Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 30

Qua bµi viÕt nµy c¸c b¹n cã thÓ thÊy c«ng viÖc t×m hiÓu xung quanh nh÷ng bµi to¸n quen thuéc sÏ gióp chóng ta cã thªm nhiÒu kiÕn thøc bæ Ých.. Suy ra BHCA’ lµ h×nh b×nh hµnh.. Gäi D lµ t[r]

1

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 28)

Chỉ có một thước !

l Nhiều bạn nhận ngay, mảnh đất hình tứ giác mà bốn đỉnh trung điểm bốn cạnh mảnh đất hình tứ giác lồi ban đầu thỏa mãn điều kiện : hình bình hành, có diện tích nửa diện tích mảnh đất ban đầu

Tuy nhiên có nhiều bạn khơng nêu cách dùng cuộn dây để xác định mảnh đất (cơng việc đơn giản yêu cầu đề bài) Các bước thực sau : xác định trung điểm cạnh (căng dây để đo chiều dài cạnh, xác định độ dài

nửa cạnh, căng dây để xác định trung điểm cạnh) ; căng dây nối bốn trung điểm bốn cạnh để xác định mảnh đất yêu cầu l Nếu muốn “di chuyển” mảnh đất u cầu đến vị trí khác cần xác định ba yếu tố độ dài hai cạnh kề độ dài hai đường chéo Có hai bạn cho để làm điều ta cần xác định độ dài hai cạnh kề (!)

l Muốn xác định mảnh đất yêu cầu “một cách khó khăn hơn”, bạn tham khảo hình vẽ sau :

l Các bạn thưởng kì : Nguyễn Hữu Hồng, 8D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ; Đinh Xuân Lộc, 8A, THCS Ngô Đồng, Giao Thủy, Nam Định ; Đào Trần Mỹ Hạnh, 7B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Đặng Tuấn Anh, 8A, THCS An Thịnh, Lương Tài, Bắc Ninh ; Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương

Anh Compa Thử tài với cuộn dây !

Một người thợ mộc muốn chia gỗ hình chữ nhật có kích thước 25 cm  40 cm thành 49 hình chữ nhật hình bên Do tay có thước thẳng dài 50 cm (chia vạch xác đến xăng-ti-mét) nên loay hoay chưa thực được, bạn có sẵn sàng nhận lời giúp đỡ người thợ mộc không ?

Nguyễn phước

(Hiệu trưởng trường THCS Hương Long, TP Huế, Thừa Thiên - Huế)

2

Tìm hiểu

moọt baứi toaựn quen thuoọc Các bạn hẳn biết toán sau :

Bài toán : Chứng minh

a2b2c2ab bc ca a b c Lêi gi¶i :Ta cã a2b2c2ab bc ca 2(a2b2c2) 2(ab bc ca) 0 (a b)2(b c)2(c a)20 (a b)2(b c)2(c a)20 a b c

Trước hết, qua lời giải ta thấy mở rộng toán 1cho n số a1, a2, , an

Bài toán : Chứng minh a12a22  an2a1a2a2a3 an - 1anana1 a1a2 an

NÕu thay ta cã mét hƯ qu¶ toán

Bài toán : Chứng minh

Tiếp tục khai thác, ta tìm số kết thú vị sau :

Bài toán : Tìm ba số a, b, c biết r»ng a b c 2abc vµ

Hướng dẫn :Ta có a b c 2abc a b c (theo tốn 3)

Từ ta tính a b c

Bài toán : Cho ba số a, b, c thỏa mÃn Tính giá trị biểu thøc :

Hướng dẫn : Ta có

a b c (theo tốn 3) Từ ta tính c

Bài toán : Cho ba số a, b, c thỏa mÃn (a b c)23(a2b2c2) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

B a2(a 2)(b c) 2005 Hướng dẫn :

Ta cã (a b c)23(a2b2c2) a2b2c2ab bc ca a b c

Suy B 3a2+ 4a + 2005

Vậy B đạt giá trị nhỏ

a b c     

6011

2 6011 6011

3 a

3 3

 

       

3 A

2 

2 2

2 2

1 1

abc a b c

a b c

1 1 1

ab bc ca

a b c

 

      

 

      bc ca ab a b c

a  b  c   

2 2 2

a b b c c a

A

(a c)(b c) (b a)(c a) (c b)(a b)

  

  

     

bc ca ab a b c a  b  c   

3 6

2

  

2 2

1 1 2 1 .

ab bc ca a b c

      

2 2

1 1 2. a b c 

2 2

1 1 1 x y z 0. xy yz zx

x y z       

1 1

a ; b ; c

x y z

  

Đặng Hải Giang

3 Bi toỏn : Giải hệ phương trình

Hướng dẫn :Ta cú

x y z (theo toán 3)

x y z Thử vào hệ ta thấy nghiệm hệ

Bài toán : T×m ba sè a, b, c biÕt r»ng abc 1 vµ

Hướng dẫn :Đặt ta có xyz 1 v

x y z (theo toán 3)

Suy x y z 1 a b c 1 Bài toán (đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán ĐH Vinh 2004) :

Giải hệ phương trình

Hướng dẫn : Đặt

khi

Khi hệ cho trở thành

Bình phương hai vế (1), kết hợp với (2) ta suy

(theo toán 1)

Suy x ; y ; z nhận hai giá trị (hệ cho có nghiệm)

Các bạn thử giải tập : Bài tốn 10 : Giải hệ phương trình

Ch¾c ch¾n bạn biết nhiều ứng dụng thú vị khác toán Qua viết bạn thấy công việc tìm hiểu xung quanh toán quen thuộc giúp có thêm nhiều kiến thức bổ ích Hẹn gặp lại bạn dịp gần

2

(x y)(y z) (y z)(z x)

x y y z z x (z x)(x y)

3 x y y z z x. . 2 2.

2 2

                            17 a b c

4    

2 2 867

ab bc ca a b c 16      

2 2

51

a b c (1)

4 867

a b c (2)

16            2

z c

z

  

2 2

2

1

x a ; y b ;

x y

     

1 1

x a ; y b ; z c,

x y z

     

2 2

2 2

1 1 51 x y z

x y z

1 1 771

x y z

16

x y z

       



       

2 2

2 2

2 2

1 1

x y z

x y z

x y z 1

xyz x y z

1 1 1

xy yz zx x y z      

 

         

4 4

2 2 2

a b c b c a

b c a a b c

2 2

a x ; b y ; c z b  c  a 

4 4

2 2 2

a b c b c a b c a  a b  c

2

2 2

2 2

1 1 3 1 9

x y z x y z

1 1 9 2 1 3

xy yz zx

x y z

1 1 1 1 xy yz zx

x y z

                               1 x y z

1 1 3. xy yz zx     



4

l Kì : Bài toán thừa kiện ?

Phải ? (TTT2 sè 28)

l Kết :

Sau toán quen thuộc Bài toán :Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH đường phân giác AD Hãy tính Một bạn giải tốn sau : Lời giải :

Ta cã

Suy (1)

L¹i cã

Suy (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

Theo lời giải rõ ràng tốn thừa kiện ! Các bạn nghĩ ?

t¹ minh hiếu

(THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

 B C

DAH

2  

  

2 DAH CAH BAH.  

    BAC BAC

DAH BAH CAH

2

   

  

B C CAH BAH.  

  

o o

B 90 BAH ; C 90 CAH



 

DAH theo B vµ C.

Tất bạn : Tuy có bất đẳng thức :

S  a24ab , nh­ng

chưa phải số nên kết luận S đạt giá trị nhỏ đẳng thức xảy Xin đưa lời giải :

Vì a2b 4 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2, 2ab 2ab ta có :

S a22ab 2ab 12 (m2)

Đẳng thức xảy :

Vậy diện tích tôn sử dụng 12 m2 a 2 m vµ b 1 m

NhËn xÐt : 1) Cã thĨ thÊy b  nªn

và kết

2) Một vài bạn giải lại sai chí mắc lại lỗi lời giải sai nêu

Chẳng hạn : S a2ab ab ab  ab , từ S nhỏ đẳng thức xảy (!)

3) Xin trao thưởng cho bạn lập luận tốt : Nguyễn Thùy Linh, 7A, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải Phòng ; Nguyễn Trọng Hưng, 6B, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Lê Thanh Bình, 8D, THCS Nguyễn Du, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Đặng Tuấn Tùng, 7A1, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương

Anh KÝnh Lóp

5

5 a ab.ab.ab.ab 5a ab

 

2 16 8 3 8

S a a a 12

a a a a a

         a

3

a 2b

a 2ab b

a 4b

a b

        

   



 



 



2

3 4(a b) 

3

3 a 2ab.2ab 

3 4a b

5 l KÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 sè 28) Bµi :

Bài giải bạn Tạ Đức Trung, bố Tạ Hùng Sinh, khu 4, thôn Sơn Thi, thị trấn L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä:

Hình giao điểm khơng Thêm vào số bốn rõ dịng

Hình tiếp giao điểm hai Thêm bốn sáu có sai đâu mà

Hình ba giao ®iĨm lµ ba

Cộng thêm với bốn bảy thơi Hình cuối giao điểm rõ Một cộng với bốn xin mời số năm

Bạn Lê Thị Thanh Hằng, ga Đò Lèn, tiểu khu III thị trấn Hà Trung, Thanh Hóa lại lập luận theo số miền mà đường thẳng tạo nên, cho kết sáu miền, đáp số 6,

Bµi :

Bài giải bạn Nguyễn Xuân Thiện, xóm 3, thơn Nam Đường Đơng, xã Nam Cao, Kiến Xương, Thái Bình:

Bài hai liếc mắt Con số số giao

VËy hỏi chấm ? Vẫn số bốn - khác hình ba

Nu nh tũa son Thấy em tặng quà cho em

Ngồi bạn có tên nêu trên, TTT cịn thưởng thêm cho bạn : Nguyễn Thị Thu Hằng, mẹ Nguyễn Thị Thắng, đội 16, xã Vĩnh Lại, Lâm Thao, Phú Thọ; Vũ Trần Phương Trâm, 47 Lý Thng Kit, TP Phan Thit, Bỡnh Thun

Nguyễn Đăng Quang

(TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) (TTT2 sè 28) Bµi :

Bµi :

6

ĐƯỜNG TRỊN VÀ BÀI TỐN CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HAØNG

Chứng minh điểm thẳng hàng dạng toán đề cập chương trình phổ thơng, có nhiều tốn liên quan đến đường trịn Sau số kết quen thuộc nhiều bạn, sử dụng để giải nhiều tốn khác

Bài toán :Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) ; trực tâm H Gọi I trung điểm BC A’ điểm đối xứng A qua O Chứng minh H, I, A’ thẳng hàng

Lêi gi¶i : Theo gia thiết ta có AA đường kính (O) suy AB AB ; H trực tâm ABC nên CH AB

Suy CH // A’B Tương tự ta có BH // A’C Suy BHCA’ hình bình hành Mặt khác I trung điểm BC nên I trung điểm HA’

VËy H, I, A thẳng hàng

Bi toỏn :Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O1) qua A C cắt BA, BC K, N Đường tròn (O2) qua B, K, N cắt (O) điểm thứ

hai M (khác B) Gọi I, J trung điểm BO1, BM Chứng minh I, J, O2thẳng hng

Lời giải : Vì J trung điểm dây chung BM (O) (O2) nên J, O, O2 thẳng hàng (1)

Vì OBA cân O, K thuộc AB suy

(tứ giác ACNK nội tiếp) Mặt khác K, N giao (O1) (O2) nên O1O2KN, suy O1O2// BO

Tương tự, BO2 // OO1(do OO1 AC ; suy BO2AC)

Suy BOO1O2là hình bình hành Mà I trung điểm BO1nên O, I, O2

   o

2

KBO BAC KBO BNK 90

  o

KBO BKN 90 BO KN     



o 90 BKN  

 o AOB o 

KBO 90 90 ACB

2

nguyễn văn tài

7 thẳng hàng (2)

Từ (1) (2) suy I, J, O2thẳng hàng Bài toán : Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O) Vẽ Ax AD, cắt BC E ; Ay AB, cắt CD F Chứng minh E, F, O thẳng hàng

Li gii :Ly A i xứng với A qua EF, ta chứng minh A’ thuộc (O)

Ta có (cùng bù với ) ; (tính chất đối xứng) suy tứ giác FCA’E nội tiếp Mặt khác (cùng phụ

víi ) suy tø

gi¸c DAA’C néi tiÕp A’ thuéc (O) E, F, O thẳng hàng (vì EF trung trực AA’)

Bài toán : Cho tam giác ABC cân A, Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B, C Từ điểm M thuộc cung nhỏ (O) kẻ đường thẳng vung góc với BC, CA, AB I, H, K MB cắt IK P ; MC cắt IH Q Gọi (O1) đường tròn qua ba điểm M, P, K ; (O2) đường tròn qua ba điểm M, Q, H (O1) cắt (O2) M, N Gọi D trung điểm BC Chứng minh M, N, D thẳng hàng

Lời giải :Gọi giao điểm MN với PQ, BC, (O) S, D’, E (E khác M)

Ta cã c¸c tø gi¸c MBCE, MKBI, MHCI nội tiếp đường tròn Suy :

MPIQ nội tiếp  (1) Ta có PQ tiếp tuyến (O2) Tương tự PQ tiếp tuyến (O1) Suy :

SP2SM.SN SQ2SP SQ (2)

Tõ (1) vµ (2) dƠ dµng suy D trung điểm BC D trùng với D D, M, N thẳng hàng

Bài tập ¸p dơng :

Bµi to¸n :Cho tam gi¸c ABC, trực tâm H Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn đường kính BC Chứng minh M, H, N thẳng hàng

Bi toỏn :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ; trực tâm H M điểm khơng chứa A Gọi N, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh N, H, E thng hng

Bài toán :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy D thuộc AC (D khác A C) Đường thẳng BD cắt (O) F Đường thẳng qua A vuông góc với AB đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt P Chứng minh P, D, O thẳng hàng

BC

MQP MCI MHI  

   

MQP MIP MEB MCB   PQ //BC

  o

KIH BMC 180    

     

KIH MIK MIH MEB MEC BEC      

     

MIK MBK MEB ; MIH MCH MEC   

 BC

 o A 90 

  o

DAA’ FCA’ 180  



A’AE

  

FEA’ FEA DAA’ 

  o

FCA’ FEA’ 180   

 

FCE EA’F 

 

EAF EA’F



BAD

 

8

Trong số này, tiếp tục giới thiệu với các bạn năm toán thuộc đề thi vào năm cuối thế kỉ 19, đầu kỉ 20.

Bài (năm 1897) : Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự nằm đường thẳng (L) Hãy dựng hình chữ nhật cho cạnh nó (hoặc phần kéo dài) cắt (L) A, B, C, D ; ngoài ra, cạnh hình chữ mà cắt (L) C thì có độ dài k Có thể dựng hình chữ nhật ?

Bài (năm 1898) : Với số nguyên dương n nào 2n1 chia hết cho ?

Bài (năm 1898) : Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự nằm đường thẳng (L) Hãy dựng hình vng cho hai cạnh đối nó (hoặc phần kéo dài) cắt (L) A, B hai cạnh kia (hoặc phần kéo dài) cắt (L) C, D.

Bài (năm 1899) : Giả sử phương trình x2 (a d)x  ad bc 0 có hai nghiệm  và . Chứng minh 3và 3là hai nghiệm phương trình x2 (a3 d33abc 3bcd)x (ad bc)30.

Bài (năm 1906) : Cho hình thoi Về phía ngồi ta dựng bốn hình vng, hình vng nhận một cạnh hình thoi làm cạnh Chứng minh tâm bốn hình vng bốn đỉnh của hình vng.

Cuộc thi Tốn liên quốc gia

ỐT-VỐT

ThS Ngun Văn Nho(NXBGD)

9 Bài (năm 1894) : Với PQR vuông P có P, Q, R thuộc đường tròn ( ) A thuộc PQ B thuộc PR

P thuộc đường tròn ®­êng kÝnh AB

P lµ giao ®iĨm cđa ®­êng tròn ( ) đường tròn đường kính AB (hình 1)

(H×nh 1)

Vậy điều kiện để khơng dựng tam giác PQR đường tròn ( ) đường trịn đường kính AB khơng giao

Bài (năm 1894) : Đặt K 17(m 2n) ; M 2m 3n ; N 9m 5n

V× K chia hết cho 17 N 13M K nên N chia hÕt cho 17 vµ chØ M chia hết cho 17, điều phải chứng minh

Bài (năm 1894) : Gọi ABC tam giác có cạnh BC a ; CA b a  d ; AB c a 2d Suy a b d ; c b d

Víi ¸p dụng công thức Hê-rông ta có S2p(p a)(p b)(p c)

Giải phương trình bậc hai ẩn b2 > 0, ta c nghim

Từ ta tính a, b, c theo S d Vì c > b > a nên hai góc A, B nhọn, áp dụng c«ng thøc

(chương trình THPT) để tính sinA, sinB dùng bảng lượng giác tìm số đo góc A, B, từ tính số đo góc C

Víi d 1 ; S 6 th× (a ; b ; c) (3 ; ; 5) ta cã C = 90o(theo Py-ta-go) ;

suy sè đo góc A, góc B Bài (năm 1895) :Ta cã

Từ ta suy cách dng (hỡnh 2)

(Hình 2) Bài (năm 1896) :Ta cã

a23ab 2b2a b 0 (1) a22ab b25a 7b 0 (2)

Thay vào (2) suy (a ; b) nhận giá trị (0 ; 0) ; (3 ; 2) ; (5 ; 3) Dễ dàng kiểm tra giá trị thỏa mãn phương trình ab 12a 15b 0

a b (1) (a b)(a 2b 1)

a 2b  

         

 o   o 

CPB 180 PCB PBC 180  ACB

  

o o o

180 PBC PBA 180 ABC 90 ;      

 o  

APB 180 PAB PBA

sinB 

3 sinA ;

5 

1

S bc.sinA ac.sinB

2

 

2

2 4S

b d d

3

 

 

    

 

2

4 2 16S

b 4d b

3    

2 2

3b b 2d b b 2d. . b (b 4d ) 2 2 16

  

a b c

p ,

2   

 o

10

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HAØ NỘI - AMSTERDAM (Năm học 2005-2006)

Mơn thi : Tốn (dành cho đối tượng) - Thời gian : 150 phút Bài :(2 điểm)

Cho biểu thức Rút gọn P Tìm x để Bài :(2 điểm)

Cho bất phương trình : 3(m 1)x 1 > 2m x (m tham số) Giải bất phương trình với m 1 2

2 Tìm m để bất phương trình nhận giá trị x > nghim

Bài :(2 điểm)

Trong mt phng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x y a20 parabol (P) : y ax2(a tham số dương)

1 Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Chứng minh A B nằm bên phải trục tung

2 Gọi xAvà xBlà hoành độ A B, tìm giá trị nhỏ biểu thức

Bài :(3 điểm)

ng trũn tõm O cú dây cung AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đường thẳng MI H cắt tia BM C

1 Chứng minh tam giác AIB AMC tam giác cân Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển cung trịn cố định

3 Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMC đạt giỏ tr ln nht

Bài :(1 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM,

Chøng minh r»ng : (sin cos)21 sin

 

ACB , AMB 

A B A B

4

T

x x x x

   

2

P 

x x x x x

P

x x x x x

  

  

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HAØ NỘI - AMSTERDAM (Nm hc 2005-2006)

Bài :(2 điểm)

Cho P  (a b)(b c)(c a) abc víi a, b, c số nguyên

Chứng minh a  b c chia hÕt cho th× P chia hÕt cho

Bài :(2 điểm) Cho hệ phương trình Giải hệ với m  10

2 Chứng minh không tồn giá trị tham số m để hệ có nghiệm

Bµi :(2 ®iĨm)

Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức , xét biểu thức P x y2z3

1 Chøng minh P x 2y 3z 3 Tìm giá trị nhỏ P Bài :(3 điểm)

Cho tam giác ABC, lấy ba điểm D, E, F theo thứ tự cạnh BC, CA, AB cho AEDF tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P (D nằm A vµ P) cho DA.DP DB.DC

1 Chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp hai tam giác DEF, PCB đồng dạng

2 Gọi S S’ diện tích hai tam giác ABC DEF, chng minh :

Bài :(1 điểm)

Cho hình vng ABCD 2005 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện :

lMỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng lMỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần

cã tØ sè diƯn tÝch lµ 0,5

Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường thẳng đồng quy

2 S’ EF . S  2AD

1 x y z  

4 2

2

(x y) 13 6x y m xy(x y ) m

     



  

12

THI GIẢI TOÁN QUA TH l Kết :

Bài 1(28) : BiÕt r»ng

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho Lời giải : Cách :Phân tích A ta cã

V× 5 4 3 18 chia hÕt chia hết cho

Cách :Ta phân tích A theo cách khác

Ta thy 657 chia hết A chia ht cho

Nhận xét : 1) Đây toán lớp 6, có nhiều cách chứng minh

2) Nhiều bạn nhận xét kết tốn hồn tồn khơng phụ thuộc vào số chữ số số 999 997 Hơn nữa, bạn cịn xác định mối liên hệ số 654 ; ; 1965

3) Các bạn lớp có nhiều cách giải trình bày tốt : Trần Thị ánh Nguyên, 67, THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Nguyễn Triệu Yến Quyên, tổ 7, ngõ 34, phường Lĩnh Nam, Hoàng Mai, Hà Nội; Nguyễn Việt Anh, khu 2, đội 17, xã Sơn Dương, Lâm Thao, Phú Thọ ; Lý Duy Cương, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường ;

Phùng Anh Quất, 6A1; Hoàng Hiếu An, 6A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Hoàng Long Thịnh, 6B ; Nguyễn Thùy Linh, 6C, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa ; Giáp Duy Hưng, 6A4, THCS Chu Văn An, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên ; Trần Thị Hiếu, 6C, THCS Lê Thành Tông, Sông Cầu, Phú Yên ; Đậu Thế Vũ, 6B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An

ngun anh qu©n

Bài 2(28) :Cho số thực dương cho tổng tất tích cặp hai số chúng Chứng minh tồn bốn năm số có tổng nhỏ Lời giải :Gọi số thực dương a, b, c, d, e Do vai trị số tốn, khơng tính tổng quát ta giả sử < a b c d e (1) Ta có (a b  c d)22(ab ac  ad ae bc bd be cd ce  de)  (a b c d)2 (theo giả thiết) 2(ae be ce de) (a2b2c2d2) (ae be ce de) a(e a) b(e b)  c(e c) d(e d) > (2) (theo (1))

Do > a b c d (đpcm) Nhận xét :

1) Tiếp tục (2) ta có đánh giá mạnh : (a b c d)2ae be ce de  a2b2c2d2 (a b c d)2 (theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski)

Suy  (a b c d)2

Do a b c d  1,7888 Đẳng thức xảy

a b c d e  5

5

4 101 ch÷ sè

654 999 99 100 ch÷ sè

101 ch÷ sè 101 ch÷ sè

A 654 999 997 1965 654 (999 99 2) 1965 654 999 99 657

  

      

  

100 ch÷ sè A 654000 003 

100 ch÷ sè 100 ch÷ sè 100 ch÷ sè 100 ch÷ sè

A 654 999 997 1965 654 (1000 00 3) 1965 654000 00 1962 1965 654000 003

  

   

  



   

100 ch÷ sè

13 2) Chỉ có vài bạn giải Đa số bạn giải phương pháp phản chứng :

Gi¶ sư a b c d 2, ta cã

4 2(ab ac ad ae bc bd be  cd ce de) a(b c d e) b(c d  e a) c(d e a b) d(e a b c)  e (a b c d) 2a 2b 2c 2d 2e

Suy a b c d e

M©u thn víi a b c d e > a b  c d

3) Các bạn có lời giải tốt : Quản Phương Thúy, 7A1, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ ; Nguyễn Mạnh Hưng, 9B, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh; Trần Bá Trung, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Phạm Phương Anh, 8/4, THCS Lê Quý Đôn ; Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương ; Nguyễn Thùy Linh, 7A, THCS Hữu Bằng, Kiến Thụy, Hải Phòng; Nguyễn Huy Linh, 7B, THCS Yên Bái, Yên Định ; Nguyễn Trọng Hùng, 9E, THCS Bắc Sơn, Sầm Sơn, Thanh Hóa; Trần Trung Thành, 7D, THCS Kỳ Anh, Kỳ Anh ; Trần Thị Thu Hà, 8/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Đoàn Duy Mẫn, 9A, THCS thị trấn Sơng Vệ, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi

Ngun Minh Đức

Bài 3(28) : Tồn hay không sè nguyªn a, b, c tháa m·n :

a(b c)(b c a)2c(a b)(a b c)21 (1) Lêi gi¶i : Giả sử tồn số nguyên a, b, c tháa m·n hÖ thøc (1)

NhËn xÐt r»ng a (b c) (b c a) 2b chia hÕt cho 2, suy Ýt nhÊt mét ba sè a, b c, b c a chia hÕt cho

Từ a(b c)(b c a)2chia hết cho (2) Tương tự : c  (a  b) (a b  c)  2a suy c(a b)(a b c)2chia hết cho (3) Từ (2) (3) suy a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2chia hết cho (4)

Từ (1) (4) suy không tồn số nguyên a, b, c thỏa mÃn hƯ thøc (1)

Nhận xét : Các bạn có lời giải gọn : Nguyễn Quốc Hùng, lớp ; Nguyễn Hữu Hồng, 8D, THCS Văn Lang, Việt Trì ; Quản Phương Thúy, 7A1, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Nguyễn Thị Phương Thúy, 7B, THCS Phan Huy Chú, thị trấn Thạch Hà, Hà Tĩnh ; Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khỏnh Hũa

