Xây dựng mô hình mô phỏng và kiểm nghiệm bền của máy bay nhỏ trong các chế độ bay có sử dụng mô đun vật liệu composite đồng nhất đa cấp độ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI PHẠM VŨ THỊNH Phạm Vũ Thịnh KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC XÂY DỰNG MƠ HÌNH MÔ PHỎNG VÀ KIỂM NGHIỆM BỀN CỦA MÁY BAY NHỎ TRONG CÁC CHẾ ĐỘ BAY CĨ SỬ DỤNG MƠ-ĐUN VẬT LIỆU COMPOSITE ĐỒNG NHẤT ĐA CẤP ĐỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC KHỐ CLC2017B HÀ NỘI – NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Phạm Vũ Thịnh XÂY DỰNG MƠ HÌNH MƠ PHỎNG VÀ KIỂM NGHIỆM BỀN CỦA MÁY BAY NHỎ TRONG CÁC CHẾ ĐỘ BAY CĨ SỬ DỤNG MƠ-ĐUN VẬT LIỆU COMPOSITE ĐỒNG NHẤT ĐA CẤP ĐỘ Chuyên ngành: Kỹ thuật Cơ khí Động lực LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Thị Tuyết Nhung HÀ NỘI – NĂM 2018 Mục lục Lời cam đoan iv TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN vi ABSTRACT OF THESIS .vi Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vii Danh mục bảng viii Danh mục hình vẽ, đồ thị ix MỞ ĐẦU xii CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ MÁY BAY UAV VÀ MULTICOPTER 1.1 Tổng quan máy bay không người lái UAV 1.1.1 Giới thiêu chung 1.1.2 Ưu nhược điểm máy bay không người lái 1.1.3 Vai trị máy bay khơng người lái 1.1.4 Phân loại 1.2 Tổng quan UAV (Multicopter) 1.2.1 Lịch sử phát triển Multicopter 1.2.2 Cấu tạo Multicopter 1.2.3 Điều khiển bay 16 CHƯƠNG II: TÍNH TỐN, LỰA CHỌN, THIẾT KẾ MULTICOPTER 21 2.1 Tính tốn chọn thiết bị cho Multicopter 21 2.1.1 Tính tốn sơ khối lượng 21 2.1.2 Lựa chọn thiết bị điện 21 2.2 Khung Multicopter 24 2.3 Phân tích mỏi kiểm bền UAV 25 2.3.1 Tuổi thọ mỏi UAV 25 2.3.2 Phương pháp đánh giá tuổi thọ 26 CHƯƠNG III: MÔ PHỎNG KIỂM NGHIỆM KẾT CẤU 30 MULTICOPTER D130 X8 V2 U10 30 3.1 Xây dựng mơ hình hình học Multicopter 30 3.1.1 Thiết kế khung Multicopter phần mềm thiết kế Solid Works 30 i 3.1.2 3.2 Thiết lập thông số vật liệu cho mơ hình 31 Kiểm nghiệm độ bền kết cấu Multicopter D130 X8 V2 U10 34 3.2.1 Ta thiết lập thơng số vật liệu cho mơ hình 34 3.2.2 Chia lưới 34 3.2.3 Thực mô trường hợp Multicopter bay treo 34 3.2.4 Thực mô trường hợp Multicopter bay cất cánh 37 3.2.5 Thực mô trường hợp Multicopter bay hạ cánh 40 3.2.6 Thực mô trường hợp Multicopter bay tiến 43 3.3 Kết luận 47 CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG MODULE VẬT LIỆU COMPOSITE ĐỒNG NHẤT ĐA CẤP ĐỘ VÀO KIỂM NGHIỆM BỀN CỦA MULTICOPTER 48 4.1 Phương pháp mơ hình hóa vật liệu Composite 48 4.1.1 Mơ hình Direct Mori-Tanaka 48 4.1.2 Kết biện luận 51 4.2 Áp dụng mơ hình Mori-Tanaka vào kiểm nghiệm bền Multicopter chế độ bay 54 4.2.1 Ước đốn tính vật liệu composite sử dụng mơ hình Mori-Tanaka 54 4.2.2 Kết biện luận 57 4.3 Tổng hợp kết so sánh 70 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 73 Kết đạt 73 Những hạn chế hướng phát triển 73 Lời cảm ơn 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 PHỤ LỤC 76 Ma trận độ mềm cho số loại vật liệu [10] 76 Ma trận Eshelby sử dụng cho mơ hình Mori-Tanaka 76 ii CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên tác giả luận văn: Phạm Vũ Thịnh Đề tài luận văn: Xây dựng mơ hình mơ kiểm nghiệm bền máy bay nhỏ chế độ bay có sử dụng mơ-đun vật liệu composite đồng đa cấp độ Chuyên ngành: Kỹ thuật Cơ khí động lực Mã số HV: CBC17012 Tác giả, Người hướng dẫn khoa học Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên họp Hội đồng ngày 26/04/2018 với nội dung sau: - Rà soát, chỉnh sửa lại lỗi trình bày, đánh dấu thứ tự cơng thức - Việt hóa số hình ảnh - Loại bỏ Chương 5: Kết luận kiến nghị chuyển thành phần riêng, độc lập - Chỉnh sửa, bổ sung thông tin cho xác Ngày Giáo viên hướng dẫn TS Lê Thị Tuyết Nhung tháng năm 2018 Tác giả luận văn Phạm Vũ Thịnh CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Vũ Đình Quý iii LỜI CAM ĐOAN Tôi – Phạm Vũ Thịnh, học viên lớp Cao học Kỹ thuật Cơ khí động lực khóa CLC2017B Trường Đại học Bách khoa Hà Nội – cam kết luận văn cơng trình nghiên cứu thân hướng dẫn TS Lê Thị Tuyết Nhung – Viện Cơ khí động lực – Đại học Bách khoa Hà Nội Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn xin chịu trách nhiệm nghiên cứu Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả Phạm Vũ Thịnh iv Xác nhận giáo viên hướng dẫn mức độ hoàn thành luận văn Thạc sĩ cho phép bảo vệ: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Giảng viên hướng dẫn TS Lê Thị Tuyết Nhung v TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN Tóm tắt: Nhiệm vụ luận văn thực nghiên cứu quy trình phân tích độ bền kết cấu máy bay khơng người lái nhiều chong chóng mang vật liệu composite chế độ bay khác Sau sử dụng module vật liệu đồng đa cấp độ để tìm lựa chọn tối ưu cho vật liệu composite sử dụng Trọng tâm luận văn thực mô kiểm bền kết cấu máy bay khơng người lái nhiều chong chóng mang chế độ bay khác sử dụng module Static Structure phần mềm mô ANSYS Đồng thời xây dựng chương trình dùng để dự đốn ứng xử vật liệu composite dựa mơ hình đồng đa cấp độ từ thu thơng số đầu vào tính vật liệu cho tốn mơ kiểm bền giúp bước đầu tìm lựa chọn sơ cho tối ưu hóa vật liệu composite sử dụng Mơ hình sử dụng đề tài mơ hình Mori-Tanaka, mơ hình cho phép dự đốn ứng xử vật liệu composite có tính đến hướng sợi Việc thực kiểm bền phương pháp mơ giúp tiết nhiều thời gian chi phí so với phương pháp thử nghiệm truyền thống Sử dụng chương trình tính tốn tính vật liệu giúp dự đốn ứng xử nhiều loại vật liệu, giảm thời gian chí phí làm thực nghiệm giúp có lựa chọn sơ nhanh chóng cho tối ưu hóa vật liệu Từ khóa: UAV, Structural strength test, Mori-Tanaka method, Python ABSTRACT OF THESIS Abstract: This thesis aimed to study the procedure for analyzing the structural strength of the Multicopter UAV (Unmanned Aerial Vehicle) at different flight modes While using the Multi-scale homogenization method for initial material optimization This thesis concentrated on doing simulation for analyzing the structural strength of the UAV at different flight modes using Module Static Structure of the software ANSYS After that, building a program to predict the