Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông ñöa veà daïng cô baûn 4 hoaëc töø 5a ñeán 5e 2.. Phöông phaùp ñaët aån phuï.[r]
(1)10 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Gv Hồng Cơng Nhật
1) Hệ thức thường dùng
2 4 6
2
2
2
1
sin a cos a sin a cos a sin 2a sin a cos a sin 2a
2
1
1 tan a 1+cot a sin2a sina cos a
cos a sin a
2) Công thức lượng giác
a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi
cos a b cos a cosb sina sinb
sin(a b) sina cosb cos a sinb tana tanb
tan(a b)
1 tana tanb cot a cotb cot(a b)
cot a cotb
2
2
2
sin2a sina.cosa cos2a cos a sin a
2cos a 1 sin a tana tan2a
1 tan a
c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc
3
sin3a 3sina sin a cos 3a 4cos a 3cos a
2
3
1 cos2a cos2a
sin a ; cos a
2
3sina sin3a 3cos a cos3a
sin a ; cos a
4
( công thức hạ bậc thường dùng tích phân ) e) Cơng thức đổi tích thành tổng f) Cơng thức đổi tổng thành tích
1
cos a cosb cos(a b) cos(a b)
1
sina sinb cos(a b) cos(a b)
1
sina cosb sin(a b) sin(a b)
a b a b
cos a cosb 2cos cos
2
a b a b
cos a cosb sin sin
2
a b a b
sina sinb sin cos
2
a b a b
sina sinb 2cos sin
2
ĐẶC BIỆT :
sinx cos x 2.sin x
; sinx cos x 2.cos x
;
tan(x y) t anx tany
cos x.cos y
g) Cơng thức hữu tỉ hóa theo t
Đặt t tana
sina 2t2; cos a t22; tana t22
1 t t t
(2)3) Cung liên kếát ( cần nhớ cho sin cos )
a) Cung đối: cos x cos x; sin x sin x; tan cot b) Cung bù: cos x cos x; sin x sin x; tan cot
c) Cung phuï: cos x sin x; sin x cos x; tan( x) cot x; cot x tan x
2 2
d) Cung : cos x cos x; sin x sin x; tan cot e) Cung
2
: cos x sin x; sin x cos x;
2
tan vaø cot
4) Phương trình lượng giác ( Cơng thức họ nghiệm )
1*sinu sin u k2
u k2
3*tanu tan u k
2*cosu cos u k2
u k2
4*cotu cot u k
Các họ nghiệm phương trình đặc biệt :
sinu u = k2 cosu u = k2
2
sinu = u = k cosu = u = + k
2
sinu u = k2 cosu u = k2
2
Với k Z 5) Các phương trình lượng giác thường gặp
a Phương trình lượng giác bậc cao hơn
2 2
2 2
2
a.sin u b.cosu c Thay sin u cos u
a.cos u b.sinu c Thay cos u sin u
a cos2u bcosu c Thay cos2u 2cos u
a cos2u b sinu c Thay cos2u sin u
1
a.tanu bcot u c Thay cot u
tanu
Các phương trình từ bậc ba trở lên ta tàm tương tự
b Phương trình lượng giác dạng a sinu b cosu c
Điều kiện có nghieäm: a2 b2 c2
Chia vế cho a2 b2 , dùng công thứccộng chuyển dạng theo sin cos : cos(u ± ) = cos sin(u ± ) = sin
(3)c Phương trình lượng giác đẳng cấp
Daïng 1: a.sin u b.sinu.cosu c.cos u d2
CÁCH
Xét cosu = có thỏa mãn hay không
Xét cosu 0, chia vế cho cos2u để phương trình bậc theo tanu.
CÁCH
Viết d = d(sin2u + cos2u) , nhân , rút gọn
Đặt nhân tử chung (hoặc chia cho cos2u để phương trình bậc theo tanu)
Dạng 2 :a.sin u b.sin u.cosu c.sinu.cos u d.cos u 03
Xeùt cosu = có thỏa mãn hay không
Xét cosu 0, chia vế cho cos3u để bậc theo tanu. d Phương trình lượng giác đối xứng loại 1: a(sinu cosu) b.sinu.cosu c
Đặt t = sinu cosu, điều kiện t 2, bình phương vế để có sinu.cosu = ?
Thay vào ta bậc theo t
e Phương trình lượng giác đối xứng loại 2: a( tan u cot u ) b( tanu cot u ) 0n n
Đặt t = tanu - cotu t R ; Đặt t = tanu + cotu t 2
Bình phương hai vế Chuyển vế có t tan2u + cot2u , thay vào phương trình ta
được phương trình bậc theo ẩn số t
6) Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát
1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa dạng từ 5a đến 5e 2. Phương pháp biến đổi cho dạng tích A.B = A
B
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
4. Phương pháp đối lập tổng bình phương ( Xem phương trình thức )
BÀI ÔN TẬP
Câu 1) Giải phương trình lượng giác sau : a) sin2 x 2cosx
2 ; b)
x
cos x 5sin
;
c) cos 4x sin2x 0 ; d) cos6x 3cos 3x 0
e) 12 2 tan x 0
cos x f)
6
2cos x sin x cos2x 0
g) tan x2 cos x
; h) cos x2 12 cos x
cos x cos x
;
(4)Câu 3) Giải phương trình lượng giác sau :
a) 2cos x2 sin2x b) sin2x cos2x cos 4x 0
c)4 sin x 3 sin2x 2cos x 42 d)sin3x cos3x 2cos 4x
e)cos x sin x 2cos x
g)sin8x cos6x sin6x cos8x
h) sin2x cos2x cos x sin x
i)3sin x sin x 5sin 5x
3 6
k) sin x sin x
4
l) cos x sin x
Câu 4) Giải phương trình sau :
a) 3sin x cos 3x sin x ; b) cos5x sin3x cos2x sin x 0 ; c)
2
x x
sin cos cos x
2
; d)
3
8cos2x
sin x cos x
Câu 5) Tìm x 6,
5
thỏa phương trình cos7x sin7x 2
Câu 6) Giải phương trình lượng giác sau :
a) 3sin x sin x cos x 2cos x 32 b) sin x sin2x 2cos x2
2
c) sin x 3 sin x cos x cos x 42 d) cos 2x sin4x 3sin 2x 02 e)sin x sin x cos x 02
4
g)
3
sin x sin2x sin3x cos x
h)sin x sin x.cos x 3cos x 03 ; i) sin x 7cos x 5sin x cos x j)sin x cos x 2 sin2x 2 k)sin x cos x sin x cos x3
11 CÁC ĐỀ THI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. sin x.(4cos x 1) cos x(sin x cos x sin3x)2 ĐS:
2. (ĐH-2012B)Giải phương trình 2(cos x sin x)cos x cos x sin x 1.
ÑS: x k2 ; x k2
3
(với k Z)
3. (ĐH-2012D)Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
ÑS: x = k
4
hay x = k2
12
hay x = k2 12
(với k Z) 4. (ĐH-2012A) sin2x cos2x 2cos x 1
ÑS: x k ; x k2 ; x k2
2
(với k Z)
(5)6. (ĐH 2011A) Giải phương trình R : sin2x cos2x2 sin x.sin2x cot x
ÑS: sin x(1 sin2x cos2x) 2 sin x cos x2 x k ; x k2 (k Z)
2
7. (ÑH 2011B) Giải phương trình R : sin2x.cosx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx ÑS: sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – + sinx x k2 ; x k2 (k Z)
2 3
8. (ĐH 2011D) Giải R phương trình sin2x 2cos x sin x
tan x
ÑS: ÑK cosx ; tanx 3. 2sinxcosx + 2cosx (sinx + 1) = 0; x k2 (k Z)
9. (CÑ 2011ABD) cos4x + 12sin2x – = ( x R ) ÑS: x = k. ( k Z )
10.(ÑH 2010A) Giải phương trình R: (1 sin x cos2x)sin x cos x
1 tan x 2
ĐS: Điều kiện: cos x 0; tan x 0
