Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)51 INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD NGÀY 1 :
Bài : Tìm tất hàm f :R→R thoả mãn f([ ]x y)= f(x)[f(y)] ∀x,y∈R Ở [ ]u phần nguyên số thực u
Bài : Cho tam giác ABC với I tâm nội tiếp ℑ đường tròn ngoại tiếp tam giác AIcắt
ℑ điểm thứ hai D ( khác A ) Gọi E điểm cung BDC F nằm đoạn BC
sao cho
2
BAC CAE
BAF =∠ < ∠
∠ Chứng minh giao điểm EI DG nằm ℑ Ở G trung điểm IF
Bài : Tìm tất hàm g:N→N cho (g(m)+n)(m+g(n)) số phương với số tự nhiên m,n
NGÀY 2 :
Bài : Gọi P điểm nằm tam giác ABC ( với điều kiện CA≠CB ) Các đường thẳng
BP
AP, CP cắt đường tròn ℑngoại tiếp tam giác ABC K,L M Tiếp tuyến đường tròn ℑ C cắt đường thẳng AB S Chứng minh SC=SP MK=ML
Bài : Mỗi hộp hộp B1,B2,B3,B4,B5,B6 ban đầu gồm có đồng xu Xét loại
hoạt động sau :
Loại ) Chọn hộp không rỗng Bj( 1≤ j≤5), lấy đồng tiền hộp Bj thêm hai
đồng tiền vào hộp Bj+1
Loại ) Chọn hộp không rỗng Bk( 1≤k≤4), lấy đồng tiền hộp Bk hoán đổi
các đồng tiền ( rỗng ) hai hộp Bk+1 Bk+2 với
Xác định xem có tồn dãy hữu hạn hoạt động loại mà năm hộp
5
1,B ,B ,B ,B
B trở thành rỗng hộp B6 chứa 20102010
2010 đồng xu
Bài : Gọi a1,a2,a3, dãy số thực dương s số nguyên dương thỏa mãn :
{ |1 1}
max + ≤ ≤ −
= a a − k n
an k n k với n>s