Bài tập môn TOÁN 11 tải về TẠI ĐÂY

CHÖÔNG III: DAÕY SOÁ – CAÁP SOÁ.. Caáp soá coäng.. b) Giöõa caùc soá 4 vaø 67 haõy ñaët theâm 20 soá nöõa ñeå ñöôïc moät caáp soá coäng. Baøi 4: a) Tìm 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät [r]

I Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dương n, ta thực sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n =

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k  1), chứng minh mệnh đề với n = k +

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) với với số nguyên dương n  p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số nguyên dương n = k  p phải chứng minh mệnh đề với n = k +

Bài 1: Chứng minh với n  N*, ta có: a) + + … + n = ( 1)

2

n n b) 12 22 ( 1)(2 1)

6

n n n

n  

   

c)

2

3 3 ( 1)

1

2 n n

n   

     

  d)

2 1.4 2.7   n n(3  1) n n( 1) e) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)

3

n n n

n n  

     f) 1

1.2 2.3 ( 1)

n

n n n

   

 

Bài 2: Chứng minh với n  N*, ta có:

a) 2n 2n1 (n  3) b) 2n2 2n5

c) 12 12

2 n n

     (n  2) d) 1

2 2 1

n

n n

 



e) 1

2 n n

    f) 1 13

1 2 24

n n   n  (n > 1) Bài 3: Chứng minh với n  N*, ta có:

a) n311n chia hết cho b) n33n25n chia hết cho c) 7.22 2n 32 1n chia hết cho d) n32n chia hết cho e) 32 1n 2n2 chia hết cho f) 13 1n chia hết cho Bài 4: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh ( 3)

2 n n

Bài 5: Dãy số (an) cho sau: a1 2,an1 2an với n = 1, 2, … Chứng minh với n  N* ta có: 2cos 1

2

n n

a  

II Dãy số 1 Dãy số

u: *n u n( ) Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … 2 Dãy số tăng, dãy số giảm

 (un) dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*

 un+1 – un > với  n  N*  n 1

n

u

u  với n  N* ( un > 0)

 (un) dãy số giảm  un+1 < un với n  N*

 un+1 – un< với  n  N*  n 1

n

u

u  với n  N* (un > 0) 3 Dãy số bị chặn

 (un) dãy số bị chặn M  R: un  M, n  N*

 (un) dãy số bị chặn m  R: un  m, n  N*

 (un) dãy số bị chặn m, M  R: m  un  M, n  N* Bài 1: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi:

a) 222 1

n n

u n

 

 b)

( 1)

2

n n n

u

n

  

 c)

1

n n

u n

 



d)

3

n n

u   

  e)

2 cos

n

u  n n f) ( 1)!

2

n n n

u  

Bài 2: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un) cho bởi: a) 1 2, 1 1 1

3

n n

u  u   u  b) u115,u2 9,un2 unun1 c) 1 0, 1 22

1

n n

u u

u 

 

 d) u11,u2  2,un2un12un

Bài 3: Hãy viết số hạng đầu dãy số (un), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt un chứng minh cơng thức qui nạp:

a) u11, un12un3 b) u13,un1 1un2 c) u13,un12un d) u1 1, un12un1 e) u11,un1un7 e) 1

4 u  ,

2

1

 

 n

n

u u

Bài 4: Xét tính tăng, giảm dãy số (un) cho bởi:

a)

3

n n

u n

 

 b)

4

4

n n n

u  

 c)

( 1)

n n

u n

 



d) 22

1

n n n

u n

  

 e)

2 cos

n

u  n n f) un n

n

 

Bài 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn dãy số (un) cho bởi:

a)

2

n n

u n

 

 b)

1 ( 1)

n

u

n n



 c)

2 4

n

u n 

d) 22

1

n n n

u

n n

 

  e) n 2

n u

n n n



  f) ( 1) cos2

n n

u

n

  

1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 2 Số hạng tổng quát: un  u1 (n 1)d với n 

3 Tính chất số haïng: 1

2 k k k

u u

u     với k 

4 Tổng n số hạng đầu tiên:

1

( )

2 n

n n

n u u

S  u u  u   = ( 1)

n u  n d

Bài 1: Trong dãy số (un) đây, dãy số cấp số cộng, cho biết số hạng đầu cơng sai nó:

a) un = 3n – b)

5

n n

u   c) un n2

d) un 3n e)

2

n n

u   f)

2

n n

u  

Bài 2: Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết:

a)

1 10 17

u u u

u u

   

  

 b)

2

4 10 26

u u u

u u

   

  

 c)

3 14

15 18 u u

  

 



d)

2

75

u u

u u

  

 

 e)

7 15 2 12

60 1170

u u u u    

  

 f)

1

1 12

u u u

u u u

    

 



Bài 3: a) Giữa số 35 đặt thêm số để cấp số cộng b) Giữa số 67 đặt thêm 20 số để cấp số cộng

Baøi 4: a) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293

b) Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 22 tổng bình phương chúng 66

Bài 5: a) Ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo góc b) Số đo góc đa giác lồi có cạnh lập thành cấp số cộng có cơng sai d = 30 Tìm số đo góc

c) Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Tìm số đo góc

Bài 6: Chứng minh số a, b, c lập thành cấp số cộng số x, y, z lập thành cấp số cộng, với:

a) x b 2bc c y c 2;  2ca a z a 2;  2ab b b) x a 2bc y b;  2ca z c;  2ab

Bài 7: Tìm x để số a, b, c lập thành cấp số cộng, với:

a) a10 ; x b2x23;c 7 4x b) a x 1; b3x2;c x 21

Bài 8: Tìm nghiệm số phương trình: x315x271 105 0x  , biết nghiệm số phận biệt tạo thành cấp số cộng

IV Cấp số nhân

1 Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội) 2 Số hạng tổng quát: un u q1 n1 với n 

3 Tính chất số hạng: uk2 uk1.uk1 với k  4 Tổng n số hạng đầu tiên: 11

1

(1 )

1

n

n n

S nu với q

u q

S với q

q

  





  

 



Bài 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết:

a)

5 72 144

u u

u u

  

  

 b)

1

1 65 325

u u u

u u

   

  

 c)

3

90 240

u u

u u

  

   

d)

1 14

64

u u u

u u u

   

 

 e)

1

1

21

1 1

12

u u u

u u u

    

   

 f)

1

2 2

1

30 340

u u u u

u u u u

     

    



Bài 2: a) Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân b) Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân

Bài 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 19 tích 216 Bài 4: a) Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết công bội 3, tổng số số hạng

là 728 số hạng cuối 486

b) Tìm cơng bội cấp số nhân có số hạng đầu 7, số hạng cuối 448 tổng số số hạng 889

Bài 5: a) Tìm góc tứ giác, biết góc lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai

b) Độ dài cạnh ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh ABC có hai góc khơng q 600

Bài 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số nhân, số hạng thứ hai nhỏ số hạng thứ 35, số hạng thứ ba lớn số hạng thứ tư 560

Bài 7: Số số hạng cấp số nhân số chẵn Tổng tất số hạng lớn gấp lần tổng số hạng có số lẻ Xác định cơng bội cấp số

Bài 8: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tổng số hạng đầu 148

9 , đồng thời, theo thứ tự, chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng

Bài 9: Tìm số hạng đầu cấp số nhân, biết tăng số thứ hai thêm số tạo thành cấp số cộng, cịn sau tăng số cuối thêm chúng lại lập thành cấp số nhân

Bài 10: Tìm số ba số đầu ba số hạng cấp số nhân, ba số sau ba số hạng cấp số cộng; tổng hai số đầu cuối 32, tổng hai số 24

Bài 11: Tìm số dương a vaø b cho a, a + 2b, 2a + b lập thành cấp số cộng (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành cấp số nhân

Bài 12: Chứng minh số , ,1

I Giới hạn dãy số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực

1.Giới hạn đặc biệt:

lim

nn  ;

1

lim k ( )

n n k



  

lim n ( 1)

nq  q  ; nlimC C 2.Định lí :

a) Nếu lim un = a, lim = b  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b  lim n

n

u a

v  b (neáu b  0) b) Nếu un 0, n lim un= a a  lim un  a

c) Nếu un vn,n lim = lim un =

d) Nếu lim un = a limun  a 3 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = u1 + u1q + u1q2 + … =

1 u

q

 q 1

1 Giới hạn đặc biệt:

lim n   limnk  (k ) limqn  (q1)

2 Định lí:

a) Nếu limun   lim

n

u  b) Neáu lim un = a, lim =  lim n

n

u v = c) Neáu lim un = a  0, lim =

lim n

n

u v =

nn neáu a v neáu a v

 

 



d) Neáu lim un = +, lim = a

lim(un.vn) =

0

nếu a neáu a

 

 



* Khi tính giới hạn có dạng vô định:

0,



,  – , 0. phải tìm cách

khử dạng vơ định Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số:

Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n VD: a)

1

1

lim lim

3

2 2

n n

n

n

 

 

  b)

2 3 1

lim lim

1

1 2

n n n n

n

n

   

 

 

c) lim(n2 4n 1) limn2 12 n n

 

       

 

Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức

 a b a b a b; 3a3b3a2 3ab3b2 a b VD: lim n23n n =   

 

2

2

3

lim

3

n n n n n n

n n n

   

 

=

2 lim

3 n

n n n



  =

3



Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn

 Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu

 Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao của tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu

Bài 6: Tính giới hạn sau: a) lim 22

3

n n

n n

 

  b)

2

lim

4

n

n n



  c)

3

3

3

lim

4

n n n

n

 



d) lim 2

( 1)(2 )( 1)

n

n n n  e)

2

1 lim

2

n

n n



  f)

4

3

2

lim

3

n n

n n

 

 

Bài 7: Tính giới hạn sau: a) lim1

4

n n 

 b)

1 4.3 lim

2.5

n n n n





 c)

1

4

lim

5

n n n n

  



d) lim2 1

n n n





 e)

1 2.3 lim

5 2.7

n n n n

 

 f)

1 2.3 lim

2 (3 5)

n n n n

 



Bài 8: Tính giới hạn sau:

a)

2

4

lim

4

n n

n n n

  

   b)

2

3

lim

2

n n

n n

  

  c)

3

2

4

1 lim

1

n n

n n

   

d)

2

4

lim

4

n n

n n n

 

   e)

(2 1)( 3)

lim

( 1)( 2)

n n n

n n

 

  f)

2

2

4

lim

3

n n n

n n

  

 

Bài 9: Tính giới hạn sau:

a) lim 1

1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)

 

  

   

  b)

1 1

lim

1.3 2.4 n n( 2)

 

  

  

 

c) lim 12 12 12

2 n

    

  

    

     d)

1 1

lim

1.2 2.3 n n( 1)

 

  

  

 

e) lim1 2

n

n n

  

 f)

2

1 2 lim

1 3

n n

   

   

Bài 10: Tính giới hạn sau: a) lim n22n n 1

  b)

2

lim n  n n 2

  c)

3

lim  2n n  n 1

 

d) lim 1 n2 n43n1

  e)  

2

lim n  n n f)

2

1 lim

2

n   n 

g)

2

4

lim

4

n n

n n n

  

   h)

3

2

4

1 lim

1

n n

n n

 

  i)

2

2

4

lim

3

n n n

n n

  

1 Giới hạn đặc biệt:

0

lim

x x x x ; x xlim 0c c (c: số) 2 Định lí:

a) Neáu

0

lim ( )

x x f x L vaø x xlim ( ) 0g x M

thì:  

0

lim ( ) ( )

x x f x g x  L M

 

0

lim ( ) ( )

x x f x g x  L M

 

0

lim ( ) ( ) x x f x g x L M

0 ( ) lim

( )

x x

f x L

g x M

  (neáu M  0) b) Nếu f(x) 

0

lim ( )

x x f x L L 

0

lim ( )

x x f x  L c) Neáu

0

lim ( )

x x f x L x xlim ( ) 0 f x  L 3 Giới hạn bên:

0

lim ( )

x x f x L 

0

lim ( ) lim ( )

x x  f x x x  f x L

1 Giới hạn đặc biệt:

lim k

xx  ; lim

k x

neáu k chẵn x

nếu k lẻ 

   lim

xc c ; xlim k

c x

 

0

1 lim

x  x  ; 0

1 lim

x  x  

0

1

lim lim

x  x x  x  

2 Định lí: Nếu

0

lim ( )

x x f x L vaø x xlim ( ) 0g x   thì:

0

0

lim ( ) lim ( ) ( )

lim ( ) x x x x

x x

nếu L và g x dấu f x g x

nếu L và g x trái dấu 



 

  



0

0

0

0 lim ( )

( )

lim lim ( ) ( )

( )

lim ( ) ( )

x x

x x x x

x x

neáu g x

f x neáu g x vaø L g x

g x

nếu g x và L g x 

 



  

 

   

  



* Khi tính giới hạn có dạng vô định:

0,



,  – , 0. phải tìm cách khử dạng vô

định Một số phương pháp khử dạng vơ định:

1 Dạng 0 a) L =

0 ( ) lim

( )

x x

P x Q x

 với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = 0 Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn

VD: 23 2

2 2

8 ( 2)( 4) 12

lim lim lim

( 2)( 2)

4

x x x

x x x x x x

x x x

x

  

         

  



b) L =

( ) lim

( )

x x

P x Q x

 với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu

VD:   

 

0 0

2 4 1

lim lim lim

4

2

2

x x x

x x x

x x x x

  

        

 

 

c) L =

0 ( ) lim

( ) x x

P x Q x

 với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa không đồng bậc Giả sử: P(x) = mu x( )nv x với u x( ) m ( )0 nv x( )0 a

Ta phaân tích P(x) = mu x( )  a a nv x( )

=

0 3

1 1

lim

3

1

( 1) 1

x x x x

 

   

 

       

 

2 Daïng 

: L =

( ) lim ( ) x P x Q x

 với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa căn. – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x

– Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp

VD: a) 22

2

5

2

2

lim lim

6

6 1

x x

x x x x

x x x x             b) 2 2

lim lim

1

1 1 1

x x x x x x x            

3 Dạng  – : Giới hạn thường có chứa căn

Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu

VD: lim   lim    lim

1

x x x

x x x x

x x

x x x x

  

   

    

   

4 Daïng 0.:

Ta thường sử dụng phương pháp dạng

VD: 2

2

2

lim ( 2) lim

2

4

x x

x x x

x x x           

Bài 6: Tìm giới hạn sau:

a)

0 lim

1

x

x x x

x 

  

 b)

2 lim x x x x   

 c)

2 sin lim x x x          

d) 4

1 lim x x x x  

  e)

2 lim x x x x   

 f)

2 lim x x x x     g) lim x x x   

 h)

3 2

3

lim x x x x    

 i)

2

1 lim sin

2

x x Bài 7: Tìm giới hạn sau:

a) 32

1

1 lim

3

x

x x x

x x



  

  b)

4 1 lim x x

x x x







  c)

5 1 lim x x x   

d) 4 2

3

5

lim

8

x

x x x

x x



  

  e)

5 lim (1 ) x

x x x

x 

 

 f)

