Mô hình thú mồi với sự lan truyền bệnh dịch nhanh trong quần thể thú

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - ĐÀO TUẤN ANH MƠ HÌNH THÚ MỒI VỚI SỰ LAN TRUYỀN BỆNH DỊCH NHANH TRONG QUẦN THỂ THÚ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Toán tin- Toán ứng dụng Hà Nội- 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - ĐÀO TUẤN ANH MƠ HÌNH THÚ MỒI VỚI SỰ LAN TRUYỀN BỆNH DỊCH NHANH TRONG QUẦN THỂ THÚ Chuyên ngành: Toán tin- Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Toán tin- Toán ứng dụng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS HÀ BÌNH MINH Hà Nội- 2011 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ động lực 1.1.1 Không gian trạng thái 1.1.2 Thời gian 1.1.3 Toán tử tiến hoá 10 1.1.4 Hệ động lực 11 Quỹ đạo hình ảnh pha hệ động lực 11 1.2.1 Quỹ đạo 11 1.2.2 Hình ảnh pha 13 1.3 Tập bất biến 13 1.4 Phương trình vi phân hệ động lực 14 1.5 Tương đương tôpô hệ động lực 16 1.2 Luận văn thạc sĩ 1.6 Nguyên lý bất biến Lasall 18 1.7 Tiêu chuẩn khơng tồn chu trình giới hạn 18 1.7.1 Tiêu chuẩn Bendixon 19 1.7.2 Tiêu chuẩn Dulac 19 Phương pháp tổ hợp biến 20 1.8.1 Định lý đa tạp tâm 20 1.8.2 Phương pháp tổ hợp biến 21 1.8 Mô hình thú mồi cổ điển Lotka- Volterra 2.1 Mơ hình 24 2.2 Phân tích mơ hình 24 2.2.1 Các điểm cân hệ động lực 24 2.2.2 Tính ổn định điểm cân 25 Bình luận ý nghĩa sinh học 27 2.3 23 Mơ hình bệnh dịch 28 3.1 Mơ hình 28 3.2 Phân tích mơ hình 29 3.2.1 Các điểm cân hệ động lực 29 3.2.2 Tính ổn định điểm cân 30 Bình luận ý nghĩa sinh học 31 3.3 Mơ hình thú mồi thứ với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú 32 4.1 4.2 4.3 Mơ hình 33 4.1.1 Mô hình thang thời gian chậm 33 4.1.2 Mơ hình thang thời gian nhanh 33 4.1.3 Mơ hình hồn thiện 34 Phân tích mơ hình hồn thiện 34 4.2.1 Mơ hình tổ hợp 34 4.2.2 Phân tích mơ hình tổ hợp 37 Bình luận ý nghĩa sinh học 44 Luận văn thạc sĩ Mơ hình thú mồi thứ hai với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú 47 5.1 5.2 5.3 Mô hình 47 5.1.1 Mơ hình thang thời gian chậm 48 5.1.2 Mơ hình thang thời gian nhanh 48 5.1.3 Mơ hình hồn thiện 48 Phân tích mơ hình hồn thiện 49 5.2.1 Mơ hình tổ hợp 49 5.2.2 Phân tích mơ hình tổ hợp 52 Bình luận ý nghĩa sinh học 57 Lời nói đầu Khoảng thập kỷ gần đây, lĩnh vực toán sinh thái đặc biệt mơ hình tốn cho sinh thái học quần thể phát triển mạnh mẽ Các mơ hình phát triển theo hướng mơ tả cụ thể, chi tiết trình sinh thái học quần thể ([22]) Khoảng năm 2000, nhóm nghiên cứu viện nghiên cứu phát triển IRD, đứng đầu GS VS Pierre Auger đưa lớp mô hình biểu diễn hai trình diễn hai thang thời gian khác (thang thời gian nhanh thang thời gian chậm) Các mơ hình biểu diễn dạng phương trình vi phân với tham số bé Để nghiên cứu loại phương trình này, nhóm tác giả đề xuất phương pháp tổ hợp biến (aggregation of variables) ([7], ([1], [18], [9], [8]) nhằm