Củng cố toán 7 - tập 2

cắt tia CB tại điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh CF là đường trung trực của DE. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua AB; AC. Trên tia O[r]



Tài liệu sưu tầm

CỦNG CỐ TOÁN TẬP 2

PHẦN A ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ III THỐNG KÊ

CHỦ ĐỀ THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ , TẦN SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

- Vấn đề hay tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu gọi dấu hiệu (thường kí hiệu chữ in hoa X,Y, )

- Các số liệu thu thập điều tra dấu hiệu gọi số liệu thống kê

Mỗi số liệu giá trị dấu hiệu:

- Số tất giá trị (không thiết khác nhau) dấu hiệu số đơn vị điều tra Kí hiệu N

- Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu tần số giá trị Giá trị dấu hiệu thường dược kí hiệu x tần số giá trị thường kí hiệu n

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Lập bảng số liệu thống kê ban đầu

Phương pháp giải:

Khi lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra, ta thường phải xác định: dấu hiệu (các vấn đề hay tượng mà ta quan tâm tìm hiểu), đơn vị điều tra, giá trị dấu hiệu

1A. Lập bảng số liệu thông kê ban đầu cho điều tra điểm kiểm tra

tiết môn môn Toán gần bạn tổ em

1B. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra điểm kiểm tra

tiết môn môn Văn gần bạn tổ em

Dạng Khai thác thông tin từ bảng số liệu thống kê ban đầu

Phương pháp giải:

Từ bảng số liệu thống kê ban đầu ta khai thác thơng tin sau: + Dấu hiệu cần tìm hiểu giá trị dấu hiệu đó;

+ Đơn vị điều tra;

+ Số giá trị khác dấu hiệu; + Tần số giá trị khác dấu hiệu

2A Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7A cho bảng

dưới

8 4 9

10 8,5 10

10 8,5 7,5 7,5

9 9,5 9,5

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? Đơn vị điều tra gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Tính số giá trị khác dấu hiệu?

2B Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7B cho bảng

6 8,5 7,5 8,5 9,5

7 7,5 9,5 4,5 7

8 8,5 10

7 8,5 4,5 7

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? Đơn vị điều tra gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Tính số giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số

3A. Hàng ngày, bạn Dũng thử ghi lại thời gian cần thiết để từ nhà đến trường thực điều 10 ngày Kết thu bảng sau:

Ngày 10

Thời gian (phút) 25 27 26 25 26 28 25 25 26 28

a) Dấu hiệu mà bạn Dũng quan tâm b) Dấu hiệu có tất giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số

3B. Hàng tháng, bác An ghi lại mức độ tiêu thụ điện (tính theo Kw/h) gia đình 10 tháng Kết thu bảng sau

Ngày 10

Mức độ tiêu

thụ (Kw/h) 90 95 95 110 115 115 120 95 110 90

a) Dấu hiệu mà bác An quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Có giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng

4A. Màu sắc ưa thích bạn nữ lớp 7A bạn lớp trưởng ghi lại bảng sau

Số thứ tự Tên học sinh Màu sắc ưa thích

1 Quỳnh Màu hồng

2 Ngân Màu đỏ

3 Hoa Màu vàng

4 Lan Màu tím

5 Thương Màu đỏ

6 Huệ Màu hồng

7 Trang Màu vàng

8 Huyền Màu trắng

9 Phượng Màu tím

10 Hương Màu đỏ

a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Có giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng

tổ trưởng ghi lại bảng sau:

Số thứ tự Tên học sinh Mơn học ưa thích

1 Lê Bảo Thanh Toán học

2 Mai Văn Tuấn Toán học

3 Đặng Trung Dũng Văn học

4 Trần Văn Huy Tiếng anh

5 Dương Hữu Mạnh Văn học

6 Lê Hải Vân Lịch sử

7 Trần Kiều Trang Toán học

8 Nguyễn Thu Hồng Sinh học

9 Lê Huy An Toán học

10 Trần Ngọc Minh Tiếng anh

a) Dấu hiệu mà bạn tổ trưởng quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Có giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra số học sinh khối trường em

6 Điểm thi họ kì I mơn Tốn học sinh lớp 7C cho bảng

dưới

5,5 7,5 6,5 9,5 7,5

6,5 6,5 9,5 6,5 9,5

4 7,5 7,5 5,5 10

9 7,5 6

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Tính số giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng

7. Số lượt khách đến thăm quan triển lãm tranh 10 ngày vừa qua ghi lại bảng sau:

Ngày 10

Số lượng 400 450 450 390 380 380 420 400 400 420

a) Dấu hiệu quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Có giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng

8 Số học sinh học muộn tuần qua khối bạn Cờ đỏ ghi

Số thứ tự Lớp Số học sinh muộn

1 7A

2 7B

3 7C

4 7D

5 7E

6 7F

7 7G

a) Dấu hiệu mà bạn cờ đỏ quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Có giá trị khác dấu hiệu?

d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số

HƯỚNG DẪN 1A HS tự lập bảng

Số thứ tự Họ tên học sinh Điểm kiểm tra tiết mơn Tốn

1 Nguyễn Thúy An

2 Trần Quốc Anh 10

3 Nguyễn Quốc Cường

4 Đỗ Việt Dũng 10

5 Trần Thị Hà

6 Trịnh Lê Huy

7 Ngô Khánh Phương

8 Nguyễn Minh Thúy 8,5

9 Nguyễn Mạnh Trường

10 Lê Văn Tuân 7,5

1B. HS tự làm

2A. a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là: Điểm thi học kì I mơn Tốn học

sinh lớp 7A Đơn vị điều tra học sinh lớp 7A

b) Dấu hiệu có tất 32 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu 10

d) Các giá trị khác nhau: 4; 5; 6; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5; 10

Giá trị 7,5 8,5 9,5 10

Tần số 3

2B. Tương tự 2A.

b) Dấu hiệu có tất 32 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu 10

d) Ta có bảng giá trị tần số dấu hiệu sau:

Giá trị 4,5 7,5 8,5 9,5 10

Tần số 2 3 4 7 2 8 4 1 2 1

3A. a) Dấu hiệu mà bạn Dũng quan tâm là: Thời gian cần thiết để từ

nhà đến trường

b) Dấu hiệu có 10 giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Các giá trị khác dấu hiệu: 25; 26; 27; 28 Tần số chúng là: 4; 3; 1;

3B. Tương tự 3A.

a) Dấu hiệu mà bác An quan tâm là: mức độ tiêu thụ điện (tính theo Kw/h) gia đình

b) Dấu hiệu có 10 giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Các giá trị khác dấu hiệu: 90; 95; 110; 115; 120 Tần số chúng là: 2; 3; 2; 2;

4A. a) Dấu hiệu bạn lớp trưởng quan tâm là: Màu sắc ưa thích

bạn nữ lớp 7A

b) Dấu hiệu có 10 giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Các giá trị khác dấu hiệu: Màu hồng, màu đỏ, màu vàng, màu trắng, màu tím

Tần số chúng là: 2; 3; 2; 1;

4B Tương tự 4A.

a) Dấu hiệu bạn tổ trưởng quan tâm là: Mơn học u thích bạn tổ lớp A

b) Dấu hiệu có 10 giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Các giá trị khác dấu hiệu: Toán học, Văn học, Tiếng anh, Lịch sử, Sinh học

Tần số chúng là: 4; 2; 2; 1; 1,

5 Tương tự 1A

Số thứ tự Lớp Số học sinh

2 7B 32

3 7C 35

4 7D 36

5 7E 34

6 7F 32

7 7G 36

6 Tương tự 2A.

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là: Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7C

b) Dấu hiệu có tất 32 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu 10

d) Các giá trị khác nhau: 4; 5,5; 6; 6,5; 7; 7,5; 3; 9; 9,5; 1.0 Tần số chúng là: 3; 2; 6; 4; 3; 5; 3; 2; 3;

7 Tương tự 3A

a) Dấu hiệu quan tâm là: Số lượt khách đến thăm quan triển lãm tranh

b) Dấu hiệu có 10 giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

Các giá trị khác dấu hiệu là: 380; 390; 400; 420; 450 Tần số chúng là: 2; 1; 3; 2;

8 Tương tự 4A.

a) Dấu hiệu bạn Cờ đỏ quan tâm là: Số học sinh học muộn tuần qua khối

b) Dấu hiệu có giá trị

c) Có giá trị khác dấu hiệu

d) Các giá trị khác dấu hiệu: 2; 3; 4; Tần số chúng là: 1; 3; 2;

- Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng "tần số" (bảng phân phối thực nghiệm dấu hiệu)

- Bảng tần số thường lập saư:

+ Vẽ khung hình chữ nhật gồm hai dòng

+ Dòng ghi giá trị khác dấu hiệu theo thứ tự tăng dần + Dòng ghi tần số tương ứng với giá trị

- Bảng tần số giúp người điều tra dễ có nhận xét chung phân phối giá trị dấu hiệu tiện lợi cho việc tính tốn sau

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Lập bảng "tần số" rút nhận xét

Phương pháp giải:

Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng "tần số" (theo dạng "ngang" hay "dọc") nêu rõ giá trị khác dấu hiệu tần số tương ứng giá trị

- Rút nhận xét về:

+ Số giá trị dấu hiệu; + Số giá trị khác nhau;

+ Giá trị lớn giá trị nhỏ giá trị có tần số lớn nhất; + Các giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu

1A. Kết điều tra số 20 gia đình khu dân cư cho bảng sau đây:

0 2 3 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì?

b) Lập bảng "tần số"

c) Hãy nêu số nhận xét từ bảng số 20 gia đình khu dân cư ( số gia đình khu dân cư chủ yếu thuộc vào khoảng nào? Số gia đình đơng con, tức có trở lên chiếm tỉ lệ bao nhiêu)

1B. Số buổi học muộn học kì I 20 bạn học sinh lớp 7A ghi lại bảng sau đây:

5 1 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì?

b) Lập bảng "tần số"

c) Hãy nêu số nhận xét từ bảng (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất)

2A. Tuổi nghề (năm) số công nhân phân xưởng ghi lại bảng sau đây:

5

2 5

5 2

5 10

a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số"

c) Rút nhận xét (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu)

2B. Thời gian giải tốn (tính theo phút) số học sinh lớp ghi lại bảng sau

4 9 10

7 10 10

9 10 10

10 10

11

a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số"

c) Rút nhận xét (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu)

3A Một cung thủ thi bắn cung, số điểm đạt lần bắn

ghi lại bảng sau đây:

8 8 10 8

10 10 10 10

8 9 9 8

a) Dấu hiệu gì? Cung thủ bắn phát ? b) Lập bảng " tần số"

c) Rút số nhận xét

3B. Một vận động viên thi chạy đích Số điểm đạt lần chạy đích ghi bảng sau :

5 4 1

3 5 1

2 6

a) Dấu hiệu gì? Vận động viên chạy đích lần ? b) Lập bảng "tần số"

c) Rút số nhận xét

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4 a) Khi điều tra mơn học u thích bạn lớp 7A Bạn lớp

trưởng ghi lại bảng điều tra ban đầu sau:

Toán học Toán học Tiếng Anh

Vật lí Văn học Vật lí

Tiếng Anh Tiếng Anh Sinh học

Văn học Sinh học Địa lí

Tốn học Địa lí Tốn học

Văn học Sinh học Tốn học

Tiếng Anh Vật lí Văn học

Lịch sử Toán học Toán học

Sinh học Tiếng Anh Tiếng Anh

a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng "tần số"

c) Rút số nhận xét

5. Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7C cho bảng

5,5 7,5 6,5 9,5 7,5

6,5 6,5 9,5 6,5 9,5

4 7,5 7,5 5,5 10

9 7,5 6

a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng "tần số"

c) Rút số nhận xét

6 Số suất cơm từ thiện cho người vô gia cư khu phố cổ Hà Nội thực

hiện nhóm tình nguyện viên ngày vừa qua sau:

STT ngày 1 2 6

Số suất cơm 30 35 35 40 38 35 30

a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng " tần số"

c) Rút số nhận xét

HƯỚNG DẪN

1A a.) Dấu hiệu: Số gia đinh khu dân cư

b) Bảng "tần số": Số

gia đình ( x)

c) Nhận xét:

- Số gia đình khu dân cư từ đến 5;

- Số gia đình khu dân cư có chiếm tỉ lệ cao chiếm tỉ lệ (6/20)

- Số gia đình có từ trở lên chiếm: 40%

1B Tương tự 1A.

a) Dấu hiệu: Số buổi học muộn học kì I học sinh lớp 7A b) Bảng "tần số"

Số buổi

học muộn (x)

Tần số (n) 3 N = 20

c) Nhận xét:

- Có 20 giá trị có giá trị khác (từ buổi học muộn buổi học muộn)

- Số buổi học muộn thấp (buổi) - Số buổi học muộn cao (buổi) - Giá trị có tần số lớn nhất:

2A a) Dấu hiệu: Tuổi nghề (năm) công nhân b) Bảng "tần số"

Tuổi nghề

công nhân (x) 10

Tần sô (n) 2 1 N = 25

c) Nhận xét:

- Có 25 giá trị có giá trị khác (tuổi nghề từ 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 năm)

- Tuổi nghề thấp (năm) - Tuổi nghề cao 10 (năm) - Giá trị có tần số lớn nhất:

- Chưa kết luận tuổi nghề số đông công nhân "chụm" vào khoảng

2B. Tương tự 2A.

a) Dấu hiệu: Thời gian giải toán số học sinh lớp b) Bảng "tần số"

Thời gian giải

toán (x) 10 11

c) Nhận xét:

- Có 25 giá trị có giá trị khác (thời gian giải từ 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 (phút)

- Thời gian giải toán nhanh (phút) - Thời gian giải toán chậm 11 (phút) - Giá trị có tần số lớn nhất:

- Số học sinh giải toán từ đến 10 phút chiếm tỉ lệ cao

3A. a) Dấu hiệu: Số điểm số đạt lần bắn Cung thủ

bắn 27 phát

b) Bảng tần số:

Điểm số (x) 10

Tần số (n) 10 N = 27

c) Nhận xét:

- Điểm thấp là: - Điểm cao là: 10

- Số điểm chiếm tỉ lệ cao

3B Tương tự 3A

a) Dấu hiệu là: Số điểm đạt lần chạy đích Vận động viên chạy đích 30 lần

b) Bảng tần số:

Điểm số (x)

Tần số (n) 10 N = 30

c) Nhận xét:

- Điểm tháp nhất: - Điểm cao nhất:

- Số điểm chiếm tỉ lệ cao

4. a) Dấu hiệu: Mơn học u thích bạn lớp A b) Bảng tần số:

Số thứ tự Mơn học u thích Tần số (n)

1 Toán học

2 Văn học

3 Tiếng Anh

4 Vật lí

5 Sinh học

7 Địa lí N = 30

Nhận xét: Có mơn bạn lớp 7A chọn mơn u thích Có nhiều bạn u thích mơn Tốn Có bạn u thích mơn Lịch sử Địa lí

5 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là: Điểm thi học kì I mơn Toán học

sinh lớp 7C Dấu hiệu có tất 32 giá trị

b) Bảng tần số:

Giá trị (x) 5,5 6,5 7,5 9,5 10

Tần số (n) 3

c) Nhận xét: Điểm số từ đến 10 Số bạn điểm chiếm tỉ lệ nhiều Số bạn 10 điểm chiếm tỉ lệ

6. a) Dấu hiệu cần tìm hiểu là: Số suất cơm từ thiện cho người vô gia

cư khu phố cổ Hà Nội Dấu hiệu có tất giá trị

b) Bảng tần số:

Giá trị (x) 30 35 38 40

Tần số (n) 1

c) Nhận xét: số suất ăn nhóm từ thiện đưa đến người vơ gia cư ngày từ 30 suất đến 40 suất Số ngày phát 35 suất ăn chiếm tỉ lệ cao

CHỦ ĐỀ BIỂU ĐỒ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Người ta thường dùng biểu đồ để biểu diễn hình ảnh cụ thể giá trị dấu hiệu tần số

Thường có dạng biểu đồ sau:

1 Biểu đồ đoạn thẳng

- Xác định điểm có tọa độ cặp số gồm giá trị tần số (giá trị viết trước, tần số viết sau)

- Nối điểm với điểm trục hồnh có hồnh độ

2 Biểu đồ hình chữ nhật

Các đoạn thẳng biểu đồ đoạn thẳng thay hình chữ nhật

3 Biểu đồ hình quạt

Là hình trịn chia thành hình quạt mà góc tâm hình quạt tỉ lệ với tần suất

(Tần suất f giá trị tính theo cơng thức: f n N

= N số

các giá trị, n tần số giá trị, f tần suất giá trị Người ta

thường biểu diễn tần suất dạng tỉ số phần trăm)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Dựng biểu đồ đoạn thẳng, hình chữ nhật

Phương pháp giải: Để dựng biểu đồ đoạn thẳng ta thường thực sau:

Lập bảng "tần số" từ bảng số liệu thống kê ban đầu bảng ghi dãy số biến thiên theo thời gian;

- Dựng trục tọa độ: trục hoành biểu diễn giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n;

- Vẽ điểm có tọa độ cho bảng;

- Vẽ đoạn thẳng nối điểm với điểm trục hồnh có hồnh độ

Để vẽ biểu đồ hình chữ nhật ta thay đoạn thẳng biểu đồ đoạn thẳng bằng hình chữ nhật

1A. Điểm kiểm tra tiết mơn Tốn 10 bạn sau:

5 6 10

Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng

1B. Số gia đình 10 hộ tổ dân phố sau:

2 1 1

Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng

2A. Năm 2017, dân số năm nước đông dân hàng đầu giới gồm: Trung Quốc: 1380 triệu người; Ấn Độ: 1340 triệu người; Mỹ: 326 triệu người; Indonesia: 263 triệu người; Braxin: 211 triệu người Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật biểu thị dân số nước

2B. Dân số Việt Nam qua tổng điều tra kỉ XX là:

Năm 1921: 16 triệu người; năm 1960: 30 triệu người; năm 1980: 54 triệu người; năm 1990: 66 triệu người; năm 1999: 76 triệu người Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật biểu thị dân số Việt Nam qua năm

3B. Khảo sát việc sử dụng phương tiện đến trường 200 học sinh khối trường kết sau: Đi bộ: 90 bạn, xe đạp: 50 bạn, xe máy: 40 bạn, Ơ tơ: 20 bạn Hãy lập bảng tần số tính tần suất vẽ biểu đồ hình quạt biểu diễn tỉ lệ phương tiện sử dụng đến trường học

Dạng Đọc biểu đồ đơn giản

Phương pháp giải:

Khi đọc biểu đồ cần trả lời câu hỏi sau: + Biểu đồ biểu diễn gì?

+ Từng trục biểu diễn cho đại lượng nào? + Sự biến thiên giá trị nào?

- Đối với biểu đồ biểu diễn, trực tiếp mối quan hệ giá trị dấu hiệu tần số tập trưng nhận xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, nhóm giá trị có tần số tương đối lớn

- Đối với biểu đổ biểu diễn thay đổi giá trị theo thời gian nhận xét thêm tăng giảm toàn thời gian theo giai đoạn

4A. Biểu đổ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7A hình vẽ Hãy lập bảng tần số từ biểu đồ rút nhận xét

4B Biểu đồ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7B

hình vẽ Hãy lập bảng tần số từ biểu đồ rút nhận xét

5 Nhiệt độ trung bình hàng tháng năm địa phương

được ghi lại bảng sau:

Tháng 10 11 12

Nhiệt độ 20 21 25 30 32 33 32 27 25 20 20 17 Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đồ đoạn thẳng

6 Số bão năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm

cuối kỉ XX ghi lại bảng sau:

3 6

2 4 2

a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số"

c) Biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng rút nhận xét

7 Lớp 7A có 40 bạn, tổng kết học kì I có bạn xếp loại giỏi 20 bạn xếp

loại khá, 10 bạn xếp loại trung bình bạn xếp loại yếu Hãy lập bảng tần số tính tần suất vẽ biểu đổ hình quạt biểu diễn học lực học sinh

8 Biểu đổ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7C

hình vẽ Hãy lập bảng "tần số" từ biểu đồ rút nhận xét

HƯỚNG DẪN 1A Ta có bảng "tần số" sau:

Điểm (x) 10

Tần số (n) 1 1 N = 10

1B Tương tự 1A.Ta có bảng "tần số" sau

Số (x)

Tần số (n) 5 3 1 1 N = 10

Biểu đồ đoạn thẳng:

2A Biểu đồ hình chữ nhật biểu thị dân số nước:

2B. Tương tự 2A Biểu đổ hình chữ nhật biểu thị dân số Việt Nam qua

3A. Ta có bảng "tần số" sau:

Học lực Giỏi Khá Trung bình Yếu

Tần số (n) 20 60 90 30 N = 200

Tần suất ( f ) 10% 30% 45% 15% 100%

Ta có 10% ứng với góc tâm 3,6° x 10 = 36°; 15% ứng với góc tâm 3,6°x 15 = 54°; 30% ứng với góc tâm 3, 6° x 30 = 108°; 45% ứng với góc tâm 3, 6° x 45 = 162°

Ta có biểu đồ hình vẽ sau

3B Tương tự 3A Ta có bảng "tần số" sau:

Phương tiện

đến trường Đi Xe đạp Xe máy Ơtơ

Tần số (n) 90 50 40 20 N = 200

Tần suất ( f ) 45% 25% 20% 10% 100%

4A Ta có bảng "tần số" sau:

Điểm ( x) 10

Tần số (n) 1 6 3 N = 28

Nhận xét: Có tất 28 kiểm tra Kết học tập lớp mức Khơng có bạn bị điểm Điểm thấp 2, có 1bạn điểm Điểm cao 10 có bạn 10 điểm