1 lim m n x x x    g)

(1 )(1 )(1 ) lim

x

x x x

x 

    h)

1 lim n x

x x x n

x 

   

 i)

4 2 16 lim x x x x   

a) 2

4

lim x x x     b) 3 1 lim

4

x

x x 



  c)

2 1 lim x x x    d) 2 lim x x x   

  e)

2

lim x x x x      f) 2 1 lim 16 x x x     

g) 3

0 1 lim 1 x x x   

  h)

3 lim x x x x x   

 i)

9 16

lim x x x x     

Bài 9: Tìm giới hạn sau:

a)

0 1 lim x x x x 

   b)

2

8 11

lim x x x x x    

  c)

3

2

lim x x x x    

d) 23

0

1

lim

x

x x

x 

   e)

2

8 11

lim

2

x

x x

x x



  

  f)

3 2 lim x x x x      g)

1

lim

x

x x

x 

   h)

0

1

lim

x

x x

x 

   i)

0 1 lim x x x x    

Bài 10: Tìm giới hạn sau: a) lim 22

2 x x x x  

  b)

2 lim x x x x   

 c)

2 2 lim x x x x    

d)

2

2

lim

4

x

x x x

x x



       e)

2

4 2

lim

9

x

x x x

x x x



   

  f)

1 lim x x x x x    

g) lim (2 1) 22 x x x x x   

 h)

2

2

lim

4

x

x x x

x x



 

   i)

2 5 2 lim x x x x    

Bài 11: Tìm giới hạn sau:

a) lim

x x x x    

 

  b)

2

lim 4

x x x x

     

 

 

c) lim 3

x x x

    

 

  d) limx x x x x

 

  

 

 

e) lim 32 32 1

x x  x f)  

3

lim

x x   x 

g) 3

1

1

lim

1 1

x x x

 



  



  h) 2

1

lim

3

x x x x x

 



 

   

 

Bài 12: Tìm giới hạn sau: a) 15 lim x x x   

 b)

15 lim x x x   

 c)

2

1

lim x x x x     

d)

2 lim x x x   

 e) 2

2 lim

2

x x x x   

  f) 2

2 lim

2

x x x x     

Chương III:QUAN HỆ VNG GĨC

1. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm

cuûa EF CM

a) IA IB IC ID   0 b) MA MB MC MD   4MI, với M tuỳ ý

2 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm BCD, O trung điểm đoạn AG CMR:

a) 3OA OB OC OD   0 b) 3MA MB MC MD   6MO

3. Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm cạnh AD BC G

trọng tâm tam giác BCD Chứng minh :

VẤN ĐỀ 2: Tích vơ hướng ứng dụng

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Tất cạnh bên cạnh đáy hình chóp = a Tính tích vơ hướng:

a) SA SB b) SA SC c) SA BA

2 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD hai tam giác cạnh a Chứng minh AB CD vuông góc với

Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ

+ Quy tắc điểm: A, B, C tùy yù Ta coù:ABBC AC ; ABAC CB

+ Quy tắc trừ: O, A, B tùy ý Ta có:0B OA  AB ; ABOB OA

+ Qui tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành  ABAD AC

+ Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ hình hộp  ABADAA' AC'

+ Nếu I trung điểm AB, M tùy ý Ta có:

IA  IB IAIB0 hay AIBI 0 vaø MA MB 2MI

+ Nếu G trọng tâm tam giác ABC, M tùy yù Ta coù:

0

GA GB GC   hay AGBG CG 0 vaø MA MB MC3MG

+ AB BA

 Góc hai vectơ không gian:

0

(0 180 )

, ( , ) BAC

AB u AC v   u v BAC  

 Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian:

+ Cho u v, 0 Tích vơ hướng vectơ u v, 0là: u v u v  cos( , )u v

+ Với u0 hoặc v0 Qui ước: u v 0

+ u v u v 0