Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 28

Nguyªn nh©n ch¾c lµ do c¸c b¹n tra lo¹i tõ ®iÓn ViÖt-Anh kh«ng cã ®Çy ®ñ nghÜa cña c¸c tõ nµy (cÆp gãc so le trong - alternate interior angles ; cÆp gãc so le ngoµi - alternate exterior[r]

1

(TTT2 sè 26) l KÕt qu¶ :

l Có bạn “giải quyết” tốn thơ ! Có bạn kết luận : “diện tích hình tơ màu nhỏ diện tích hình vng ban đầu” ! Thực ra, phương pháp ghép hình (có nhiều cách) ta tính diện tích hình tơ mu bng

diện tích hình vuông ban đầu

lĐể đến kết trên, bạn chứng minh kết sau (xem hình vẽ):

+ DM1// P2M2// BP1; AN1// Q2N2// Q1C + R1R2OU2, S1S2OR2, T1T2OS2, U1U2OT2 hình bình hành có diện tích (ở cách chứng minh này, không cần thiết phải chứng minh hình vuông)

+ ABS1, BCT1, CDU1, DAR1 tam giác nhau, cã diƯn tÝch b»ng 1,5 lÇn diƯn tÝch cđa hình bình hành kể (kẻ qua A đường thẳng song song với DM1, cắt N2Q2 I

suy )

lCó thể sử dụng cách chứng minh để chứng minh kết tổng quát : Một hình bình hành có cạnh chia thành n phần (n 2) từ chia hình bình hành thành (n + 1)2phần tương tự tốn trên, ta hình bình hành nhỏ có diện tích diện tích hình bình hành ban đầu

l Các bạn thưởng kì : Nguyễn

Văn Quang, 9C, THCS Tự Lập, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Vũ Thái Liên, 8B, THCS Phong Châu, TX Phú Thọ ; Phan Văn Quân, Làng trẻ em SOS, Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Huy Thắng, 8A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn Văn Hùng, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng

Anh Compa

 21

n



1 2

DAR U U OT

S 1,5.S

 

2 1 2 2 1 2

AIU R U U OT Q Q U U U U OT

S S ; S S

2



2 1

AIQ DU Q

S S ;

1 10

Có mảnh đất hình tứ giác lồi Chỉ sử dụng cuộn dây (dài theo ý bạn), bạn xác định mảnh đất hình bình hành có diện tích nửa diện tích mảnh t ban u c khụng ?

mimôza

(Đà Lạt, Lâm Đồng)

2 Trong TTT2 số 26, “xem” bạn Phan Ngọc Hiếu “chế biến” toán đơn giản thành nhiều tốn hóc búa khác Khơng chịu dừng lại việc giải tốn, ln cố gắng suy nghĩ, tự tìm tịi, sáng tạo đức tính tốt bạn Hiếu mà nên học tập rèn luyện

Tôi xin nối tiếp viết bạn Hiếu với ba mở rộng toán

Trước hết ta nhắc lại toán 3: Xét số thực a, b, c có tổng q Tìm giá trị nhỏ T (a m)2(b n)2

(c p)2với m, n, p, q số Kết : giá trị nhỏ T

và lời giải toán dựa vào bất đẳng thức (BĐT)

víi mäi x, y, z lSử dụng BĐT mở rộng BĐT

(với x, y, z dương n nguyên dương), ta giải hai toán sau

Bài toán 3.1 :Xét số thực x1, x2, , xn có tổng q Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa

T (x1 y1)2(x2y2)2 (xnyn)2 víi y1, y2, , yn, q số

Bi tốn 3.2 : Tìm giá trị nhỏ T  (a  m)k (b  n)k (c  p)ktrong a b c q ; m, n, p, q số ; k nguyên dương ; a m, b n, c p dương l muốn trình bày với bạn cách giải trực tiếp, đơn giản cho hai tốn (vì khơng phi chng minh cỏc BT ph)

Lời giải toán 3.1 :Đặt z1x1y1; z2 x2 y2 ; ; zn  xn  yn Suy T z12z22 zn2vµ z1z2 zn y1y2 ynq h lµ mét h»ng sè

Cộng theo vế n BĐT ta có : Đẳng thức xảy  n BĐT trở thành đẳng thức z1z2 zn

1 h h n h n

x y ; x y ; ; x y

n n n

      

h n

2

1 n 2

2h h h

T (z z z ) n

n n n

     

2

2

2 2h h2 n 2h n h2

z z ; ; z z

n n n n

   

2

1 2h h2

z z ; tương tự ta có

n n

  

2 2

1 h 1h h2

Ta cã z z 2z

n n n

       

 

 

n

n n n

x y z x y z

3

       

 

2

2 2 n

1 n (a a a )

a a a ;

n

  

   

2 2 (x y z)

x y z

3

 

  

2

(m n p q)

  

lê hữu điền khuê

(Lớp 10 Toán, THPT Quèc häc HuÕ)

3 h y1y2 ynq

Vậy giá trị nhỏ T hay Lời giải toán 3.2 :Đặt a m x > ; b  n  y > ; c  p  z > Suy T xkykzkvµ x y z m  n p 

q h, với h số dương Lại đặt

ta cã :

t u v 3 vµ

Ta chứng minh tkkt (k 1) (*) Thật vậy, (*) tương đương với :

tkkt k 10 tkt k 1 kt t 0 t(tk 11) (k 1)(t 1) 0

(t 1)[tk 1tk 2 t (k 1)] 0

(t 1)[(tk 11) (tk 21)  (t 1)] 0 BĐT nên BĐT (*)

Tương tự, ukku (k 1) ; vkkv (k 1) Suy N k(t u v) 3(k 1)

Đẳng thức xảy t u v 1

x y z 

Vậy giá trị nhỏ T :

lVới cách giải trên, ta đến toỏn tng quỏt

Bài toán 3.3 : Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa T  a1k  a

2k   ank a1, a2, , andương ; a1a2 anh số ; k nguyờn dng

Lời giải : Theo cách giải toán 3.2

ta t

suy b1b2 bnn ;

Ta tìm giá trị nhá nhÊt cđa Nb1kb2k bnk lµ n Suy

Đẳng thức xảy b1b2 bn1

a1a2 an

Vậy giá trị nhỏ T lµ

Nếu giải tốn 3.3 theo hướng bạn Hiếu ta phải chứng minh BĐT nk 1(a1ka2k ank) (a1a2 an)k phép chứng minh BĐT quy nạp không đơn giản chút

Chúc bạn thành công đường tự tìm tòi, sáng tạo !

k h n n       h n k h T n

n       k n T h      

1 n

1 n.a n.a n n.a

b ; b ; ; b

h h h

  

k

m n p q

3         

m n p q

a m ;

3 m n p q

b n ;

3 m n p q

c p                       

h m n p q    3

k k

k

3 .T 3 T 3. h

h

m n p q

T

3                         k

k k k

N t u v T

h

 

     

 

3x 3y 3z

t ; u ; v

h h h

     

2

1 n

(y y y q) n

   

2

4

(TTT2 sè 26) (TTT2 sè 26)

l KÕt qu¶ :

l Kì :

Thực khơng tồn điểm M hình thoi (M khác giao điểm hai đường chéo hình thoi đó) cho

Ta cã thÓ chøng minh : nÕu cã điểm M hình thoi ABCD mà

thỡ M phải giao điểm hai đường chéo hình thoi ú

Thật vậy, theo cách giải toán TTT2 sè 26 ta thÊy tõ suy hay tam giác MBD cân M

nờn M thuc AC (đường trung trực đoạn BD) Lập luận tương tự ta có M thuộc BD Do M giao điểm hai đường chéo AC, BD hình thoi ABCD

Như ta sửa lại đề tốn dạng : Cho hình thoi ABCD, tìm điểm M hình thoi cho

Nhận xét :Có bạn tham gia bình luận kì Tịa soạn xin trao thưởng cho bạn sau có đáp án tốt : Nguyễn Đức Đồn, 9A2, THCS bán cơng Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Phan Tuấn Hiệp, 9A1, THCS Hng Bng, Hi Phũng;

Đinh Thị Thanh Ngọc, 9C, THCS Đào Sư Tích, Trực Ninh, Nam Định ; Võ Khánh Trung, mẹ Minh, Kế toán Trạm Thú y huyện Lệ Thủy, Quảng Bình

Anh Kính Lúp

  o

AMB CMD 180 

 

MBD MDB

 

ABM ADM

  o

AMB CMD 180 

  o

AMB CMD 180 

Một nhà máy dự định sản xuất loại bể nước tơn có dạng hình hộp đứng, đáy hình vng, khơng nắp, tích m3

Người ta tính tốn để xác định kích thước bể cho lượng tơn phải sử dụng nhất, cụ thể sau :

Gọi cạnh đáy bể a chiều cao bể b (a, b dương đơn vị tính mét)

Nh­ vËy thĨ tÝch cđa bĨ lµ V = a2b = diện tích tôn phải sử dụng lµ S = a2+ 4ab

áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương ta có S = a2+ 4ab

Đẳng thức xảy a2= 4ab a = 4b

Khi

th× S nhá nhÊt b»ng

Phải với kích thước (*) lượng tơn sử dụng ?

đậu thị hoàng oanh

(THCS Mai Hùng, Quỳnh Lưu, NghÖ An)

3

2 4a b (m ).

3

a 16 a 4b

(*) 16

a b b

  

 

 

  

  

 

3

5

l KÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 số 26) Bài :

Theo chân mà bàn cờ Thấy chữ bất ngờ :

Chào mừng Olympic Toán Tuổi thơ lần thứ Nam Định

Ch cỏi cũn thiếu H chọn “chỗ ở” ba ô :

- Dßng 4, cét - Dßng 7, cét - Dßng 8, cét

(dòng đếm từ xuống, cột đếm từ trái sang)

Bµi :

Chỉ cần đọc ngược bình thường Từ phải sang trái tỏ tường câu sau :

Chúc thi thành công

Xin gi phn thưởng tới : Nhóm Đơrêmon, 7G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân ; Trần Thị Tú Tâmvà Ngô Thị Thùy Dương, 6A, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Trần Ngọc Khánh, số nhà 39, đường Hàn Mặc Tử, khối 12, phường Trung Đô, TP Vinh ; Hồ Thị Thu Hương, 8A, THCS Hà Huy Tập, TP Vinh ;

Nhóm Trăng non, 7C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Nguyễn Đăng Quang (TTT2 số 26)

Bạn hÃy điền số thích hợp vào dấu chấm hỏi cho thật hợp lí.

Bài 1

Bài 2

Theo tinh thần đạo Thứ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo Đặng Huỳnh Mai, Ban tổ chức định đổi tên “OLYMPIC Toán Tuổi thơ” thành “Giao lưu Tốn Tuổi thơ” Xin thơng báo với bạn đọc trân trọng cảm ơn quan tâm Thứ trưởng

Hội đồng biên tập Toán Tuổi thơ

6

ngnd vị h÷u bình(Hà Nội)

TèM THEM CACH GIAI

CHO HAI BAỉI TON TH V

Cách : Đặt Vẽ hình bình hành BECK ta có CK BE CF, suy

ra tam giác CFK cân C

Mặt khác suy

Ta lại có suy

Víi > , tõ (1) vµ (2) suy

BK < BF (3) Mặt khác EBC FCB cã chung c¹nh BC, BE CF, suy CE > BF

BK > BF Điều mâu thuẫn với (3) Với < , tương tự dẫn đến điều vơ lí Vậy   hay ABC tam giác cân A

Cách :Cách sử dụng đến bổ đề (đề nghị bạn tự chứng minh)

Bổ đề :Nếu tứ giác nội tiếp có hai cạnh đối hai cạnh đối song song tứ giác hình thang cân

Trở lại toán Dựng điểm N cho NB AF, NE AC (N A phía BE) Ta có NBE  AFC (c.c.c) suy

ANBE tứ giác nội tiếp Gọi I giao điểm BE CF (AI phân giác Dựng NK phân giác (K BE) Ta cã AI NK

Cịng v× suy

     

AIK ANK (EAI AEI) (ANB BNK)     

 

BNK IAC   

BNE FAC 

BNE  FAC) ;

 

BNE FAC 

  EBC FCB

  BFK BKF   



o o

3 BKF BKC CKF 90

2

BKF 90 (2)

2

 

    

 

 

     

 

 o

BKC 180    2 ,   



o o

3 BFK BFC CFK 90

2

BFK 90 (1)

2

 

    

 

 

     

 

 o

BFC 180    2 ,

o

o

180 90 .

2     2

   

 

CFK CKF

  

 B ; C    



Hai toán thú vị giới thiệu viết TS Nguyễn Minh Hà TTT2

Bài toán :Nếu tam giác ABC có đường phân giác BE, CF ABC tam giác cân

7 (do ANBE tứ giác nội tiếp) Vậy ANKI tứ giác nội tiếp Mặt khác AI NK, từ bổ đề 1suy AN // KI Suy ANBE hình thang nội tiếp nên theo bổ đề 1thì ANBE hình thang cân, AB  NE Mặt khác NE AC (theo cách dựng điểm N) nên AB AC hay ABC tam giác cân A

Cách : Trước hết ta phát biểu chứng minh bổ đề

Bổ đề :Nếu hai tam giác ABC MPQ có BC  PQ, đường phân giác AD MK hai tam giác

Chứng minh : Đặt tam giác ABC MPQ cho PQ trùng với BC, A M nằm phía BC nằm phía đường trung trực BC

Do nªn B, M, A, C thuộc đường tròn (O)

Gi NL l đường kính vng góc với BC (O), N trung điểm không chứa A M Các đường thẳng AD, MK qua N

Ta sÏ chøng minh M trïng A

Gi¶ sư M không trùng A Không tính tổng quát, giả sử A, M thuộc không chứa N, C M thuộc ,

nên NM < NA Ta lại có MK AD nên NK < ND, vô lÝ VËy M trïng A, suy ABC  MPQ

Bổ đề tốn thi học sinh giỏi toàn quốc lớp cuối cấp năm 1979 Với bổ đề 2, ta giải toán sau mạnh tốn 1:

“Cho tam gi¸c ABC, đường phân giác AD, I điểm thuộc đoạn AD BI cắt AC E, CI cắt AB t¹i F Cho biÕt BE CF, chøng minh r»ng tam giác ABC cân A

Cỏch gii nh sau (bạn đọc tự vẽ hình): Các tam giác ABE, ACF có BE  CF, AI đường phân giác suy ABE  ACF (theo

bổ đề 2) AB AC

Cách : Đề nghị bạn viết lời giải hồn chỉnh tốn theo cách qua gợi ý

+ Bổ đề :Cho tam giác ABC, đường phân giác BE Gọi d đường phân giác góc ngồi đỉnh B Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu A, C d

Chứng minh : BE.MQ = 2SABC + Gọi d1, d2theo thứ tự đường phân giác góc ngồi đỉnh B góc ngồi đỉnh C Kẻ AM CQ vng góc với d1 Kẻ AN BP vng góc với d2

+ MN // BC

+ MNPQ tứ giác nội tiếp + BE.MQ CF.NP (dùng bổ đề 3) + MQ NP

+ (dùng bổ 1)

+ ABC ACB. (Kì sau đăng tiÕp)

 

NMQ MNP  CAF 

BAE  

BAE CAF,

 

s® NBM s® NBA



AB



BL



BC  

BMC BAC  

A M,

  o

AEI ANB 180

8

Giới thiệu

CUỘC THI TOÁN HẰNG NĂM

BẬC TRUNG HỌC CỦA NƯỚC MĨ

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD) (Tiếp theo kì trước)

Trong sè nµy, chóng xin tiếp tục giới thiệu với bạn bốn toán khác thi American high school mathematics examinationnăm 1999

Bi : ln ca chu vi nửa hình trịn (tính cm) độ lớn diện tích nửa hình trịn (tính cm2) Vậy bán kính hình trịn (tính cm) (A)  (B) (C) (D) (E)

Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD

Bit rng AB BC  7,5 cm Tính độ dài đường kính BD (A) 11 cm (B) 12 cm (C) 14 cm (D) 15 cm (E) 26 cm

Bài : Giả sử p q số nguyên tố phương trình x2 px q  có nghiệm nguyên dương phân biệt Xét câu I, II, III, IV sau :

I HiÖu số nghiệm số lẻ II Có nghiệm số nguyên tố III p2q sè nguyªn tè

IV p q số nguyên (A) Chỉ có câu I (B) Chỉ có câu II

(C) Chỉ có câu II câu III (D) Chỉ có câu I, câu II câu IV

(E) Tất câu Bài :Một đám cỏ hình trịn có đường kính 12 m bị cắt thành lối thẳng có chiều rộng m, để lát sỏi Một cạnh lối đường kính đám cỏ Diện tích phần cịn lại đám cỏ :

(A) m2(B) m2 (C) m2(D) m2 (E) 28 2 3m2

36  30 9

20 5 10 3

 

ABC 2ADC.

4 2. 

1 2

9 Bài Trả lời :(D)

Ta có :

Bài Trả lời :(C)

Giả sử đường tròn có bán kính Gọi diện tích hình vuông nội tiếp đường tròn S ; diện tích hình vuông nội tiếp nửa đường tròn T Ta cần tính tỉ sè

Hình vng nội tiếp đường trịn có hai đường chéo vng góc với nhau, hai đường kính đường trịn Từ ta tính cạnh hình vng suy S

Xét hình vuông ABCD nội tiếp nửa ®­êng trßn (O)

Ta cã : OA OB 1 ; OD OC 

Suy VËy

Bµi Tr¶ lêi :(B)

áp dụng định lí Pytago ta có :

OM OB  ;

OP OC 

 P có tọa độ mặt khác Q có tọa độ (1 ; 0) từ ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm P ; Q

Bài Trả lời :(C) 1,2

Gọi x, y, z số phần bể mà vòi A, B, C chảy giờ, ta có :

Từ suy

Như hai vòi A B chảy làm đầy bể hay 1,2 giê.6

5

1

x y

1,5

     

1

x y z 1; x z ; y z

1,5

      

(0 ; 3),

2

1 ( 2) 

2

1 1  y 3x

T S 5

2

2

BC BC T BC

2

 

     

 

1DC 1BC.  2

T S

5

3 ( 2)( 2) 1

3 3( 2)

    

 

10 Bài :(3,0 điểm)

Trong h trục tọa độ Oxy, cho hàm số y (m 2)x2 (*) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm :

a) A(1 ; 3) b) c)

2) Thay m 0 Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm s y x

Bài :(3,0 điểm)

Cho hệ phương trình : ; gọi nghiệm hệ phương trình (x ; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m ; 2) Tìm giá trị m thỏa mãn 2x27y 1 ;

3) Tìm giá trị m để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài :(3,0 điểm)

Cho tam giác vuông ABC ( 90o) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác ABC cho BC BD ; gọi I trung điểm CD ; AI cắt BC t¹i E

1) Chøng minh  ;

2) Chứng minh ABE tam giác cân ; 3) Chứng minh AB.CD BC.AE Bài :(1,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức với

2 x 41

x  x 1

5

4

x 4x 3x A

x 3x 11

  



 



DBI



CAI

 

ABC CBD



A

2x 3y x y

(m 1)x y m x (m 1)y

  



    

1 C( ; 5)

2

B( ; 1)

(Năm học 2004 - 2005)

11 Bµi :(3,0 ®iĨm)

Giải phương trình :

1) |x22x 3| |x23x 2| 27.

