luận án tiến sĩ phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình nào khác Nghiên cứu sinh Đặng Văn Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS Ninh Quang Hải và TS Dương Thế Hùng Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Đông Anh, người đã luôn động viên, định hướng và tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện Luận án này Tôi cũng xin cảm ơn GS TS Lê Minh Quý, người rất nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện Luận án Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó Tôi cũng xin bày tỏ sự cảm ơn tới Ban Giám Hiệu - Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên và đặc biệt là tới các đồng nghiệp của tôi ở Khoa Kỹ thuật Ô tô & Máy động lực, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thiện Luận án Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã luôn động viên tôi trong suốt thời gian hoàn thành Luận án Tác giả luận án Đặng Văn Hiếu iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vii DANH MỤC CÁC BẢNG xii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ xiii MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 5 1.1 Giới thiệu về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng 5 1.1.1 Giới thiệu về dao động phi tuyến 5 1.1.2 Một số phương pháp giải tích gần đúng 8 1.1.2.1 Phương pháp nhiễu 8 1.1.2.2 Phương pháp cân bằng điều hòa 8 1.1.2.3 Phương pháp khai triển tham số 9 1.1.2.4 Phương pháp năng lượng 10 1.2 Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến của dầm micro và nano 11 1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương 14 1.3.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương điều chỉnh 15 1.3.2 Tiêu chuẩn cực tiểu sai số thế năng 16 1.3.3 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa từng phần 16 1.3.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương có đuôi 17 1.3.5 Tiêu chuẩn đối ngẫu 17 1.4 Trung bình có trọng số 18 1.5 Tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến trong nước 20 iv 1.6 Định hướng nghiên cứu 21 Kết luận Chương 1 22 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ 23 2.1 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định .23 2.2 Trung bình có trọng số 25 2.2.1 Trung bình cổ điển 25 2.2.2 Trung bình có trọng số 26 2.2.3 Một số tính chất của trung bình có trọng số 28 2.2.3.1 Liên hệ với trung bình cổ điển 28 2.2.3.2 Tính bảo toàn của trung bình có trọng số 28 2.2.3.3 Liên hệ với phép biến đổi Laplace 29 Kết luận Chương 2 31 CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 32 3.1 Dao động phi tuyến Duffing 32 3.1.1 Dao động Duffing bậc 3 35 3.1.2 Dao động Duffing bậc 5 38 3.1.3 Dao động Duffing bậc 7 40 3.1.4 Dao động Duffing bậc cao 44 3.2 Dao động phi tuyến mở rộng 44 3.2.1 Dao động Duffing – điều hòa 47 3.2.4 Dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi 49 3.2.5 Dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ 54 3.3 Dao động phi tuyến với sự không liên tục 56 3.3.1 Trường hợp 1 56 v 3.3.2 Trường hợp 2 58 Kết luận Chương 3 61 CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO 62 4.1 Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi 62 4.1.1 Lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi 62 4.1.2 Phương trình chuyển động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi .63 4.1.3 Phân tích dao động tự do 70 4.1.3 Các kết quả số và thảo luận 72 4.1.3.1 Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu 77 4.1.3.2 Ảnh hưởng của tỉ số độ cứng chống uốn 79 4.1.3.3 Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh 82 4.2 Dao động của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện 87 4.2.1 Lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ 87 4.2.2 Mô hình và phương trình chuyển động 89 4.2.3 Áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương 95 4.2.4 Áp dụng phương pháp biến phân 98 4.2.5 Các kết quả số và thảo luận 99 4.2.5.1 Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ 102 4.2.5.2 Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu 104 4.2.5.3 Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh 105 4.2.5.4 Ảnh hưởng của lực nén dọc trục 107 4.2.5.5 Ảnh hưởng của điện thế tác dụng 108 Kết luận Chương 4 109 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 111 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 113 vi TÀI LIỆU THAM KHẢO 115 vii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT  Góc lệch, tỉ số độ mảnh của dầm micro  Gia tốc góc của con lắc  Vận tốc góc của con lắc  Từ thông  Hệ số; biên độ ban đầu của dầm micro  Hệ số, tham số phi cục bộ không thứ nguyên  Hệ số; tỉ lệ độ mảnh của dầm nano  Hệ số; mô đun trượt  Hệ số; tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ nguyên  Hệ số; hằng số Lamé  Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu không thứ nguyên  , i Các hệ số  Tần số của dao động  NL Tần số phi tuyến L Tần số tuyến tính  ratio  Tỉ số tần số Mật độ khối lượng của dầm micro  (1) Ứng suất cổ điển xx(2) Ứng suất bậc cao t xx Ứng suất xx   Hằng số điện môi của chân không Tỉ số Poisson’s  Toán tử vi phân 2 a Toán tử Hamilton Hằng số E Mô đun đàn hồi Young v viii I Bán kính quán tính w Dịch chuyển ngang của ống nano, dầm micro và nano x Tọa độ dọc trục; dịch chuyển m Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của ống; số mũ dương mf Khối lượng trên một đơn vị chiều dài của chất lỏng trong ống V Vận tốc của chất lỏng; thể tích; điện thế không thứ nguyên P Lực nén dọc trục k Hệ số nền đàn hồi X, x, u Các dịch chuyển X , x , u, Các vận tốc X , x ,u Các gia tốc p Giá trị trọng số; số mũ dương A Biên độ ban đầu; diện tích mặt cắt ngang của dầm A, A Biên độ ban đầu T Chu kỳ của dao động A, B i i , C Các hệ số i s Tham số điều chỉnh a, c, d Các hằng số a , b , C1, C2,  , B i i i i Các hệ số m, n Số mũ dương l Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu Us Năng lượng biến dạng b Hằng số; chiều rộng của dầm micro và nano h Chiều dày của dầm micro và nano kL Tham số Winkler kP Tham số Pasternak ix k NL Tham số nền phi tuyến KL Tham số Winkler không thứ nguyên KP Tham số Pasternak không thứ nguyên KNL Tham số nền phi tuyến không thứ nguyên z Tọa độ theo phương z Ke Động năng của dầm micro và nano Uf Năng lượng do lớp đàn hồi phi tuyến W Công sinh ra bởi ngoại lực ext Nx Lực dọc Mx Mô men uốn Mxy Ứng suất do ứng suất cặp gây ra x, w, ,  Các biến không thứ nguyên r Bán kính quán tính P Lực nén dọc trục không thứ nguyên S Tỉ số độ mảnh e a , ea Các tham số phi cục bộ V0 Điện thế tác dụng P0 Lực nén dọc trục ban đầu g0 Khoảng cách từ các bản tích điện đến dầm nano N xx(1) Lực dọc M xx(1) Mô men uốn N xx( 2) Lực dọc phi cổ điển M xx( 2) Mô men uốn phi cổ điển P Lực nén tới hạn i cr V Điện thế tới hạn cr F(t) Hàm phụ thuộc thời gian Oi (t) Hàm trọng số tăng cơ bản Pi (t) Hàm trọng số giảm cơ bản N(t) x h (t) f X ( x) Hàm trọng số trung lập E (X) Hàm hệ số trọng số ( ) Hàm mật độ xác suất 0 x, x*, e0 a ,  x, x*,e a 1  1  Kỳ vọng toán học hay trung bình q ( x, t) Hàm gamma w( x, t) Các hàm kernel phi cục bộ u ( x, t) Lực phân bố ngang Q (t),q ( t ) Dịch chuyển ngang của dầm micro và nano ( x ) Dịch chuyển dọc trục của dầm micro và nano f ( x, t) Hàm phụ thuộc thời gian, độ võng c w Hàm dạng Lực tĩnh điện σij Trung bình cổ điển εij Trung bình có trọng số mij  ij Phần đối xứng của ten xơ ứng suất Cauchy Ten xơ biến dạng ui Phần lệch của ten xơ ứng suất cặp ωi Ten xơ cong đối xứng MEMS/NEMS HPM EBM Các thành phần của véc tơ dịch chuyển Các thành phần của véc tơ quay Các hệ vi cơ điện tử (Micro-electromechanical systems/ Nano-electromechanical systems) Phương pháp nhiễu đồng luân (the Homotopy Perturbation method) VA Phương pháp cân bằng năng lượng (the Energy Balance method) Phương pháp biến phân (the Variational Approach) 108 thấy rằng khi lực nén dọc trục tăng, tỉ số tần số tăng trong khi tần số phi tuyến lại giảm Với mỗi giá trị cố định của lực nén dọc trục, tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm nano tăng khi biên độ ban đầu tăng, nhưng sau đó lại giảm nếu biên độ ban đầu tiếp tục tăng Đường cong của tần số phi tuyến theo biên độ ban đầu đạt giá trị lớn nhất khi biên độ ban đầu   0.7 4.2.5.5 Ảnh hưởng của điện thế tác dụng Ảnh hưởng của điện thế tác V đến đáp ứng dao động của dầm nano được khảo sát Hình 4.30 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo điện thế tác dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu và các giá trị cố định của các tham số   0.2 ,   0.2 ,   0.2 ,   30 , P  20 Trong khi với một vài giá trị của điện thế tác dụng và các giá trị cố định của các tham số   0.2 ,   0.2 ,   0.2 ,   40 , P  5, Hình 4.31 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo biên độ ban đầu Ta thấy rằng ảnh hưởng của điện thế tác dụng V đến đáp ứng dao động của dầm nano