Trường điện từ trong dây boson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐỔNG THỊ KIM PHƯỢNG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG DÂY BOSON LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Cần Thơ - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ ĐỔNG THỊ KIM PHƯỢNG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG DÂY BOSON Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số: 604401 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH ĐÀO VỌNG ĐỨC Cần Thơ - 2011 Trường điện từ dây boson LỜI CẢM ƠN Trước hết, chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Quản lý Khoa học Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Thầy cô Khoa Khoa học tự nhiên Trường Đại học Cần Thơ tận tình giúp đỡ đường nghiên cứu khoa học cho tơi ý kiến q báu cho việc hồn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến với Ban Giám Hiệu, Phòng ban, Khoa Sư phạm Bộ môn Vật lý Trường Đại học An Giang tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập Đặc biệt, em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đào Vọng Đức, người có đóng góp quý báu, giúp đỡ em suốt thời gian thực hoàn thành luận văn Sau cùng, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè khích lệ hỗ trợ cho tơi đường khoa học Tất người nguồn động viên lớn sống! Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian lực thân có hạn, đề tài khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến quý độc giả Chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 04 năm 2011 Học viên thực Đổng Thị Kim Phượng Trường điện từ dây boson MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mục đích đề tài: Phạm vi nghiên cứu: 4 Phương pháp nghiên cứu: 5 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Chương Tương tác gauge 1.1 Nguyên lý bất biến gauge: 1.2 Trường gauge phi abel: 1.3 Lý thuyết phá vỡ đối xứng tự phát: 12 1.4 Cơ chế Higgs khối lượng trường gauge: 14 Chương Phiếm hàm trường dây 17 2.1 Dây boson: 17 2.1.1 Chuyển động hạt dây: 17 2.1.2 Các mode khai triển: 19 2.1.3 Lượng tử hóa dây boson: 21 2.1.4 Đại số Virasoro: 23 2.2 Siêu dây: 25 2.2.1 Siêu đối xứng thế: 25 2.2.2 Điều kiện biên NS R: 27 2.2.3 Khai triển mode siêu dây NS R: 28 2.2.4 Lượng tử hóa siêu dây: 30 2.3 Phiếm hàm trường dây boson: 30 2.3.1 Các trạng thái kích thích: 30 2.3.2 Phiếm hàm trường dây boson mở: 35 2.3.3 Phiếm hàm trường dây boson đóng: 38 Trường điện từ dây boson 2.4 Phiếm hàm trường siêu dây: 40 2.4.1 Phiếm hàm trường siêu dây mở: 40 2.4.2 Phiếm hàm trường siêu dây đóng: 45 2.5 Điều kiện gauge Lorentz: 50 Chương Trường điện từ trường hấp dẫn Dây boson 52 3.1.Trường điện từ dây boson mở: 52 3.2.Trường hấp dẫn dây boson đóng: 56 3.2.1.Nguyên lý bất biến: 57 3.2.2.Trường hấp dẫn: 59 3.2.3.Trường hấp dẫn dây boson đóng: 59 3.3.Lagrangian dây boson đóng: 62 3.3.1.Trường vong: 62 3.3.2.Phiếm hàm trường dây chứa vong: 63 3.3.3.Lagrangian dây boson đóng: 64 3.4.Phương trình chuyển động trường điện từ trường hấp dẫn: 66 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 Trường điện từ dây boson MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Thực nghiệm lý thuyết khẳng định hạt vi mô tác động lẫn qua bốn loại tương tác: mạnh, yếu, điện từ hấp dẫn Đó loại tương tác nhất, tạo nên tranh vũ trụ Bất kỳ thể loại tương tác nào, tượng nào, dù phức tạp đến mấy, từ vi mô đến vĩ mô, bắt nguồn từ loại tương tác Xây dựng lý thuyết thống tương tác – có nghĩa tìm cấu thiết kế chung gắn kết thể loại tương tác lại với tảng – cho phép ta hiểu sâu sắc chất tượng, mối quan hệ động lực, từ tiên đoán hàng loạt hệ Nguyên lý bất biến gauge nhìn nhận nguyên lý chế tương tác Lý thuyết Dây với hình thức luận Becchi – Rouet – Stora – Tyutin (BRST) chứng tỏ khả mơ hình lý thuyết thống chứa đựng ngun lý bất biến Trường điện từ trường hợp đơn giản trường gauge dẫn xuất tương tác Chính lý trên, “Trường điện từ dây boson” chọn làm đề tài luận văn Mục đích đề tài: Luận văn nhằm mục tiêu tìm hiểu nghiên cứu trường gauge thơng qua ví dụ trường điện từ khuôn khổ Lý thuyết Dây Đặc biệt ý đến điều kiện gauge phương trình trường điện từ suy từ hình thức luận BRST Luận văn quan tâm đến trường hấp dẫn quan điểm graviton hạt gauge truyền tương tác hấp dẫn Phạm vi nghiên cứu: Luận văn tập trung vào chế bất biến gauge áp dụng vào Lý thuyết Dây, rút phương trình liên quan đến trường điện từ số hệ vật lý Luận văn xét đến phương trình chuyển động trường hấp dẫn dạng trường gauge dẫn xuất tương tác Trường điện từ dây boson Phương pháp nghiên cứu: Trong trình thực đề tài vận dụng phối hợp nhiều phương pháp mà đặc trưng phương pháp nghiên cứu cấu trúc lý thuyết, phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, chứng minh, triển khai tính toán chi tiết số vấn đề Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Việc nghiên cứu trường điện từ lý thuyết dây boson có ý nghĩa đặc biệt việc xây dựng mơ hình thống sở ngun lý bất biến gauge mở rộng Trường điện từ dây boson Chương Tương tác gauge Tóm tắt Nguyên lý bất biến gauge xác định Lagrangian tương tác trường vật chất trường gauge Từ Lagrangian suy trường gauge trường không khối lượng đồng với trường dẫn xuất tương tác Với lý thuyết phá vỡ đối xứng tự phát xuất trường vơ hướng trung tính khơng khối lượng Goldstone Thông qua chế Higgs hạt gauge khơng khối lượng trở nên có khối lượng 1.1 Ngun lý bất biến gauge: Đến kết nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm cho phép khẳng định tương tác hạt – mạnh, điện từ, yếu (và hấp dẫn) có chất, bắt nguồn từ nguyên lý bất biến gauge Trong mục trình bày phép biến đổi gauge đơn giản – tương ứng với nhóm gauge thơng số U (1) , chẳng hạn phép biến đổi điện tích Dưới tác dụng phép biến đổi điện tích trường ϕ ( x ) ứng với hạt mang điện tích q biến đổi theo quy luật: ϕ ( x ) → ϕ ′ ( x ) = e − iqωϕ ( x ) (1.1) ω thơng số phép biến đổi Ta biết: Lagrangian trường vơ hướng tích điện tự do: L( x) = ∂ μφ * ( x ) ∂ μφ ( x ) − m 2φ * ( x ) φ ( x ) (1.2) Lagrangian trường vector tích điện tự do: * μν L = − f μν f + m 2ϕ μ* ϕ μ f μν ≡ ∂ μϕν − ∂ν ϕ μ gọi tensor cường độ trường Lagrangian trường spinor tích điện tự do: (1.3) Trường điện từ dây boson t i L = ψγ μ ∂ μψ − mψψ (1.4) γ μ ma trận Dirac × với tính chất: {γ μ , γ ν } ≡ γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2η μν γ μ+ = η μμ γ μ = γ μ Các Lagrangian (1.2), (1.3), (1.4) bất biến phép biến đổi (1.1) ω không phụ thuộc vào x Trong trường hợp ω = ω ( x ) , ta có phép biến đổi: ϕ ( x ) → ϕ ′ ( x ) = e −iqω ( x )ϕ ( x ) (1.5) gọi phép biến đổi gauge U (1) Lúc số hạng khối lượng (tỷ lệ với φ * ( x ) φ ( x ) , ϕ μ* ( x ) ϕ μ ( x ) , ψ ( x)ψ ( x) ) Lagrangian bất biến, số hạng động (chứa đạo hàm khơng – thời gian) khơng cịn bất biến Để khơi phục lại tính bất biến Lagrangian người ta tiến hành sau: Đưa vào trường Aμ ( x ) , gọi trường gauge, lập đạo hàm hiệp biến theo công thức: D μϕ ( x ) ≡ ( ∂ μ − iqAμ ) ϕ ( x ) (1.6) buộc Aμ ( x ) biến đổi theo quy luật: Aμ′ ( x ) = Aμ ( x ) − ∂ μ ω ( x ) (1.7) D μϕ ( x ) biến đổi giống ϕ ( x ) , ( D ϕ ( x) )′ μ = ∂ μϕ ′( x) − iqAμ′ ( x)ϕ ′( x) = e −iqω ( x ) ( ∂ μ − iqAμ ( x) ) ϕ ( x) = e −iqω ( x ) Dμϕ ( x) (1.8) Trường điện từ dây boson Sau đó, thay ∂ μϕ ( x ) Lagrangian tự D μϕ ( x ) Kết cho ta Lagrangian trường ϕ ( x ) tự với Lagrangian mô tả tương tác trường ϕ ( x ) trường gauge Aμ ( x ) Chẳng hạn, với trường vơ hướng tích điện ta có: L = D μφ * ( x ) Dμφ ( x ) − m 2φ * ( x ) φ ( x ) = ⎡⎣∂ μφ * ( x ) ∂ μφ ( x ) − m 2φ * ( x ) φ ( x )⎤⎦ t + iqφ * ( x ) ∂ μφ ( x ) Aμ + q 2φ * ( x ) φ ( x ) Aμ Aμ ⇒ L = L0 (φ ) + Lint (φ , Aμ ) (1.9) với L0 (φ ) = ∂ μφ * ( x ) ∂ μφ ( x ) − m 2φ * ( x ) φ ( x ) t Lint (φ , Aμ ) = iqφ * ( x ) ∂ μφ ( x ) Aμ + q 2φ * ( x ) φ ( x ) Aμ Aμ Để đầy đủ ta phải viết: L(φ , Aμ ) = L0 (φ ) + L0 ( Aμ ) + Lint (φ , Aμ ) (1.10) Với trường spinor, tương tự ta có: L= i ψγ μ D μψ − D μψ γ μψ ) − mψψ = L0 (ψ ) + Lint (ψ , Aμ ) ( (1.11) với t i L0 (ψ ) = ψγ μ ∂ μψ − mψψ Lint (ψ , Aμ ) = qψγ μψ Aμ Để đầy đủ ta phải viết: L(ψ , Aμ ) = L0 (ψ ) + L0 ( Aμ ) + Lint (ψ , Aμ ) (1.12) Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định cách đơn trị Lagrangian mô tả tương tác trường vật chất mang điện trường gauge Aμ (ở đồng với trường điện từ) Trường điện từ tương ứng với hạt photon Đó trường hợp đặc biệt trường vectơ trung tính, khối lượng Điều cần lưu ý trường điện từ mô tả vectơ Aμ ( x ) , khơng phải đại lượng quan sát được, quan sát tensor cường độ trường điện từ Trường điện từ dây boson 55 1 (□-2) φ ( x ) − i □ Aμ ( x )α −μ1 − i (□+2) vμ ( x )α −μ2 +… 2 − (□+2) l μν ( x )α −μ1α −ν1 + = ⇔ {( −2 )φ ( x ) − i Aμ ( x ) α −μ1 − i ( +2 ) vμ ( x )α −μ2 − − ( +2 ) l μν ( x).α −μ1α −ν1 + } = (3.11) ta sử dụng hệ thức giao hoán: ⎡⎣α mμ , α nν ⎤⎦ = −mη μν δ m + n ,0 tính chất: α nμ = α −μn + α nμ = , n > Từ (3.11) suy ra: ( −2 ) φ ( x ) = Aμ ( x ) = ( +2 ) vμ ( x ) = ( +2 ) lμν ( x ) = (3.12) Các phương trình cho thấy φ ( x ) trường vơ hướng có m = −2 (tachyon) , Aμ ( x ) trường vector không khối lượng, vμ ( x ) trường vector có mv2 = l μν ( x) trường vector hạng (ứng với hạt spin 2) có ml2 = , Một cách tổng quát, trường φμn μn ( x) thỏa mãn phương trình Klein – Gordon r r với: m = ( −1 + n1 + + nr ) Xét sang phương trình (3.3) Với n = , ta có: L1 = − α −μkα μ , k +1 = ∑ k∈Z (3.13) Trường điện từ dây boson 56 ∞ = − ⎛⎜ p μα μ + ∑ α −μkα μ ,k +1 ⎞⎟ k =1 ⎝ ⎠ Như ta có: L1Φ = ∞ ⇔ − ⎛⎜ pν αν + ∑ α −ν kαν ,k +1 ⎞⎟ {φ ( x ) − iAμ ( x )α −μ1 − ivμ ( x )α −μ2 − k =1 ⎝ ⎠ ⎫ − l μν ( x )α −μ1α −ν1 + ⎬ = ⎭ Ta sử dụng hệ thức giao hoán: ⎡⎣α mμ , α nν ⎤⎦ = −mη μν δ m + n ,0 ⎡⎣ pα , X μ ⎤⎦ = −i∂α X μ Suy ra: i ⎧ ⎫ L1Φ = ⎨∂ν Aμα1ν α −μ1 − ∂ν l μν α1ν α −μ1α −ν1 + ivμα −ν1αν ,2α −μ2 + ⎬ = ⎩ ⎭ i ⎧ ⎫ ⇔ ⎨∂ν Aμ ⎡⎣α1ν , α −μ1 ⎤⎦ − ∂ν l μν ⎡⎣α1ν ,α −μ1α −ν1 ⎤⎦ + ivμ ⎡⎣α −ν1α v ,2 ,α −μ2 ⎤⎦ + ⎬ = ⎩ ⎭ ⇔ {−∂ μ Aμ + i∂ν l μν α −μ1 − 2ivμα −μ1 + } = (3.14) Từ suy ra: ∂ μ Aμ = (3.15) ∂ν l μν = 2vμ (3.16) Nhận xét Aμ trường vector không khối lượng thỏa mãn điều kiện giống điều kiện gauge Lorentz ∂ μ Aμ = , Aμ đồng với trường điện từ Phương trình (3.16) cho thấy liên hệ trường l μν trường vμ Cũng tương tự phương trình L2 Φ = , L3Φ = ,… cho ta điều kiện liên hệ trường tương ứng với mode kích thích cấp cao phiếm hàm trường dây Φ ⎡⎣ X (τ ,σ )⎤⎦ 3.2.Trường hấp dẫn dây boson đóng: Trường điện từ dây boson 57 3.2.1.Nguyên lý bất biến: Nguyên lý bất biến tổng quát khẳng định trình vật lý diễn hệ qui chiếu, phương trình vật lý tương ứng phải bất biến phép biến đổi tổng quát x μ → x′ μ = f μ ( x ) (3.17) Biến đổi Lorentz: f μ ( x ) = Λνμ xν + a μ (3.18) trường hợp đặc biệt (3.17) Với phép biến đổi tổng quát (3.17), ta định nghĩa: Tensor đối biến hạng r tập hợp thành phần T μ μ μ ( x ) biến đổi theo quy r luật: T′ μ1 μ2 μ r ∂x′μ ∂x′μ ∂x′μ ν ν ν ( x′) = ν ν ν T ( x ) ∂x ∂x ∂x r 2 (3.19) r r Tensor hiệp biến hạng r Tμ μ μ ( x ) biến đổi theo quy luật: ∂xν ∂xν ∂xν Tν ν ν ( x ) ∂x′μ ∂x′μ ∂x′μ Tμ′μ μ ( x′ ) = r r r 2 r (3.20) r Tensor hỗn hợp ( s, r ) biến đổi theo quy luật: Tν′νμ μν μ ( x′ ) = 2 s r ∂x′μ ∂x′μ ∂x′μ ∂xσ ∂xσ ∂xσ λ λ λ Tσ σ σ ( x ) ∂x λ ∂x λ ∂x λ ∂x′ν ∂x′ν ∂x′ν s 2 r r 2 s s r (3.21) Đặc biệt, với vơ hướng ta có: T ′ ( x′ ) = T ( x ) (3.22) Với vector đối biến ta có: ∂x′μ ν T ′ ( x′ ) = ν T ( x ) ∂x μ (3.23) Với vector hiệp biến ta có: ∂xν Tμ′ ( x′ ) = μ Tν ( x ) ∂x′ Công thức biến đổi ngược lại với (3.21) là: (3.24) Trường điện từ dây boson μ1 μ μ s ν 1ν ν r T 58 ∂x μ ∂x μ ∂x μ ∂x′σ ∂x′σ ∂x′σ λ λ λ ( x ) = ′λ ′λ ′λ ν ν ν Tσ′σ σ ( x′) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x s s r 2 r s r (3.25) Công thức (3.25) suy từ tính bình đẳng x x′ , sử dụng hệ thức dạng: ∂x λ ∂x′μ σ = δ σλ μ ∂x′ ∂x , ∂x′λ ∂x μ σ = δ σλ μ ∂x ∂x′ (3.26) Chú ý rằng: x μ khơng phải vector vì: x′μ ≠ ∂x′μ ν x ∂xν (3.27) dx μ vector, vì: dx′μ = ∂x′μ ν dx ∂xν (3.28) Metric Minkowski η μν , η μν tensor, δ μν tensor, vì: δ μ′ν ≡ ∂x′ν ∂xσ λ ∂x′ν ∂xσ μ δ σ = σ μ = δ μν λ ∂x ∂x′ ∂x ∂x′ (3.29) Đại lượng η μν dx μ dxν không bất biến η μν khơng phải tensor Trong trường hợp biến đổi tổng quát (3.17), thay η μν ta dùng metric tensor g μν ( x ) đối xứng g μν ( x ) = gνμ ( x ) , biến đổi theo quy luật tensor: ′ ( x′ ) = g μν ∂x λ ∂xσ g λσ ( x ) ∂x′μ ∂x′ν (3.30) Chỉ số đối biến hạ xuống thành số hiệp biến theo quy tắc: Aμ ( x ) = g μν ( x ) Aν ( x ) (3.31) Bên cạnh metric tensor g μν ( x ) ta dùng metric tensor g μν ( x ) , đối xứng g μν ( x ) = g νμ ( x ) thỏa mãn hệ thức: g μν ( x ) gνλ ( x ) = δ λμ biến đổi theo qui luật: (3.32) Trường điện từ dây boson g ′μν ( x′ ) = 59 ∂x′μ ∂x′ν λσ g ( x ) ∂x λ ∂xσ (3.33) Trong trường hợp đặc biệt, khi: g μν ( x ) = η μν = diag (1, −1, −1, −1) (3.34) ta có khơng – thời gian phẳng Minkowski, trường hợp tổng quát g μν phụ thuộc x ta có khơng – thời gian cong Riemann 3.2.2.Trường hấp dẫn: Tương tác hấp dẫn tương tác yếu so với tương tác mạnh, yếu, điện từ Trường hấp dẫn hμν ( x ) liên hệ với metric tensor không – thời gian cong Riemann: g μν ( x ) = η μν + hμν ( x ) (3.35) hμν ( x ) đối xứng, hμν ( x ) = hνμ ( x ) , không khối lượng bé hμν ( x ) Chú ý hμν ( x ) tensor hạng phép biến đổi Lorentz: f μ ( x ) = Λνμ xν + a μ tensor phép biến đổi tổng quát: x μ → x′ μ = f μ ( x ) Vì hμν ( x ) biến đổi theo quy luật: hμν′ ( x′ ) = ∂x λ ∂x ρ hλρ ( x ) + ∂x′μ ∂x′ν ∂x λ ∂x ρ + μ ν ηλρ − η μν ∂x′ ∂x′ (3.36) Trong phép gần cấp theo hμν , ta có: g μν ( x ) = η μν − h μν ( x ) (3.37) nâng hạ số h thực metric Minkowski, h μν ( x ) = η μρη νσ hρσ ( x ) 3.2.3.Trường hấp dẫn dây boson đóng: Trường điện từ dây boson 60 Với dây boson đóng biểu thức khai triển phiếm hàm trường phải có mode kích thích theo α% , cụ thể là: (−i ) r + s n n ,m m Φ ⎡⎣ X (τ , σ ) ⎤⎦ = ∑ φμ μ ,ν ν ( x).α nμ α nμ α% mν α% mν r , s =0 r !s ! ∞ μ r 1 r + s s + r r + + s s (3.38) n1 , , nr , m1 , , ms > trạng thái khơng kích thích thỏa mãn điều kiện: α nμ = , α% nμ = , n > ⎛n⎞ ⎛m⎞ Có thể xem φμn μn nμ ,,mν νm νm ( x) đối xứng theo cặp số ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , tức ⎝μ⎠ ⎝ν ⎠ r 1 r 2 s s là: φμn μn nμ ,,mν νm νm ( x) = φμn μn nμ ,,mν νm νm ( x) r 1 r 2 s s r r 2 s s = φμn μn nμ ,,mν νm νm ( x) , r 2 r 1 s s Phiếm hàm Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ thỏa mãn phương trình: (L ( ) − 1) Φ ⎡⎣ X μ (τ ,σ )⎤⎦ = , L%0 − Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = Ln Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ )⎤⎦ = , L%n Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ )⎤⎦ = , n>0 (3.39) (3.40) Từ (2.39) ta có: ( L − L% ) Φ = 0 (3.41) Thay vào đây: ∞ −∑ α −μkα μ k k =1 (3.42) L%0 = −∑ α% −μkα% μ k k =1 (3.43) L0 = ∞ ta suy ra: ∞ ∑ (α k =1 μ −k α μ k − α% −μkα% μ k ) Φ = (3.44) Một cách tổng quát, trường thành phần φμn μn ,,νm νm ( x) thỏa mãn phương trình Klein – Gordon với: r 1 r s s Trường điện từ dây boson 61 m = ⎡− ⎣ + ( n1 + + nr )⎤⎦ = ⎡− ⎣ + ( m1 + + ms )⎤⎦ (3.45) Ta viết tường minh biểu thức khai triển (3.38) cho trạng thái kích thích cấp thấp: Φ ⎡⎣ X μ (τ ,σ )⎤⎦ = {φ ( x) − tμν ( x)α −μ1α% −ν1 + } (3.46) ta ký hiệu t μν ( x ) ≡ φμ1,1,ν (3.47) Cũng thay (3.42) vào phương trình (3.39), ta có: (L − 1) Φ = ∞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ −∑ α −ν kαν k − 1⎟ {φ ( x) − tμν ( x)α −μ1α% −ν1 + } ⎝ k =1 ⎠ ∞ ∞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ −∑ α −ν kαν k − 1⎟ φ ( x) − ⎜ −∑ α −ν kαν k − 1⎟ tμν ( x)α −μ1α% −ν1 + = ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⇔ ∞ 1 ( −8 )φ ( x) − ∑ α −ν kαν kφ ( x) − tμν ( x)α −μ1α% −ν1 − 8 k =1 ∞ −tμν ( x) ⎛⎜ ∑ α −ν kαν kα −μ1α% −ν1 + α −μ1α% −ν1 ⎞⎟ + = ⎝ k =1 ⎠ ⇔ {( −8 )φ ( x) − tμν ( x)α −μ1α% −ν1 + } = (3.48) Từ suy ra: ( −8 )φ ( x ) = t μν ( x ) = (3.49) Các phương trình (3.49) cho thấy φ ( x ) trường tachyon có m = −8 , t μν ( x ) trường ứng với hạt spin khơng có khối lượng ( ) Tương tự, từ phương trình L%0 − Φ = cho: tνμ ( x ) = Xét sang phương trình (3.40) Ta có: (3.50) Trường điện từ dây boson L1Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ ≡ − 62 α −λkα λ ,1+ k Φ = ∑ k ∈z ∞ = − ⎛⎜ α 0λα λ ,1 + ∑ α −λkα λ ,1+ k ⎞⎟ Φ k =1 ⎝ ⎠ ⎛1 λ λ ∞ λ ⎞ = − ⎜ p α1 + ∑ α − kα λ ,1+ k ⎟ {φ ( x) − tμν ( x)α −μ1α% −ν1 + } = k =1 ⎝2 ⎠ ⎧ i ⎫ = ⎨− ∂ λ tμν ( x).α1λα −μ1α% −ν1 + ⎬ ⎩ ⎭ ⎧ i ⎫ = ⎨− ∂ μ tμν ( x).α% −ν1 + ⎬ = ⎩ ⎭ Từ suy ra: ∂ μ tμν ( x) = (3.51) Cũng hoàn toàn tương tự, từ phương trình L%1Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = cho ∂ν tμν ( x) = Đặt: hμν ( x ) ≡ tμν ( x ) + tνμ ( x ) (3.52) (3.53) Do từ (3.49), (3.50) (3.53) ta suy ra: hμν ( x ) = (3.54) Phương trình chứng tỏ trường hμν ( x) trường vector không khối lượng Từ (3.51), (3.52) (3.53) suy ra: ∂ μ hμν ( x) = (3.55) Do đồng hμν ( x) với trường graviton 3.3.Lagrangian dây boson đóng: 3.3.1.Trường vong: Lý thuyết trường dây lượng tử trình bày cách sáng sủa bao qt ngơn ngữ hình thức luận BRST (Becchi – Rouet – Stora – Tyutin) Trong hình thức luận trường vong Fadeev – Popov đóng vai trò chủ yếu Trước hết ta điểm qua vài điều hình thức luận BRST lý thuyết đối xứng gauge thông thường Trường điện từ dây boson 63 Giả sử ta có nhóm đối xứng gauge với vi tử Tn thỏa mãn hệ thức giao hoán: [T , T ] = if n m nmk Tk (3.56) f nmk số cấu trúc nhóm, phản xứng theo số n, m, k Ứng với vi tử Tn người ta đưa vào cặp biến số vong cn phản vong bn , thỏa mãn hệ thức phản giao hoán: {c , b } = δ n m nm {c , c } = {b , b } = n m n m (3.57) Từ vong phản vong ta lập toán tử Q , gọi tải BRST, theo công thức : Q = ∑ Tn cn − n i ∑ f nmk cn cmbk n ,m ,k (3.58) Tốn tử Q cịn gọi tốn tử nilpotent có tính chất Q = Q + = Q Đây tải BRST đối xứng gauge Với dây boson đóng tải BRST tổng hai tải – tải viết cho mode chuyển động phải QR tải viết cho mode chuyển động trái QL : Q = QR + QL Q = ∑ Ln cn + n 1 : L(nc ) c- n : −c0 + ∑ L%n c%n + ∑ : L%(nc ) c%- n : −c%0 ∑ n n n (3.59) 3.3.2.Phiếm hàm trường dây chứa vong: Xét phiếm hàm trường dây boson Φ [ X , c, b ] Nếu dùng trạng thái chân không 0+ ≡ Ω ⊗ v+ biểu thức khai triển phiếm hàm Φ khơng thể có c0 , ngược lại, dùng trạng thái chân không 0− ≡ Ω ⊗ v− biểu thức khai triển Φ khơng thể có b0 Vậy ta viết biểu thức khai triển tổng quát phiếm hàm trường dây boson Φ [ X , c, b ] : Trường điện từ dây boson 64 Φ [ X , c, b ] = ϕ [ X , c, b ] + b0η [ X , c, b ] (3.60) trường hợp dùng O+ , Φ [ X , c, b ] = ϕ [ X , c, b ] + c0η [ X , c, b ] (3.61) trường hợp dùng O− , ϕ , η phiếm hàm không chứa dao động tử vong mode ( c0 b0 ) Có thể viết biểu thức khai triển chúng theo bậc kích thích c b sau : ϕ [ X , c, b ] = η [ X , c, b ] = ∞ ∞ ∑ ∑c r , s = n , m =1 ∞ ∞ ∑ ∑c r , s = n , m =1 + n1 + n1 .cn+ bm+ bm+ Φ nm nm [ X ] (3.62) .cn+ bm+ bm+ χ nm nm [ X ] (3.63) r S S r r S S r Φ mn nm [ X ] χ nm nm [ X ] phiếm hàm khơng phụ thuộc vong, có biểu 1 s r s r thức khai triển theo dao động tử quỹ đạo trình bày mục 2.3.3 Số hạng Φ[X ] ứng với r = s = (3.62) phiếm hàm trường dây boson đóng (2.55) chưa tính đến biến số vong Ta có cơng thức biến đổi BRST: δΦ [ X , c, b ] = QΛ [ X , c, b ] (3.64) Λ phiếm hàm thơng số, có biểu thức khai triển tương tự (3.60) (3.63) với hệ số khai triển thông số thông thường phụ thuộc x μ Từ công thức biến đổi BRST ta suy phép biến đổi gauge phiếm hàm trường dây boson đóng: δ Φ = ⎛⎜ ∑ L− n Λ (n ) + L%− n Λ% ( n) ⎞⎟ ∞ ⎝ n =1 ⎠ (3.65) 3.3.3.Lagrangian dây boson đóng: Trường dây boson mô tả tác dụng bất biến BRST dạng: S = − ∫ d D x Φ + [ X , c , b ] Q Φ [ X , c, b ] Tính bất biến S phép biến đổi (3.64): (3.66) Trường điện từ dây boson 65 Φ → Φ + QΛ (3.67) thử trực tiếp, Q + = Q Q = Quả vậy, với (3.67) S → − ∫ d D x ( Φ + + Λ + Q ) Q ( Φ + QΛ ) = = − ∫ d D x Φ +Q Φ = S (3.68) Nguyên lý tác dụng tối thiểu δ S = áp dụng vào (3.66) cho phương trình chuyển động: Q Φ ⎣⎡ X μ (τ ,σ ) ⎦⎤ = (3.69) Từ phương trình (3.69) suy dãy phương trình (2.56) (2.57) Quả vậy, với phiếm hàm khơng chứa vong biểu thức khai triển (3.60) – (3.63) có số hạng Φ[X ] ứng với r = s = (3.62) mà thơi, lúc phương trình (3.69), với biểu thức (3.59) Q , viết thành: 1 ⎧ ⎫ (c) (c) ⎨∑ Ln cn + ∑ : Ln c- n : −c0 + ∑ L%n c%n + ∑ : L%n c%- n : −c%0 ⎬ Φ [ X ] = n n n ⎩n ⎭ Do c n = 0, b n = 0, n>0 c%n = 0, b%n = 0, n >0 nên phương trình (3.70) rút gọn lại thành: { ( ) ∞ ∞ n =1 n =1 } ( L0 − 1) c0 + L%0 − c%0 + ∑ Lnc− n + ∑ L%n c%− n Φ [ X ] = (3.70) (3.71) từ suy ra: (L −1) Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = L n Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = ( L% −1) Φ ⎣⎡ X μ , n > (τ , σ ) ⎦⎤ = L% n Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = , n > (3.72) Các phương trình (3.72) phương trình (2.56) (2.57) dây boson đóng Trường điện từ dây boson 66 3.4.Phương trình chuyển động trường điện từ trường hấp dẫn: Đối với dây boson mở từ phương trình: (L −1) Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = ta suy ra: Aμ ( x ) = (3.73) Phương trình chứng tỏ Aμ ( x ) trường vector khơng khối lượng Từ phương trình L n Φ ⎣⎡ X μ (τ , σ ) ⎦⎤ = Với n = , suy ra: ∂ μ Aμ = (3.74) Đến ta kết luận Aμ trường vector không khối lượng thỏa mãn điều kiện giống điều kiện gauge Lorentz ∂ μ Aμ = , Aμ đồng với trường điện từ Đối với dây boson đóng từ phương trình: (L −1) Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = ta suy ra: t μν ( x ) = (3.75) Điều có nghĩa t μν ( x ) trường khơng có khối lượng ( ) Cịn phương trình L%0 − Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = suy ra: tνμ ( x ) = (3.76) Từ phương trình L n Φ ⎣⎡ X μ (τ , σ ) ⎦⎤ = Với n = , suy ra: ∂ μ tμν ( x) = (3.77) Cũng hồn tồn tương tự, từ phương trình L%1Φ ⎡⎣ X μ (τ , σ ) ⎤⎦ = cho ∂ν tμν ( x) = Và trường: hμν ( x ) ≡ tμν ( x ) + tνμ ( x ) đồng với trường graviton Vì từ (3.75), (3.76) (3.79) ta suy ra: (3.78) (3.79) Trường điện từ dây boson 67 hμν ( x ) = (3.80) Phương trình chứng tỏ trường hμν ( x) trường vector không khối lượng Và từ (3.77), (3.78) (3.79) suy ra: ∂ μ hμν ( x ) = (3.81) Trường điện từ dây boson 68 KẾT LUẬN Nghiên cứu chế thống loại tương tác lãnh vực có tính thời cao Vật lý học đại Đề tài “Trường điện từ dây boson” đóng góp vào xu hướng Những kết luận văn tóm tắt sau: Dựa nguyên lý bất biến gauge, xây dựng Lagrangian tương tác trường vật chất với trường gauge kết hợp với lý thuyết phá vỡ đối xứng tự phát chế Higgs trình bày triển khai tính tốn khối lượng trường gauge Nghiên cứu phiếm hàm trường dây, dựa phiếm hàm thiết lập điều kiện tương tự điều kiện gauge Lorentz cho trạng thái dây siêu dây Sử dụng cơng cụ phiếm hàm trường dây hình thức luận BRST, đề tài dẫn phương trình chuyển động trường điện từ trường hấp dẫn lý thuyết dây Trường điện từ dây boson 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Hà Nội [2] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hịa (2007), Nhập môn lý thuyết trường lượng tử, NXB Khoa học kỹ thuật [3] K.Becher, M.Becher, J.H.Schwarz (2007), String theory and M–Theory, Cambridge University Press [4] L.Brink, D.Friedman, A.M.Polyakov (1989), Physics and Mathematics of string, World Scientific [5] L.Brink, M.Henneaux (1988), Principles of string theory, Plenum Press, New York [6] M.B.Green, D.J.Gross (1985), Unified Field theory, World Scientific [7] M.B.Green, J.H.Schwarz, E.Witten (1987), Superstring Theory, Cambridge University Press [8] G.Hooft (2007), Introduction to string theory [9] B.Zwiebach (2004), A first course on string theory, Cambridge University Press ... Chương Trường điện từ trường hấp dẫn Dây boson 52 3.1 .Trường điện từ dây boson mở: 52 3.2 .Trường hấp dẫn dây boson đóng: 56 3.2.1.Nguyên lý bất biến: 57 3.2.2 .Trường hấp... Phiếm hàm trường dây boson đóng: 38 Trường điện từ dây boson 2.4 Phiếm hàm trường siêu dây: 40 2.4.1 Phiếm hàm trường siêu dây mở: 40 2.4.2 Phiếm hàm trường siêu dây đóng:... điện từ mô tả vectơ Aμ ( x ) , khơng phải đại lượng quan sát được, quan sát tensor cường độ trường điện từ Trường điện từ dây boson Fμν ≡ ∂ μ Aν − ∂ν Aμ Rõ ràng tensor cường độ trường điện từ