Đang tải... (xem toàn văn)
Giả sử n nguyên dương.. Cho hình chóp S ABCD..[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ IINĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu (1,5 điểm) Giả sử n nguyên dương Tính tổng
2
2 2
1.2 2.3 3.4 (2 1)2 n
n n n n n
S C C C n nC
Câu (1,5 điểm) Giả sử f x( ) hàm số chẵn tồn f '(0). Chứng minh
rằng f '(0) 0.
Câu (1,5 điểm) Chứng minh phương trình
1
1 cosx sinx
x x
có
vơ số nghiệm
Câu (1,5 điểm) Cho dãy số un n1 xác định
1
1
5, , 1, 2,
2
n n
n
u u u n
n n
Tìm limnun
Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,
60 ,0 BAD
6
a SA
vng góc với (ABCD) a) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD)
b) Gọi H hình chiếu B lên SC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB DH
Câu 6 (2,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân A, ABC , góc BC' (ABC) Gọi I trung điểm AA' Biết BIC 90 0 Tính giá trị biểu thức S tan2 tan 2
-HẾT -Ghi
(2)`
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN CHUYÊN HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán - Lớp 11; Thời gian làm bài: 150 phút
Câu Nội dung Điểm
Câu 1 (1,5 điểm)
Giả sử n nguyên dương Tính tổng
2
2 2
1.2 2.3 3.4 (2 1)2 n
n n n n n
S C C C n nC
Thay trực tiếp ta có S1 1.2C22 2 0,5
Với n 2. Sử dụng khai triển Niu-tơn cho biểu thức
2
( ) n,
f x x x 0,5
Tính f'' 1 0 theo hai cách suy Sn 0 0,5 Câu 2
(1,5 điểm)
Giả sử f x( ) hàm số chẵn tồn f '(0). Chứng minh f '(0) 0.
Theo định nghĩa ta có
( ) (0) '(0 ) lim
t
f t f f
t
0
( ) (0) ( ) (0)
'(0 ) lim lim '(0 )
h h
f h ff h f
ff
h h
(1)
0,5
Theo giả thiết, tồn f '(0) Suy ff'(0 ) '(0 ). (2) 0,5 Từ (1) (2) ta có ff'(0 ) '(0 ) 0. Do f '(0) 0. 0,5 Câu
3 (1,5 điểm)
Chứng minh phương trình
1
1 cosx sinx
x x
có vô số nghiệm.
Đặt
1
( ) cos sin ,
f x x x x
x x
Rõ ràng f x( ) hàm liên tục khoảng 0;
0,5
Xét hai dãy số an n1, bn n1 xác định
2 , , 1, 2, 3,
n n
a n b n n
Rõ ràng ta có an bn an1, với n 1 Do a bn; n a bm; m khoảng rời với m n, 1, m n (1)
0,5
Mặt khác ta lại có
1
( ) ( ) 1 0,
2
n n
f a f b n
n n
Suy khoảng a bn; n phương trình f x( ) 0 có một
nghiệm (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh
(3)Câu 4 (1,5 điểm)
Cho dãy số un n1 xác định 1
1
5, , 1, 2,
2
n n
n
u u u n
n n
Tìm limnun
Ta có
1 2
2 ( 1)
1 1 1
2 2
n n n n n
n n
n
u u u u u
n n
n n n n
Hay ta có
1 n n u u n n
Suy
3 n n u n 0,5
Chú ý rằng, quy nạp ta chứng minh
1
2n n , n1
0,5
Suy
3 12 2n n n
Từ suy
3
lim
2n
n
Khi
3
lim lim 2
2 n n n nu 0,5 Câu 5 (2,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD 60 ,0
6
a SA
vng góc với (ABCD)
a) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD)
b) Gọi H hình chiếu B lên SC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB DH
a) Ta có
( )
SBC SDC ccc
nên chân đường cao hai tam giác kẻ từ B D trùng H Khi
((SBC), (SCD)) ( HB HD, )
0,5
Gọi O AC BD. Vì SC (BHD) nên SC OH. Kẻ đường cao AI
của tam giác SAC Khi
2 2
2
6
1 1. 1. 4 3.
2 2 3
3
a a
AS AC a
OH AI
AS AC a
a
Suy
/
tan
3 /
OB a
BHO
OH a
Do BHD 2BHO 120
(4)Suy
0
((SBC), (SCD)) ( HB HD, ) 180 120 60
b) Mặt phẳng chứa DH song song với AB (SCD) Kẻ
AM CD M, AK SM K. Khi AK (SCD). Suy
( , ) ( , ( )) ( , ( ))
d AB DH d AB SCD d A SCD AK
0,5
Ta có
0
sin60
2
a
AM AD
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AMS ta có
2 2 2
1 1
3
a AK AK AM AS a a a
Vậy ( , )
a d AB DH
0,5
Câu 6 (2,0 điểm)
Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân A, ABC , góc BC' (ABC) Gọi I trung điểm AA' Biết
90 0
BIC Tính giá trị biểu thức S tan2 tan 2
Vì CC ' ( ABC) nên
(BC', (ABC)) CBC'
Gọi M trung điểm BC Ta có AM BC
Đặt BC x. Ta có
' ' ' tan
2cos
AA BB CC x
x
AB AC
0,5
Áp dụng định lý Pitago tam giác vng AIB ta có
2 2
2 2 tan tan2 tan2 1
2 2cos
x x x
IB IA AB
0,5
Vì BC AM BC, IA BC (IAM) BC IM Do tam giác
IBC vuông cân I. Suy
2 2.
2
BI BC x
0,5
(5)
2
2 2 2
tan tan tan tan
4
x
x S