Để tìm ƯCLN của 2 hay nhiều số ta làm như sau: B1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.. B2: Lấy tích các thừa số nguyên tố chung, với số mũ nhỏ nhất..[r]
(1) Sưu tầm
GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP
(2)Buổi 1: CHỮ SỐ - QUY LUẬT DÃY SỐ THỨ TỰ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH I Lý thuyết:
1 Dạng tốn tìm chữ số: Xét số abc với a, b, c∈N < a ≤9; 0≤b,c≤9 Khi
đó: abc = a.100 + b.10 + c
abc = a.100 + bc abc = ab.10 + c
2 Dạng toán quy luật dãy số:
+ Cách tính số số hạng dãy số tăng dần:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : khoảng cách + + Cách tính số số hạng dãy số giảm dần:
Số số hạng = (số đầu – số cuối) : khoảng cách + + Tính tổng số hạng dãy số:
Tổng = (số đầu + số cuối).số số hạng:2 3 Thứ tự thực phép tính:
+ Mình cộng trừ nhân chia => trái sang phải + Lũy thừa => Nhân chia => Cộng trừ
+ (…) => […] => {…} II Bài tập:
Bài 1: Tính tổng số lẻ từ đến 999 Hướng dẫn:
Số số hạng dãy là: (999 – 1) : + = 500(số hạng) Số cặp là: 500:2 = 250 (cặp)
Giá trị cặp là: (999 + 1) = 1000 Tổng dãy số là: 250.1000 = 250 000
(Hoặc: Tổng = (1+999).500:2 = 250000)
Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết viết chữ số xen chữ số số số có chữ số gấp lần số có chữ số ban đầu
(3)Gọi số tự nhiên có hai chữ số ab, với a, b∈N < a ≤9; 0≤b≤9
Ta có: ab.9 = a0b 9.(10a + b) = 100.a + b 90.a + 9.b = 100.a + b 10.a = 8.b
5.a = 4.b
Vì a b số có chữ số, nên a = 5; b = Bài 3: Tính
a + + + 15 + 23 + … + 160 b + + + + 14 + … + 60 + 97 c 78.31 + 78.24 + 78.17 + 22.72 Hướng dẫn:
a + + + 15 + 23 + … + 160
= (1 + 7) + + (15 + 23) + 38 + (61 + 99) + 160 = + + 38 + 38 + 160 + 160
= (8 + 38 + 160).2 = 206.2
= 412
b + + + + 14 + … + 60 + 97
= (1 + 4) + + (9 + 14) + 23 + (37 + 60) + 97 = + + 23 + 23 + 97 + 97
= (5 + 23 + 97).2 = 125.2
= 250
c 78.31 + 78.24 + 78.17 + 22.72 = 78.(31 + 24 + 17) + 22.72 = 78.72 + 22.72
(4)Bài 4: Tính giá trị biểu thức cách hợp lí:
a A = 100 + 98 + 96 + 94 + …+ – 97 – 95 – 93 - … - – b B = + – – + + - … - 299 – 300 + 301 + 302 Hướng dẫn:
a A = 100 + 98 + 96 + 94 + …+ – 97 – 95 – 93 - … - – = 100 + (98 – 97) + (96 – 95) + (94 – 93) + …+ (4 – 3) + (2 – 1) = 100 +
1 49
1 1
sô
+ + + = 100 + 49 = 149
b B = + – – + + - … - 299 – 300 + 301 + 302
= + (2 – – + 5) + (6 – – + 9) + … + (298 – 299 – 300 + 301)+302 = + + + … + + 302
= 303
Bài 5: Điền chữ số thích hợp vào chữ, để phép tính đúng:
1ab+ 36 = ab1
Hướng dẫn:
Ta có: 1ab+ 36 = ab1
100 + ab + 36 = ab.10 + 136 + ab = 10 ab+
135 + ab = 10 ab
135 = ab
ab = 15 Vậy a = 1; b = Bài tập nhà:
Bài 1: Điền chữ số thích hợp vào chữ, để phép tính đúng: abc + acc + dbc = bcc
Bài 2: Cho ba chữ số a, b, c với < a < b < c
(5)b Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488 Tìm tổng chữ số: a + b +c
Bài 3: Chia số tự nhiên từ đến 100 thành hai lớp: Lớp số chẵn lớp số lẻ Hỏi lớp có tổng chữ số lớn lớn bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Bài 1: Ta có: abc + acc + dbc = bcc
Ta viết lại: abc
+ acc
dbc
bcc
Ta thấy, c = c =
* Nếu c = + + = 15 (Viết nhớ 1)
Lại có b + b + c + = 2b + c + = 2b + + = 2b + cho ta tận 5, vơ lí 2b + chẵn
* Vậy c = Khi ta có:
ab0
+ a00
db0
b00
Ta có: b = (Vì b phải khác 0) Khi đó:
a50
+ a00
d50
500
=> a + a + d + = 2a + d + = => a = 1; d = Vậy a = 1; b = 5; c = 0; d =
Bài 2: a Tập hợp A = {abc; acb; bac; bca; cba; cab}
b Ta có, hai số nhỏ tập hợp A abc acb
Theo ta có: abc + acb = 488
(6)Ta có: 2bc + 2cb = 488
200 + 10.b + c + 200 + 10.c + b = 488 400 + 11.b + 11.c = 488
11.(b + c) = 88 b + c =
Vậy a + b + c = + = 10 Bài 3: Ta liệt kê:
Lớp số lẻ …… 95 97 99
Lớp số chẵn 2 4 6 8 …… 94 96 98 100
Nhìn vào bảng liệt kê ta thấy, tổng chữ số số lẻ tổng chữ số số chẵn tương ứng Trong cặp cuối cùng, tổng chữ số số số 100 nhau, nên ta có 49 cặp đơn vị
Vậy tổng chữ số số lẻ, tổng chữ số số chẵn 1.49 = 49
(7)DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2; 3; 5;
I.Lí thuyết:
1 Tính chất chia hết tổng:
1.1. Nếu a ⋮ m b ⋮ m (a + b) ⋮ m (a – b) ⋮ m 1.2 Nếu (a + b) ⋮ m a ⋮ m b ⋮ m
1.3 Nếu a ⋮m b /m (a + b) /m 1.4.Nếu a ⋮ m (n.a) ⋮ m
2 Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9:
2.1 Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận chữ số chẵn chia hết cho số chia hết cho
2.2 Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận chia hết cho số chia hết cho
2.3 Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng chữ số số chia hết cho số chia hết cho
- Một số tự nhiên chia cho có dư số k, tổng chữ số chia cho có số dư k
2.4 Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng chữ số số chia hết cho số chia hết cho
- Một số chia hết cho chia hết cho 3, ngược lại khơng kết luận chia hết cho
II Bài tập: Bài 1:
a Tìm chữ số tự nhiên x biết: 2346 + x chia hết cho
b Tìm số tự nhiên x biết x có chữ số 1008 + x chia hết cho Hướng dẫn:
a Vì + + + = 15 ⋮ nên 2346 ⋮ Mà (2346 + x) ⋮3 nên x⋮3 x chữ số tự nhiên x ∈ {0; 3; 6; 9}
b Vì + + + = ⋮ 9, nên 1008 ⋮9 Mà 1008 + x ⋮ nên x ⋮ 9và x số tự nhiên có chữ số, x ∈ {18; 27; …; 99}
Bài 2: Chứng minh rằng:
(8)Hướng dẫn:
a.Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; a + 2; a + 3; a + Ta có:
a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) = a + a + a + a + a + + + +
= 5a + 10
Vì 5a ⋮ 10 ⋮ nên 5a + 10 ⋮5 Vậy tổng số tự nhiên liên tiếp chia hết cho b.Gọi số chẵn liên tiếp là: 2a; 2a + 2; 2a + 4; 2a + 6; 2a +
Ta có:
2a + (2a + 2) + (2a + 4) + (2a + 6) + (2a + 6) = (2a + 2a + 2a + 2a + 2a) + (2 + + + 8) = 10a + 20
Vì 10a ⋮ 10 20 ⋮ 10 nên 10a + 20 ⋮ 10 Vậy tổng số chẵn liên tiếp chia hết cho 10
Bài 3:Chứng minh rằng: a.(n + 15)(n + 4) ⋮ b.(3n + 4)(n + 3) ⋮ Hướng dẫn:
a.- Trường hợp 1: Nếu n số chẵn n + ⋮ nên (n + 15)(n + 4) ⋮ -Trường hợp 2: Nếu n số lẻ n + 15 ⋮ nên (n + 15)(n + 4) ⋮
Vậy (n + 15)(n + 4) ⋮
b.- Trường hợp 1: Nếu n số chẵn 3n + số chẵn, nên 3n + ⋮2 Do (3n + 4)(n + 3) ⋮
-Trường hợp 2: Nếu n số lẻ n + số chẵn nên n + ⋮2 Do (n + 15)(n + 4) ⋮
Vậy (3n + 4)(n + 3) ⋮ Bài 4:
a Tìm chữ số tự nhiên x để số 302�������𝑥chia hết cho
b Tìm chữ số tự nhiên x, y biết 1234����������𝑥𝑦 chia hết cho Hướng dẫn:
a Vì 302�������𝑥⋮ nên (3 + + + x) ⋮ hay (5 + x) ⋮9 Do x chữ số tự nhiên, nên x =
b Vì 1234����������𝑥𝑦⋮ nên y ∈ {0; 5}
(9)Do x chữ số, nên x =
Nếu y = 5: Ta có 1234����������𝑥5⋮ 9, nên (1 + + + + x + 5) ⋮ hay (15 + x)⋮
Do x chữ số, nên x = Vậy �𝑥 =
𝑦 = 0; �𝑥𝑦= 3=
Bài 5: Tìm chữ số x, y biết 2340������������𝑥3𝑦chia hết cho Hướng dẫn:
Vì 2340������������𝑥3𝑦⋮ nên y ∈ {0; 5}
-Nếu y = 0: Ta có 2340������������𝑥30⋮ 3, nên (2 + + + + x + + 0) ⋮ hay (12 + x) ⋮3
Do x chữ số, nên x ∈ {0; 3; 6; 9}
-Nếu y = 5: Ta có 2340������������𝑥35⋮ 3, nên (2 + + + + x + + 5) ⋮ hay (17 + x) ⋮3
Do x chữ số, nên x ∈ {1; 4; 7} Vậy �x ∈ {0; 3; 6; 9}
𝑦 = ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 =
Bài tập nhà:
Bài 1: Từ năm chữ số 0; 1; 3; 5; a Hãy lập số có chữ số khác
b Hãy lập số có chữ số, mà số chia hết cho
c Hãy lập số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho d Hãy lập số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho e Hãy lập số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho Bài 2:
a Tìm chữ số tự nhiên x, biết: (35 + x + 49) ⋮7
b Tìm số tự nhiên x có hai chữ số, biết: (10719 + x) ⋮9 c Tìm số tự nhiên x, biết x ≤ (101000 + + x) ⋮ Bài 3: Tìm chữ số tự nhiên x, y biết:
(10)d 1������������𝑥3𝑦223⋮ x – y = e 20�����������𝑥91𝑦⋮
g 44���������𝑥3𝑦⋮
Bài 4: Chứng minh rằng: a (n + 7)(n + 10) ⋮
b.Tổng số lẻ liên tiếp chia hết cho chia 10 dư Hướng dẫn:
Bài 1:
a Các số có chữ số khác là: 31950; 31905; 31590;…
b Các số có chữ số, mà số chia hết cho là: 1350; 1530; 1110; …
c Các số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho là: 135; 315; 105; 905; 130; 310;…
d Các số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho là: 150; 510; 315; 351; 513; 531; …
e Các số có chữ số khác nhau, mà số chia hết cho là: 135; 153; 315; 351; 513; 531
Bài 2:
a Vì 35 ⋮ 7; 49 ⋮ (35 + x + 49)⋮7 nên x⋮ Mà x chữ số tự nhiên, x∈{0; 7}
b Vì 10719 ⋮ (10719+x)⋮9 nên x⋮ Mà x số tự nhiên có chữ số, x∈{18; 27; …; 99}
c Vì 101000 + = 100…08 ⋮ (101000 + 8+x)⋮9 nên x⋮ Mà x số tự nhiên x ≤9 , x∈{0; 9}
Bài 3:
a x∈{0; 5} b x∈{1; 4; 7} c �𝑥 ∈ {1}
𝑦 = ; �𝑥 ∈𝑦 = {5}
d �𝑥 =
𝑦 =
e �𝑥 ∈ {0; 3; 6; 9}
𝑦= ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 =
f �𝑥 ∈ {2; 5; 8}
𝑦 = ; �𝑥 ∈ {1; 4; 7}𝑦 =
(11)a.- Nếu n=2k n+10⋮ - Nếu n=2k+1 n+7 ⋮
b Gọi số lẻ liên tiếp là: 2k + 1; 2k + 3; 2k + 5; 2k + 7; 2k + ta có: (2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) + (2k + 7) + (2k + 9) = 10k + 25
- Vì 10k ⋮ 25 ⋮ nên 10k + 25 ⋮5 => Tổng số lẻ liên tiếp chia hết cho
- Vì 10k ⋮ 10 25 chia 10 dư nên 10k + 25 chia 10 dư => Tổng số lẻ liên tiếp chia 10 dư
(12)1 Ước bội:
- Nếu a ⋮ b (a, b ∈ N; b ≠0) a bội b b ước a Ví dụ: 30 ⋮5 nên 30 bội ước 30
- Số ước số tự nhiên số bội số khác 2 Số nguyên tố, hợp số:
- Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước
Ví dụ: Các số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 91; 97;…
- Số số nguyên tố bé số nguyên tố chẵn - Mọi số nguyên tố lớn số nguyên tố lẻ
- Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước số II Bài tập:
Bài 1:
a Viết tập hợp ước 8; 16; 24 b Viết tập hợp bội 3; 5; Hướng dẫn:
a Tập hợp ước cần tìm là: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}; Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}; Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
b Tập hợp bội cần tìm là: B(3) = {0; 3; 6;…}; B(5) = {0; 5; 10; …}; B(7) = {0; 7; 14;…}
Bài 2: Tìm số tự nhiên x, biết: a 80⋮ x x > 20
b x ước 100 < x < 20 c x bội 13 x < 39 d x ∈ B(7) 49≤ x < 70 Hướng dẫn:
a Vì 80⋮ x => x ∈ Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80} Mà x > 20, nên x ∈ {40; 80}
b Vì x ước 100 => x ∈ {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} Mà < x < 20, nên x ∈ {10}
(13)d Vì x ∈ B(7) => x ∈ {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63; 70; 77;…} Mà 49≤ x < 70, nên x ∈ {49; 56; 63}
Bài 3: Khơng tính kết quả, xét xem tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số:
a 2172 + 3009 b 15 + 2175 – 5.199 c 31.71.25 + 17.25.13 d 17.19.37.97.107 + Hướng dẫn:
a Vì 2172 ⋮ 3009 ⋮ => (2172 + 3009) ⋮ Do 2172 + 3009 >1 => (2172 + 3009) hợp số
b Vì 15 ⋮ 5; 2175 ⋮ 5.199 ⋮ => (15 + 2175 – 5.199) ⋮ Mà 15 + 2175 – 5.199 > => 15 + 2175 – 5.199 hợp số
c TT tích chia hết cho 25 => hợp số
d Vì tích 17.19.37.97.107 số lẻ số lẻ => tổng 17.19.37.97.107 + số chẵn Mà (17.19.37.97.107 + 1) > => 17.19.37.97.107 + hợp số
Bài 4:
a Tìm số tự nhiên x để 15⋮(n+3)
b Tìm số tự nhiên k để 7k 11k số nguyên tố Hướng dẫn:
a.Vì 15⋮(n+3) => n+3 ∈ Ư(15) = {1; 3; 5; 15} + n+3 = Không tìm n
+ n+3 = => n = + n+3 = => n = + n+3 = 15 => n = 12 Vậy n ∈ {0; 2; 12}
b.- Với k = 7k = 11k = khơng phải SNT - Với k = 7k = 11k = 11 SNT
- Với k > 7k 11k có ước số 1; k Do 7k 11k khơng phải số ngun tố
Vậy k =
(14)a Viết tập hợp ước 18; 24; 25; 50; 90 b Viết tập hợp bội 7; 8; 9; 13
Bài 2: Tìm x, biết: a 125 ⋮ x ≤ x < 27 b x ước 81 x ≥ c x bội 15 ước 60 d 200⋮x 20<x<80
Bài 3: Tìm n biết: a 21⋮(n+7)
b 25⋮(2n+3) c 70 ⋮ (2n+5)
Bài 4: Không tính, cho biết số sau SNT hay hợp số?
a 111111111 b 101000 + 17 c 2375 + 3885 d 3.6885 – 222 Hướng dẫn:
Bài 1, 2, 3: Tự làm Bài 4:
a Ta có, 111111111>1 111111111⋮9 => 111111111 hợp số b Ta có 101000 + 17 > 101000 + 17 = 1000….017 ⋮9 => hợp số
c Vì 2375 ⋮ 3885 ⋮ => 2375 + 3885 ⋮5 2375 + 3885 > => hợp số d Vì 3.6885 ⋮ 222 ⋮ => 3.6885 – 222⋮ 3.6885 – 222 > => hợp số
(15)1.Tia: Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia O, gọi tia gốc O - Ta có tia Ox tia OA
- Hai tia đối hai tia chung gốc tạo với thành đường thẳng
- Nếu A, B, C thẳng hàng BA BC tia đối 2 Đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm
A, B tất điểm nằm điểm A B 3 Khi AM + MB = AB?
- Khi M nằm hai điểm A B AM + MB = AB - Ngược lại, AM + MB = AB M nằm A B II Bài tập:
Bài 1: Cho điểm M, N, P, Q thẳng hàng a Viết tên tia gốc M, gốc N, gốc P, gốc Q b Viết tên tia trùng gốc N, gốc P c Viết tên tia đối tia NM, tia PQ Hướng dẫn:
a - Các tia gốc M là: MN, MP, MQ - Các tia gốc N là: NM, NP, NQ - Các tia gốc P là: PM, PN, PQ - Các tia gốc Q là: QM, QN, QP
b.- Các tia trùng gốc N là: NP, NQ - Các tia trùng gốc P là: PN, PQ c.- Các tia đối tia NM là: NP, NQ - Các tia đối tia PQ là: PN, PM
Bài 2: Cho điểm phân biệt A, B, C, D, E, F Hỏi vẽ đoạn thẳng, viết tên đoạn thẳng
Hướng dẫn:
Từ điểm, ta vẽ đoạn thẳng đến điểm lại Do với điểm, ta vẽ số đoạn thẳng 5.6=30 đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính lần, nên số đoạn thẳng 30:2 = 15 đoạn thẳng
x A
O
y O
x
A B
P
M Q
(16)Vậy vẽ 15 đoạn thẳng là: AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE,…
Bài 3: Cho điểm H, I, K thẳng hàng Trong điểm đó, điểm nằm hai điểm lại nếu:
a HK = 3,5cm; MI = 8cm; IK = 4,5cm b IH + KI = HK
Hướng dẫn:
a Ta có: HK + IK = 3,5 + 4,5 = 8(cm) = MI => K nằm H I b Vì điểm H, I, K thẳng hàng IH + KI = HK => I nằm H K
Bài 4: Cho AB = 10cm Gọi E điểm nằm điểm A B, biết BE = 4cm a Tính độ dài AE
b Gọi F điểm nằm điểm B E cho EF = 2cm Tính AF BF Hướng dẫn:
a.Vì điểm E nằm điểm A B nên: AE + EB = AB AE + = 10 AE = 10 – AE = 6(cm) b.Vì F nằm điểm E B nên:
EF + FB = EB + FB = FB = – FB = 2(cm)
Vì F nằm điểm E B => F nằm điểm A B, nên: AF + FB = AB
AF + = 10 AF = 8(cm)
Bài 5: Cho điểm A B nằm đường thẳng a cho AB = 6cm Gọi M điểm nằm đường thẳng a cho BM = 3cm Tính AM
Hướng dẫn:
Ta xét hai trường hợp sau:
-Trường hợp 1: Điểm M nằm điểm A B
A E F B
a A M B
(17)Vì M nằm điểm A B nên: AM + MB = AB AM + =
AM = 3(cm)
-Trường hợp 2: Điểm B nằm điểm A M
Vì B nằm điểm A M nên: AB + BM = AM + = AM
AM = 9(cm)
Bài tập nhà: Bài 1: Cho hình vẽ
a.Vẽ tất tia gốc: A, M, N, P, F b.Viết tia trùng với tia AM, tia NP c.Viết tia đối tia NP, MN, PN Bài 2: Cho hình vẽ
a.Viết tất tia hình b.Viết tia đối tia BO, OB
Bài 3: Cho điểm A, B, C thẳng hàng, biết AC = 3cm; BC = 5cm AB = 8cm Hỏi điểm A, B, C điểm nằm điểm lại?
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB = 9cm, M điểm nằm A B cho
BM = 4cm a.Tính AM
b Gọi N nằm điểm A M cho MN = 3cm Tính AN, BN
Bài 5: Cho đoạn thẳng AB = 10cm M nằm A B cho AM = 6cm Gọi N điểm thuộc AB cho MN = 2cm Tính AN, BN
Hướng dẫn: Bài 1:
a Hình vẽ
b Các tia trùng với tia AM AM AN, AP,AF - Các tia trùng với tia NP NF
a
M
A B
6cm
3cm
A N P F
M
O A
B y’
A N P F
(18)c - Các tia đối tia NP là: NM NA - Các tia đối tia MN là MA
- Tia đối tia PN PF Bài 2:
a.Các tia hình là: OA, Ox, OB, Ox’, Oy, Oy’
b Các tia đối tia BO Bx’, tia OB OA Ox Bài 3:
Vì điểm A, B, C thẳng hàng AC + BC = + = 8(cm) = AB Do điểm C nằm điểm A B
Bài 4:
a.Vì điểm M nằm điểm A B nên: AM + MB = AB AM + = AM = – AM = 5(cm) b.Vì N nằm điểm A M nên:
AN + NM = AM AN + = AN = – AN = 2(cm)
Vì N nằm điểm A M => N nằm điểm A B, nên: AN + NB = AB
2 + NB = NB = 7(cm) Bài 5: Ta xét trường hợp
-Trường hợp 1: Điểm N nằm điểm A M AN = 4cm; BN = 6cm
-Trường hợp 2: Điểm N nằm điểm M B AN = 8cm; BN = 2cm
Buổi : LŨY THỪA – SO SÁNH HAI LŨY THỪA
A N M B
A N M B
(19)I Lý thuyết:
- Công thức bản: am.an = am + n; am:an = am – n; (am)n = a m.n
; (
b a
)m = m
m
b a
- So sánh: + Nếu am
> bm => a > b (a, b ∈N) + Nếu am
> am => m > n
- Chú ý: Nếu A > B, mà B > C A > C II Bài tập:
Bài 1: So sánh 3111 1714 Hướng dẫn:
Ta có: 31 < 32 => 3111 < 3211 =>3111 < (25)11 => 3111 < 255 17 > 16 => 1714 > 1614 => 1714 > (24)14 => 1714 > 256 Vì 1714 > 256 > 255 > 3111 Vậy 1714 > 3111
Bài 2: Xét xem đẳng thức sau có khơng? a 1218 = 276.169
b 2528.0,00819 = 0,25 Hướng dẫn:
a Ta có: 1218 = (3.4)18 = 318.418 = 318 (22)18 = 318.236 276.169 = (33)6.(24)9 = 318.236
Vậy 1218
= 276.169
b Ta có: 2528.0,00819 = (52)28
19 1000
= 556
19 125
= 556
( )3 19 19
5
= 556 57
5
= 57
56 5 = 5 56 56 =
= 0,2 < 0,25 Vậy 2528
.0,00819 < 0,25 Bài 3: So sánh 291 535 Hướng dẫn:
Cách 1: Ta có 291 = (213)7 = 81927; 535 = (55)7 = 31257 Vì 81927 > 31257 nên 291 > 535
(20)Vì 291 > 3218 > 2518 > 535 nên 291 > 535
Bài 4: Cho A = 5.415.99 – 4.320.89 B = 5.29.619 – 7.229.276 Tính A:B
Hướng dẫn:
Ta có: A = 5.415.99 – 4.320.89
= 5.(22)15.(32)9 - 22.320.(23)9 = 5.230.318 - 22.320.227
= 5.230.318 - 229.320 = 5.229.2.318 - 229.318.32 = 229.318 (5.2 – 32) = 229.318 (10 – 9) = 229.318.1
= 229.318
B = 5.29.619 – 7.229.276 = 5.29.(2.3)19 – 7.229.(33)6 = 5.29.219.319 – 7.229.318 = 5.228.319 – 7.229.318 = 5.228.318.3 – 7.228.2.318 = 228.318(5.3 – 7.2) = 228.318(15 – 14) = 228.318.1
= 228.318 Vậy A:B = (229
.318) : (228.318) = Bài tập nhà:
Bài 1: Cho A = 2181.729 + 243.81.27 B = 32.92.243 + 18.243.324 + 723.729 Tính A:B
Bài 2: So sánh a 544 2112 b 10750 7375
(21)S = + + 22 + 23 + … + 22018 + 22019
Bài 4: Trong số 75 nhẫn hình dáng nhau, có trọng lượng khác Dùng cân đĩa cân lần, xác định xem nhẫn nặng hay nhẹ nhẫn
Hướng dẫn:
Bài 1: Ta có: A = 2181.729 + 243.81.27 = 727.3.243 + 243.81.3.32 = 32.727.243 + 243.243.32 = 32.243(727 + 243) = 32.243.970
B = 32.92.243 + 18.243.324 + 723.729 = 32.92.243 + 2.32.243.324 + 3.241.3.243 = 32.92.243 + 2.32.243.324 + 32.241.243 = 32 243(92 + 2.324 + 241)
= 32 243.970 Vậy A:B = (32
243.970): (32 243.970) = Bài 2: So sánh
a 544 2112
Cách 1: Ta có: 544 < 644 <=> 544 < (43)4 <=> 544 < 412
Mà 412 < 2112 nên 544 < 2112 Cách 2: Ta có: 2112 = (213)4 = 92614
Mà 92614 > 544 nên 544 < 2112 b 10750 7375
Ta có: 10750 = 1072.25 = (1072)25 = 1144925 7375 = 733.25 = (733)25 = 38901725 Vì 1144925 < 38901725 nên 10750 < 7375 Bài 3: Tính nhanh tổng sau:
S = + + 22 + 23 + … + 22018 + 22019
=> 2S = + 22 + 23 + … + 22018 + 22019 + 22020
(22)Vậy S = 22020
–
(23)I Lý thuyết:
1 Phân tích số thừa số nguyên tố theo pp cột dọc: VD:Phân tích số 180 thừa số nguyên tố
180 90
45
15 Vậy 180 = 22.32.5 2 Tính số ước số:
Để tính số ước số a, ta viết a dạng a = bx
.cy.dz… với b, c, d,…là số nguyên tố
Khi số ước a là: (x + 1)(y + 1)(z + 1)…
VD:Số ước 180 là: (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3.3.2 = 18 II Bài tập:
Bài 1: Phân tích số sau thừa số nguyên tố: 8000; 9600; 12000 Hướng dẫn:
8000 = 26.53; 9600 = 27.3.52; 12000 = 25.3.53 Bài 2: Tính số lượng ước số sau: a 96
b 2500 c 4800
Hướng dẫn:
a Ta có: 96 = 25.3 => Số ước 96 là: (5 + 1)(1 + 1) = 12 ước b Ta có: 2500 = 22.54=> Số ước 2500 là: (2+ 1)(4 + 1) = 15 ước
c Ta có: 4800 = 26.3.52 => Số ước 4800 là: (6 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 42 ước Bài 3: Viết tập hợp ước của:
(24)c 23.32
Hướng dẫn: a Ư(25
.3) = {1;21;22;23; 24; 25;3; 3.21;3.22;3.23; 3.24; 3.25} b Ư(26
.5) = {1;21;22;23; 24; 25;26; 5; 5.21;5.22;5.23; 5.24; 5.25; 5.26} c Ư(23
.32) = {1;21;22;23;3; 32; 2.3;2.32;22.3; 22.32; 23.3;23.32} Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ có ước
Hướng dẫn:
Gọi số cần tìm A, ta có: A = ax
.byvới a, b số nguyên tố Khi số ước A là:
(x+1)(y+1) =
Vì A số nhỏ nhất, nên x≥y => x = 2; y = =>A = a2.b2
Vì A số nhỏ nhất, nên a b số nguyên tố nhỏ khác => a=2; b=3 Vậy số cần tìm 22
.32 = 36
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ có số ước 10 Hướng dẫn: Lập luận tương tự ta có A = 24
.3 = 48 Bài 6: Tìm số tự nhiên x, biết:
a (5n + 13)⋮4
b (3n + 15)⋮ (n + 2) c (4n + 10) ⋮ (n + 3) Hướng dẫn:
a.Ta có:
5n + 13 = 5n + + = 5(n + 1) + Vì (5n + 13)⋮4 8⋮4 => 5(n+1) ⋮4 (n∈N) Vì 5/�4 nên n + ⋮ => n + = 4k (k∈N*) => n = 4k –
Vậy n = 4k - 1(k∈N*) b.Cách 1:
Ta có:
3n + 15 = 3n + + = 3(n + 2) + Vì (3n + 15)⋮ (n + 2) 3(n + 2)⋮ (n + 2) =>9 ⋮ (n + 2) => n + ∈Ư(9) => n + ∈ {1; 3; 9} => n ∈ {1; 7}
(25)=> n + ∈Ư(9)… c.Ta có:
Ta có (n + 3) ⋮ (n + 3) => 4(n + 3) ⋮ (n + 3) hay (4n + 12) ⋮ (n + 3) Mà (4n + 10)⋮ (n + 3) => [(4n + 12) - (4n + 10)] ⋮ (n + 3) hay ⋮ (n + 3)
=> n + ∈Ư(2)
Vì n số tự nhiên, nên khơng tìm n thỏa mãn Bài tập nhà:
Bài 1: Phân tích số sau TSNT 2400; 18900; 8400; 5640
Bài 2: Tìm số ước của:
a 4090 d 2480 e 108900 b 700
c 3400
Bài 3: Viết tập hợp ước của: a 32.2
b 23.32 c 52.32 d 23.3.52
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất: a Có ước
b Có 14 ước
Bài 5: Tìm số tự nhiên n, biết: a 21⋮(n + 1)
b 30 bội 3n + c (5n + 13) ⋮
(26)Bài 1, 2, tự làm
Bài 4: a A = 24 b A = 192 Bài 5:
a (n + 1) ∈ Ư(21) => Xét trường hợp b (3n + 2)∈Ư(30) => Xét trường hợp
c Ta có: 5n + 13 = 5n + 10 + = 5(n + 2) + Vì (5n + 13) ⋮ va 3⋮ 3, nên 5(n + 2) ⋮ Mà 5/� => n+2 ⋮ hay n + = 3k (k ∈ N*) => n = 3k – (k ∈ N*)
d Tương tự câu c, 7n + 12 = 7n + + => n = 5k – (k ∈ N*)
e Ta có (n + 3) ⋮ (n + 3) => 4(n + 3) ⋮ (n + 3) hay (4n + 12) ⋮ (n + 3) Mà (4n + 19)⋮ (n + 3) => [(4n + 19) - (4n + 12)] ⋮ (n + 3) hay ⋮ (n + 3) => n + ∈ Ư(7)
f Vì (2n + 7) ⋮ (3n + 5) => 3(2n + 7) ⋮ (3n + 5) hay (6n + 21) ⋮ (3n + 5)
=>[2(3n + 5) + 11] ⋮ (3n + 5) => 11 ⋮ (3n + 5) => (3n + 5) ∈ Ư(11)……(Xét trường hợp)
g Tương tự câu f, ta có: 2(3n + 7) ⋮ (2n + 3) hay (6n + 14) ⋮ (2n + 3)
=>[3(2n + 3) + 5] ⋮ (2n + 3) => (2n + 3) ∈ Ư(5)……(Xét trường hợp)
(27)I Lý thuyết: 1 Ước chung:
- Nếu x ∈ ƯC(a,b) a ⋮ x b ⋮x - Nếu a ⋮ x b ⋮x x ∈ƯC(a,b) VD:Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} =>ƯC(18; 24) = {1; 2; 3; 6}
2.Ước chung lớn nhất:
2.1.ƯCLN hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung 2.2.Cách tìm ƯCLN:
Để tìm ƯCLN hay nhiều số ta làm sau: B1:Phân tích số thừa số nguyên tố
B2:Lấy tích thừa số nguyên tố chung, với số mũ nhỏ VD: Tìm ƯCLN(900; 4800)
B1: Ta có 900 = 22 32 52 4800 = 26 3.52 B2:Vậy ƯCLN(900; 4800) = 22.3 52 = 300 3.Tìm ƯC thơng qua ƯCLN:
VD:Tìm ƯC(640; 800)
Ta có: 640 = 27.5; 800 = 25.52=> ƯCLN(640; 800) = 25.5 = 160
=>ƯC(640; 800) = Ư(160) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 80; 160} II.Bài tập:
Bài 1: a Tìm ƯC(240; 320)
b.Tìm ƯCLN(448; 344); ƯC(448; 344) Hướng dẫn:
a Ta có: 240 = 24.3.5 320 = 26.5
=> ƯCLN(240; 320) = 24 = 80 => ƯC(240; 320) = Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16;
20; 40; 80}
(28)=> ƯCLN(448; 344) = 23= => ƯC(448; 344) = Ư(8) = {1; 2; 4; }
Bài 2:
a.Tìm x∈N biết 84 ⋮ x 72 ⋮ x
b Tìm x∈N biết 92 chia cho x dư 78 chia cho x dư Hướng dẫn:
a.Vì 84 ⋮ x 72 ⋮ x => x ∈ƯC(84; 72) Ta có: 84 = 22.3.7
72 = 32.23
=>ƯCLN(84; 72) = 3.22
= 12
=>ƯC(84; 72) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} Vậy x ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12}
b.Vì 92 chia cho x dư => (92 – 2)⋮ x => 90 ⋮ x Vì 78 chia cho x dư => (78 – 6)⋮ x => 72 ⋮ x =>x ∈ ƯC(90; 72)
Ta có: 90 = 2.32.5 72 = 32.23
=>ƯCLN(90; 72) = 2.32
= 18
=>ƯC(90; 72) = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18} Vậy x ∈ {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Bài 3:
a.Tìm ƯC(120; 86; 78)
b.Tìm x ∈N biết 63 chia cho x dư 3; 85 chia cho x dư 49 chia cho x dư Hướng dẫn:
a.Ta có: 120 = 23.3.5 86 = 2.43 78 = 2.3.13
=>ƯCLN(120; 86; 78) = => ƯC(120; 86; 78) = Ư(2) = {1; 2} b Vì 63 chia cho x dư => (63 – 3)⋮ x => 60 ⋮ x
(29)=> x ∈ƯC(60; 84; 48) ………
Bài tập nhà:
Bài 1:a Phân tích số sau thừa số nguyên tố: 44660; 99330 b Tìm số ước số 46860
Bài 2:a Tìm ƯC(164; 348); ƯC(940; 360) b Tìm ƯCLN(180; 72; 344); ƯCLN(490; 348) Bài 3: Tìm x∈N, biết:
a 84 ⋮ x 90 ⋮ x
b 73 chia x dư 88 chia x dư c 67 chia x dư 129 chia x dư
d 39 chia x dư 3; 45 chia x dư 67 chia x dư Hướng dẫn:
Bài 1: a 44660 = 22.5.7.11.29; 99330 = 2.3.5.7.11.43 b.Ta có: 46860 = 22 3.5.11.71
Số ước 46860 là: (2+1)(1+1) (1+1) (1+1) (1+1) = 48 Bài 2:
a.*Ta có: 164 = 22.41 348 = 22 3.29 =>ƯCLN(164; 348) = 22
=
=>ƯC(164; 348) = Ư(4) = {1; 2; 4} * Ta có: 940 = 22.5.47
360 = 23.32.5
=>ƯCLN(940; 360) = 22
.5= 20
=>ƯC(940; 360) = Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20} b.* Ta có: 180 = 22.32.5
72 = 23.32 344 = 23.43
=>ƯCLN(180; 72; 344 ) = 22.5= 20
(30)348= 22.3.29
=>ƯCLN(490; 348 ) =
Bài 3:
a Vì 84 ⋮ x 90 ⋮ x => x∈ƯC(84; 90)
Ta có: 84 = 22.3.7 90 = 2.32.5 => ƯCLN(84; 90 ) = 2.3 =
=> ƯC(84; 90) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}
Vậy x∈ {1; 2; 3; 6}
b *Vì 73 chia x dư => 73 – ⋮ x hay 72⋮ x Vì 88 chia x dư => 88 – ⋮ x hay 86⋮ x => x∈ƯC(72; 86)
Ta có: 72 = 23.32 86 = 2.43 => ƯCLN(72; 86 ) =
=> ƯC(72; 86) = Ư(2) = {1; 2}
Vậy x∈{1; 2}
c.Vì 67 chia cho x dư => (67 – 3)⋮ x => 64 ⋮ x Vì 129 chia cho x dư => (129 – 1)⋮ x => 128 ⋮ x =>x ∈ ƯC(64; 128)
Ta có: 64 = 26 128 = 27
=>ƯCLN(64; 128) = 26
= 64
=>ƯC(64; 128) = Ư(64) = {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64} Vậy x ∈ {1; 2; 4; 8; 16; 32; 64}
d Vì 39 chia cho x dư => (39 - 3)⋮ x => 36 ⋮ x Vì 45 chia cho x dư => (45 - 3)⋮ x => 42 ⋮ x Vì 67 chia cho x dư => (67 - 4)⋮ x => 63 ⋮ x =>x ∈ ƯC(36; 42; 63)
Ta có: 36 = 22.32 42 = 2.3.7 63 = 32.7
=>ƯCLN(36; 42; 63) =
(31)(32)Buổi 8: BỘI CHUNG – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT I.Lý thuyết:
1.Bội chung:
Ví dụ: a Tìm bội 3; b.Tìm bội chung Hướng dẫn:
a.Ta có: B(3) = {0; 3; 6; 9; 12; …}
B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; …}
b.Bội chung là: BC(3; 5) = {0; 15; 30; 45; …} Chú ý: x ∈ BC(a, b) x ⋮ 𝑎 x ⋮ b
2.Bội chung nhỏ nhất: BCNN hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp bội chung
*Cách tìm BCNN
+ Phân tích số thừa số nguyên tố
+Lấy tích thừa số nguyên tố chung riêng với số mũ cao Ví dụ: Tìm BCNN(42;36)
Giải:
Ta có: 42 = 2.3.7 36 = 22.32
Vậy BCNN(42;36) = 22.32.7 = 252 3 Hai số nguyên tố
Hai số nguyên tố hai số nguyên tố khác có ước chung lớn
Ví dụ: Tìm ƯCLN(8;15) Giải:
Ta có: = 23 15 = 3.5
Vậy ƯCLN(8;15) = Do 15 gọi hai số nguyên tố 4 Cách tìm bội chung thơng qua bội chung nhỏ
(33)Ví dụ: Tìm BC(24;42) Giải:
Ta có: 24 = 23.3 42 = 2.3.7
BCNN(24;42) = 23.3.7 = 168
BC(24;42) = B(168) = {0; 168; 336; … … } Bài tập
Bài 1 Tìm BC số sau a 18 27
b 36 48 Giải
a Ta có: 18 = 2.32 27 = 33
BCNN(18;27) = 2.33 = 54
Vậy BC(18;27) = {0; 54; 108; 168; … } b.Ta có: 36 = 22.32
48 = 24.3
BCNN(36;48) = 24.32 = 144
Vậy BC(36;48) = {0; 144; 288; 432; … } Bài 2. Tìm BC số sau
a 18 ; 12; 20 b 24 ; 36 ; 54 Giải
a Ta có: 18 = 2.32 12 = 22.3 20 = 22.5
BCNN(18;12;20) = 22.32.5 = 180 Vậy BC (18;12;20) = {0; 180; 360; … }
b.Ta có: 24 = 23.3 36 = 22.32
54 = 2.33
BCNN(24;36;54) = 23.33 = 216
Vậy BC(24;36;54) = {0; 216; 432; … }
Bài 3. a,Tìm số tự nhiên a (với a ≠0) cho chia a cho 16; 24 dư b.Tìm a∈ 𝑁*, biết a⋮ 40 a⋮50và a không vượt 500
(34)a Vì a : 16 dư => (a – 9) ⋮16 a : 24 dư => (a – 9) ⋮24
=>(a – 9)∈ 𝐵𝐶(16; 24) Ta có: 16 = 24
24 = 23.3
=>BCNN(16; 24)= 24.3 = 48 =>BC(16; 24) = {0; 48; 96; … } =>𝑎 ∈ {9; 57; 105; … }
b Vì a⋮ 40 𝑣à a⋮50 𝑛ê𝑛𝑎 ∈BC(40;50) Ta có : 40 = 23.5
50 = 2.52
=>BCNN(40;50) = 23.52 = 200
=>BC(40;50) = B(200) = {0; 200; 400; 600; … } Vì a∈ 𝑁* khơng vượt q 500 nên a∈ {200; 400}
Bài 4. Một trường học có số học sinh khoảng từ 300 đến 400 học sinh Biết số học sinh xếp18, 12, 20 hàng dư học sinh Tìm số học sinh trường Giải
Gọi a số học sinh trường Đk : a∈ 𝑁 , 300 ≤ 𝑎 ≤ 400
Vì xếp thành 18, 12, 20 hàng dư em nên (a-9)⋮18, (a-9)⋮12, (a-9)⋮20
=> (a-9)∈ BC(18,12,20) Ta có: 18 = 2.32
12 = 22.3 20 = 22.5
=>BCNN(18,12,20) = 22.32.5 = 180
=>BC(18,12,20) = B(180) = {0; 180; 360; 720; … } =>(a-9)∈ {0; 180; 360; 720; … }
=>a∈ {9; 189; 369; 729; … }
Vì số học sinh trường khoảng 300 đến 400 học sinh nên a = 369 Vậy trường có 369 học sinh
(35)Giải
Vì a : dư 2, a : dư 3, a : dư Ta có
(a-2)⋮ 3, (a-3)⋮4 , (a-4)⋮ => (a+1) ⋮3 (a+1) ⋮4 (a+1) ⋮ => (a+1)∈ BC(3, 4, 5)
Ta có: = = 22 =
=> BCNN(3, 4, 5) = 22.3.5 = 60
=> BC(3, 4, 5) = B(60) = {0; 60; 120; 180; … } => a∈ {−1; 59; 119; 179; … }
Vì a số tự nhiên nhỏ nhất, khác nên a = 59 Vậy a = 59
Bài tập nhà
Bài 1 Tìm BC số sau a 14 21
b 8, 12, 30 c 20, 30, 50 Bài 2 Tìm a ∈N, biết a a, a⋮12, a⋮ a < 200
b, a : dư 6, a : 10 dư a < 500
(36)Buổi 9: LUYỆN TẬP Bài 1.a, Cho n∈N Tìm ƯC n + n +
b, Cho n∈N Tìm ƯC 2n + n + Giải
a Gọi d ∈ƯC(n + , n + 7) => n + ⋮ 𝑑 n + ⋮ 𝑑
=> ( n + )- ( n + 2)⋮ 𝑑 5⋮ 𝑑
=> d ∈ Ư(5) mà Ư (5) = {1; 5} Vậy d∈ {1; 5} b Gọi d ∈ƯC(2n + , n + 4)
=> 2n + ⋮ 𝑑 n + 4⋮ 𝑑
n + 4⋮ 𝑑 => 2( n + 4) ⋮ 𝑑 2n + 8⋮ 𝑑
=> (2n + 8) – (2n + 7) ⋮ 𝑑 2n + – 2n – ⋮ 𝑑1⋮ 𝑑 => d = Vậy d =
Bài 2. Cho n∈ N Tìm a ƯCLN(n + 3, n + 9) b ƯCLN(2n + 5, n + 4) c ƯCLN(2n + 2, n + 3) Giải
a Gọi d ƯCLN(n + , n + 9) => n + 3⋮ 𝑑 n + 9⋮ 𝑑
=> ( n + )- ( n + 3)⋮ 𝑑 6⋮ 𝑑
=> d∈Ư(6) = {1; 2; 3; 6} Vì d ƯCLN(n + 3, n + 9) => d = Vậy ƯCLN(n + 3, n + 9) =
b Gọi d ƯCLN(2n + 5, n + 4)
=> 2n + 5⋮ 𝑑 n + 4⋮ 𝑑 => 2n + 5⋮ 𝑑 2(n + 4) ⋮ 𝑑 =>2n + 5⋮ 𝑑 2n+8⋮ 𝑑 => (2n + 8)-(2n+5)⋮ 𝑑 3⋮ 𝑑
=> d∈Ư(3) = {1; 3} Vì d ƯCLN(2n + 5, n + 4) => d = Vậy ƯCLN(2n + 5, n + 4) =
c Gọi d ƯCLN(2n + 2, n + 3)
(37)=> (2n + 6)-(2n+2)⋮ 𝑑 4⋮ 𝑑
=> d∈Ư(4) = {1; 2; 4} Vì d ƯCLN(2n + 2, n + 3) => d = Vậy ƯCLN(2n + 2, n + 3) =
Bài 3: Chứng minh với n ∈ N thì:
a 2n + 15 n + số nguyên tố b 3n + 2n + hai số nguyên tố Hướng dẫn:
a Gọi d ƯCLN(2n + 15, n + 8)
=> 2n + 15⋮ 𝑑 n + 8⋮ 𝑑 => 2n + 15⋮ 𝑑 2(n + 8) ⋮ 𝑑 =>2n + 15⋮ 𝑑 2n+16⋮ 𝑑
=> (2n + 16)-(2n+15)⋮ 𝑑 1⋮ 𝑑 => d =
Vậy 2n + 15 n + số nguyên tố b Gọi d ƯCLN(3n + 5, 2n + 3)
=> 3n + 5⋮ 𝑑 2n + 3⋮ 𝑑 => 2(3n + 5)⋮ 𝑑 3(2n + 3) ⋮ 𝑑 =>6n + 10⋮ 𝑑 6n+9⋮ 𝑑
=> (6n + 10)-(6n+9)⋮ 𝑑 1⋮ 𝑑 => d =
Vậy 3n + 2n + hai số nguyên tố Bài 4: a Tìm a, b ∈N biết a + b = 63 ƯCLN(a,b) =
b Tìm số biết tích chúng 1050 ƯCLN chúng Chú ý: Với a, b ∈ N* ta có:
a.b = BCNN(a,b) ƯCLN(a,b) Hướng dẫn:
a Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮ => a = 7k b = 7q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a + b = 7k + 7q = 63 7(k + q) = 63 k + q =
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k
q
a 7 14 28 35 49 56
(38)b Gọi số cần tìm a b (a, b ∈ N)
Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮ => a = 5k b = 5q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a.b = 5k 5q = 1050 25kq = 1050 k.q = 42
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k
q 42 21 14
a 5 10 15 30
b 210 105 70 35
Bài 5: a Tìm a, b ∈N biết a + b = 33 ƯCLN(a,b) =
b.Tìm số biết tích chúng 1029 ƯCLN chúng Hướng dẫn:Tương tự Bài
Bài tập nhà: Bài 1: Tìm:
a ƯCLN(940; 560) b BCNN(18; 24; 36) c ƯCLN(n + 3; n + 12) d ƯC(2n + 4; n + 10) e ƯCLN(2n + 3; 3n + 1)
Bài 2: Cho n ∈ N Chứng minh rằng:
a Hai số 2n + 11 n + hai số nguyên tố b Hai số 4n + 5n + hai số nguyên tố Bài 3: Tìm a, b ∈ N biết:
a a + b = 32 ƯCLN(a,b) = b a + b = 105 ƯCLN(a,b) = c a.b = 96 ƯCLN(a,b) =
Bài 4: Tìm hai số biết tổng chúng 55 ƯCLN chúng Hướng dẫn:
(39)b.Ta có:18 = 2.32; 24 = 23.3 36 = 22.32 => BCNN(18; 24; 36) = 23.32 = 72 c Gọi d ƯCLN(n + 3, n + 12)
=> n + 3⋮ 𝑑 n + 12⋮ 𝑑 => (n + 12)-( n+3)⋮ 𝑑 9⋮ 𝑑
=> d∈Ư(9) = {1; 3; 9} Vì d ƯCLN(n + 3, n + 12) => d = Vậy ƯCLN(n + 3, n + 12) =
d Gọi d∈ ƯC(2n + 4, n + 10)
=> 2n + 4⋮ 𝑑 n + 10⋮ 𝑑 => 2n + 4⋮ 𝑑 2(n + 10) ⋮ 𝑑 =>2n + 4⋮ 𝑑 2n+20⋮ 𝑑 => (2n + 20)-(2n+4)⋮ 𝑑 16⋮ 𝑑
=> d∈Ư(16) = {1; 2; 4; 8; 16}
Vậy ƯC(2n + 4, n + 10) = {1; 2; 4; 8; 16}
e Gọi d ƯCLN(2n + 3, 3n + 1)
=> 2n + 3⋮ 𝑑 3n + 1⋮ 𝑑 => 3(2n + 3)⋮ 𝑑 2(3n + 1) ⋮ 𝑑 =>6n + 9⋮ 𝑑 6n+2⋮ 𝑑
=> (6n + 9)-(6n+2)⋮ 𝑑 7⋮ 𝑑
=> d∈Ư(7) = {1; 7} Vì d ƯCLN(2n + 3, 3n + 1) => d = Vậy ƯCLN(2n + 3, 3n + 1) =
Bài 2: a Gọi d ƯCLN(2n + 11, n + 5)
=> 2n + 11⋮ 𝑑 n + 5⋮ 𝑑 => (2n + 11)-(2n+10)⋮ 𝑑 1⋮ 𝑑=> d= Vậy hai số 2n + 11 n + hai số nguyên tố b Gọi d ƯCLN(4n + 7, 5n + 9)
=> 4n + 7⋮ 𝑑 5n + 9⋮ 𝑑 => 4(5n + 9)-5(4n+7)⋮ 𝑑 1⋮ 𝑑=> d= Vậy hai số 4n + 5n + hai số nguyên tố
Bài 3: a Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮ => a = 4k b = 4q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a + b = 4k + 4q = 32 4(k + q) = 32 k + q =
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k
q
(40)b 28 20 12 4
b Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮7 => a = 7k b = 7q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a + b = 7k + 7q = 105 7(k + q) = 105 k + q = 15
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k 11 13 14
q 14 13 11
a 7 14 28 49 56 77 91 98
b 98 91 77 56 49 28 14 7
c Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮4 => a = 4k b = 4q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a.b = 4k.4q = 96 16k.q = 96 k.q =
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k
q
a 4 8 12 24
b 24 12 8 4
Bài 4: Vì ƯCLN(a,b) = => a ⋮ b ⋮5 => a = 5k b = 5q (Với k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau)
Ta có: a + b = 5k + 5q = 55 5(k + q) = 55 k + q = 11
Vì k, q ∈ N* k, q hai số nguyên tố nhau, nên ta có bảng sau:
k 10
q 10
a 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50