giống với ảnh hưởng của lực nén dọc trục P Tỉ số tần số tăng, trong khi tần số phi tuyến giảm khi điện thế tác dụng giữa các bản cực tăng Và với mỗi giá trị cố định của điện thế tác dụng, cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều tăng khi biên độ ban đầu tăng; tuy nhiên khi tiếp tục tăng biên độ ban đầu, tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano lại giảm Hình 4.30 Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo điện thế tác dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu 109 Hình 4.31 Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của điện thế tác dụng Ta thấy rằng có một sự thay đổi bất thường khá lớn trong độ dốc của các đường cong (từ tăng tới giảm) như trong các Hình 4.22, 4.23, 4.27, 4.29 và 4.31 Dưới tác dụng của lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng giữa các bản cực V, dầm nano sẽ mất ổn định nếu giá trị của hai đại lượng này lớn (vượt qua giá trị tới hạn) Sự mất ổn định xảy ra khi tần số của dầm nano tiến tới không Biên độ ban đầu cũng có ảnh hưởng đến cấu hình ổn định của dầm nano Với các giá trị nhất định của lực nén dọc trục và điện thế tác dụng, dầm nano vẫn ổn định nếu biên độ ban đầu nhỏ; và nó có thể sẽ mất ổn định khi biên độ ban đầu đủ lớn Phân tích ổn định của dầm nano chịu tác động của lực tĩnh điện là một bài toán thú vị, rất cần được nghiên cứu Kết luận Chương 4 Trong Chương 4, Luận án đã áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích bài toán dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (dao động phi tuyến phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử NEMS/MEMS) theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ Phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số đã được áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ của các bài toán này So sánh nghiệm giải tích thu được với nghiệm 110 giải tích sử dụng các phương pháp khác, nghiệm số và nghiệm chính xác đã cho thấy sự chính xác của kết quả thu được Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu, tỉ số độ cứng chống uốn và tỉ số độ mảnh đến đáp ứng dao động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi đã được khảo sát và thảo luận Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ, tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu, tỉ số độ mảnh, lực nén dọc trục và điện thế tác dụng giữa các bản cực đến dao động của dầm nano đã được nghiên cứu Nội dung của Chương 4 đã được công bố trong các tài liệu [T6], [T7], [T8] và [T9] trong “Danh mục công trình liên quan đến Luận án” 111 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Với mục tiêu áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số trong phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến không cản Các kết quả mới thu được bởi Luận án bao gồm:  Phát triển được một phương pháp kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích dao động phi tuyến tiền định không cản của hệ một bậc tự do  Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do và các hệ liên tục (dầm micro và nano) Theo đó, các kết quả chính thu được từ Luận án bao gồm:  Đã làm rõ được những tính chất của trung bình có trọng số, liên hệ của trung bình có trọng số với trung bình cổ điển, liên hệ giữa giá trị trung bình có trọng số với phép biến đổi Laplace và những ưu điểm của trung bình có trọng số so với trung bình cổ điển  Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do như dao động phi tuyến Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ và dao động phi tuyến với sự không liên tục Độ chính xác của nghiệm giải tích thu được đã được kiểm chứng với nghiệm số, nghiệm chính xác (nếu có) và nghiệm giải tích sử dụng các phương pháp khác Kết quả cho thấy phương pháp đề xuất thu được nghiệm chính xác hơn nhiều so với các phương pháp giải tích gần đúng khác chẳng hạn như phương pháp cân bằng năng lượng, phương pháp công thức biên độ - tần số, phương pháp biến phân và phương pháp nhiễu đồng luân Phương pháp đề xuất không chỉ hiệu quả đối với các hệ phi tuyến yếu và còn hiệu quả đối với các hệ phi tuyến mạnh  Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi và dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện Sự 112 chính xác của lời giải thu được đối với hai mô hình này đã được kiểm chứng bằng việc so sánh với lời giải thu được bởi các phương pháp giải tích khác, lời giải số Kết quả cho thấy, kết quả thu được chính xác hơn so với kết quả thu được bởi áp dụng phương pháp biến phân (đối với mô hình dầm micro tựa trên nền đàn hồi), phương pháp cân bằng năng lượng và phương pháp biến phân (đối với mô hình dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện) Bên cạnh đó, ảnh hưởng của các tham số khác nhau của hệ đến đáp ứng dao động của dầm micro và nano đã được khảo sát và thảo luận Hướng nghiên cứu tiếp theo  Điểm đặc biệt của trung bình có trọng số là phụ thuộc vào tham số điều chỉnh s Dựa trên việc khảo sát một loạt các dạng khác nhau của hệ dao động phi tuyến tự do không cản, tham số điều chỉnh s được chọn bằng 2; với giá trị được chọn này của tham số s, kết quả thu được chính xác hơn nhiều so với kết quả thu được bởi các phương pháp giải tích khác Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu cho thấy giá trị tối ưu của tham số s thay đổi theo từng bài toán khác nhau Việc lựa chọn tham số tối ưu cho tham số điều chỉnh s là vấn đề mà Luận án này vẫn chưa thực hiện được và cần những nghiên cứu sâu hơn nữa về liên hệ giữa giá trị trung bình có trọng số và một số chuẩn toán học Đây cũng là hướng nghiên cứu tiếp theo của Luận án  Phát triển phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến không cản nhiều bậc tự do, bài toán dao động phi tuyến cưỡng bức không cản và thậm chí là bài toán dao động phi tuyến có cản 113 DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN [T1] N D Anh, N Q Hai, D V Hieu The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Analyzing of Nonlinear Vibrating Systems Latin American Journal of Solids and Structures, 2017; 14(9):1723-1740 (SCIE Journal, Q2) [T2] D V Hieu, N Q Hai, D T Hung The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Solving Undamped Nonlinear Oscillators Journal of Applied Mathematics, Volume 2018, Article ID 7487851, 15 pages (SCOPUS Journal, Q4) [T3] D V Hieu, N Q Hai Analyzing of Nonlinear Generalized Duffing Oscillators Using the Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging Asian Research Journal of Mathematics, 2018; 9(1):1-14; Article no.ARJOM.40684 [T4] Dang Van Hieu A New Approximate Solution for a Generalized Nonlinear Oscillator International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2019; 5:126 (SCOPUS Journal, Q3) [T5] Van Hieu – Dang An Approximate Solution for a Nonlinear Duffing – Harmonic Oscillator Asian Research Journal of Mathematics, 2019; 15(4):1-14; Article no.ARJOM.52367 [T6] Dang Van Hieu Postbuckling and Free Nonlinear Vibration of Microbeams Based on Nonlinear Elastic Foundation Mathematical Problems in Engineering, Volume 2018, Article ID 1031237, 17 pages (SCIE Journal, Q2) [T7] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, Quang-Hai Ninh Nonlinear vibration of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using the equivalent linearization method with a weighted averaging Archive of Applied Mechanics, 2020; 90, pages 87–106 (SCIE Journal, Q2) [T8] Dang Van Hieu, Ninh Quang Hai Analysis of a nonlinear oscillator arising in the Microelectromechanical system 10th National Conference on Mechanics, Vol 1, pp.126-133, Hanoi (2017) [T9] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, The-Hung Duong Nonlinear vibration of nanobeams under electrostatic force based on the nonlocal 114 strain gradient theory International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16:289–308 (SCIE Journal, Q1) 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T K Caughey, Equivalent linearization technique, The Journal of the Acoustical Society of America, 1963; 35, 1706–1711 [2] N D Anh, Dual approach to averaged values of functions: A form for weighting coefcient, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2015, 37(2), 145–150 [3] M Rasekh and S E Khadem, Nonlinear vibration and stability analysis of axially loaded embedded carbon nanotubes conveying fluid, Journal of Physics D: Applied Physics, 2009, 42: 135112 (8pp) [4] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, Nhập môn Động lực học phi tuyến và chuyển động hỗn độn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2016 [6] N N Bogoliubov and Yu A Mitropolsky, Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations, Gordon and Breach, London, 1985 [7] A H Nayfeh and D T Mook, Nonlinear Oscillations, Wiley Classics Library, 1995 [8] N Krylov, N Bogoliubov, Introduction to nonlinear mechanics, New York: Princenton University Press, 1943 [9] N Minorsky, Introduction to Non-Linear Mechanics Part II:Analytical Methods of Nonlinear-Mechanics, The David W Taylor Model Basin, United States Navy, 1945 [10] J H He, Some new approaches to duffing equation with strongly and high order nonlinearity (ii) parametrized perturbation technique, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1999, 4(1):81–83 [11] J H He, The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities, Applied Mathematics and Computation, 2004, 151, 287–292, 116 [12] J H He, Iteration perturbation method for strongly nonlinear oscillations, Journal of Vibration and Control, 2001, 7(5), 631 [13] A Beléndez, C Pascual, S Gallego, M Ortufio, C Neipp, Application of a modified He’s homotopy perturbation method to obtain higher-order approximations of 1/3 an x force nonlinear oscillator, Physica Letters A, 2007, 371, 421–426 [14] R E Mickens, A generalization method of harmonic-balance, Journal of Sound and Vibration, 1986, 111, 515–518 [15] R E Mickens and D Semwogerere, Fourier analysis of a rational harmonic balance approximation for periodic solutions, Journal of Sound and Vibration, 1996, 195, 528–530 [16] R E Mickens, Oscillations in an x Vibration, 2001, 246(2), 375–378 4/3 potential, Journal of Sound and [17] R E Mickens, Analysis of non-linear oscillators having non-polynomial elastic terms, Journal of Sound and Vibration, 2002, 255(4), 789–792 [18] R E Mickens, Iteration method solutions for conservative and limit-cycle x force oscillators, Journal of Sound and Vibration, 2006, 292, 964–968 [19] R E 1/3 Mickens, Harmonic balance and iteration calculations of periodic 0 , solutions to y  y 1  Journal of Sound and Vibration, 2007, 306, 968–972 [20] H Hu, J H Tang, Solution of a duffing-harmonic oscillator by the method of harmonic balance, Journal of Sound and Vibration, 2006, 294 (3), 637–639 [21] Md A Razzak, A simple harmonic balance method for solving strongly nonlinear oscillators, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 2016, 21, 68-76 [22] A Beléndez, A Hernández, T Beléndez, M L Álvarez, S Gallego, M Ortuño, C.Neipp, Application of the harmonic balance method to a nonlinear oscillator typified by a mass attached to a stretched wire, Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(4–5), 1018-1029 [23] A Beléndez, E Gimeno, M L Álvarez , M S Yebra & D I Méndez, Analytical approximate solutions for conservative nonlinear oscillators by modified rational 117 harmonic balance method, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 87(7), 1497–1511 [24] W S Stupnicka, The generalized harmonic balance method for determining the combination resonance in the parametric dynamic systems, Journal of Sound and Vibration, 1978, 58(3), 347-361 [25] Md A Hosen , M S H Chowdhury, G M Ismail & A Yildirim, A modified harmonic balance method to obtain higher-order approximations to strongly nonlinear oscillators, Journal of Interdisciplinary Mathematics, 2020, https://doi.org/10.1080/09720502.2020.1745385 [26] B S Wu, W P Sun, C W Lim, Analytical approximations to the double-well Duffing oscillator in large amplitude oscillations, Journal of Sound and Vibration, 2007, 307, 953–960 [27] J H He, Bookkeeping parameter in perturbation methods, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2, 257–264 [28] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part I: expansion of a constant, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 309-314 [29] J H He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part II: a new transformation, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 315–320 [30] J H He, Modified Lindsted-Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations, Part III: double series expansion, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2(4), 317-320 [31] T Ozis, A Yildirm, Determination of periodic solution for a u 1/3 force by He’s modified Lindstedt–Poincare method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 301,415–419 [32] J H He, Preliminary report on the energy balance for nonlinear oscillations, Mechanics Research Communications, 2002, 29(2-3), 107–111 118 [33] J H He, Variational approach for nonlinear oscillators, Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 