2)

Bµi :(1,0 ®iĨm)

Cho ba số thực dương a, b, c ab > c ; a3b3c31 Chứng minh : a b > c

Bài :(2,0 điểm)

Cho a, b, c, x, y số thực thỏa mãn đẳng thức sau : x y a ; x3y3b3; x5y5c5

Tìm đẳng thức liên hệ a, b c không phụ thuộc vào x, y Bài :(1,5 điểm)

Chứng minh phương trình (n 1)x22x n(n 2)(n 3) 0 có nghiệm số hữu tỉ với số nguyên n

Bµi :(2,5 ®iĨm)

Cho đường trịn tâm O dây AB (AB không qua tâm O) M điểm đường tròn cho tam giác ABM tam giác nhọn, đường phân giác cắt đường tròn tâm O P Q Gọi I giao điểm AP BQ

1) Chøng minh MI vu«ng gãc víi PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung đường tròn tâm P tiếp xúc với MB đường tròn tâm Q tiếp xúc với MA song song với đường thẳng cố định M thay đổi



MBA



MAB

2

1 1

x(x 2) (x 1) 20

(Thêi gian : 150 phót)

12

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

l KÕt qu¶ :

Bài 1(26) : Cho k số tự nhiên khác Số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh A B số phương

Lêi gi¶i :

Cách :Ta có Đặt ta có :

C 10kC ; B 2C Suy :

A B C 10kC C(10k1)

C¸ch :

Ta có : Tương tự, Suy :

Vậy A B số phương

NhËn xÐt : Đây toán lớp Các bạn lớp có nhiều cách giải trình bày tốt : Nguyễn Hải Triều, 6A, THCS Hà Huy Tập, CÈm H­ng, CÈm Xuyªn ;

Lê Thị Kiều Oanh, THCS Bán Công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Lê Trung Hiếu, 6A, THCS Phúc Thọ, Nghi Lộc ; Trương Thị Hồng Nhung, 6A, THCS Lý Nhật Quang,

Đô Lương, Nghệ An ; Phùng Thanh Lam, 6A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ; Lê Thị Thu Thủy, 6B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Lê Thị Thu Huyền, 6/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ;

Nguyễn Linh Thùy, 6A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Phạm Hoàng Vũ, 6C, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa; Vũ Thị Hải Nhung, 6A, THCS thị trấn Đối, Kiến Thụy, Hải Phòng; Phạm Bá Đức, 6A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ; Nguyễn Thị Thu Trang, 6D, THCS thị trấn Đơng Hưng, Thái Bình ;

Hồng Thu Hường, 6A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Phú Đức, 6/5, THCS Nguyễn Du, TP Pleiku, Gia Lai; Ngô Thị Thu, 6B, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Ngô Trần Việt Hà, 6A4, THCS Chu Văn An, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên ; Ngô Minh Tâm, lớp 6, THCS Khỏnh Thin, Chiờm Húa, Tuyờn Quang;

Văn Thu Thảo, 6D, THCS Yên Thịnh, TP Yên Bái, Yên Bái ; Nguyễn Thúc Vũ Hoàng, 6M, THCS Nguyễn Huệ, TX Đông Hà, Quảng Trị

nguyễn anh quân Bài 2(26) : Tìm số tự nhiên a b khác cho :

Lời giải :Đặt

Ta cã x > nªn x2y2xy 

Do phương trình (1) trở thành :

x y a

2

2

(x y)(x y xy) x y xy a

  

   

3 3

2 2

x y xy x y x y x y xy

a a

        

2

3x x y 0. 2   32 b x, 2  b y.

3

3

4 4 b 4 b b 4 b b (1)

a       

2

2k k k

2

10 2.10 10 (333 3)

9

 

  

    

  k ch÷ sè

2k k

10 2(10 1) A B

9 9

  

k

2(10 1) B 222

9 



k ch÷ sè

2k

999 10

A 111 ;

9 

  

 

2k ch÷ sè

2k ch÷ sè

2

C´ 999 C´ 111 (3C)

(333 3) Do A B số phương

     

 

  

k ch÷ sè k ch÷ sè

k ch÷ sè

A 111 111 1000 111 1     

2k ch÷ sè k ch÷ sè k ch÷ sè k ch÷ sè

C 111 1

k ch÷ sè

B 222 ;

k ch÷ sè

A 111 ; 

13

Nh­ vËy (1) (2)

Nếu số nguyên dương a, b thỏa mãn (2) thỡ

Vì b số nguyên, ta suy a34 chia hÕt cho 3a a34 chia hÕt cho a 4 chia hÕt cho a a {1, 2, 4}

lVới a 1 suy b 1 b 5 l Với a  a  ta suy b không số nguyên, không thỏa mãn đề

Với a 1, b 5 ta có (3) đúng, tức : x3y33.x.y.a a3

Ta cã a3x3y33xy.a

(a x y)(a2x2y2ax ay xy)



và a x > Suy a x y, tức (2) Do (a ; b) (1 ; 5) cặp số nguyên dương thỏa mãn phương trình (1) Nhận xét :Tất bạn gửi lời giải tới tòa soạn dẫn đến đáp số (a ; b) (1 ; 5) Nhưng khơng bạn chứng minh (3)  (1) Có nghĩa bạn không kiểm tra xem (a ; b)  (1 ; 5) có nghiệm phương trình (1) hay khơng !

Ngun Minh §øc Bµi 3(26) :Cho  a 2 vµ b Tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

Lêi gi¶i :Ta có

lTìm giá trị lớn P :

Ta thấy P  a b  Do giá trị lớn P a b

lTìm giá trị nhỏ P : Vì a b 2 nªn :

a2b2ab a b

Do a2b2ab  (a b)2 ab > nªn hay P 1

Ta thÊy : P 1

Do giá trị nhỏ P (a, b) {(1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2)}

Nhận xét : 1) Nhiều bạn lí luận “tử nhỏ mẫu lớn để phân thức nhỏ nhất” Lưu ý : điều kiện đủ điều kiện cần

2) Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Mạnh Hưng, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn Hùng Linh, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Huy Thắng, 8A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ;

Nguyễn Thành Hải, 9A7, THCS Ngô Sĩ Liên, TX Bắc Giang, Bắc Giang; Nguyễn Quốc Đại, 9A7, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Quang Huy, 9B, THCS Lương Thế Vinh, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Nguyễn Sơn Tùng, 9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nơng, Phú Thọ ; Nhóm Tốn 7, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải Phòng; Nguyễn Văn Mạnh, 8A, THCS Tân Lợi, TP Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk

LTN a b a b a b

                  

(a 1)(a 2) (b 1)(b 2) (a 2)(b 2)

             

2 a b2

a b ab

 

 

2

a 3a (a 1)(a 2)

(b 1)(b 2) b 3b (a 2)(b 2) ab 2a 2b

                          

a b a b 1

P 1

ab a b (a b) ab

 

      

 

2

2 2

(a b) a b .

(a b)(a ab b ) a ab b

         3 (a b) P a b     3 (a b) P a b   

 2 2

1(a x y) (a x) (a y) (x y)

2       

3

3

4 b a a (3) a

4 b

3a

   

  

    

 

3 3

( 2 b 2 b ) a

32 b 32 b a (2)

    

14 Bài 4(26) :Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi giao điểm đường phân giác tam giác HAB, HAC I, K Đường thẳng IK cắt AB, AC D, E

Chøng minh :

Lời giải :(Theo bạn Phan Công Lộc, 7D, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh)

Trên cạnh AB, AC lấy D’, E’ cho AD’ AE’ AH Gọi I’, K’ tương ứng giao điểm D’E’ với tia phân giác Khi AI’H  AI’D’ (c.g.c), suy (do AD’E’ vuông cân A) Mặt khác nên HI’ tia phân giác góc , suy I I’ Chứng minh tương tự ta có K K’, D D’, E E’, suy :

DE D’E’  AD  AH (1) Gäi M trung điểm BC (2) Từ (1) (2) ta có , hay

(đpcm)

Đẳng thức xảy AH AM hay ABC vuông cân A

Nhn xột :õy toán quen thuộc, hầu hết bạn giải theo cách Những bạn sau trình bày lời giải gọn : Lê Thế Tài, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Phạm Văn Phương, 9C, THCS Thủy Sơn, Thủy Nguyên, Hải Phòng; Phạm Tiến

Định, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương ; Trần Thị Phương Ly, 9A, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ, Hưng Yên; Trần Thị Thu Hiền, Trại giống trồng TW Đồng Văn, Duy Tiên, Hà Nam; Nguyễn Văn Lương, 7A, THCS Đơng Thọ, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Trần Thanh Quý; Nguyễn Hạnh Thúy, 7D, THCS thị trấn Kỳ Anh, Kỳ Anh, Hà Tĩnh nguyễn văn Mạnh Bài 5(26) :Cho hình vng ABCD Điểm E nằm hình vuông cho ABE tam giác Gọi F giao điểm AE BD ; K giao điểm DE FC Chứng minh : KC KF

Lời giải :

Lấy điểm L trªn DE cho CL // FE DƠ thÊy tam giác AED cân A

Vậy

Mặt khác :

Vậy (1)

Ta cú (gúc có cạnh tương ứng song song)

(vì ABE đều) (2) Từ (1) (2), với ý DC BA BE ta có : DCL  BEF suy CL FE

VËy CL song song vµ b»ng FE, suy CLFE hình bình hành KC KF

(Xem tiÕp trang 25)

 

LCD FEB

 

 

LCD EAB

 

LDC FBE

   o o o

FBE ABE ABD 60   45 15

 o o o

LDC 90 75 15

   

 o

ADE 75

 o

DAE 30

DE BC

2

DE BC

2



1 AH AM BC

2

 

2



BHA

 o

BHA 90

  o

I’HA I’D’A 45 

 

HAB vµ HAC

15

trịnh khôi

(Hiu trng trng THPT chuyờn Bc Ninh, Bắc Ninh)

Trước hết, xin nhắc lại số tính chất tam giác vng giới thiệu chương trình sách giáo khoa

Cho tam gi¸c ABC vuông C, có đường cao CH (H thuộc AB) Đặt AB c, AC b, BC a, CH h, AH b’, BH a’

Các tính chất biết :

1) Các tam giác CAB, HAC, HCB đôi đồng dạng với

2)b2b’c ; a2a’c

3)a2b2c2(định lí Py-ta-go) 4)h2a’b’ ;

Dưới chúng tơi nêu thêm số tính chất khác tam giác vng, bạn coi tập ơn tập để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THCS thi vào trường THPT

Trong tam giác vng ABC nói trên, gọi I, I1, I2lần lượt tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AHC, BHC r, r1, r2lần lượt bán kính đường trịn ; CI1và CI2lần lượt cắt AB E F ; đường thẳng I1I2cắt AC, BC G, K ; gọi D hình chiếu vng góc I AB

ab

h

c



Ta có thêm tính chất sau : 5) 6)r r1r2h ; 7)r12r22r2; 8)AC AF ; BC BE ; 9) I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF ;

10)I trực tâm tam giác CI1I2; 11)EI2// AI ; FI1// BI ;

12)EI2, FI1và CH đồng quy điểm J trực tâm tam giỏc CEF ;

13)Các tứ giác EI1II2, FI2II1là hình thang cân ;

14)IE IF IC I1I2; 15)Tam giác DI1I2cân D ; 16)DI1AC ; DI2BC ;

17)H D thuộc đường tròn đường kính I1I2; 18)CG CK CH

19)Các điểm E, F, I, I1, I2thuộc đường tròn tâm D bán kính r ;

20)SABCAD BD ; 21)SCEF

22)Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI1và BCI2tiếp xúc với C CI tiếp tuyến chung ;

23)Các tứ giác AI1I2B, AEIC, BFIC nội tiếp đường tròn ;

24)Hai tam giác CAB, HI1I2đồng dạng ;

Các bạn hÃy thử chứng minh tính chất Kì sau tạp chí tiếp tục đăng gợi ý chứng minh tính chất tập ¸p dông

abr’ ; c

EF

2 KG ; a b c

r ;

c

16

Sau phá xong vụ án nghiêm trọng Mỹ, thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ trở nước tàu Ti-ta-mic Đây tàu thủy nhỏ sang trọng Tàu có người khách, vài thủy thủ người phục vụ

Một buổi chiều, không khí trở nên ngột ngạt khác thường Thuyền trưởng Đu-bai dự đốn có giơng Sau bữa tối, phịng cảm thấy khó chịu Một lúc lâu sau, nhiên, giông mạnh ập đến Sóng to, gió lớn khiến tàu ngả nghiêng, chao đảo Tuy nhiên, tay nghề điêu luyện mình, thuyền trưởng lái tàu an tồn Khi trời tạm yên ả trở lại lúc người phục vụ đến gặp thám tử Sê-Lốc-Cốc báo tin :

- Thưa ngài, bà Mi-na vừa bị hộp nữ trang quý giá ! Xin ngài hÃy giúp chóng t«i !

- Chúng ta đến chỗ bà ! Cửa phòng bà Mi-na mở Thấy bà khóc, thám tử nhẹ nhàng nói :

- Bà hÃy bình tĩnh kể lại chuyện cho nghe, hi vọng giúp

- Vâng Lúc khoảng giờ, tức cách khoảng 30 phút Tôi nghe tiếng gõ cửa liền đứng lên mở Vừa mở cửa,

đã bị kẻ chụp thứ vào mũi Tơi khơng biết Tơi vừa tỉnh lại lúc phát hộp đựng đồ nữ trang mua Mỹ biến Tôi hốt hoảng báo cho người phục vụ - Bà cố nhớ thêm chi tiết khác đi, điều giúp tơi dễ dàng tìm kẻ gian

- Thưa thám tử, kịp thấy kẻ bịt mặt kín thơi - Bà Mi-na nói thêm

Thuyền trưởng Đu-bai nói xen vào : - Lúc tơi lái tàu, qua hệ thống máy móc, thiết bị tơi biết thủy thủ ngun vị trí Họ khơng thể thủ phạm

- Cịn tơi - phục vụ nói - lúc dọn dẹp phòng ăn nhà bếp Tàu nghiêng ngả mạnh quá, đồ đạc đổ lung tung, dọn xong

Ta hỏi vị hành khách xem ! -Thám tử ngh vi thuyn trng u-bai

- Được Ngoài ngài bà Mi-na, cô Lin-dơ, cô May, ông Bach ông Pac Chúng ta !

Cô Lin-dơ cho biết :

- ăn tối xong phòng nghe nhạc Máy nghe nhạc

Cô May kể :

17

- Lúc tơi viết thư cho cô bạn gái thân Lá thư bàn

- T«i cã thể nhìn qua thư không ? Rất xin lỗi cô, trách nhiệm nghề nghiệp buộc phải làm

Cô May đưa thư cho thám tử Ông nhìn qua lên :

- Chữ đẹp q ! Nét chữ trịn trịa, cẩn thận, viết thẳng hàng,

- Ngài khen ! Hồi bé cha mẹ nghiêm khắc nên viết

Vị hành khách ông Bach Ông kể : - Tôi định ngủ không ngủ nên dậy đọc sách Tôi mang theo truyện tranh thú vị Lúc rảnh rỗi, ngài thử đọc mà xem, vui nhộn

Cuối ông Pac :

- Lúc tơi nhâm nhi chén rượu Do thời tiết khó chịu nên tơi khơng muốn làm mà đành lấy rượu làm vui

Sau hỏi chuyện tất hành khách, thám tử thuyền trưởng trở phòng thám tử Thuyền trưởng than thở :

- Khã qu¸ nhØ ! Ai kẻ khả nghi

- Ngài đừng lo Có kẻ số hành khách khai gian Tôi biết rõ - Thật ? Ngài tài giỏi ! Hắn ?

Thám tử im lặng, không trả lời khiến thuyền trưởng Đu-bai suy nghĩ Các thám tử “Tuổi Hồng” trả lời cho thuyền trưởng !

Phần lớn “Thám tử Tuổi Hồng” nhanh chóng phát điểm vơ lí lời khai tiểu thư Pa-li-ni : Cửa nhà tắm đóng chặt, nước nóng già xả ầm ầm thời gian lâu, mà lại nhìn rõ qua gương khuôn mặt tên trộm ?! Trên thực tế, trường hợp gương bị mờ nước bám vào Và tiểu thư Pa-li-ni khơng tài nhìn rõ khn mặt béo phị với hàm thưa tên trộm Cô tiểu thư có lẽ tham lam nên bịa chuyện quên điều đơn giản

Phần thưởng kì trao cho năm bạn sau :

Trương Thùy Linh, 8E, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phỳ Th ;

Nguyễn Đức Tuấn, 7D, THCS Lê Quý Đôn, TX Bỉm Sơn,

Thanh Húa ; Phan Tuấn Thông, 6A, THCS Phan Huy Chú, Thạch Hà, Hà Tĩnh ; Lê Thị Lãm Thúy, 8/1, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế,

Thõa Thiªn-H ; Ngun Hång HiÕu, 7A, THCS Nguyễn Tự Tân, Châu ổ, Bình Sơn,

Qu¶ng Ng·i

Phan Hương l Kết :

LTS :Sau đăng “Một học hiệu quả” với năm cách so sánh hai phân số (n N, n > 1), nhiều bạn tiếp tục gửi cho tòa soạn thêm nhiều cách giải khác

Xin giới thiệu bốn cách giải học sinh thầy Nguyễn Công Minh (THCS Nam Hoa, Nam Trực, Nam Định)gửi cách giải bạn Nguyễn TuÊn Thµnh

(9A, THCS Võ Thị Sáu, TP Hải Dng)

Cách (của bạn Đoàn Xuân Ba):

Vì n > nên n > n(nn 11) > n(nn1)

Cách (của bạn Đặng ThÞ Thóy An):

Tương tự cách 6, ta suy A < B

Cách (của bạn Phạm Thị Huệ): Ta có

Vì n > nn> nn

Cách (của bạn Nguyễn Đức Mạnh):

mà nn 1nn 12nnnn 1(n 1)2> (do n > 1), suy nn 1nn 1> 2nn

n2n 1  nn 1 nn 1> n2n 1 2nn

A < B (do B > 0)

C¸ch 10 (của bạn Nguyễn Tuấn Thành):

Do n > suy :

B < 1 B > 1 A > B B > A

n n n

n n n

1 A n (n 1) n 1. n n 1; B n n (n 1) n



  

      

   

n n n n

n n n

n n n n (n 1)

1 B

n n n

     

    

  

n n n n

n n n

n n n n (n 1)

1 A ;

n n n

             A B  

n n 2n n

n n 2n n n

A n n 1. n 2n , B n  n  n n  n 

   

 

    

1 B A. A B

   

n n

1 n n 

  

n n

n

1 n n

tương tự, 1

B n 1 1 n          n n n

n (n 1) 1 n 1 ;

n 1

n

 

   

 

n n n n

n n

1 n n n n

A n 1 n 1

     

 

 

n

n n

1 n 1 n

B

n n 1 n n(n 1)

  

   

 

n

n n

1 n 1 n

A ;

n n  1 n n(n 1)

   

 

n n

n n A B.

n(n  1) n(n 1)

 

   

 

n

n n

(n 1) (n 1) n

B

n

n(n 1) n(n 1)

   

  

 

n

n n

(n 1) (n 1) n

A ;

n

n(n 1) n(n 1)



 

   

  

 

n n

n n

n n

A vµ B

n n



 

 

 

18

19 l Người thách đấu : Nguyễn Đức Phương, 12A1, khối phổ thơng chun Tốn - Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội l Bài toán thách đấu : Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH Điểm M thuộc đoạn BC Đường thẳng qua A vng góc

với AM theo thứ tự cắt đường thẳng qua M vng góc với AB AC E F Chứng minh : AH, BF, CE đồng quy lXuất xứ :Sáng tác

lThời hạn nhận thách đấu :Trước ngày 15 - 07 - 2005

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI

Bài toán khơng khó Rất nhiều võ sĩ nhận lời thách đấu Trừ võ sĩ cho lời giải sai, lời giải lại Tuy nhiên, lời giải gọn, trình bày sáng sủa có Đó lời giải võ sĩ Nguyễn Thị Hồng, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải võ sĩ Hồng

Trên AE lấy điểm N cho MN // BC Theo giả thiết : EAC cân E AE = EC (1)

Cịng theo gi¶ thiÕt :

BAE cân B MAN cân M (vì MN // BE) AM = NM (2)

VËy ta cã :

Suy : KL // BC (định lí Ta-lét đảo) Nhận xét : Rất nhiều bạn sử dụng định lí Mênêlauýt, điều không cần thiết Nguyễn Minh Hà

LM NM (v× MN // EC) LC EC

AM (theo (1), (2)) AE

KM (tính chất đường phân giác) KE

  

    

AEB EAC ECA 2ECA EAB   

 

EAC ECA

20 “Góc với đường trịn” chương hình học phẳng cuối cấp THCS Về mặt giáo dục tư duy, giữ yêu cầu dự đoán, quy nạp trọng nhiều đến lập luận suy diễn lôgic Phần lớn hoạt động học tập chương thao tác lôgic nhận biết khái niệm, chứng minh định lí, xây dựng cơng thức, thành lập mệnh đề đảo, giải tốn quỹ tích, khái qt hóa, đặc biệt hóa, phân tích, tổng hợp, rèn luyện tư thuận nghịch

Hoạt động tư thể ngôn ngữ, kể ngôn ngữ thông thường mang nội dung tốn học dạng ngơn ngữ tốn học đặc trưng ngơn ngữ kí hiệu, ngơn ngữ hình vẽ, Do giáo dục tư lôgic phải đôi với luyện kĩ sử dụng chuyển đổi ngơn ngữ

Chương “Góc với đường trịn” có nhiều thuận lợi cần khai thác để việc dạy học đạt yêu cầu nói Sau số ví dụ

VÝ dơ :

a) Xuất phát từ tập 23 SGK :

Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng a b Đường thẳng a cắt (O) A, B Đường thẳng b cắt (O) C, D Chứng minh MA.MB = MC.MD

Phân tích giả thiết “Điểm M khơng nằm đường trịn” suy hai trường hợp phải xét : M nằm bên (O), M nằm bên (O) Đây hoạt động phủ định lơgic Có ba khả loại trừ lẫn Phủ định khả năng, lại hai khả

Từ đề tốn (ngơn ngữ thơng thường), học sinh vẽ hình (ngơn ngữ hình vẽ) viết giả thiết, kết luận (ngơn ngữ kí hiệu) Việc

chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh hiểu sâu đề để thuận lợi giải toán

b) Giải xong tập, yêu cầu học sinh phát biểu kết thành định lí Việc chuyển tập thành định lí, ngược lại, chuyển định lí thành tập hoạt động ngôn ngữ thường xảy Cần khéo gợi ý để học sinh biến đổi đề tập thành mệnh đề tổng quát dạng “Nếu A B” Mong muốn học sinh thành lập mệnh đề sau :

“Nếu qua điểm M không nằm đường tròn (O) kẻ hai đường thẳng cắt (O)

ĐƯỜNG DÂY NĨNG TỐN ! ĐƯỜNG DÂY NĨNG TỐN !

21 A, B C, D MA MB = MC.MD”

Cũng nên hướng dẫn học sinh diễn đạt đề tập cách khác, sau :

“Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ đường thẳng cắt đường tròn A B Chứng minh tích MA.MB khơng phụ thuộc vị trí đường thẳng”

Nghệ thuật dạy học toán trường THCS coi trị chơi chuyển đổi ngơn ngữ, làm rõ mối quan hệ nội dung (tốn học) hình thức (ngơn ngữ tốn học) Trong ví dụ này, cách diễn đạt có mức độ khái quát hóa khác

c) Học sinh lại rèn luyện theo đường đặc biệt hóa, từ trường hợp chung đến trường hợp riêng chuyển từ tập 23 SGK sang tập 34 SGK :

“Nếu qua điểm M nằm ngồi đường trịn, kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB với đường trịn MT2= MA.MB”

Có trường hợp riêng điểm M nằm ngồi đường trịn cát tuyến trở thành tiếp tuyến

d) Sử dụng kết tập 34 SGK, học sinh vận dụng kiến thức vào thực tế (từ tư trừu tượng trở thực tiễn, từ lí thuyết đến thực hành) với tập 35 SGK

“Trên bờ biển có hải đăng cao 40m Với khoảng cách km người quan sát tàu bắt đầu trông thấy đèn này, biết mắt người quan sát độ cao 10m so với mực nước biển bán kính trái đất gần 6400 km”

VÝ dơ :

Theo chương trình mới, SGK có giới thiệu định lí đảo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (bài tập 30 SGK) Đây dịp tốt để học sinh học cách thành lập mệnh đề đảo

Trước hết, ta nhắc lại định lí thuận : “Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn” Định lí viết dạng “nếu Athì B ” sau :

“Nếu góc góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (A) số đo góc bng na

số đo cung bị chắn (B)

Mệnh đề đảo dạng “nếu Bthì A ” sau sai

“Nếu góc có số đo nửa số đo cung bị chắn (B) góc góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (A)” Vì góc nội tiếp thỏa mãn mệnh đề

Định lí đảo SGK viết sau : “Nếu có đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB, có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn”

Lựa chọn cách phát biểu định lí theo kiểu mơ tả, có hình vẽ kèm theo, SGK làm, nhằm giúp học sinh dễ hình dung tránh hiểu nhầm xảy

Tuy nhiên phát biểu gọn cách thay cụm từ “cung AB căng dây cung nằm bên góc” cụm từ “cung bị chắn AB căng dây đó” SGK định nghĩa “cung nằm bên góc cung bị chắn” Khi ta có định lí :

“Nếu có đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB (mệnh đề P), có số đo nửa số đo cung bị chắn AB căng dây (mệnh đề Q) cạnh Ax tia tiếp tuyến đường trũn (mnh R)

Định lí có cấu tróc :

P Q R hc P (Q R)

Cũng phát biểu định lí đảo dạng tốn sau :

“Cho tam gi¸c ABC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ tia Ax cho tia BC nằm hai tia Bx BA vµ Chøng minh r»ng Bx lµ tiÕp tun cđa (O)

(Kì sau đăng tiếp)

CBx BAC



BAx



BAx

22

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

KT QU Kè TH T phiu dỳ thi

Cuộc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên : §Þa chØ :

ẵậ thi kệ thử sŸu (Bài giải gửi trước ngày 16-07-2005)

đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhập bỡnh tõy

Bài 1.Tìm phần dư 234567890 chia cho 4567 :

234567890 4567 (53161,48237) 4567 53161 4567 (2203)

Tìm phần dư 22031234 chia cho 4567 :

 



 

Bài Tính xác giá trị A 14142135622

Bài 2.Tìm chữ số thập phân thứ 18 sau dấu phẩy

Lê Đức Lợi

(91, THCS Hồng Bàng, Q.5, TP Hồ Chí Minh)

Bµi

Cho d·y sè a13, , 3.1 LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh an1 3.2 TÝnh anvíi n 2, 3, 4, , 10 Phạm Thế Anh(9A, THCS Ngô Đồng,

Giao Thủy, Nam §Þnh)

Bài Sử dụng máy tính bỏ túi để tính kết tích ab bảng sau :

Nguyễn Đình Thế

(THCS Ninh Xá, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh)

Bài 5.Tìm 12% biết

Tạ Minh Hiếu

(THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

Bài 6.Tính giá trị phân số

6.1 Không biến đổi biểu thức, không sử dụng phím

6.2 Khơng biến đổi biểu thức, khơng sử dụng phím phím

6.3 Khơng sử dụng phím , , 6.4 Khơng biến đổi biểu thức, khơng sử dụng phím , , ,

Lương Văn Bá

(THCS Nghĩa Lương, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi)



x

) (



) (

1

x

 

1 : 1 5

     

   

   

2

2

16

a 10101 111 3670 , b (3 2AE : 502 ) : 324

   

 

3a b 3

3

n n

n 3

n

a a a

1 a

  



23 22031234 4567 (4824, )

4567 4824 4567 (26)

VËy phÇn d­ cđa 2345678901234 chia cho 4567 lµ 26

Bµi 2.Vì 376 62 nên ta tính 20042841(mod1975) ; 200448412231 2004122313416 ; 2004484164536 200460536 416 1776 (mod1975) 2004621776 841 516 (mod1975) 200462 351631171 (mod1975) 200462 611712591 (mod1975) 200462 6 4591 231 246 (mod1975)

VËy 2004376chia cho 1975 d­ 246 Lời bình :Calculatorcủa máy tính cá nhân (có phím ) cho kết :

Vào

và khai b¸o :

2004 376 1975 (246) Bài Bản đồ tỉ lệ 1/50000 tức cm ứng với 50000 cm 500 m 0,5 km Như vậy, 3,5 cm đồ ứng với 3,5 0,5 1,75 km trờn thc t

Bài 4.Đặt Q(x) P(x) (4x23) Khi Êy Q(1) Q(2) Q(3) Q(4) 0 Suy Q(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) VËy P(x)  (x 1)(x  2)(x  3)(x 4) 

(4x23)

Khai b¸o P(x) trªn Casio FX 570MS :

2

4

Tính P(5) : Bấm Máy hỏi X ? Bấm Kết : P(5) 121 Tương tự : P(6) 261 ; P(7) 553 ; P(8) 1093

Bµi 5.TÝnh : 2 2 2 2 (27) ; 2 (8) ; 2222 222 2 2 (1990)

Bài 6.Gọi mức tiêu thụ dầu hàng năm A đơn vị Khi lượng dầu 50A Gọi xnlà lượng dầu sử dụng vào năm thứ n, x1A

Với tỉ lệ tăng 5% / năm xn 11,05xn Tổng lượng dầu sử dụng sau N năm x1x2 xNA 1,05A  1,05N1A



Để số dầu tiêu thụ hết hay 1,05N50 0,05 1 3,5

Bằng máy tính, dễ dàng tìm : 1,05253,38 1,05263,55 Vậy lượng dầu cạn kiệt sau khoảng 25 năm Khoảng thời gian ngắn gấp đôi thời gian sử dụng với mức tiêu thụ số hàng năm Tuy nhiên, mức tăng trưởng 5% / năm sử dụng nguyên liệu hoàn toàn phù hợp với thực tế

Nhận xét :1) Số lượng tham dự thi lớn Đặc biệt, lớp 8A8, THCS Kế Sách, huyện Kế Sách, Sóc Trăng gửi 33 dự thi Nhiều giải hay đáp án, khn khổ có hạn, giải trình bày cách giải

2) Danh sách nhận giải kì : Tập thể lớp 8A8, THCS Kế Sách, huyện Kế Sách, Sóc Trăng; Nguyễn Thành Hải, 9A7, THCS Ngô Sĩ Liên, TX Bắc Giang, B¾c Giang ;

Nguyễn Thị Lan Hương, 9D, THCS Trung Sơn, Gio Linh, Quảng Trị; Trần Thanh Loan, 8A, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế; Nguyễn Thị Hằng, THCS An Châu, Đơng Hưng, Thái Bình; Lê Hà An, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Đào Thanh Tùng, 8A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh ; Trương Ngọc Sơn, 10 Tốn, THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương ; Nguyễn Cơng Dũng, 10C3, THPT Hùng Vương, Phú Thọ; Trần Văn Tuấn, 8A, THCS Yên Lạc, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc

N

1,05 1A 50A 0,05  N 1,05 1A 0,05                     CALC  x X ALPHA  )  X ALPHA ( )  X ALPHA ( )  X ALPHA ( )  X ALPHA (  Mod

x ^ y

24 Trên TTT2 số 10 số 11, tác giả Nguyễn Nho Vânđã chứng minh cho “vẻ đẹp” số “trong lâu đài Tốn học” Tơi muốn nhấn mạnh thêm số tự nhiên ẩn tàng nhiều quy luật bất ngờ Kì xin giới thiệu với bạn vài số đặc biệt với tính chất thú vị

1 Sè 6174

Số 6174 bình thường số có bốn chữ số khác Tuy nhiên “tị mị” chút ta thấy lí thú

Trước tiên, viết số lớn số nhỏ có bốn chữ số tạo chữ số số 6174 trừ cho nhau, kết số 6174 : 7641 1467 6174 ;

Các số có bốn chữ số khác khơng có tính chất này, lặp lặp lại thao tác với số kết cuối số 6174 (trừ số có bốn chữ số giống nhau), ví dụ :

Với số 1992 ta có : 9921 1299 8622 ; 8622 2268 6354 ; 6543 3456 3087 ; 8730  0378 8352 ; 8532 2358 6174 (qua lần lặp, ta dừng lại kết 6174) Với số 1938 ta có : 9831 1389 8442 ; 8442 2448 5994 ; 9954 4599 5355 ; 5553 3555 1998 ; 9981 1899 8082 ; 8820  0288 8532 ; 8532 2358 6174 (qua lần lặp, ta dừng lại kết 6174) Ta chứng minh : Nếu lấy hiệu số lớn số nhỏ lập từ bốn chữ số số có bốn chữ số khơng đồng thời giống nhau, lặp lại thao tác với hiệu tìm sau khơng q lần ta đến kết số 6174

Bài tập : Hãy xác định số khác có tính chất tương tự

2 Sè 2538

Các bạn kiểm tra tính chất sau số có bốn chữ số không đồng thời giống :

Gọi bốn chữ số viết theo thứ tự tăng dần a, b, c, d, ta xác định hiệu Lặp lặp lại thao tác với hiệu tìm được, ta đến số 2538 Kết không đổi ta tiếp tục lặp lại thao tác

Hãy xác định số lần lặp tối đa thao tác để đến kết số 2538

3 Sè 37

Sè 37 cã rÊt nhiỊu tÝnh chÊt thó vÞ :

Tính chất :Nhân 37 với 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ta kết số có ba chữ số giống (111, 222, , 999) ;

TÝnh chÊt :(3272) 3 7) 37 ;

TÝnh chÊt :(3 7) 37 3373;

Tính chất : Các số có 3n chữ số (n N*) chia hết cho 37 (999 : 37 27 ; 999999 : 37  27027 ; 999999999 : 37 

27027027 ; ) ;

Tính chất : số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì (027) ;

Tính chất :(Tiêu chuẩn chia hết cho 37) Một số có 3n chữ số chia hết cho 37 tổng n số có chữ số chữ số liên tiếp số cho chia hết cho 37

VÝ dô : Sè 123876 chia hÕt cho 37 v× 123 876 999 chia hÕt cho 37 ;

Sè 562212959 kh«ng chia hÕt cho 37 562 212 959 1733 không chia hết cho 37 Các bạn kiểm tra trực tiếp kết

1 37 badc cdab.

25

Thi giải toán qua thư

Các bạn thưởng kì này

Phan Cơng Lộc, 7D, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh ; Nguyễn Hùng Linh, 6/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh ; Lê Thành Luân, 7C, THCS Tùng ảnh, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Lê Trung Hiếu, 6A, THCS Phúc Thọ, Nghi Lộc, Nghệ An ; Nguyễn Huy Thắng, 8A1, THCS Bình Minh, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Sơn Tùng, 9B, THCS Nguyễn Quang Bích, Tam Nơng, Phú Thọ; Nguyễn Văn Lương, 7A, THCS Đơng Thọ, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Phạm Văn Phương, 9C, THCS Thủy Sơn, Thủy Nguyên ; Nguyễn Trọng Phú, 8A2, THCS Võ Thị Sáu, Lê Chân, Hải Phòng ; Phạm Bá Đức, 6A3, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định ;

Đoàn Thùy Linh, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên; Lê Thế Tài, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn Thành Hải, 9A7, THCS Ngô Sĩ Liên, TX B¾c Giang, B¾c Giang

(TiÕp theo trang 14)

Nhận xét :1) Bài tốn khơng khó, nhiều bạn tham gia giải giải nhiều cách Tuy nhiên nhiều bạn giải dài sử dụng kiến thức cao kiến thức sử dụng lời giải : tính tốn nhiều ; dùng kiến thức tam giác đồng dạng ; dùng kiến thức đường trịn

2) C¸c bạn sau có lời giải tốt : Đoàn Thùy Linh, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Lê Thành Luân, 7C, THCS Tùng ảnh, Đức Thọ ; Trần Văn Thiện, 8B, THCS bán công Xuân Diệu, Can Léc, Hµ TÜnh ; Ngun Träng Phó, 8A2, THCS Võ Thị Sáu, Lê Chân, Hải Phòng ;

H Khương Duy, 8B, THCS thị trấn Bố Hạ, Yên Thế, Bắc Giang

ngun minh hµ

TÝnh chÊt : Nếu số chia hết cho 37 số chia hết cho 37 (các số tạo số ta hoán vị vòng quanh chữ số cđa nã)

Ví dụ : Các số 851, 518, 185 chia hết cho 37

4 Sè 41

Tính chất : Tương tự tính chất 7ở trên, số chia hết cho 41 tất số có năm chữ số tạo số cách hốn vị vịng quanh chữ số số chia hết cho 41 ;

Ví dụ : Các số 15498, 54981, 49815, 98154, 81549 chia hết cho 41 ;

Tính chất : Các số có 5n chữ số (99999 ; 9999999999 ; ) chia hết cho 41

TÝnh chÊt : số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì (02439)

5 S i xng

Số gọi số đối xứng chữ số thỏa mãn điều kiện : a1an; a2an 1; a3an 2; Bây với số bất kì, bạn cộng số với số đảo ngược (xác định chữ số số cho viết theo thứ tự ngược lại) để số lại tiếp tục thực với số sau số hữu hạn bước ta kết số đối xứng

Ví dụ : Xét ba trường hợp : a) 2001 1002 3003

b) 75 57 132 ; 132 231 363 c) 165 561 726 ; 726 627 1353 ; 1353 3531 4884

Trong trường hợp trên, ta cần 1, 2, bước lặp để đến kết 3003, 363, 4884, số đối xứng

Nếu bạn thực với số 89 sau 24 bước lặp ta kết số đối xng 8813200023188

Các bạn chứng minh tính chất không ? Hẹn gặp lại bạn dịp khác

1 n n n

a a a a a a 

1 41

abcde abcde

abc bca ; cab

26

Solution E2 : Since A’, B’ are the reflections of A and B across the centroid G, we have : G is the common mid-point of AA’ and BB’ It follows that ABA’B’ is a parallelogram Therefore, AB // A’B’

Similarly, we also have BC // B’C’, CA // C’A’

Let I and J be the intersections of AA’ and B’C’ with BC respectively It easily follows from GCJ  GC’I since BC // B’C’, GC GC’, CGJ  C’GI that GIC’  GJC

Now we have IG GJ  AG, leading to AI  AJ It is easy to verify that AQP ABC with the similarity ratio

We deduce that S(AQP)  S(ABC) where S(.) denotes the area of the polygon

Using the same argument, we also obtain S(BRS)  S(ABC), S(CMN)  S(ABC)

Thus, we have S(MNPQRS) S(ABC) 3 .S(ABC)  S(ABC)  2.2004 1336

2

9

9

9

1 AI AJ 3

1

2

Problem E4 :Prove that if a, b, c > and a b c 1 then (1 a)(1 b)(1 c) > 1536(abc)2.

Proposed by Ho Cong Dung, Binh Thuan province

Chú thích từ vựng thuật ngữ : lsimilarly :tương tự (trạng từ)

lfollow :kéo theo, dẫn tới (động từ) largument :lập luận, lí lẽ (danh từ) lcommon :chung (tính từ)

lrespectively :tương ứng (trạng từ) lparallelogram :hình bình hành (danh từ) lverify :kiểm tra (động từ)

lratio :tØ sè (danh tõ)

Nhận xét :Hầu hết bạn tìm kết cố gắng việc trình bày làm Tuy nhiên cách diễn đạt tiếng Anh có nhiều điều chưa ổn Chẳng hạn, khơng thể dùng (góc) so le theo nghĩa “khơng nhau” đôi đũa so le (unequal), hay dùng đồng vị theo nghĩa nguyên tố đồng vị (isotopic) để diễn tả góc đồng vị, Nguyên nhân bạn tra loại từ điển Việt-Anh khơng có đầy đủ nghĩa từ (cặp góc so le - alternate interior angles ; cặp góc so le ngồi - alternate exterior angles ; cặp góc đồng vị - corresponding angles) Các bạn học cách diễn đạt sách toán tiếng Anh phần chuyên mục

Rất tiếc số bạn không ghi địa tờ làm Lời giải bạn sau tương đối tốt : Trịnh Văn Vương, 10T, THPT Lam Sơn, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Trần Thị Thu Trà, 8/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Hạnh Nguyễn Thị Hồng Hạnh, 8A, THCS Nguyễn Trực, thị trấn Kim Bài, Thanh Oai, Hà Tây

27

Láy lầm lẫn

sửa không khó có bạn sửa sai không hiểu nghĩa từ Theo Từ điển từ láy, NXBGD, 2004, Lén lót : giÊu giÕm, vơng trém, kh«ng c«ng khai, cã ý gian dèi Do vËy tõ lÐn lót

dùng “Tên trộm lút lọt vào cửa sau” mà bạn PMA Hải Dương lại viết :” Tên trộm lơ láolẻn vào cửa sau” Lơ láo : ngỡ ngàng, cảm thấy bị lạc vào nơi xa lạ, chưa biết phải xử Do vậy, lơ láo diễn tả hành động tên trộm Láy lầm lẫn

“lËp lại :

Mưa to lai lángmặt hồ

Đường lắt léoquanh co khó tìm Bức tường loang lổlem nhem Sáo diều lơ lửnghiện bầu trời

Đêm rằm lấp lánhtrăng soi Kẻ cắp len lỏiở nơi hội hè

Trăng lên lấp lóngọn tre

Lp lịe đom đóm đêm hè tìm Hàng hóa lộng lẫysắc màu

Ngọn đèn leo létđêm thâu lặng tờ Bụi đời lầm lũibơ vơ

Bọn trẻ lơ láođón chờ người thân

Long lanhsương sớm ngần Trời đêm lồng lộngmn vàn

GÊc chÝn lđng lẳngtrên cao Tên trộm lútlọt vào cửa sau

Năm bạn trao giải kì : Trịnh Thị Trang, 8A, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa ; Võ Thị Mỹ Hịa, 7G, THCS Trần Hưng Đạo, TX Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; Hà Hoàng Anh, 5A, TH Đồng Mỹ, TP Đồng Hới, Quảng Bình ; Nguyễn Mạnh Linh, 6A, THCS Nghi Lâm, Nghi Lộc, Nghệ An; Đặng Tuấn Tiệp, 9B, THCS Yên Phong, Bắc Ninh

Phó B×nh

l Kì :

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 26)

Nhiều tỉnh thành với đặc điểm bật tỉnh nhắc đến thơ Tuy nhiên, tên tỉnh bị đặt sai vị trí hết Bạn xếp lại cho !

Quảng Nam có đảo Trường Sa Có thành Diên Khánh xưa xa cịn

Bình Dương có giống nhãn ngon “Thứ nhì Phố Hiến” cịn tiếng tăm

Khánh Hịa đơng đúc người Chăm Có làng Cà Ná khách thăm rộn ràng

Gia Lai cã Héi An

Rêu phong in dấu thời gian bên tường Kiên Giang xanh nhng khu

Nổi tiếng măng cụt vùng Lái Thiêu Hưng Yên rợp bóng vải thiều

Của vùng Lục Ngạn nhiều quằn Ninh Thuận giáp biển phía Tây Có Phụ Tử ngắm hoài Hà Tiên

Bc Giang nm gia Tõy Nguyờn H Tơ Nưng đẹp, hội cồng chiêng rộn ràng

Bắc Ninh có động Phượng Hồng Có hồ Núi Cốc lưng chng trờn cao

Thái Nguyên tiếng Chùa Dâu Có làng quan họ hát câu trữ tình

Trng Hi

28 Trần Đăng Khoa :

Đã viết báo khó Muốn làm nhà báo dân yêu mến gian khổ, chí nguy hiểm Những vụ việc tiêu cực, liên quan đến xã hội đen chẳng hạn, nhà báo có dám phanh phui khơng ? Năm Cam sai quân tới đe dọa báo Thanh Niên, đe dọa Tổng Biên tập Làm báo phải dũng cảm cháu ạ, nhiều chiến sĩ công an truy lùng kẻ cướp Nhà báo ngồi chỗ mà phải Điều khác với nhà văn, nhà văn có khơng cần thực tế Chỉ cần có ý tưởng, với người giàu trí tưởng tượng có tài, ngồi phịng kín, “chế tác” tác phẩm bất hủ Hồi học trường Gorki, bị ấn tượng câu nói giáo sư, kiêm nhà văn tiếng giới I Ivanov, tác giả tiểu thuyếtTiếng gọi vĩnh cửu vàTrên mảnh đất người đờirất hay dịch sang Việt Nam : “Tại anh nhăm nhăm kiếm tìm thực tế Trơng vào thực tế, chẳng khác anh hong hóng móc túi người khác ? Anh phải viết tài chiêm nghiệm riêng anh chứ” Quả thật Cuốn Đông-ki-sốt Séc-van-téc 100 nhà học giả tiếng giới bầu sách hay thời đại Thực chất, sách bịa từ đầu đến cuối, nghĩa hư cấu hồn tồn Đơn Ki-hơ-tê mẫu người thời đại Lão thích can thiệp vào thiên hạ, muốn mang đến cho thiên hạ tốt đẹp, thực chất lại gây bao nỗi rắc rối, lộn xộn, chống lại quy luật tự nhiên anh chàng điên khùng Đôn Ki-hô-tê phải nếm trận địn bị lê bị Nhà văn tưởng tượng viết Còn nhà báo lại phải Đi nhiều Không không tác phẩm Hơn nữa, báo ngày Cịn văn khơng cần tính cập nhật Nhưng anh nhà báo giỏi biến ngày thành vĩnh cửu Ta có số nhà báo : Ngô Tất Tố, Vũ Trọng Phụng ngày trước, gần ông Hữu Thọ số nhà báo tài danh khác Đọc trang báo vị ấy, nhiều thấy thú đọc tiểu thuyết nhạt phèo Chú chúc cháu trở thành nh bỏo gii