Có bạn bị điểm trung bình Tỉ lệ đạt điêm cao Tỉ lệ điểm từ trở lên đạt 14

28 = 50%

4B.Tương tự 4A Ta có bảng "tần số" sau:

Điểm (x) 10

Tần số (n) N = 28 Nhận xét: Học sinh tự làm

5. Tương tự 1A Ta có bảng "tần số" sau:

Nhiệt độ 17 20 21 25 27 30 32 33

Tần số (n) 1 N = 12

Biểu đồ đoạn thẳng:

6. a) Dấu hiệu ; Số bão năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm cuối kỉ XX

Số bão

trong năm

Tần số (n) 2 1 N = 20

c) Ta có bảng biểu đồ đoạn thẳng saư:

Nhận xét: Trong 20 năm trên, số bão năm từ đến bão Đa số năm số bão năm từ đến Có năm có bão năm, số bão năm chiếm tỉ lệ (1 năm có bão năm có bão)

7 Tương tự 3A. Học sinh tự làm

8 Tương tự 4A Ta có bảng "tần số" sau:

Điểm (x) 10

Tần số (n) 3 6 N = 28

Nhận xét: Có tất 28 kiểm tra Kết học tập lớp mức khá, Khơng có bạn bị điểm Điểm thấp 4, có bạn điểm Điểm cao 10 có bạn 10 điểm Có bạn bị điểm trung bình Tỉ lệ đạt điểm 7, 8, cao Tỉ lệ điểm từ trở lên đạt 20

28≈71,43%

CHỦ ĐỀ SỐ TRUNG BÌNH CỘNG I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Dựa vào bảng "tần số" ta tính số trung bình cộng số (kí hiệu X) sau:

+ Nhân giá trị với tần số tương ứng; + Cộng tất tích vừa tìm được;

+ Chia tổng cho số giá trị (tổng tần số) Cơng thức tính:

1 2 3 k k

x n x n x n x n X

N

+ + + +

=

trong đó: x1, x2, x3, …xklà k giá trị khác dấu hiệu X

n1,n2, n3,… nk tần số tương ứng, N số giá trị

2 Ý nghĩa số trung bình cộng

- Số trung bình cộng dùng làm "đại diện" cho dấu hiệu, đặc biệt muốn so sánh dấu hiệu loại

- Khi giá trị dấu hiệu, có khoảng cách chênh lệch lớn nhau, khơng nên lấy số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu

- Số trung bình cộng khơng thuộc dãy giá trị dấu hiệu

3 Mốt dấu hiệu

- Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng "tần số" Kí hiệu M0

- Có dấu hiệu có hai mốt nhiều

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Tính số trung bình cộng dấu hiệu

Phương pháp giải: Để tính số trung bình cộng dấu hiệu, ta vào

bảng "tần số", sử dụng công thức:

1 2 3 k k

x n x n x n x n X

N

+ + + +

=

Lưu ý: Không nên dùng số trung bình cộng làm "đại điện" cho dấu hiệu

giá trị dấu hiệu có khoảng cách chênh lệch lớn

1A Điểm thi mơn học kì I bạn An sau:

Toán 10 Lịch sử

Văn Địa lí

Anh Cơng dân 8

Vật lí Cơng nghệ

Sinh học Tin học 10

a) Dấu hiệu gì?

b) Lập bảng "tần số" giá trị khác dấu hiệu c) Tính điểm trung bình học kì I bạn An

1B Cân nặng 10 bạn tổ I lớp 7A sau:

An 30 Dũng 27

Vân 28 Lê 30

Hổng 25 Hiếu 35

Huệ 35 Mai 28

Tuấn 27 Ngọc 27

a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng "tần số" giá trị khác dấu hiệu c) Tính cân nặng trung bình 10 bạn tổ I

2A Quan sát bảng "tần số" tính số trung bình cộng Cho biết có

nên dùng số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu khơng? Vì

Giá trị ( x) 60 70

Tần số (n) 3 N = 15

2B Quan sát bảng "tần số" số tính trung bình cộng Cho biết có

nên dùng số trung bình cộng làm "đại diện" cho dấu hiệu khơng? Vì sao?

Giá trị ( x) 90 70

Tần số (n) N = 15

3A. Đo chiều cao 30 học sinh lớp kết theo bảng (đơn vị cm):

Chiều cao (sắp xếp theo khoảng) Tần số ( n)

105

110-120

121-131

132-142

143-153

155

N= 30

a) Bảng có khác so với bảng tần số biết ? b) Tính số trung bình cộng trường hợp

3B. Cân nặng nhóm học sinh, thư kết bảng sau (đơn vị: kg):

Cân nặng (sắp xếp theo khoảng) Tần số ( n)

28

31 - 35

36 - 40

41 - 45

53 N= 30 Bảng có khác so với bảng tần số biết?

Tính số trung bình cộng trường hợp

4A. Trung bình cộng sáu số 20 Do thêm số thứ bảy nên trung bình cộng bảy số 25 Tìm số thứ bảy

4B. Trung bình cộng bốn số 15 Do thêm số thứ năm nên trung bình cộng năm số 18 Tìm số thứ năm

Dạng Mốt dấu hiệu

Phương pháp giải: Để tìm mốt dấu hiệu ta dựa vào bảng bảng "tần

số" Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng

5A. Theo dõi thời gian làm toán 30 học sinh, thầy giáo lập bảng sau (tính phút):

Thời gian (x) 10

Tần số (n) 3 N = 30

a) Thời gian trung bình để học sinh làm xong tốn bao lâu? b) Tìm mốt dấu hiệu

5B. Số bão năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm Cuối kỉ XX ghi lại bảng sau:

Số bão

Tần số (n) 2 1 N = 20

a) Số bão trung bình năm bao nhiêu? b) Tìm mốt dấu hiệu

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Khối lượng 20 gói kẹo (tính theo gam) ghi lại bảng sau:

200 198 199 199 201 202 199 198 200 200 198 199 200 200 199 200 201 201 200 199 a) Dấu hiệu gì?

b) Lập bảng "tần số" giá trị khác dấu hiệu c) Tính khối lượng trung bình gói kẹo

7. Điều tra số tiền điện phải trả hàng tháng gia đình khu phố (đơn vị: nghìn đồng/ tháng), người ta ghi bảng tần số ghép lớp sau

Lớp Tần số (n)

100 - 190 15

200 - 290 25

400 - 490 35

500 - 590 20

600 - 690 20

700 - 790

N = 150 a) Dấu hiệu

b) Tính tiền điện trung bình hàng tháng gia đình

8 Điều tra số gia đình 60 gia đình khu vực dân cư

người ta thu kết bảng sau:

Số (x)

Tần số (n) 15 18 14 N = 60

a) Dấu hiệu

b) Tính số trung bình gia đình c) Tìm mốt dấu hiệu

9 Trung bình cộng năm số 28 Do thêm số thứ sáu nên trung bình

cộng sáu số 32 Tìm số thứ sáu HƯỚNG DẪN

1A a) Dấu hiệu là: Điểm thi mơn học kì I bạn An b) Ta có bảng "tần số" sau:

Điểm thi 10

Tần số (n) 1 2 2 3 2 N = 10

c) Điểm trung bình học kì I bạn An là:

6.1 7.2 8.2 9.3 10.2 8, 10

X = + + + + =

1B. a) Dấu hiệu là: Cân nặng 10 bạn tổ lớp 7A b) Ta có bảng "tần số" sau:

Cân nặng 25 27 28 30 35

Tần số (n) 1 3 2 2 2 N = 10

c) Cân nặng trung bình 10 bạn tổ I là:

25.1 27.3 28.2 30.2 35.2

29, 2( ) 10

X = + + + + = kg

2A. Số trung bình cộng là:

1.3 2.1 3.3 4.4 60.3 70.1

18, 76 15

Khơng nên dùng trung bình cộng làm đại diện cho dấu hiệu giá trị có khoảng chênh lệnh lớn

2B. Tương tự 1A. Số trung bình cộng là:

1.3 2.1 3.3 4.4 90.2 70.3 28 15

X = + + + + + =

Khơng nên dùng trung bình cộng làm đại diện cho dấu hiệu giá trị có khoảng chênh lệnh lớn

3A. a) Bảng cho giá trị dấu hiệu dạng khoảng

b) Trước hết ta tính só trung bình cộng khoảng Số trung bình cộng giá trị lớn nhỏ khoảng Ví dụ: trung bình cộng khoảng 110 - 120 115

- Nhân số trung bình vừa tìm với tần số tương ứng - Thực tiếp bước theo quy tắc học

Để tiện việc tính toán ta kể thêm vào cột chiều cao cột số trung bình cộng lớp; sau cột tần số cột tích trung bình cộng

Chiều cao cộng Trung bình

lớp Tần số

Tích trung bình cộng lớp với tần số

105 105 315

110 - 120 115 805

!

121 - 131 126 630

132 - 142 137 822

143 - 153 148 1036

155 155 310

N = 30 3918

Số trung bình cộng là: 3918 30

X = = 130,6 (cm)

3B Tưong tự 3A.

Ta tính số trung bình cộng là: X = 40,33 (kg)

4A Gọi số x1; x2; x3; x4; x5; x6; x7

Trung bình cộng sáu số là: 1+ 2+ + +

6

x x x +x x x

= 20

nên ta có: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 120 Trung bình cộng bảy số

1+ 2+ + +

7

x x x +x x x +x

= 25 suy ra:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7= 175 Từ tìm x7 = 55

5A a) Thời gian trung bình để học sinh làm xong toán là: X -

3.1 4.3 5.3 6.6 7.8 8.5 9.3 10.1 30

X = + + + + + + + = 6,63 (phút)

b) Mốt dấu hiệu M0 =

5B. Tương tự 5A.

a) Số bão trung bình năm là:

2.3 3.7 4.4 5.2 6.2 8.1 9.1 20

X = + + + + + + = 4,1 (con bão/năm)

b) Mốt dấu hiệu M0 =

6 Tương tự 1A.

a) Dấu hiệu là: Khối lượng 20 gói kẹo b) Ta có bảng "tần số" sau:

Khối lượng (x) 198 199 200 201 202

Tần số (n) N= 20

c) Khối lượng trung bình gói kẹo là: X = 199,65 (gam)

7 a) Dấu hiệu là: Số tiền điện phải trả hàng tháng gia

đình

b) Tiền điện trung bình gia đình là: X = 417 (nghìn)

8 a) Dấu hiệu là: Số gia đình

b) Số trung bình gia đình là: X = 2,55 (con)

c) Mốt dấu hiệu M0 =

9 Tương tự 4A Ta tìm x6 = 52

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem lại phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

30 27 28 28 27 29 28 29 28 29 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì?

b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Tính số giá trị khác dấu hiệu d) Lập bảng "tần số"

e) Tính số trung bình cộng dấu hiệu f) Tìm mốt dấu hiệu

1B Tổng số điểm thi học kì I ba thi mơn Tốn, Văn, Tiếng Anh 10 bạn

học sinh giỏi lớp 7B sau:

28 29 27 28 26 26 28 27 28 29

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị?

c) Tính số giá trị khác dấu hiệu d) Lập bảng "tần số"

e) Tính số trung bình cộng dấu hiệu f) Tìm mốt dấu hiệu

2A. Tính trung bình cộng năm gói hàng có hai gói khối lượng 2,7kg, gói có khối lượng 2,4kg hai gói khối lượng 2,5kg

2B. Tính trung bình cộng năm dưa hấu có hai khối lượng 2,8 kg, có khối lượng 3kg hai có khối lượng 3,5 kg

3A. Sản lượng lúa Đồng sông Cửu Long số năm, từ năm 2011 đến năm 2015 (tính theo triệu tấn) cho bảng sau:

Năm 2011 2012 2013 2014 2015

Sản lượng lúa 23,27 24,32 25 25,25 25,6

a) Dấu hiệu gi?

b) Năm 2014 sản lượng lúa Đồng sông Cửu Long bao nhiêu? c) Biểu diễn biểu đồ hình chữ nhật

d) Nhận xét sản lượng lúa Đồng Bằng sông Cửu Long thời gian từ 2011 đến 2015

e) Tính sản lượng lúa trung bình thời gian từ năm 2011 đến năm 2015

3B. Diện tích trồng lúa Việt Nam từ năm 2011 đến năm 2015 (tính theo triệu ha) cho bảng sau:

Năm 2011 2012 2013 2014 2015

Diện tích lúa 7,66 7,76 7,9 7,82 7,83

a) Dấu hiệu gì?

d) Nhận xét diện tích trồng lúa Việt Nam thời gian từ 2011 đến 2015

e) Tính diện tích trồng lúa trung bình thời gian từ năm 2011 đến năm 2015

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

4. Tổng số điểm thi học kì I ba thi mơn Tốn, Văn, Tiếng Anh 10 bạn học sinh giỏi lớp 7C sau:

26 27 27 28 26 29 28 27 28 27

a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị

c) Tính số giá trị khác dấu hiệu d) Lập bảng "tần số"

e) Tính số trung bình cộng dấu hiệu f) Tìm mốt dấu hiệu

5 Hàng ngày, bạn Dũng thử ghi lại thời gian cần thiết để xe đạp từ nhà

đến trường thực điều 15 ngày Kết thu bảng sau thời gian tính theo phút?

Thời gian (x) 25 26 27 28 29

Tần số (n) 16 N = 15

a) Dấu hiệu bạn Dũng quan tâm gì?

b) Tính thời gian trung bình Dũng từ nhà đến trường c) Tìm dấu hiệu

6 Một cửa hàng bán giày ghi lại số giày bán cho nam giới

tháng theo cỡ khác nháu sau:

Cỡ giày (x) 38 39 40 41 42 43

Số giày bán(n) 16 28 36 15 N = 110 a) Dấu hiệu gì?

b) Số "đại diện" cho dấu hiệu? Vì sao? c) Có thể rút nhận xét gì?

7 Cho bảng "tần số" giá trị dấu hiệu M0 =

Giá trị(x) x1 x2 x3 … xn

Tần số (n) n1 n2 n3 … nk

a) Tính số trung bình cộng

b) Nếu giá trị dấu hiệu tăng lên lần số trung bình cộng thay đổi nào?

c) Nếu giá trị dấu hiệu giảm lần số trung bình cộng thay đổi nào?

HƯỚNG DẪN

b) Dấu hiệu có tất 10 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu d) Ta có bảng "tần số" sau:

Tổng điểm 27 28 29 30

Tần số (n) N = 10

e) Điểm trung bình: X = 28,3 f) Mốt dấu hiệu M0 = 28

1B. Tương tự 2A.

a) Dấu hiệu: Tổng số điểm thi học kì I ba thi mơn Toán, Văn, Tiếng Anh 10 bạn học sinh giỏi lớp 7B

b) Dấu hiệu có tất 10 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu d) Ta có bảng "tần số" sau:

Tổng điểm (x) 26 27 28 29

Tần số (n) 2 N = 10

e) Điểm trung bình: X = 27,6

f) Mốt dấu hiệu M0 = 28

2A Khối lượng trung bình: 2, 7.2 2, 4.1 2, 5.2

5

X = + + = 2,56 (kg)

2B. Tương tự 2A Khối lượng trung bình: X = 3,12 (kg)

3A. a) Dấu hiệu là: Sản lượng lúa Đồng sông Cửu Long từ năm 2011 đền năm 2015

b) Năm 2014 sản lượng lúa Đồng sông Cửu Long 25,25 triệu

c) Biểu đồ:

d) Sản lượng lúa Đồng Bằng sông Cửu Long từ 2011 đến 2015 liên tục tăng Từ năm 2011 đến 2012 tăng mạnh (1,05 triệu tấn), năm sau tăng chậm hơn, năm sau cao năm trước khoảng 0,25 - 0,68 triệu, tấn)

23, 27 24, 32 25 25, 25 25,

X = + + + + = 24, 688 (triệu tấn)

3B Tương tự 2A.

a) Dấu hiệu là: Diện tích trồng lúa Việt Nam từ năm 2011 đến năm 2015

c) Biểu đồ

d) Diện tích trồng lúa Việt Nam từ 2011 đến 2015 tăng dần Từ năm 2012 đến 2013 tăng mạnh (0,14 triệu ha), từ năm 2013 đến năm 2014 bị giảm 0,08 triệu ha, sau lại tăng thêm 0,01 triệu vào năm 2015

7, 66 7, 76 7, 7,82 7,83

X = + + + + = 7,794 triệu

4 a.) Dấu hiệu: Tổng số điểm thi học kì I ba thi mơn Tốn, Văn, Tiếng

Anh 10 bạn học sinh giỏi lớp 7C b) Dấu hiệu có tất 10 giá trị

c) Số giá trị khác dấu hiệu d) Ta có bảng "tần số" sau:

Tổng điểm (x) 26 27 28 29

Tần số (n) N= 10

e) Điểm trung bình: X = 27,3 f) Mốt dấu hiệu M0 = 27

5 a) Dấu hiậu bạn Dũng quan tâm thời gian cần thiết để xe đạp từ

nhà đến trường

b) Thời gian trung bình để bạn Dũng từ nhà đến trường

25.2 26.4 27.6 28.2 29.1 15

X = + + + + = 26,73 (phút)

c) Mốt dấu hiệu M0 = 27

6 a) Dấu hiệu: Số giày bán cho nam giới tháng theo

cỡ

b) Mốt dấu hiệu là: M0 = 41 nên số 41 đại diện cho dấu hiệu

là điều cửa hàng quan tâm: cỡ giày bán nhiều

7 Ta có 1 2 3

1

k k k

x n x n x n x n n n

X

n n

+ + + …+

+ + + …+

=

b) Nếu giá trị dấu hiệu tăng lên lẩn số trung bình cộng tăng lên lần

c) Nếu giá trị dấu hiệu giảm lần số trung bình cộng giảm lần

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Kết thống kê số điểm đạt sau lần bắn xạ thủ cho bảng sau:

Tần sô (n) 11

Câu 1.Dấu hiệu là:

A Số lần bắn xạ thủ

B Số điểm đạt sau lần bắn xạ thủ C Số lần bắn trúng xạ thủ

D Tần số điểm bắn xạ thủ

Câu 2.Tổng số phát súng xạ thủ bắn là:

A 6; B.10; C 30; D 40

Câu 3.Số điểm khác sau lần bắn là:

A 5; B 6; C 10; D 30

Câu 4.Số lần xạ thủ bắn trượt là:

A 0; B 1; C 2; D

Câu 5.Giới hạn cao số điểm là:

A 0; B.11; C 10; D 30

Câu 6.Mốt dấu hiệu là:

A 9; B.10; C 11; D

Câu 7.Số lần đạt điểm 10 là:

A 9; B.10; C 11; D 14

Câu 8.Điểm trung bình qua lần bắn xạ thủ là:

A 8,24; B.7,7; C 8,3; D.8,0

PHẨN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1. (5,0 điểm) Cân nặng 20 bạn học sinh (tính trịn đến kg) lớp ghi lại sau:

32 31 30 29 31 28 30 31 30 32

33 30 31 28 30 30 29 32 29 30

a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng tần số

c) Tính số trung bình cộng d) Tìm mốt dấu hiệu e) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng

Bàì 2. (1,0 điểm) Trung bình cộng năm số 12 Do bớt số thứ năm nên trung bình cộng bốn số cịn lại Tìm số thứ năm

HƯỚNG DẪN

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Câu B Câu C Câu C Câu A Câu B Câu D Câu B Câu D PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1 a) Dấu hiệu: Cân nặng 20 bạn học sinh (tính trịn đến kg) lớp

b) Lập bảng tần số

Tần số (n) N= 20 c) 28.2 29.3 30.7 31.4 32.3

2

33

.1

X = + + + + + = 30,3 (kg)

d) Mốt dấu hiệu M0 = 30

e) Biểu đồ đoạn thẳng

Bài 2. Gọi số x1; x2; x3; x4; x5 Trung bình cộng năm số

1 +

5

+ +

x x x +x x

= 12 nên ta có x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 60

Trung bình cộng bốn số cịn lại 9, nên ta có: x1 + x2 + x3 + x4 = 4.9 = 36 Từ tìm x5 = 24

ĐỀ SỐ PHẨN I TRẮC NGHIỆM ( ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Chiều cao số bạn học sinh lớp (đơn vị: cm ) ghi lại sau:

Giá trị (x) 153 154 155 156 157 158

Tần số (n)

A Số bạn học sinh lớp tham gia đo chiều cao; B Chiều cao số bạn học sinh lớp 7;

C Số bạn học sinh cao 158 cm; D Số bạn học sinh cao 153 cm

Câu 2 Số bạn tham gia đo chiều cao là:

A 6; B 10; C 20; D 30

Câu Số giá trị khác dấu hiệu :

A 5; B 6; C.10; D 30

Câu 4.Số bạn cao từ 153 cm đến 155 cm là:

A 16; B.8; C 5; D.3

Câu 5.Số bạn cao 158 cm là:

A 1; B.2; C.3; D.4

Câu 6.Mốt dấu hiệu là:

A 2; B.8; C.158; D.155

Câu 7.Số bạn cao 157 cm 158 cm là:

A 5; B.2; C.7; D.8

Câu 8.Chiều cao (cm) trung bình bạn là:

A.155,4; B 155,5; C.156,2; D.155,8

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1 (5,0 điểm) Thời gian vẽ tranh (tính theo phút) số học sinh lớp 7A ghi lại bảng sau:

35 40 38 42 42 40 40 42 45 38

38 40 38 35 30 42 42 35 40 40

a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng tần số?

c) Tính số trung bình cộng d) Tìm mốt dấu hiệu e) Vẽ biểu đồ đoạn thẳng

Bài (1,0 điểm) Trung bình cộng năm số 10 Do bớt số thứ năm nên trung bình cộng bốn số cịn lại Tìm số thứ năm

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Câu B Câu B Câu D Câu D Câu B Câu C Câu A Câu A

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1 a) Dấu hiệu: Thời gian vẽ tranh số học sinh lớp 7A

Thời gian (x) 30 35 38 40 42 45

Tần số (n) N = 20

c) 30.1 35.3 38.4 40.6 42.5 45.1

20

X = + + + + + = 39,1 (phút)

d) Mốt dấu hiệu M0 = 40

c) Biểu đồ đoạn thẳng

Bài 2.Tương tự Bài 2 Đề I. Ta tìm x5 = 26

CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ KHÁI NIỆM BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

- Biểu thức đại số biểu thức chứa số, phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa); ngồi cịn có chữ (a, b, c, x, y, z,.,.) đại diện cho số

- Trong biểu thức đại số, chữ đại diện cho số tùy ý Người ta gọi chữ biến số (còn gọi tắt biến)

- Để tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trưóc biến, ta thay giá trị cho trước vào biểu thức thực phép tính

Dạng Viết biểu thức đại số theo mệnh đề cho trước

Phương pháp giải: Dùng chữ, số phép toán để diễn đạt

mệnh đề phát biểu lời

1A Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Tổng bình phương x y; b) Bình phương tổng x y;

c) Tích tổng x y với hiệu x y; d) Trung bình cộng x, y z

1B Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Hiệu bình phương x y; b) Lập phương hiệu x y; c) Tổng x với tích y; d) Tích x với tổng y

2A Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Chu vi hình vng có cạnh a;

b) Chu vi hình chữ nhật có chiều dài a (cm) chiều rộng (cm.); c) Diện tích tam giác có cạnh a chiều cao tương ứng h (a h đơn vị đo)

2B Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Diện tích hình vng có cạnh a;

b) Diện tích hình hộp chữ nhật có chiều dài a (cm), chiều rộng b (cm) chiều cao (cm)

c) Diện tích hình thang có đáy lớn a, đáy nhỏ b chiều cao h (các độ dài đơn vị đo)

3A Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Tổng bình phương hai số lẻ liên tiếp; b) Tổng bình phương hai số lẻ bất kỳ; c) Tổng hai số hữu tỉ đối

3B Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Tổng hai số tự nhiên liên tiếp;

b) Tổng hai số hữu tỉ nghịch đảo nhau; c) Tổng bình phương hai số chẵn liên tiếp

Dạng Bài toán dẫn đến việc viết biểu thức đại số

Phương pháp giải: Căn vào nội dung toán để viết biểu thức đại

số theo yêu cầu đề

4A Bạn Tâm mua giá x đồng bút giá y đồng

một Hỏi tổng số tiền bạn Tâm phải trả bao nhiêu?

4B. Bạn An mua 4kg táo giá x đồng kg, 5kg cam giá y đồng kg, 6kg xoài giá z đồng kg Hỏi tổng số tiền bạn An phải trả

so với buổi trưa Viết biểu thức biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn ngày theo t, x, y

5B. Một người hưởng mức lương a đồng tháng Hỏi người nhận tiền, nếu:

a) Trong quý lao động người bảo đảm đủ ngày cơng làm việc có hiệu suất cao nên thưởng thêm m đồng?

b) Trong hai quý lao động người bị trừ n đồng (n < a) nghỉ ngày cơng khơng phép?

6A Một người từ nhà đến bến xe buýt 15 phút với vận tốc x (km/h) lên xe buýt 24 phút đến nơi làm việc Vận tốc xe buýt y (km/h) Viết biểu thức biểu thị quãng đường từ nhà người đến nơi làm việc

6B. Viết biểu thức biểu thị quãng đường người biết người x (h) với vận tốc (km/h) ô tô y (h) với vận tốc 35 (km / h)

7A. Diễn đạt biểu thức sau lời:

a) x + y; b) ( )( )

2 x+y x−y

7B. Diễn đạt biểu thức sau lời:

a) 5(x + y); b) (x + y)2(x - y)2

Dạng Tính giá trị biểu thức đại số

Phương pháp giải: Để tính giá trị biểu thức đại số ta thay chữ

các giá trị cho trước thực phép tính

8A Tính giá trị biểu thức sau: a) A = 3x2 - x = - x = -1

2

b) B = 2x2+ y x = y =

8B. Tính giá trị biểu thức sau: a) A = - x3 + 2x2 - x = 2;

b) B = (x5+ y6 - 2) (2y - 4) x = 100 y =

9A. Một viên đá thả từ cao xuống đất Sau t giây viên đá rơi h (m) Biết h = 5t2, tính quãng đường viên đá rơi sau 1,5 giây

9B. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài a (m) chiều rộng ngắn chiều dài 8m, người ta đào áo hình vng có cạnh b (m) (b < a - 8) Tính diện tích cịn lại khu vườn biết a = 50 m; b = 10m

Dạng Tính giá trị biểu thức biết mối quan hệ biến

Phương pháp giải: Sử dụng biểu thức liên hệ biến để tính giá

trị biểu thức cho

10A. Tính giá trị biểu thức: a) N=

2 x y

x y −

+ biết x y =

1

b) M = (x5 + y5 - x2y2) (x + y) - biết x + y =

10B. Tính giá trị biểu thức: a) N =

3 x y x y

−

+ biết x y =

b) M = (x + y)x2 - y3(x + y) + (x2 - y3) + biết x + y + l =

Dạng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

Phương pháp giải: Để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) ta biến đổi biểu

thức dạng: số cộng (trừ) với biểu thức không âm

Lưu ý: 2

0; 0; A 0;

A ≥ −A ≤ ≥ − A ≤

11A. Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức:

a) A = 2x2 + 1; b) B = - 3x2 - l; c) C = |- 3x2|

11B. Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức:

a) A = (x +1)2 +1; b) B = -3(x +1)2 -1; c) C = |-3(x - l)2|

12A. Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức: a) A = (x - 2)2 + |y - 3| + 1;

b) B = |x2 - 1| + (x - 1)2 + y2

c) C = 2

2(x+1) +1

12B. Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức: a) A = ( 2x - 3)2 +

2

1

2017

y

 −  +

 

 

b) B = 2(x +1)2 + |-3(x2 - l)|;

c) C = 12

2(x 1)

−

+ +

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

13 Viết biểu thức đại số để biểu thị:

a) Tích ba số nguyên liên tiếp;

b) Tổng bình phương hai số lẻ

14 Diễn đạt biểu thức đại số sau lời:

a) x + 2y; b) 7x - 6y; c) 2x2+ (3y)2

15 Hai ga A B cách 420 km, tàu khải hành từ ga A tới ga B

với vận tốc 50 (km / h), lúc tàu khác khởi hành từ ga B ga A với vận tốc 55(km / h)

a) Viết biểu thức biểu thị khoảng cách hai tàu sau chúng di chuyển t (h)

b) Tính khoảng cách hai tàu sau 2h c) Sau hai tàu gặp nhau?

16 Tính giá trị biểu thức:

a) A = 3x2 - 2x + x = l; b) B = 4xy (x - y) x = -1 ,y =

17 Tính giá trị biểu thức:

a)

2 x y A

x y − =

− biết x y =

b) B = 2x + 2y + 3xy (x + y) + 5(x3y2 + x2y3) + biết: x + y =

18 Tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức:

a) A = (x - 1)2 +1; b) B = x2 + x4 -

2;

c) C = - (x - 2)4 -|y - l| + l; d) D = 22

HƯỚNG DẪN

1A. a) x2 + y2 b) (x + y)2

c) (x + y) (x-y) d)

3 x+ +y z

1B. Tương tự 1A.

a) x2 - y2 b) (x - y)3

c) x + 5y d) x ( + y)

2A. a) 4a b) ( a + 7) c)

2ah

2B. Tương tự 2A.

a) a2 b) 5ab c) ( )

2 a b h+

3A Đây toán mở, kết đưa kết thường

dùng

a) (2n - )2 + (2n +1)2với n ∈Z b) (2n + 1)2 + (2m + 1)2 với m, n ∈Z,

c) a a

b b

 

+ − 

 với a, b ≠ 0; a, b ∈ Z

3B. Tương tự 3A

a) n + (n + 1) với n ∈ Z b) a b

b+a với a, b ≠0; a, b ∈ Z

c) (2n)2 + (2n + 2)2với n ∈Z

4A. Số tiền Tâm phải trả 5x + 4y đồng

4B. Số tiền An phải trả 4x + 5y + 6z đồng

5A Nhiệt độ lúc mặt trời lặn ngày t + x - y độ 5B. a) 3a + m (đồng) b) 6a - n (đồng)

6A Đổi 15 ' 15 ; 24 ' 24

60h 4h 60h 5h

= = = = Quãng đường người từ nhà

đến nơi làm việc

4x+5 y (km)

6B Quãng đường người 5x + 35y (km) 7A a) Tổng hai số x y

b) Nửa tích tổng hai số x, y hiệu hai số x, y

7B a) Năm lần tổng hai số x y

b) Tích bình phương tổng hai số x, y bình phương hiệu hai số x, y

8A a) Thay x = - l vào biểu thức A ta có: A = 3x2- = 3(-1)2 - = -6; Thay x = -1

2 vào biểu thức A ta có:

A= 3x2 - =

2

1 33

9

2

−  − = −  

 

b) Thay x = 1; y = vào biểu thức ta được: B =

b) Thay x = 1, y = vào biểu thức B ta có: B =

9A. Quãng đường viên đá rơi h = 5t2 = 5.1,52 = 11,25 (m)

9B. Diện tích cịn lại khu vườn a (a - 8) - b2

Thay a = 50 m; b = 10m ta có: 50 (50 - 8) - 102 = 2000(m2)

10A. a) Ta có y = 2x => N =

2

x x x x − = + Cách khác:

5 1

3 5. 3

5 3

2

2 1 2. 1

3

x y x x y y y N

x y x x y y y − − − − = = = = = − + + + +

b) Ta có x + y = => y - x

M = x4 - x (-x)3 + x3 (- x) - ( - x)4 -1 = x4 + x4 - x4 - x4 -1 = -1

10B Tương tư 10A. a) N = -1

5

b) Ta có x + y + l = => x + y = -1 Từ tính M =

11A. a) Với x ∈ R ta có 2x2 ≥ Do 2x2 +1 ≥

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ (GTNN) x =

b) Với x∈ R ta có -3x2 ≤ Do -3x2 -1 ≤ -1 Vậy biểu thức B đạt giá trị lớn (GTLN) -1, x =

c) Với x∈R ta có |x2| ≥ Do |-3x2| ≥0 Vậy biểu |-3x2| đạt GTNN 0, x =

11B. Tương tự 11A. a) A đạt GTNN x = - l b) B đạt GTLN 0, x = -1

c) C đạt GTNN x =

12A. a) Với x, y ∈ R ta có (x - 2)2 ≥ 0; |y - 3| ≥ Do (x - 2)2

+ |y - 3| + l ≥

Vậy GTNN A x = 2, y =

b) Với x, y ∈ R ta có (x - l)2 ≥ 0; |x2 -1| ≥ 0; y2 ≥ Do |x2

- 1| + (x - l) + y2 ≥

Vậy GTNN B 0, x = 1; y =

c) Theo câu 11B GTLN C = mẫu số đạt GTNN hay x = -

12B. a) Amin = 2017

3

;

2

x= y=

b) Bmax = x = -

c) Cmin = -1 x = -1

13 a) n(n + l)(n + 2) (n ∈ Z)

b) (2n +l)2 +(2m + l)2 (m; n ∈ Z

14 a) Tổng hai số x hai lần số y

b) Hiệu bảy lần x sáu lần y

c) Tổng hai lần bình phương số x bình phương ba lần số y

15 a) Biểu thức biểu thị khoảng cách hai tàu 420 - 50t - 55t viết

gọn 420 -105x

b) Với t = tính khoảng cách 210 km

4(h)

16 a) A = 6; b),24 17 a) B =15

7

b) A = 2x + 2y + 3xy (x + y) + (x3y2 + x2y3) + = ( x + y) + 3xy (x + y) + 3x2y2 (x + y) + =

18 a) A ≥1∀x => Amin =  x =

b) b ≥

2 − ∀

x => Bmax =

− 

x = c) Cmax =  x = ; y =

d) Dmax =  x =

CHỦ ĐỀ ĐƠN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Đơn thức:là biểu thức đại số gồm số, biến, tích

giữa số biến

Đơn thức thu gọn: đơn thức gồm tích số với biến mà

biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Số nói gọi hệ số, phần lại gọi phần biến đơn thức thu gọn

 Bậc đơn thức: Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ

tất biến có đơn thức - Số thực khác đơn thức bậc không - Số coi đơn thức khơng có bậc

Nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với

nhân phần biến với

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Nhận biết đơn thức

Phương pháp giải: Để nhận biết biểu thức đơn thức, ta vào định

nghĩa đơn thức (một số, biến tích số biến)

a) 2

5+xy b) 9x

2

yz3 ; c) 2x2 - xy;

d) 16,5; e) x2y2 ; f) xyz

1B. Trong biểu thức sau biểu thức không đơn thức:

a) 3x + xyz - 2; b) xy2 c) x2 + 2y + z;

d) 3xyx3z3 e) 0; g)

1 9x −

Dạng Thu gọn đơn thức

Phương pháp giải: Để nhân hai hay nhiều đơn thức, ta nhân hệ số với

nhau nhân phần biến với

Khi viết đơn thức thành đơn thức thu gọn, ta áp dụng quy tắc nhân đơn thức nêu

2A Thu gọn đơn thức sau

2

1

)

3

a − x y xy b) -5xy4 ( -0.2x2y2)

c) ( -2x2y) (5x3y3) d)

2

1

2x y

− 

 

 

2B Thu gọn đơn thức sau:

a)

.( ) 4x xy

−  −

 

  ;

b) 2

3x y 3xy 2xy

−  −   

     

     

c) (-0,1x3y)3

3A. Thu gọn đơn thức sau bậc đơn thức đó: a)

5x y 4xy

− b) -3xy4

3 −     x

2

y2

3B. Viết đơn thức sau thành đơn thức thu gọn bậc đơn thức

a) 2xyx b)

8xy 3xy;

c) y2x2

2y xy

− 

 

  d) 2x

2

y ( -3x2y2) x

Dạng Tính giá trị đơn thức

Phương pháp giải: Ta thay giá trị biến vào đơn thức thực

hiện phép tính

4A. Cho đơn thức A = 3x2y

a) Xác định phần hệ số, phần biến A

b) Tính giá trị đơn thức A x = y = -1

4B Cho đơn thức B =

3

− x3y2z

a) Xác định phần hệ số, phần biến B b) Tính giá trị B x = - 3, y = -2 z =

5A. Tại giá trị x đơn thức 4x2y3có giá trị 128, biết

y =

5B. Tại giá trị x đơn thức

4x

y3có giá trị

9, biết

y =

3

6A Cho đơn thức A = 2xy2 2

2x y x

 

 

 

a) Thu gọn đơn thức A

b) Tìm bậc đơn thức thu gọn

c) Xác định phần hệ số, phần biến đơn thức thu gọn d) Tính giá trị đơn thức x = 1, y = -1

e) Chứng minh A nhận giá trị dương với x ≠0 y ≠

6B. Cho đơn thức A = 2

3xy 2x      

a) Thu gọn đơn thức A

b) Tìm bậc đơn thức thu gọn

c) Tính giá trị đơn thức x = 1, y =

d) Chứng minh A nhận giá trị dương với x ≠0 y ≠

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Trong biểu thức sau biểu thức đơn thức: a) - + 2x2y b) -

3x

y2 c)

3

3

xy z z x

+

8. Tính tích sau: a)

2 xyz 4xy

z xy2z yz2 b)

2x y xy

− 

 

 

c) (2x2)2 (-3y3) d)

2 21

2

x x x

 

 

 

9. Tìm bậc đơn thức sau:

a) (2x2)2 (-3y)3 (- 5xz)3; b) 2y3y2xy3x2y2 c) (-2x2yz3)2 ( -3x3y2z)3 d)

2

3

3

25x 3x y y

   

   

   

10 Cho biết bậc hệ số đơn thức sau (a số, x biến):

-2,5ax3

11 Hai đơn thức -1

2xy

3x3y có giá trị dương không?

12 Cho đơn thức A = xy3(2xy2) a) Thu gọn đơn thức

b) Tìm bậc đơn thức thu gọn

c) Xác định phần hệ số, phần biến đơn thức thu gọn d) Tính giá trị đơn thức tại: x = 2; y = -1

13 Cho đơn thức A = 2 2

8x y 3xy z 5x y −

b) Tìm bậc đơn thức

c) Tính giá trị đơn thức tại: x = - 1, y = -2, z = d) Đơn thức A nhận giá trị dương không

HƯỚNG DẪN 1A Các biểu thức đơn thức b, d, e, f

1B Các biểu thức không đơn thức a, c, e 2A a) 3

3x y 2xy 2x y

− = −

b) -5xy4 (-0,2x2y2) = x3y6 c) ( -2x2y) (5x3y3) = -10x5y4 d)

2

2

1

1

2x y 4x y

−  =

 

 

2B a)

4x

 

 

 ( - 8xy

) = 2x4y2

b) 3

3x y 3xy 2xy 3x y

  −   =

     

     

c) ( -01,x3y)3 = - 0,001x9y3

3A a) 5 3

.( ).( )

5x y 4xy x x y y 4x y

−

 

− =  = −

  ; bậc

b) - 3xy4

3 −     x

2

y2 = x3y6bậc

3B a) 2xyx = 2x2y bậc

b)

8xy3xy = 21

8 x

y2 bậc

c) y2x2

x 2y y

− 

 

 =

-1 x

3

y6bậc d) 2x2y (-3x2y2) x = - 6x5y3bậc

4A a) Phần hệ số 3, phần biến x2y

b) A= -3

4B a) Phần hệ số -2

3, phần biến x

y2z b) B = -2

3x

y2z= -2

3( -3)

(-2)21

2 = 36

5A 4x2 23 = 128 => x =

5B

3

3 1

4x x

 

−   = => =  

6A a) A = 2xy2 2

2x y x

 

 

 = x

4

y4 b) Bậc đơn thức c) Phần hệ số 1, phần biến x4

e) Vì x4 > 0; y4 > ∀x ≠ 0; y ≠ => x4y4 > 0∀x ≠ 0; y ≠0

6B Tương tự 6A HS tự làm 7 Biểu thức đơn thức b) 8 a)

2xyz 4xy

z xy2z yz2 = 2x3y7z5

b) 39

2x y xy 8x y

−  = −

 

 

c) ( 2x2)2 ( -3y3) = -12x4y3 d)

2 21

2 x x x

 

 

  = x

12

9 a) (2x2)2 ( -3y)3 (-5xz)3 = 13500x7y3z3bậc 13 b) 2y3y2xy3x2y2 = 6y8x3bậc 30

c) ( -2x2yz3)2 ( -3x3y2z)3 = -108x13y8z9bậc 30 d)

2

3

3

25x 3x y 2y 12x y

   

−     = −

    bậc 15

10 Hệ số : - 2,5a

Bậc: a ≠0 đơn thức bậc

a = đơn thức khơng có bậc

11 Xét tích hai đa thức -1 2xy

3

3x3y = -3

2x

y4 Ta thấy x4y4 dương với x; y nên -3

2x

y4 ≤ với x ;y hai đa thức khơng thể nhận giá trị dương

12 a) A = xy3 (2xy2) = 2x2y5 b) Đơn thức có bậc

c) Phần hệ số ; phần biến x2y5 d) A = -8

13 a) A = -1

5x

y4 z2 b) Bậc A 12

c) Giá trị biêu thức 144

5 −

d) x6≥ 0; y4≥ 0; z2 ≥0 =>A ≤ ∀x; y; z

CHỦ ĐỀ ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Hai đơn thức dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần

biến Các số khác coi đơn thức đồng dạng

 Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với

nhau giữ nguyên phần biến

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Nhận biết đơn thức đồng dạng

Phương pháp giải: Chú ý hai đặc điểm đơn thức đồng dạng:

- Hệ số khác 0; - Có phần biến

1A. Sắp xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng

5 3x

2

y; xy2; -1

2x

y

x2y;

4xy

; xy

1B. Sắp xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng

2x2y2; x3y; -5

2x

y

xy3 ;

4x

y2; - x3y

2A. Chứng tỏ đơn thức sau đơn thức đồng dạng A = 12

3x

y2 B= -3x3y

5x

y C =

2(xy) 22

5x

A = x3y2 (xy2) B =

2(xy) 22

5(xy)

Dạng Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Phương pháp giải: Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng ta cộng (hay

trừ) hệ số giữ nguyên phần biến

3A. Tính tổng ba đơn thức sau: a) 3x2 ;

2x

; 2x2; b) 3y ; y ; - 5y

3B. Tìm tổng ba đơn thức: a)1

2x

y2 ; -3

4x

y2 2x2y2; b) 25xy2; 55xy2+ 75xy2

4A. Thu gọn biểu thức sau: a) -3x2 - 0,5x2 + 2,5x2 ; b) 5x3 - 3x2 + x - x3 - 4x2 - x; c) -3

4x

y +

2x y 8x y

−  − − 

   

   

d) 2 2

4xy 2y 4xy y

 

− − − +

 

4B Thu gọn biểu thức sau:

a) 3

3

3 y y 2y y

− + − −

 

 

b) -5x2y + 3yx -

2x

y +

4xy ;

c) 2xy - 2yz.z + xy +1

2z

y + 2zy y ;

5A Cho biểu thức A = x3 + 3x2 - 2x + x3 - x +1: a) Thu gọn biểu thức A;

b) Tính giá trị biểu thức x =

5B Cho biểu thức B = y2 + 2y - 2y2 - 3y + 3: a) Thu gọn biểu thức B;

b) Tính giá trị biểu thức y =

6A. Viết đơn thức sau thành tổng hiệu hai đơn thức có

một đơn thức x2

y

a) 5x2y; b) -2x2y; c) x2y

6B Viết đơn thức sau thành tổng hiệu hai đơn thức có

một đơn thức xy: a)1

2 xy b) -2xy; c)

-2 3xy

7A Xác định a để tổng đơn thức axy3 ;-3axy3;7xy3bằng

2xy

7B Xác định a để tổng đơn thức -xy;-axy;1

2xy xy

8A Rút gọn biểu thức sau:

8B Rút gọn biểu thức sau:

a) 2n - 2n-2; b)

3.3 n

- 3n-1

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Tìm đơn thức đồng dạng với đơn thức sau:

-

3x

y; - xy2 ; 5x2y; 6xy2; 2x3yă;

2x

y

10 Tính:

a) 5xy2 +3xy2 +xy2; b)

4xyz 3xyz 2xyz

 

+ + − 

 

11 Tính hiệu: a) 7uv2 -

4uv

; b)

2uv 8uv

 

− − − 

 

12 Viết đơn thức sau thành tích hai đơn thức có đơn

thức 2xy2

:

a) 3x2y3; b) 6xy3; c) -14x3y5

13 Cho biểu thức A =

2x

-2x2 - 4x -

2x

- x + l a) Thu gọn biểu thức A;

b) Tính giá trị biểu thức x =

HƯỚNG DẪN 1A Nhóm 1: 2

; ;

3x y −2x y x y Nhóm 2: xy

;

4xy

Nhóm 3: xy

1B Nhóm 1: 2x2y2 ;

4x

y2 Nhóm 2: -

2x

y ; x3y; - x3y Nhóm 3: xy3

2A A= 12

3x

y2 =

3x

y2 B= - 3x3y

5x

y = -

5x

y2

C =

2 ( xy)

2

5x

=

5x

y2

Ba biểu thức có phần biến nên chúng đồng dạng

2B. Sau biến đổi hai đơn thức cho có phần biến x4y4

3A. a) 3x2 +

2x

+ 2x2 = 11

3

2 x x

 + +  =

 

 

b) 3y + y - 5y = ( + - 5) y = -y

3B. Tương tự 3A a)

4x

y2 b) 155xy2

4A a) -3x2 - 0,5x2 + 2,5x2 = (-3 - 0,5 + 2,5)x2 = -x2 b) 5x3 - 3x2 + x - x3 - 4x2 - x

c) 3 5

4x y 2x y 8x y 8x y

   

− + −  − = −

   

d) 2 2 2

4xy 2y 4xy y 6y xy

 

− − − + = +

 

4B. Tương tư 4A. a)

6y

+ 2y2

b) 11 15

2 x y xy

− + c) 2

3

2

xy− yz + y z

5A. a) Thu gọn A = 2x3 + 3x2 - 3x + l b) Thay x = tính A = 23

5B a) Thu gọn B = - y2 - y + 3; b) Thay y - tính B =

6A. a) 5x2y = 4x2y + x2y 5x2y = 6x2y - x2y b) -2x2y = x2y - 3x2y - 2x2y = - x2y - x2y c) x2y = 2x2y - x2y

6B. a)

2xy = xy - 2xy =

3

2xy - xy

b) -2xy = xy - 3xy = - xy - xy c) -2

3xy = 3xy -

1 3xy =

1

3xy - xy 7A. axy3+ (-3axy3) + 7xy3 = (a + 4)xy3;

Để tổng đơn thức 2xy

3

2 = a + => a= -7

7B. Tương tự 7A a = -3

2

8A a) 3n + 3n+2 = 3n + 9.3n = 10.3n b) 1,5.2n - 2n -1 = 1,52n - 0,52n = 2n

8B a) 2n - 2n-2 = 2n -

4.2 n

=

4.2 n

b)

3.3 n

- 3n -1 =

3.3 n

9 Nhóm 1: 3

; 3x y x y

− Nhóm 2: 5x2y ;

2x

y Nhóm 3: - xy2; 6xy2

10 a) 5xy2 + 3xy2 + xy2 = 9xy2 b)

4xyz +

3xyz +

1

2xyz 12xyz − =

 

 

11 a) 7uv2 - 63

4uv

=

4uv

b)

2uv

- 3

8uv 8uv

− =

 

 

12 a) 3x2y3 = 2xy2

2xy b) 6xy

3

13 a) A =

2x

- 2x2 - 4x -

2x

- x + = -2x2 - 5x + b) A = -17

CHỦ ĐỀ ĐA THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi

một hạng tử đa thức

 Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn

đa thức

 Lưu ý:

- Mỗi đơn thức coi đa thức

- Số gọi đa thức khơng khơng có bậc

- Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta thu gọn đa thức

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Nhận biết đa thức

Phương pháp giải: Để nhận biết biểu thức đa thức, ta vào định

nghĩa đa thức

1A Biểu thức đa thức biểu thức sau:

a) x2 - 3; b) x - +

x

c)

5x + xy

d) xyz - ax2 + b đ) 22

2 x a

+

+ ( a số) e)

1 z

xz x + +

1B Biểu thức không đa thức biểu thức sau:

a) 3x2 + xy3z - z; b) xy3 - 4xyz

c)

2

2

x y z xy

+ +

d) 3xyx3z3 đ) 22

2 x a

+

+ ( a số) e) -

5 9x

3

a) 5kg táo 4kg nho

b) 10 hộp táo 10 hộp nho, biết hộp táo có 10kg hộp nho có 12kg

Mỗi biểu thức tìm hai câu có phải, đa thức khơng?

2B. Ở cửa hàng giá bút x (đồng) y (đồng) Hãy viết biểu thức biểu thị số tiền:

a) Bạn An mua bút

b) Bạn An mua hộp bút 10 tập vở, biết hộp có 12 bút tập có 10

Mỗi biểu thức tìm có phải đa thức khơng?

Dạng Thư gọn đa thức

Phương pháp giải: Để thu gọn đa thức ta thực hai bước:

Bước 1.Nhóm đơn thức đồng dạng với nhau;

Bước 2.Cộng trừ đơn thức đồng dạng nhóm

3A. Thu gọn đa thức a) M = y2 - 2y +

2y

+ 5y - y2 b) P =

3x

y + xy2 - xy +1

2xy

- 5xy -

3x

y c) Q= 5x2y - 3xy +

2x

y - xy + 5xy -

3x + +

2 3x

-1

3B. Thu gọn đa thức sau: a) A = 2x2 + x -

2x

+ 5x b) B = 5xy +1

2x

y -

3xy + 2x

y c) C = 2x3 - 2xy + x2 + 5xy - x2 -

2x

Dạng Tìm bậc đa thức

Phương pháp giải: Để tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa

thức Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức

4A. Tìm bậc đa thức sau (a số): a) 2x -5xy + 3x2; b) ax2 + 2x2-

4B. Tìm bậc đa thức sau (a số): a) ax3 + 2xy - 5; b) 4y2 - 3y - 3y4

5A. Cho đa thức Q = -3x5 -

2x

y -

4xy

+ 3x5 +

a) Thu gọn đa thức Q b) Tìm bậc đa thức Q

5B Cho đa thức N = 3x2 + 7x3 - 3x3 + 6x3 - 3x2

a) Thu gọn đa thức N b) Tìm bậc đa thức N

6A Cho đa thức 4x5y2 - 3x3y + 7x3y + ax5y2 (a số) Biết bậc đa thức Tìm a ?

6B Cho đa thức ax3y - 2xy2 +3xy - 2x3y - 7x + l Biết đa thức có bậc a sốnguyên nhỏ Tìm a?

Phương pháp giải: Để tính giá trị đa thức giá trị cụ thể biến, ta thường làm sau:

Bước 1.Thu gọn đa thức;

Bước 2. Thay giá trị biến vào đa thức thu gọn thực

phép tính

7A Cho đa thức A = 3x2y + 2,5xy2 + 4x2y - 3,5xy2 a) Thu gọn A

b) Tìm bậc A

c) Tính giá trị A tại: x = -

7,y = 14

7B. Cho đa thức A = - 2xy2 +1

3x

y - x -

3x

y + xy2 + x - 4x2y a) Thu gọn A

b) Tìm bậc A

c) Tính giá trị A tại: x = 1, y =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

8 Cho đa thức M = 2x3 - 3x2 +1 - x3 + 5x2 - a) Thu gọn M

b) Tìm bậc M

c) Tính giá trị M x =

Cho đa thức P = 2xy +1

2x

y2 - xy -1

2x

y2 +y - l a) Thu gọn P

b) Tính giá trị P tại: x = 0,1; y = -2

10. Cho a, b, c số thỏa mãn a + b + c = 2006 Hãy tính giá trị đa thức sau:

a) A = ax3y3 + bx2y + cxy2tại x = l, y = l b) B = ax2y2 - bx4y + cxy6tại x = y = -1

c) C = axy + bx2y2- cx4y x = -l, y = -1

11 Xét đa thức P = 2an+1 - 3an +5an+1 - 7an + 3an+1 (n ∈ N) a) Thu gọn P

b) Với giá trị a P =

12 Tính giá trị đa thức 3x4 + 5x2y2 + 2y4 + 2y2biết x2 +y2 =

13 Tìm giá trị x để Q = biết rằng:

Q = 5xn+2 + 3xn + 2xn+2 + 4xn + xn+2 + xn (n ∈ N)

HƯỚNG DẪN 1A Các đa thức ý a, c, d, e

1B. Biểu thức ý c) không đa thức

2A. a) 5x + 4y; b) l00x + 120y

2B. a) 3x + 5y; b) 36x + 100y

3A. a) 2 2

( )

2

M =y + y −y + − y+ y = y + y

b) 2 2

( )

3 2

P= x y− x y  + x y+ xy − xy+ xy = xy − xy

   

c) 11 1

2

Q= x y+xy+ x+

3B Tương tự 3A. a) A =

2x

+ 6x b) B = 13

3 xy+2x y c) C =

3 2x

3

+3xy

4A. a) Bậc

b) ax2 + 2x2 -3 = (a + 2)x2 -

Nếu a ≠ - bậc đa thức Nếu a = - bậc đa thức

4B. a) Nếu a ≠ bậc 3, a = bậc b) Bậc

5A a) Thu gọn Q =-1

2x

y -

4xy

+ b) Đa thức bậc

5B. a) N = 3x2 +7x3 - 3x3 + 6x3 - 3x2 = 10x3 b) Bậc

6A. a = -4

6B. a ≠2 ; a < 5; a ∈Z

7A a) A = 7x2y - xy2 b) Bậc A c) A = 30

7B. a) A = -xy2 - 4x2y b) Bậc A c) A = -12

8. a.) A = x3+2x2 - b) Bậc A c) A = 15

9 a) Rút gọn P = xy + y -

b) Thay x = 0,1; y = - ta P = 16

5 −

10 a) Thay x = 1; y = vào biểu thức A ta được: A = a.l.l + b.l.l + c.1.1 = a + b + c = 2006

Tương tự b) B = 2006 c) C = 2006

11 a) P = 10an+1 - 10an b) a = 0; a = l

12. 3x4 + 5x2y2 + 2y4 + 2y2 = 3x4 + 3x2y2 + 2x2y2 + 2y4 + 2y2 = 3x2 (x2 + y2) + 2y2(x2 + y2) + 2y2 = 6(x2 + y2) = 12