34(5), 1430–1439 [34] J H He, Hamiltonian approach to nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2010, 374(23), 2312–2314 [35] D Younesian, H Askari, Z Saadatnia, M K Yazdi, Frequency analysis of strongly nonlinear generalized Duffing oscillators using He's frequency-amplitude formulation and He's energy balance method, Computers and Mathematics with Applications, 2010, 59, 3222-3228 [36] M Momeni, N Jamshidi, A Barari & D D Ganji, Application of He's energy balance method to Duffing-harmonic oscillators, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 88(1), 135-144 [37] Z Saadatnia, N Safaie, M A Ahmadpour and H Askari, Higher-order energy balance method for a serious of nonlinear oscillatory systems, Asian-European Journal of Mathematics, 2013, 6(4), 1350054 [38] D H Shou, Variational approach for nonlinear oscillators with discontinuities, Computers & Mathematics with Applications, 58(11-12):2416–2419, 2009 [39] A Yildirim, Z Saadatnia, and H Askari Application of the hamiltonian approach to nonlinear oscillators with rational and irrational elastic terms, Mathematical and Computer Modelling, 2011 [40] A Yildirim, Z Saadatnia, H Askari, Y Khan, and M K Yazdi, Higher order approximate periodic solutions for nonlinear oscillators with the hamiltonian approach, Applied Mathematics Letters, 2011 [41] L Cveticanin, Vibrations of a coupled two-degree-of-freedom system, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247(2), 279– 292 [42] L Cveticanin, The motion of a two-mass system with non-linear connection, Journal of Sound and Vibration, 2002,252(2), 361–369 [43] M Bayat, I Pakar, G Domairry, Recent developments of some asymptotic methods and their applications for nonlinear vibration equations in engineering 119 problems: A review, Latin American Journal of Solids and Structures, 2012, 9, 145234 [44] S A Emam, Ali H Nayfeh, Postbuckling and free vibrations of composite beams, Composite Structures, 2009, 88, 636–642 [45] A Fallah, M M Aghdam, Nonlinear free vibration and post-buckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583 [46] A Fallah, M M Aghdam, Thermo-mechanical buckling and nonlinear free vibration analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, Composites: Part B, 2012, 43, 1523–1530 [47] M Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Compos Struct., 2010; 92(10), 2532– 2546 [48] J B Gunda, R K Gupta, G R Janardhan, G V Rao, Large amplitude vibration analysis of composite beams: simple closed-form solutions, Compos Struct., 2010, 93, 870-879 [49] L Azrar, R Benamar, R G White, Semi-analytical approach to the non-linear dynamic response problem of S–S and C–C beams at large vibration amplitudes part i: general theory and application to the single mode approach to free and forced vibration analysis, Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2), 183–207 [50] H M Sedighi, A Reza, The effect of quintic nonlinearity on the investigation of transversely vibrating bulked Euler Bernoulli beams, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 51(4), 959-968 [51] N A Fleck, G M Muller, M F Ashby, J W Hutchinson, Strain gradient plasticity: theory and experiment, Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42(2), 475– 487 [52] J S Stolken, A G Evans, A microbend test method for measuring the plasticity length scale, Acta Materialia, 1998, 46(14), 5109–5115 120 [53] A C M Chong, F Yang, D C C Lam, P Tong, Torsion and bending of micron-scaled structures, Journal of Materials Research, 2001, 16(04), 1052–1058 [54] R A Toupin, Elastic materials with couple stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11 (1), 385-414 [55] R D Mindlin, H F Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1), 415-448 [56] R D Mindlin, Influence of couple-stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 1963, 3(1), 1–7 [57] W T Koiter, Couple-stresses in the theory of elasticity: I and II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 1964, 67, 17-44 [58] R D Mindlin, Micro-structure in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, 16, 51-78 [59] A C Eringen, D G B Edelen, On nonlocal elasticity, International Journal of Engineering Science, 1972, 10(3), 233-248 [60] A C Eringen, On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves, Journal of Applied Physics, 1983, 54, 47034710 [61] F Yang, A C M Chong, D C C Lam, P Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(10), 2731-2743 [62] R D Mindlin, Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures, 1965, 1, 417-438 [63] E C Aifantis, On the role of gradients in the localization of deformation and fracture, International Journal of Engineering Science, 1992, 30, 1279–1299 [64] C W Lim, G Zhang, & J N Reddy, A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, 78, 298–313 121 [65] M Şimşek, Nonlinear static and free vibration analysis of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using modified couple stress theory and He’s variational method, Composite Structures, 2014, 112(1), 264–272 [66] M Şimşek and J N Reddy, Bending and vibration of functionally graded microbeams using a new higher order beam theory and the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 2013, 64, 37–53 [67] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory, Journal of the Mechanics and Physics of Solids; 2008, 56, 3379–3391 [68] S Kong, S Zhou, Z Nie, K Wang, The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams, International Journal of Engineering Science, 2008, 46, 427–437 [69] H M Ma, X L Gao, J N Reddy, A nonclassical Reddy–Levinson beam model based on a modified couple stress theory, International Journal for Multiscale Computational Engineering; 2010, 8, 167–180 [70] B Wang, J Zhao, S Zhou, A micro scale Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, European Journal of Mechanics - A/Solids; 2010, 29, 591-599 [71] B Akgöz, Ö Civalek, Analysis of micro-sized beams for various boundary conditions based on the strain gradient elasticity theory, Archive of Applied Mechanics; 2012, 82, 423–443 [72] B Akgöz, Ö Civalek, A size-dependent shear deformation beam model based on the strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science; 2013, 70, 1–14 [73] J A Ruiz, J Loya, and J F Sáez, Bending vibrations of rotating nonuniform nanocantilevers using the Eringen nonlocal elasticity theory, Composite Structures, 2012, 4(9), 2990–3001 122 [74] M Şimşek, Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel Hamiltonian approach, International Journal of Engineering Science, 2016, 105, 12–27 [75] L Li, Y Hu Nonlinear bending and free vibration analyses of nonlocal strain gradient beams made of functionally graded material International Journal of Engineering Science, 2016, 107, 77–97 [76] L Lu, X Guo, J Zhao, Size-dependent vibration analysis of nanobeams based on the nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2017, 116, 12–24 [77] R C Batra, M Porfiri and D Spinello, Review of modeling electrostatically actuated microelectromechanical systems, Smart Materials and Structures, 2007, 16(6) [78] Y Fu, J Zhang, L Wan, Application of the energy balance method to a nonlinear oscillator arising in the microelectromechanical system (MEMS), Current Applied Physics, 2011, 11, 482-485 [79] Y H Qian, D X Ren, S K Lai, S M Chen, Analytical approximations to nonlinear vibration of an electrostatically actuated microbeam, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17, 1947–1955 [80] S Sadeghzadeh and A Kabiri, Application of Higher Order Hamiltonian Approach to the Nonlinear Vibration of Micro Electro Mechanical Systems, Latin American Journal of Solids and Structures, 2016, 13, 478-497 [81] A C J Luo, F Y Wang, Chaotic motion in a Micro-Electro-Mechanical System with nonlinearity from capacitors, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2002, 7, 31–49 [82] M I Younis, E M Abdel-Rahman, A Nayfeh, A reduced-order model for electrically actuated microbeam-based MEMS, Journal of Microelectromechanical Systems, 2003, 12(5), 672–680 ... trị trung bình có trọng số bước đầu cho thấy xác kết thu hệ dao động phi tuyến Duffing bậc [2] Chính điều này, Luận án lựa chọn đề tài ? ?Phân tích dao động phi tuyến cách tiếp cận trung bình có trọng. .. như: dao động phi tuyến Duffing, dao động Duffing điều hòa, dao động phi tuyến mở rộng, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ, dao động phi tuyến với không liên tục, dao động dầm micro nano Kết luận. .. pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình có trọng số áp dụng để phân tích số hệ dao động phi tuyến bậc tự không cản, chẳng hạn như: Dao động phi tuyến Duffing, dao động phi tuyến mở rộng, dao