Chú Khoa ơi, cháu thích trở thành nhà báo Sau tốt nghiệp phổ thông, cháu muốn thi vào khoa báo chí Với tư cách nhà báo, thấy viết báo khó điều ? Báo với văn khác nµo ?

29 l Kì :

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 26)

Trên hàng ngang cột dọc tô màu ô chữ từ liên quan đến bóng đá Bạn có tìm khơng ?

Vâ Thái Thông

(9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

(TTT2 s 26) So vi ô chữ hình học Vườn Anh kì

trước, chữ ngun tố hóa học kì thực hấp dẫn đông bạn tham dự Đa số bạn đưa đáp án Chủ Vườn xin chúc mừng tiến tất bạn Đặc biệt chúc mừng bạn có nhiều đáp án nhận quà kì : Nguyễn Diệu

ánh Thùy Trang, 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc ; Trần Thùy Dương, 8A4, THCS Nguyễn Trường Tộ, Hà Nội; Vũ Thị Quế Thư, 8B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh ;

Nguyễn Thị Huyền, 8A2, THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; Lê Phong Vũ, 9A1, THCS Nguyễn Viết Xuân, KRông Pắc, k Lk

Các hàng ngang từ xuống :

Hàng hàng : điền nguyên tố : COPPER - Đồng (Cu) ; OXYGEN - Oxi (O) ; NICKEL - Niken (Ni) ; SILVER - Bạc (Ag)

Hàng : SELENIUM - Selen (Se) ; CHLORINE Clo (Cl) ; POLONIUM -Poloni (Po)

Hµng : CALCIUM - Canxi (Ca) vµ rÊt nhiỊu nguyên tố mang tên có đuôi IUM Cd, Re, Ga, Y, Nb, Rh, Hf, U, Ho, Tm

Hàng : LEAD Chì (Pb) ; NEON -Neon (Ne)

Hàng : CARBON - Cácbon (C) ; IODION - Ièt (I)

Hµng :LITHIUM Liti (Li) ; YTTRIUM -Ytri (Y)

30

(TTT2 sè 26)

Sao đỏ lửa đêm đen ? Sao thợ vốn quen đục, bào ?

Sao g× quÐt dän trêi cao ?

Sao đầy hồ ao sơng ngịi ? Sao ln chân người ? Sao may vá chẳng ri ụi tay ?

Sao trai ? Sao ăn cỏ kéo cày giỏi giang ?

Sao ruộng làm thần ? Sao âm phủ âm thầm vua ?

Nguyễn Mai Linh

(Mẹ Nguyễn Thị Mừng, xóm Trại, Đơng Phong, Bình Lãng, Tứ Kì, Hải Dương)

Thiên đình cung điện mây Thiên lơi lưỡi búa tay hay cầm

Thiên tai trời giáng xuống trần Thiên binh quân tướng rầm rầm bước

Thiªn tài công trạng mÃi ghi Thiên thạch rơi xuống chi bÊt ngê

Thiên nhiên tạo hoá ban cho Thiên la địa võng nỗi lo kẻ thù

Thiên lí hoa nở gần thu Thiên đội ýcực kì điển trai

Thiên thần xinh đẹp, đa tài Thiên thu vnh cu lõu di bn i

Thiên văn nghiªn cøu trªn trêi

Thiên đường người chết mời lên Thảo dân nghĩ giải khuây Gửi nhanh, làm Trẫm trao quà

Ban thưởng : Nguyễn Xuân Ly, 8A, THCS Lí Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa ; Vũ Huyền Trang, 9C, THCS BC Ngô Gia Tự, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội;

Đào Thu Hường, 7A3, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ;

Nguyễn Bình Minh, 228 Trần Hưng Đạo, TX Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Trang Hương Giang, 8B, THCS Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình

Hỏi :Em thấy số toán đề thi học sinh giỏi lại lấy TTT (chẳng hạn : đề thi HSG H.K, đề thi HSG H.Đ giống thí dụ mục “Dành cho nhà toán học nhỏ”) Như đọc dễ đạt giải cao kì thi hở anh ?

TrÇn Qc Lt

(xóm 5, Sơn Hồng, Hương Sơn, Hà Tĩnh)

Đáp :

Trỏch son thi Khụng chịu biến hóa,

“nguyên xi” bê vào Làm cho trị phải xì xào Có người “trúng tủ” giải cao

½m vỊ ?

Hỏi : Mẹ em bảo : “Con gái không nên xem phim đánh nhau” Thế mà em lại mê phim chưởng ýanh ?

Đào Nhật Linh

(9D, THCS thị trấn Đông Hưng, Thái Bình)

Đáp :

Nu xem gii trí mà thơi Theo anh em việc ngồi mà xem Sợ máu lên men Ngứa tay đánh phải

người quen phiền

Hái :“H¾n” sang nhà em nhờ giải giúp toán khó Hôm sau “h¾n” xung phong

lên bảng điểm cao Nhưng mà chơi “hắn” tuyên bố lời giải “hắn” nghĩ “Hắn” loại người ?

Trương Thị Hải Yến

(Thanh Quang, Thanh Min, Hi Dng)

Đáp :

Ngày xưa có Lý Thông Ngày giống

cũng khơng người Thơi em cố mà cười Giúp người giúp,

mặc người quên ơn

Hỏi : Em có em gái kết nghĩa qua thư Thời gian đầu chúng em viết thư đặn cho Sau hai tháng bận bịu, em trở lại viết thư cô em gái không trả lời Hôm em “chát” gặp cô “mạng” Em vừa hỏi lại “ra” ln Anh thấy ?

Cây khơ vơ tình (Thượng Trng, khụng ghi thờm)

Đáp :

Vit u giết thời gian Khơng viết lại làm tan

cảm tình Cho nên tuổi học sinh Xin em đừng để lịng

d©y d­a

Hỏi :Em gửi nhiều mà chưa đăng Anh

vì ?

Nguyễn Mạnh Hưng

(9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh)

Đáp :

Ngày xưa anh em Gửi chờ xem Ban đầu trách linh tinh Sau ngồi nghĩ : có lẽ

ch­a siªu

Hỏi : Em tìm khắp nơi mà khơng “thu thập” đủ số TTT từ trước tới Anh có giúp em khơng ?

Ngun ThÞ Thóy Vinh

(P.9, TP Tuy Hòa, Phú Yên)

Đáp :

Bao ngi bở Tìm mua số từ thời

Anh có anh cho liền Dưng mà kho hết ! Ôi ! Phiền Nhắn tin :Bạn Phạm Thị Thảo, TP Điện Biên gửi gấp địa rõ ràng cho anh !

Anh Phã Gì

32

Bµi 1(28) :BiÕt r»ng

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho

Hoµng Träng L©m

(THCS TT Phú Bài, Hương Thủy, Thừa Thiên - Huế)

100 ch÷ sè

A 654 999 997 1965  

Bài 2(28) :Cho số thực dương cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số cú tng nh hn

Bùi Văn Chi

(THCS Lương Thế Vinh, TP Quy Nhơn, Bình Định)

Bài 3(28) :Tồn hay không số nguyên a, b, c tháa m·n : a(b c)(b c a)2c(a b)(a b c)21

Nguyễn Khánh Nguyên (THCS Hồng Bàng, Hải Phßng)

Bài 4(28) : Giải phương trình x416x 8 0

Trần Phương Nam (TP Mĩ Tho, Tiền Giang)

Bài 5(28) : Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trờn ng thng d

Văn Bửu Nam (THCS Nguyễn Du, Q.I, TP Hå ChÝ Minh)

1(28) :Let Prove that A is divisible by

2(28) :Let there be given five positive real numbers such that the sum of all the products of any two of the numbers is Prove that there exist four numbers among them such that their sum is less than

3(28) :Are there integers a, b, c such that the following equality holds ? a(b c)(b c a)2c(a b)(a b c)21

4(28) :Solve the equation x416x 8 0.

5(28) :A triangle ABC is divided into two parts of the same area and perimeter by a line d Prove that the incenter of ABC is on the line d

100 digits

A 654 999 99 1965  