Nguyễn Văn Mạnh

Bi 4(28) : Giải phương trình : x416x 8 0 Lời giải :Ta có x4 16x 8 0 x48x216 8(x22x 1) 0

Phương trình (1) có nên vơ nghiệm

Phương trình (2) có nên có hai nghiệm phân biệt Tóm lại phương trình cho có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm (2)

Nhận xét :1) Một số bạn lại hiểu tìm nghiệm nguyên phương trình nên dễ dàng chứng minh phương trình vô nghiệm

2) Bạn Võ Thái Thông dùng phương pháp hệ số bất định, khai triển biểu thức (x2a)2 b(x c)2rồi đồng với biểu thức x416x 8 để tìm a 4 ; b  8 ; c

3) Các bạn có lời giải tốt : Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Khổng Thị Bích Ngọc, 8A8 Trần Thu Thủy, 7A4, THCS

x  2 2 2

’ 2    

1

’ 2     

2

x 2x 2 (1) x 2x 2 (2)     

 

     

2

x 2(x 1) x 2(x 1)

   

         

2

14 Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Trung Đức, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Hữu Hồng, 8D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ ; Đậu Phi Lực, 7C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Lê Anh Tuấn, 7D, THCS Nguyễn Huệ, Cam Lộ ; Võ Trần Tâm, 7E, THCS thị trấn Gio Linh, Quảng Trị; Trần Đức Minh, 8A1, THCS Tế Tiêu, Mĩ Đức, Hà Tây; Trần Bá Trung, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Dương Thế Trung Dũng, 8C, THCS Qch Xn Kì, Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình; Lê Thị Ngọc Trâm, 72, THCS Trần Hưng Đạo, TP Biên Hòa, Đồng Nai ; Lê Thanh Bình, 8D, THCS Nguyễn Du, TX Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Phương Thúy, 7B, THCS Phan Huy Chú, thị trấn Thạch Hà, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Oanh, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Mạnh Hưng, 9B, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh

LTN Bài 5(28) : Một đường thẳng d chia tam giác ABC cho trước thành hai phần có diện tích chu vi Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng d

Lời giải :(của bạn Trần Trung Hồn, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng) Khơng tính tổng qt, giả sử d cắt cạnh AB, AC M, N Giả sử phân giác góc A cắt d I Gọi H, K, L hình chiếu I trờn BC, CA, AB

Đặt IH x, IK IL y

Vì AMN BMNC có chu vi nªn : AM AN  MN  BM  MN  NC  BC suy AM AN BM CN BC (1) Vì AMN BMNC có diƯn tÝch nªn : S(AMI) S(ANI) S(IBM) S(ICN) S(IBC) AM.y AN.y BM.y CN.y BC.x AM AN BM CN  (2)

Tõ (1) vµ (2) suy :

Suy IH IK IL I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nhn xột : 1) Bài tốn khơng khó có ý nghĩa Các bạn tham gia giải giải Tuy nhiên nhiều bạn cho lời giải dài

2) Để có lời giải ngắn gọn, ta phải biết đặt vấn đề cách khéo léo

3) Một câu hỏi đặt : “Với tam giác đường thẳng d có tồn hay khơng ?” Rất mong bạn cho câu trả lời

4) Các bạn giải tương đối tốt : Đặng Quốc Huy, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định; Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương ; Đặng Tuấn Anh, 8A, THCS An Thịnh, Lương Tài, Bắc Ninh

Ngun Minh Hµ

x x

BC BC x y

y y

     

x BC

15 Đáp án ô chữ sau :

Hàng :Bùi Hiển, Minh Huệ, Định Hải, Bích Khê

Hàng : Nguyên Hồng, Vũ Duy Thông

Hàng :Tản Đà

Hng : on Gii, Hồng Cầm, Giang Nam, Quang Huy, Dương Huy

Hµng :Tố Hữu

Hàng :Tô Hoài

Cột däc :Hång Hµ

Cơng ty Văn phịng phẩm Hồng Hà xin gửi quà tặng cho 20 bạn : Nguyễn Quý Tuấn, 8A, THPT dân lập Lương Thế Vinh, 93 Cầu Giấy, Hà Nội; Phùng Anh Quất, 6A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Phạm Trọng Toàn, 8A, THCS Ba Đình, TX Bỉm Sơn, Thanh Hóa ; Nguyễn Trà My, mẹ Nguyễn Thị Mai Hoa, tổ 7, khu phố 3, phường Nam Hồng, TX Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Phan Nữ My Li, xóm 1, tiểu khu 7, Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình; Nguyễn Thị Thùy Dung, 8G, THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội; Bùi Như Trung, bố Bùi Văn Thủy, đội 2, phường Ninh Khánh, TX Ninh Bình, Ninh

Bình ; Nguyễn Thị Lan, bố Nguyễn Như Phác, Trung tâm Y tế Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh ; Trần Thị Hồng, 9B, THCS Hịa Phong, Krơng Bơng, Đắk Lắk ; Nguyễn Việt Anh, khu 2, đội 17, Sơn Dương, Lâm Thao, Phú Thọ ; Đỗ Thùy Dung, bố Đỗ Tiến Đáo, xóm 4, thơn Lai ổn, An Q, Quỳnh Phụ, Thái Bình ; Mai Thị Hồng Hạnh, đội 5, xóm Sơn Lặc, thơn Hội Sơn, Cát Sơn, Phù Cát, Bình Định ; Trần Mai Trinh, 8A13, THCS Nguyễn Trãi, TX Châu Đốc, An Giang ; Nguyễn Thị Ngọc Vân, bố Nguyễn Ngọc Văn, Hiệu trưởng THCS Quang Trung, Bình Giang, Thăng Bình, Quảng Nam ; Đinh Phương Dung, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhân, Hà Nam ; Đặng Quốc Huy, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định ; Phạm Thủy Văn, K76/18 Lê Lợi, Q Hải Châu, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng; Nguyễn Đức Toàn, 9B, THCS Xuân Hòa, Nam Đàn, Nghệ An ; Nguyễn Thị Thúy Hiền, 8B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây; Phan Thị Thúy Hằng, 8A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yờn, Vnh Phỳc

Cảm ơn bạn mong bạn tiếp Thi gii toỏn qua th

Cỏc bạn thưởng kì này

Võ Thái Thơng, 9/4 ; Trần Thị ánh Nguyên, 6/7, THCS Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Quản Phương Thúy, 7A, THCS Giấy Phong Châu, Phù Ninh ; Nguyễn Hữu Hoàng, 8D, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Trần Bá Trung, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ; Lý Duy Cương, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Mạnh Hưng, 9B, THCS Từ

Sơn, Từ Sơn,Bắc Ninh; Trần Trung Hồn, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phòng ; Nguyễn Thị Phương Thúy, 7B, THCS Phan Huy Chú, thị trấn Thạch Hà, Hà Tĩnh; Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương ; Nguyễn Huy Linh, 7B, THCS Yên Bái, Yên Định, Thanh Hóa; Đậu Phi Lực, 7C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An

16

Đang chuẩn bị ăn cơm tối với gia đình thám tử Sê-Lốc-Cốc nhận được tin bà Ma-ri-a-na vừa bị cắp một số tiền lớn Thám tử đành gọi điện báo cho vợ nhanh chóng đến nơi xảy vụ cắp Vừa bước vào nhà thám tử thấy bà Ma-ri-a-na đang rầu rĩ ba cậu trai Họ ngồi im không nhúc nhích Thám tử Sê-Lốc-Cốc hỏi :

- Chun x¶y nh­ thÕ nµo, th­a bµ Ma-ri-a-na ?

Bà Ma-ri-a-na vừa khóc vừa kể : - Tơi thật đau lịng đứa con của Sáng nay, trước làm, tôi kiểm tiền kĩ Buổi trưa về, tôi phát thấy 1000 đôla Tơi biết, có Mắc Bin lấy thơi chỉ hai đứa nhà chúng mới biết chỗ cất tiền Tôi hỏi đi hỏi lại chẳng đứa chịu nhận Tôi thật không ngờ

Thám tử Sê-Lốc-Cốc hỏi Ken - đứa con bà Ma-ri-a-na :

- Sáng cháu làm ? Có th

kể cho bác nghe không ?

- Thưa thám tử, từ sáng đến lúc mẹ về cháu phịng xem tivi thơi ạ.

- Trời ! Cháu xem chương trình mà say mê ? - Thám tử ngạc nhiên.

- Dạ, chương trình Thế giới động vật hơm nói lồi hổ, cháu thích nên xem đến hết Cháu mê là cảnh hổ trèo thoăn lên cành cây đánh chén mồi Xem xong cảnh cháu vẽ lại thành bức tranh Cháu cho bác xem tranh nhé.

