Một toán tử quạt (sectorial operator) A có phổ của nó chứa trong hình quạt Sω với số kλR (λ, A)k bị chặn đều bên ngoài hình quạt lớn hơn. Các toán tử này đóng vai trò nổi bật trong lý thuyết về phương trình vi phân và đạo hàm riêng elliptic và parabolic. Vào những năm 1960, các toán tử bậc phân số (fractional powers) Aα (với α ∈ C) của toán tử quạt A được định nghĩa. Mời các bạn cùng tìm hiểu.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TOÁN TỬ QUẠT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Hữu Hiệp FUNCTIONAL CALCULUS CHO CÁC TỐN TỬ KHƠNG BỊ CHẶN VÀ CÁC TỐN TỬ QUẠT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tốt nghiệp tơi thực hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP LỜI CẢM ƠN Hai năm qua thật khoảng thời gian không dễ dàng đối bạn sinh viên trường phải cố gắng hoàn thành tốt nhiệm vụ quan cơng việc học tập, kể tơi Có thời điểm công việc nhiều tưởng chừng tiếp tục đường học vấn Nhưng, "Khó khăn qua Giống mưa cửa sổ, có tầm tã cỡ cuối trời quang mây tạnh" Để vượt qua khó khăn ấy, đường tơi ln có đồng hành gia đình, Thầy Cơ bạn bè Tại trường Đại học Sư Phạm TP HCM, học tập nhiều điều bổ ích chun mơn, đôi lúc mở mang thêm kiến thức xã hội Trên hết, cảm nhận nhiệt tình, tận tâm Thầy Cơ giảng viên, Thầy Cơ phịng sau đại học, đội ngũ nhân viên trường nói chung Thầy Cơ khoa Tốn - Tin học nói riêng Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cơ nhiệt tình, tận tâm Thời gian thực luận văn có lẽ thời gian khó khăn đầy áp lực riêng Nhưng may mắn thay, bên tơi ln có ủng hộ, động viên gia đình, người thân bạn bè Cảm ơn Cha, Mẹ, Anh em trai chỗ dựa tinh thần vững chắc, ln bên tơi lúc khó khăn, bế tắc đời Cảm ơn bạn ngồi nghe tâm nhàm chán, để giải tỏa căng thẳng mà gây Cảm ơn anh chị, bạn bè đồng môn bước qua hai năm học đầy gian nan nhiều thử thách Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô trường THPT Chuyên Tiền Giang tạo điều kiện tốt để tiếp tục đường học vấn Cảm ơn Thầy Nguyễn Trọng Nghĩa với lời dạy, kinh nghiệm vô quý báu cách viết bảo vệ luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc chân thành đến Thầy hướng dẫn khoa học, TS Trần Trí Dũng, giảng viên khoa Toán - Tin học, trường Đại học Sư Phạm TP HCM tận tình hướng dẫn, có định hướng, góp ý vơ q báu để tơi điều chỉnh luận văn kịp thời Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn đến tác giả tài liệu tham khảo Trong trình thực đề tài, dành nhiều nỗ lực, tâm huyết nghiêm túc nghiên cứu Tuy nhiên, đề tài thật mẻ hạn chế mặt kiến thức, thời gian khả tiếp cận nguồn tư liệu, luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý q Thầy Cơ bạn đồng môn Một lần nữa, xin cảm ơn tất người, chúc người thật nhiều sức khỏe thành cơng sống! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 09 năm 2019 PHẠM HỮU HIỆP Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng trực tiếp không gian Banach 1.2 Đại số Banach Tốn tử khơng bị chặn 10 2.1 Tốn tử đóng 10 2.2 Functional calculus cho tốn tử đóng 14 Functional calculus cho toán tử quạt 16 3.1 Toán tử quạt 16 3.2 Khơng gian hàm chỉnh hình 26 3.3 The natural functional calculus 29 3.4 3.5 3.3.1 Functional calculus theo tích phân loại Cauchy 30 3.3.2 The natural functional calculus 33 3.3.3 Một số tính chất khác 37 3.3.4 Luật hợp thành 39 Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ 41 3.4.1 Trường hợp A đơn ánh 42 3.4.2 Trường hợp ∈ ρ(A) 48 Tính bị chặn xấp xỉ 50 3.6 3.5.1 Xấp xỉ quạt 50 3.5.2 Tính bị chặn 50 3.5.3 Tính xấp xỉ hàm số 52 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh 54 Tính bị chặn H ∞ -Calculus 58 3.6.1 Định lý tính bị chặn Functional calculus 59 3.6.2 Tính Functional calculus 61 Kết luận kiến nghị 63 Tài liệu tham khảo 64 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU I Tốn tử đồng A Bao đóng tốn tử A A−1 Tốn tử khả nghịch toán tử A An Lũy thừa tự nhiên toán tử A C∞ Mặt phẳng phức mở rộng D(A) Miền xác định toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A N (A) Hạt nhân tốn tử A C(X, Y ) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào Y C(X) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào X L(X, Y ) Khơng giác tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X ρ(A) Tập giải thức toán tử A σ(A) Phổ toán tử A σ ˜ (A) Phổ mở rộng toán tử A R (·, A) Ánh xạ giải thức tốn tử A Sω Hình quạt với góc 2ω đối xứng qua trục thực Sω (0, R) Tập hợp Sω ∩ B(0, R) Sω (ε , ∞) Tập hợp Sω \B (0, ε ) O (Ω) Không gian hàm chỉnh hỉnh tập mở Ω ⊂ C Oc (Sϕ ) Khơng gian hàm chỉnh hình Sϕ bị chặn tập Sϕ ∩ {r ≤ |z| ≤ R} với < r < R < ∞ A (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt A [Sω ] A (Sϕ ) ϕ>ω B (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt đơn ánh B [Sω ] B (Sϕ ) ϕ>ω C (Sϕ ) Lớp hàm The natural functional calculus cho toán tử quạt khả nghịch C [Sω ] C (Sϕ ) ϕ>ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω R∞ (Ω) Không gian hàm hữu tỷ bị chặn Ω triệt tiêu ∞ H ∞ (Ω) Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập mở Ω ⊂ C∞ C (Ω) Không gian hàm liên tục không gian compact địa phương Ω C0 (Ω) Không gian hàm liên tục triệt tiêu ∞ không gian compact địa phương Ω ◦ A(K) Không gian hàm liên tục K ⊂ C∞ chỉnh hình K ωA Góc phổ toán tử quạt A Aε Xấp xỉ quạt tốn tử A DR (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz góc quạt Sϕ DR [Sϕ ] DR (Sϕ ) ϕ>ω DR0 (Sϕ ) Không gian hàm chỉnh Sϕ ∩ {0} tắt dần ∞ DRext (Sϕ ) Lớp Dunford-Riesz mở rộng góc quạt Sϕ DRext [Sϕ ] DRext (Sϕ ) ϕ>ω ψt Phép dãn hàm ψ với hệ số t dương ψa,b Hàm số sử dụng kĩ thuật xấp xỉ McIntosh Sect (ω) Lớp tốn tử quạt với góc ω khơng gian Banach X τ Hàm ΛA Toán tử τ (A)−1 = (1 + A)A−1 (1 + A) Γϕ Biên định hướng dương góc quạt Sϕ Γϕ,δ Biên định hướng dương của Sϕ ∪ Bδ (0) C (f, ω ) Hằng số đặc trưng, xác định f ∈ DRext (Sϕ ) ω < ϕ z (1 + z)2 Mở đầu Xét không gian Banach X = C[0, 1] hàm liên tục nhận giá trị phức khoảng đơn vị Mỗi hàm f ∈ X xác định tốn tử tuyến tính bị chặn Mf = (g → f g) : C[0, 1] → C[0, 1] X gọi toán tử hợp thành liên kết với f Phổ miền giá trị f [0, 1] f Cho hàm liên tục tùy ý ψ : σ Mf → C, ta xét toán tử hợp thành Mψ◦f liên kết với ψ ◦ f Điều cho ta đồng cấu đại số (algebra homomorphism) Φ = ψ → Mψ◦f : C σ Mf Do ta có Φ(z) = Mf Φ (λ − z)−1 = R λ, Mf → L(X) với λ ∈ ρ Mf toán tử Φ (ψ) đơn giản hợp thành ψ (f (z)), ta nói Φ (ψ) thu cách "chèn" tốn tử Mf vào hàm ψ viết ψ (f (z)) = Φ (ψ) Tổng qt ví dụ thành khơng gian Banach X = C0 (R), ta nhận thấy tính bị chặn tốn tử khơng phải u cầu cốt yếu Ý tưởng trực giác Functional calculus tốn tử A đóng khơng gian Banach X tương ứng với đại số hàm phức phổ nó, tốn tử A chèn cách hợp lý Tính hợp lý có nghĩa ψ(A) có ý nghĩa mong đợi vào điều ta mong muốn, ví dụ λ ∈ ρ(A) ta mong muốn (λ − z)−1 (A) = R(λ, A) A sinh nửa nhóm (semigroup) T etz (A) = T (t) Ánh xạ thu ψ → ψ(A) gọi Functional calculus với A Nhưng đáng tiếc, năm 2003 khơng có thức hóa tổng thể ý tưởng Điều tốt 52 3.5.3 Tính xấp xỉ hàm số Trong kết tính xấp xỉ mà ta cần chứng minh, hội tụ điểm hàm chỉnh hình giả thiết thơng dụng Do ta cần kết sau, gọi Định lý Vitali: Giả sử Ω ⊂ C tập mở liên thông, (fα )α lưới bị chặn địa phương hàm chỉnh hình Ω Nếu tập z ∈ Ω fα (z) hội tụ có giới hạn Ω, fα hội tụ đến hàm chỉnh hình tập compact Ω Bổ đề 3.5.4 (Trích [10], Trang 41) Cho A ∈ Sect(ω) ω < ϕ ≤ π Cho (fα )α ⊂ DR (Sϕ ) lưới hàm hội tụ điểm đến hàm f Giả sử rằng, tồn C, s > cho |fα (z)| ≤ C |z|s + |z|2s (3.5.3) với α z ∈ Sϕ Khi f ∈ DR (Sϕ ) fα (A) − f (A) → Chứng minh Do (3.5.3) nên họ (fα )α bị chặn địa phương Theo Định lý Vitali, ta có f chỉnh hình, f ∈ DR (Sϕ ) Hơn nữa, fα → f tập compact Dùng Định lý hội tụ bị chặn ta có điều phải chứng minh Bổ đề 3.5.5 (Trích [10], Trang 42) Cho [a, b] ∈ R, F : [a, b] × Sϕ → C liên tục cho F (t, ·) : Sϕ → C chỉnh hình với t ∈ [a, b] Giả sử tồn C, s > cho |F (t, z)| ≤ C |z|s + |z|2s với t ∈ [a, b], z ∈ Sϕ Ta định nghĩa f (z) = định sau (a) f ∈ DR (Sϕ ) (b) (t → F (t, A)) : [a, b] → L(X) liên tục (c) f (A) = b F (t, A)dt a b F (t, z)dt a Khi khẳng 53 Chứng minh (a) Hiển nhiên (b) Suy từ hệ Bổ đề 3.5.4 (c) Ta có b 2πi b F (t, A)dt = a F (t, z)R (z, A) dzdt a Γ b F ubini = F (t, z)dt Γ R (z, A) dz = a f (z)R(z, A)dz Γ = 2πif (A) Kết biết Bổ đề hội tụ Lưu ý rằng, ta có D(A) ⊂ D (f (A)) với f ∈ H ∞ (Sϕ ) ∩ A, D(A) ⊂ D (f (A)) với f ∈ H ∞ (Sϕ ) A đơn ánh Thật vậy, f ∈ H ∞ ∩ A ta có f (z)(1 + z)−1 ∈ f (0)(1 + z)−1 + DR Điều cho ta f (A)(1 + A)−1 ∈ L(X), D(A) ⊂ D (f (A)) Trường hợp thứ hai xét f (z)z(1 + z)−2 Định lý 3.5.6 (Trích [10], Trang 42) Cho A ∈ Sect(ω), ω < ϕ ≤ π , (fα )α ⊂ H ∞ (Sϕ ) Giả sử supα fα < ∞ giới hạn f (z) = lim fα (z) tồn tại, hội tụ α điểm Sϕ Giả sử fα (A) f (A) định nghĩa N F CSO Khi fα (A)x → f (A)x với x ∈ D(A) ∩ R(A) Hơn nữa, khẳng định sau (a) Nếu A đơn ánh, fα (A) ∈ L(X), fα (A) → T ∈ L(X) mạnh, f (A) = T (b) Nếu A trù mật với tập giá trị trù mật supα fα (A) < ∞, f (A) ∈ L(X) fα (A) → f (A) mạnh Chứng minh Từ Định lý Vitali ta có f ∈ H ∞ (Sϕ ) Định nghĩa g(z) = f (z)z(1 + z)−2 gα (z) = fα (z)z(1 + z)−2 Lưới (gα ) ⊂ DR (Sϕ ) dĩ nhiên thỏa giả thiết 54 Bổ đề 3.5.4 nên fα (A)A(1 + A)−2 = gα (A) → g(A) = f (A)A(1 + A)−2 theo chuẩn Vì fα (A)x → f (A)x với x ∈ D(A) ∩ R(A) Giả sử A đơn ánh, fα (A) ∈ L(X) fα (A) → T ∈ L(X) mạnh Lấy x ∈ X Khi đó, gα (A)x = yα ∈ D (ΛA ) với α yα → y = g(A)x Theo giả thiết ta có, ΛA yα = fα (A)x → T x Hơn nữa, tốn tử ΛA đóng nên y ∈ D (ΛA ) ΛA y = T x Suy x ∈ D (f (A)) với f (A)x = T x Khẳng định (b) tầm thường 3.5.4 Kỹ thuật xấp xỉ McIntosh Cho ψ ∈ DR (Sϕ ) định nghĩa ψt (z) = ψ(tz) với z ∈ Sϕ t > Hơn nữa, ta định nghĩa b ψa,b (z) = a dt (0 < a < b < ∞) α = ψ(tz) t ∞ ψ(t) dt t Cuối cùng, ta định nghĩa với t > hàm số ψt = (z → ψ(tz)) ∈ DR (Sϕ ) Chọn lần cho tất số C, s > cho |ψ(z)| ≤ C |z|s (z ∈ Sϕ ) + |z|2s Bổ đề 3.5.7 (Trích [10], Trang 43) Cho ψ, α, C, s Khi |ψ(tz)| ≤ C |z|s max ts , t−s + |z|2s với tất z ∈ Sϕ tất t > Hơn nữa, khẳng định sau (a) ψa,b ∈ H ∞ (Sϕ ) với < a < b < ∞ (b) supa,b ψa,b < ∞ (c) ψa,b → α1 với (a, b) → (0, ∞) tập compact Sϕ 55 Chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần |tz|s |z|s ≤ max ts , t−s + |tz|2s + |z|2s với z ∈ Sϕ , t > Điều nghĩa ta cần chứng minh sup x>0 1+x ≤ max ts , t−s + ts x t−s với t > mà kiểm tra phép tính Từ bất đẳng thức vừa chứng minh, khẳng định (a) suy dễ dàng Khẳng định (b) suy từ b ψa,b (z) ≤ C a |tz|s dt ≤C + |tz|2s t ∞ ts dt C = + t2s t s ∞ dt Cπ = + t2 2s Khẳng định (c) suy từ Định lý Vitali Định lý 3.5.8 (Trích [10], Trang 44) Cho ψ, α, C, s Cho f ∈ H ∞ (Sϕ ) A ∈ Sect(ω) với ω < ϕ Khi khẳng định sau (a) Ánh xạ (t → (f ψt ) (A)) : (0, ∞) → L(X) liên tục (b) ψa,b (A) = dt b ψ(tA) a t (c) lima,b ψa,b (A)x = với [a, b] ⊂ (0, ∞) dt ∞ ψ(tA)x t (d) supt>0 (f ψt ) (A) ≤ f = αx với x ∈ D(A) ∩ R(A) ∞ CM (A, ω )c(s, ω ), ω < ω < ϕ tùy ý c(s, ω ) Bổ đề 3.5.3 (e) supt>0 ∞ ψ(tA)θ(rA) dr < ∞ θ ∈ DR [Sω ] tùy ý r Chứng minh Chọn [a, b] ⊂ (0, ∞) Định nghĩa F (t, z) = f (z)ψ(tz) [a, b] × Sϕ Bổ đề 3.5.7 F thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.5.5 Điều giúp ta chứng minh khẳng định (a) (b) Khẳng định (c) hệ dễ thấy Bổ đề 3.5.7 Bổ đề hội tụ 3.5.5 Để chứng minh (d), ta áp dụng Bổ đề 3.5.3 Điều thực ta có |(f ψt ) (z)| ≤ f ϕC |tz|s + |tz|2s 56 với t > 0, z ∈ Sϕ Không tính tổng qt, ta giả sử θ ∈ DR (Sϕ ) Chọn ω < ω < ϕ định nghĩa Γ = Γω ∞ ∞ dr ψ(tA)θ(rA) r ∞ Γ dr |dz| |ψ(z)| ≤ r |z| θ rei arg z ≤ |dz| dr |ψ(tz)θ(rz)| = |z| r Γ Γ ∞ ψ(z)θ rt−1 z Γ |ψ(z)| |dz| max ε=±1 |z| ∞ θ reεiω |dz| dr |z| r dr r M (A, ω ) 2π Hằng số ẩn ký hiệu " " Bổ đề 3.5.9 (Trích [10], Trang 44) Cho ψa,b định nghĩa Khi supa,b ψa,b (A) < ∞ Chứng minh Ta viết a ψa,b (A) = 1− ψ(tz) a = 1− dt − t ∞ ψ(tz) b dt t az dt − ψ(tz) − t + az (A) ∞ ψ(tz) dt − t + bz (A) − aA(1 + aA)−1 − (1 + bA)−1 Hai số hạng cuối bị chặn không phụ thuộc vào a b, A toán tử quạt Khẳng định Tồn số D cho a ψ(tz) |az|s dt az − ≤D t + az + |az|2s với a > 0, z ∈ Sϕ (s chọn trên) Chứng minh Ta có |ψ(z)| ≤ C C1 = sup w∈Sϕ |z|s với z ∈ Sϕ Định nghĩa + |z|2s w = sup , 1+w w∈Sϕ + w a ga (z) = ψ(tz) dt t Khi = ga − az ga az = + (ga − 1) + az + az + az Ta đánh giá a |ga (z)| ≤ C |tz|s dt C = + |tz|2s t s |az|s C C s s π dt = arctan |az| ≤ |az| , + t2 s s 57 Nếu |az| ≤ C + C1 s C |az|s + C1 |az| ≤ s |ha (z)| ≤ |az|s + |az|2s Nếu |az| ≥ 1, + x2s ≤ 2xs+1 với s ≤ 1, x ≥ nên ta thu CC1 π ga (z) CC1 π |az|s ≤ ≤ + az 2s |az| s + |az|2s Việc lại đánh giá |ga (z) − 1| với |az| ≥ Bây a |ga (z) − 1| = ψ(tz) dt − t ∞ ψ(t) |az| ≤ ψ te i arg z dt − t dt t |az| dt ψ(t) + t ∞ ψ(t) |az| dt t = T1 + T2 Số hạng đầu T1 đánh giá theo Định lý Cauchy Thật vậy, đặt γ1 = [0, |az|] ei arg z , γ2 = |az|ei[0,arg z] γ3 = [0, |az|], ta thu T1 = ψ(z) γ1 −γ2 arg z dz = z ψ(z) γ2 ψ |az|eir dr ≤ ϕC = arg z dz = z ψ |az|eir |az|s + |az|2s |az|ieir dr |az|eir Với số hạng thứ hai, ta có ∞ T2 = dt C ψ(t) ≤ t s |az| ∞ |az|s C dt = 1+t s |az| ≥ (Đây bất đẳng thức π Cπ |az|s − arctan |az|s ≤ 2s + |az|2s π π x − arctan x ≤ với 2 + x2 x ≥ kiểm tra lập luận bản) Ta hoàn thành chứng minh Khẳng định Khẳng định Tồn số D cho ∞ b với b > 0, z ∈ Sϕ |bz|s dt ≤D ψ(tz) − t + bz (1 + |bz|)2s 58 ˜ Chứng minh Ta đưa Khẳng định Đặt ψ(z) = ψ z −1 Khi ta có ∞ b dt ψ(tz) − t + bz b−1 s=t−1 = ≤D ds (bz)−1 ψ˜ sz −1 − s + (bz)−1 |bz|−s |bz|s = D , + |bz|−2s + |bz|2s ta áp dụng Khẳng định cho hàm ψ˜ với a = b−1 z −1 thay cho z Khẳng định Bổ đề 3.5.3 áp dụng Kết hợp Bổ đề 3.5.9 với Bổ đề hội tụ 3.5.6 3.5.8 (c) ta thu kết sau Định lý 3.5.10 (Xấp xỉ McIntosh) (Trích [10], Trang 46) Cho a ∈ Sect(ω) ∞ ψ ∈ DR [Sω ] cho ψ(t) b a dt = Khi t b dt ψ(tA)x = t a dt ψ(tz) t (A)x ∞ a→0,b→∞ → ψ(tA)x dt =x t với x ∈ D(A) ∩ R(A) 3.6 Tính bị chặn H ∞-Calculus Cho A ∈ Sect(ω) toán tử quạt không gian Banach X ϕ > ω Giả sử có đại số F ⊂ H ∞ (Sϕ ) cho f (A) định nghĩa N F CSO với f ∈ F Ta nói natural F−calculus với A bị chặn f (A) ∈ L(X) với f ∈ F f (A) ≤ C f với số C ≥ Ở đây, f f ϕ ϕ = f Ta gọi inf C ≥ (3.6.1) ϕ (f ∈ F) (3.6.1) định nghĩa ∞,Sϕ = sup {|f (z)| |z ∈ Sϕ } (3.6.2) biên the natural F−calculus Nếu F không gian đóng H ∞ (Sϕ ) A đơn ánh, theo Định lý đồ thị đóng Bổ đề hội tụ 3.5.6 (a), tồn số C thỏa mãn (3.6.1) f (A) ∈ L(X) với f ∈ F 59 3.6.1 Định lý tính bị chặn Functional calculus Định lý 3.6.1 (Trích [10], Trang 46) Cho A ∈ Sect(ω) với tập xác định tập giá trị trù mật Cho ω < ϕ < π C ≥ Các khẳng định sau tương đương (i) The natural DR (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C (ii) The natural H ∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C (iii) The natural H ∞ (Sϕ ) ∩ C0 Sϕ −calculus cho A bị chặn với số C (iv) The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C (v) The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C Chứng minh Đầu tiên ta thấy (ii) ⇒ (i) (ii) ⇒ (v) ⇒ (iv) tầm thường ∞ Theo Mệnh đề 1.2.11 không gian R∞ (Sϕ ) trù mật H (Sϕ )∩C0 Sϕ Áp dụng Bổ đề hội tụ 3.5.6 (a) ta có (iv) ⇒ (iii) Để chứng minh (iii) ⇒ (i), lấy f ∈ DR (Sϕ ) Định nghĩa fn (z) = f z + fn ϕ ≤ f ϕ Dĩ nhiên, fn ∈ H ∞ (Sϕ ) ∩ C0 Sϕ , n fn → f điểm Khi đó, (i) suy từ Bổ đề hội tụ Cuối cùng, ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Đặt f ∈ H ∞ (Sϕ ) Định nghĩa ψs (z) = zs với s > Khi ψs , f ψs ∈ DR (Sϕ ) Hơn (1 + z)2s f ψs K = ψ1 ϕ ϕ ≤ f ϕK s Sử dụng (i) ta (f ψs )(A) ≤ C f ∞K s Bây ta áp dụng Bổ đề hội tụ 3.5.6 kết luận f (A) ∈ L(X) với (f ψs )(A) → f (A) mạnh s Do lims→0 K s = ta thu f (A) ≤ C f ∞ Câu hỏi trở nên khó ta giảm tính trù mật Nhắc lại với tốn tử quạt A ta ln có biểu diễn họ toán tử quạt Aε = (ε + A) (1 + εA)−1 xấp xỉ quạt A bao gồm toán tử khả nghịch bị chặn (xem Mệnh đề 3.1.7) 60 Bổ đề 3.6.2 (Trích [10], Trang 47) Cho A ∈ Sect(ω), ω ≤ ϕ < π C ≥ Các khẳng định sau tương đương (i) The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C (ii) The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho Aε bị chặn với số C , với ε > Chứng minh Đặt rε (z) = (ε + z)(1 + εz)−1 ∈ R∞ (Sϕ ) Khi Aε = rε (A) Nếu r ∈ R∞ (Sϕ ) r ◦ rε ∈ R∞ (Sϕ ) với r ◦ rε ϕ ≤ r ϕ , rε ánh xạ từ Sϕ vào Sϕ Luật hợp thành cho ta r (Aε ) = (r ◦ rε ) (A) Ta chứng minh (i) ⇒ (ii) Chiều ngược lại suy từ r (Aε ) → r(A) theo chuẩn, theo Mệnh đề 3.5.1 (a) (lưu ý R∞ (Sϕ ) ⊂ DRext (Sϕ )) Định lý 3.6.3 (Trích [10], Trang 47) Cho A ∈ Sect(ω), ω < ϕ < π C ≥ Ta định nghĩa K bao đóng Sϕ C∞ Các khẳng định sau tương đương (i) The natural A (Sϕ ) ∩ C(K)− calculus cho A bị chặn với số C (ii) The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C Nếu A đơn ánh, ta thay A (Sϕ ) H ∞ (Sϕ ) (i) Chứng minh Hiển nhiên (i) ⇒ (ii) Để chứng minh chiều ngược lại, lấy f ∈ A (Sϕ ) ∩ C(K) Theo Mệnh đề 1.2.11, tồn dãy (rn )n ⊂ R∞ (Sϕ ) cho rn − f ϕ → Theo Bổ đề 3.6.2, giả thiết (ii) suy The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho Aε bị chặn với số C , với ε > Do Aε bị chặn khả nghịch, ta áp dụng Định lý 3.6.1 để kết luận The natural H ∞ (Sϕ ) −calculus cho Aε bị chặn với số C với ε > Điều nghĩa rn (Aε ) → f (Aε ) với ε > Từ Mệnh đề 3.5.1 ta thấy rn (Aε ) → rn (A) với ε với n Lập luận từ Giải tích hàm suy tồn T ∈ L(X) với f (Aε ) → T Một ứng dụng khác Mệnh đề 3.5.1 cho ta T = f (A) Trường hợp A đơn ánh f ∈ H ∞ (Sϕ ) ∩ C(K) chứng minh tương tự Định lý 3.6.4 (Trích [10], Trang 47) Cho A ∈ Sect (ω), ω ≤ ϕ < π C ≥ Giả sử The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C Nếu A 61 trù mật ϕ ≤ π The natural R∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C π n Khi rn ϕ = ϕ ≤ Hơn nữa, rn (A)x → x n+z n → ∞ theo Mệnh đề 3.1.4, D(A) trù mật X Như vậy, với hàm Chứng minh Đặt rn = r ∈ R∞ (Sϕ ) ta có r(A)x = lim r(A)rn (A)x = lim (rrn )(A)x ≤ C rrn n n ϕ x ≤C r ϕ x với x ∈ X 3.6.2 Tính Functional calculus Giả sử A tốn tử đóng khơng gian Banach X , Ω ⊂ C mở F ⊂ H ∞ (Ω) đại số chứa hàm hữu tỷ rλ (z) = (λ − z)−1 với λ ∈ Ω Ta nói ánh xạ Φ : F → L(X) F−calculus bị chặn với A điều kiện sau thỏa mãn (1) Ánh xạ Φ đồng cấu đại số (2) Ta có Φ (rλ ) = R (λ, A) với λ ∈ Ω (3) Nếu ∈ F Φ(1) = I (4) Tồn C ≥ cho Φ(f ) ≤ C f Ở đây, f Ω Ω với f ∈ F kí hiệu chuẩn sup f Ω Ta nói dãy (fn )n ⊂ Ω chặn hội tụ điểm Ω đến hàm f fn → f điểm Ω supn f Ω < ∞ Ta nói Φ liên tục tính bị chặn hội tụ điểm (nói gọn bp-liên tục), có tính chất sau (5) Nếu fn , f ∈ F cho fn → f bị chặn hội tụ điểm Ω, Φ (fn ) → Φ(f ) mạnh X Lưu ý ∈ F ta ln mở rộng Φ đến F = F ⊕ C1 thỏa (3) giữ tính chất khác 62 Bổ đề 3.6.5 (Trích [10], Trang 48) Cho A tốn tử đóng không gian Banach X Cho < ω < π giả sử Φ H ∞ (Sω ) −calculus bị chặn với A với số C ≥ Khi A tốn tử quạt với ωA ≤ ω Lấy hình quạt Sϕ với ωA < ϕ ω ≤ ϕ kí hiệu K bao đóng Sϕ C∞ Khi khẳng định sau (a) Φ(f ) = f (A) với f ∈ A (Sϕ ) ∩ C(K) (b) Nếu A đơn ánh, Φ(f ) = f (A) với f ∈ H ∞ (Sϕ ) ∩ C(K) (c) Nếu A có miền xác định miền giá trị trù mật The natural H ∞ (Sϕ ) −calculus cho A bị chặn với số C Chứng minh Tính quạt A suy cách áp dụng Φ với hàm hữu tỷ λ Theo Mệnh đề 1.2.11 ta có Φ(f ) = f (A) với f ∈ R∞ (Sω ) Khẳng định (a) λ−z (b) suy từ Định lý 3.6.3 Khẳng định (c) suy từ Định lý 3.6.1 Định lý 3.6.6 (Trích [10], Trang 49) Cho A tốn tử đóng khơng gian Banach X < ω < π Khi tồn tối đa H ∞ (Sϕ ) −calculus bị chặn bp-liên tục Φ với A Nếu Φ tồn tại, toán tử A toán tử quạt với ωA ≤ ω , có miền xác định miền giá trị trù mật Hơn nữa, Φ trùng với The natural functional calculus H ∞ (Sϕ ), ϕ > ωA với ϕ ≥ ω Chứng minh Tính suy từ Mệnh đề 1.2.12 Định nghĩa fn (z) = n(n + z)−1 Khi fn → điểm SΩ supn fn ω < ∞ Do Φ bp-liên tục nên n(n + A)−1 = Φ(fn ) → Φ(1) = I mạnh A trù mật Lập luận tương tự với fn (z) = z +z n −1 thu A có miền giá trị trù mật Lấy ϕ > ωA với ϕ ≥ ω Từ Bổ đề 3.6.5 suy the natural H ∞ (Sϕ ) −calculus với A bị chặn Theo tính nhất, The natural calculus phải trùng với Φ Nhận xét 3.6.1 Cho A ∈ Sect (ω) với miền xác định miền giá trị trù mật ϕ > ω Định lý 3.6.1 suy A có H ∞ (Sϕ ) bị chặn với số C , The natural H ∞ (Sϕ ) −calculus với A bị chặn với số C Kết luận kiến nghị Luận văn trình bày đầy đủ chứng minh chi tiết kết Functional calculus cho tốn tử khơng bị chặn tốn tử quạt Hơn nữa, hướng dẫn thầy Trần Trí Dũng, tơi tìm kết mới, Mệnh đề 3.1.3 Trong luận văn này, Mục 3.4 Sự mở rộng thông qua điều kiện phổ, nhận thấy "bức tranh" The natural functional calculus cho tốn tử quạt chưa hồn thiện dừng lại hai trường hợp nêu luận văn Tuy nhiên, hạn chế thời gian khả tiếp cận nguồn tư liệu nên tơi chưa hồn thiện "bức tranh" Hi vọng, nghiên cứu tiếp theo, vẽ cách đầy đủ "bức tranh" The natural functional calculus cho toán tử quạt 63 Tài liệu tham khảo [1] Albrecht, D., Franks, E., and McIntosh, A Holomorphic functional calculi and sums of commuting operators Bull Austral Math Soc 58, (1998), 291–305 [2] David Albrecht, Xuan Duong, and Alan McIntosh Operator theory and harmonic analysis In Instructional Workshop on Analysis and Geometry, Part III (Canberra, 1995), pages 77–136 Austral Nat Univ., Canberra, 1996 [3] A V Balakrishnam Fractional powers of closed operators and the semigroups generated by them, Pacific J Math., 10:419-437, 1960 [4] K Boyadzhiev and R deLaubenfels Semigroups and resolvents of bounded variation, imaginary powers and functional calculus, Semigroup Forum, 45(3):372–384, 1992 [5] John B Conway A course in Functional Analysis, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics, 96, New York etc: Springer-Verlag, xvi, 399 p., 1990 [6] Michael Cowling, Ian