Một vài mô hình toán trong rủi ro tín dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI  TRỊNH ĐÌNH TUẤN MỘT VÀI MƠ HÌNH TỐN TRONG RỦI RO TỐN HỌC Ngành: Tốn cơng nghệ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Tống Đình Quỳ Hà Nội, 2008 Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo PGS.TS Tống Đình Quỳ - Khoa Toán Tin ứng dụng Đại học Bách khoa Hà Nội, tận tình trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình làm luận văn tốt nghiệp Trong suốt q trình hồn thành luận văn, em hướng dẫn tận tình thầy giáo khoa, đồng thời bạn lớp Tốn Cơng nghệ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành báo cáo Cuối cùng, em xin bày tỏ lòng cảm ơn đến bạn người thân em, người động viên, góp ý cho em suốt thời gian hoàn thành luận văn Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 1.1 Khái niệm thị trường tài 1.2 Các hàng hố thị trường tài 1.2.1 Cổ phiếu số tài sản tài khác 1.2.1.1 Cổ phiếu 1.2.1.2 Phái sinh tài 1.2.1.3 Nội tệ (domestic currency), ngoại tệ (foreign currency) 1.2.2 Trái phiếu 1.2.2.1 Khái niệm trái phiếu 1.2.2.2 Một số đặc điểm chung trái phiếu 1.2.2.3 Trái phiếu rủi ro vỡ nợ (Default Risk Bonds) 11 1.2.2.4 Trái phiếu Brady (Brady Bonds) 15 CHƯƠNG II SƠ LƯỢC VỀ CÁC CƠNG CỤ TỐN HỌC ĐƯỢC SỬ DỤNG 19 2.1 Quá trình ngẫu nhiên 19 2.1.1 Một vài trình ngẫu nhiên 19 2.1.1.1 Khái niệm trình ngẫu nhiên 19 2.1.1.2 Q trình có gia số độc lập 20 2.1.2 Một số trình ngẫu nhiên quan trọng 20 2.1.2.1 Quá trình Wiener tiêu chuẩn 20 2.1.2.2 Quá trình Wiener tổng quát 22 2.1.2.3 Quá trình Poisson 23 2.1.2.4 Quá trình Ito bổ đề Ito 23 2.1.2.5 Quá trình phục hồi trung bình 24 2.2 Phương pháp mô Monte-Carlo 24 Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn 2.2.1 Giới thiệu phương pháp mô Monte-Carlo 24 2.2.2 Mơ gần đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn cho trước 25 CHƯƠNG III CÁC MƠ HÌNH TỐN TRONG QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG 27 3.1 Tổng quan rủi ro tín dụng (Credit Risk) 27 3.1.1 Khái niệm 27 3.1.2 Rủi ro tín dụng ngân hàng 28 3.2 Phương trình định giá trái phiếu tổng quát số mơ hình lãi suất 33 3.2.1 Phương trình định giá trái phiếu tổng quát 33 3.2.2 Một số mơ hình lãi suất 35 3.2.2.1 Mơ hình Vasicek 35 3.2.2.2 Mơ hình Cox-Intersoll-Ross 36 3.3 Mơ hình hóa rủi ro tín dụng 37 3.3.1 Giới thiệu 37 3.3.2 Mơ hình hóa vỡ nợ (Modeling default) 39 3.3.3 Giá trị công ty xem biến ngẫu nhiên 40 3.3.4 Mơ hình hóa với biến số tham số đo 44 3.3.5 Quá trình Poisson rủi ro vỡ nợ tức thời (the Poisson process and the instantaneous risk of default) 48 3.3.6 Nghiên cứu tình huống: trái phiếu ngang giá Argentina 58 3.3.7 Bảo hộ vỡ nợ 62 CHƯƠNG IV CÁC ÁP DỤNG TRONG QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG 64 4.1 Tính tốn rủi ro vỡ nợ tức thời trái phiếu công ty 64 4.2 Mô Monte Carlo dãy giá trái phiếu tồn rủi ro vỡ nợ 69 4.2.1 Mô lãi suất ngắn hạn giá trái phiếu phi rủi ro 70 Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn 4.2.2 Mô rủi ro vỡ nợ tức thời giá trái phiếu có rủi ro vỡ nợ 73 KẾT LUẬN .77 PHỤ LỤC Bảng 1: Chuỗi lãi suất ngắn hạn mô Bảng 2: Chuỗi giá trái phiếu phi rủi ro mô trường hợp lãi suất ngắn hạn tuân theo mơ hình Vasicek Bảng 3: Chuỗi giá trị rủi ro vỡ nợ tức thời giá trái phiếu tồn rủi ro vỡ nợ trường hợp lãi suất ngắn hạn tn theo mơ hình Vasicek TĨM TẮT Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1: Một trình Wiener 22 Hình 2: Phân phối xác suất lợi tức đầu tư 29 Hình 3: Phân bổ xác suất rủi ro danh mục đầu tư 30 Hình 4: Sơ đồ mơ tả hai trường hợp trình Poisson 50 Hình 5: Rủi ro vỡ nợ gợi ý trái phiếu ngang giá (Par bonds) Argentina, Brazil, Mexico and Venezuela với giả định p số 54 Hình 6: Giá thị trường trái phiếu ngang giá Argentina từ tháng 12 năm 1993 đến tháng năm 1996 60 Hình 7: Đường cong lợi suất trái phiếu kho bạc Mỹ từ tháng 12 năm 1993 đến tháng năm 1996 .61 Hình 8: Xác suất rủi ro vỡ gợi ý cho trái phiếu ngang giá Argentina, trường hợp mơ hình rủi ro vỡ nợ ngẫu nhiên .62 Hình 9: Rủi ro vỡ nợ tức thời trái phiếu công ty A .69 Hình 10: Mơ chuỗi lãi suất ngắn hạn theo mơ hình lãi suất Vasicek CIR 72 Hình 11: Mơ chuỗi giá trái phiếu phi rủi ro trường hợp lãi suất ngắn hạn theo mơ hình lãi suất Vasicek .73 Hình 12: Mơ chuỗi giá trị rủi ro tức thời có động thái tn theo mơ hình (53) .75 Hình 13: Mơ chuỗi giá trái phiểu có rủi ro vỡ nợ tức thời có động thái tn theo mơ hình (53) trường hợp lãi suất ngắn hạn tn theo mơ hình Vasicek 76 Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn MỞ ĐẦU Những nghiên cứu hầu hết nhà khoa học xếp cách hợp lý vào hai nhánh riêng biệt có liên quan chặt chẽ với nhau: lý thuyết thực nghiệm Các mơ hình mang tính lý thuyết xây dựng nhằm mơ giải thích tượng Mơ hình thực nghiệm xác định để đánh giá mối quan hệ yếu tố điều kiện thực tế Các nhà nghiên cứu tài đưa vận dụng mơ hình thực nghiệm nhằm kiểm định lý thuyết Họ sử dụng mơ hình thực nghiệm để xác định đánh giá tượng tài Trong lĩnh vực tài chính, mơ hình tốn thường có điều kiện thuận lợi để phát triển, thao tác điều chỉnh Do đó, có ngành khoa học xây dựng phát triển, lý thuyết tài (finance theory) hay tốn tài (mathematical finance) Lĩnh vực đưa đến phát triển hệ thống khái niệm phức tạp cần thiết để hiểu biết đầy đủ mặt trí tuệ hành vi thị trường tài chính, phát triển kĩ thuật tốn học mơ hình hữu ích tài Ở khía cạnh thực nghiệm, lĩnh vực tài ứng dụng (applied finance), bao gồm phạm vi rộng rãi kĩ thuật thương mại quản lý rủi ro đưa tiến hành thị trường tài khác ứng dụng phủ, tập đồn cá nhân để kiếm tìm lợi nhuận hạn chế mát họ hồn cảnh bất lợi Tốn tài ngành khoa học mới, nằm ranh giới hai ngành kinh tế-tài tốn ứng dụng Tuy nhiên với lịch sử phát triển vài chục năm gần đây, ngành tốn tài tiến bước dài, nhờ đóng góp trí tuệ cơng sức nhiều học giả lớn, hỗ trợ tập đồn tài chính, hết nhờ động lực phát triển mạnh mẽ thị trường tài Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn tồn cầu Tốn tài đóng góp lớn cho đời phát triển nhiều sản phẩm tài phức tạp, mà thiếu phương pháp luận tính tốn, khơng thể tồn việc kinh doanh không hiệu Việc áp dụng mơ hình tốn việc lượng hóa rủi ro tài nói chung rủi ro tín dụng nói riêng u cầu quan trọng có tính sống cịn hoạt động quản lý rủi ro kinh tế, đặc biệt hoạt động kinh doanh ngân hàng Đây loại hình kinh doanh đặc biệt, rủi ro hoạt động ngân hàng mang tính đặc thù, người ta quan tâm đặc biệt tới rủi ro tín dụng, loại hình rủi ro mà khơng kiểm sốt tốt gây thiệt hại vơ to lớn chí làm phá sản ngân hàng, làm phương hại đến toàn kinh tế Trong luận văn em xin trình bày vài mơ hình tốn quản lý rủi ro tín dụng, mà trọng tâm viết đề cập đến vấn đề mơ hình hóa xác định rủi ro vỡ nợ (risk of default) khoản cho vay (loans) ngân hàng nói riêng xác định rủi ro vỡ nợ trái phiếu rủi ro (risky bond) thị trường tài nói chung Tuy có nhiều cố gắng thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót, em kính mong thầy bảo bạn góp ý để trình bày tốt Em xin chân thành cảm ơn Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn CHƯƠNG I TỔNG QUAN VỀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Thị trường tài tồn cầu bao gồm toàn thị trường nước khu vực trải rộng toàn giới, với khối lượng lớn việc mua bán lại thị trường nơi từ nơi đến nơi khác thời điểm Sự giao dịch buôn bán thông qua nhà thương mại (traders), người tiến hành thương mại hoá hai bên, khách hàng họ (nhà đầu tư có tổ chức cá nhân) ơng chủ (các ngân hàng đầu tư hay tổ chức tài khác) Sự phong phú đa dạng thương vụ yếu tố định giá sản phẩm tài sẵn có Trước hết ta tìm hiểu sơ lược khái niệm thị trường tài cách phân loại thị trường tài 1.1 Khái niệm thị trường tài Thị trường tài nơi nguồn tài chuyển từ nơi dư thừa vốn sang nơi thiếu vốn Căn vào chất, chức phương thức hoạt động, thị trường tài chia thành ba loại chủ yếu, bao gồm thị trường tiền tệ, thị trường hối đoái thị trường vốn (đây cách phân loại phổ biến theo kiểu Anh, Mỹ) Thị trường tiền tệ thị trường trao đổi vốn ngắn hạn khoản vay liên ngân hàng mua bán chứng khoán ngắn hạn tín phiếu kho bạc, chứng tiền gửi Thời gian đáo hạn chứng khoán thị trường tiền tệ thường năm Thị trường mua bán tín phiếu kho bạc thường tổ chức thành thị trường tập trung Ngân hàng Trung ương lấy tín phiếu kho bạc làm cơng cụ thị trường mở điều hành sách tiền tệ Hầu phát triển áp dụng công cụ nghiệp vụ thị trường mở Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng Trần Đình Tuấn để bổ sung cho cơng cụ sách tiền tệ trực tiếp Thị trường chứng tiền gửi thị trường phi tập trung, mua bán chứng tiền gửi ngân hàng thương mại Thị trường hối đoái nơi giao dịch mua bán đồng tiền chuyển đổi Các đồng tiền mạnh có tính chuyển đổi cao trao đổi nhiều Đôla Mỹ, Yên Nhật Bản, EURO Thị trường hối đoái thị trường phi tập trung Ba thị trường hối đoái lớn giới London, Tokyo, New York Thị trường hối đối có quy mơ giao dịch ngày lên tới nghìn tỉ la, ví dụ năm 1998 doanh số trung bình hàng ngày thị trường 1600 tỉ USD Thị trường vốn (Capital market) thị trường huy động vốn dài hạn, chủ yếu thông qua phát hành chứng khốn Vì thị trường vốn đồng nghĩa với thị trường chứng khoán (Securities market) Thị trường chứng khoán coi thị trường huy động vốn trực tiếp, không qua trung gian; khác với hoạt động ngân hàng hoạt động cung cấp vốn gián tiếp, từ người tiết kiệm sang nhà doanh nghiệp, thông qua tổ chức trung gian ngân hàng Ngân hàng cung cấp vốn chủ yếu ngắn hạn cho doanh nghiệp, vốn dài hạn thông thường phải huy động qua thị trường chứng khốn Đối với cơng ty có triển vọng phát triển nhanh, có sản phẩm mới, có cơng nghệ cao có sức cạnh tranh thị trường chứng khoán nơi cung cấp vốn dài hạn hiệu nhất, doanh nghiệp muốn phát triển phải dựa vào thị trường chứng khoán 1.2 Các hàng hoá thị trường tài Các cơng cụ tài mua bán thị trường tài diễn tả tài sản sở (basic assets) phái sinh tài Tài sản bao gồm số loại cổ phiếu, trái phiếu, tín Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng 64 Trần Đình Tuấn CHƯƠNG IV CÁC ÁP DỤNG TRONG QUẢN LÝ RỦI RO TÍN DỤNG 4.1 Tính tốn rủi ro vỡ nợ tức thời trái phiếu công ty Giả sử thị trường tài có hai loại trái phiếu zero-coupon có thời gian đáo hạn T cho sau: • Trái phiếu phủ khơng tồn rủi ro vỡ nợ phát hành thời điểm 0, đáo hạn thời điểm T có mệnh giá USD Giá trái phiếu thời điểm t Z (r , t ) • Trái phiếu cơng ty A có rủi ro vỡ nợ phát hành thời điểm 0, đáo hạn thời điểm T có mệnh giá USD Giá trái phiếu thời điểm t V(r,t) Giả định rủi ro vỡ nợ tức thời (instantaneous risk of default) trái phiếu A số p, tức đến thời điểm t, công ty chưa vỡ nợ rủi ro vỡ nợ tức thời p xác suất để cơng ty vỡ nợ khoảng thời gian từ thời điểm t đến t + dt pdt Ta tính tốn giá trị rủi ro tức thời p trái phiếu A nói Theo mục 3.2.1 chương III ta thấy giá trái phiếu Z(r,t) trái phiếu phủ thỏa mãn “Phương trình định giá trái phiếu tổng quát” sau ∂Z ∂ Z ∂Z + w + (u − λ w) − rZ = ∂t ∂r ∂r thỏa mãn điều kiện cuối (45) Z(r,T) = Theo mục 3.3.5 chương III, ta thấy giá trái phiếu V(r,t) trái phiếu công ty thỏa mãn phương trình (32) định giá trái phiếu có rủi ro vỡ nợ sau Một vài mơ hình tốn rủi ro tín dụng 65 Trần Đình Tuấn ∂V ∂ 2V ∂V + w + (u − λ w) − (r + p)V = 0, ∂t ∂r ∂r (46) với điều kiện cuối là: V(r,T) = Ta nhận thấy biểu thức V (r , t ) = e− p(T −t ) Z (r , t ) thỏa mãn phương trình (46) điều kiện cuối V(r,T) = Z(r,t) thỏa mãn phương trình định giá trái phiếu tổng quát (45) điều kiện cuối Z(r,T) =1 Từ biểu thức V (r , t ) = e− p(T −t ) Z (r , t ) , suy p(t ) =  Z (r , t )  log   ∀t ≠ T T −t V (r , t )  (47) Giả sử ta ghi nhận số số liệu giá hai loại trái phiếu khoảng thời gian , cụ thể sau: Nếu chia khoảng thành n khoảng nhỏ có độ dài ∆t , t − ti = ∆t với i =0,1, ,n, ta i+1 giả sử biết giá hai trái phiếu thời điểm cuối t khoảng nhỏ i+1 [ti ] Vậy ta có quan sát {Z1, Z , , Z k } cho giá trái phiếu phủ khơng có rủi ro vỡ nợ quan sát cho giá trái phiếu công ty tồn rủi ro vỡ nợ {V1,V2 , ,Vk } Vì chưa hết thời gian trái phiếu đáo hạn nên ta ghi nhận giá hai trái phiếu k thời điểm trước đáo hạn, k