Chứng minh giao điểm của các đường thẳng BZ và CY luôn di động trên một đường cố định.. Chứng minh điểm L luôn di động trên một đường cố định..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 27/9/2017
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (5 điểm)
Xét dãy số ( )xn xác định
1
x
2
1 2
n
n n
x
n a
x x
n với n 1,2, 3,
Chứng minhdãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn trường hợp
a) a b)
2 a Bài 2. (5 điểm)
Xét số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
12 abc
ab bc ca
b) Chứng minh số nguyên k nhỏ cho
3
k k
abc
ab bc ca
với a b c, , thỏa mãn điều kiện k 10 Bài 3. (5 điểm)
Cho tam giác ADH vuông H, HA > 2HD cố định Đường tròn (I) thay đổi tiếp xúc với đường thẳng HD điểm D, có bán kính khơng q
2 AH
cắt đoạn thẳng AD X (khác D) Các tiếp tuyến qua A (I) cắt đường thẳng HD B C (C thuộc tia DH)
a) Các đường thẳng XB, XC cắt (I) Y Z (khác X) Chứng minh giao điểm đường thẳng BZ CY di động đường cố định
b) Đường tròn (J) qua B,C tiếp xúc (I) L Chứng minh điểm L di động đường cố định
Bài 4 (5 điểm)
Gọi tập hợp số thực dương Xét hàm số f : thỏa mãn
(1 ( )) ( )
f xf y yf x y với x y,
a) Tìm tất hàm số f x( ) đơn ánh thỏa mãn điều kiện
b) Nếu hàm số f x( ) thỏa mãn điều kiện f x( ) có song ánh khơng? - HẾT -
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN THI: TOÁN Ngày thi thứ nhất: 27/9/2017
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng, điểm tối đa
Bài Nội dung Điểm
1a
Ta có 1 (2 )
2
n n
n
x x
x với n 1,2, 3,
Gọi A n( ) :xn (1;2) Ta chứng minh A n( ) với n 1,2, 3, +) A(1)
+) Giả sử A k( ) (k 1), tức xk (1;2)
Ta chứng minh A k( 1), tức xk 1 (1;2) Thật
1
(2 )
1 0;
2
k k
k
x x
x
2
1
2
2
k k
x x (do k 1)
Theo nguyên lý quy nạp xn (1;2) với n 1,2, 3,
1,0
Ta có
2
1
2
2 2
2
n n
n n n
x x
x x x 0,5
2 2
2 2 ,
2
n
n n n
x
x x q x n 0,5
Suy
1 2 ,
n n
x q x n
Vì q nên với n đủ lớn qnnhỏ tùy ý, suy dãy số ( ) n
x có giới hạn hữu hạn limxn
1,0
1b
Gọi P n( ) :xn (1;2) Ta chứng minh P n( ) với n 1,2, 3, +) P(1)
+) Giả sử P k( ) (k 1), tức xk (1;2) Ta chứng minh P k( 1), tức xk 1 (1;2) Thật
1
(2 )
1
1 0;
2
k k
k
x x
x
k
2
1
2
2
k k
k
x x
k (do k 1)
Theo nguyên lý quy nạp xn (1;2) với n 1,2, 3,
0,5 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC
(3)Suy
2 1
2 2
2 2
n
n n n
x
x x x
n n với
1,2, 3, n
0,5
Với nhỏ tùy ý cho trước, tồn M đủ lớn để ,
2n 11 n M
Do lim
2
n M M
n x nên tồn N đủ lớn để
1
2 ,
11
n M M
x n N
Ta có
1
1
1
1 1
2
2( 1)
2
1
11 11 2
1
,
11 11
1
n M n M
n M
n M
x x
M n
n M N
Suy dãy số (xn 1 2) có giới hạn hữu hạn lim ( n 1 2)
n x
Do vậydãy số ( )xn có giới hạn hữu hạn lim n
n x
1,0
2a
Ta có bất đẳng thức sau với a b c, ,
( )( )( )
abc a b c b c a c a b
Thật vậy, giả sử a b c, ta có
2
( )( )( )
( )( ) ( )( )
abc a b c b c a c a b
a b c a b c a c b c
1,0
Do
(3 )(3 )(3 )
abc c a b
27 18( ) 12( )
abc a b c ab bc ca abc
3abc 4(ab bc ca)
( )
3
abc ab bc ca
1,0
12 12
( )
3
abc ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
Dấu “=” xảy a b c Vậy giá trị nhỏ
(4)2b
Do bất đẳng thức cho với a b c, , thỏa mãn a b c nên với số a b x c, 2x với 0;3
2
x
Khi
2
1
1 (3 ), 0;
3
2 (3 )
3
3 (2 )(2 1), 0;
2
k x x x
x x x
k x x x x
0,5
Với
3
x ta có 88 9
k Do k nguyên nên k 10 0,5
Với k 10, ta cần chứng minh ( , , c) : 10 13
f a b abc
ab bc ca
Không tính tổng qt, giả sử a b c, c
Ta chứng minh ( , , ) , ,
2
a b a b
f a b c f c Thật điều tương
đương với
2
2
2
2
10 10 ( )
4
( )
4
10( )
( )
( )
( ) ( )
4
a b
c ab
ab bc ca a b
bc ca
a b
c a b
a b
ab bc ca c a b
Điều c 1,ab bc ca
2
(4 4 )
3( )( ) 36
4
a b c
a b a b c
0,5
Ta chứng minh , , 13
2
a b a b
f c Thật điều tương đương với
2
2
2
(3 ) 40 13
4 (3 ) (3 )
(3 ) 40 10(1 )(3 )
0
4 3(1 )(3 )
4 10
( 1)
4 3(1 )(3 )
c c
c c c
c c c c
c c
c c
c c
Điều
3
3 18 15
1
3 (1 )(5 ) .5
3
,
(4 )(1 )(3 )
( ]
0
0,1
c c c
c c
c c
c c
c Vậy số nguyên k nhỏ cần tìm k 10
(5)3a
Kẻ tiếp tuyến X ( )I cắt BC K
Gọi E F, tiếp điển ( )I với AC AB,
Trong tứ giác XEDF ta có tiếp tuyến F E, XD đồng quy A nên tứ giác XEDFlà tứ giác điều hòa Mà KX KD, tiếp tuyến ( )I X D, nên K E F, , thẳng hàng
1,0
Mặt khác AD BE CF, , đồng quy nên (KDBC)
Từ X KDBC( ) suy XZDY tứ giác điều hòa 1,0
Suy tiếp tuyến D X, YZ đồng quy hay Y Z K, , thẳng hàng 0,5 Kết hợp với (KDBC) ta có BZ CY XD, , đồng quy
Do giao điểm BZ CY, di động AD cố định 0,5
3b
Tiếp tuyến chung ( )J ( )I cắt BC P Ta có PD2 PL2 PB PC. .
Kết hợp với (KDBC) suy P trung điểm KD
1,0 Tam giác ADH tam giác KID có cạnh tương ứng vng góc
IP DL (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) nên DL trung tuyến tam giác ADH (do IP trung tuyến tam giác KID) Do L di động đường trung tuyến qua D tam giác ADH cố định
1,0
4
Giả sử tồn hàm số f : thỏa mãn điều kiện
(1 ( )) ( )
f xf y yf x y với x y, Ký hiệu P x y( ; )0 0 phép x x y0, y0 vào điều kiện
(1 ( )) ( )
f xf y yf x y
4a
a) Khi f x( ) đơn ánh
(1, ) : (1 ( )) (1 ),
1
(1 ) ( ) ,
P x f f x xf x x
f x f f x x
x
Suy f(2) f(1 f(1)) f(1) f(1)
0,5
J L
P K
Z
Y
C B
F
E X
H D
A
(6), : (1 ) , ,
( ) ( )
x x
P y f x yf y x y
f y f y
Cho y
x ta
1
(1 ) ,
1 x
f x f x
x x
f
x 1,0
Suy
1
(1 ( )) , ( ) ,
1
x x
f f x f x f x x
x x
f f
x x
(do f đơn ánh)
0,5
Suy
1
1 f x x,
x xf x
Suy
1
1 ( ) ,
1
1 x
f x x
x x
xf x
0,5
Suy
2
(x 1) xf x( ) 0, x
Suy f x( ) 1, x \ {1} x
Kết hợp với f(1) ta có f x( ) 1, x x
Với f x( ) 1, x
x
(1 ( )) ( ) y y
f xf y yf x y
x y x y với x y, Vậy f x( ) 1, x
x
0,5
4b
Chứng minh f x( ) toàn ánh Với t thuộc ta có
1
, : (2) ,
( ) ( )
P y f yf y y
(7)Với y f(2),
t ta
(2) (2)
(2)
(2)
f f
f f
t f t
f t
Suy tồn (2)
(2) f l
t f
f t
để f l( ) t có nghĩa f x( ) toàn ánh
Chứng minh f x( ) đơn ánh
Giả sử a b cho f a( ) f b( ) Đặt T a b
Ta có f(1 xf a( )) af x( a), x f(1 xf b( )) bf x( b), x Suy
( ) ( ),
af x a bf x b x
Điều có nghĩa
( ) a ( ),
f x f x T x b
b Suy
( ) ( ), ,
n
a
f z f z nT z b n
b
Xét hệ
1 ( )
z x y
z nT xf y
Ta có x y nT xf y( ) Suy ( )
y nT
x
f y
Do f toàn ánh nên tồn y cho f y( )
lim
n y nT nên tồn vô số n cho y nT
Tóm lại tồn y , tồn vơ số n cho x Khi
(1 ( )) ( ) ( )
( ) (1 ( ))
n n
f xf y yf x y yf z
a a
y f z nT y f xf y
b b
đúng với vô số giá trị n Suy
n
a y
b với vô số n, vô lý Vậy a b Suy f x( ) đơn ánh