- Được rồi, lát xong việc bác sẽ xem.

Sau thám tử quay sang hỏi Mắc và Bin :

- Cịn hai cháu làm ? Mắc nói với vẻ ngượng nghịu : - Vì hơm qua bị giáo phạt nên từ sáng cháu ngồi phòng làm bài tập nhà Lúc nghe tiếng mẹ cháu chạy ra.

Bin nhanh nhảu :

- Cháu thầy giáo chọn thi

Lê Thị Nguyệt

17

Ai là

thủ phạm ?

(TTT2 sè 28) l KÕt qu¶ :

học sinh giỏi toán nên ngày cháu miệt mài giải toán phòng

- Chúc mừng cháu, mong ch¸u thi thËt tèt nhÐ ! - Th¸m tư vui vẻ nói với Bin.

Rồi ông buồn rầu quay sang nãi víi bµ Ma-ri-a-na :

- Tôi thật buồn cháu Ken anh nhưng lại chưa làm gương tốt cho em Cháu đã nói dối

- Trời ! Thật ? - Bà Ma-ri-a-na hốt hoảng - Ken, lấy tiền mẹ ? Con cần tiền để làm ?

Thấy Ken đỏ mặt lúng túng, thám tử Sê-Lốc-Cốc động viên :

- Ch¸u hÃy nói thật với mẹ đi, mẹ tha lỗi cho cháu Ai có lúc sai lầm mà.

Ken ngước nhìn thám tử quay sang nói với mẹ :

- Con xin lỗi mẹ, cháu xin lỗi thám tử Vì trót cá cược với bạn bè bị thua nên cháu Đố thám tử “Tuổi Hồng” biết thám tử Sê-Lốc-Cốc lại biết Ken nói dối và đốn cậu ta trót lấy tiền mẹ ?

Mặc dù bạn nào cũng tàu thủy, nhưng tất bạn dự thi lần phán đốn rất đúng : Trong giơng, sóng to gió lớn, tàu thủy chịng chành, nghiêng ngả, khơng ai có thể viết chữ tăm tắp, trịn trịa, thẳng hàng Cô May gian dối lời khai của mình, chứng tỏ ta là người đáng nghi vụ mất trộm hộp nữ trang bà Mi-na.

Phần thưởng kì được trao cho năm bạn có làm xuất sắc : Đặng Tuấn Hùng, 7A1, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương ;

Nguyễn Thị Nga, 6A1, THCS An Dục, Quỳnh Phụ, Thái Bình; Mai Ngọc Yến, 19 Tây Sơn, P Thanh Bình, TX Ninh Bình, Ninh Bình; Hồnh Anh Cường, 6A, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa ;

Vương Tuấn Vũ, Hịa Hội, Cát Hanh, Phù Cát, Bình Định.

18 Ví dụ, tơi học học trị số cách nhìn chứng minh định lí : “Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180o” Sau số cách chứng minh định lí em

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta sÏ chøng minh

C¸ch :Ta cã suy

C¸ch : Nèi BD Ta cã

suy mà

suy đpcm

Cách : Nèi AC, BD Ta cã

(1) suy

(2) Tõ (1) vµ (2) suy

Cách : Kẻ đường kính BE, không tính tổng quát, giả sử E thuộc không chứa A B

Ta cã Suy

C¸ch : Qua A kỴ tiÕp tun xy víi (O) Ta cã

suy

Mµ suy

Cách : Nối OA, OB, OC, OD, tam giác OAB, OBC, OCD, ODA cân O Suy

Rất mong tiếp tục trao đổi với bạn đồng nghiệp em học sinh

   

     

o

o 2(OAB OAD OCB OCD)

4 180 (AOB BOC COD DOA) 2(BAD BCD) 360 ®pcm

          

   

    o

COD 2OCD DOA 2OAD 180     

   

AOB 2OAB BOC 2OCB   

     o

BAD BCD BAD BAy DAx 180     

 

BCD s® BAD



  

BAy DAx s® BAD

 

   

BAy s® BmA ; DAx s® DnA

2

 

    o

BAD BCD BAE BCE 180    

  o  

BAE BCE 90 ; DAE DCE.  

 DC

  o

BAD BCD 180  

    

ABD ADB ACD ACB BCD.   

   

ABD ACD ; ADB ACB 

   o

BAD ADB ABD 180 ;  

   o

BAD ABD ADB 180  

   

ABD ADB s® BAD BCD,

  

   

ABD s® AnD ; ADB s® AmB

2

 

    

o

BAD BCD s® DCB s® DAB

1 sđ cung đường tròn 180

   

 

 

BCD s® DAB



 

BAD s® DCB ;



  o

BAD BCD 180  

Những cách nhìn khác nhau khi chứng minh định lí

trÇn tra

19 Bài tốn khơng khó, tất võ sĩ giải đúng, có bốn lời giải cần sử dụng đến kiến thức Hình học lớp Một bốn lời giải lời giải bạn Trương Vũ Nha Trang, số 50, khu 4A, thị trấn Quỳnh Cơi, Quỳnh Phụ, Thái Bình, khơng gọn gàng, sáng sủa mà cịn kèm theo lời bình hay Chính vậy, bạn Tranglà võ sĩ đăng quang trận thách đấu ny

Lời giảicủa bạn Trang:

Gọi K giao điểm AB ME ; L giao điểm AC MF

Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt AH I

Ta có : (các cặp góc có cạnh tương ứng vuụng gúc), suy AIB MCE

(1) Mặt khác :

(2)

(3) (hệ thức lượng tam giác vuông)

Tõ (1) ; (2) ; (3) suy : 

       

BM BM CM EM KM AB AI LM AI FM CM EM FM LM AC AB KM AC

2 AM EM KM LM FM AM KM

LM  

  

  

  

1 MK AB

BM S(ABM) 2 MK AB;

CM S(ACM) ML AC ML AC

AI MC AB ME  

   

AIB MCE ; ABI MEC 

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI HAI

lNgười thách đấu :

Nguyễn Trọng Tuấn, THPT chuyên Hùng Vương, TP Pleiku, Gia Lai

l Bài toán thách đấu : Cho

2005 số dương x1, x2, x3, ., x2005thỏa mãn :

Chứng minh 2005 số có hai số x, y cho

lXuÊt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :

Trước ngày 15 - - 2005

1

x y

2.10  

2

1 2

2

2 3

2

2003 2004 2004 2003

2

2004 2005 2005 2004

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    

    



    

    

Víi chó ý r»ng

(cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) ta có AIC MBF Từ dễ dàng suy CI BF

Vậy AH, BF, CE ba đường cao IBC, suy AH, BF, CE đồng quy

Lời bình bạn Trang : Kĩ thuật giải tốn hồn tồn tương tự kĩ thuật giải 5(11), TTT2

ngun minh hµ

 

20

PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG |A| = B

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối loại toán đa dạng Trong chương trình Tốn 8, học sinh học dạng sách giáo khoa (SGK) hướng dẫn giải dạng tốn sau :

Có thể giảm tải nên SGK không đưa cách giải thứ hai :

Vì lẽ số giáo viên trang bị thêm cho học sinh cách giải (II) Điều đem tranh luận có cho phép học sinh thực theo cách giải (II), cách giải không nêu SGK hay không ?

Để giúp bạn giải đáp thắc mắc, xin mạnh dạn đưa hai toán :

Bài tốn :Giải phương trình

Lời giải : Rõ ràng giải toán theo cách giải (I) thật khó khăn, phức tạp xuất bất phương trình bậc ba

Ngược lại, giải toán theo cách giải (II) thật dễ dàng :

3

x    x x A B B

A B (II)

A B B               A B A

A B (I)

A B A               

A B,

Vậy tập nghiệm phương trình : Bài tốn :Giải phương trình

Lời giải : Ngược lại với toán 1, tốn 2giải theo cách (II) khó giải theo cách (I) dễ :

Vậy tập nghiệm phương trình : Kinh nghiệm giải phương trình dạng |A|  B khơng giúp ích cho bạn bậc THCS mà cịn giúp ích cho bạn thi vào Đại học, Cao đẳng tương lai

 

S ; ;

3

x

x 2x x 2 x 0

x

x

x

x x 2 x 2.

x x 4

                                           3 x x x x

x x x

x x x x

                         

x x   x

 

S ; ; ; 

3

x x 2x

x x

x x x x                               3

x x x x

x x x

x x x x

                         

21

TỪ MỘT BÀI TỐN CĂN THỨC

KHAI THÁC SÁCH GIO KHOA TON 9 Bài toán sau Bài số 8, trang 4,

tập một, sách Bài Tập Toán (NXB Giáo dục)

Bài toán :Chứng minh

Viết đẳng thức Lời giải :Ta có

Ta hồn tốn dự đốn đẳng thức :

Đẳng thức (*) đẳng thức ta có toán tổng quát sau :

Bài toán :Chứng minh với số nguyên dương n ta có

Lời giải :Trước hết ta có nhận xét :

áp dụng kết ta có :

Mặt khác, nên

ta suy điều phải chứng minh

Thêm chút xíu “gia vị”, ta có tốn sau : Bài tốn :Tìm số ngun dương x tha ng thc

Các bạn có khai thác khác từ toán hay không ?

3 3

1 2   x 5050 n (n 1) n

2       

3 3

2 2

2 2

2

2 n

0 1 2

2 2

2 3 4

2 2

(n 1) n n (n 1)

2

n (n 1)

    

   

                 

       

   

                

           

              

    

2 2

2

3 x [(x 1) (x 1) ]

4

x (x x 1)(x x 1) x

   

     

 

3 3

1 2 3   n     1 n

3 3 3

3 3 3

3 3

1 5 ;

1

1 ;

1 n n (*)               

     

        

3

3 3

3 3

1 ; 27 36

1 ;

1 27 64 100 10              

  

            

3

3 3

3 3

1 2 ;

1 3 ; 4

  

    

      

2

x(x 1) (x 1)x 2 2             

22

phiỈu dú thi

Cc thi giải toán máy tính CASIO

Họ tên : Địa :

giải toán máy tính điện tử casio năm 2005

½Ë thi kƯ thư TŸM

(Bài giải gửi trước ngày 16-09-2005)

đơn vị tài trợ : công ty cổ phần xuất nhập bình tây

Bài Từ 10000 đến 99999 có số chia hết cho mà không chia hết cho ?

Bài Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho mà chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? Tính tổng tất c cỏc s ú

Nguyễn Đình Thế

(THCS Ninh Xá, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh)

Bài Cho ,

n 0, 1, 2,

LËp công thức tính un+2theo un+1và un; Lập quy trình tÝnh un, n 5, , 10

Ph¹m ThÕ Anh

(9A, THCS Ngô Đồng, Giao Thủy, Nam Định) Bài 4.Tìm số tự nhiên a b biết r»ng

Ngun Ngäc Phiªn

(7B, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi) Bài Tìm số tự nhiên n (100 n 200) để số t nhiờn

Nguyễn Thị Huyền Trân

(9A1, THCS Võ Văn Tần, Đức Hòa, Long An) Bài Dùng Casio fx570 MS vit : nGuYEnVAnhA

Nguyễn Văn Hà

(THCS Võ Việt Tân, Cai Lậy, Tiền Giang) a 19026 25n

 

 



1719

1

3976 1

3 1

5 1

a b

n n

n

u  (3 7)  (3 7)

KT QU Kè TH SU

142135622được 2.02025447 1014 Tám chữ số tận A 44727844 Tính A 4142135622được 1.715728749 1017 Không nhận biết chữ số tận A nªn tiÕp :

1.71 17 (5.72874945 1014) VËy chÝn chữ số tận A 944727844 Tính A 14142135622 1.999999999 1018, bấm tiếp

1.99 18 (9.99999894 1015) VËy A 1999999998944727844



EXP





EXP

23 Bài 2.Bấm (1.414213562)

Giả sử Khi

2 x2+ 2,884427124x + 1,4142135622 Vì (theo 1)

1.41421356221.999999998944727844 nªn 1,41421356222 0,1055272156 1010

Khai báo phương trình

x2+ 2,828427124x 0,1055272156 10100 : 2.828427124

0,1055272156 10

10

Bấm khai báo X x 3,730950488 1011

Vậy

Bài Quy tr×nh :

1

Lặp lại phím : 0,195615199 ; 0,447318398 ; 0,672491028 ; 0,757778244 ; 0,761046838 ; 0,760889819 ; 0,76089781 ; 0,760897404 ; 0,760897425 ; 0,760897424 ; 0,760897424 ; 0,760897424 ; 0,760897424, Bài Nhận xét : Vì 99999  99999   9999800001 < 10000000000 nên nhân máy tính hai số có khơng q chữ số kết xác Để nhân số a với số có chữ số ta tách a thành nhóm số hạng từ phải sang trái, nhóm gồm chữ số (nhóm cuối hơn) Gọi tên nhóm 1, 2, Thực phép tính qua bước sau :

Bước :Lấy nhóm nhân với b, ghi giấy chữ số cuối làm kết

Bước :Nhập số lại kết lần cộng với số nhóm nhân với b Lấy chữ số từ phải qua trái ghi (ra giấy) vào bên trái chữ số bước làm kết

Lặp lại bước nhóm cuối ghi hết chữ số kết máy tính vào bên trái phần ghi giấy Số giấy kết a b

ThÝ dơ, tÝnh 7895489 56326

LÇn : 95489 56326 (5378513414) LÇn : 53785 78 56326 (4447213) §¸p sè : 444721313414

Tương tự : 99887456752 89685  8958406558803120 ;

123456789104563456 98761  12192715948755791478016

Bµi Đổi sang số 10 :

10101 111 3670 (6075)

3 (2058) 502

(322)

VËy b (2058 : 322)2: 324

Về thực số 10 đáp số : 546,7550431

Bài Cách sau đáp ứng bốn câu :

1

4

(9)

Các bạn đoạt giải kì : Phạm Thị Thanh Nga, 8B, THCS Thành Nhân, Ninh Giang ; Nguyễn Kế Viễn, 10A12, THPT Chí Linh, Hải Dương; Khổng Hoàng Thao, 9B, THCS Lập Thạch, Lập Thạch ; Nguyễn Văn Huy, 10A1, THPT Xuân Hòa, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Trọng Hùng, 9E, THCS Bắc Sơn, Sầm Sơn, Thanh Hóa ; Nguyễn Thành Hải, 9A7, Số nhà 16, phố Lý Thái Tổ, TX Bắc Giang, Bắc Giang; Trần Văn Ngọc Tân, 11/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng Nam ; Nguyễn Ngọc Hạnh Châu, 8/1, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Phạm Minh Đức, 8C, THCS Tân Hòa, Vũ Thư, Thái Bình; Nguyễn Hữu Hồng, 8D, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ

Tạ Duy Phượng

 B ALPHA / b c a A ALPHA B STO SHIFT / b c a  / b c a A STO SHIFT / b c a  / b c a MODE DEC  OCT DEC  E A  HEX DEC    OCT   BIN MODE MODE       ) ^ Ans  (  ) Ans  ^ Ans ( 

2 1,4142135623730950488

SOLVE SHIFT  ALPHA ( ) ^   X ALPHA  x X ALPHA

24

Phương án 2(không sử dụng thao tác “giới hạn”)

Hồn tồn giống phương án 1, ta có I thuộc đường thẳng cố định , trung trực đoạn OL (*) Gọi E hình chiếu I Ox Ta có OE  OA  (OA + OB) m OH

Suy E thuộc đoạn OH đường thẳng EI nằm dải mặt phẳng chắn hai đường thẳng song song : 1qua O vu«ng gãc víi Ox ; 2 qua L vu«ng gãc với Ox (**)

Đặt I1 1; I2 2

Từ (*) (**) suy I thuộc đoạn I1I2 Lời bình :Khơng sử dụng thao tác “giới hạn”, đến kết luận : “I thuộc đoạn I1I2” phép suy luận Và tất nhiên tơi hồn tồn có quyền tin tưởng vào kết luận mà đạt

Sau đạt (*), không nên tự ám ảnh thao tác “giới hạn”, nghĩ cách đơn giản phần thuận chưa làm xong Bằng cách nghĩ đó, ta buộc phải hoàn thành phần thuận phép suy luận

Trước bước vào phần đảo, xin nêu vài nhận xét : Dễ thấy OI2Oy ; LK qua I1 Việc kiểm tra chi tiết nhận xét xin dành cho bạn đọc

Thao tác nhận xét có hai ý nghĩa : 1) Mô tả rõ ràng hình H Trong toán 1, hình Hchính đoạn I1I2

2) Vỡ hình H mơ tả rõ ràng nên đơi ta làm phần đảo dễ dàng Thao tác nhận xét việc làm bắt buộc giải tốn quỹ tích PPTĐ Tuy nhiên, có nhận xét nhận xét đặt cuối phần thuận, trước bước sang phần đảo

Đảo :Lấy I thuộc đoạn I1I2 Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu I đường thẳng chứa tia Ox, Oy Nhờ xác định đoạn I1I2 phần thuận phần nhận xét, ta thấy : E, F theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy Gọi A điểm đối xứng O qua E, B điểm đối xứng O qua F

2

2

2

Vĩnh biệt “giới hn ! TS Nguyn Minh Hà(ĐHSP Hà Nội)

25 Ta thÊy : IL OI ; IA OI ; IB OI Suy tam gi¸c OAB néi tiếp đường tròn tâm I bán kính IL Vì tứ giác OALB nội tiếp nên

suy

Khơng tính tổng qt, giả sử ; Khi A thuộc đoạn OH B khơng thuộc đoạn OK Suy OA OB OH HA OK KB  OH OK HA KB   HA KB m HA KB (1’)

Mặt khác, tứ giác OALB nội tiếp nên Từ đó, với ý LH LK ta có HAL  KBL HA KB (2’)

Từ (1’) (2’) suy OA OB m Từ đó, với ý A Ox, B Oy (theo cách dựng), ta thấy phần đảo chứng minh

Kết luận : Quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB thỏa mãn điều kiện đề đoạn I1I2

Bài toán : Cho góc vng tam giác ABC có CA > CB ; Các điểm X, Y, Z thay đổi thỏa mãn điều kiện : X Ox ; Y Oy ; Z thuộc nửa mặt phẳng bờ XY không chứa O XYZ  ABC Tìm quỹ tích điểm Z

Lời giải :Đặt (hình a)

Hình a

Thuận : Phương án : (có sử dụng thao tác “giới hạn”)

Giả sử điểm X, Y, Z thỏa mãn điều kiện đề (hình b)

H×nh b

Ta thấy tứ giác XZYO nội tiếp Z thuộc tia Oz cố định, vẽ góc (1) Nếu Y trùng O X trùng X1(X1Ox OX1AB) Z trùng Z1 (2) Nếu X trùng O Y trùng Y2(Y2Oy OY2AB) Z trùng Z2 (3) Từ (1), (2), (3) suy Z thuộc đoạn Z1Z2 Lời bình : Tương tự lời giải tốn 1, tơi thừa nhận (1), (2), (3) Nhưng phép suy luận sau không : “Từ (1), (2), (3) suy Z thuộc đoạn Z1Z2” Vì kết nhận c l sai

(Kì sau đăng tiếp)

zOy 



xOy   ZOY ZXY    

  o XOY XZY 90 

 

BAC  ; ABC 

 o ACB 90



xOy

 

HAL KBL

m m

2

 o OBL 90

 o OAL 90

 

o o OAL 90 OBL 90    

  

 o o OAL 90 OBL 90    

 

26

Problem E6 : Let ABC be an equilateral triangle with centroid G A point D is chosen on the side AB such that AD AG The line DGintersects the lines ACand BCat Eand F, respectively Prove that ED EF

Proposed by TO MINH THUONG Ky Anh district, Ha Tinh province

Chú thích từ vựng thuật ngữ : lequilateral triangle :tam giác (danh từ)

lpositive real number :số thực dương (danh từ) lfact :điều hiển nhiên (danh từ)

lmultiply :nhân (động từ)

ldesired inequality :bất đẳng thức cần chứng minh (danh từ) lAM-GM inequality (Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality) : bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân, bạn thường biết tên bất đẳng thức Cô-si (danh từ)

lobserve :để ý, nhận thấy (động từ) Nhận xét :1) Có lẽ nhiều bạn nghỉ hè “mệt” sau E3 tháng trước nên chưa kịp gửi cho kì Tuy số lượng ít, bạn tham gia giải có lời giải Bạn Võ Thái Thơngcịn có mở rộng cho trường hợp tổng qt chứng minh kết mạnh Xin nhắc nhở bạn dùng nhiều tiếng Anh giải

2) Bài làm bạn sau ngắn gọn sai sót tiếng Anh : Võ Thái Thông, 9/4, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa; Đào ánh Dương, 9A4, THCS Ngơ Sĩ Liên, Hồn Kiếm, Hà Nội; Trần Quang Sự, 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Võ Văn Tuấn, 8A5, THCS Nguyễn Du, Krông Buk, k Lk

TS Ngô ánh Tuyết(NXBGD) Phạm Văn Thuận(ĐHQG Hà Nội) Solution E4 : Since a, b, c are positive

real numbers and note that abc1, we can rewrite the given inequality in the form (abca)(abcb)(abcc)> 1536(abc)2

Using the inequality which follows from the simple fact that

for all positive real numbers x,y, we have Similarly, we obtain two other inequalities

Multiplying three inequalities gives (abca)(abcb)(abcc)64abc

Now we only need to show that 64abc > 1536(abc)2 By AMGM inequality, we have , but  a  b  c, thus we have 127abcwhich implies 1> 24abc The desired inequality follows immediately because we can observe that 153664 24 The inequality is strict This completes our proof

3   

a b c abc

4

2

     

a c b c ac bc c ab

4

2 ,

     

a b c b ab cb b ac

4

2

     

a b c a ab ca a bc

  ( x y )

2  

27 lKÕt qu¶ :

l Kì :Kì :

AI GIỎI ẹềA LÍ (TTT2 số 28) Bài thơ

sẽ hay hơn, bạn sửa lại vị trí từ in nghiêng Bạn làm ? Nói thầmtrong lúc ngủ say

Nói dainhững chuyện khơng hay đời Nói bậymột tấc đến giời

Nãi lãngtÕu táo cho vui bạn bè Nói liều bẩn thỉu khó nghe

Nói tức giọng chê bai người Nói leo nói khơng thơi

Nói ngượctiếng lạ hai ngi hiu

Nói thậttrẻ nhỏ xen vào

Nói dối người khác nghe đau lịng Nói kháylống thống chừng Nói vụngkhơng biết xưng xưng nói hoi

Nói ngọngghé sát vào tai Nói mêchẳng giấu giÕm bao giê

Nói khốcđảo ngược từ

Nói tụcchẳng thật hịng lừa người nghe Nói láichâm chọc cười chê

Nói máttrái với vấn đề nêu Nói đùasau lưng người ta

Nói lửng âm chun phỏt khỏc thng

Mai Đình Phẩm

(45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định)

Ai gii a lí ?” kì người khơng nắm địa danh mà cịn phải có số hiểu biết định văn hóa vùng miền Hưng n khơng “rợp bóng vải thiều” viết NNB (Hà Tĩnh) mà có giống nhãn lồng ngon tiếng Ninh Thuận khơng “giáp biển phía Tây” (HTT, Phú Thọ) mà Kiên Giang “giáp biển phía Tây” Ninh Thuận không “xanh khu vườn” với trái “măng cụt tiếng” (BVA, Thanh Hóa) mà Bình Dương “Ai giỏi địa lí ?”có thể sửa lại sau :

Khánh Hịa có đảo Trường Sa Có thành Diên Khánh xưa xa cịn

H­ng Yªn cã giống nhÃn ngon Thứ nhì Phố Hiến hÃy tiếng tăm

Ninh Thun ụng ỳc ngi Chm Cú lng Cà Ná khách thăm rộn ràng

Qu¶ng Nam cã Héi An

Rêu phong in dấu thời gian bên tường Bình Dương xanh khu vườn Nổi tiếng mng ct ca vựng Lỏi Thiờu

Bắc Giang rợp bóng vải thiều

Của vùng Lục Ngạn nhiều quằn Kiên Giang giáp biển phía Tây

Có Phụ Tử ngắm hoài Hà Tiên Gia Lai nằm Tây Nguyên

H T Nng p, hi cng chiêng rộn ràng Thái Ngun có động Phượng Hồng Có hồ Núi Cốc lưng chừng cao

B¾c Ninh tiếng Chùa Dâu Có làng quan họ hát câu trữ tình

Nm bn c trao gii kỡ ny : Võ Thị Mỹ Hòa, mẹ Phạm Thị Diễm Mỵ, Phịng Thẩm định Quản lí tín dụng, Ngân hàng Đầu tư Phát triển Quảng Ngãi, 56 Hùng Vương, TX Quảng Ngãi ; Quảng Ngãi ; Nguyễn Hồi Đảm, Bình Tân, Sơn Bình, Hương Sơn, Hà Tĩnh ; Nguyễn Hồng Hạnh, 305, Nhà N14B, Chung cư Định Công, ngõ 228 Lê Trọng Tấn, Hà Nội ; Nguyễn Thị Cẩm Ly, mẹ Đoàn Thị Lanh, GV TH Tam Giang I, Tam Giang, Krông Năng, Đắk Lắk; Ngô Ngọc Mai, số hẻm Hà Ngọc Châu, K1P2, TX Sóc Trăng, Sóc Trăng

28

Anh Khoa ơi, thơ có phải sản phẩm tiêu dùng hay khơng mà Nguyễn Bính than : “Làm thơ đem bán cho thiên hạ - Thiên hạ đem thơ đọ với tiền”, cịn có thi sĩ hùng hồn tuyên bố xuất thơ ?

Nguyễn Đức(ducnguyen@yahoo.com)

Trần Đăng Khoa :

29 l KÕt qu¶ :

Ơ ch : TH ễ

l Kì :

Trên hàng ngang ô chữ tên thủ nước Bạn có tìm khơng no ?

Đỗ Thị Huế

(Con b Văn Hịa, xóm 5, Thúy Lâm, Thanh Sơn, Thanh Hà, Hải Dương)

Bóng đá mơn thể thao Vua, có nhiều bạn dự thi chữ lần bạn biết không, nửa số lại “fan” bóng đá nữ

Có nhiều cách điền từ vào chữ, Chủ Vườn đưa đáp án sau : OFFSIDE - Việt vị ; COACH - Huấn luyện viên ; CORNER - Phạt góc ; THROWIN - Ném biên ; DRIBBLE - Lừa bóng ; PENALTY - Cú phạt đền ; LINESMAN - Trọng tài biên ; GOAL - Bn thng

Ô chữ hàng dọc Football

Các bạn thưởng kì : Trương Thị Thương, mẹ Ngơ Thị Hồng, xóm 13, Tràng Sơn, Đơ Lương, Nghệ An; Bùi Trí Thức, 9D, THCS Gia Hưng, Gia Viễn, Ninh Bình ; Ngơ Thị Tuyết Mai, 8C, THCS Tiền An, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh; Nguyễn Vũ Nhã, 7A5, THPT số An

Nhơn, Bắc Phương Danh, thị trấn Đập Đá, Bình Định; Phạm Thế Thắng, đội 5, thôn Tống Buồng, Thái Thịnh, Kinh Môn, Hải Dương ; Nguyễn Quang Tùng, số 12 ngách 38, ngõ 515, Hoàng Hoa Thám, Hà Nội

30

(TTT2 sè 28)

Sao Hỏa đỏ lửa đêm đen Sao Mộc thợ vốn quen đục, bào

Sao Chæi quÐt dän trêi cao

Sao Thủy đầy hồ ao sơng ngịi Sao Thổ chân người Sao Kim may vá chẳng ri ụi tay

Chức Nữ trai Kim Ngưu ăn cỏ kéo cày giỏi giang

Thn Nông ruộng làm thần Diêm Vương âm phủ âm thầm vua

Thảo dân ngồi đếm say sưa Ai mà đếm thiếu chưa quà

Ban thưởng : Dỗn Thành Ln, 53 Hồng Diệu, TX Sơn Tây, Hà Tây; Trần Huyền Trang, số ngách 514/53, ngõ 514 Thụy Khuê, Hà Nội; Nguyễn Thị Quỳnh, cháu cô Hồ Thị Xuân, khối 10, phường Cửa Nam, TP Vinh, Nghệ An ; Bùi Thị Yến, bố Bùi Trung Dũng, khu 2, Tề Lỗ, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Dương Thị Thu Trang, mẹ Nguyễn Thị Tâm, Tiểu khu 4, thị trấn Hoàn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình

Vua TÕu

lKÕt qu¶ :

AI HIEU TEN SAO ? Thủ trấn giữ cầu môn ?

Thủ dịu ngọt, ôn tồn nhỏ to ? Thủ xảo trá giở trò ?

Thủ chuyên giữ kho chứa hàng ? Thủ lµm mÊt phi tang ?

Thủ trình tự rõ ràng trước sau ? Thủ thi cử đỗ đầu ?

Thủ bày đặt mưu sâu hại người ? Thủ giữ két ?

Thủ gây tội lưới trời chẳng tha ? Thủ mặt quốc gia ?

Điều hành phủ, hỏi thủ chi ? Đừng đầu đội bóng, thủ ? Thủ giữ sách, nội quy chu tồn ?

Thủ lãnh đạo quan ?

Thủ hàng hóa chun làm tay ? Thủ chẳng muốn đổi thay ?

Thủ sớm tối thường hay coi đền ? Giải xong mười tám “thủ” Tặng phần thưởng đáng tiền

thđ heo !

Ngun Ngäc Sinh

(46 E, Đê La Thành, Hà Nội)

Hỏi : Tại anh lại khơng tăng kì lên tăng trang lên để lâu q !

Ngun ThÞ Ỹn

(Đội 9, Thượng Trung, Tuy Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa)

Ngô Đức Lợi

(81, THCS Phú Thuận, Phú Vang, Thừa Thiên - Huế)

Đáp :

Các anh muốn tăng kì Nhưng phải chuẩn bị chi li

mọi bề Một kì mà người mê Cịn kì người chê

thì buồn Hỏi : Em thường hỏi : “Học Tốn để làm ?” chưa tìm câu trả lời tốt Có phải học tốn để giúp ta tính tốn sống không ? ý anh ?

Nguyễn Thị Thúy

(8A1, THCS Yên Lư, Yên Dũng, Bắc Giang) Đáp :

Tớnh toỏn nhiu ngha em Chuyện tình cảm có đem vào dùng Học tốn lợi ích vơ Tốn đời khó

ung dung lµm

Hỏi : Bố mẹ em thường mắng : “Con gái cận vứt !” nên em phải thay mắt kính (khi tăng số) mẹ lại buồn chán Làm ? Anh !

Cận đơn côi

Đáp :

Kớnh ch l kớnh m thụi Vấn đề ánh mắt

VÉn nhân hậu, dạt Vẫn thông minh, cớ

lại buồn ? Hỏi :Em bị cô giáo điều sang ngồi hai yêu quái : Hắc xà Bạch Cốt tinh Chúng xinh học giỏi tính tình sư tử Em chuyên bị chúng luyện da luyện tai Anh có cách giúp em diệt chúng không ? Em xin hậu t¹ anh

Nguyễn Hữu Phước

(9C, THCS Hồ Tựng Mu, Hng Sn, H Tnh)

Đáp :

Anh thèm em Chúng yêu quái

vẫn quen mà Luyện da

mát-xa “Luyện” tai rõ người ta thầm Hỏi :Anh trả lời thơ Anh có phải nhà thơ không ?

Lương Lệ Thủy

(6A7, THCS Ngô Sĩ Liên, TX Bắc Giang, Bắc Giang)

Đáp :

Nếu anh nhà thơ Làm anh viết ngất ngơ

thế ? Ngất ngơ có hay Ai yêu thÝch, “quay”

thì cười Hỏi :Anh tiết lộ “lí lịch trích ngang, bổ dọc” anh không ? Đừng để em phải “tiu nghỉu”

Đinh Thị Thu Hiền

(8G, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp :

Bổ dọc anh mét bảy hai Trích ngang vòng bụng anh

vài chục phân Bổ dọc : Phó-Gỡ (hai phần) Trích ngang : tên thật khó lần

c

anh phó

32

Bài 1(30) :Giải phương trình :

|x3x 1| x3x 1

lª anh tuấn(Quỳnh Đôi, Quỳnh Lưu, Nghệ An) Bài 2(30) : Tìm giá trị lớn biểu thức

với x 1

Trần xuân đáng

(THPT chuyªn Lê Hồng Phong, Nam Định)

3

x x  x x

Bài 3(30) :Giải hệ phương trình :

trần phương nam(TP Mĩ Tho, Tiền Giang)

2

2004 2004 2005 x xy y (x y)

2

x y



    



   

Bài 4(30) :Cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ đỉnh A, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B đường phân giác kẻ từ đỉnh C đồng quy Gọi a, b, c độ dài ba cạnh BC, CA, AB Chứng minh : (a b)(a2b2c2) 2a2b

nguyễn bá (Sở GDĐT tỉnh Hải Dương) Bài 5(30) :Cho tam giác ABC Điểm O nằm tam giác BO cắt AC M, CO cắt AB N Dựng hình bình hành OMEN OBFC Chứng minh : A, E, F thẳng hàng

ts nguyễn minh hà(ĐHSP Hà Nội) AE AM AN OM ON

AF AB AC OB OC   

English version translated by Pham Van Thuan 1(30) :Solve the equation |x3x1| x3x1

2(30) :Find the greatest value of the expression , where 0x1 3(30) :Solve the system of equations

4(30) :The altitude from vertex A, the median from vertex B, and the internal angle bisector from vertex Cof a triangle ABCare concurrent Suppose that a,b, and care respectively the lengths of sides BC, CA,and ABof triangle ABC Prove the identity (ab)(a2b2c2) 2a2b

5(30) :Let ABCbe a triangle with a point Oin its interior Let BOintersect ACat M and let CO meet AB at N Construct parallelograms OMEN and OBFC Prove that A, E, Fare collinear, and    

  AE AM AN OM ON AF AB AC OB OC



    



   

2

2004 2004 2005

3

x xy y ( x y )

x y

  