Hình thức luận vierbein trong không thời gian nhiều chiều và thống nhất tương tác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TRƯƠNG TÍN THÀNH HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN TRONG KHÔNG THỜI GIAN NHIỀU CHIỀU VÀ THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Cần Thơ - 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TRƯƠNG TÍN THÀNH HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN TRONG KHÔNG THỜI GIAN NHIỀU CHIỀU VÀ THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: GS.TS ĐÀO VỌNG ĐỨC Cần Thơ - 2009 LỜI CẢM TẠ Kính xin gởi lời cảm ơn trân trọng tơi đến thầy GS.TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành tốt luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS NGUYỄN MỘNG GIAO, thầy TS NGUYỄN NGUYÊN HY nhiệt tình đóng góp giúp đỡ tơi hồn thiện luận văn Xin chân thành cảm ơn quý thầy tận tình giảng dạy giúp tơi hồn thành tốt chương trình đào tạo Đồng thời, tơi xin cảm ơn trường Đại Học An Giang, phòng Quản Lý Đào Tạo sau đại học, Khoa khoa học trường Đại Học Cần Thơ tạo điều kiện thuận lợi tổ chức đào tạo thuận lợi cho tơi hồn thành tốt khóa học MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU………………………………………………………………………… NỘI DUNG Chương 1: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG 1.1 NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN………………………………………… 1.2 ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN……………………………………………….5 1.3 TENSOR ĐỘ CONG………………………………………………… 1.4 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN……………………………………… Chương 2: THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC TRONG KHÔNG THỜI GIAN NHIỀU CHIỀU 2.1 MƠ HÌNH KALUZA – KLEIN…………………………………… 14 2.2 TỔNG QUÁT HÓA CO GỌN KALUZA – KLEIN……………… 19 2.3 LAGRANGIAN HIỆU DỤNG ………………………………… 24 2.4 LÝ THUYẾT DÂY BOSON VỚI D=26…………………………… 26 2.5 LÝ THUYẾT SIÊU DÂY VỚI D=10…………………………… …29 Chương 3: HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN 3.1 VIERBEIN VÀ METRIC……………………………………………37 3.2 TRƯỜNG SPINOR TRONG KHÔNG THỜI GIAN CONG…… 40 3.3 HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN CỦA KHƠNG THỜI GIAN CHIỀU……………………………………………………………44 3.4 CÁC VIERBEIN CỦA LÝ THUYẾT KHÔNG THỜI GIAN CHIỀU KALUZA – KLEIN….…………………………………53 KẾT LUẬN……………………………………………………………………… 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………… 57 MỞ ĐẦU Một sở lý thuyết nhằm thống tương tác bản: tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác điện từ tương tác hấp dẫn điều mà nhà Vật lý lý thuyết thập niên gần nghiên cứu.Trên sở thuyết tương đối rộng nhiều hướng nghiên cứu triển khai nhằm mở rộng nguyên lý bất biến để bao trùm tương tác khác ngồi tương tác hấp dẫn Mơ hình lý thuyết Kaluza – Klein có cố gắng việc thống tương tác hấp dẫn với tương tác điện từ Ngày lý thuyết dây xem phương hướng nhiều triển vọng thống tương tác Nền tảng Lý thuyết Dây Lý thuyết trường lượng tử mô tả Động lực học Dây Lý thuyết Dây phát triển thành Lý thuyết M Người ta chứng tỏ Lý thuyết M cho lý thuyết siêu hấp dẫn vùng lượng thấp Trên sở lý thuyết dây Boson với số chiều không thời gian D = 26 lý thuyết siêu dây với D = 10, với việc đưa hình thức luận