mechanical behavior of the composite material The method used in this thesis is the Mori-Tanaka method This method allows to predict the mechanical behavior of the composite material including the random fiber orientation type By using simulation software for analyzing the structural strength helps decreasing time and costs for doing experimental Using the program for calculate the mechanical behavior of the composite also helps decreasing time and cost for doing experimental and helps us have the initial decide for material optimization Keywords: UAV, Structural strength test, Mori-Tanaka method, Python vi Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt UAV: Unmanned Aerial Vehicle UAS: Unmanned Aerial System UAVS: Unmanned Aerial Vehicle System AM: Amplitude modulation FM: Frequency modulation PDB: Power Distribution Board TX: Transmitter PX: Receiver PWM: Pulse – width modulation PPM: Pulse – duration modulation S.BUS: System b vii Danh mục bảng Bảng 1: Các thông số thiết kế động 22 Bảng 2: Thông số thực nghiệm động T-MOTOR U10 KV100 22 Bảng 3: Bộ điều tốc T-MOTOR Flame 80A 24 Bảng 4: Thông số pin 6S Lipo 24 Bảng 5: Thông số vật liệu composite sợi carbon [7] 24 Bảng 6: Tổng hợp tỉ lệ ứng suất trường hợp 29 Bảng 7: Kết chế độ bay 47 Bảng So sánh kết mơ hình với thực nghiệm với vật liệu Composite Glass/Epoxy 52 Bảng So sánh kết mô hình với thực nghiệm với vật liệu Composite Graphit/Epoxy 53 Bảng 10: Kết tính vật liệu composite Glass/Epoxy 45%, sợi đơn hướng 55 Kết thu được: 55 Bảng 11: Kết tính vật liệu composite Graphite/Epoxy 30%, sợi nhị hướng 56 Kết thu được: 57 Bảng 12: Kết tính vật liệu composite Graphite/Epoxy 30%, sợi tam hướng 57 Bảng 13: Tổng hợp kết kiểm bền Multicopter với vật liệu khác 71 viii Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 65: Ứng suất Multicopter chế độ bay cất cánh c) Chế độ bay hạ cánh Chuyển vị Multicopter chế độ bay hạ cánh: Chuyển vị max:12.1mm Hình 66: Chuyển vị Multicopter chế độ bay hạ cánh Ứng suất Multicopter chế độ bay cất cánh: Ứng suất max: 37.8x106 Pa 64 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 67: Ứng suất Multicopter chế độ bay hạ cánh d) Chế độ bay tịnh tiến Chuyển vị Multicopter chế độ bay tịnh tiến: Chuyển vị max:21.9mm Hình 68: Chuyển vị Multicopter chế độ bay tịnh tiến Ứng suất Multicopter chế độ bay tịnh tiến: Ứng suất max: 45.02x106 Pa 65 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 69: Ứng suất Multicopter chế độ bay tịnh tiến 4.2.2.3 Sử dụng vật liệu Composite Graphite/Epoxy 30%, sợi tam hướng Trong phần sử dụng vật liệu Composite Graphite/Epoxy tỉ lệ thể tích sợi 30%, sợi tam hướng, hướng sợi 0°, -45° +45° Việc sử dụng vật liệu composite sợi tam hướng có ưu điểm giúp cải thiện tính vật liệu theo phương, ngồi cặp hướng sợi ±45° giúp cân tốt độ bền dọc trục độ bền cắt Các thông số tính vật liệu lấy từ kết tính tốn chương trình Mori-Tanaka phần 4.2.1 Kết thu sau chạy mô kiểm bền cho chế độ bay Multicopter sử dụng vật liệu trình bày a) Chế độ bay treo Chuyển vị Multicopter chế độ bay treo: Chuyển vị max: 8.1mm 66 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 70: Chuyển vị Multicopter chế độ bay treo Ứng suất Multicopter chế độ bay treo: Ứng suất max: 26.2x106 Pa Hình 71: Ứng suất Multicopter chế độ bay treo b) Chế độ bay cất cánh Chuyển vị Multicopter chế độ bay cất cánh: Chuyển vị max:13.4mm 67 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 72: Chuyển vị Multicopter chế độ bay cất cánh Ứng suất Multicopter chế độ bay cất cánh: Ứng suất max: 43.1x106 Pa Hình 73: Ứng suất Multicopter chế độ bay cất cánh c) Chế độ bay hạ cánh Chuyển vị Multicopter chế độ bay hạ cánh: Chuyển vị max:6.9mm 68 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Hình 74: Chuyển vị Multicopter chế độ bay hạ cánh Ứng suất Multicopter chế độ bay cất cánh: Ứng suất max: 25.1x106 Pa Hình 75: Ứng suất Multicopter chế độ bay hạ cánh d) Chế độ bay tịnh tiến 69 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Chuyển vị Multicopter chế độ bay tịnh tiến: Chuyển vị max:9.9mm Hình 76: Chuyển vị Multicopter chế độ bay tịnh tiến Ứng suất Multicopter chế độ bay tịnh tiến: Ứng suất max: 32.6x106 Pa Hình 77: Ứng suất Multicopter chế độ bay tịnh tiến 4.3 Tổng hợp kết so sánh 70 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Bảng 13: Tổng hợp kết kiểm bền Multicopter với vật liệu khác Multicopter vật liệu Composite sợi Carbon F584 Bay treo Cất cánh Hạ cánh Chuyển vị (mm) 18.6 30.7 20.5 Ứng suất (Pa) 40.698x106 67.002 x106 34.059 x106 Tịnh tiến 22.8 50.842 x106 Khối lượng riêng 2000 vật liệu (kg/m3) Multicopter vật liệu Composite Glass/Epoxy 45% Bay treo Cất cánh Hạ cánh Tịnh tiến Chuyển vị (mm) 10.7 17.64 8.54 13.2 6 Ứng suất (Pa) 23.57 x10 38.76 x10 22 x10 29.3 x106 Khối lượng riêng 1785 vật liệu (kg/m3) Multicopter vật liệu Composite Graphite/Epoxy 30%, sợi nhị hướng Bay treo Cất cánh Hạ cánh Tịnh tiến Chuyển vị (mm) 17.9 29.4 12.1 21.9 6 Ứng suất (Pa) 36.9 x10 60.9 x10 37.8 x10 45.02 x106 Khối lượng riêng 1380 vật liệu (kg/m3) Multicopter vật liệu Composite Graphite/Epoxy 30%, sợi tam hướng Bay treo Cất cánh Hạ cánh Tịnh tiến Chuyển vị (mm) 8.1 13.4 6.9 9.9 6 Ứng suất (Pa) 26.2 x10 43.1x10 25.1 x10 32.6 x106 Khối lượng riêng 1380 vật liệu (kg/m ) Dựa vào bảng trên, dễ dàng nhận thấy vật liệu composite Graphite/Epoxy 30% tỉ lệ thể tích sợi, sợi tam hướng có khối lượng riêng nhỏ mà lại cho Ứng suất tương đối nhỏ so với vật liệu lại Vật liệu Composite Graphite/Epoxy 30% tỉ lệ thể tích sợi, sợi nhị hướng có khối liệng riêng với vật liệu composite Graphite/Epoxy sợi tam hướng, nhiên ứng suất thu lại lớn nhiều Đây tính chất vật liệu composite tam hướng có tính đồng theo đa phương so với vật composite nhị hướng Ngoài cặp họ sợi ±45° vật liệu composite tam hướng giúp tăng khả chịu uốn kết cấu 71 Chương 4: Áp dụng module vật liệu composite đồng đa cấp độ vào kiểm nghiệm bền Multicopter Vật liệu composite Glass/Epoxy 45% có khối lượng riêng nặng vật liệu composite Graphite/Epoxy gần 30% Tuy nhiên ưu điểm loại vật liệu giá thành rẻ so với vật liệu composite Graphite/Epoxy Ngoài dễ dàng nhận thấy ứng suất thu trường hợp nhỏ nhất, đảm bảo đáp ứng đủ độ bền cho Multicopter hoạt động Vậy tùy vào khía cạnh ưu tiên giá hay tối ưu trọng lượng Multicopter mà lựa chọn loại vật liệu cho phù hợp Qua kết trên, dễ nhận thấy rằng, việc sử dụng module Mori-Tanaka (module vật liệu composite đồng đa cấp độ) hữu ích việc ước tính nhanh tính vật liệu nhằm thu thơng số đầu vào tính vật liệu cho tốn kiểm bền Từ nhanh chóng có lựa chọn sơ vật liệu tối ưu cho chế tạo Multicopter dựa yêu cầu đặt khối lượng, độ bền Kết hợp việc sử dụng module Mori-Tanaka phần mềm Ansys để thực mô kiểm bền kết cấu Multicopter chế độ bay giúp tiết kiệm thời gian chi phí cho thực nghiệm kiểm bền kết cấu mà đồng thời giúp loại bỏ thực nghiệm để tìm tính vật liệu chi phí quyền cho phần mềm tính tốn tính vật liệu thị trường 72 Kết luận kiến nghị KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết đạt Luận văn thạc sĩ hoàn thành mục tiêu ban đầu đặt Đầu tiên, luận văn thành công việc khái quát tổng quan kết cấu máy bay nhỏ Multicopter chế độ bay Sau tiến hành xây dựng lý thuyết để phân tích ứng suất chuyển vị thiết bị bay chế độ bay như: bay treo, bay cất cánh, bay hạ cánh bay tịnh tiến Thứ hai, luận văn thành công việc sử dụng module Static Structure phần mềm Ansys nhằm hỗ trợ phân tích ứng suất, chuyển vị kiểm bền cho Multicopter qua chế độ bay khác Thứ ba, luận văn thành công việc xây dựng chương trình ước tính tính vật liệu composite module đồng đa cấp độ sử dụng ngôn ngữ lập trình Python nhằm cung cấp cơng cụ tính tốn sơ tính vật liệu composite dựa vật liệu thành phần sợi Cuối cùng, chương trước, ứng dụng việc sử dụng module đồng đa cấp độ (chương trình Mori-Tanaka) vào kiểm bền khung Multicopter có sử dụng vật liệu composite Bằng việc áp dụng module giúp có lựa chọn sơ vật liệu tối ưu dựa tiêu chí khối lượng độ bền Những hạn chế hướng phát triển Do thời gian không cho phép nên luận văn cịn có hạn chế sau:  Chưa tích hợp Module Mori-Tanaka vào phần mềm Ansys Việc tích hợp giúp người dùng dễ dàng sử dụng không cần cài nhiều phần mềm phụ trợ khác  Chưa xây dựng thư viện tính vật liệu thành phần sợi Việc xây dựng thư viện tích hợp vào với chương trình Mori-Tanaka 73 Kết luận kiến nghị giúp người dùng giảm bớt thời gian nhiều việc tìm tính thành phần vật liệu có nhiều lựa chọn vật liệu thành phần Trong tương lai, tiếp tục phát triển luận văn việc tiến hành xây dựng thư viện tính vật liệu thành phần tích hợp Module Mori-Tanaka vào phần mềm Ansys Lời cảm ơn Luận văn nội dung nghiên cứu thuộc đề tài “ Nghiên cứu, thiết kế tích hợp hệ thống khảo sát địa hình xây dựng dựa công nghệ chụp ảnh, quét laser, GPS/GNSS UAV”, mã số: ĐTĐL.CN-54/16 Tác giả xin chân thành cảm ơn Viện Cơ khí động lực, Bộ mơn Kỹ thuật Hàng không Vũ trụ, đặc biệt người hướng dẫn TS Lê Thị Tuyết Nhung hướng dẫn, tạo điều kiện để học viên hoàn thành đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô hội đồng bảo vệ cho tác giả đóng góp q báu để luận văn thêm hồn chỉnh Tác giả mong nhận nhận xét thẳng thắn từ thầy để có thêm kinh nghiệm, kiến thức phục vụ cho công việc trực tiếp Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè ln ủng hộ, giúp đỡ, động viên tác giả 74 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Diwakar, Anudeep M, Ravi Katukam, (2014), Design of A Quad Copter and Fabrication, International Journal of Inovations in Engineering and Technology (IJIET) [2] Design & Development Analysis of Quadcopter, COMPUSOFT, An international journal of advance computer technology, (6), June – 2016 (VolumeV, Issue-VI) [3] Mathew Thomas, Albin A T, Christin Joseph, Amal Kurian Mathew Jerin Cyriac, (2016), Design and Analysis of Quadcopter using Catia, International Journal of Scientific & Engineering Research, Volume 7, Page 140-156 [4] Syed Ali Raza, (2010), Intelligent Flight Control of an Autonomous Quadrotor, OPEN ACCESS, Chapter 12 [5] Mẫu thiết kế UAV X8 V2 U10 Foxtech: www.foxtechfpv.com/foxtechd130-x8-v2-u10-combo.html [6] History of Quadcopter: www.ffden2.phys.uaf.edu/webproj/212_spring_2014/Clay_Allen/clay_allen/history.html [7] Hydrothermal effects on the tensile strength of carbon_epoxy [8] A C Acelotti Jr, V.O Goncalves, L C Pardini, Experimental methodology for limit strain determination in a carbon/epoxy composite under tensile fatigue loading [9] Mori T., Tanaka K.Acta Metall, Average stress in the matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusion, pp 571-574, 1973 [10] Autar K.Kaw, Mechanics of Composite Materials, ed, Taylor & Francis Group, LLC, 2006 [11] Thi Tuyet Nhung Le, The Hoang NGUYEN (2013), Multi-scale homogenization model for predicting the mechanical behavior of composite, Tạp chí khoa học cơng nghệ giao thông vận tải, Số 7+8, 9/2013, pp 175-178 75 Phụ lục PHỤ LỤC Ma trận độ mềm cho số loại vật liệu [10] ⎡ ⎢ ⎢− ⎢ ⎢ ⎢− [ ]=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 0 − 0 0 − 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Ma trận Eshelby sử dụng cho mơ hình Mori-Tanaka Trong trường hợp ma trận đẳng hướng trục trịn xoay ellipse có kích thước = < , thành phần tensor Elshelby thể [Brown Clarke, 19751 Mura, 1991]: 76 Phụ lục 8(1 − = 4(1 − −1 = 2(1 − =− 2(1 − = 2( − = 4(1 − = 4( − ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Với = = ) / ( ) −1 ) 2( ) + 4(1 − − 1) −1 + 1−2 ) − 1−2 4(1 − + 4( − 1) 4( − 1) ) − −1 − (1 − ) 1 + 1−2 + ) −1 2(1 − ) 2( − 1) −1 1−2 + − 1−2 + ) −1 −1 + 1−2 − ) 2( − 1) 4( − 1) +1 3( + 1) 1−2 − − 1−2 + ) −1 −1 ( ( 1−2 − 1) / + − ℎ( )) >1 Cho Spheroids dẹt (“hình cầu dẹt”), trục đối xứng song song với trục (chẳng hạn = > ), Elshelby tensor cho bởi: 77 Phụ lục = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Với = = (1 − ) / ( cos( ) − (1 − ) ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ) =4 −2 − 1−2 = = − + (1 − ) 4( − 1) (1 − ) − 1−2 = − + (1 − ) 3 ( − 1) (1 − ) − 1−2 = = − − (1 − ) 4( − 1) (1 − ) − 1−2 = = − (1 − ) ( − 1) (1 − ) − 1−2 = = − (1 − ) (1 − ) (1 − ) − 1−2 = − − (1 − ) 4( − 1) 16 (1 − ) − 1−2 (1 + ) = + ( + ) ( − 1) 16 (1 − ) 16 (1 − )