
♦ Hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '
a a
b b
=
=
♦ Với i đơn vịảo ta có: i2 = −1;i3 =i i2 = −i i; =( )i2 =1;i5 =i i4 =i Từđó suy i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0
Ví dụ: Tính tổng S= + + + + +1 i i2 i3 i2012.
Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức sau
a) z = + 3i b) z = 4i c) z = –1
d) z= 2−2i e) z = (1 + i)2 – (1 – i)2 f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa số phức ta có
a) z = + 3i ⇒ a = 2; b =
b) z = 4i ⇒ a = 0; b =
c) z = –1 ⇒ a = –1; b =
d) z= 2−2i⇒a= 2;b= −2
e) Để tìm phần thực, phần ảo ta cần biến đổi số phức cho dạng rút gọn
Ta có ( ) ( )1+i − −1 i 2= + +(1 2i i2) (− − +1 2i i2)= − −2i ( )2i =4i⇒a=0;b=4, (do i2 = –1 )
f) z = (11 – 6i) – (2 – 4i) = – 2i ⇒ a = 9; b = –2
Ví dụ Tìm số thực x y, biết:
a) (2x +1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i b) (1 3− x) (+ y+1) (i= x+y) (− 2x+1)i
Hướng dẫn giải:
Ta biết hai số phức z = a + bi 'z = +a' b i' ' '
a a
b b
=
=
a) Ta có 2
3
x x x
y y y
+ = + =
⇒
− = + =
b) Ta có
( )
3
1
2
1 2
5
x x y x y x
y x x y
y
− = +
+ = =
⇔ ⇒
+ = − + + = −
= −
Ví dụ Cho z=(3a+ + −2) (b 4)i Tìm số a, b để: a) z số thực
b) z số ảo
Hướng dẫn giải: a) z số thực b – = 0, hay b =
b) z số thuẩn ảo 3a + = 0, hay a = –2/3
Tài liệu giảng:
01 MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P1
(2)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Bài tập áp dụng:
Bài Xác định phần thực phần ảo số phức:
1 z= − +3 5i 2 z= − 2i
3 z = 12 4 z =
5 z = (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) 6 z = (1 + i)2 – (1 – i)2
7 z = (2 + i)3 – (3 – i)3 8 z = (3 – 5i) + (2 + 4i) 9 z = (11 – 6i) – (2 – 4i) 10 z = (2 + i) – (1 + 4i) Bài Cho z=(2a 1− +) (3b+5 i) với a, b∈R Tìm số a, b để:
1 z số thực 2 z số ảo
Bài Tìm số thực x y, biết:
1 (2x 1+ + = − +) 5i (3y−2 i)
2 (x− 2)− = −4i (y i+ )
2 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi (a b, ∈R) biểu diễn điểm M(a; b) (hay M(z)) mặt phẳng tọa độ Oxy (hay gọi mặt phẳng phức)
Trong đó:
- Trục hồnh Ox (trục thực) biểu diễn phần thực a - Trục tung Oy (trục ảo) biểu diễn phần ảo b
Ví dụ Cho số phức + 3i; 3; –i; –1 + 2i có điểm biểu diễn lần lượt A, B, C, D
a) Chứng minh rằng ABCD một hình bình hành
b) Tâm I của hình bình hành ABCD biểu diễn số phức nào?
3 MODULE CỦA SỐ PHỨC Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, module của số phức z kí hiệu |z| được tính theo biểu thức: z = a2+b2 Ví dụ: Tính module của số phức sau
1 z = + 3i 2 z = 2i 3 z= i−
4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2
Hướng dẫn giải:
Áp dụng cơng thức z = a2+b2 ta có 1 z= +1 3i⇒ z = 9+ = 10
2 z=2i⇒ z = 4=2
3 z= i− ⇒ z = 1+ =2
4 z= +(2 i) (2+ +1 2i)2 = + +(4 2i i2) (+ + +1 4i 4i2)= +(3 2i) (+ 4i 3− =) 6i⇒ z =6 4 SỐ PHỨC LIÊN HỢP
Khái niệm:
Cho số phức z = a + bi, số phức liên hợp số phức z kí hiệu z được tính theo biểu thức: z= −a bi
Chú ý:
+ Các điểm M(a ; b) M’(a ; –b) biểu diễn số phức z z đối xứng qua trục Ox + Các số phức z z có module bằng nhau: z = =z a2+b 2
Ví dụ: Viết số phức liên hợp số phức sau tính module chúng 1 z = – 5i
(3)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn Hướng dẫn giải:
Áp dụng z= −a bi, ta :
1 z= −2 5i⇒z= +2 5i⇒ z = 4+25= 29
2 z=7i⇒z= −7i⇒ z = 49=7
3 z= +6 i⇒z= −6 i⇒ z = 36 1+ = 37
4 z= 3−2i⇒z= 3+2i⇒ z = 4+ =
LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Bài Tính z+z ', z−z ', z.z ' với
1) z= +5 2i , z '= +4 3i 2) z= −2 3i , z '= +6 4i
3) z= − −4 7i , z '= −2 5i 4) z i , z '= + = − 3+2i
Bài Thực phép tính sau :
1) ( )1 i− 2) (2 3i+ )2
3) ( )1 i+ 3+3i 4) ( )1 i+ 2010
Bài Viết số phức sau dạng đại số:
1)
( )(1 ) z
1 i 3i
=
+ − 2)
5 6i z 3i − + = + 3) z 2i
8 6i
−
=
−
4)
3 4i z i − = − 5) z
2 3i = − 6) z i 2 = −
7) z 2i i
−
= 8) z i
5i
+ = 9) z 4i
1 i
=
− 10)
1 2i 12i z
12i 2i
+
= +
+ 11) z (2 i)(12i) (2i)(1 2i)
2i i
+ +
= +
+ Bài Cho z 3i
2
= − + Hãy tính: 1, z , z , z2 ( )3 , z z2
z + +
Bài Tính modun, tìm số phức liên hợp số phức sau:
1) z 3i = + 2) 5i z i + = 3) z 3i
2 i − = − 4) 2i z i − = + 5) z= − − +(2 i)( 2i)(5−4i) 6)
( 1)( ) z
1 2i i
=
+ −
7)
( 3i)( )
z
4 i 2i
+ =
+ − 8)
5 5i 20 z
3 4i 3i
+
= +
− +
9) z 7i 8i 3i 3i
+ −
= +
+ − 10)
3 2i (2 i)(4 3i) z
2 i
+ + − −
=
+ 11) z (3 2i)(4 3i) 4i
1 2i
− +
= + −
− 12)
( ) ( )2
3 2i i z
1 i
− −
=
+ 13) z (3 2i 3i)( ) ( )2 i
1 3i
+ −
= + −
+ 14)
( ) ( )
( ) ( )
2
3
1 2i i z
3 2i i
+ − −
=
+ − +
15)
7 1 z i 2i i = −
16) ( ) ( )( )
33
10
1 i
z i 3i 3i
1 i i
+
= − + − + + − +
(4)LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Số phức
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH Luyện giải đề để đạt điểm Toán trở lên! www.moon.vn 17) z 1= + + + +( ) ( ) ( )1 i i 2+ +1 i 3+ + + ( )1 i 20 18)
8
1 i i z
1 i i
+ −
= +
− +
Bài Cho số phức z1 = + 2i, z2 = –2 + 3i, z3 = – i Hãy tính sau tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức
đối số phức liên hợp số phức sau:
1) z= + +z1 z2 z3 2) z=z z1 2+z z2 3+z z3 1
3) z=z z z1 3 4) z= + +z12 z22 z32
5)
2
z z z z
z z z
= + + 6)
2 2 2
z z z
z z
+ =
+ Bài Tính z1+z , z2 1−z , z z , z2 1 2 1−2z , 2z2 1+z2, biết:
1) z1= − +5 6i, z2= −1 2i 2) z1= +3 2i, z2= −4 3i
3) z1 i, z2 1i
2