làm giảm số chiều làm giảm độ phức tạp việc nghiên cứu mơ hình Lớp mơ hình có nhiều ứng dụng sinh thái học quần thể mơ hình cạnh tranh ([9], [23], [24], [25]), mơ hình thú mồi ([22], [20], [21]), mơ hình bệnh dịch ([16], [19], [27]), mơ hình gắn với lí thuyết trị chơi ([4], [5]), Nằm số ứng dụng này, năm 2009, nhóm tác giả Pierre Auger, Rachid Mchich, Tanmay Chowdhury, Gauthier Sallet, Maurice Tchuente Joydev Chattopadhyay báo "Effects of a disease affecting a predator on the dynamics of a predator–prey system" đề xuất mơ hình mơ tả trình lây lan bệnh dịch nhanh quần thể thú mồi Mục đích nghiên cứu ảnh hưởng bệnh dịch lan truyền quần thể thú tác động cụ thể tới hệ động lực thú mồi Mục đích luận văn trình bày lại cách chi tiết báo "Effects of a disease affecting a predator on the dynamics of a predator–prey system" Bài báo đăng tạp chí Tốn Sinh học vào năm 2009 tác giả Pierre Auger, Rachid Mchich, Tanmay Chowdhury, Gauthier Sallet, Maurice Tchuente Joydev Chattopadhyay Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu thêm mơ hình mở rộng mơ hình trình bày báo đó, cụ thể Luận văn thạc sĩ tương tác khác hệ thú mồi Chúng tơi trình bày luận văn cụ thể năm chương • Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu ngắn gọn hệ động lực, khái niệm định nghĩa như: Không gian trạng thái, thời gian, toán tử tiến hoá, quỹ đạo, hình ảnh pha ([18]), Đặc biệt, số tính chất quan hệ động lực trình bày cách cụ thể như: Nguyên lý bất biến Lasall, tiêu chuẩn Dulac ([22]), • Chương Mơ hình thú mồi cổ điển Cũng giống tiêu đề chương, chương này, chúng tơi trình bày lại mơ hình thú mồi cổ điện Lotka- Volterra phân tích cách chi tiết mơ hình ([22], [20], [21]) • Chương Mơ hình bệnh dịch Trong chương này, tơi trình bày mơ hình bệnh dịch gọi cách cổ điển mơ hình SIRS phân tích chi tiết mơ hình ([16], [19]) • Chương Mơ hình thú mồi thứ với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú Trong chương này, chúng tơi trình bày lại mơ hình thú mồi báo "Effects of a disease affecting a predator on the dynamics of a predator–prey system" Một số kết trình bày cách đầy đủ chi tiết • Chương Mơ hình thú mồi thứ hai với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú Trong chương này, chúng tơi trình bày mơ hình với tương tác khác hệ động lực thú mồi Qua luận văn này, xin bày tỏ cảm ơn sâu sắc tới TS Hà Bình Minh TS Nguyễn Ngọc Doanh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi nhiều suốt thời gian thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu, cố gắng nỗ lực nhiều Tuy nhiên điều kiện thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót định Tơi mong đóng góp ý kiến bảo quý thầy cô bạn Tôi xin chân trọng cảm ơn! Học viên Đào Tuấn Anh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu vài khái niệm kiến thức chuẩn bị cho chương Trước hết định nghĩa hệ động lực ví dụ kèm theo Sau giới thiệu quỹ đạo, hình ảnh pha, tập bất biến, hệ động lực mơ tả phương trình vi phân ([18],[10],[11], [12]), Đặc biệt, chương chúng tơi trình bày phương pháp tổ hợp biến ([7], ([1], [18], [22]), ứng dụng nhiều chương sau 1.1 Hệ động lực Định nghĩa hệ động lực định nghĩa hình thức định nghĩa khoa học tổng quan trình xác định Các trạng thái khứ, tương lai hệ thống vật lý, hố học, sinh học, kinh tế, tham chí xã hội dự đốn trước ta biết trạng thái quy luật tiến hố chúng Nếu quy luật tiến hố khơng thay đổi theo thời gian dáng điệu hệ động lực hoàn toàn xác định biết trạng thái ban đầu Vì vậy, khái niệm hệ động lực bao gồm tập trạng thái có (khơng gian trạng thái) luật tiến hoá trạng thái thời gian Luận văn thạc sĩ 1.1.1 Không gian trạng thái Định nghĩa 1.1.1 Tất trạng thái tìm hệ động lực biểu diễn điểm tập X Tập X gọi khơng gian trạng thái hệ động lực Ví dụ 1.1.1 Con lắc đơn Trạng thái lắc đơn lý tưởng mơ tả tồn góc lệch Hình 1.1: Con lắc đơn so với phương thẳng đứng ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) vận tốc góc ϕ ˙ Hệ học có khơng gian trạng thái X= S × R+ , S tập góc ϕ ∈ [0, π], R+ trục số thực dương tương ứng với tất vận tốc có lắc đơn 1.1.2 Thời gian Định nghĩa 1.1.2 Sự phát triển hệ động lực có nghĩa thay đổi trạng thái hệ theo thời gian t ∈ T , T tập số Tập T nói gọi tập thời gian hệ động lực Có hai kiểu hệ động lực hệ động lực với thời gian liên tục hệ động lực với thời gian rời rạc Tuy nhiên, ứng dụng ta xét hệ động lực với thời gian liên tục (T = R) Luận văn thạc sĩ 1.1.3 Toán tử tiến hoá Định nghĩa 1.1.3 Thành phần hệ động lực luật tiến hố, xác định trạng thái xt hệ thời điểm t biết trạng thái ban đầu x0 Ta phát triển hệ động lực thời điểm t ∈ T ánh xạ ϕt định nghĩa không gian trạng thái ϕt : X −→ X, ánh xạ biến đổi trạng thái ban đầu x0 ∈ X sang trạng thái xt ∈ X thời điểm t cho xt = ϕt x0 Ánh xạ ϕt gọi toán tử tiến hố hệ động lực Tính chất tốn tử tiến hố: i) ϕ0 = Id, Id ánh xạ đồng X, tức Id(x)= x ∀ x ∈ X Điều thể không thay đổi trạng thái tự nhiên hệ ii) ϕt+s = ϕt ϕs , tức ϕt+s (x) = ϕt (ϕs (x)), ∀x ∈ X Điều thể kết xu hướng phát triển hệ t+ s đơn vị thời gian, bắt đầu thời điểm x ∈ X, cho hệ chuyển trạng thái sau s đơn vị thời gian, ta trạng thái ϕs (x), tiếp tục chuyển trạng thái sau t đơn vị thời gian ta kết trạng thái ϕt (ϕs (x)), giống ta cho hệ chuyển trạng thái ban đầu x sau t+ s đơn vị thời gian ta trạng thái ϕt+s (x) Như vậy, luật vận động hệ không thay đổi theo thời gian Hình 1.2: Tốn tử tiến hố 10 Luận văn thạc sĩ Mơ hình tổ hợp Vì S+ I+ R= p nên ta viết lại hệ  dn n np   = ε[rn(1 − ) − a ]   dτ K n + p    np dp   = ε[−µp + b ]   dτ n + p   nI dI = β(p − I − R)I − δI + ε[−µI + b  dτ n+p    dR nR   = (δI − γR) + ε[−µR + b ]   dτ n+p      dε = dτ Ma trận Jacobi hệ động lực  0 0  J(n, p, I, R, ε) =  0 −2βI 0 0 0 − βR − δ δ 0 −βI −γ (5.5)  ∗ ∗  ∗  ∗ Biểu thức dấu ∗ cồng kềnh, không ảnh hưởng tới việc đánh giá giá trị riêng ma trận TH1: Nếu p < δ/β ma trận Jacobi  0  J(n, p, 0, 0, 0) =  0 0 0 0 0 0 −δ δ 0 0 −γ  ∗ ∗  ∗  ∗ Các giá trị riêng ma trân λ1 = λ2 = λ3 = 0, λ4 = −δ, λ5 = −γ Do đó, điều kiện định lý đa tạp tâm thoả mãn Thay S = p, I = R = vào hệ phương trình ban đầu ta 50 Luận văn thạc sĩ  dn n np   = ε[rn(1 − ) − a ]   K n+p  dτ ⇔   np dp   = ε[−µp + b ]  dτ n+p  dn n np   = rn(1 − ) − a   K n+p  dt (1)   dp np   = −µp + b  dt n+p TH2: Nếu p > δ/β ma trận Jacobi  0 0 0  ∗ ∗ ∗ ∗  J(n, S , I , R , 0) = 0 −2βI − βR∗ − δ 0 δ 0 Phương trình  λ 0  det  0 0 0 −βI ∗ −γ  ∗ ∗  ∗  ∗ đặc trưng ma trận λ 0 0 ∗ λ + 2βI − +βR∗ + δ −δ 0 βI ∗ λ+γ ∗ ∗ ∗ λ    =0  ∗ ⇔λ3 [(λ + γ)(λ + 2βI ∗ + βR∗ + δ) + βδI ∗ ] = ⇔λ1 = λ2 = λ3 = λ2 + (2βI ∗ + βR∗ + δ + γ)λ + (2βI ∗ + βR∗ + δ)γ + βδI ∗ = 0(∗) Gọi λ4 , λ5 hai nghiệm phương trình (*), theo định lý Viet ta có λ4 + λ5 < λ4 λ5 > suy Reλ4 < Reλ5 < 51 Luận văn thạc sĩ Do đó, điều kiện định lý đa tạp tâm thoả mãn, thay (S ∗ , I ∗ , R∗ ) vào hệ ban đầu ta có  dn n np   = ε[rn(1 − ) − a ]   K n+p  dτ ⇔   np dp   = ε[−µp + b ]  dτ n+p  dn n np   = rn(1 − ) − a   K n+p  dt (2)   dp np   = −µp + b  dt n+p Như vậy, từ mơ hình (1) (2) ta có mơ hình tổ hợp  dn n np   = rn(1 − ) − a   K n+p  dt   dp np   = −µp + b  dt n+p 5.2.2 Phân tích mơ hình tổ hợp Các điểm cân hệ động lực Xét hệ phương trình  n np rn(1 − ) − a =0 K n+p −µp + b np = n+p Từ hệ phương trình ta có n=0 p=0 n=K p=0 52 Luận văn thạc sĩ  n p r(1 − ) = a K n+p µ = b n n+p Có điểm cân là: (0, 0), (K, 0), (n∗ , p∗ ), n∗ = br − ab + aµ K br p∗ = b−µ ∗ n b Bằng cách đặt e = a/b, ta viết lại n∗ = (1 − a µ + e)K r r e p∗ = (1 − µ)n∗ a Với ý ta coi e > Nếu e < (r − a)/µ e < a/µ (n∗ , p∗ ) điểm cân dương, ngược lại (n∗ , p∗ ) khơng phải điểm cân dương Tính ổn định điểm cân Ma trận Jacobi hệ động lực  n rn p anp r(1 − K ) − K − a n + p + (n + p)2 J(n, p) =   bp2 (n + p)2  an2 −  (n + p)2  bn bnp  −µ + − n + p (n + p)2 • Tại điểm (0, 0), ma trận Jacobi J(0, 0) = r 0 −µ Ma trận có hai giá trị riêng λ1 = r λ2 = −µ Vì λ1 = r > nên điểm (0, 0) điểm cân không ổn định 53 Luận văn thạc sĩ • Tại điểm (K, 0), ma trận Jacobi J(K, 0) = −r −a −µ + b Ma trận có hai giá trị riêng λ1 = −r λ2 = −µ + b - Nếu b ≥ µ, tức e ≤ a/µ (K, 0) điểm cân khơng ổn định - Nếu µ > b, tức e > a/µ (K, 0) điểm cân ổn định • Tại điểm (n∗ , p∗ ), ma trận Jacobi  rn∗ an∗ p∗ − +  K (n∗ + p∗ )2 J(n∗ , p∗ ) =   bp∗2 (n∗ + p∗ )2 Với ý  an∗2 − ∗ (n + p∗ )2   bn∗ p∗  − ∗ (n + p∗ )2 n∗ a µ = − − e, K r r ∗ n µ eµ = = , ∗ ∗ n +p b a p∗ r n∗ r a µ µ = (1 − ) = ( + e) = + e n∗ + p∗ a K a r r a ta viết lại  e2 µ2 −r + a + 2eµ + J(n∗ , p∗ ) =  a µ a (1 + ) e a 54  e2 µ2 − aµ  −µ(1 + e) a Luận văn thạc sĩ Xét phương trình đặc trưng ma trận det(λI − J(n∗ , p∗ )) =   e2 µ2 e2 µ2 λ + r − a − 2eµ − a µ =0 ⇔det  a µ a − (1 + ) λ + µ(1 + e) e a a 2 e µ µ µ ⇔(λ + r − a − 2eµ − )(λ + µ(1 + e)) + eµ2 (1 + e)2 = a a a 2 e µ µ ⇔λ2 + (r − a − 2eµ − + µ(1 + e))λ a a 2 e µ µ µ + (r − a − 2eµ − )(1 + e)µ + eµ2 (1 + e)2 = a a a Gọi λ1 , λ2 hai nghiệm phương trình đặc trưng, theo định lý Viét ta có  2  λ1 + λ2 = µ e2 + (2µ − µ )e − r + a − µ a a 2 µ µ e µ  λ1 λ2 = (r − a − 2eµ − )(1 + e)µ + eµ2 (1 + e)2 a a a  2 λ + λ = µ e2 + (2µ − µ )e − r + a − µ (đặt= f (e)) a a ⇔ λ λ = µ(1 + µ e)(r − a − eµ) a Vì e < (r − a)/µ nên r − a − eµ > 0, λ1 λ2 > Bây giờ, ta xét dấu hàm f (e) = µ2 µ2 e + (2µ − )e − r + a − µ a a với mục đích xét dấu λ1 λ2 Ta có µ4 arµ2 ∆= + a a Toạ độ đỉnh parabol: e0 = a − µ f (e0 ) = − µ2 −r 4a 55 Luận văn thạc sĩ Vì ∆ > nên phương trình f (e) = có hai nghiệm phân biệt e1 = a − − µ ar + µ2 e2 = a − + µ ar + µ2 Ta thấy e2 > 1 a ar ⇔ − + + >1 µ µ2 ar a ⇔ + > + µ µ a a2 ar ⇔ + > + + µ µ µ r a ⇔ > +1 µ µ ⇔r > a + µ Điều ln r > a + eµ e > nên r > r + µ Như vậy, với điều kiện < e < e2 f (e) < Do đó, < e < e2 , e < a/µ, e < (r − a)/µ (n∗ , p∗ ) điểm cân dương ổn định Tuy nhiên, ta rút điều kiện e, với ý e2 < (r−a)/µ Thật r−a µ a ar r−a ⇔ − + + < µ µ µ ar r + < − ⇔ µ µ ar r r2 ⇔ + < − + (với điều kiện r > µ/2) µ µ µ r a ⇔ < −1 + µ µ ⇔r > a + µ e2 < Điều ln Tóm lại, < e < e2 , e < a/µ (với điều kiện r > µ/2) (n∗ , p∗ ) điểm cân dương ổn định 56 Luận văn thạc sĩ 5.3 Bình luận ý nghĩa sinh học Như vậy, chương này, nghiên cứu ảnh hưởng bệnh dịch lan truyền quần thể thú hệ động lực thú mồi Đầu tiên, mơ hình SIRS sử dụng để miêu tả lan truyền bệnh dịch quần thể thú Trong mơ hình này, quần thể thú chia ba thành phần là: S (susceptible), I (infected) R (recoverd) Mặt khác, tương tác thú mồi mơ hình hố phương trình  dn n np   = rn(1 − ) − a   K n+p  dt   dp np   = −µp + b  dt n+p Giả sử có hai thang thời gian: thang thời gian nhanh lan truyền bệnh dịch lan truyền quần thể thú, thang thời gian chậm tương tác thú mồi chết di thú Phương pháp tổ hợp biến sử dụng để đưa mơ hình rút gọn mà tương đương với mơ hình ban đầu với tham số (n, p), n giá trị cân nhanh quần thể mồi p giá trị cân nhanh quần thể thú Tuy có hai điểm cân ổn định có mơ hình tổ hợp Phân tích mơ hình tổ hợp ta có hai điểm cân không âm ổn định tiệm cận, cụ th nh sau: ã Nu e > a/à thỡ h động lực khơng có điểm cân ổn định dương, mà có điểm cân ổn định (K, 0), tức thú bị tuyệt chủng mật độ mồi tiến đến sức chứa mơi trường Hình 5.1 minh hoạ cho điều ú ã Nu e < a/à v < e < e2 , (r > µ/2) hệ động lực có điểm cân ổn định dương (n∗ , p∗ ), tức tổng mật độ thú tiến đến giá trị cân p∗ tổng mật độ mồi tiến đến giá trị cân n∗ Hình vẽ 5.2 minh họa cho điều Đây điểm cân hệ động lực mà có chứa hai trường hợp: khơng có bệnh dịch lan truyền quần thể thú (tức S = p∗ , I = 0, R = 0), có bệnh dịch lan truyền quần thể thú (tức S = S ∗ , I = I ∗ , R = R∗ ) Hình vẽ 5.3 5.4 minh hoạ cho điều Như vậy, chúng tơi trình bày xong mơ hình thú mồi có lan truyền bệnh dich quần thể thú Qua việc nghiên cứu mơ hình, chúng tơi có vài kết thú vị Tốn Sinh học 57 Luận văn thạc sĩ Hình 5.1: (K, 0) điểm cân ổn định tiệm cận với tham số ta chọn r = 1,K = 5, a = 1, b = 0.5, β = 0.5, δ = 0.8, γ = 1, µ = 0.8 Hình 5.2: (n∗ , p∗ ) điểm cân ổn định tiệm cận với tham số ta chọn r = 2,K = 5, a = 1, b = 0.5, β = 0.5, δ = 0.8, γ = 1, µ = 0.1 58 Luận văn thạc sĩ Hình 5.3: Điểm cân có bệnh dịch với tham số r = 2,K = 5, a = 1, b = 1.5, β = 0.5, δ = 2, γ = 1, µ = 0.8 59 Luận văn thạc sĩ Hình 5.4: Điểm cân không bệnh dịch với tham số r = 2,K = 5, a = 1, b = 0.5, β = 0.1, δ = 2.5, γ = 1, µ = 0.1 60 Luận văn thạc sĩ Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình cách chi tiết kiến thức hệ động lực phương pháp tổ hợp biến Tiếp theo, luận văn trình bày lại mơ hình cổ điển là: mơ hình thú mồi LotkaVolterra, mơ hình bệnh dịch SIRS kết hợp hai mơ hình trên, nội dung báo "Mơ hình thú mồi với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú" tác giả Pierre Đặc biệt, luận văn trình bày mơ hình thú mồi có lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú Bằng phương pháp tổ hợp biến, đưa mô hình cho mơ hình rút gọn, mà tương đương với mơ hình ban đầu điểm cân cấu trúc Nghiên cứu mơ hình rút gọn đưa số kết luận thú vị cho hệ động lực thú mồi Tuy nhiên, luận văn bước đầu tìm hiểu hệ động lực, chưa đưa mơ hình phức tạp cho hệ thú mồi, chẳng hạn như: chưa có kết hợp mơ hình cạnh tranh quần thể thú, quần thể mồi với mơ hình bệnh dịch lan truyền quần thể thú, quần thể mồi, Chúng tơi hi vọng tương lai có giúp đỡ, bảo tận tình quý thầy cô anh, chị, em đồng nghiệp, tiếp tục nghiên cứu cách sâu sắc lĩnh vực này, nhằm đưa kết thực tế thú vị đặc sắc phù hợp với thực tiễn 61 Tài liệu tham khảo [1] Auger P., Bravo de la Parra R (2000), Methods of aggregation of variables in population dynamics [2] Auger P., Poggiale J.C (1996), Emergence of population growth model: fast migration and slow growth [3] Auger P., Roussarie R (1994), Complex ecological models with simple dynamics from individuals to population [4] Auger P., Bravo de la Parra R., Morand S., Sánchez E (2002), A prey- predator model with predator using hawk and dove tactics [5] Auger P., Kooi B.W., Bravo de la Parra R., Poggiale J.C (2006), Biffurcation analysis of a prey- predator model with predator using hawk and dove tactics [6] Auger P., Mchich R., Chowdhury T., Sallet G., Tchuente M., Chattopadhyay J (2009), Effects of a disease affecting a predator on the dynamics of a predator- prey system [7] Auger P., Bravo de la Parra R., Poggiale J C., Sánchez E., Sanz L., Aggregation methods in dynamical systems and