Doust, Alan McIntosh, and Atsushi Yagi Banach space operators with a bounded functional calculus, J Austral Math Soc Ser A, 60(1):51–89, 1996 [7] Giovanni Dore and Alberto Venni On the closedness of the sum of two closed operators Math Z., 196(2):189–201, 1987 64 65 [8] Edwin Franks Modified Cauchy kernels and functional calculus for operators on Banach space J Austral Math Soc Ser A, 63(1):91–99, 1997 [9] Edwin Franks and Alan McIntosh Discrete quadratic estimates and holomorphic functional calculi in Banach spaces Bull Austral, Math Soc., 58(2):271–290, 1998 [10] Markus Haase The Functional Calculus for Sectorial Operators and Similarity Methods Dissertation, Universitat Ulm, 2003 [11] Markus Haase The functional calculus for sectorial operators, Preliminary Version, 19th February 2005 [12] Markus Haase Lectures on functional calculus, 21st International Internet calculus, November 29, 2017 [13] Tosio Kato Note on fractional powers of linear operators, Proc Japan Acad., 36:94-96, 1960 [14] M A Krasnosel’ski˘ı and P E Sobolevski˘ı Fractional powers of operators acting in Banach spaces, Dokl, Akad, Nauk SSSR, 129:499-502, 1959 [15] S G Kre˘ın Linear differential equations in Banach space American Mathematical Society, Providence, R.I., 1971, Translated from the Russian by J M Danskin, Translations of Mathematical Mono-graphs, Vol 29 [16] Alan McIntosh Operators which have an H∞ functional calculus, In Miniconference on operator theory and partial differential equations (North Ryde, 1986), pages 210–231 Austral Nat Univ., Canberra, 1986 [17] Alan McIntosh Operator Theory - Spectra and Functional Calculi, February 18, 2010 [18] Celso Martínez Carracedo and Miguel Sanz Alix The theory of fractional powers of operators North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2001 66 [19] A Pazy Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations Applied Mathematical Sciences, 44, New York etc.: Springer-Verlag VIII, 279 p , 1983 [20] Hans Triebel Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, 2nd rev a enl ed Leipzig: Barth 532 p , 1995 [21] Atsushi Yagi Coıncidence entre des espaces d’interpolation et des domaines de puissances fractionnaires d’opérateurs C R Acad, Sci Paris Sér I Math., 299(6):173–176, 1984 [22] Kôsaku Yosida Fractional powers of infinitesimal generators and the analyticity of the semigroups generated by them, Proc, Japan Acad., 36:86-89, 1960 ... chương tơi trình bày Functional calculus cho tốn tử khơng bị chặn Các nội dung chủ yếu sau: • Tốn tử đóng • Functional calculus cho tốn tử đóng Chương Functional calculus cho toán tử quạt Trong chương... tổng trực tiếp không gian Banach, đại số Banach với mệnh đề cần cho việc xây dựng lý thuyết Functional calculus cho toán tử quạt Chương Functional calculus cho toán tử khơng bị chặn Trong chương... nhân toán tử A C(X, Y ) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào Y C(X) Khơng gian tốn tử đóng từ X vào X L(X, Y ) Khơng giác tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn