Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 35

Hoµng Minh LËp , 7E, THCS Quang Trung, KiÕn X­¬ng, Th¸i B×nh ; NguyÔn Minh Loan , 9E, THCS Th©n Nh©n Trung, BÝch §éng, ViÖt Yªn, B¾c Giang ; Vò ThÞ Ngäc Thóy , 9D, THCS T[r]

1 KÕt qu¶

(TTT2 sè 33) PHỦ KÍN ĐƯỢC KHƠNG ?

Tất bạn có câu trả lời đúng, nhiên có bạn trình bày cách chứng minh, xứng đáng nhận phần thưởng kì này, bạn : Nguyễn Mạnh Tuấn, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương ; Võ Mạnh Tài, 9A, THCS Tôn Quang Phiệt, Thanh Chương, Nghệ An ;

Lâm Tiến Phát, 9A, THCS Trần Hưng Đạo, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam,

Hà Nội; Hoàng Đăng Nhâm, 92, THCS Kim Đồng, TP Đà Nẵng

Câu trả lời có Xin giới thiệu với bạn ba cách chứng minh :

C¸ch : Dùng DE  AC ; BF  AC (E ; F AC), ta cã :

SABCD= SABF+ SBCF+ SCDE+ SADE;

Các tam giác ABF, BCF, CDE, ADE tam giác vuông nên nằm đường đường kính AB, BC, CD, DA Nói cách khác, bốn đường trịn phủ kín bốn tam giác ABF, BCF, CDE, ADE hay phủ kín tứ giác ABCD

C¸ch : Gọi I điểm nằm

trong tø gi¸c ABCD, ta cã

Suy góc lớn bốn góc không nhỏ

Khơng tính tổng qt, giả sử góc lớn , I thuộc đường trịn đường kính AB Như điểm nằm tứ giác ABCD phải thuộc bốn đường trịn đường kính AB ; BC ; CD ; DA, suy điều phải chứng minh

C¸ch :Giả sử tồn điểm M nằm tứ giác ABCD nằm tất bốn đường tròn ®­êng kÝnh AB ; BC ; CD ; DA Nh­ vËy c¸c gãc

đều nhỏ thua 90o, suy :

, điều vô lí điều phải chứng minh

    o

AMB BMC CMD DMA 360   



AMB ; BMC ; CMD ; DMA

  

AMB ; BMC ; CMD ; DMA



AIB

o o

360 90 

    o

AIB BIC CID DIA 360   

Đồng quy hay không ? lKì :

Làm để biết ba đường thẳng a, b, c cắt tờ giấy có đồng quy hay khơng ?

2

Liên hệ tập loại

Trong q trình học tốn, có khơng lần bạn gặp lại tốn “cũ” mà cách phát biểu hồn tồn khác khác chút ; tốn tương tự, mở rộng hay đặc biệt hóa mà tốn có phương pháp giải Nếu bạn có kĩ thường xuyên lưu ý, liên hệ tốn “mới” với tốn biết bạn phát tốn khơng cịn bạn nhanh chóng xếp loại tốn, từ định hướng c phng phỏp gii quyt

Các toán sau ví dụ vậy, sử dụng kiÕn thøc líp

Bài tốn : Cho tam giác ABC Dựng tam giác ABD, BCE, CAF phía ngồi tam giác ABC Chứng minh :

a) CD AE BF

b) Gãc nhän tạo CD BF 60o

Bi toỏn :Cho ba điểm B, A, C thẳng hàng, theo thứ tự Dựng phía đường thẳng BC tam giác

đều BAD, ACF dựng phía đối diện tam giác BCE Chứng minh :

a) CD AE BF

b) Góc nhọn tạo CD BF 60o

Bài toán :Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, theo thứ tự Dựng nửa mặt phẳng bờ AC tam giác ABD, BCE, CAF Chứng minh :

a) CD AE BF

b) Góc nhọn tạo CD BF b»ng 60o

Bài toán : Cho tam giác ABC Dựng tam giác ABD, BCE, CAF nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa

3

®iĨm C, bê BC chøa ®iĨm A, bê AC chøa ®iĨm B Chøng minh r»ng :

a) CD AE BF

b) Gãc nhọn tạo CD BF 60o

Bi toán : Cho tứ giác ABCM Dựng tam giác ABD, CMF phía ngồi tứ giác Dựng tam giác BCE nằm nửa mặt phẳng bờ BC, chứa tứ giác ABCM a) Chứng minh : DE AC ; EF BM b) AC cắt BM O Tính tổng

NhËn xÐt :

+ Bài toán chứng minh dễ dàng nhờ phép chứng minh hai tam giác sư dơng tÝnh chÊt tỉng ba gãc tam gi¸c b»ng 180o

+ Các toán ; ; ; mở rộng toán 1, chứng minh tương tự toán

+ Các bạn nhận toán sau dễ dàng chứng minh nhờ sử dụng phương pháp chứng minh tốn

Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC Dùng

vỊ phía tam giác hình vuông ABDE, ACGF

Chøng minh r»ng : BF CE ; BF CE

Bài toán :Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, theo thứ tự Dựng phía đường thẳng AB hình vng ABDE, BCIH

Chøng minh r»ng : AH CD ; AH CD

Bài toán : Cho tam giác ABC Dựng hình vng ABDE, BCFG nằm nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ AB, BC Chứng minh : GA CD, GA CD

Các bạn hÃy giải toán Chúc bạn thành công

4 Không tồn tam giác cân ?

l Kì :

l Kết :

(TTT2 số 33)

Bài toán :Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña : F(x, y) (x y)2(x 1)2(y x)2

Lêi gi¶i :

Ta thấy (x y)2; (x 1)2; (y x)2không đồng thời nên F(x, y) >

F(x, y) đạt giá trị nhỏ a (x  1)2và b  (x  y)2(y x)2đồng thời đạt giá trị nhỏ

a (x 1)2đạt giá trị nhỏ x  1

Khi b  (x y)2 (y x)2 2y2 2, nên b đạt giá trị nhỏ y 0 Vậy giá trị nhỏ F(x, y) :

Các bạn nghĩ ? Phải lời giải ỳng ?

nguyễn thị thủy (THCS Hoa Thành, Yên Thành, Nghệ An)

x y x  1 x     

y 0.

y

   

Tất bạn tham gia gửi phát phép chứng minh sai chỗ biến đổi dẫn đến phân thức

Phân thức khơng xác định EB  2HI  (do EB  ED  2HI) Tuy nhiên, nhiều bạn chưa nêu điều cảnh báo áp dụng tính chất tỉ lệ thức :

Dãy đẳng thức n q

Xin trao thưởng cho bạn có lập luận tốt : Đào Mạnh Linh, 7C1,

THCS Quang Trung ; Trần Thị Hương Giang, 9B, THCS Dư Hành Kênh, Lê Chân, Hải Phòng ; Trần Văn Hạnh, 9B,

m p m p

Dãy đẳng thức m p m p Dãy đẳng thức

n q n q m p m p

m p m p

Dãy đẳng thức m p m p Dãy đẳng thức  Dãy đẳng thức m p m p Dãy đẳng thức Dãy đẳng thức   Dãy đẳng thức

n q n q

n q n q 2HI EB biến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB biến đổi dẫn đến phân thức EB 2HI biến đổi dẫn đến phân thức

EB 2HI biến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB2HI EB biến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB biến đổi dẫn đến phân thức  biến đổi dẫn đến phân thức 2HI EB biến đổi dẫn đến phân thức EB 2HI

EB 2HI

Câu đố khơng khó số bạn nhận xét Tuy có hai bạn trả lời sai Ngồi ra, bạn cịn lại có cách chọn đúng, Cơng ty Văn phịng phẩm Hồng Hà gắn bó với tên người anh hùng dân tộc Lý Thường Kiệt Tuy nhiên, có số bạn giải thích lại chọn phương án : địa Trụ sở Cơng ty Văn phịng phẩm Hồng Hà 25 Lý Thường Kiệt, Hà Nội Các bạn sau có giải thích giải thơ có vần

điệu nhận giải thưởng : Vũ Thu Hà, 6A2, THCS Hai Bà Trưng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Hà B, 7B, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ;

Nguyễn Thúy Hiền, 9B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây ; Võ Trung Thông, 7C, THCS Nghĩa Hồng, Nghĩa Đàn ; Nguyễn Bá Tuấn Anh, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Đoàn Thái Quỳnh, 7/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương ; Phan Thị Yến Hoa, 9A1, THCS Chu Văn An, Thanh Hà, Hải Dương

THCS Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương ; Phan Minh Thắng, 9D, THCS Bến Thủy, Vinh,

Nghệ An ; Phạm Hoàng Tỷ Tỷ, 9A3, THCS Nguyễn Trân, Hoài Nhơn, Bình Định

Anh kính lúp

5

l KÕt qu¶ :

l Kì :

(TTT2 sè 33) HÌNH NÀO LẠC LOÀI ?

Bµi :

Bµi :

Bài :Bạn Võ Quang Dũng, 8B, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh

có giải sau :

Hỡnh A chia bốn phần Hình B giống chẳng khác đâu Tiếp đến D, E Hình C lạc loài bước mau Bài giải giản đơn Đâu phải làm nghĩ q lâu Mau viết nhanh tay gửi tịa soạn Để đo trí tuệ có đầu

Bài :Các bạn đưa hai đáp án :

+ Hình A lạc lồi chữ N, O, C, T, K chữ N khơng có trc i xng

+ Hình B lạc loài chữ N, O,

C, T, K ch có chữ O nguyên âm Tuy nhiên ý nghĩa tốn học đáp án “hình A lạc lồi” hợp lí

Các bạn thưởng kì bạn Võ Quang Dũng bạn : Mai Thị Thùy Linh, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hu Lc,

Thanh Hóa ; Lê Duy Thịnh, 7A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Nguyễn Đăng Quang

6

Trờn TTT2 số 14 có nêu phương pháp khai cho dạng bậc hai phổ biến thông qua đẳng thức (a b)2, cách biến đổi dạng 2ab M dạng a2b2 Để tìm a b trường hợp phức tạp ta khơng “mị” kết quả, phải giải hệ phương trình

Sau đây, tơi xin đơn giản hóa phương pháp để phép khai bậc hai thực thi

Ta biết với a, b không âm

Nh­ vËy :

với M a b ; (a b xác định thông qua ab a b)

VÝ dơ : Rót gän

Lời giải : áp dụng biến đổi trên, ta có (a, b hai nghiệm phương trình X28X 15 0) Suy

VÝ dơ : Rót gän

Lêi gi¶i :

Ta cã

Nh­ vËy

Suy

VÝ dô (Bài 100b, trang 19, sách Bài tập Toán 9, tËp 1):Rót gän biĨu thøc

Lêi gi¶i :

Ta cã 

VÝ dô :TÝnh giá trị biểu thức

Lời giải :Ta có

Suy D

2

2

2 D ( 2) 14 45

( 1) (3 5) (áp dụng biến đổi trên)

5 5 2

      

    

    

    

     

D 3  5 

3

2

15 33 6 15 33 ( ) ( 24 ) (áp dụng biến đổi trên)

3 24

3 24 6

     

    

   

   

       

15 6  33 12 6

15 6  33 12 6

B ( 5 7)  5  7

a b 12 {a ; b} {5 ; 7} ab 35

 

  

  

B 12 35  12 35

B 12 140

2

A ( 3 5)  3 a b {a ; b} {3 ; 5}

ab 15

 

  

  

A 15.

E N 2 ab M E N  a b ,

2

( a b)   a b ab,

2

2ab E N a b M

 

 

 



E N

7 Ví dụ (Bài 64b, trang 13, sách Bài tËp To¸n 9, tËp 1):Rót gän biĨu thøc

víi x

Lời giải :

Đặt

Xét thức

ỏp dng bin i trờn ta có : Suy

Tương tự ta có

- NÕu x 4 th× x 2 2, suy

- NÕu x > th× x 2 > 2, suy

VËy : NÕu x 4 th× NÕu x > th×

Ví dụ :Giải phương trình :

Lêi gi¶i :

Điều kiện để có nghĩa : (1) Phương trình cho tương đương với :

Phương trình x2  2x   có hai nghiệm x1 1 ; x23

Ta thÊy : x1 không thỏa mÃn điều kiện (2) ; x23 thỏa mÃn hai điều kiện (1) (2)

Vậy phương trình cho có nghiệm : x

Bài tập áp dụng :

Bài tËp :Rót gän c¸c biĨu thøc sau :

Bài tập :Giải phương trình :

Bµi tËp :Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau :

2

2

a) x 2(1 x 1) x 2(1 x 1)

x x

b) x x

4

      

    

2

3 12 18 128

x 2x

    

   

a) 38 90 23 360

b) 30 29 12 3 13 48

c)

6             2

2x 2x x ( 2x 1) x (áp dụng biến đổi trên)

2x x

x (2) 2x x

x 2x

                           x   2(x 1)

x 2x

2

   

E x 2. 

E 2.

2 x x 2

E x x 2 x

     

        

2 x 0 

2 x 2 x

E x 2 x 2

     

       

2 x 0 

2

x 2x ( x 2) x

    

  

2 x

  

2

x 2x 4   ( 2 x 2)

a b x {a ; b} {2 ; x 2} ab 2x

 

   

   

x 2x 4 

E x 2x 4   x 2x 4 

x 2x 4   x 2x 4 

(x 1) x 2x

2



   

2 x 2x x

8

Cuộc thi Olympic toán học nước Anh

Cuộc thi Olympic Toán học nước Anh (British Mathematical Olympiad) năm 1965 Từ năm 1980, có vịng thi nhất, thi bao gồm đến 11 bài, rút xuống đến Từ năm 1981, người ta tổ chức thêm vòng thi thứ hai, gọi tắt FIST (Further International Selection Test) Từ năm 1992, người ta gọi vòng thi thứ BMO Round FIST đổi lại thành BMO Round

Vào năm 1991, người ta thành lập ủy ban Olympic Toán học (British Mathematical Olympiad Committee) nhằm đẩy mạnh tiến trình tìm kiếm bồi dưỡng tài Toán học, ủy ban hiệp hội sau đóng góp tài cung cấp giáo sư tham gia bồi dưỡng :

lHội Toán học Edinburgh lViện Toán học ứng dụng lHéi To¸n häc London

(London Mathematical Society)

lHéi To¸n häc

(The Mathematical Association) Một số giai đoạn trước năm 1980 phù hợp với học sinh giỏi bậc THCS nước ta Do vậy, TTT2 số 35 36, xin giới thiệu bạn số thi tuyển chọn cải biên giai đoạn

này

Bài 1.(Problem 2, 1965, cải biên)

H Thiệp chơi trò đuổi bắt Hà vị trí tâm hồ hình trịn Thiệp đứng sát bờ, không bơi được, chạy với tốc độ 4v, cố tìm cách bắt Hà Hà lên bờ Cịn Hà, bơi với tốc độ v chạy nhanh 4v Lúc Hà bắt đầu bơi Thiệp khởi chạy quanh hồ Hỏi Hà chạy hay khơng ? (Các tốc độ nói lấy đơn vị thời gian)

Bµi 2.(Problem 3, 1965)

Chøng minh r»ng npn chia hÕt cho p, víi p 3 ; ; 13 với số nguyên n

Bµi 3.(Problem 5, 1965)

Chứng minh n(n 1)(n 2)(n 3) 1 số phương với số nguyờn dng n

Bài 4.(Problem 6, 1965, cải biên)

Chứng tỏ tồn số tự nhiên n phần thập phân số thực

lín h¬n 0,999

n

9

Bài 1.Từ điều kiện f(1) f(2) f(n) n2f(n) ta suy : f(1) f(2)  f(n 1) (n 1)2f(n 1) (n21)f(n)

Từ ta có :

Bµi Ta cã :

Trừ theo vế hai phương trình ta có :

Do (i {1 ; ; ; 1999}) nªn suy xi1 hay x1x2 x19991

Bài Gọi O, O1, O2, O3lần lượt tâm vòng tròn lớn ba vòng tròn nhỏ Dễ thấy tam giác O1O2O3đều, có độ dài cạnh đơn vị tâm O Vì OO2 , suy bán kính vịng trịn lớn diện tích :

(đơn vị diện tích)

Bài Khơng tính tổng qt, giả sử p q, ta có : 22p22q4q(4p q1) Vì 4q số phương nên ta cần chứng minh 4p q  khơng phải số phương Giả sử có điều ngược lại, tức tồn số nguyên n cho 4p q1 (2n 1)2 Khi đó, ta có điều mâu thuẫn 4p q 1n(n 1), n(n 1) 1 hai số n n 1 số lẻ

2

2

3

    

    

   

2

3



2

2 2 1 3  

2

i i i

x   x víi mäi x 

4 4

1 1 2 1999 1999 1999

2 2 2

1 1 2 1999 1999 1999

(x x x 1) (x x x 1) (x x x 1)

(x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1) (x 1) (x x 1)

            

             

1 1999 1999

3 3 4 4 4

1 1999 1999 1 2 1999 1999

x x x 1999 (x 1) (x 1) (x 1)

x x x x x x (x x ) (x x ) (x x )

          

 

 

 

             

 

 

f(1998) f(1997) f(2) 1997 1996 1

f(1998) f(1) 999

f(1997) f(1996) f(1) 1999 1998 1999

          

f(n) n 1. f(n 1) n 1

 

 

CUỘC THI VƠ ĐỊCH TỐN QUỐC GIA MA-LAI-XI-A

10

Hướng dẫn giải đề kì trước

(Kì thi tuyển sinh vào lớp 10, 2005 - 2006, mơn Tốn chung, trường THPT chun Lê Q Đơn, tỉnh Bình Định)

Câu : Ta có Do

C©u : (*)

Nếu x (*) trở thành x x 8 2 8, v« nghiƯm NÕu x > (*) trở thành x x x 5 >

Vậy phương trình có nghiệm x 5

Câu : a) Do A ; B thuộc đồ thị hàm số y x2nên A(1 ; 1) ; B(2 ; 4)

Phương trình đường thẳng AB có dạng : y ax b (*) Thay tọa độ A B vào (*) ta có :

Vậy phương trình đường thẳng AB : y x 2

b) Gọi m hồnh độ M ta có M(m ; m2), m [1, 2] Gọi C, D, N hình chiếu A, B, M trục hồnh ta có NC m 1 ; ND 2 m ; CD 3

Khi SAMBSABDC(SAMNCSBDNM) 

Đẳng thức xảy m   [1 ; 2], suy M , SMABđạt giá trị lớn

C©u : a) Ta cã suy

OM BC N trung ®iĨm cđa BC

b) Ta cã AK // OM (cïng vu«ng gãc víi BC) suy (so le trong) Mặt khác

(OAM cân) suy KAM MAO

 

AMO MAO

 

KAM AMO

 

BM CM

 

BAM CAM

27 1 ; 1

2

 

 

 

1

2

2

1 (m 1) (m 1) (4 m ) (2 m)

2 2

3m 3m m 27 27.

2 2 8

 

      

   

 

 

    

       

 

1 a b a 2a b b

   

 

    

 

2

x 4x x 8      x x

1 1

A

a b 3 3

    

   

1

a ; b

2 3

     

 

11

Đề thi học sinh giỏi lớp 9, năm học 2003 - 2004, tỉnh Phú Thọ

c) Gäi E lµ trung điểm AC Ta có EN đường trung bình cña ABC EN // AB ; EN 

Mặt khác, AH // ON (cùng vng góc BC), BH // OE (cùng vng góc AC),

AHB NOE (g.g), suy VËy AH 2NO

C©u : V× k(k 1) k k2, ta cã :

S 1.2 2.3 3.4  n(n 1) (1 2 3  n) (122232 n2) (1) Ta chứng minh 122232 n2 (2) (bằng phương pháp quy nạp theo n, với n N*) 2 3  n  (3)

Tõ (1) ; (2) ; (3) suy S n(n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) 2    

  

n(n 1) 2 n(n 1)(2n 1)

6

 

NO NE AH AB 2  AB

2

(Thêi gian : 150 phót) Bµi :(2 ®iÓm)

a) Chứng minh p số nguyên tố lớn (p 1)(p 1) chia hết cho 24 b) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : xy 2x 3y 1 0

Bài :(2 điểm)Cho số a, b, c khác đơi khác nhau, thỏa mãn điều kiện a3b3c33abc Tính :

Bài :(2 điểm)a) Tìm a để phương trình 3|x| 2ax 3a 1 có nghiệm

b) Cho tam thøc bËc hai f(x) ax2bx c tháa m·n ®iỊu kiƯn |f(x)| 1 víi mäi x [1 ; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức : 4a23b2

Bài :(1,5 điểm)Cho hai điểm A ; B nằm hai tia Ox ; Oy, thỏa mãn OA  OB m (m độ dài cho trước Chứng minh đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABO vng góc với AB qua điểm cố định

Bài : (2,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc đường cao ma, mb, mc đường trung tuyến cạnh BC, CA, AB ; R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : a b c

a b c

m m m R r h  h  h  r



xOy

b c c a a b a b c a b c b c c a a b

  

      

     

12

l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bài 1(33) :Chứng minh phương trình x22y2005 khơng có nghiệm ngun

Lời giải :Ta chứng minh : A 2y2005 khơng số phương với số nguyên y Thật :

Nếu y < A khơng số ngun Mặt khác ta dễ dàng chứng minh số phương chia cho chia cho dư dư

Nếu y 0 A 2006 chia cho dư Nếu y 1 A 2007 chia cho dư Nếu y 2 A 2009 chia cho dư Chứng tỏ : Với y  A khơng số phương

Nếu y  A chia cho dư mà số phương lẻ chia cho cho số dư nên A l s chớnh phng

Vậy toán chứng minh

Nhận xét :Hầu hết bạn giải Các bạn lớp sau có lời giải tốt :

Nguyễn Đức Nguyên, 6A, THCS Phạm Sư Mạnh, Kinh Môn, Hải Dương; Nguyễn Thị Phượng, 6C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc;

Lương Thị Thanh Mai, 6A3, THCS Thị trấn Hưng Hà ; Đặng Đình Khiêm, 6A1, trường Phân hiệu chất lượng cao, Kiến Xương,

Thái Bình; Phan Tuấn Vũ, 6D, THCS Hưng Dũng, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Thúc Vũ Hoàng, Nguyễn Phước Vĩnh, 6M, THCS Nguyễn Huệ, Đông Hà, Quảng Trị

Nguyễn Minh Đức Bài 2(33) :Giải phương trình :

48x(x 1)(x34) (x48x 12)2 (*)

Lêi gi¶i :Ta thÊy x48x 12 

x44x 12x 12 x(x34) 12(x 1), đặt x(x34) a 12(x 1) b, ta có :

(1) trë thµnh 4ab (a b)2(a b)20

a b hay lµ x44x 12x 12

(x22)2(2x 4)20

(x22x 2)(x22x 6) 0

x22x 2 0 (v× x22x 6 > víi mäi x)

x 1 

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm  

Nhận xét : 1) Có thể giải tốn cách áp dụng bất đẳng thức (a b)24ab, đẳng thức xảy a b

2) Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Tuấn Anh, 8A, THCS Lý Tự Trọng, Hương Canh, Bình Xuyên ; Trần Bá Trung, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Minh Nguyệt; Võ Huyền Trang, 8B, THCS Nguyễn Tuấn Thiện, Phố Châu, Hương Sơn, Hà Tĩnh; Hoàng Minh Lập, 7E, THCS Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình ;

Phạm Hồng Vũ, 7C, THCS Lí Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa; Nguyễn Thị Hạnh, 9A1, THCS Nguyễn Trực, Kim Bài, Thanh Oai, Hà Tây ; Hoàng Lan Phương, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ;

Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng; Phan Trung Đình, 9A1, THCS Phổ Cường, Đức Phổ,

Quảng Ngãi ; Đỗ Hương Quỳnh, 8A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Minh Loan, 9E, THCS Thân Nhân Trung, Bích Động, Việt Yên, Bắc Giang; Các tập thể lớp7C ;8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; 9A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ

Nguyễn Anh Quân Bài 3(33) :Giải hệ phương trình

Lời giải :Hệ cho tương đương với

2

3x y 5z 2yz x 5y z 2z x 9y 3z 2xz

   



     

    



3

13

Céng theo tõng vÕ (1), (2), (3) ta cã : 2z(x y 2z) 0 (*)

lVới z 0, thay vào hệ cho ta có :

lVíi x y 2z 0 hay x 2z y :

Thay vµo (1) ta cã z 4y 2yz 0

(2 z)2y z (4) Râ rµng z  2 không nghiệm (4), z 2, suy ; (5)

Thay x 2z y vµo (2) ta cã

z 6y 2z20 ; (6) Thay (5) vµo (6) ta cã

- Với z 0, ta có x y z 0 (như trên) - Với z  1, ta có - Với , ta có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (0 ; ; 0) ;

Nhận xét :1) Có tới 41 bạn giải sai, đa số bạn tìm nghiệm (0 ; ; 0) Nguyên nhân phép biến đổi khơng tương đương Ví dụ, hệ phương trình (1), (2), (3) khơng tương đương với hệ (1) (*) ; (2) (*) ; (3) v (*)

2) Các bạn có lời giải tèt : Ngun Ngäc H­ng, 8A3, THCS Chu M¹nh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Chu Thùy Linh, Thân Thị Thu, Ngun Minh Loan, 9E, THCS Th©n Nh©n Trung, ViƯt Yên, Bắc Giang ;

Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ; Trần Quang Sù,

9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Thùy Dung, 9C, THCS Nguyễn Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam ; Nguyễn Công Hoan, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Nguyễn Văn Tuấn, 8C, THCS Nguyễn Trọng Bình, Kì Anh ; Bùi Mai Thảo, 9C, THCS Yờn Trn, c Th, H Tnh

Trần Hữu Nam Bài 4(33)Cho tam giác ABC cân A Chứng minh số vô tỉ

Li gii(ca bn Vũ Thị Ngọc Thúy, 9D, THCS Tân Trào, Thanh Miện, Hi Dng) :

Kẻ phân giác BD (D AC)

Khi , suy ABD cân D BDC cân B AD BC BD Theo tính chất đường phân giác

ABC ta cã

AB AC AD BC nên

BA(BA BC) BC2

BA2BA.BC BC20

 

(v× BA 0) BC

BA BC 2

2

BA BA 1 0 BC BC

    

   

   

BA BC BC BA BC 

BA DA BA AD ; BC DC BC AC AD 

  o

1

B B 36



ABC BA BC

 o

A 36 

3 1

( ; ; 1) ; ( ; ; )

2 6

      x   y   z   x   y   2 z

z 2z z(2z 3z 1) z

1 z {0 ; 1; }

2              z 2y z  

3x y

x 5y x y z x 9y

              

3x y 5z 2yz (1) 2x 10y 2z 4z (2) x 9y 3z 2xz (3)

14

Giả sử t số hữu tỉ

là số hữu tỉ Do với p ; q * (p ; q) 1 5q2p2 Do p2chia hết cho p chia hết cho (1) Đặt p  5u với u   5q2  25u2

q25u2 Do q25 q 5 (2) Từ (1) (2) suy (p ; q) 5, mâu thuẫn với (p ; q)

Vậy số vô tỉ, suy đpcm

Nhận xét :1) Bạn Thúycòn chứng minh đề xuất toán : “Cho ABC cần A Chứng minh AB2BC2AC.BC 0”

2) C¸c bạn sau có lời giải tốt :

Nguyễn Văn Hiếu, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng; Nguyễn Thị Ngọc Mai, 9A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh; Hà Thị Thanh Huyền, 9A1, THCS Lâm Thao,

Phú Thọ; Trần Văn Hạnh, 9B, THCS Nghĩa An, Ninh Giang ; Nguyễn Văn Mạnh, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ;

Hoàng Minh Lập, 7E, THCS Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình; Phan Thành Luân, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Nguyễn Đức Công, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk

Nguyễn Văn Mạnh Bài 5(33) :Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy điểm C, D cho

(D khác B) ; Trên nửa đường tròn lại lấy điểm E (khác A B) CE cắt AD I Đường thẳng IO cắt BE K Chứng minh

Lời giải (của bạn Nguyễn Ngọc Long, 9A, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh):

Gi F điểm đối xứng D qua IK

Suy F (O) Ta cã

(góc có cạnh tương ứng vng góc) (1) Mặt khác tứ giác BDFE nội tiếp nên ta có (2)

Từ (1) (2) suy

Tứ giác IFEK néi tiÕp

 (3)

(vì D, F đối xứng với qua IK)

Chó ý r»ng tứ giác CDBE nội tiếp nên ta có (4)

Tõ (3) vµ (4) suy

Nhận xét :1) Đây tốn tương đối khó, có bạn tham gia giải

2) Có hai bạn giải sai tự ý coi : D E đối xứng với qua O

3) Các bạn sau có lời giải tốt :

Nguyễn Đình Quân, 9A, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Tây; Trần Thị Thu Hoài, 9C, THCS Tân Ninh, Quảng Ninh, Quảng Bình;

Trn Minh c, 7/2, THCS Lờ Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, Phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình

Ngun Minh Hµ

  

o o

o

IDK CDI 90 180 CDK 90 (®pcm)

   

 

  o

IDK CDB 180 

  o

IEK CDB 180 

  

IEK IFK IDK 

  o

FIK KEF 180 

  o

BDF BEF 180 

  

FIK DIK BDF 

 o

CDK 90

 

AC AD

 o

A 108

o

cos36

4

 

1



p

q



5 2t 1 

1

15

(Mục Thách đấu, TTT2 số 33)

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI LĂM

l Gọi A0, B0, C0 trung điểm

của cạnh BC, CA, AB Ta có B0C0 // BC, C0A0 // CA, A0B0 // AB, suy Từ giả thiết ta lại có CA2a0b CA, BA3 a0c BA Do A2 B0A, A  C0A3, B0A2  B0A0 ( ), C0A3C0A0( )

Từ suy B0A2A0, C0A0A3, AA2A3 tam giác cân (lần lượt B0, C0, A) đồng dạng với A0, A2, A3 thẳng hàng, thuộc đường phân giác

Ta có kết tương tự với điểm B0, B1, B3và điểm C0, C1, C2 Suy ba đường thẳng A2A3, B3B1, C1C2 đồng quy J tâm đường tròn nội tip

A0B0C0, tam giác trung bình ABC

l Dùng JD  BC (D BC) vµ JE  CA

(E  CA), suy JDCE lµ tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CJ ;

a > b > c   ; Ngoµi từ giả thiết, dễ thấy B0CE

và A0CD, suy DE A0E 

A0B0  AB (định lí đường vng đường xiên) Mặt khác, kẻ đường kính DF đường trịn đường kính CJ, ta chứng minh DE 

Suy

 (®pcm)

Nhận xét :1) Bạn Hồng Việt ánhnhận xét việc chứng minh ba đường thẳng A2A3, B3B1, C1C2đồng quy đơn giản Ta chứng minh ba đường thẳng ba đường phân giác A0B0C0

2) Yêu cầu toán khó bạn THCS Tuy nhiên thấy, để thực yêu cầu đòi hỏi vẽ thêm hai đoạn thẳng vng góc JD, JE sử dụng định lí đường vng đường xiên (để so sánh đoạn thẳng)

3) Bài có ba võ sĩ nhận thi đấu

Hoàng Việt ánh, 8A, THCS Thanh Cường, Thanh Hà, Hải Dương; Tập thể tổ 3, 9A3, THCS Tiên Minh, Tiên Lãng, Hải Phịng;

Ngun Phi Hïng, 10 To¸n, §HKH HuÕ,

Thừa Thiên - Huế Để chứng minh A2A3, B3B1, C1C2đồng quy, bạn Hùngphải sử dụng định lí Xê-va vào việc chứng minh ba điểm thẳng hàng ; để chứng minh bạn lớp 9A3, THCS Tiên Minh lại phải sử dụng công thức biến đổi lượng giác 4) Võ sĩ Hoàng Việt ánhxứng đáng đăng quang trận đấu lời giải bạn ánhchỉ cần đến kiến thức Hình học (tuy lời giải cịn dài địi hỏi vẽ thêm nhiều ng ph v hỡnh v hi ri)

Nguyễn Đăng PhÊt

AB JC 3

AB JC

3



AB JC 3

1

 o 

A 60 C

  

A B C 

0 0

B A C b c

2

  0 0 0 0

BC A A B C BAC

 o

DE JC sinC JC sin60 JC

16

BA KẺ TÌNH NGHI

Lần đó, thám tử Sê-Lốc-Cốc đến Việt Nam vào dịp Trung thu Ông thuê nhà nghỉ thị trấn yên tĩnh Đây lần đầu thám tử chứng kiến bạn nhỏ Việt Nam đón Tết Trung thu Ơng đặc biệt thích cảnh rước đèn múa lân Chiếc đầu lân nom thật đẹp Thám tử biết đầu lân có giá trị, có vài người muốn mua UBND thị trấn không cho phép bán Nó dùng lễ hội thị trấn ln cất giữ kho có bảo vệ

ấy mà, thật bất ngờ, tuần sau, đầu lân quý giá biến Sáng sớm hôm ấy, người gác kho hớt hải đến báo với cảnh sát Sự việc sau :

Tối hơm trước, người gác kho có uống chút rượu trước đến nhận ca gác đêm Anh ta ngồi ghế sô-pha xem ti vi ngủ thiếp mà quên chưa khóa cửa kho Lúc khoảng tối Đến gần giờ, tỉnh dậy, vội khóa cửa, tắt ti vi, tắt đèn ngủ tiếp Sáng hôm sau phát thấy đầu lân bị mất, lúc cửa kho khóa Điều chứng tỏ kẻ gian tay khoảng thời gian từ đến tối Cảnh sát điều tra tìm ba kẻ tình nghi Được biết thám tử Sê-Lốc-Cốc tài giỏi thị trấn, cảnh sát định mời ơng đến giúp để nhanh chóng xác định thủ phạm

Thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ đồng ý Vẫn lần, sau tìm hiểu tình hình qua cảnh sát, ơng đề nghị cho gặp kẻ tình nghi

- Các anh cho biết, tối hôm qua từ đến giờ, anh làm gì, đâu ?

Người thứ tên Tuân trả lời :

- Dạ thưa, lúc tơi chơi điện tử qn Nhưng không hiểu sao, lão chủ quán lại không nhớ mặt ? Nguyễn Xuân Quý

17

Tên trộm đặc biệt

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 33)

Nếu nhớ lão làm chứng cho Chắc qn rộng lúc đơng người q Tơi thật không may !

Người thứ hai tên Kiên khai :

- Lúc tơi cơng viên dạo mát, gần rưỡi Rất tiếc tơi khơng gặp quen để người ta xác nhận điều giúp tơi

Cuối kẻ tình nghi tên Dũng - Lúc tơi lên sân thượng nhà tơi uống rượu, ngắm trăng Vầng trăng lưỡi liềm thật đẹp ! Mãi đến trời nhiều mây, trăng bị che khuất, xuống ngủ

Nghe xong lời khai ba người, thám tử mỉm cười :

- Tôi biết người lấy đầu lân Tốt nhất, người thành thật !

Thế cịn thám tử “Tuổi Hồng” sao, bạn có đốn khơng ? Đố bạn biết, thám tử tài ba vào đâu để xác định xác kẻ gian ?

Có lẽ bạn tham gia dự thi lần biết Tiếng Anh nên tất có câu trả lời : Thám tử Sê-Lốc-Cốc tìm TAILOR người mà tên trộm muốn nói TAILOR có nghĩa thợ may Chỉ cần xếp lại tên thủ đô nước theo thứ tự tên nước ghi mảnh giấy, ý đến chữ tên thủ đô có từ TAILOR

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có tên sau : Nguyễn Thị Mai, mẹ Nguyễn Thị Nga, 291, tổ 12, P Nguyễn Trãi, TX Hà Giang, Hà Giang ; Nguyễn Anh Tuấn, 7B, THCS Hồng Quang, Hồng Quang, Ân Thi, Hưng Yên ;

Nguyễn Ngọc Phiên, 8B, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi; Phạm Nguyễn Liên Phương, 14/80 Lí Tự Trọng, P 7, TP Tuy Hịa, Phú Yên;

18

Lời giải thú vị cho một dạng bất đẳng thức

Khi học bất đẳng thức gặp hai toỏn sau :

Bài toán : Cho a, b, c  [0 ; 2] vµ a b c 3 Chøng minh r»ng :

a) a2b2c25 ; (1) b) a3b3c39 (2)

Bài toán : Cho a, b, c  [1 ; 3] vµ a b c 6 Chøng minh r»ng :

a) a2b2c214 ; (3) b) a3b3c336 (4)

Lời giải toán :

Giả sử a max {a ; b ; c}

Suy a b c   3a 1  a 

(a 1)(a 2) 0 (*) a) Ta cã a2b2c2a2(b c)2a2

(3 a)25 2(a 1)(a 2) 5 (theo (*)) Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Đẳng thức xảy chẳng hạn a  2, b 1, c 0

b) Bất đẳng thức (2) chứng minh tương tự bất ng thc (1)

Lời giải toán :

Đặt a x 1 ; b y 1 ; c z 1 Khi x, y, z [0 ; 2] x y z  3, áp dụng tốn 1ta có :

a) a2 b2 c2 (x  1)2  (y  1)2 

(z 1)2 x2 y2 z2 2(x  y  z) 

5 2.3 3 14

Bất đẳng thức (3) chứng minh b) a3 b3 c3 (x  1)3  (y  1)3 

(z 1)3 x3y3z3 3(x2y2z2) 

3(x y z) 3 9 3.5 3.3 3 36 Bất đẳng thức (4) chứng minh

lV× tình cờ gặp hai toán

tương tự nên nghĩ đến việc mở rng cỏc bi toỏn ny :

Bài toán : Cho a, b, c [0 ; 2m] vµ a b c 3m Chøng minh r»ng :

anbncnmn(2m)n

Trong : n số nguyên dương, m s thc dng cho trc

Bài toán :Cho a, b, c [p ; q] vµ a 

b c  (p q) Chøng minh r»ng :

Trong n số nguyên dương ; p, q số thực dương cho trước

lSau đề xuất tốn 3và tốn 4,

tơi thử chứng minh theo hướng chứng minh toán 1nhưng không thành công Tôi tiếp tục thử chứng minh quy nạp không đến kết mong đợi

Trao đổi bạn lớp, chứng minh hai toán này, sau :

Lời giải toán :

Do vai trò a, b, c nhau, không tính tổng quát, giả sử a b c

Xét P mn(2m)nanbncn

n

n n n n p q n

a b c p q

2



 

     

 

3

19

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI BẢY

(2m a)A (m b)B c.C

(2m a)A (a c 2m)B c.C

(2m a)(A B) c(B C),

trong A an1(2m)an2(2m)2an3

 (2m)n2a (2m)n1;

B bn1mbn2m2bn3 mn2b

mn1; C cn1

V× c b a 2m, suy A B C ; 2m a P Đẳng thức xảy chẳng hạn a 2m ; b m ; c

Bài toán 3được chứng minh

* Việc chứng minh toán tương tự toán Đề nghị bạn tự chứng minh, xem tập

lNgười thách đấu :Huỳnh Tấn Châu, THPT chuyên Lương Văn Chánh, tỉnh Phú Yên lBài toán thách đấu :Cho ba số dương a, b, c tha a b c

Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

lXt xø :S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu :Trước ngày 15 - 02 - 2006

2 2

S a b c

b c c a a b

     

  

Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư Thi giải toán qua thư

Hoàng Minh Lập, 7E, THCS Quang Trung, Kiến Xương, Thái Bình; Nguyễn Minh Loan, 9E, THCS Thân Nhân Trung, Bích Động, Việt Yên, Bắc Giang ; Vũ Thị Ngọc Thúy, 9D, THCS Tân Trào, Thanh Miện, Hải Dương; Nguyễn Ngọc Long, 9A, THCS Thuận Thành, Thuận Thành,Bắc Ninh ;Nguyễn Tuấn Anh, 8A, THCS Lý Tự Trọng, Hương Canh, Bình Xun,Vĩnh Phúc; Nguyễn Cơng Hoan, 8C, THCS Hồ Xn Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Trần Thị Thu Hoài, 9C, THCS Tân Ninh, Quảng Ninh,

20

CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐềU

Dạng toán chứng minh tam giác phổ biến kì thi Về phương pháp, để chứng minh tam giác tam giác đều, ta cần chứng minh điều kiện tương đương sau :

Tam giác có ba cạnh ;

Tam giác có ba góc ;

Tam giác có hai cạnh góc 60o;

Ngồi ra, q trình chứng minh cịn sử dụng đến phép tính góc ; phép chứng minh hai góc nhau, hai cnh bng

Các toán sau giúp bạn ôn luyện dạng toán kĩ liên quan

Bi toỏn : Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh AB thỏa mãn AD  AB Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC E Đường thẳng qua E vng góc với AC cắt BC F Chứng minh :

a) DF BC

b) DEF tam giác

Lêi gi¶i :Theo gi¶ thiÕt ta cã :

DA  AB  AC ; BD  AB  AC ;

Tam gi¸c ADE vuông D 60o nên AE 2DA AC

Suy CE AC  AC  AC AD

 ADE  CEF (g.c.g) FC AE BD

 AC BF AD CE  AC

 ba tam giác DAE ; ECF ; FBD đôi theo trường hợp c.g.c (xét

gãc )

 hay DF BC ;

DE EF FD hay DEF tam giác

Bài toán : Cho tam giác ABC có Các tia phân giác cắt AC AB D E Nối BD CE, cắt O Tia phân giác cắt BC F Chứng minh DEF tam giác

Lêi gi¶i :Ta cã

180o60o120o suy

(1) XÐt hai tam giác OBE ; OBF : có chung cạnh OB ; (gi¶ thiÕt) ;

nên hai tam giác theo trường hợp g.c.g

  o

EOB FOB 60 

 

EBO FBO

   o

EOF FOD DOE 120

         o o BOC 120

BOE BOF COF COD 60

 

    

    o

OBC OCB (B C) 60

   

  o 

B C 180  A

 BOC  C  B  o

A 60

 o

BFD 90

   o

A B C 60  

1 3 3  DAE 3 3

21

Suy OE OF

Tương tự ta chứng minh OF OD, suy OE OF OD (2) Từ (1) (2) suy tam giác OEF ; OFD ; ODE đôi theo trường hợp c.g.c DE EF FD hay DEF tam giác

Bài tốn : Cho hình thoi ABCD có Trên cạnh AB, BC lấy điểm M, N cho BM BN độ dài cạnh hình thoi Chứng minh MDN tam giác

Lêi gi¶i : Tõ gi¶ thiết, ta dễ dàng có kết sau : AD BD ; AM BN ;

Suy MAD  NBD (c.g.c) DM DN

vµ

60o Vậy MDN có DM DN ; , tam giác

Bài toán : Cho tam giác ABC có trung tuyến AD, BE thỏa mãn điều kiện Chứng minh ABC tam giác

Lời giải : ADC đồng dạng với BEC (g.g), suy

CB CA (1)

CA 2CD Mặt khác , suy (2) Từ (1) (2) suy ABC tam giác

(Các bạn chứng minh (2) cách vẽ hai đường tròn (C, CE) (E, EA) cắt D, suy D D )

Bài tốn : Cho tam giác ABC có Dựng phía ngồi tam giác, tam giác ABD ACE Dựng hình bình hành ADFE Chứng minh FBC tam giác

Lêi gi¶i :

ABD ACE tam giác nên ; ADFE hình bình hành nên , EF DA DB ; DF

AE EC Suy EFC  DBF (c.g.c)

( )

(Xem tiÕp trang 25)

     

BDF BDA ADF AEC AEF CEF    

 

ADF AEF

  o

ADB AEC 60 

 o

A 60

  o C 60

 o

C 60

 o

DAC 30

1 CB CA CD 2 CB

1

CB CE CA CA

  

  o

CAD CBE 30 

 o

MDN 60

     

MDN MDB BDN MDB MDA BDA    

 

MDA NDB

   o

CBD BDA BAD 60   

 o

22

KẾT QUẢ KÌ THỨ MƯỜI MỘT (TTT2 sè 33)

Bµi Lời giải toán dài phức tạp, xin đưa vào dịp khác Sau lời giải toán tìm hai chữ số tËn cïng cđa sè

KÝ hiƯu

Khi 2và 2là hai nghiệm phương trình x2100x 64 0 nên snx1nx2n thỏa mãn : s0x10x202 ; s1x11x21

100 ; sn100sn164sn20

Suy snlà số nguyên vµ sn100sn1

64sn2100sn1100sn236sn2

sn36sn2(mod 100) sn 62sn2

64sn4 61002sn1002(mod 100)

s100261002s02.21002.31002(mod 100)

V× 222  4194304  (mod 100) vµ 3203486784401 1 (mod 100) nên s1002(222)45.213.(320)50.32(4)45.213.32 (22)45.213.32(222)4.22.213.3244.215.32 223.32(222).2.328.3272 (mod 100) Vì nên [2004] 

[x11002] [s1002x21002] [s1002 2004] 

[s1002] 1  s10021 71 (mod 100) hay sè kÕt thóc bëi số 71

Bài 2.2.1.Quy trình tính máy Casio fx570MS : 14

18SHIFT STO C ;

( ) B STO

SHIFT A

STO SHIFT

2004

[( 29 21) ]

29 21 0,80

    

29 21 ; 29 21

     

2004

[( 29 21) ]

Cuộc thi giải tốn máy tính điện tử Casio năm 2005 kết thúc Danh sách cá nhân, đồng đội đạt giải năm 2005 công bố TTT2 số 36 Để đáp ứng nguyện vọng bạn yêu thích chuyên mục ; bạn tham gia kì thi Giải tốn máy tính điện tử Casio Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức, TTT2 tiếp tục giới thiệu số tạp chí tốn để bạn thử tài Tạp chí chấm bài, trao giải thưởng hàng tháng chuyên mục khác

Bài :Tìm đa thức f(x) có tất hệ số số nguyên không âm nhỏ thỏa mãn f(8) 2003

Lương Công Hảo (THPT số 1, Sơn Tịnh, Quảng Ngãi) Bài :Tính xác giá trị biểu thức A Casio fx-500MS fx-500A :

Trần Xn Uy(13 Hồng Ngân, Nam Định) Bài :Tìm số tự nhiên n (20349 n 47238) để 4789655 27n lập phương số tự nhiên

Dương Chiến Thắng (THCS Lập Thạch, Lập Thạch, Vĩnh Phúc)

1 1 1 1

A

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

       

l Kì :

23 ; 7

7 ;

Bấm liên tục phím ta giá trị từ u1đến u20là : ; 14 ; 18 ; 98 ; 210 ; ; 3487832978

2.2.Đáp số :un1 2n(3)n

(hãy tham khảo cách giải “Một số dạng toán thi học sinh giỏi giải toán máy tính điện tử” - NXBGD 2004 - Tạ Duy Phượng Phạm Thị Hồng Lý)

2.3.Với p nguyên tố, ta có 2p2 (mod p) ; (3)p 3 (mod p) (định lí nhỏ Phécma)

VËy up(1 2p(3)p) (1 2 3) 0 (mod p) hay upchia hÕt cho p

Bài 3.Giả sử m3(k 1)2(k 2)2

(k m)2mk2m(m 1)k 

Suy k nghiệm phương trình :

VËy víi

Để tìm k, ta phải giải phương trình Pell suy rộng t233m23

Phương trình có nghiệm (t0, m0) (6, 1) ; (tn1, mn1) (23tn132mn, 23mn4tn) Từ tính :

m147 (473222 682) ;

m22161 (216139892 31492) ; m399359 ; m44568353 ;

Bài Vì 420

BCNN(2, 3, 4, 5, 6, 7) nªn n  420 tháa m·n : n chia hÕt cho mäi sè

Gi¶ sö n > 420 chia hÕt cho mäi VËy n BCNN(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 840 vµ Khi Êy n chia hÕt cho BCNN(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 2520 vµ n

2520 Vậy Giả sử m số nguyên dương lớn nhỏ , tức Khi m 13 n chia hết cho BCNN(1, 2, 3, , m) Nhưng BCNN(m 3, m 2, m 1, m) tối thiểu phải có ước chung bốn số m 3, m 2, m 1, m

Suy hay

, vô lí

Đáp số :420

Bài Đáp số :

Nhận xét :Đề thi kì khó, có bạn tham gia giải Các bạn giải kì : Hoàng Minh Thắng, 9C, THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An; Vũ Quang Sao, 9E, THCS Thị trấn Hưng Nhân, Hưng Hà,

Thái Bình ; Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn ; Đào Thanh Tùng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình,

Bc Ninh ; Vũ Bá Hùng, nhà 114, khu 4, phường Xuân Hòa, TX Phúc Yên ; Nguyễn Văn Huy, 11A1 ; Nguyễn Thị Huế, 10A1 ;

Ng« TuÊn Anh, 10A10, THPT Xuân Hòa, TX Phúc Yên ; Ngô Thị Lệ H»ng, 10A9, THPT chuyªn VÜnh Phóc, VÜnh Phóc

TS Tạ Duy Phượng n n n u u u     26 12 13 55  

2

m 6(1 )(1 )(1 ) m m m

    

  

3

(m 3)(m 2)(m 1)m n (m 1)

     

(m 3)(m 2)(m 1)m

  

3

m n m 1 

3n 3n32520 13

3n3840 9,4 9 

3

k n

3

k n

3

7 420 7,49 8 

2

t 33m 3

1 t

k (m 1)

2

   

2 (m 1)(2m 1)

k (m 1)k m

6

 

    

24

Trong kì thi Olympic Tốn Quốc tế lần thứ 42 (năm 2001) tổ chức Mỹ, có tốn sau, Bun-ga-ri đề nghị :

Bµi toán :Cho số nguyên a, b, c, d cho a > b > c > d > vµ ac bd 

(b d a c)(b d a c) Chøng minh r»ng : ab cd kh«ng phải số nguyên tố

lSau lời giải toán

Lời giải :Giả sử ab cd p, số nguyên tố (1)

Từ giả thiết, rút gọn ta :

b2d2bd a2c2ac (2) Ta l¹i cã ab cd p suy a 

b4  b2d2  b3d  p2  2pcd  c2d2 

b2c2pbc bc2d

b4b2d2b3d b2c2c2d2bc2d 

p22pcd pbc

(b2c2)(b2d2bd) p(p 2cd bc) chia hÕt cho p ;

V× < b2c2< b2< ab cd p suy b2c2kh«ng chia hÕt cho p

b2d2bd chia hÕt cho p ;

V× 2(ab cd) ab ab 2cd > b2bd d2

b2bd d2< 2p

b2bd d2p (3) Tõ (1) ; (2) ; (3) suy :

a2ac c2b2bd d2ab cd p Từ ta có :

b2bd d2ab cd (b d a)b 

d(c d) > b d > a ab ad > a2

ab > a2ad ab cd > a2ad cd

a2ac c2> a2cd ad c2cd 

ad ac > (c a)(c d) >

Đây điều vô lí a > b > c > d Vậy giả sử sai hay ab cd số nguyên tố (điều phải chứng minh)

lBài toán có mở rộng bÊt

ngờ”, tốn sau :

Bài toán :Cho số nguyên a, b, c, d cho a > b > c > d > vµ ac bd chia hÕt cho b d a  c Chøng minh r»ng : ab cd kh«ng phải số nguyên tố

Li gii :Kớ hiu (x, y) ước chung lớn hai số ngun dương x ; y

Gi¶ sư ab cd số nguyên tố, ta có : ab cd (a d)c (b c)a

m(a d, b c) m số nguyên dương

Nếu m 1, (a d, b c) ab cd > ab cd (a b c d) (a d)(c 1)

(b c)(a 1) (a d, b c), v« lÝ Suy (a d, b c) 1

V× ac bd chia hÕt cho b d a c nªn

2

2 p cd p cd

b d bd c c

b b

 

   

        

   

p cd b



25

tồn số nguyên dương k để ac  bd

k(b d a c) ;

Mặt khác, ac bd (a d)b (b c)a suy :

(a d)b (b c)a (a d)k (b c)k

(a d)(b k) (b c)(a k)

Vì (a  d, b  c)  nên tồn số nguyên dương h cho a  k h(a d) b k h(b c), suy :

a b h(a b d c) + NÕu h 1 th× c d, vô lí

+ Nếu h a b 2(a b d c), suy 2c a b 2d > 2c, vô lí

Vậy giả sử sai hay ab cd số nguyªn tè

lCác kết đúng, lời

giải chúng xin dành cho bạn đọc

Bài toán :Cho số nguyên a, b, c, d cho a > b > c > d > vµ ac bd 

(b d a c)(b d a c)

Chøng minh r»ng : ad bc hợp số

Bài toán :Cho số nguyên a, b, c, d cho a > b > c > d > vµ ac bd chia hÕt cho b d a c

Chøng minh : ad bc hợp số

Bài toán :Cho số nguyên a, b, c, d cho a > b > c > d > vµ a2ac 

c2b2bd d2

Chøng minh : ab cd hợp số

FB FC ; (1) Ta cã :

(2) Từ (1) (2) suy BFC tam giác Các bạn tham khảo 4(14) ; toán Thách đấu thứ tư TTT2 làm thêm tập sau :

Bài :Chứng minh tam giác có ba đường cao ba đường trung tuyến tam giác tam giác

Bài : Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm đoạn thẳng Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, dựng tam giác ACD BCE Gọi M, N trung điểm AE BD Chứng minh : CMN tam giác

Bài : Cho tam giác ABC vuông A Trên AC, AB xác định điểm D,

E cho vµ

Gọi F giao điểm BD CE ; I giao điểm tia phân giác tam giác BFC Chứng minh : DEI tam giác

Bài : Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi hai tam giác ABE, ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABE Trên tia đối tia IH, lấy điểm K cho IH IK Chứng minh :

a) Hai tam giác AHF, CKF b) KHF tam giác

Bài :Cho tam giác AOB Trên tia đối tia OA, OB lấy hai điểm C, D cho OC OD Từ B kẻ BM vng góc với AC, từ C kẻ CN vng góc với BD Gọi P trung điểm BC Chứng minh :

a) COD tam giác b) AD BC

c) MNP tam giác

 1

ACE ACB



 1

ABD ABC



  o

BFC CEA 60

  

    

   

   

o

DFE AEF EFC FCE CEF ( 180 ) DFB BFC CFE AEF

EFC FCE CEA AEF

    

    

   

 

DFB FCE

26 KÕt qu¶

(TTT2 sè 33)

- Giải đặc biệt :Số máy 0912026443 - Giải khuyến khích :

1 Sè m¸y 0983923197; Sè m¸y 0912021696; Sè m¸y 0915526913

Đề nghị bạn trúng thưởng nhắn tin từ số máy số máy 0903436757

với nội dung : “họ tên địa đầy đủ bạn”để Tạp chí kịp thi trao phn thng

1 Đo trí thông minh

Bài :Bạn tìm hình số hình A, B, C, D hình dãy bốn hình, đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B1 tên hìnhrồi gửi đến số 986

Ví dụ : Nếu bạn thấy hình A hình đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn

3T2 IQ B1 Agửi đến số 986

Bài : Tương tự 1, bạn soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B2 tên hìnhrồi gửi đến 986

Ví dụ : Nếu bạn thấy hình A hình đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn

3T2 IQ B2 A gửi đến số 986

2 Ph¸ ¸n cïng thám tử Sê-Lốc-Cốc

Bn hóy chn mt ba phương án sau soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 PA đáp ánrồi gửi đến số 986

A : Anh Tuân ; B : Anh Kiên ; C : Anh Dịng

Ví dụ : Nếu bạn chọn “anh Tuân” soạn tin nhắn 3T2 PA Agi n s 986

3 Không văn

Bạn tìm từ thích hợp để sửa lại câu thơ sau cho chuẩn : “Chó xồm lơng xám nhiều người thích ni” soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 V đáp ánrồi gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “mực” soạn tin nhắn 3T2 V MUCgửi đến số

986

4 Vào thăm vườn Anh

Bạn tìm từ cột bên trái soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 VA đáp ánvà gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “parrot” soạn tin nhắn 3T2 VA PARROT

gửi đến số 986

5 Rừng Cười

Hãy giải đáp câu “Đại đất rộng mênh mông ?”bằng cách soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 RC đáp ánrồi gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “dương” soạn tin 3T2 RC DUONG gửi đến số 986

nhiều xe quá !

l Kì :

27

lKÕt qu¶ : l l l l l l l l Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :Kì :

(TTT2 sè 33)

Chó đốm lơng xù bơng Chó săn âm phủ trị hồn ác nhân

Chã mùc xin chí cã gÇn

Chó ngao quen sống bầy đàn rừng hoang Chó đá khơng chủ lang thang

Chã sứ theo lệnh hăng đuổi mồi Chó vện diễn trß tut vêi

Chó xồm lơng xám nhiều người thích ni Chó dại vơ tri suốt đời

Chó biển chủ vui chơi hiền Chó cảnh màu lơng đen tuyền Chó hoang lơng trắng đốm đen xen vào

Chó bơng chạm mạnh ngã nhào Chó nhà trẻ nhỏ xếp vào đồ chơi

Chó sói quyến luyến người ni Chó xiếc giỏi lặn bơi kiếm mồi

Mai Đình Phẩm (45 Tân Lâm, ýYên, Nam Định) “Nhiều xe !” sửa

nếu em biết rõ công loại xe Bạn VVD (Hải Dương) viết : “Xe lu động sớm hơm sẵn sàng” sai xe lu (xe lăn đường) có bánh to kim loại, nặng, dùng để nén đất, đá, rải đường cho phẳng khơng thể “cơ động” Hoặc PTTH (Việt Trì) viết “Xe ngựa để chở phạm nhân” sai phạm nhân mà chở xe ngựa (xe ngựa kéo) có thời để chạy Nhiều xe q ! sửa :

Xe đạp em tới trường

Xe máynhộn nhp ph phng lng quờ

Xe luchậm chạp nặng nÒ

Xe tangđưa tiễn người cõi âm

Xe lam chở khách đường gần

Xe cápđưa khách lâng lâng cao vời

Xe nôitrẻ thích nằm chơi

Xe ca chở khách nơi chuyên cần

Xe hịmđể chở phạm nhân

Xe bß phơc vơ nông dân tháng ngày

Xe lửachạy ray

Xe cẩungất nghểu cánh tay vươn dài

Xe thồgiải phóng đơi vai

Xe hoađưa đón gái trai duyờn lnh

Xe buýtchạy nội ngoại thành

Xe nângbốc dỡ hàng nhanh nhẹ nhàng

Xe ủisan lấp mỈt b»ng

Xe técdùng để chở xăng chở dầu

Xe th­b­u kiƯn chun mau

Xe qttr©u kÐo rừng sâu lối mòn

Xe ngựamiền núi

Xe ômcơ động sớm hôm sẵn sàng Năm bạn trao giải kì : Ngơ Ngọc Khánh Huyền, 6C, THCS Trần Quốc

Chào năm Tuất đến gần Bài thơ chó tồn phần tả sai

Bạn trẻ xin trổ tài

Sửa cho thơ ngon !

To¶n, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Nguyễn Chính Nghĩa, 9A, THCS Vĩnh Lại, Vĩnh Lại, Lâm Thao, Phú Thọ ; Hà Thị Thanh Thủy, mẹ Trần Thị Mỹ Vân, Luộc 4, VÜnh Léc, Chiªm Hãa, Tuyªn Quang; Ngun Linh Chi, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Trần Anh Tuấn,7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

28

Chú Khoa ơi, có biết cháu hâm mộ khơng ? Cháu thấy trả lời thư bạn báo thật hay, hôm cháu định viết thư bày tỏ tình cảm mình, đồng thời cháu muốn giải đáp câu hỏi cháu Chú đừng chê cháu tham nha !

Cháu thấy nhà thơ trung đại, có thơ vợ Nguyễn Bỉnh Khiêm với “Thơ vịnh đạo vợ chồng” (Phu phụ thi), “Thơ khuyên chồng vợ” Ngơ Thì Sĩ có “Kh lục”, đặc biệt nhà thơ Tú Xương có chùm “Thương vợ”, “Đang ốm nghe vợ khấn cầu”, “Văn tế sống vợ” Cháu thấy nhà thơ tiếng, viết thơ tặng vợ chưa ?

Trương Thị Hải Yến (Mẹ Trịnh Thị Mười, giáo viên THCS xã Thanh Giang, Thanh Min, Hi Dng)

Trần Đăng Khoa :

Chú cảm ơn cháu quan tâm đến Chú mừng thấy cháu yêu văn học, đặc biệt yêu thơ, nhà nghiên cứu, cháu khảo sát mảng thơ đặc biệt : Mảng thơ viết vợ nhà thơ thời trung đại

Quả văn học Việt Nam, có nhiều tác phẩm đặc sắc viết vợ Sau này, nhiều nhà thơ đương đại viết vợ hay Đặc biệt cụ Tú Mỡ có “Khóc người vợ hiền” Bài thơ vừa thương cảm, vừa tinh tế, lại hóm hỉnh, chất cụ Tú Đó thơ đặc sắc đời thơ Tú Mỡ Với thơ chùm thơ viết cho cháu, xếp cụ Tú nhà thơ trữ tình xuất sắc Hóa ơng cụ nhà thơ trữ tình Cịn mảng trào phúng sản phẩm phụ

Cũng nhiều thi sĩ khác, quan tâm đến mảng thơ sáng tác gia đình Chú viết nhiều thơ bố, mẹ, anh chị, em gái Chú có thơ viết tặng mẹ vợ, vợ khơng tặng thơ Gia đình hạnh phúc, tất gia đình yên ấm khác Vợ thích đọc sách, chủ yếu sách nước ngồi, đặc biệt chuyện chưởng Kim Dung Harry Potter Vợ khơng u thơ lắm, chí cịn sợ thơ, sợ nhà thơ, thấy họ chập chập hâm hâm Chỉ có lần hỏi : “Hình anh có sách hấp dẫn phải khơng ? Cho em đọc với !” Chú chọn sách tái nhiều đưa cho cô hồi hộp, lần vợ đọc sách Nhưng lúc sau, có tiếng thở đều Chú dừng bàn tính, quay lại thấy nàng úp sách lên mặt, che cho khỏi chói mắt ánh điện, ngủ ngon lành Cơ sung sướng có giấc ngủ thật ngon Chú sung sướng sách có tác dụng làm cho

29

l KÕt qu¶ :

Ơ chữ NHÀ TRNG(TTT2 số 33)

l Kì : Chim Vườn Anh

“Tuổi thơ ngày hai buổi đến trường” Thế nên Nhà Trường nơi thân thương Ô chữ chủ đề Nhà Trường Vườn Anh kì thu hút đơng bạn tham gia Đa số bạn có đáp án hàng ngang khái niệm thân thuộc : phấn trắng ; thầy, cô giáo ; mơn Văn ; học sinh ; thời khóa biểu ; mơn Tốn ; lớp học ; bục giảng ; chơi ; thư viện

Từ hàng dọc : HEADMASTER -Thầy hiệu trưởng

Ô chữ đáp án hình bên Chúc mừng năm bạn xuất sắc nhận q Chủ Vườn :

Ph¹m KiỊu Linh, 6A1, THCS bán công Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên,

Vĩnh Phúc ; Vũ Văn Duy, 10A8,

THPT bán công Thanh Hà, Hải Dương; Lương Xuân Huy, 9A, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ, Hưng Yên ; Lê Thị Thanh Hoa, 7B, THCS bán công Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Khánh Linh, 8A, THCS Trọng Điểm Hạ Long,

Qu¶ng Ninh

Chủ Vườn

Mn lồi chim bay Vườn Anh đón Xn Bạn tìm 13 lồi chim “khu vườn” không ?

30

(TTT2 sè 33)

lKÕt qu¶ :

Đại ?

l Kì :

Đại tên nước thời ?

Đại gặp gỡ người giỏi giang ? Đại hiệu ln bỏn hng ?

Đại cách học vội vàng nên ? Đại vang dội trăm miền ? Đại nhân loại sống toàn cầu ?

Đại lớn sống lâu ?

i tài giỏi đứng đầu tồn qn ? Đại đại diện nhân dân ? Đại việc lớn trăm ngàn người lo ?

Đại tốn pháp thời xưa ? Đại đo đếm đủ vừa khơng sai ?

Đại đường phố rộng dài ?

Đại thống trị muôn loài không ?

Đại lây bệnh cộng đồng ? Đại vũ khớ tn cụng k thự ?

Thân Ngọc Thành (Non Dài, Quang Tiến, Tân Yên, Bắc Giang)

Con voi to nhÊt nói rõng Con ve gäi h¹ vang lừng

Con trốo gii hút hay Con vạc mò cá, mỏ dài chân cao

Con vét hút máu, đốt đau

Con vọp xem vỏ tưởng ngao họ hàng Con vịt bơi với chân màng

Con vẹm biển giống trai Con voọc giống khỉ dài

Con vẹt học nói hay tiếng người Con vờ vội lìa đời

Con vÝch bß chËm rêi biĨn xanh Con vắt hút máu, bám nhanh Khen cho thiên hạ rµnh tõng

Bảng vàng ghi tên son Thưởng cho năm vị giải ngon kì

Ban thưởng : Vũ Hoàng Phương, 335 khu phố Trần Hưng Đạo, Sao Đỏ, Chí Linh, Hải Dương ; Hồng Thành Công, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên,

Vĩnh Phúc ; Hoàng Hằng Nga, mẹ Võ Thị Thu NguyÖt, khu TT Cty CP XD & thiÕt kÕ cầu đường, 65 Phan Bội Châu, Vinh,

Ngh An ; Bùi Mỹ Linh, 7C, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Nguyễn Phương Thảo A, 7A2, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh

Vua TÕu Con voi to nhÊt nói rõng

Ban thưởng :

khu phố Trần Hưng Đạo, Sao Đỏ, Chí Linh,

Hỏi : Tuy gái em lại thích chơi trị chơi hoạt động mạnh, mơn bóng đá Anh thấy có kì khơng ? Bọn bạn em nói “kì cục” Anh giải thích giùm em với bạn khơng ?

Khỉ Con (9C, THCS Trung Lương, TX Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh) Đáp :

Theo anh th× rÊt Đâu phải kì cục ! Lo

em ¬i ! Mong “KhØ con” cø viƯc ch¬i Mai vào Đội tuyển rạng ngời

quốc gia ! Hỏi :Mỗi lần hỏi em thấy tiếc giấy Em viết câu hỏi vào tờ giấy con không ?

Em gái (THCS Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp :

Anh thích nhận giấy to Giấy nhiều anh bị chật kho mà Khen em tâm thật Giấy con đậm đà

chứ ! Hỏi : Đã năm học với mà em với khơng hỏi han, khơng trị chuyện, khơng cười, khơng

nhìn, khơng nói với Mai hết lớp 9, người nơi biết làm ? Anh “kết nối” không ? Cảm tạ nhiều !

Phạm Xuân Tiến (9B, THCS Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang) Đáp : (thay lời cô ấy)

Khơng cười, khơng nói, khơng nhìn Làm anh biết “mìn”

cịn ? Lại nhờ Phó Gỡ xây Anh ! Như trước li hay

hơn nhiều ! Hỏi : Làm biết bạn thích em ?

Voi (7A, THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc) Đáp :

Voi xưa Bản Đôn Giờ Lập Thạch lớn kh«n

từng ? Lớp bảy mà dạt Đến lớp chín trượt nhào

thì nguy ! Hỏi : Tại khơng có Tốn Tuổi thơ dành cho THPT mà lại dừng THCS ? Anh phải trả lời !

Nguyễn K Vin (11A12, THPT Chớ Linh, Hi Dng)

Đáp :

Nếu lên Toán Tuổi thơ Chắc chắn bị người ta

kiƯn liỊn Ti th¬ đâu phải niên Đọc Toán Tuổi trẻ

nghiền hộ anh ! Hỏi : Bình thường em nhút nhát, gửi cho TTT em lại dũng cảm (dù sai hay đúng) Tại lại hở anh ?

Ph¹m KiỊu Linh (6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc)

Đáp :

Nhỳt nhỏt vỡ s mi ngi Dng cm vỡ quyt vo chi

chỗ Mong em cộng tác

hăng say Cái tính nhút nhát

có ngày ! Anh phó gỡ

32

1(35) :Given two 2005-digit numbers of the form x 99 9, and y88 8, compare the sum of digits of the product xyand that of digits of x2

2(35) :Find all asuch that the following system of equations has a unique solution

4xy2x2y4z2(xy) 4a3,

x2y2z2xya

3(35) :Suppose that , find the

value of the expression

4(35) :Given a non-isosceles triangle ABC, let the medians issuing from A, B, and C intersect the circumscribed circle of the triangle at M, N, and P Prove that if MNMP, then 2a2 b2c2, where a BC, b CA, and c AB

5(35) :Let ABCbe a triangle with AB< AC Points M, Nare chosen respectively on AB and ACso that BM  CN, and BM

meets CNat O A straight line through O, parallel to the internal angle bisector of BAC, intersects lines AB and AC at X, Y

respectively Prove that BXCA, and CYBA

2 1 1.

   

M x y y x

2 1 1 1

      

  

x x y y 

Bµi (35) :BiÕt r»ng x y số tự nhiên có 2005 chữ số Số x viết chữ số số y viết chữ số HÃy so sánh tổng chữ số tích xy tổng chữ số x2

Lê Nh­ ThiƯn (C§SP Gia Lai)

Bài (35) :Hãy xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm :

hoàng hải dương (THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên)

2

2 2

4xy 2x 2y 4z (x y) 4a x y z x y a

      

 

    



Bµi (35) :Cho Tính

nguyễn khánh nguyên (THCS Hồng Bàng, Hải Phòng)

2

M x y  1 y x 1

2

x x y y 1

      

  

  

Bài (35) :Cho tam giác ABC, AB < AC Các điểm M, N thuộc cạnh AB, AC cho BM CN Gọi giao điểm BN CM O Đường thẳng qua O, song song vi phõn giỏc ca

cắt đường thẳng AB, AC theo thø tù t¹i X, Y

Chøng minh r»ng : BX  CA ; CY BA

TS nguyễn minh hà (ĐHSP Hà Nội)

BAC

Bài (35) :Các đường trung tuyến tam giác không cân ABC kẻ từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác điểm M, N, P Chứng minh : Nếu MN MP ta có BC a, CA b, AB C

nguyễn văn mạnh(Hà Nội)

2

2 b c

a ,

2

 