PT sin x cos2x 0 x k2 ; x k2
6
11.(ĐH 2010B) Giải phương trình R: (sin2x cos2x)cos x 2cos2x sin x 0 ÑS: PT (sin x cos x 2)cos2x 0 x k
4
12.(ÑH 2010D) Giải phương trình: sin2x cos2x 3sin x cos x 0 ÑS: PT (2 sin x 1)(cos x sin x 2) 0 x k2 ; x k2
6
13.(CÑ 2010ABD) 4cos5xcos3x 2(8 sin x 1).cos x
2
ÑS:
14.(CĐ 2009ABD) Giải phương trình (1 + 2sinx)2.cosx = + sinx + cosx
ÑS:x k2 ; x k ; x k
2 12 12
15.(ĐH 2009A) Giải phương trình R: (1 sin x)cos x (1 sin x)(1 sin x)
ĐS: Điều kiện: sin x 1, sin x
PT cos x sin x sin2x cos2x cos x cos 2x
3
x k2
18
(6)ÑS: PT sin3x cos 3x 2cos 4x cos 3x cos 4x
x k2
6
x k
42
17.(ĐH 2009D) Giải phương trình R: cos5x sin3x cos2x sin x 0
ÑS: PT 3cos 5x 1sin5x sin x
2 sin 5x sin x
x k
18
x k
6
18.(CĐ 2008ABD) Giải phương trình R: sin3x cos 3x sin2x
ĐS:
19.(ĐH 2008A) Giải phương trình R: 1 sin x
sin x sin x
2
ĐS: Điều kiện: sin x 0, sin x
PT (sin x cos x) 2
sin x cos x
x k
4
x k
8
x k
8
20.(ĐH 2008B) Giải phương trình R: sin x3 cos x sin x cos x3 sin x cos x2 ÑS: PT cos2x sin x cos x 0 x k ; x k
4
21.(ÑH 2008D) Giải phương trình R: sin x(1 cos2x) sin2x 2cos x ÑS: PT (2cos x 1)(sin2x 1) 0 x k2 ; x k
3
22.(ĐH 2008A1) Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình:
2 x
4 sin cos2x 2cos x
2
ÑS: PT 2cos x cos2x sin2x cos 2x cos x
x k2 hay x h2
18
Do x (0; ) neân chọn x ; x 17 ; x
18 18
23.(ĐH 2008A2) Giải phương trình R: 2 cos x3 3cos x sin x
ÑS: PT cos x sin x 3cos x.sin x 3cos x.sin x 3cos x sin x 03
(7)Neáu cos x 0 PT cos x 03
sin x sin x
x k
Nếu cos x 0 ta chia vế PT cho cos x3
Khi đó: PT cos x
tan x
x k
Vaäy: PT có nghiệm: x k
2
x k
4
24.(ĐH 2008B1) Giải phương trình R: sin x cos2x cos x tan x sin x 0 ĐS: Điều kiện: cos x x k
2
PT sin x sin x 02 x k2 ; x k2
6
25.(ĐH 2008B2) Giải phương trình R: tan x tan x2 cos2x 12
2 cos x
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT tan x3 1 x k
26.(ĐH 2008D1) Giải phương trình R: tan x sin x
2 cos x
ĐS: Điều kiện: sin x 0 PT (cos x 1)(2 sin x 1) 0 x k2
5
x k2
6
27.(ĐH 2008D2) Giải phương trình R: sin2x cos2x sin x cos x 0
ÑS: PT (2 sin x 1)(sin x cos x 1) 0
1 sin x
2
2 sin x
4
x k2 ; x k2 ; x k2 ; x k2
6
28.(ĐH 2007A) Giải phương trình R: 1 sin x cos x 1 cos x sin x sin2x2
ÑS: PT (sin x cos x)(1 sin x)(1 cos x) 0
x k
4
x k2
2 x k2
(8)ÑS: PT cos 4x sin3x 1) 0
x k
8
2
x k
18
5
x k
18
30.(ĐH 2007D) Giải phương trình R :
2
x x
sin cos cos x
2
ÑS: PT sin x cos x 2 cos x
6
x k2
2
x k2
6
31.(ĐH 2007A1) Giải phương trình R:sin2x sin x 1 2cot 2x sin x sin2x
ĐS: Điều kiện sin2x 0 PT cos2x 2cos x cos x 1 0 x k
4
32.(ĐH 2007A2) Giải phương trình R :
2
2cos x sin x cos x 3(sin x cos x)
ÑS: PT 2cos x2 3cos x
6
2
x k
3
33.(ÑH 2007B1) Giải phương trình R: sin 5x cos x cos3x
2 4
ÑS: PT cos3x 2cos x
2
2
x k
3
x k2
2
x k2
34.(ĐH 2007B2) Giải phương trình R: sin2x cos2x tan x cot x cos x sin x ĐS: Điều kiện: sin2x 0 PT cos x cos2x x k2
3
35.(ĐH 2007D1) Giải phương trình R: 2 sin x cos x 12
ÑS: PT sin 2x cos sin5
12 12 12
x k hay x k
36.(ĐH 2007D2) Giải phương trình R: (1– tan x)(1 sin2x) tan x ĐS: Điều kieän: cos x 0 PT (cos x sin x)(cos2x 1) 0 x 4 k
x k
37.(ÑH 2006A) Giải phương trình R : cos x sin x 6 sin x.cos x
2 sin x
(9)ĐS: Điều kiện: sin x 2
PT 3sin 2x sin2x 02 x k
4
Đối chiếu điều kiện, kết luận PT có nghiệm: x 2m
4
38.(ĐH 2006B) Giải phương trình R: cot x sin x tan x.tanx
ĐS: Điều kiện: sin x 0, cos x 0, cosx
PT cos x sin x sin x cos x
1 sin2x
2
x 12 k
5
x k
12
39.(ĐH 2006D) Giải phương trình R: cos 3x cos2x cos x 0 ÑS: PT sin x(2cos x 1) 02
x k
x k2
3
40.(ÑH 2006A1) Giải phương trình R: cos 3x.cos x sin3x.sin x3 3
ÑS: PT cos 4x 2
x k
16
41.(ĐH 2006A2) Giải phương trình R: sin 2x sin x
ÑS: PT sin x cos x sin x 2 0 x k7
x k2
6
42.(ĐH 2006B1) Giải phương trình R: 2 sin x tan 2x 2cos x 12 0 ĐS: Điều kiện: cos2x 0 PT cos2x tan 2x 3 0 x k
6
43.(ĐH 2006B2) Giải phương trình R: cos2x (1 2cos x)(sin x cos x) 0
ÑS: PT (sin x cos x)(cos x sin x 1) 0
x k
4
x k2
2
x k2
44.(ĐH 2006D1) Giải phương trình R: cos x sin x sin x 13
ÑS: PT (cos x sin x)(1 cos x)(sin x 1) 0
x k
4 x k2
x k2
2
(10)
ÑS: PT (sin x 1)( 2cos x 3cos x 2) 0 x k2
2
x k2
3
46.(ÑH 2005A) Giải phương trình R: cos 3x.cos2x cos x 02 ÑS: PT 2cos 4x cos4x 02 x k
2
47.(ĐH 2005B) Giải phương trình R: sin x cos x sin2x cos2x 0 ÑS: PT (sin x cos x)(2cos x 1) 0 x k
2
x k2
3
48.(ÑH 2005D) Giải phương trình R: cos x sin x cos x4 sin 3x
4
ÑS: PT sin 2x sin2x 02 x k
49.(ĐH 2005A1) Tìm nghiệm khoảng (0; ) phương trình:
2 x
4 sin cos2x 2cos x
2
ÑS: PT cos 2x cos( x)
6
5 17
x ; x ; x
18 18
50.(ĐH 2005A2) Giải phương trình R: 2 cos x3 3cos x sin x
ÑS: PT cos x sin x 3cos x.sin x 3cos x.sin x 3cos x sin x 03
Xét trường hợp:
Neáu cos x 0 PT cos x 03
sin x sin x
x k
Nếu cos x 0 ta chia vế PT cho cos x3 Khi đó: PT cos x
tan x
x k
Vậy: PT có nghieäm: x k
2
x k
4
51.(ĐH 2005B1) Giải phương trình R: sin x.cos2x cos x tan x sin x 0 ĐS: Điều kieän: cos x 0 PT sin x sin x 02 x k2
5
x k2
6
52.(ĐH 2005B2) Giải phương trình R : tan x tan x2 cos2x 12
2 cos x
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT tan x3 1 x k
(11)ÑS: Điều kiện: sin x 0 PT sin x 1 x k2
5
x k2
6
54.(ĐH 2005D2) Giải phương trình R: sin2x cos2x sin x cos x 0 ÑS: PT (2 sin x 1)(sin x cos x 1) 0
1 sin x
2
2 sin x
4
5
x k2 ; x k2
6
x k2 ; x k2
2
55.(ĐH 2004B) Giải phương trình R: 5sin x 3(1 sin x) tan x ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT sin x 3sin x 02 x k2
5
x k2
6
56.(ĐH 2004D) Giải phương trình R: (2cos x 1)(2 sin x cos x) sin2x sin x ÑS: PT (2cos x 1)(sin x cos x) 0 x k2
x k
4
57.(ĐH 2003A) Giải phương trình R: cot x cos2x sin x2 1sin2x
1 tan x
ĐS: Điều kiện: sin x 0, cos x 0, tan x 1
PT (cos x sin x)(1 sin x.cos x sin x) 0 x k
58.(ĐH 2003B) Giải phương trình R: cot x tan x sin2x sin2x
ĐS: Điều kieän: sin x cos x
PT
2
2cos 2x cos2x 0 x k
3
59.(ĐH 2003D) Giải phương trình R: sin2 x tan x cos2 x
2
ĐS: Điều kiện: cos x 0 PT (1 sin x)(1 cos x)(sin x cos x) 0 x k2
x k
4
60.(ĐH 2003A1) Giải phương trình R: cos2x cos x tan x 1 2
ĐS: Điều kiện: cosx
PT (1 cos x)(2cos x 5cos x 2) 0 x (2k 1) , x k2
(12)ĐS: Điều kiện: cosx PT (1 cos2x)(3cos x sin x) 02 x k
62.(ĐH 2003B1) Giải phương trình R: 3cos4x 8cos x 2cos x 0 ÑS: PT cos2x( 2cos x 5cos x 3) 04 x k , x k
4
63.(ĐH 2003B2) Giải phương trình R:
2 x
2 cos x sin
2 1
2cos x
ĐS: Điều kiện: cos x
PT cos x sin x x (2k 1)
64.(ĐH 2003D1) Giải phương trìnhtrong R: cos x cos x 12 2(1 sin x) sin x cos x
ĐS: Điều kiện: sin x
PT
2
(1 sin x) (1 cos x) x k , x k2
65.(ĐH 2003D2) Giải phương trình R: cot x tan x 2cos 4x sin2x
ĐS: Điều kiện: sin2x PT 2cos 2x cos2x 02 x k
66.(ĐH 2002A) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình: cos 3x sin3x
5 sin x cos2x
1 sin2x
ĐS: Điều kiện: x 12 m
x n
12
PT 5cos x 2cos2x 3 cos x
2
x
5 x
3
67.(ĐH 2002B) Giải phương trình R: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2
ÑS: PT cos x.sin9x.sin2x 0 sin2x.sin9x 0 x k9
x k
68.(ĐH 2002D) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình:
cos 3x cos2x 3cos x 0
ÑS: PT 4cos x(cos x 2) 02 cos x 0 x ;x ;x ;x
2 2
69.(ÑH 2002A1) Cho phương trình: sin x cos x a sin x 2cos x
(a tham số , x R)
1)Giải phương trình a
? 2)Tìm a để phương trình có nghiệm
ÑS: 1) x k
4
2) a
2
(Đưa PT bậc sinx cosx) 70.(ĐH 2002A2) Giải phương trình R: tan x cos x cos x sin x tan x.tan2 x
2
(13)ÑS: x k2 Chú ý: Điều kiện: cos x cos x
vaø
x
1 tan x.tan
2 cos x
71.(ÑH 2002B1) Giải phương trình R: tan x 14 2 sin 2x sin3x2 4 cos x
ĐS: Điều kiện: cosx PT sin3x x k2 ; x k2
2 18 18
72.(ĐH 2002B2) Giải phương trình R: sin x cos x4 1cot 2x
5sin2x sin2x
ĐS: Điều kiện: sin2x PT cos 2x 5cos2x2 x k
4
73.(ĐH 2002D1) Giải phương trình R: 12 sin x
8cos x
ĐS: Điều kiện: cos x sin x
PT
3
x k2 ; x k2 ; x k2 ; x k2
8 8
74.(ĐH 2002D2) Xác định m để phương trình R:
4
2 sin x cos x cos 4x sin2x m 0 pt có nghiệm thuộc đoạn 0;
ÑS: 10 m
3
Đặt t = sin2x (*) có nghiệm thuộc 0;
2