Đang tải... (xem toàn văn)
Ph¬ng ph¸p biÕn ®æi biÓu thøc cÇn chøng minh vÒ d¹ng tæng.. Ph¬ng ph¸p sö dông ®ång d thøc.[r]
(1)chuyên đề bồi dỡng hs giỏi du hiu chia ht
A Mở đầu
1 Lý chọn đề tài
Số học môn học lâu đời hấp dẫn tốn học
Vậy số học gì? Số học khoa học số, số học ngời ta nghiên cứu tính chất đơn giản số quy tắc tính tốn chơng trình THCS số học chiếm lợng lớn số học phép chia hết vành số nguyên thực thu hút giáo viên học sinh, có lẽ khơng vấn đề lý thuyết phép chia có giá trị thực tiễn mà qua rèn cho học sinh t sáng tạo tốn học Càng học em đợc hút lợng tập vô sáng tạo phong phú
Cái khó dùng phép chia hết vành số nguyên học sinh vấn đề nhận diện vận dụng lý thuyết để phơng pháp giải toán, ngành Giáo dục thi đua giảng dạy theo phơng pháp đổi mới, luật Giáo dục Việt Nam Nghị đại hội Đảng lần thứ nhấn mạnh: “Dạy cho học sinh phơng pháp tự nghiên cứu” với tình hình cịn nhiều giáo viên cha thực quan tâm mức đến việc rèn luyện lực tự học cho học sinh
Xuất phát từ vấn đề nên thúc đẩy Tôi vit
Rèn luyện kỹ giải toán chia hết vành số nguyên
2 Ni dung ti gm
Phần I: Tóm tắt lý thuyết
Phần II: Các phơng pháp giải toán chia hết Phơng pháp sử dụng dấu hiệu chia hết
2 Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
3 Phơng pháp sử dụng xét tập hợp sè d phÐp chia
4 Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Phơng pháp quy nạp toán học
7 Phơng pháp sử dụng đồng d thức Phơng pháp sử dụng nguyên lý Đ Phơng pháp phản chứng
Trong phơng pháp có ví dụ điển hình tập tơng tự Vẫn biết khái niệm số học đợc nhiều tác giả đề cập đến nhiều khía cạnh khác Do khơng thể có sáng tạo hoàn toàn đề tài mà đề tài dừng lại mức độ định Với nội dung cách trình bày đề tài không tránh khỏi hạn chế thân, mong đợc Thầy giáo đồng nghiệp góp ý để nội dung đề tài ngày đợc hoàn thiện
B - Néi dung PhÇn I: Tãm tắt lý thuyết
I Định nghĩa phép chia
Cho số nguyên a b b ta ln tìm đợc hai số ngun q r cho:
a = bq + r Víi r b
Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thơng, r số d Khi a chia cho b xẩy b số d
(2)Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab hay b\ a
VËy: a b Cã sè nguyªn q cho a = bq
II C¸c tÝnh chÊt
1 Víi a a a
2 NÕu a b vµ b c a c Víi a a
4 NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1)
8 NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b 10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn
12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b
13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd
15 TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho n!
III Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt
Gäi N = anan−1 a1a0
1 DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
+ N a0 a0{0; 2; 4; 6; 8}
+ N a0 a0{0; 5}
+ N (hc 25) a1a0 (hc 25) + N (hc 125) a2a1a0 (hc 125)
2 DÊu hiƯu chia hÕt cho 9
+ N (hoặc 9) a0+a1+…+an (hc 9) 3 Mét sè dÊu hiƯu kh¸c
+ N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11
+ N 101 [( a1a0 + a5a4 +…) - ( a3a2 + a7a6 +…)]101
+ N (hc 13) [( a2a1a0 + a8a7a6 +…) - [( a5a4a3 + a11a10a9 +…)
11 (hc 13)
+ N 37 ( a2a1a0 + a5a4a3 +…) 37 + N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19
IV §ång d thøc
a Định nghĩa: Cho m số nguyên dơng Nếu hai số nguyên a b cho số d chia cho m ta nói a đồng d với b theo modun m
Ký hiÖu: a b (modun)
VËy: a b (modun) a - b m
b C¸c tÝnh chÊt
1 Víi a a a (modun)
2 NÕu a b (modun) b a (modun)
3 NÕu a b (modun), b c (modun) a c (modun)
4 NÕu a b (modun) vµ c d (modun) a+c b+d (modun) NÕu a b (modun) vµ c d (modun) ac bd (modun) NÕu a b (modun), d Uc (a, b) vµ (d, m) =1
(3)7 NÕu a b (modun), d > vµ d Uc (a, b, m) a
d≡ b
d (modun m
d )
V Mt s nh lý
1 Định lý Euler
Nếu m số nguyên dơng (m) số số nguyên dơng nhỏ m nguyªn tè cïng víi m, (a, m) =
Thì a(m) (modun)
Công thức tính (m)
Phân tích m thừa số nguyên tố
m = p11 p22 … pkk víi pi p; i N*
Th× (m) = m(1 - p1
)(1 - p1
) … (1 - p1
k
)
2 Định lý Fermat
Nếu t số nguyên tố a không chia hết cho p ap-1 (modp) 3 Định lý Wilson
Nếu p số nguyên tố ( P - 1)! + (modp)
phần II: phơng pháp giải toán chia hết 1 Phơng pháp 1: Sử dụng dấu hiệu chia hết
Ví dụ 1: Tìm chữ sè a, b cho a56b 45
Gi¶i
Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b 45 a56b Xét a56b b {0 ; 5}
NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 11
a =
NÕu b = ta cã sè a56b a + + + a + 16
a = VËy: a = vµ b = ta cã sè 7560
a = vµ b = ta cã sè 2560
Ví dụ 2: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng
minh số chia hết cho
Gi¶i
Gọi số cho a
Ta cã: a vµ 5a chia cho cïng cã sè d
5a - a 4a mµ (4 ; 9) =
a (§pcm)
VÝ dơ 3: CMR sè 111 ⏟… 111
81 sè 81
Gi¶i
Ta thÊy: 111111111 Cã 111 ⏟… 111
81 sè = 111111111(10
72 + 1063 + … + 109 + 1)
Mµ tỉng 1072 + 1063 + … + 109 + cã tổng chữ số 9 1072 + 1063 + … + 109 +
VËy: 111 ⏟… 111
(4)Bài tập tơng tự
Bài 1: Tìm chữ sè x, y cho
a 34x5y vµ b 2x78 17
Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR
a N (a + 2b)
b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29
Bµi 3: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ sè cđa
số
Bài 4: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta đợc số A =
192021…7980 Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? Vì sao?
Bài 5: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 ⏟… 11
100 sè
22 … 22
⏟
100 sè lµ tÝch cđa sè tự nhiên liên tiếp
Hớng dẫn - Đáp số
Bµi 1: a x = vµ y =
x = vµ y =
b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x =
Bµi 2: a N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4
a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16
(992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n
c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 mµ (1000, 29) =1
dbca 29
(d + 3c + 9b + 27a) 29
Bài 3: Gọi ab số có chữ sè
Theo bµi ta cã:
ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b =
Bµi 4: Có 1980 = 22.32.5.11
Vì chữ sè tËn cïng cđa a lµ 80 vµ
A
Tổng số hàng lẻ 1+(2+3++7).10+8 = 279 Tổng số hàng ch½n 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A
279 - 279 = 11 A 11
Bài 5: Tổng số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên không chia hết cho
Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 23 cặp số cặp có tổng số lẻ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hÕt cho 46
Bµi 6: Cã 11 ⏟… 11
100 sè
22 … 22
⏟
100 sè =
11 … 11
⏟
100 sè
100 … 02
⏟
99 sè Mµ 100 ⏟… 02
99 sè =
33 … 34
⏟ 99 sè
11 ⏟… 11
100 sè
22 … 22
⏟
100 sè =
33 … 33
⏟
100 sè
33 … 34
(5)
2 Phơng pháp 2: Sử dơng tÝnh chÊt chia hÕt
* Chó ý: Trong n số nguyên liên tiếp có sè chia hÕt cho n
CMR: Gäi n lµ sè nguyªn liªn tiÕp
m + 1; m + 2; … m + n víi m Z, n N*
Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n ta đợc tập hợp số d là: {0; 1; 2; … n - 1}
* Nếu tồn số d 0: giả sử m + i = nqi ; i = 1,n m + i n
* NÕu kh«ng tån số d số nguyên dÃy chia hết cho n phải có Ýt nhÊt sè d trïng
Gi¶ sư:
¿
m + i = nqi + r 1≤i; j≤ n
m + j = qjn + r
¿{
¿
i - j = n(qi - qj) n i - j n
mµ i - j< n i - j = i = j m + i = m + j
Vậy n số có số số chia hết cho n…
VÝ dơ 1: CMR: a Tích số nguyên liên tiếp chia hÕt cho
b TÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho
Giải
a Trong số nguyên liên tiếp bao giê cịng cã sè ch½n
Số chẵn chia hết cho
VËy tÝch cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho
Tích số nguyên liên tiếp chia hết tích số nguyên liên tiếp chia hết cho
b Trong sô nguyên liên tiếp bao giơ có số chia hết cho
Tích số chia hết cho mà (1; 3) =
VËy tÝch số nguyên liên tiếp chia hết cho
VÝ dơ 2: CMR: Tỉng lËp ph¬ng cđa số nguyên liên tiếp chia hết cho
Giải
Gọi số nguyên liên tiếp lần lợt là: n - , n , n+1 Ta cã: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3
= 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9
= 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n
Ta thÊy (n - 1)n (n + 1) (CM VÝ dô 1) 3(n - 1)n (n + 1)
mµ
¿
9(n2+1)⋮9
18n⋮9
¿{
¿
A (§PCM)
VÝ dô 3: CMR: n4 - 4n3 - 4n2 +16n 84 với n chẵn, n4
Giải
Vì n chẵn, n4 ta đặt n = 2k, k2
Ta cã n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k
= đặt 16k(k3 - 2k2 - k + 2)
= đặt 16k(k - 2) (k - 1)(k + 1)
Với k nên k - 2, k - 1, k + 1, k số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho số chia hết cho (k - 2)(k - 1)(k + 1)k
Mµ (k - 2) (k - 1)k ; (3,8)=1
(6) 16(k - 2) (k - 1) (k + 1)k (16,24)
VËy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 víi n ch½n, n 4
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: a n(n + 1) (2n + 1)
b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N
Bµi 2: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z
Bài 3: CMR: Với n lẻ
a n2 + 4n + 8
b n3 + 3n2 - n - 48
c n12 - n8 - n4 + 512
Bài 4: Với p số nguyên tố p > CMR : p2 - 24
Bài 5: CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết
cho 27
Hớng dẫn - Đáp số
Bµi 1: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)]
= n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n
= n(n2 - 1) (n2 - 4)
= n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120
Bµi 2: n4 + 6n3 + 6n + 11n2
= n(n3 + 6n2 + + 11n)
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24
Bµi 3: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) 8
b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3)
= (n2 - 1) (n + 3)
= (n + 1) (n - 1) (n + 3)
= (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48
c n12 - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1)
= (n4 - 1) (n8 - 1)
= (n4 - 1)2 (n4 + 1)
= (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1)
= 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1)
Víi n = 2k + n2 + n4 + số ch½n (n2 + 1)2 2
n4 + 2 n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21)
VËy n12 - n8 - n4 + 512
Bµi 4: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) p số nguyên tố p > 3
p ta cã: (p - 1) (p + 1) vµ p = 3k + hc p = 3k + (k N)
(p - 1) (p + 1) VËy p2 - 24
Bµi 5: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp
n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1)
trong 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999
có số chia hết cho 1000 giả sử n0, n0 có tận chữ số giả sử
tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …;
n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2)
Có tổng chữ số lần lợt là: s; s + ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM)
(7) C¸c sè ë (2) n»m dÃy (1)
3 Phơng pháp 3: xét tập hỵp sè d phÐp chia
VÝ dơ 1: CMR: Víi n N
Th× A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hÕt cho
Gi¶i
Ta thÊy thõa sè n 7n + số chẵn Với n N A(n)
Ta chøng minh A(n)
Lấy n chia cho ta đợc n = 3k + (k N) Với r {0; 1; 2}
Víi r = n = 3k n A(n)
Víi r = n = 3k + 2n + = 6k + A(n)
Víi r = n = 3k + 7n + = 21k + 15 A(n) A(n) víi n mµ (2, 3) =
VËy A(n) víi n N
VÝ dô 2: CMR: NÕu n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Với n N
Giải
Vì n n = 3k + r (k N); r {1; 2; 3}
A(n) = 32(3k + r) + 33k+r +
= 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + 1
ta thÊy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M 13
33k - = (33 - 1)N = 26N 13
víi r = 32n + 3n + = 32 + +1 = 13 13 32n + 3n + 13
víi r = 32n + 3n + = 34 + 32 + = 91 13 32n + 3n + 1
VËy víi n th× A(n) = 32n + 3n + 13 Víi n N
Ví dụ 3: Tìm tất số tự nhiên n để 2n - 7
Gi¶i
LÊy n chia cho ta cã n = 3k + (k N); r {0; 1; 2} Víi r = n = 3k ta cã
2n - = 23k - = 8k - = (8 - 1)M = 7M 7
víi r =1 n = 3k + ta cã:
2n - = 28k +1 - = 2.23k - = 2(23k - 1) + 1
mµ 23k - 2n - chia cho d 1
víi r = n = 3k + ta cã : 2n - = 23k + 2 - = 4(23k - 1) +
mµ 23k - 2n - chia cho d 3
VËy 23k - n = 3k (k N)
Bµi tËp tơng tự
Bài 1: CMR: An = n(n2 + 1)(n2 + 4) Víi n Z
Bµi 2: Cho A = a1 + a2 + … + an
B = a5
1 + a52 + … + a5n
Bµi 3: CMR: NÕu (n, 6) =1 th× n2 - 24 Víi n Z
Bài 4: Tìm số tự nhiên W để 22n + 2n + 7
Bài 5: Cho số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + = n2
CMR: mn 55
Hớng dẫn - Đáp sè
Bµi 1: + A(n)
(8)r = n A(n)
r = 1, n2 + A
(n)
r = 2; n2 + A
(n) A(n) A(n) 30
Bµi 2: XÐt hiƯu B - A = (a5
1 - a1) + … + (a5n - an)
ChØ chøng minh: a5
i - 30 l
Bài 3: Vì (n, 6) =1 n = 6k + (k N)
Víi r {1}
r = 1 n2 - 24
Bµi 4: XÐt n = 3k + r (k N)
Víi r {0; 1; 2}
Ta cã: 22n + 2n + = 22r(26k - 1) + 2r(23k - 1) + 22n + 2n + 1
Làm tơng tự VD3
Bµi 5: Cã 24m4 + = n2 = 25m4 - (m4 - 1)
Khi m mn
Khi m th× (m, 5) = m4 - 5 (V× m5 - m (m4 - 1) m4 - 5) n2 n
i5
VËy mn
4 Phơng pháp 4: sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử
Giả sử chứng minh an k
Ta cã thĨ ph©n tÝch an chứa thừa số k phân tích thành thõa sè mµ
các thừa số chia hết cho thừa số k
VÝ dô 1: CMR: 36n - 26n 35 Víi n N
Gi¶i
Ta cã 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M
= (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M 35 VËy 36n - 26n 35 Víi n N
VÝ dơ 2: CMR: Víi n lµ sè tự nhiên chăn biểu thức
A = 20n + 16n - 3n - 232
Giải
Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = ta chøng minh
A 17 vµ A 19 ta cã A = (20n - 3n) + (16n - 1) cã 20n - 3n = (20 - 3)M 17M
16n - = (16 + 1)M = 17N 17 (n ch½n) A 17 (1)
ta cã: A = (20n - 1) + (16n - 3n)
cã 20n - = (20 - 1)p = 19p 19
cã 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q 19 (n ch½n) A 19 (2)
Tõ (1) vµ (2) A 232
VÝ dô 3: CMR: nn - n2 + n - (n - 1)2 Víi n >1
Gi¶i
Víi n = nn - n2 + n - =
vµ (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1 nn - n2 + n - 1 (n - 1)2
với n > đặt A = nn - n2 + n - ta có A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)
(9)= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M (n - 1)2
VËy A (n - 1)2(ĐPCM)
Bài tập tơng tự
Bµi 1: CMR: a 32n +1 + 22n +2 7
b mn(m4 - n4) 30
Bµi 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n
Bµi 3: Cho a vµ b lµ sè chÝnh phơng lẻ liên tiếp
CMR: a (a - 1) (b - 1) 192
Bµi 4: CMR: Víi p số nguyên tố p > p4 - 240
Bµi 5: Cho số nguyên dơng a, b, c thoả mÃn a2 = b2 + c2
CMR: abc 60
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n
= 7M + 7.2n 7
b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30
Bµi 3: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N)
cã 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64 A
(n)
Bµi 4: §Ỉt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N)
Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ
Bµi 5: Cã 60 = 3.4.5 §Ỉt M = abc
Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia hết cho d 1 a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M 3
Nếu a, b, c không chia hết cho a2, b2 c2 chia d b2
+ c2 chia th× d 2; hc 3.
a2 b2 + c2 Do có số chia hết cho Vậy M 5
Nếu a, b, c số lẻ b2 c2 chia hết cho d 1. b2 + c2 (mod 4) a2 b2 + c2
Do số a, b phải số chẵn Giả sử b s chn
Nếu C số chẵn M
Nếu C số lẻ mà a2 = b2 + c2 a số lẻ b2 = (a - c) (a + b)
(b2)
2
=(a+c
2 )(
a− c
2 )
b
2 ch½n b m
VËy M = abc 3.4.5 = 60
5 Phơng pháp 5: biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) dạng tổng nhiều hạng tử
chứng minh hạng tử chia hết cho k
VÝ dô 1: CMR: n3 + 11n víi n z.
Gi¶i
Ta cã n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n
(10) n(n + 1) (n - 1) vµ 12n VËy n3 + 11n 6
VÝ dô 2: Cho a, b z tho¶ m·n (16a +17b) (17a +16b) 11
CMR: (16a +17b) (17a +16b) 121
Gi¶i
Cã 11 số nguyên tố mà (16a +17b) (17a +16b) 11
16a +17b⋮11
¿
17a +16b⋮11
¿ ¿ ¿ ¿
(1)
Cã 16a +17b + 17a +16b = 33(a + b) 11 (2)
Tõ (1) vµ (2)
16a +17b⋮11
¿
17a +16b⋮11
¿ ¿ ¿ ¿
VËy (16a +17b) (17a +16b) 121
VÝ dơ 3: T×m n N cho P = (n + 5)(n + 6) 6n
Gi¶i
Ta cã P = (n + 5)(n + 6) = n2 + 11n + 30
= 12n + n2 - n + 30
Vì 12n 6n nên để P 6n n2 - n + 30 6n
¿
n2 - n ⋮6 30⋮6n
⇔
¿n(n - 1)⋮3(1)
30⋮n(2)
¿{
¿
Tõ (1) n = 3k hc n = 3k + (k N) Tõ (2) n {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} VËy tõ (1); (2) n {1; 3; 6; 10; 15; 30} Thay c¸c gi¸ trị n vào P ta có
n {1; 3; 10; 30} thoả mÃn
Vậy n {1; 3; 10; 15; 30} th× P = (n + 5)(n + 6) 6n
Bài tập tơng tù
Bµi 1: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23
Bµi 2: CMR: 36n2 + 60n + 24 24
Bµi 3: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 8 2n+1 59
b 2n + 14 5
Bài 4: Tìm n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + 1
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53)
= 8m + 8N 23
Bµi 2: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24
Ta thấy n 3n + không đồng thời chẵn lẻ
n(3n + 5) §PCM
(11)= 5n(25 + 26) + 8 2n+1
= 5n(59 - 8) + 8.64 n
= 5n.59 + 8.59m 59
b 2n + 14 = 9 2n - + 15
= (81n - 1) + 15
= 80m + 15
Bµi 4: Cã n3 - 8n2 + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + 1
NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + n + 8 n2 + 1
n +8≤-n2−1 Víin ≤ −8
¿
n +8≥ n2+1 Víin ≥−8
¿
⇒
¿
n2+n+9≤0 Víin ≤ −8
¿
n2−n −7≤0 Víin ≥ −8
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
n {-2; 0; 2} thư l¹i VËy n {-8; 0; 2}
6 Phơng pháp 6: Dùng quy nạp toán học
Giả sư CM A(n) P víi n a (1)
Bớc 1: Ta CM (1) với n = a tức CM A(n) P
Bớc 2: Giả sử (1) với n = k tức CM A(k) P với k a
Ta CM (1) với n = k + tức phải CM A(k+1) P
Bíc 3: KÕt luËn A(n) P víi n a
VÝ dơ 1: Chøng minh A(n) = 16n - 15n - 225 víi n N*
Gi¶i
Với n = A(n) = 225 225 n =
Gi¶ sư n = k nghÜa lµ A(k) = 16k - 15k - 225
Ta ph¶i CM A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 225
ThËt vËy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) -
= 16.16k - 15k - 16
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15
= 16k - 15k - + 15.15m
= A(k) + 225
mà A(k) 225 (giả thiết quy nạp)
225m 225 VËy A(n) 225
VÝ dô 2: CMR: víi n N* vµ n lµ sè tự nhiên lẻ ta có m2n12n+2
Giải
Víi n = m2 - = (m + 1)(m - 1) (v× m + 1; m - số chẵn liên tiếp
nên tích chúng chia hết cho 8) Giả sử víi n = k ta cã m2k
−1⋮2k+2 ta ph¶i chøng minh
(12)ThËt vËy m2k
−1⋮2k+2 m2k−1
=2k+2.q(q∈z)
m2k=2k+2.q+1
cã m2k+1
−1=(m2k)2−1=(2k+2
.q+1)2−1=2k+4.q2+2k+3.q
= 2k+3
(2k+1q2+q)⋮2k+3
VËy m2n−1⋮2n+2 víi n 1
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: 33n+3 - 26n - 27 29 víi n 1
Bµi 2: CMR: 42n+2 - 15
Bài 3: CMR số đợc thành lập 3n chữ số giống chia hết cho 3n vi n
là số nguyên dơng
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: Tơng tự ví dụ
Bài 2: Tơng tự ví dụ
Bài 3: Ta cần CM aa a
3nsèa n (1)
Víi n = ta cã aa a ¿111a⋮3
Giả sử (1) với n = k tức aa ⏟a 3k
sèa
k
Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh
aa a ⏟
3k+1
sèa
k+1 ta cã 3k+1 = 3.3k = 3k + 3k +3k
Cã aa ⏟a
3k+1 sèa
=a⏟ a
3k
a a ⏟
3k
a⏟ a
3k
¿aa a 102
k
+aa .a.103
k
+a a
⏟
3k
¿aa ⏟a
3k
(102 3k
+103
k
+1)⋮3k+1
7 Phơng pháp 7: sử dụng đồng d thức
Giải toán dựa vào đồng d thức chủ yếu sử dụng định lý Euler định lý Fermat
VÝ dô 1: CMR: 22225555 + 55552222 7
Gi¶i
Cã 2222 - (mod 7) 22225555 + 55552222 (- 4)5555 + 45555 (mod 7)
L¹i cã: (- 4)5555 + 42222 = - 45555 + 42222
= - 42222 (43333 - 1) = - 42222((43)1111−1) V× 43 = 64 (mod 7) ⇒(43
)1111−1≡0 (mod 7)
22225555 + 55552222 (mod 7)
VËy 22225555 + 55552222 7
VÝ dơ 2: CMR: 324n+1+334n+1+5⋮22 víi n N
Gi¶i
Theo định lý Fermat ta có: 310 (mod 11)
210 (mod 11)
Ta t×m d phÐp chia lµ 24n+1 vµ 34n+1 cho 10
Cã 24n+1 = 2.16n (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N)
Cã 34n+1 = 3.81n (mod 10) 34n+1 = 10k + (k N)
Ta cã: 324n+1
+33
4n+1
+5=310q+2+210k+3
= 32.310q + 23.210k + 5 1+0+1 (mod 2)
(13)mµ (2, 11) = VËy 324n+1
+33
4n+1
+5⋮22 víi n N
VÝ dơ 3: CMR: 224n+1
+7⋮11 víi n N Gi¶i
Ta cã: 24 (mod) 24n+1 (mod 10) 24n+1 = 10q + (q N)
224n+1
=210q+2
Theo định lý Fermat ta có: 210 (mod 11) 210q (mod 11)
224n+1
+7=210q+2+7
4+7 (mod 11) (mod 11) VËy 224n+1
+7⋮11 víi n N (ĐPCM)
Bài tập tơng tự
Bµi 1: CMR 226n+2
+3⋮19 víi n N
Bµi 2: CMR víi n ta cã
52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 38
Bµi 3: Cho sè p > 3, p (P)
CMR 3p - 2p - 42p
Bài 4: CMR với số nguyên tố p có dạng
2n - n (n N) chia hÕt cho p.
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: Làm tơng tự nh VD3
Bài 2: Ta thấy 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 2
Mặt khác 52n-1 22n-15n+1 + 3n+1 .22n-1 = 2n(52n-1.10 + 6n-1)
V× 25 (mod 19) 5n-1 6n-1 (mod 19)
25n-1.10 + 6n-1 6n-1.19 (mod 19) (mod 19)
Bµi 3: Đặt A = 3p - 2p - (p lẻ)
DƠ dµng CM A vµ A A NÕu p = A = 37 - 27 - 49 A 7p
Nếu p (p, 7) = Theo định lý Fermat ta có:
A = (3p - 3) - (2p - 2) p
Đặt p = 3q + r (q N; r = 1, 2)
A = (33q+1 - 3) - (23q+r - 2)
= 3r.27q - 2r.8q - = 7k + 3r(-1)q - 2r - (k N)
víi r = 1, q phải chẵn (vì p lẻ)
A = 7k - - - = 7k - 14
VËy A mµ A p, (p, 7) = A 7p Mµ (7, 6) = 1; A
A 42p
Bµi 4: NÕu P = 22 - = 2
Nếu n > Theo định lý Fermat ta có: 2p-1 (mod p)
2m(p-1) (mod p) (m N)
XÐt A = 2m(p-1) + m - mp
A p m = kq -
Nh p > p có dạng 2n - n đó
N = (kp - 1)(p - 1), k N chia hết cho p
8 Phơng pháp 8: sử dụng nguyên lý Đirichlet
(14)VÝ dô 1: CMR: Trong n + sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n Gi¶i
Lấy n + số nguyên cho chia cho n đợc n + số d nhận số sau: 0; 1; 2; …; n -
cã Ýt nhÊt sè d cã cïng sè d chia cho n Gi¶ sư = nq1 + r r < n
aj = nq2 + r a1; q2 N aj - aj = n(q1 - q2) n
VËy n +1 sè nguyªn bÊt kú cã sè cã hiƯu chia hÕt cho n
Nếu khơng có tổng tổng chia hết cho n nh số d chia tổng cho n ta đợc n số d 1; 2; …; n -
Vậy theo nguyên lý Đirichlet tồn Ýt nhÊt tỉng mµ chi cho n cã cïng sè d (theo VD1) hiƯu cïadr tỉng nµy chia hết cho n (ĐPCM)
Bài tập tơng tự
Bài 1: CMR: Tồn n N cho 17n - 25
Bµi 2: CMR: Tån bội số 1993 chứa toàn số
Bài 3: CMR: Với 17 số nguyên bất kú bao giê cịng tån t¹i tỉng sè chia hÕt
cho
Bµi 4: Cã hay không số có dạng
19931993 1993000 00 1994
Hớng dẫn - Đáp số
Bài 1: Xét dÃy số 17, 172, , 1725 (tơng tự VD2)
Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chøa toµn bé sè lµ:
1 11 111
…
111 … 11
⏟ 1994 sè
Khi chia cho 1993 th× cã 1993 sè d theo nguyên lý Đirichlet có sè cã cïng sè d
Giả sử
ai = 1993q + r r < 1993
aj = 1993k + r i > j; q, k N aj - aj = 1993(q - k)
111 … 11
⏟
i-j 1994 sè
00 ⏟…
i sè
=1993(q − k)
111 … 11
⏟
i-j 1994 sè
10j=1993(q − k)
mµ (10j, 1993) = 1
111 … 11
⏟
1994 sè 1993 (§PCM)
Bài 3: Xét dÃy số gồm 17 số nguyên bÊt kú lµ
a1, a2, …, a17
Chia số cho ta đợc 17 số d phải có số d thuộc tập hợp{0; 1; 2; 3; 4} Nếu 17 số có số chia cho có số d tổng chúng chia hết cho
NÕu 17 số số có số d chia cho tån t¹i sè cã sè d kh¸c tỉng c¸c sè d lµ: + + + + = 10 10
VËy tỉng cđa sè nµy chia hÕt cho
Bµi 4: XÐt d·y sè a1 = 1993, a2 = 19931993, …
a1994 = 1993 ⏟… 1993
1994 sè 1993
(15)Gi¶ sư: = 1993 … 1993 (i sè 1993)
aj = 1993 … 1993 (j sè 1993)
aj - aj 1994 i < j 1994 1993 ⏟… 1993
j-i số 1993
10ni1993
9 Phơng pháp 9: phơng pháp phản chứng
Để CM A(n) p (hoặc A(n) p )
+ Giả sử: A(n) p (hoặc A(n) p )
+ CM giả sử sai
+ Kết luận: A(n) p (hc A(n) p )
VÝ dơ 1: CMR n2 + 3n + 121 víi n N
Giả sử tồn n N cho n2 + 3n + 121 4n2 + 12n + 20 121 (v× (n, 121) = 1)
(2n + 3)2 + 11 121 (1) (2n + 3)2 11
Vì 11 sè nguyªn tè 2n + 11
(2n + 3)2 121 (2)
Tõ (1) vµ (2) 11 121 v« lý VËy n2 + 3n + 121
VÝ dô 2: CMR n2 - n víi n N*
Giải
Xét tập hợp số tự nhiên N*
Gi¶ sư n 1, n N* cho n2 - n
Gọi d ớc số chung nhỏ khác n d (p) theo định lý Format ta có 2d-1 (mod d) m < d
ta chøng minh m\n
Gi¶ sư n = mq + r (0 r < m)
Theo gi¶ sö n2 - n nmq+r - n
2r(nmq - 1) + (2r - 1) n 2r - d v× r < m mµ m N, m nhá nhÊt kh¸c 1
cã tÝnh chÊt (1)
r = m\n mµ m < d cịng cã tính chất (1) nên điều giả sử sai Vậy n2 - n víi n N*
Bài tập tơng tự
Bài 1: Có tồn t¹i n N cho n2 + n + 49 không?
Bài 2: CMR: n2 + n + víi n N*
Bµi 3: CMR: 4n2 - 4n + 18 289 víi n N
Híng dÉn - §¸p sè
Bài 1: Giả sử tồn n N để n2 + n + 49
4n2 + 4n + 49
(2n + 1)2 + 49 (1) (2n + 1)2 7
Vì số nguyªn tè 2n + (2n + 1)2 49 (2)
Tõ (1); (2) 49 vô lý
Bài 2: Giả sử tån t¹i n2 + n + víi n
(16)vì số nguyªn tè
n+2⋮3
¿
n −1⋮3
¿ ¿ ¿ ¿
(n + 2)(n - 1) (2)
Tõ (1) vµ (2) v« lý
Bài 3: Giả sử n N để 4n2 - 4n + 18 289
(2n - 1)2 + 17 172 (2n - 1) 17
17 số nguyên tố (2n - 1) 17 (2n - 1)2 289 17 289 vô lý
Tài liệu tham khảo Số học Ngun Vị Thanh
2 To¸n chän läc cÊp II Lê Hải Châu
3 400 toán chọn lọc Vũ Dơng Thuỵ Trơng Công Thành Nguyễn Ngọc §¹m
4 Chuyên đề số học Võ Đại Mau
(17)6 Thực hành giaỉ toán cấp II – Trung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dỡng giáo viên
7 250 toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn Các đề vơ định tốn nớc – Nhà xuất Hải phòng
9 255 toán số học chọn lọc Sở GD Hà T©y 1993
10 Chun đề bồi dỡng giỏi tốn - Đinh Vũ Nhân – Võ Thị Nơng – Hồng Chúng
11 Sè häc bµ chóa cđa toán học Hoàng Chúng
Mục lục
Nội dung Trang
A Mở đầu
B – Néi dung
PhÇn I: Tãm tắt lý thuyết
Phần II: Các phơng pháp giải toán chia hết
1 Phơng ph¸p sư dơng dÊu hiƯu chia hÕt
2 Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
3 Phơng pháp sử dụng xét tập hợp số d phép chia
4 Phơng pháp sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử 10
5 Phơng pháp biến đổi biểu thức cần chứng minh v dng tng 11
6 Phơng pháp quy nạp to¸n häc 13
(18)