Vierbein, cách tính tốn Vierbein chiều thơng qua tensor metric luận văn tìm cáchh xác định Vierbein sở phương pháp cho việc tìm Vierbein cách xác định khác Bằng cách chọn điều kiện phù hợp việc đưa tham số trung gian hij với mục đích tính Vierbein qua tham số làm cho lời giải trở nên đơn giản hơn, Vierbein thu gọn mặt biểu thức dễ nhớ kết Trong việc vận dụng hình thức luận Vierbein lý thuyết không thời gian chiều Kaluza – Klein Veirbein thành phần tọa độ thứ phụ thuộc vào Aμ φ , điều hợp lý để khơng có mặt trường điện từ ta thu thành phần Veirbein chiều Chương 1: BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG 1.1 NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN: Nguyên lý bất biến tổng quát khẳng định trình vật lý diễn hệ quy chiếu, hệ vật lý (thể phương trình) phải bất biến phép biến đổi tổng quát x μ → x ,μ = f μ ( x ) μ = 0,1,2,3 (1.1) Phép biến đổi Lorentz: x ,μ = ∧ μv x v + a μ trường hợp đặc biệt (1.1) Đại lượng φ ( x ) gọi vô hướng bất biến với phép biến đổi (1.1) ( ) φ ( x ) → φ, x , = φ ( x ) (1.2) Fμ ( x ) gọi contravariant vector biến đổi theo quy luật: ∂x ,μ v F (x) = v F (x) ∂x ,μ (1.3) Contravariant tensor cấp n đại lượng biến đổi theo quy luật: F,μ1μ2 μn = ∂x ,μ1 ∂x ,μn v1v2 F ∂x v1 ∂x (1.4) G μ ( x ) gọi covaritant vector biến đổi theo quy luật: ∂x v G ( x ) = , Gv ( x ) ∂x μ , μ (1.5) Covariant tensor cấp n đại lượng biến đổi theo quy luật: G μ, 1μ2 μn = ∂x v1 ∂x G v v ∂x μ, ∂x μ, n n (1.6) Tổng quát tensor hỗn hợp contravariant cấp m convariant cấp n đại lượng biến đổi theo quy luật: ,μ1 μ m v1 v n T ∂x ,μ1 ∂x ,μm ∂x σ1 ∂x σn λ1 λm = λ1 λm Tσ σ ∂x ∂x ∂x ,v1 ∂x ,vn n Kết hợp với hệ thức: (1.7) ∂x λ ∂x ,μ ∂x ,λ ∂x μ λ = δ = δλσ σ ,μ σ ,σ μ ∂x ∂x ∂x ∂x Suy ra: λ1 λ m σ1 σn T ∂x λ1 ∂x λm ∂x ,v1 ∂x ,vn ,μ1 μm = ,μ1 ,μm ,σ1 ,σn Tv1 ∂x ∂x ∂x ∂x (1.8) .μ m v1 v n Và tích Tvμ11 v Sμ1 μm đại lượng bất biến n Thật vậy: ,μ1 μm v1 T S ,v1 μ1 μm ∂x ,μ1 ∂x ,μm ∂xσ ∂xσ n λ1 λm = λ1 λm Tσ σ ∂x ∂x ∂x ,v1 ∂x ,vn n ∂x ,v1 ∂x ,vn ∂xτ ∂xτ m ρ1 ρm Sτ τ ∂x ρ1 ∂x ρn ∂x ,μ1 ∂x ,μm m δ λτ11 λλτmm δ ρσ11 δ ρσ nn Tσλ11 σλnm ( x ) Sτρ11 τρmn λ λ ρ ρ = Tσ11 σ nm Sτ11 τ mn Khoảng (Interval) đại lượng bất biến dạng: dS = g μv ( x ) dx μ dx v (1.9) ( ) Với g μ x ( x ) covariant tensor cấp 2, đối xứng g μ v ( x ) = g vμ ( x ) , gọi tensor metric biến đổi theo quy luật: ∂x λ ∂xσ g μv ( x ) = ,μ ,v g λσ ( x ) ∂x ∂x , Bên cạnh g μ x ( x ) người ta dùng g (1.10) vσ ( x ) gọi tensor metric định nghĩa theo hệ thức: g μ x ( x ) g vσ ( x ) = δ μσ (1.11) Đặc biệt g μ x ( x ) = η μv =diag(1,-1,-1,-1) ta có khơng thời gian phẳng Minkowski Trong trường hợp tổng quát metric phụ thuộc vào x, g μ x ( x ) khơng – thời gian gọi khơng – thời gian cong Riemann 1.2 ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN Giả sử ta có vectơ F μ ( x ) Gμ ( x ) Đạo hàm chúng ∂ v F μ ( x ) , ∂ v Gμ ( x ) tensor tức không đổi theo quy luật (1.7), để có tensor biến đổi ta phải lập đạo hàm hiệp biến Đạo hàm hiệp biến contravariant vector F μ ( x ) định nghĩa: ∇ v F μ ( x ) = ∂ v F μ ( x ) + Γ vμσ F σ ( x ) (1.12) Γ vμσ gọi liên kết affine ký hiệu Christoffel Đấy khơng phải Trong tensor mà phải biến đổi cho: ∇ F , v ,μ ∂x λ ∂x ,μ x = ,v σ ∇ λ F σ ( x ) ∂x ∂x ( ) , (1.13) Để thõa mãn (1.13) ta trực tiếp thấy rằng: Γ ,μ vσ ∂x ,μ ∂xα ∂x β ρ ∂xα ∂x β ∂ x ,μ = ρ ,v ,σ Γ αβ ( x ) − ,v ,σ α β ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (1.14) Người ta tính được: Γ vμσ = g μλ ( ∂ v g λσ + ∂σ g λv − ∂ λ g vσ ) Từ (1.15) ta thấy (1.15) Γ vμσ có tính đối xứng: Γ vμσ = Γ σμv Đạo hàm hiệp biến contravariant tensor cấp m đại lượng biến đổi theo quy luật: ∇ v F μ1 μm ( x ) = ∂ v F μ1μ2 μm ( x ) + Γ vμσ1 F σμ2 μm ( x ) + + Γ vμσm F μ1 μm−1σ ( x ) (1.16) Tương tự ta định nghĩa đạo hàm hàm hiệp biến covariant vector sau: ∇ v Gμ ( x ) = ∂ v G μ ( x ) − Γ vσμ Gσ ( x ) (1.17) Và đạo hàm hiệp biến covariant tensor cấp n đại lượng biến đổi theo quy luật: ∇ v Gμ1 μn ( x ) = ∂ v Gμ1 μn ( x ) − Γ vσμ Gσμ2 μn ( x ) − −Γ vσμn Gμ1 μ n −σ ( (1.18) x) Tổng quát đạo hàm hiệp biến tensor hỗn hợp có dạng: μ1 μ μm ∇ vTλμ11 λμn m ( x ) = ∂ vTλμ11 λμn m ( x ) + Γ vμσ1Tλσμ + + Γ vμσm Tλ1 λn m−1 λn −Γ vσλ1Tσλμ12 μλmn ( x ) − − Γ vσλn Tλμ11 λμmσ ( x ) σ (1.19) n −1 1.3 TENSOR ĐỘ CONG Khác với đạo hàm thường, đạo hàm hiệp biến khơng giao hốn với Xét giao hoán tử đạo hàm hiệp biến tác dụng lên covariant vector ⎢⎣∇ μ , ∇ v ⎥⎦ Gλ ( x ) = ∇ μ ∇ v Gλ ( x ) − ∇ v ∇ μ Gλ ( x ) (1.19) Từ (1.17) ta có: ∇ μ ∇ v Gλ = ∂ μ ( ∇ν Gλ ) − Γσμν ( ∇σ Gλ ) − Γσμλ ( ∇ν ∇σ ) ( σ ) σ ( ρ ) σ ( ρ = ∂ μ ∂ν G λ −Γνλ Gσ − Γ μν ∂σ Gλ − Γσλ Gρ − Γ μλ ∂ν Gσ − Γνσ Gρ = ) σ σ ρ ∂ μ ∂ν ∂ λ − ∂ μ Γνσ Gσ − Γνλ ∂ μ Gσ − Γσμν ∂σ Gλ + Γσμν Γσλ Gρ − Γσμλ ∂ν Gσ ρ +Γσμλ Γνσ Gρ Tương tự ta được: ρ ∇ν ∇ μ Gλ = ∂ν ∂ μ Gλ − ∂ν Γσμλ Gσ − Γσμλ ∂ν Gσ − Γνμ ∂σ Gλ ρ ρ σ σ +Γνμ Γσλ ∂ μ Gσ + Γνμ Γσμσ Gρ Gρ − Γνλ Từ suy ra: σ ⎡⎣∇ μ , ∇ν ⎤⎦ Gλ ( x ) = ( ∂ν Γσμλ − ∂ μ Γνλ ) Gσ + ( Γσμλ Γνσρ − Γνλσ Γ μσρ ) Gρ Hoặc viết dạng: ⎢⎣∇ μ , ∇ v ⎥⎦ Gλ ( x ) = R•σλνμ Gσ ( x ) (1.20) Trong đó: σ ρ σ ρ σ R•σλνμ = ∂ν Γσμλ − ∂ μ Γνλ + Γ μλ Γνρ − Γνλ Γ μρ (1.21) gọi tensor độ cong Riemann Từ (1.21) ta thấy: R•σλνμ = − R•σλμν (1.22) R•σλνμ + R•σμλν + R•σνμλ = (1.23) Nếu dùng: Rρλνμ = g ρσ R•σλνμ (1.24) ta có hệ thức sau: Rρλνμ = − Rρλμν (1.25) Rρλνμ = − Rλρνμ (1.26) Rρλνμ = Rνμρλ (1.27) Hệ thức (1.25) suy trực tiếp từ (1.22) (1.24), cịn (1.26) (1.27) chứng minh sau: Theo nguyên lý tương đương lý thuyết tương đối tồng quát điểm không gian tồn hệ quy chiếu qn tính định xứ, làm biến hiệu ứng hấp dẫn, ∂ λ g μν = , theo (1.15) α (1.17) suy : Γ μν = , ∇ μ = ∂ μ Tại hệ quy chiếu ta có: σ Rρλνμ ≡ g ρσ R•σλνμ = g ρσ ( ∂ν Γσμλ − ∂ μ Γνλ ) = ( ∂ν ∂ λ g ρμ − ∂ν ∂ ρ gλμ − ∂ μ ∂ λ g ρν + ∂ μ ∂ ρ gλν ) suy ra: Rρλνμ + Rλρνμ = (1.28) Rρλνμ − Rνμρλ = (1.29) ∇ aψ ( x ) → ∇ 'a ψ ' ( x ) = ∧ ba ( x ) Sαβ ( ∧ ( x ) ) ∇ bψ β ( x ) (3.31) Thật vậy, để thỏa mãn điều đó, ta đặt: ∇ μψ ( x ) ≡ ∂ μψ ( x ) + Cμ ( x )ψ ( x ) (3.32) Định nghĩa: ψ ( x) ≡ψ + ( x)γ (3.33) γ ≡ γ ( a =0) ma trận Dirac thông thường, định nghĩa đạo hàm hiệp biến khái quát là: ∇ μψ ( x ) ≡ ∇ μψ ( x ) ≡ ∂ μψ ( x ) +ψ ( x ) Cμ ( x ) (3.34) Cμ = γ 0Cμ+γ (3.35) đó: Tính Cμ Ta có: + 1 C + = φμλρ ( γ λ ( x ) γ ρ ( x ) ) = φμλρ γ ρ + ( x ) γ λ + ( x ) 4 Do: γ ρ + ( x ) = ν (ρa ) ( x ) γ a + nên: γ 0γ ρ + ( x ) γ = ν aρ ( x ) γ a = γ ρ ( x ) Từ ta suy ra: 1 Cμ = φμλρ γ ρ ( x ) γ λ ( x ) = − φμρλ γ ρ ( x ) γ λ ( x ) 4 tức là: Cμ ( x ) = −Cμ ( x ) (3.36) Như định nghĩa (3.34) trở thành: ∂ μψ ( x ) = ∂ μψ ( x ) −ψ ( x ) Cμ ( x ) (3.37) Từ kết ta suy Lagrangian trường spinor bất biến phép biến đổi tọa độ tổng quát phép biến đổi Vierbein chọn là: L( ψ) = i (ψγ μ ( x ) ∇ μψ − ∇ μψγ μ ( x )ψ ) − mψψ với tác dụng tương ứng là: 43 (3.38) S (ψ ) = ∫ d x − g L(ψ ) (3.39) ⎡i ⎤ = ∫ d x − g ⎢ (ψγ μ ( x ) ∇ μψ − ∇ μψγ μ ( x )ψ ) − mψψ ⎥ ⎣2 ⎦ Lagrangian (3.38) dẫn đến phương trình: ( iγ ( x ) ∇ μ μ − m )ψ ( x ) ≡ ( iγ μ ( x ) ∂ μ − m + iγ μ ( x ) Cμ )ψ ( x ) = (3.40) Phương trình liên hợp hermitic với phương trình (3.40) là: ( i∇ ψγ ( x ) + mψ ( x ) ) ≡ ( i∂ ψ ( x ) γ ( x ) + mψ ( x ) − iψ ( x ) C γ ( x ) ) = μ μ μ μ μ μ (3.41) 3.3 HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN CỦA KHƠNG THỜI GIAN CHIỀU: 3.3.1 Các Vierbein Nếu đa tạp ta thực biến đổi nhỏ Δ x μ , khơng gian tiếp tuyến tương ứng với biến đổi tọa độ: ζ ( a ) = vμ( a ) Δ x μ (a) (a) Ma trận vμ liên hệ trực tiếp không gian: vμ ∂ζ ( ) = ∂x μ a (3.42) gọi Vierbein, a gọi số Vierbein, tương ứng lấy giá trị 0, 1, 2, μ Và từ ta ký hiệu chữ la tinh thường a,b, … số Vierbein, chữ Hy Lạp α, β, μ, v… số không thời gian chiều Ngược lại biến đổi (3.42) là: μ v( a ) ∂x μ = a ∂ζ ( ) (3.43) Từ (3.42) (3.43) ta suy ra: v(μa )vμ( ) = ∂x μ ∂ζ ( ) = δ ab μ (a) ∂x ∂ζ (3.44) v(μa )vv( ) = ∂x μ ∂ζ ( ) = δ vμ ( a ) ∂x v ∂ζ (3.45) b a b Ngoài Vierbein v(μa ) , vv( a a) ta đưa vào Vierbein v( nghĩa sau: 44 a )μ , v( b )μ định vμ( ) = η ab b (3.46) v(μa ) v( b )μ = ηab (3.47) v( a )μ Với η ab metric phẳng Minkowski thõa mãn diag (η ab ) = ( 1, −1, −1, −1,) 3.3.2 Biến đổi qua lại Vierbien Nhân vế (3.46) với v(μc ) ta có: v( a )μ vμ( ) v(μc ) = η ab v(μc ) →v →v b ( a )μ ( a )μ δ cb = η ab v(μc ) = η ab v(μb ) (3.48) Như việc hạ bậc số Vierbein thực thông qua metric Minkowski η ab Nhân vế (3.466) với ηbc , ta có: Mà v aμ vcμ = δ ca (b) → vcμ = ηbc vμ (3.49) Như số Vierbien đưa lên metric ηbc 3.3 Liên hệ Veirbein ten xơ metric Do veirbein thõa mãn (3.42) nên ta có: g μv = η ab v(b )μ v( a )v = η ab v ( μ) vv( a b) (3.50) g μv = v(aμ ) v( a )v (3.51) Từ (3.50) ta xác định Veirbein qua tenxơ metric g μ v (a) Ta biết rằng, vμ xác định hệ sở không gian tiếp tuyến, mặt khác ta chọn tùy ý sở cho không gian tiếp tuyến tương ứng với không (a) gian vật lý Vậy xác định cách vμ qua g μ v Vì để xác định Vierbein cần có cách xác định 45 (b) Trước hết, ta gọi (v) ma trận với phần tử hàng cột v vv , (η ) phần tử hàng a cột b η ab , (g) ma trận có phần tử hàng µ cột v g μ v Ta có phương trình ma trận (3.3.9) là: ( g ) = ( v ) (η ) ( v ) T (*) Từ phương trình (*) ta suy ra: ( ) g03 ⎤ ⎡ v0 ⎢ g13 ⎥⎥ ⎢ v1( ) =⎢ g 23 ⎥ ⎢ v2(0 ) ⎥ g 33 ⎦ ⎢ v(0 ) ⎣ det ( g ) = − det ( v ) ⇔ g = −v ⎡ g00 ⎢g ⎢ 10 ⎢ g 20 ⎢ ⎣ g 30 g01 g11 g 21 g 31 g02 g12 g 22 g 32 v0( ) v0( 2) v1( ) v1( 2) v2( ) v2( v3( ) v3( 1 2) 2) (0 ) ⎤ ⎢⎢ v0 ⎥ ⎢ v(1) −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢v( 2) −1 ⎥ ⎢ −1⎦ v( 3) ⎣ v0( ) ⎤ ⎡ ⎥ v1( ) ⎥ ⎢ ⎢ ( 3) ⎥ ⎢ v2 ⎥ ⎢ ⎥ v3( ) ⎦ ⎣ v1( 0) v2( ) v1( ) v2( ) v1( 2) v2( v1( 3) v2( ) v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎦ 0 2) Vế phải phương trình ma trận có dạng ⎢ ⎢ ⎢ VP = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ v0( 0) −v0( ) −v0( 2) v1( 0) −v1( ) −v1( 2) v2( ) −v2( ) −v2( v3( −v3( ) −v3( 1 0) −v0( ) ⎥ ⎢ v0( ) ⎥ ⎢ −v1( ) ⎥ ⎢ v0( ) ( 3) ⎥ ⎢ ( ) −v2 ⎥ ⎢ v0 ⎥ ⎢ −v3( ) ⎦ ⎣ v0( ) 2) 2) v1( 0) v2( ) v1( ) v2( ) v1( 2) v2( v1( 3) v2( ) 2) v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎦ Cho VT = VP ta rút được: ( ) − ∑ ( v ) ; g = ( v ) − ∑ ( v ) ;g = ( v ) − ∑ ( v ) ; g = ( v ) − ∑ ( v( ) ) (0 ) g00 = v0 ( 1) i =1 2 (0 ) 11 (i ) i =1 ( ) ) ( v( ) ) − ∑ ( v( ) ) ( v( ) ) ;g g01 = g10 = v0( 0 ( )( ) g03 = g 30 = v0( 0) i =1 i i g13 = g 31 = v1 (0 ) 22 2 ( )( ) i =1 i (0 ) 3 i =1 (i ) 46 ( )( ) 0) i (i ) (0 ) 33 3 i =1 i =1 i i ( )( ) v2( ) − ∑ v1( ) v2( ) i =1 i i ( ) ( v ) − ∑ ( v( ) ) ( v( ) ) (0 ) 23 ( ) ) ( v( ) ) − ∑ ( v( ) ) ( v( ) ) = g 20 = v0( 02 (i ) i =1 v3( ) − ∑ v0( ) v3( ) ;g12 = g 21 = v1( ( ) ( v ) − ∑ ( v ) ( v ) ;g (0 ) = g 32 = v2 (0 ) 3 i =1 i i i ( ) ( v ) − ∑ ( v( ) ) ( v( ) ) (0 ) (0 ) Hay tổng quát: g μ v = vμ v i i μ i =1 v Ta thấy việc xác định Veirbein ngược lại từ g μ v qua (3.50) không dễ dàng ta có nhiều dạng v (a) thõa mãn (3.50) Để đơn giản ta chọn μ v0( ) = i (3.52) Khi ( ) ; g = ( v( ) ) ( v( ) ) ; g = ( v( ) ) ( v( ) ) ; g = ( v( ) ) ( v( ) ) g00 = v0( 0) (0 ) Suy v0 = 0 01 02 0 03 0 g01 g02 g03 0 ;v2( ) = ;v3( ) = − g00 − g00 − g00 − g00 ;v1( ) = Thay giá trị vừa tính vừa vào biểu thức g11, g22, g33, g33, g12, g13, g23 biến đổi ta thu phương trình sau: (v ) + (v ) + (v ) (v ) + (v ) + (v ) (v ) + (v ) + (v ) (1) ( 2) (1) (3) (2) (1) 2 ( 3) 2 (2) 2 ( 3) 3 = = = g11 g00 + ( g01 ) (*.1) − g00 g 22 g00 + ( g02 ) (*.2) − g00 g 33 g00 + ( g03 ) (*.3) − g00 ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) = g 12 ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) = g 13 ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) = g 23 1 1 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 47 g00 + g01 g02 − g00 (*.4) g00 + g01 g03 − g00 (*.5) g00 + g02 g03 − g00 (*.6) hij = Ta đặt gij g00 + g0i g0 j (i,j lấy từ đến 3) − g00 Khi tất phương trình viết dạng: ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) = h i i j 2 i j j i (3.53) ij Hệ phương trình (*.1) đến (*.6) có ẩn, mà ta có phương trình Vậy cần thêm giả thiết để giải hệ Ta giả thiết cho ma trận veirbein chéo hóa: ⎢ v0(0 ) ⎢ (0 ) ⎢ v1 ⎢ (0 ) ⎢ v2 ⎢ (0 ) ⎣ v3 v0( ) v0( 2) v1( ) v1( 2) v2( ) v2( v3( ) v3( 1 v0( ) ⎥ ⎢ v0( ) ⎥ ⎢ ( 3) v1 ⎥ ⎢ =⎢ ⎥ v2( ) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ v3( ) ⎦ ⎣ 2) 2) v1( 0) v2( ) v1( ) v2( ) v2( 0 1 2) v3( ) ⎥ ⎥ ( 2) v3 ⎥ ⎥ v3( ) ⎥ ⎥ v3( ) ⎦ Như ta có thêm điều kiện: v1( ) = 0;v1( ) = 0;v2( ) = 3 (3.54) Hệ phương trình rút gọn thành: ( ) =h ( v( ) ) ( v( ) ) = h ( v( ) ) ( v( ) ) = h ( v( ) ) + ( v( ) ) = h ( v( ) ) ( v( ) ) + ( v( ) ) ( v( ) ) = h ( v( ) ) + ( v( ) ) + ( v( ) ) = h v1( ) 11 (pt.1) 1 12 (pt.2) 1 13 (pt.3) 2 ( 1) 2 22 Từ (pt1) suy ra: v1 = 2 2 3 23 (pt.5) 33 (pt.6) h11 ( 1) Từ (pt2) (pt3) ta có: v2 = h h12 ;v3( ) = 13 ; h11 h11 48 (pt.4) ( h12 ) Từ (pt4): ⇒ h11 ( ) (2) + v2 ( ) (2) = h22 ⇒ v2 = h22 ⇒ v2( ) = (h ) − 12 h11 h h − ( h12 ) = 11 22 h11 h11h22 − ( h12 ) 2 h11 3.3.4 Các thành phần Vierbein tenxơ Từ (3.42) (3.43), cách hình thức, có thề viết: dx μ = v(μa ) d ξ ( ) ;d ξ ( ) = vμ( ) dx μ a a a (3.55) Khi phần tử đường viết: ds = g μv dx μ dx v = η ab vμ( ) vμ( ) dx μ dx v = η ab d ξ ( ) d ξ ( a b a b) (3.56) μ Các thành phần Vierbein vectơ A xác định sau: (a) A ∂ξ ( ) μ a A = vμ( ) Aμ = μ ∂x a (3.57) Và A( a ) = ηab A( ) = η ab vμ( ) Aμ = v( a )μ η μν Aν = vν( a ) Aν b b (3.58) Tổng quát, thành phần Vierbein tenxơ là: T((b1 1)()(b2 2) ) = vμ( 11 ) vμ( 22 ) .Tvμ1v12μ v(vb11 ) v(vb22 ) a a a a (3.59) 3.3.5 Đạo hàm theo thành phần Vierbein Ta xét đạo hàm đại lượng φ theo thành phần ϕa = Ta có: ∂ϕ ∂ξ (3.60) (a) ∂x μ ∂ϕ ϕa = ( a ) μ = vμ( a ) ϕ μ ∂ξ ∂x (3.61) Vậy đạo hàm liên hệ với giống vectơ Hơn từ (3.61) ta có: ϕ a = ξ (a) : ∂x μ ∂ξ ( a) ϕμ = 49 dx μ dξ ( a) ϕμ ⇒ ϕ ,a d ξ ( ) = dx μϕ ,μ a (3.62) 3.3.6 Đạo hàm hiệp biến Vierbein (a) Đạo hàm hiệp biến khái quát Vierbien vμ ( x ) định nghĩa cho ∇ v vμ( ) ( x ) = a (3.63) Ta chứng minh định nghĩa sau: ∇ v vμ( ) ( x ) = vμ( ;v) + ηbc vμ( ) vλ( ;v) v( a a b c a )λ (3.64) (a) (a) Trong vμ ;v đạo hàm hiệp biến thông thường vμ : σ ( vμ( ;v) = vμ( ;v) − Γ μν vσ a a) a Quả vậy, ta có: ( ηbc vμ(b ) vλ( c;v) = ηbc vμ(b ) vλ( c ) ) − ηbc vμ( ;v) vλ( ) b ;μ c = g μλ ;v − ηbc vμ( ;v) vλ( ) = −ηbc vμ( ;v) vλ( ) b c b c (3.65) Từ suy ra: ηbc vμ(b ) vλ( c;v) v( a )λ = −ηbc vμ(b;v) vλ( c ) v( a )λ = −ηbc vμ(b;v)η ca = −vμ( a;v) Thay vào (3.64) ta thấy là: ∇ν ∇ (μ ) ( x ) = a Ta ký hiệu: φνλμ = ηbc vλ(b;v) vμ( c ) (3.66) Nó đóng vai trị liên thông affin biết Từ (3.65) ta thấy: φνμλ = −φνλμ (3.67) Từ (3.64) viết lại sau: ∇ v vμ( ) = vμ( ;v) − φνμλ v( a a a )λ =0 3.3.7 Phương trình Einstein Định nghĩa độ xoắn Ricci: 50 (3.68) r( a )(b )( c ) = v(λa ) v(μb ) v(vc ) φνμλ (3.69) φνμλ = ηab vλ( a ) vμ(b;v) = vλ( a ) v( a )μ ;v Thay ⇒ r( a )( b )( c ) = v(λa ) v(μb ) v(vc ) vλ( ) v( a )μ ;v = v( a )μ ;v v(μb ) v(vc ) a (3.70) Định nghĩa Fμνλ = r( a )(b )( c ) vμ( ) vv( ) vλ( ) a b c (3.71) Thay (3.70) vào ta có: Fμνλ = v( a )v;λ v(vb ) v(λc ) vμ( ) vv( ) vλ( ) = vμ( ) v( a )v;λ a b c a (3.72) , (a) (a) Nếu vμ biếm đổi theo quy luật vμ ( ) ta thấy F x μ = x μ xv , μνλ , Fμνλ , ∂x v ( a ) = μ vv , , phép biến đổi tọa độ ∂x biến đổi theo quy luật đó: , ∂x a ∂x β ∂x y = μ F, ,, ∂x ∂x v ∂x λ α β γ Điều có nghĩa Fμνλ tenxơ hiệp biến số Vì số Fμνλ nâng lên hay hạ xuống g μν g μν Ví dụ: Fρσμ = g μν Fνρσ = g μν vv( ) v( a ) ρ ;σ = v( a a )μ v( a ) ρ ;σ ⇒ Fρσμ = g ρμ vρ( ) v( a ) ρ ;σ = vρ( ) v(μa );σ a μ μ λ a (3.73) μ Từ v( a );σ ;v − v( a );v;σ = v( a ) Rλνσ (3.74) Ta có: μ μ λ μ Rρνσ = Γ ρσ − Γ ρμv ,σ + Γ λνμ Γ ρσ − Γ λσ Γ ρνλ ( = vρ( ) v(μa );σ ;v − v(μa );v;σ a ( = vρ( ) v(μa );σ a ) ) − ( v( )v( ) ) a ;v ρ 51 μ a ;v − vρ( ;v) v(μa );v a ;σ = Fρσμ ;v − Fρνμ ;σ − Fλρν Fσλμ + Fλρσ Fvλμ (3.75) Trong ta viết vρ( ;v) v(μa );σ = vλ( ) v( b ) ρ ;vη ab v(λb ) v(μa );σ = Fλρν Fσλμ (3.76) Vì Fσλμ = g λρ Fρσμ = g λρ vρ( ) v(μa );v = v( ) v(μa );v (3.77) Có σ σ σ λσ Rρν = Rρνσ = Fρσ + Fλρσ Fνλσ ;v − Fρ v;σ − Fλρν Fσ a b a λ a ⇒ R = g ρν Rρν = v( a )ρ ν (a) v (F σ ρσ ;ν (3.78) − Fρνσ ;σ − Fλρν Fσλσ + Fλρσ Fνλσ ) (3.79) Ngồi cách tính Rρν theo (3.78) ta tính Rρν cách trực tiếp từ Veirbien sau: μ (a) Ta có: Rρνσ = vρ ( v( ) μ a ;σ ;ν − v(μa );v;σ ) ( σ ⇒ Rρν = Rρνσ = vρ( ) v(σa );σ ;ν − v(σa );v;σ a ( ) (3.80) ) ⇒ R = g ρν Rρν = g ρν vρ( ) v(σa );σ ;v − v(σa );ν ;σ = v( a a )ν ( v( ) σ a ;σ ;v − v(σa );v;σ ) (3.81) Thành phần Vierbein tenxơ Ricci: ( ) ( ) R( a )(b ) = v(ρa ) v(vb ) Rρν = v(ρa ) vν(b ) vρ( ) v(σa );σ ;v − v(σa );v;σ = v(σa );σ ;v − v(σa );v;σ v(vb ) (3.82) a Ta có phương trình Einstein khơng thời gian chiều Rμν − g μν R = 8π Tμν (3.83) a b b a b ⇔ R( a )( b ) vμ( ) vν( ) − v(b )μ vν( ) = 8π T( a )( b ) vμ( ) vv( ) μ v Nhân vế với v( a ) v( b ) ta có: ⇔ R( a )( b ) − ηab R = 8π T( a )(b ) (3.84) Như ta thu phương trình Einstein (3.84) gần giống (3.83), khác chỗ g μν thay η ab Điều giải thích vì, hệ sở không 52 gian tiếp tuyến trực giao không gian tiếp tuyến không gian Eculid, tenxơ metric lúc phải thay tenxơ metric phẳng Ta thấy phương trình (3.84) thực dễ giải (3.83) chỗ metric phẳng η ab số xác định: dig (η ab ) = ( 1, −1, −1, −1) , g μν khơng phải số, biến đổi từ điển đến điểm khác Như hình thức luậnVierbein, phương trình Einstein đưa dạng khơng gian Euclid, đơn giản lời giải việc giải phương trình Einstein (3.83) phức tạp Việc xác định thành phần Veirbein tenxơ Ricci phụ thuộc vào Veirbein theo (3.82), tức cách chọn hệ sở cho không gian tiếp tuyến Tương ứng với sở ta thu thành phần Vierbein khác tenxơ Ricci từ tìm lời giải tương ứng cho (3.84) 3.4 CÁC VIERBEIN CỦA LÝ THUYẾT KHÔNG THỜI GIAN CHIỀU KALUZA – KLEIN: Các tenxơ metric không gian chiều Kaluza – Klein có dạng: Gμν = g μν + k Φ Aμ Aν ; G4 μ = Gμ = k.Φ Aμ ; G44 = Φ (3.85) Trong g μν tenxơ metric bốn chiều Ta định nghĩa vierbein không gian chiều cho: GAB = ηCD v (A ) vB( D) C (3.86) Ở ta lấy tổng ta lấy tổng theo C D Ta lưu ý quy ước là: ta lấy giá trị 0,1,2,3,4 với cá chữ Latinh in hoa, lấy giá trị 0,1,2,3 với chữ la tinh thường ký hiệu Hy Lạp ηCD metric chiều: dig (ηCD ) = ( 1, −1, −1, −1,−1) Ta xác định Vierbein không gian chiều Ta có: Gμν = ηCD v( = η ab v( a) μ v( C) b) ν μ v( D) ν + ηa4 v( a) μ v( 4) 53 ν + η 4b v( 4) μ v( b) ν + η 44 v( 4) μ v( 4) ν Gμν = g μν + k Φ Aμ Aν Mà Suy g μν + k Φ Aμ Aν = η ab v( a) μ v( g μν = η ab v( Mặt khác b) + ηa4 v( ν a) μ v( b) a) μ v( 4) + η 4b v( ν 4) μ v( b) ν + η 44 v( 4) μ v( 4) ν có khơng gian chiều ν ⇒ k Φ Aμ Aν = ηa4 v ( a) μ v( 4) ν + η 4b v( 4) μ v( b) + η 44 v( ν 4) μ v( 4) ν Lưu ý tới thành phần ηCD ta thu k k Φ Aμ Av = −3v μ v( ⇒ v( 4) 4) ν = − μ ( ⇒ v( 4) μ ) k Φ ( Aμ ) =− k Φ ( Aμ ) (3.87) Ta có: Gμ = ηCD v ( C) = η ab v( Thay v (4) μ μ a) v( μ D) v( b) + ηa4 v( a) μ v( 4) + η 4b v( 4) μ v( b) + η 44 v( 4) μ v( 4) k Φ = − Aμ tìm Gμ = k.Φ Aμ k Φ ⇒ k.Φ Aμ = η ab v μ v − − Aμ v( ) (a) (b) (3.88) Giờ tính đến thành phần G44 : Ta có G44 = ηCD v ( C) = η ab v( ) v( a v( b) D) + ηa4 v( ) v( a ⇒ Φ = ηab v( ) v( a b) 4) + η4b v( ) v ( 4 ( )) ( −3 v 54 4 b) + η44 v( ) v( 4 4) (3.89) Ta thấy phương trình (3.88) , (3.89) có tất ẩn Vậy ta cần giả thiết để giải hệ Ta giả sử v( b) =0 (3.90) Giả thiết ta chọn đại lượng 0, (3.89) (3.90) phải đồng với Thật vậy, với điều kiện (3.89) (3.90) rút về: −Φ = 3v (4) ⇒v (4) = − Φ2 (3.91) Như ta xác định Veirbein không thời gian chiều Các Veirbein thành phần tọa độ thứ phụ thuộc vào Aμ lý để khơng có mặt trường điện từ ta Veirbein chiều 55 φ , điều hợp thu thành phần KẾT LUẬN Trong thời gian ngắn, việc nghiên cứu hình thức luận Vierbein, từ việc tìm hiểu lý thuyết tương đối rộng kiến thức liên quan khác đại số tensor, hình học Riemann, lý thuyết Gauge cơng việc nhiều khó khăn, có hạn chế điều khơng thể tránh khỏi Trên kiến thức thu từ báo sách tham khảo, em tiến hành tính tốn số vấn đề với kết thu sau: - Tính tốn thu Vierbein chiều qua tensor metric khơng thời gian Vật lý Việc tìm kiếm Vierbein dễ dàng cách thức tổng quát cả, luận văn tìm cáchh xác định Vierbein sở phương pháp cho việc tìm Vierbein cách xác định khác Bằng cách chọn điều kiện phù hợp việc đưa tham số trung gian hij với mục đích tính Vierbein qua tham số làm cho lời giải trở nên đơn giản hơn, Vierbein thu gọn mặt biểu thức dễ nhớ kết - Rút phương trình Einstein khơng gian tiếp tuyến với kết lý thuyết Gauge thông qua biến đổi ngắn gọn, đơn giản - Mở rộng tính tốn cho Vierbein nhiều chiều thơng qua Vierbein chiều thành phần điện từ, vô hướng φ , tạo sở cho việc áp dụng hình thức luận Vierbien cho khơng thời gian chiều Trên kết thu được, luận văn tìm hiểu nghiên cứu tiếp số vấn đề sau: - Cụ thể hình thức luận Vierbein cho không thời gian chiều - Xét đối xứng định xứ hình thức luận Verbein - Nghiên cứu lý thuyết Gauge đưa vào spinor 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đào Vọng Đức, Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB khoa học công nghệ tự nhiên 2007 Đào Vọng Đức, Phù Chí Hịa, Nhập mơn lý thuyết trường lượng tử, NXB khoa học kỹ thuật 2007 Do Ngoc Diep, Dao Vong Duc et al, Tetrad as fundamental concept in generally covariant Unified Theories, Invited talk at Intern, Conference “Geometry and Physics”, Hanoi 2006 F.Aguila, J.A.Axcarraga, L.E.Ibanez, Supergravity and Related topics, World Scientific1984 A.A.Logunov, M.A.Mestvirishvili, Relativistic Theory of Graviton, World Scientific1984 G.Furlan et al, Superstrings, Supergravity and Unified Theories , World Scientific1985 L.Girandello, New issues in supergravity theories, World Scientific1986 L.H.Ryder, Quantum Filed Theory, Cambridge University Press, 1996 L.O’Raifeartaigh, N.Straumann, Early History of Gauge Theories and Kaluza – Klein Theories, arXiv- hep-th/98105, 1999 10 F.Mandle, G.Shaw, Quantum field Theory, (Revised Edition) 2004 57 ... …29 Chương 3: HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN 3.1 VIERBEIN VÀ METRIC……………………………………………37 3.2 TRƯỜNG SPINOR TRONG KHƠNG THỜI GIAN CONG…… 40 3.3 HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN CỦA KHÔNG THỜI GIAN CHIỀU……………………………………………………………44... (1.55) 13 Chương 2: THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC TRONG KHÔNG THỜI GIAN NHIỀU CHIỀU 2.1 MƠ HÌNH KALUZA – KLEIN: Lý thuyết tương đối tổng quát không – thời gian D > chiều trình bày cách tương tự Ta qui ước...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ TRƯƠNG TÍN THÀNH HÌNH THỨC LUẬN VIERBEIN TRONG KHƠNG THỜI GIAN NHIỀU CHIỀU VÀ THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN