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■♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ t✐♠❡ ✭s✮ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❉❋❈▼ ■❋❈▼ ❙▼❑❋❈▼ ❙❋❈▼✲P❙❖ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ❝♦♥❝❡♣ts ❋✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳ ■❢ X ✐s ❛ s❡t ♦❢ ♦❜❥❡❝ts ❡❧❡♠❡♥t ♣❛✐rs ♦❢ ❞❡❣r❡❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ x✱ ❛ ❢✉③③② s❡t A✱ A ⊆ X ✐s ❞❡❢✐♥❡❞ ❛s ❛ s❡t ♦❢ A = {(x, µA (x)) |x ∈ X} ❲❤❡r❡ µA (x) ✐s ❛ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❢✉③③② s❡t A✳ ▼❋ ♠❛♣s ❡❛❝❤ ❡❧❡♠❡♥t x ∈ X t♦ t❤❡ ✐♥t❡r✈❛❧ [0, 1]✳ ❛✳ ❋✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ✇✐❞❡❧② ✉s❡❞ ❢✉③③② s❡t ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐s ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ❚❤✐s ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠ ❛❧❧♦✇s ❡❛❝❤ ❞❛t❛ ❡❧❡♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡❧♦♥❣ t♦ ♠❛♥② ❞✐❢❢❡r❡♥t ❝❧✉st❡rs ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❞✐❢❢❡r❡♥t ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ❣r❛❞❡s✳ ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♠♦❞❡❧ ✐s t♦ ♦♣t✐♠✐③❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ c n µm ik dik } min{Jm (U, V, X) = ❍❛♥♦✐ ❛r❡❛ ◗✉② ❍♦♣ ❛r❡❛ ❱✐♥❤ P❤✉❝ ❛r❡❛ ✷✸✺✳✹✻✺ ✶✾✻✳✷✺✹ ✶✽✽✳✷✻✹ ✻✷✸✳✾✽✷ ✺✺✽✳✼✽✺ ✼✶✾✳✹✽✷ ✷✽✺✳✺✷✷ ✷✵✾✳✵✾✺ ✷✼✻✳✺✹✶ ✶✶✺✳✾✽✶ ✶✹✼✳✹✼✷ ✶✸✷✳✼✺✸ ✸✾✽✳✶✻✹ ✸✶✽✳✹✾✽ ✸✽✼✳✾✵✼ t❤❡ ❢✐✈❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦♥ t❤r❡❡ ❞❛t❛s❡ts✳ ❙❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❤❛s t❤❡ ❧♦✇❡st ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t✐♠❡✱ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❉❋❈▼✱ ❙▼❑❋❈▼✱ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖✱ ❛♥❞ ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ✸✳✺✳✷ ▲❛♥❞❝♦✈❡r ❝❤❛♥❣❡ ❞❡t❡❝t✐♦♥ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ❘❙ ✐♠❛❣❡ ✐♥ ❇❛❝ ❇✐♥❤ ❞✐str✐❝t✱ ❇✐♥❤ ❚❤✉❛♥ ♣r♦✈✐♥❝❡ ❢r♦♠ ✶✾✽✽ t♦ ✷✵✶✼ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❛ss❡ss t❤❡ ❧❛♥❞ ❝♦✈❡r ❝❤❛♥❣❡ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ▲❛♥❞s❛t✲✺ ❚▼✱ ▲❛♥❞s❛t✲✼ ❊❚▼✰ ❛♥❞ ▲❛♥❞s❛t✲✽✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶ s❤♦✇s t❤❡ ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❛❝✲ ❝♦r❞✐♥❣ t♦ ✻ ❧❛♥❞ ❝♦✈❡rs ❜② ②❡❛rs❀ ✐t ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛ s✐❣♥✐❢✐❝❛♥t ❝❤❛♥❣❡ ✐♥ t❤❡ ❧❛♥❞ ❝♦✈❡r ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❧❛♥❞ ❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t ✉s✐♥❣ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐♥t♦ s✐① ❝❧❛ss❡s ❜② ♣❡r❝❡♥t❛❣❡ ✭✪✮ ✐s s❤♦✇♥ ✐♥ ❚❛❜❧❡ ✸✳✹✳ ❚❛❜❧❡ ✸✳✺ ✭✶✳✶✮ i=1 k=1 ❲❤❡r❡ U = [µik ]cxn ✐s ❛ ❢✉③③② ▼❋✱ V = (v1 , v2 , , vc ) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ✭✉♥❦♥♦✇♥✮ ❝❧✉st❡r ❝❡♥t❡rs✱ X = {xk ,xk ∈ RM , k = 1, , n}✱ dik = vi − xk ✳ ❜✳ P♦ss✐❜✐❧✐st✐❝ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❚❛❜❧❡ ✸✳✹✿ ▲❛♥❞ ❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ✉s✐♥❣ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❈❧❛ss ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✶✾✽✽ ✵✳✵✻✭✪✮ ✷✸✳✾✹✭✪✮ ✶✹✳✵✵✭✪✮ ✶✼✳✶✺✭✪✮ ✷✽✳✹✵✭✪✮ ✶✻✳✹✹✭✪✮ ✶✾✾✹ ✵✳✵✾✭✪✮ ✷✹✳✻✾✭✪✮ ✶✸✳✷✶✭✪✮ ✶✺✳✹✷✭✪✮ ✷✻✳✾✽✭✪✮ ✶✾✳✺✾✭✪✮ ✷✵✵✷ ✵✳✸✸✭✪✮ ✷✽✳✺✸✭✪✮ ✶✹✳✸✹✭✪✮ ✶✹✳✷✸✭✪✮ ✷✶✳✻✵✭✪✮ ✷✵✳✾✹✭✪✮ ✷✵✵✾ ✵✳✹✷✭✪✮ ✷✽✳✷✷✭✪✮ ✶✹✳✵✷✭✪✮ ✶✸✳✼✷✭✪✮ ✷✹✳✹✵✭✪✮ ✶✾✳✶✽✭✪✮ ✷✵✶✹ ✵✳✸✽✭✪✮ ✸✷✳✶✾✭✪✮ ✶✻✳✵✵✭✪✮ ✶✻✳✷✺✭✪✮ ✷✶✳✾✷✭✪✮ ✶✸✳✽✵✭✪✮ ✷✵✶✼ ✵✳✸✷✭✪✮ ✸✼✳✺✶✭✪✮ ✶✹✳✶✵✭✪✮ ✶✹✳✽✵✭✪✮ ✶✼✳✻✷✭✪✮ ✶✺✳✻✶✭✪✮ P♦ss✐❜✐❧✐st✐❝ ❝✲♠❡❛♥s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭P❈▼✮ ✐s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❑r✐s❤♥❛♣✉r❛♠ ❛♥❞ ❑❡❧❧❡r✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t♦ ❛✈♦✐❞ t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ■♥st❡❛❞ ♦❢ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢✉③③② ▼❋s s✉❝❤ ❛s ❋❈▼✱ P❈▼ ✉s❡s ♣♦ss✐❜✐❧✐st✐❝ ▼❋s t♦ r❡♣r❡s❡♥t t②♣✐❝❛❧✐t② ❜② τik ✱ t❤❡ t②♣✐❝❛❧✐t② ♠❛tr✐① ❛s T = [τik ]cxn ✳ s❤♦✇s t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❛❜❡❧❡❞ ❞❛t❛✳ ■t ✹ ✷✶ ✸✳✺ P❋❈▼ ♠♦❞❡❧ ✐s t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts ❋♦r ❛ ♠✉❧t✐✲s♣❡❝tr❛❧ ✐♠❛❣❡ ✇✐t❤ d ❜❛♥❞s✱ ❡❛❝❤ ♣✐①❡❧ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② d ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦♥ d ❣r❛② ❜❛♥❞s ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s X = [x1 ,x2 , xn ] ✇✐t❤ xi = (bi1 , bi2 , , bid )✳ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✐♥❝❧✉❞❡ ❙❋❈▼✱ ●❙P❋❈▼✱ ❙P❋❈▼✲❲✱ ❙P❋❈▼✲❙❙✱ ❙▼❑❋❈▼✱ ❙■■❚✷❋❈▼✱ ❙❋❈▼✲P❙❖✱ ●■❚✷❙P❋❈▼✱ ❛♥❞ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖✳ ✸✳✺✳✶ c c η η1 ❛ η2 ✶✳✶✳✷ ❜ ❛♥❞ ❉❛t❛s❡t ❍❛♥♦✐ ❛r❡❛ ✭✪✮ ❚P❘ ✽✾✳✺✷ ✾✷✳✻✼ ✾✸✳✼✶ ✾✽✳✷✸ ✾✺✳✹✽ ✾✾✳✵✽ ❋P❘ ✶✳✸✻ ✶✳✷✶ ✶✳✵✾ ✵✳✽✼ ✵✳✾✾ ✵✳✺✽ ◗✉② ❍♦♣ ❛r❡❛ ✭✪✮ ❆❈❈ ❚P❘ ✽✾✳✶✽ ✾✷✳✻✼ ✾✸✳✸✾ ✾✽✳✶✶ ✾✺✳✷✶ ✾✾✳✵✷ ✾✶✳✻✶ ✾✶✳✶✽ ✾✸✳✷✻ ✾✼✳✺✽ ✾✻✳✽✸ ✾✽✳✾✼ ❋P❘ ✶✳✵✾ ✵✳✽✼ ✶✳✶✷ ✵✳✾✽ ✵✳✼✾ ✵✳✺✷ ❆❈❈ ✾✵✳✾✾ ✾✶✳✶✸ ✾✸✳✷✺ ✾✼✳✺✹ ✾✻✳✽✹ ✾✽✳✼✼ ❆ ❚✷❋❙✱ ❞❡♥♦t❡❞ u ∈ Jx ⊆ [0, 1]✱ ✽✽✳✼✻ ✾✷✳✵✾ ✾✹✳✻✹ ✾✽✳✹✺ ✾✺✳✽✸ ✾✾✳✶✺ ❋P❘ ✵✳✽✼ ✶✳✵✷ ✵✳✻✽ ✵✳✼✺ ✵✳✽✾ ✵✳✻✾ µA˜ (x, u) ✇❤❡r❡ ✭✶✳✹✮ ✭✶✳✺✮ µA˜ (x, u))/(x, u), Jx ⊆ [0, 1] x∈X u∈Jx ❚✷❋❙s ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ■❚✷❋❙s ✐❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞❛r② ▼❋ fx (u) = ∀u ∈ Jx ✐✳ ❡✳ ❛♥ ■❚✷❋❙ ✐s ❞❡❢✐♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ✇❤❡r❡ x∈X ❛♥❞ ❆♥ ■❚✷❋❙ A˜ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥t❡r✈❛❧ t②♣❡✲✷ ▼❋ u ∈ Jx ⊆ [0, 1]✱ µA˜ (x, u) = ✐✳ ❡✳ ✱ ✭✶✳✻✮ A˜ = {((x, u), 1)|∀x ∈ X, ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1]} ❆❈❈ ✽✾✳✶✹ ✾✷✳✵✶ ✾✹✳✸✷ ✾✽✳✹✷ ✾✺✳✼✽ ✾✾✳✶✸ ■❚✷❋❈▼ ✐s ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜② ✉s✐♥❣ t✇♦ ❢✉③③✐♥❡ss ♣❛r❛♠✲ ❡t❡rs m1 , m2 t♦ ♠❛❦❡ ❋❖❯✱ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✉♣♣❡r ❛♥❞ ❧♦✇❡r ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❢✉③③✐❢✐❡rs ❣✐✈❡s ❞✐❢❢❡r❡♥t ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s t♦ ❜❡ ♠✐♥✐✲ ♠✐③❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ N C Jm1 (U, V, X) = k=1 i=1 ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❚P❘✱ ❋P❘✱ ❛♥❞ ❆❈❈ ✐♥❞✐❝❛✲ t♦rs ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ ❊r❞❛s s♦❢t✇❛r❡ ♦♥ t❤r❡❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❞❛t❛s❡ts✳ ❲❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ❧❛♥❞❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧t ✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ ❊r❞❛s s♦❢t✇❛r❡ ✐s t❤❡ ❧♦✇❡st ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❢✐✈❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦♥ ❛❧❧ ❞❛t❛ s❡ts✳ ❚❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t✇♦ ✉♥s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭❉❋❈▼ ❛♥❞ ■❋❈▼✮ ✐s ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❛t ♦❢ t❤r❡❡ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ✭❙▼❑❋❈▼✱ ❙❋❈▼✲P❙❖✱ ❛♥❞ ✷✵ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛ t②♣❡✲✷ ▼❋ ✐✳ ❡✳ ✱ A˜ = ❱✐♥❤ P❤✉❝ ❛r❡❛ ✭✪✮ ❚P❘ A˜✱ ♦r ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✸✳ ❚❛❜❧❡ ✸✳✷✿ ❚❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♦♥ t❤r❡❡ ❞❛t❛s❡ts ✭✶✳✸✮ ■♥t❡r✈❛❧ t②♣❡✲✷ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ x∈X τik = 1; ≤ i ≤ c; ≤ k ≤ n k=1 A˜ = {((x, u), µA˜ (x, u))|∀x ∈ X, ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1]} ❍❛♥♦✐ ✷✳✷✶✸✻✹ ✶✳✸✻✺✸✹ ✸✳✷✻✺✶✸ ✷✳✶✾✽✼✹ ✶✳✹✼✻✸✺ ✸✳✵✼✸✻✻ ✵✳✺✷✼✺✷ ✵✳✺✷✹✻✸ ◗✉② ❍♦♣ ✷✳✷✽✼✻ ✶✳✹✼✻✹ ✸✳✹✺✻✺ ✷✳✶✽✼✻ ✶✳✸✼✻✽ ✸✳✸✼✻✹ ✵✳✸✼✻✹ ✵✳✸✼✾✽ ❱✐♥❤ P❤✉❝ ✷✳✷✻✺✸ ✶✳✹✼✻✷ ✸✳✵✾✽✹ ✷✳✶✾✽✼ ✶✳✻✽✼✷ ✷✳✾✽✼✺ ✵✳✼✻✺✸ ✵✳✼✼✺✾ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ❊r❞❛s ❉❋❈▼ ■❋❈▼ ❙▼❑❋❈▼ ❙❋❈▼✲P❙❖ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ k=1 n µik = 1; i=1 m2 ✭✶✳✷✮ (1 − τik )η ❙✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✿ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶✿ P❛r❛♠❡t❡rs ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ m1 n γi i=1 m, η > 1; a, b > 0; ≤ µik , τik ≤ 1; ❚❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ t❡st❡❞ t❤❡ ❧❛♥❞❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ ♦♥ t❤r❡❡ t②♣❡s ♦❢ s❛t❡❧❧✐t❡ ✐♠❛❣❡s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✐♠❛❣❡s ▲❛♥❞s❛t✲✼ ❊❚▼✰ ✭❍❛♥♦✐✮✱ ▲❛♥❞s❛t✲✽ ✭◗✉② ❍♦♣✮✱ ❛♥❞ ❙❡♥t✐♥❡❧✲✷❆ ✭❱✐♥❤ P❤✉❝✮✳ ■♥ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶✱ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ❛r❡ ❛❝❤✐❡✈❡❞ ❜② ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❚❛❜❧❡ ✸✳✷ s❤♦✇s t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♠ c η (aµm ik + bτik )dik + i=1 k=1 ▲❛♥❞❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❉❛t❛s❡t n Jm,η (U, T, V, X, γ) = ✶✳✶✳✸ um ik dik N and C Jm2 (U, V, X) = k=1 i=1 2 um ik dik ✭✶✳✼✮ ❙♦♠❡ ❧❡❛r♥✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❝♦✈❡rs s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❧❡❛r♥✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❤❡❧♣ ✐♠♣r♦✈❡ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ s❡♠✐✲ s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❧❡❛r♥✐♥❣ ♠❡t❤♦❞✱ ❦❡r♥❡❧ t❡❝❤♥✐q✉❡✱ s♣❡❝tr❛❧ ❝❧✉st❡r✐♥❣✱ ❛♥❞ ♣❛rt✐❝❧❡ s✇❛r♠ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ✺ ✶✳✶✳✹ ❋♦r ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ pi ❛♥❞ veli ❛r❡ ✉♣❞❛t❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❊✈❛❧✉❛t✐♦♥ ♠❡t❤♦❞s ❚❤❡r❡ ❛r❡ t✇♦ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ♠❡t❤♦❞s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛❧ ❡✈❛❧✉❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥✱ ❜♦t❤ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛r❡ ✉s❡❞ t♦ ❡✈❛❧✲ ✉❛t❡ t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ ❝❧✉st❡r r❡s✉❧ts✳ ✶✳✷ ❘❡❧❛t❡❞ ✇♦r❦s ❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❝♦✈❡rs ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛♥❞ t②♣❡✲✷ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✲ ✐♥❣✳ ❙♦♠❡ ❧✐♠✐t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ❛❧s♦ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛♥❞ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ♦✈❡r❝♦♠❡ t❤❡s❡ ❞✐s❛❞✈❛♥t❛❣❡s✳ ✶✳✸ (t+1) veli (t+1) pi = (t) (t) (t) pi (t) + (t+1) veli Fm1 ,η1 ,m2 ,η2 (U, T, V, X, γ) = Fm1 ,η1 (U, T, V, X, γ) + Fm2 ,η2 (U, T, V, X, γ) vi − vj ❙t❡♣s t♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ s❤♦✇ ✐♥ ✸✳✹✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛✲ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✸✳✹ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✱ k = 1, , n}✱ t❤❡ ❧❛❜❡❧❡❞ ❞❛t❛s❡t X ∗ = {Pis ,Pis ∈ ✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs c(1 < c < n)✱ ❢✉③③✐❢✐❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ✱ ❛♥❞ Tmax ✱ ✱ ✳ ❙t❡♣ ✶✿ ❈♦♠♣✉t❡ ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✶✺✱ U ∗ = [µ∗ik ] ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✶✻✱ T ∗ = [τik∗ ] ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✶✼✳ ❙t❡♣ ✷✿ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥ (0) ✷✳✶ ■♥✐t✐❛❧✐③❡ V (0) = [vi ], V (0) ∈ Rdxc ❜② ✉s✐♥❣ ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ (0) (0) (0) (0) ✷✳✷ ■♥✐t✐❛❧✐③❡ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❝❧❡s P (0) = (p(0) , p2 , , pc∗d , pc∗d+1 , , pc∗d+8 ) ❛♥❞ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ✈❛❧✉❡s m, m1 , m2 , η, η1 , η2 , a, b✳ (0) (0) (0) ✷✳✸ ❈r❡❛t❡ t❤❡ r❛♥❞♦♠ ✈❡❧♦❝✐t② ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s✿ vel1(0) , vel2(0) , , velc∗d , velc∗d+1 , , velc∗d+8 ✳ ✷✳✹ ❈♦♠♣✉t❡ U (0) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥s ✸✳✷✵✱ ✸✳✷✶✱ ✸✳✷✷✳ ✷✳✺ ❈♦♠♣✉t❡ T (0) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥s ✸✳✷✸✱ ✸✳✷✹✱ ✸✳✷✺✱ ✸✳✷✻✳ ✷✳✻ ❈♦♠♣✉t❡ Fm(0),η ,m ,η ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸✶✳ (0) ✷✳✼ ▲❡t pBest(0) = p ✱ gBest(0) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✷✾✳ ❙t❡♣ ✸✿ t = t i+ i ✸✳✶ ❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡ i✳ (t) (t) − p(t) ) ✰ ❈♦♠♣✉t❡ veli(t+1) = ω ∗ veli(t) + c1 ∗ r1 ∗ (pBest(t) i i − pi ) + c2 ∗ r2 ∗ (gBest (t+1) (t) (t+1) ✰ ❈♦♠♣✉t❡ pi = pi + veli ✳ ✰ ❈♦♠♣✉t❡ Fm(t) ,η ,m ,η ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸✶✳ ✰ ❯♣❞❛t❡ pBest(t) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✷✽✳ i ✰ ❯♣❞❛t❡ V (t) = [vi(t) ] ❛♥❞ m, m1 , m2 , η, η1 , η2 , a, b ✭✐❢ ❝❤❛♥❣❡✮✳ ✸✳✷ ❋✐♥❞ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❜❡st s♦❧✉t✐♦♥ gBest(t) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✷✾✳ ✸✳✸ ❯♣❞❛t❡ U (t) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥s ✸✳✷✵✱ ✸✳✷✶✱ ✸✳✷✷✳ ✸✳✹ ❯♣❞❛t❡ T (t) ❜② ❊q✉❛t✐♦♥s ✸✳✷✸✱ ✸✳✷✹✱ ✸✳✷✺✱ ✸✳✷✻✳ ✸✳✺ ■❋ t > Tmax ❚❍❊◆ ❣♦ t♦ ❖✉t♣✉t ❊▲❙❊ ❣♦ t♦ st❡♣ ✸✳ ❖✉t♣✉t✿ V (t) ✱ U (t) ✱ T (t) ✱ m, m1 , m2 , η, η1 , η2 , a, b✳ ❉❡❢✉③③✐❢✐❝❛t✐♦♥✿ ❆ss✐❣♥ ❞❛t❛ xk t♦ t❤❡ ith ❝❧✉st❡r ✐❢ uik ≥ ujk , j = 1, , c; j = c✳ X = {xk ,xk ∈ Rd Rd ; s Tmax ❚❍❊◆ st♦♣ ❛♥❞ ❣♦ t♦ ❖✉t♣✉t ❊▲❙❊ ❣♦ t♦ ❙t❡♣ ✺✳ ❖✉t♣✉t✿ ❚❤❡ ♠❡♠❜❡rs❤✐♣ ♠❛tr✐① U ✱ T ❛♥❞ t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ ♠❛tr✐① V ✳ ❉❡❢✉③③✐❢✐❝❛t✐♦♥✿ ❆ss✐❣♥ t❤❡ ❞❛t❛ ♣❛tt❡r♥ xk t♦ t❤❡ ith ❝❧✉st❡r ✐❢ uik ≥ ujk , j = 1, , c; j = c✳ X = {xk ,xk ∈ Rd k = 1, , n} Rd ; s 1; c ≥ 1✱ δ ≥ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✶✿ ❉✐❛❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ st❡♣s ♦❢ ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❊①♣❡r✐♠❡♥ts ❙❆❘ ✐♠❛❣❡ s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❚♦ t❡st✐♥❣ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ t❤❡ ❙❆❘ ✐♠❛❣❡ ✐s ✉s❡❞ t♦ ❝❧❛ss✐❢② t❤❡ ♦✐❧ s♣✐❧❧ ♦♥ t❤❡ s❡❛✳ ❖✐❧ st❛✐♥ ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✳ ✾ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✷✳✷ ■♠♣r♦✈❡❞ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✭■❋❈▼✮ ■♥♣✉t✿ ▼❛tr✐① s✐③❡ ✉s❡❞ t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❧♦❝❛❧ s♣❛t✐❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs c✱ ✱ T ✱ t = 0✳ ❖✉t♣✉t✿ ❈❧✉st❡r✐♥❣ r❡s✉❧ts C , C , , C ✇✐t❤ C = {x |u ∈ c }✳ ❙t❡♣ ✶✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ❧♦❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❡❛s✉r❡ M ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✺✳ ❙t❡♣ ✷✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ ♥❡✇ s✐♠✐❧❛r✐t② ♠❛tr✐① S ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✻✳ ❙t❡♣ ✸✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ❞❡❣r❡❡ ♠❛tr✐① D ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼✳ ❙t❡♣ ✹✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ ♥❡✇ ♠❛tr✐① L ❜② ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✽✳ ❙t❡♣ ✺✳ ❋✐♥❞ t❤❡ c ❡✐❣❡♥✈❡❝t♦rs {e , e , , e } ♦❢ L ✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ c ❤✐❣❤❡st ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s {λ , λ , , λ } ❛♥❞ ❞❡❢✐♥❡ t❤❡ ❝ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡ Y = (y ) ∈R ✳ ❙t❡♣ ✻✳ ❘✉♥♥✐♥❣ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦♥ ♥❡✇ s♣❛❝❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s uik ❛♥❞ vi ✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ max c i j ij 1/(m−1) uik = i i 1/(d (vi , xk ) + d c [1/(d2 (vi , xk ) + c n new c vi = c i i=1, ,n ✭❝✮ ✭❞✮ ✭❣✮ ✭❤✮ c uik < n; ≤ uik ≤ 1; i=1 uik = 1; ≤ k ≤ n; ≤ i ≤ c✳ ■♥ t❤✐s st✉❞②✱ t❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ♣r♦♣♦s❡s ❛ ❝r✐t❡r✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝❧✉st❡r ❝❡♥t❡rs mini=j {d2 (vi , vj )}✳ ❆ ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❝❧✉s✲ t❡rs ❛r❡ ♠♦r❡ s❡♣❛r❛t❡❞ ❢r♦♠ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ♣r♦♣♦s❡s ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ✭❡✮ ✭✐✮ ✭✸✳✶✸✮ um ik k=1 n n F = ✭❢✮ ✭✸✳✶✷✮ ∗ um ik (vi + xk ) n k=1 ✭❜✮ k=1 ❙✉❜❥❡❝t t♦ < ✭❛✮ d2 (vi , vi∗ ))]1/(m−1) j=1 new (vi , vi∗ )) c 2 ∗ um ik [d (vi ,xk )+d (vi , vi )] k=1 i=1 mini=j {d2 (vi , vj )} ✭✸✳✶✹✮ ❉❡t❛✐❧s ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ st❡♣s ♦❢ ❙❋❈▼✲P❙❖ ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✸✳✷✳ ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❙❋❈▼✲P❙❖ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s s✐♠✐❧❛r t♦ ❋❈▼ ❛❧❣♦✲ r✐t❤♠✳ ✭❥✮ ✸✳✹ ❍②❜r✐❞ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ ✐♥t❡r✈❛❧ t②♣❡✲✷ ❙P❋❈▼ ❛♥❞ P❙❖ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✿ ❖✐❧ s♣✐❧❧ ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ❢r♦♠ t❤❡ ❊♥✈✐s❛t ❆❙❆❘ ✐♠❛❣❡ ✐♥ ✸✳✹✳✶ ●✉❧❢ ♦❢ ▼❡①✐❝♦ ♦♥ ✷✻ ❆♣r✐❧ ✷✵✶✵ ❛♥❞ ✷✾ ❆♣r✐❧ ✷✵✶✵ ❉❛t❛s❡t X = {xk ,xk ∈ Rd , k = 1, , n} ✇✐t❤ X = X1 ∪ X2 ✱ X1 = [x∗1 , x∗2 , , x∗L ] ✐s t❤❡ ❧❛❜❡❧❡❞ ❞❛t❛s❡t ❛♥❞ X2 = [xL+1 ,xL+2 , ,xn ] ✐s t❤❡ ✉♥❧❛❜❡❧❡❞ ❞❛t❛s❡t ✭|X1 | Tmax ❚❍❊◆ ❣♦ t♦ st❡♣ ✹ ❊▲❙❊ ❣♦ t♦ st❡♣ ✸✳ ❙t❡♣ ✹✿ ❘❡♣♦rt r❡s✉❧ts ❝❧✉st❡r✐♥❣✳ ✹✳✶✳ ❘❡t✉r♥ (t) ❛♥❞ ωk ✇✐t❤ k = 1, 2, ,✳ ✹✳✷✳ ❆ss✐❣♥ ❛ ♣❛tt❡r♥ t♦ ❛ ❝❧✉st❡r ❛♥❞ r❡♣♦rt t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ ❝❧✉st❡r✐♥❣✳ r❡s✉❧ts t❤❛♥ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❋❈▼✱ ■❙❈ ❛♥❞ ❉❋❈▼ ✭❚❛❜❧❡ ✷✳✶✮✳ ✷✳✹✳✷ ▲❛♥❞❝♦✈❡r ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❚❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ♠❡t❤♦❞ t❡sts ♦♥ t❤❡ ▲❛♥❞s❛t ✼✲❊❚▼✰ ✐♠❛❣❡ t❛❦❡♥ ❛t ▲❛♠ ❉♦♥❣ ♣r♦✈✐♥❝❡✳ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝❧✉st❡r✐♥❣ q✉❛❧✐t② ✐♥❞❡① ✭♦♥ t❤❡ ✭❛✮ ✭❜✮ ✭❝✮ ✭❞✮ ✭❡✮ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✿ ❈♦❧♦r ✐♠❛❣❡ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ ▲❛♠❞♦♥❣ ❛r❡❛ ❚❛❜❧❡ ✷✳✷✿ ■♥❞✐❝❛t♦rs ❢♦r ❡✈❛❧✉❛t✐♥❣ ❝❧❛ss✐❢✐❝❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ ▲❛♠❞♦♥❣ ❛r❡❛ Ai ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣✐①❡❧s t❤❛t ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❧❛❜❡❧❡❞ ❢♦r t❤❡ ith ❝❧✉st❡r✱ ✇✐t❤ i = 1, , c✳ ■♥❞❡① ❋❈▼ ❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ c ❝❡♥tr♦✐❞s ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉❧❛✿ ▼❙❊ ■◗■ ❉■ ❈❙■ ❙❙❊ |Ai | vi∗ = pj (Ai )/ |Ai | ✭✸✳✶✵✮ j=1 ■♥ ✇❤✐❝❤✱ |Ai | ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧❛❜❡❧❡❞ ♣✐①❡❧s ❢♦r t❤❡ ith ❝❧✉st❡r✱ pj ✐s t❤❡ j th ♣✐①❡❧ ✐♥ Ai ✳ ❚❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Jm ♦❢ ❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❝❤❛♥❣❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ n c 2 ∗ um ik [d (vi ,xk )+d (vi , vi )], < m < ∞ Jm = ✭✸✳✶✶✮ k=1 i=1 ❲✐t❤ d(vi , xk ) ✐s t❤❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣✐①❡❧ xk ❛♥❞ t❤❡ ❝❧✉st❡r ❝❡♥tr♦✐❞ vi ❛♥❞ d(vi , vi∗ ) ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❝❧✉st❡r ❝❡♥tr♦✐❞ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ ❝❧✉st❡r ❝❡♥tr♦✐❞✱ ❝❧✉st❡r r❡s✉❧ts ❛r❡ ❣♦♦❞ ✇❤❡♥ t❤✐s ❞✐st❛♥❝❡ ✐s s♠❛❧❧✳ ❚♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Jm ✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣❡ ♠❡t❤♦❞ ❜② ✶✹ ■❙❈ ❉❋❈▼ ■❋❈▼ ✵✳✶✼✻✸ ✵✳✶✵✼✺ ✵✳✵✾✽✷ ✵✳✵✾✶✽ ✵✳✺✻✷✸ ✵✳✻✼✸✷ ✵✳✼✽✹✾ ✵✳✽✼✷✶ ✵✳✵✶✷✸ ✵✳✵✸✻✺ ✵✳✵✹✷✽ ✵✳✵✹✺✷ ✶✳✷✺✶✷ ✵✳✼✼✽✹ ✵✳✼✼✺✵ ✵✳✼✼✺✶ ✾✽✳✻✸✽✾ ✼✽✳✽✺✾✾ ✺✷✳✽✼✺✷ ✹✻✳✸✾✽✻ ❚❛❜❧❡ ✷✳✷✮✱ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❝❛s❡s s❤♦✇❡❞ ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❝❧✉st❡r✐♥❣ r❡s✉❧ts ❜❡tt❡r t❤❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❉❋❈▼✱ ■❙❈ ❛♥❞ ❋❈▼✳ ✷✳✺ ❙✉♠♠❛r② ❚❤✐s ❝❤❛♣t❡r ♣r❡s❡♥ts t✇♦ ✉♥s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❉❋❈▼ ❛♥❞ ■❋❈▼✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ✐❞❡❛ ♦❢ ❉❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s t♦ ✉s❡ ❞❡♥s✐t② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛s ❛ ♣r❡♣r♦❝❡ss✐♥❣ st❡♣ t♦ s❡❧❡❝t ✐♥✐t✐❛❧ ❝❡♥tr♦✐❞s✳ ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❧♦❝❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ s♣❡❝tr❛❧ ❝❧✉st❡r✐♥❣ t♦ ♠❛❦❡ ❞❛t❛ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❜❡tt❡r✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t ❝❤❛♣t❡r✱ t❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ♣r❡s❡♥ts t❤❡ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❦❡r♥❡❧ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛♥❞ ❤②❜r✐❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ❜❡t✇❡❡♥ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❢✉③③② ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛♥❞ P❙❖ t❡❝❤♥✐q✉❡✳ ✶✶ m((ψ(xj )−vi )2 +(vi∗ −vi )2 ) uij = ❈❤❛♣t❡r ✸ c ■♠♣r♦✈❡❞ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐t❤ c i=1 ωk = ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ t❤❡ ❞✐ss❡rt❛t✐♦♥ ♣r❡s❡♥ts t❤r❡❡ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❢✉③③② ❝❧✉s✲ t❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡s✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❙▼❑❋❈▼✱ ❙❋❈▼✲P❙❖ ❛♥❞ ●■❚✷❙P❋❈▼✲P❙❖✳ ✸✳✷ d2ij = ψ(xj ) − ψ(vi ) ❇② r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ vi ✐♥ ❊q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸ ❛♥❞ ψ T (x)ψ(y) = K(x, y) = um ij ψ(xj ) − ψ(vi ) + ψ(vi∗ ) − ψ(vi ) ■♥ ✇❤✐❝❤✱ i=1 c M c βj = k=1 i=1 um ij Kk (xj , xj ) 1 − ❙✉❜❥❡❝t t♦ ω1 + ω2 + ωM = ❛♥❞ ωk ≥ 0, ∀k✱ ✇❤❡r❡ vi ✐s t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ ♦❢ t❤❡ ith ❝❧✉st❡r ✐♥ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ s♣❛❝❡✱ (ω1 , ω2 , , ωM ) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ ✇❡✐❣❤ts ❢♦r ❢❡❛t✉r❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ dij ❝♦♥❝❡r♥s t❤❡ j th ❞❛t❛ ✭♣❛tt❡r♥✮ ❛♥❞ t❤❡ith ♣r♦t♦t②♣❡✿ ψ(xj ) − ψ(vi ) = (ψ(xj ) − ψ(vi ))T (ψ(xj ) − ψ(vi )) ✭✸✳✷✮ c d2ij n n n ∗ um ij (ψ(xj ) + vi ) vi = j=1 um ij j=1 ✶✷ ✭✸✳✸✮ c k=1 n = um ij Kk (xj , xj ) ✭✸✳✼✮ ∗ um ij (Kk (xj , xj ) + Kk (xj , vi )) i=1 j=1 ✭✸✳✽✮ n um ij Kk (xj , xj ) ❚♦ ❝♦♥str✉❝t ♠✉❧t✐✲❦❡r♥❡❧✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ●❛✉ss✐❛♥ ❦❡r♥❡❧ ❛s K1 ❛♥❞ P♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❦❡r♥❡❧ ❛s K2 ✿ K1 (x, y) = exp(− x − y /r2 ), K2 (x, y) = (xT y + d)p ✭✸✳✾✮ ❲❤❡r❡ r, d ∈ R+ , p ∈ N + ✳ ❚❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ st❡♣s ♦❢ ❙▼❑❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛r❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ✸✳✶✳ ❚❤❡ ❝♦♠✲ ♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ ❙▼❑❋❈▼ ✐s O(n2 dcM ) ♣❡r ✐t❡r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ M ✐s t❤❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r ✉s❡❞✳ ✸✳✸ ❖♣t✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✸✳✶ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ∗ um ij (Kk (xj , xj ) + Kk (xj , vi )) i=1 j=1 j=1 ψ(x) = ω1 ψ1 (x) + ω2 ψ2 (x), , ωM ψM (x)✳ n M j=1 i=1 ✭✸✳✶✮ uij = 1✱ n ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♣❛tt❡r♥s✱ c ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❧✉st❡rs✱ ωk kk (x, y) t♦ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ω1 + ω2 + ωM = ❛♥❞ ❛❢t❡r s♦♠❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ i=1 j=1 c M k=1 n Jm (U, v) = ✭✸✳✻✮ = ψ T (xj )ψ(xj ) − 2ψ(xj )ψ(vi ) + ψ T (vi )ψ(vi ) βj + c T um ij ψk (xj )ψk (xj ) ◆♦✇ ✐t ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ dik ❝♦♥❝❡r♥s t❤❡ j th ❞❛t❛ ❛♥❞ t❤❡ ith ♣r♦t♦t②♣❡ ❛s✿ ❙❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❦❡r♥❡❧ ❋❈▼ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ❚❤❡ ✐❞❡❛ ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s t♦ ✉s❡ t❤❡ r✉❞✐♠❡♥t❛r② ❝❡♥tr♦✐❞s V ∗ t♦ ❛❞❥✉st ❝❡♥tr♦✐❞s ✐♥ t❤❡ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✳ ❆ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❦❡r♥❡❧ ❢✉③③② ❝✲♠❡❛♥s ❝❧✉st❡r✐♥❣ ✭❙▼❑❋❈▼✮ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐s ❡①t❡♥❞❡❞ ❢r♦♠ ❋❈▼ ❜② ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ❞✐❢❢❡r❡♥t ❦❡r♥❡❧s ❛♥❞ s❡♠✐✲ s✉♣❡r✈✐s❡❞ ♠❡t❤♦❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❜❡tt❡r r❡s✉❧ts✳ ❙▼❑❋❈▼ ♠❛♣s t❤❡ ❞❛t❛ ❢r♦♠ t❤❡ ❢❡❛t✉r❡ s♣❛❝❡ ✐♥t♦ ❦❡r♥❡❧ s♣❛❝❡ ❍ ❜② ✉s✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠ ❢✉♥❝t✐♦♥s✿ ψ = {ψ1 , ψ2 , , ψM } ✇❤❡r❡ ψk (xi )T ψk (xj ) = Kk (xi , xj ) ❛♥❞ ψk (xi )T ψk (xj ) = |k = k ❚❤❡ ♣r♦t♦t②♣❡s vi ✐s ❝♦♥str✉❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ s♣❛❝❡✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ❙▼❑❋❈▼ ❛✐♠s t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ ✭✸✳✺✮ c ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ um ij vi ψk (xj ) βj + i=1 ✸✳✶ ✭✸✳✹✮ 1/(m−1) m((ψ(xj )−vi )2 +(vi∗ −vi )2 ) i=1 s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s✐♦♥ 1/(m−1) ❍②❜r✐❞ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❋❈▼ ❛♥❞ P❙❖ ❯s✉❛❧❧②✱ t❤❡ s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❝❧✉st❡r✐♥❣ t❡❝❤♥✐q✉❡ r❡q✉✐r❡s ❧❛r❣❡ ❛♠♦✉♥ts ♦❢ ❧❛✲ ❜❡❧❡❞ ❞❛t❛ ❢♦r tr❛✐♥✐♥❣✳ ■♥ ❝❛s❡s ✇❤❡r❡ ❧❛❜❡❧❡❞ ❞❛t❛ ✐s ❧✐♠✐t❡❞❀ t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢t❡♥ ✉s❡❞ ✐s ❛ s❡♠✐✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ❝❧✉st❡r✐♥❣ ♠❡t❤♦❞✳ ✶✸ ... r❡s✉❧ts ❜② ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♣r♦✈✐❞❡ ❜? ?tt? ??r ❛❝❝✉✲ r❛❝② t❤❛♥ ❉❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✱ ✇❤✐❧❡ ❉❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❤❛s s♠❛❧❧❡r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② t❤❛♥ ■❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠✳ ✲ ❲❤❡♥ ✈❡r② ❧? ?tt? ??❡ ❞❛t❛ ✐s ❧❛❜❡❧❡❞✱ ❙▼❑❋❈▼✱ ❙❋❈▼✲P❙❖✱... ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣? ?tt? ??r♥ xk ❛♥❞ t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ vi ✳ ■♥ t❤❛t✱ t❤❡ ❝❡♥tr♦✐❞ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠♣❧❡s t❤❛t t❤❡ ❞❡♥s✐t② s✉rr♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ s❛♠♣❧❡ ❞❛t❛ ✐s ❧❛r❣❡✳ ❋♦r t❤❡ ❢✐rst st❡♣✱ t❤❡ ♠❡❛♥ ♣? ?tt? ??r♥ x¯j ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞... t♦ t❤❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❢♦r ❜? ?tt? ??r ✶✵ ✭✸✳✶✺✮ s=1 µ∗ik = 1/ ( z=1 xk − vi∗ 2/(m−1) ) xk − vz∗ ✶✺ ✭✸✳✶✻✮ ❆❧❣♦r✐t❤♠ ✸✳✶ ❙▼❑❋❈▼ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ■♥♣✉t✿ ●✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ n ♣? ?tt? ??r♥s X = {x } ✱ ❛ s❡t ♦❢ ❦❡r♥❡❧