applications in population and community dynamics [8] Arrowsmith D.K., Place C.M (1992), Dynamical Systems: Differential Equations, maps and chaotic behaviour [9] Arrowsmith D., Place C (1990), An Introduction to Dynamical Systems, Cambrigde University Press, Cambrigde [10] Bazykin, A (1985), Mathematical Biophysics of Interacting Populations, Nauka, Moscow in Russian 62 Luận văn thạc sĩ [11] Birkhoff, G [1927], Dynamical systems, Amer Mathe Soc Collop Publ [12] Carr, J [1981], Applications of Center Manifold Theory, SpingerVerlag, New York [13] Chattopadhyay J., Arino O (1999), A predator- prey model with disease in the prey [14] Guckenheimer J., Holmes P (1983), Nonlinear Ocsillations, Dynamical Systems and bifurcations of Vector Fields, Spinger- Verlag, New York [15] Irwin, M (1980), Smooth Dynamical Systems, Academic Press, New York [16] Junjie, C (2004) An SIRS epidemic model [17] Kot, M., Elements of Mathematical Ecology, Cambrigde [18] Kuznetsov, Y.A., Elements of applied bifurcation theory [19] Malm, J., (2004), A Mini- Essay on Epidemiological Modelling of Influneza [20] Mchich R., Auger P., Lett C (2006), Effects of aggregative and solitary individual behaviors on the dynamics of predator- prey game models [21] Mchich R., Auger P., Poggiale J.C (2007), Effects of predator density dependent dispersal of prey on stability of a predatorprey system [22] Murray, J.D.,Mathematical Biology: I An introduction [23] Nishimura K., Kishada O (2001), Couple of two competitve systems via density- dependent migration [24] Nguyen N.D., Bravo de la Parra R., Zavala M., Auger P (2009), Competition and species coexistence in a matapopulation model: can fast dispersal revese the outcome of competition? [25] Nguyen N.D., Nguyen H.T., Auger P (2009), Effects of refuges and density dependent dispersal on interspecific competition dynamics 63 Luận văn thạc sĩ [26] Pielou, E., (1969), Introduction to Mathematical Ecology, WileyInterscience, Berlin [27] Tassier, T (2005), SIRS model of Epidemics [28] Venturino, E., (2002), Epidemics in predator- prey models: disease in the predators [29] Xiao Y., Chen L., (2001), Modelling and analysis of a predatorprey model with disease in the prey 64 ... bày mơ hình thú mồi khác có lan truyền bệnh dịch quần thể thú 46 Chương Mơ hình thú mồi thứ hai với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú Trong chương này, nghiên cứu hệ động lực thú mồi khác... hưởng bệnh dịch lan truyền quần thể thú hệ động lực thú mồi Đầu tiên, mơ hình SIRS sử dụng để miêu tả lan truyền bệnh 44 Luận văn thạc sĩ dịch quần thể thú Trong mơ hình này, quần thể thú chia... trình bày mơ hình phức tạp hơn, kết hợp mơ hình bệnh dịch SIRS mơ hình thú mồi cổ điển Lotka- Volterra 31 Chương Mơ hình thú mồi thứ với lan truyền bệnh dịch nhanh quần thể thú Trong chương này,