DE THI CHON HSG TOAN 8

Trờng THCS Bắc Nghĩa Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi Môn :Toán Lớp 8 Năm học: 2008 - 2009 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Câu 1: (0,75 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: ( n 2 + 3n 1) ( n + 2) n 3 + 2 chia hết cho 5. Câu 2: (1,25 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của mỗi biểu thức sau là số nguyên: Bài 2: (2 điểm) Câu 1: (1 điểm) Chứng minh rằng: Nếu = 2 và a + b + c = abc thì = 2 Câu 2: ( 1 điểm) Cho ba số dơng x, y, z có tổng bằng 1 Chứng minh: 9 Bài 3: ( 3 điểm) Câu 1: ( 1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 2: ( 2 điểm) Cho biểu thức a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức đợc xác định b. Tìm giá trị của x để giá trị của R = 0 c. Tìm giá trị của x để = 1 Bài 4: ( 3 điểm) Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC. Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đờng thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI tại G. Chứng minh: a. AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi. b. AKF đồng dạng CAF và AF 2 = FK . FC c. Khi E thay đổi trên BC, chứng minh EK = BE + DK và chu vi tam giác EKC không đổi. Trờng THCS Bắc Nghĩa đáp án và biểu điễm chấm môn toán 8 Kì kiểm tra chọn học sinh giỏi Năm học: 2008 - 2009 Bài 1: (2 điểm) Câu 1: (0,75 điểm) Ta có (n 2 + 3n 1) (n + 2) n 3 + 2 = n 3 + 3n 2 n + 2n 2 + 6n 2 n 3 + 2 0,25 điểm = 5n 2 + 5n 0,25 điểm Cả hai số hạng của tổng chia hết cho 5 nên tổng chia hết cho 5. 0,25 điểm Câu 2: (1,25 điểm) (Với điều kiện x 3) Để giá trị của biểu thức M là số nguyên thì phải là số nguyên. Muốn vậy x 3 phải là Ư(5). 0,25 điểm Các Ư(5) = { - 5; - 1; 1; 5} Nếu x 3 = - 5 => x = - 2 Nếu x 3 = - 1 => x = 2 0,5 điểm Nếu x 3 = 1 => x = 4 Nếu x 3 = 5 => x = 8 Các giá trị x đều thỏa mãn điều kiện x 3 Vậy x { - 2; 2; 4; 8} 0,25 điểm Bài 2: ( 2 điểm) Câu 1: ( 1 điểm) Bình phơng hai vế của ta đợc: Suy ra: = 4 (Vì a + b + c = abc) 0,25 điểm Do đó: 0,25 điểm Câu 2: ( 1 điểm) Vì x + y + z = 1 nên 0,5 điểm Vậy: 3 + 2 + 2 + 2= 9 0,5 điểm Dấu = xảy ra khi x = y = z = Bài 3: ( 3 điểm) Câu 1: ( 1 điểm) A có GTNN khi và chỉ khi: có GTLN khi và chỉ khi (x 4) 2 + 6 có GTNN (x 4) 2 + 6 có GTNN là 6 khi x = 4 0,5 điểm Vậy với x = 4 thì A có GTNN bằng: Câu 2: ( 2 điểm) a. ĐKXĐ: x 0; x 1; x - 1 0,5 điểm b. Rút gọn đợc: R = Vì x 2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó không có giá trị nào của x để R = 0. 0,5 điểm c. = 1 nên R = 1 hoặc R = -1 - Nếu R = 1 thì = 1 Suy ra x 2 + 1 = x + 1 Do đó: x( x 1) = 0 nên x = 0 hoặc x = -1 Vì 0; 1 không thỏa mãn điều kiện của x. 0,5 điểm Vậy không có giá trị nào của x để R = 1. - Nếu R = - 1 thì = - 1 Suy ra x 2 + 1 = - x 1 Do đó x 2 + x + 2 = 0 hay ( x + ) 2 + 1 = 0 0,5 điểm Điều này không thể xảy ra. Vậy không có giá trị nào của x để = 1 Bài 4: ( 3 điểm) - Vẽ hình đúng (0,25 điểm) a. ( 1 điểm) ABE = ADF (g.c.g) Suy ra AE = AF AEF vuông cân ở A nên AI EF IEG = IFK (g.c.g) Suy ra IG = IK Tứ giác EGFK có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng và vuông góc với nhau nên là hình thoi. b. ( 1 điểm) Ta có: = = 45 0 chung Vậy AKF đồng dạng CAF (g.g) Suy ra: . Do đó AF 2 = KF . CF c. (0,75 điểm) Ta có EGFK là hình thoi (chứng minh câu a) Nên KE = KF = KD + DF = KD + BE Chu vi tam giác bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC không đổi. B E C A G I K D F x . Trờng THCS Bắc Nghĩa Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi Môn :Toán Lớp 8 Năm học: 20 08 - 2009 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm). Trờng THCS Bắc Nghĩa đáp án và biểu điễm chấm môn toán 8 Kì kiểm tra chọn học sinh giỏi Năm học: 20 08 - 2009 Bài 1: (2 điểm) Câu 1: (0,75 điểm) Ta có (n