13. Q = 5xn+2 + 3xn + 2xn+2 + 4n + xn+2 + xn = => xn+2 + xn = => x =

CHỦ ĐỀ CỘNG, TRỪ ĐA THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Khi cộng trừ hai đa thức ta thường làm sau:

Bước 1. Viết hai đa thức dấu ngoặc;

Bước 2. Thực bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc);

Bước 3. Nhóm đơn thức đồng dạng;

Bước 4. Cộng trừ đơn thức đồng dạng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tính tổng hai đa thức

Phương pháp giải: Thực bước cộng hai đa thức nêu

1A Tính tổng hai đa thức:

a) P = x2y + x3 - xy2 +3 Q = x3 + xy2 - xy - 6;

b) M = x2y + 0,5xy3 - 7,5x3y2 + x3; N = 3xy3 - x2y + 5,5x3y2 c) P = x5 +xy + 0,3y2 - x2y2 - 2;Q = x2y2 +5 - l,3y2

1B Thực phép tính:

a) A = (x2 +y2 - 2xy) + (x2 + y2 + 2xy);

b) B = (3x2 - xy2 +3y2) + (-x2 +7xy - 5y2) + (xy - 3y2); c) C = (xy - 3xy2) + (2xy2 + 5xy) +

2xy;

d) D = (xy2 - 3x2y) + (4xy2 + 5x2y) + (-x2y - 6xy2)

Dạng Hiệu hai đa thức

Phương pháp giải: Thực bước trừ hai đa thức nêu

2A. Cho hai đa thức:

M = 3xyz - 3x2 + 5xy -1; N = 5x2 + xyz - 5xy + - y Tính M - N ; N - M

2B. Cho hai đa thức:

M = x2 + 2xy - 4y2 ; N = 5y2 + 2xy + x2 -1 Tính M - N; N - M

M = 4x3 - 2x2y + xy + N = 3x2y + 2xy - P = 4x3 - 5x2y + 3xy +

Tính M - N- P; P- N-M

3B. Cho đa thức: M =

3x

y2 -2

5xy + 5xy

+1; N= 3x2y + xy

P = x3y2 -

2 x

y + 3xy +1; Tính M - N - P; P - N - M

4A. Thu gọn sau tìm bậc đa thức:

a) A = (2,4x2 + l,7y2 + 2xy) - (0,4x2 - l,3y2 + xy); b) B = (6,7xy2 - 2,7xy + 5y2) - (1,3xy - 3,3xy2 + 5y2)

4B Thu gọn sau tìm bậc đa thức:

a) C = (3x2 + y2 - 2xy) - (x2 + 2y2 - xy) - (4x2 - y2); b) D = (x2 + y2- 2xy) - (x2 + y2 + 2xy) - (4xy - 1)

Dạng Tìm hai đa thức biết đa thức tổng đa thức hiệu đa thức cịn lại

Phương pháp giải:

• Nếu M + B = A M = A - B; • Nếu M - B = A M = A + B; • Nếu A - M = B M = A - B

5A. Tìm đa thức P; Q biết:

a) P + (x2 - 2y2) = x2 - y2 + 3xy2 -1; b) Q - (5x2 - xyz) = xy + 2x2 - 3xyz +

5B Tìm đa thức M; N biết:

a) (6x2 - 3xy2) + M = x2 + y2 - 2xy2; b) N - (2xy - 4y2) = 5xy + x2 - 7y2

6A Cho đa thức: A = x2 - 2y2 + xy + 1; B = x2 + y2 - x2y2 -1 Tìm đa thức C thỏa mãn:

a) C = A + B; b) C + A =B

6B Cho đa thức: A = 4x2 + 3y2 -5xy; B = 3x2 +2y2 + 2x2y2 Tìm đa thức C thỏa mãn:

a) C = A + B; b) C +A = B

7A Cho đa thức: x2 + 3x2y - 5xy2 - 7xy- Tìm đa thức M cho tổng M đa thức không chứa biến x

7B Cho đa thức: x3+ 3x2y - 5xy2 - 7xy - Tìm đa thức M cho tổng M đa thức đa thức bậc

Dạng Tính giá trị đa thức

Phương pháp giải: Để tính giá trị đa thức giá trị cho trước

của biến, ta thu gọn đa thức ý nhận xét đặc điểm đa thức có để thực phép tính thuận tiện

8A. Tính giá trị đa thức sau:

b) B = xy- x2y2 + x4y4 - x6y6 + x8y8tại x = -1, y = -1

8B Tính giá trị đa thức P x = l; y = 10; z = 100; t= 1000 biết:

P = (x + y + z - t ) + (x + y - z +t) + (x - y + z + t) + (-x + y + z + t)

9A. Cho hai đa thức: A = x3 - 2x2 +1; B = 2x2 -1 a) Tính M = A + B

b) Tính giá trị M x =

c) Tìm x để M =

9B Cho hai đa thức: A = x3 - x2 - 2x + l; B = -x3 + x2 a) Tính M = A + B

b) Tính giá trị M x = c) Tìm x để M =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Tìm tổng hiệu hai đa thức sau tìm bậc chúng:

A = 2x3 - 4x2y + l

3 xy

- y4 +1; B = -2x3 -11

2x

y - y4 -3

11 Tìm M biết:

a) M + (5x2 - 2xy) = 6x2 + 9xy - y2; b) M - (6x2 - 4xy) = 7x2 - 8xy + y2

12 Viết đa thức bậc ba với hai biến x, y có ba hạng tử 13. Cho hai đa thức: A = x2 - 4x +1; B = x (2x +1)

a) Tính C = A + B b) Tìm bậc C

c) Tính giá trị C x = -1

HƯỚNG DẪN

1A. a) P + Q = (x3 + x3) + x2y + (- xy2 + xy2 ) - xy + (3 - 6) = 2x3 + x2y - xy - 3,

b) M + N = x3 + 3,5xy3 - 2x3y2 c) P + Q = x5+ xy - y3 +

1B. a) A = 2x2 + 2y2 b) B = 2x2 - xy2 + 8xy - 5y2 c) C = 13

2 xy - xy

d) D= x2y - xy2

2A. M - N = -8x2 + 2xyz + l0xy - + y; N - M = 8x2 - 2xyz - 10xy + - y

2B. M - N = -9y2 +l; N - M = 9y2 - l;

3A. M - N - P = -4xy + 5; P - N - M = -6x2y +

3B M - N - P = 2 22

5

3x y xy 2x y xy

− + − −

P- N - M = 2 12

5

3x y −2x y− xy + xy

4A. a) Thu gọn A = 2x2 + 3y3+ xy; bậc 3; b) Thu gọn B = 10xy2

4B. Tương tự 4A.

a) C = -2x2 - xy; bậc b) D = -8xy + 1; bậc

5A. a) P = x2 - y2 + 3xy2 - - (x2 - 2y2) = y2 + 3xy2 -

b) Q = xy+ 2x2 - 3xyz + + (5x2- xyz) = xy+ 7x2 - 4xyz +

5B. a) M = x2 + y2 - 2xy2 - (6x2 - 3xy2) = -5x2 + y2 + xy2; b) N = 7xy + x2 - 11y2

6A. a) C= (x2 - 2y2 + xy +1) + (x2 + y2 - x2y2 - 1) = 2x2 - y2 + xy - x2y2

b) C = (x2 + y2 - x2y2 -1) - (x2 - 2y2 + xy +1) = 3y2 - x2y2 - xy -

6B. a) C = (4x2 + 3y2 - 5xy) + (3x2 + 2y2 + 2x2y2) = 7x2 + 5y2 + 2x2y2 - 5xy;

b) C = (3x2 + 2y2 + 2x2y2) - (4x2 + 3y2 - 5xy) = - x2 - y2 + 2x2y2 - 5xy

7A. Có vơ số đa thức M chẳng hạn M = - x2 - 3xy + 5y2 - 2xz + 7z2 ta có:

(-x3 - 3xy + 5y2 + 2xz + 7z2) + (x2 + 3xy - 5xy2 - 7xy - 2) = 4y2 + 6z2

7B. Có vơ số đa thức M chẳng hạn M = -x3 - 3x2y + 5xy2 - 7xy Thì ta có (-x3 - 3x2y + 5xy2 - 7xy) + (x3 + 3x2y - 5xy2 - 7xy - 2) = -2

8A. a) x2 + 2xy - 3x3 + 2y3 + 3x3 - y3 = x2 + 2xy + y3

Thay x = 5; y = vào A ta A = 52 + 2.5.4 + 43 = 129; b) Ta có xy = (-1)(-1) = thay vào B ta

B = xy - x2y2 + x4y4 - x6y6 + x8y8 =1 - 12 + 14 - 16 +18 =1

8B. Thu gọn ta P = 2x + 2y + 2z + 2t; Thay vào tính P = 2222

9A a) M = x3 ; b) M =

8; c) x =

9B. a) M = -2 + ; b) M = -l; c) x =

2

10. 11 4

2

2

A+ = −B x y+ xy − y −

3

4

2

A B− = x − x y+ xy +

11 a) M = (6x2 + 9xy - y2 ) - (5x2 - 2xy) = x2 + 11xy - y2 b) M = (7x2 - 8xy + y2) + (6x2 - 4xy) = 13x2 - 12xy + y2

12. Có nhiều cách viết x3 + 2xy + y; -5x2y + xy2 - 5;

13. a) C = (x2 - 4x + l) + (2x2 + 2x) -3x2 - 2x + 1, b) Bậc C

c) C =

CHỦ ĐỀ ĐA THỨC MỘT BIẾN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Đa thức biến

- Đa thức biến tổng đơn thức biến - Mỗi số coi đa thức biến

- Bậc đa thức biến (khác đa thức không, thu gon) số mũ lớn biến đa thức

• Sắp xếp đa thức

- Để thuận lợi cho việc tính tốn đa thức biến, người ta thường xếp hạng tử chúng theo lũy thừa tăng giảm biến

- Để xếp hạng tử đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức

• Hệ số

Hệ số lũy thừa bậc biến gọi hệ số tự do; hệ số lũy thừa bậc cao biến gọi hệ số cao

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Thu gọn xếp hạng tử đa thức Phương pháp giải:

Để thu gọn đa thức, ta làm sau:

Bước 1. Xác định đơn thức đồng dạng

Bước 2.Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Sau xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa tăng giảm biến

1A. Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến: a) P(x) = 3x4 - 3x2 +12 - 3x4 + x3 - 2x + 3x -15;

b) Q(x) = x6 -

2x

+ 3x3 - x5 + +

2x

- 2x3 - x6 + x5

1B. Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa tăng dần biến:

a) P(x) = 2x5 - 3x4 + 2x + - x - 2x5 + 4x4 - x; b) Q(x) = - x3 - 5x4 - 2x + 3x2 + 2+ 5x4 - 12x - - x2

2A. Cho đa thức P (x) = 3x5 - x2 - x - - 3x5 - 2x2 + 3x +

a) Thu gọn xếp hạng tử P(x) theo lũy thừa giảm dần biến

b) Chỉ hệ số khác P(x)

a) Thu gọn xếp hạng tử Q (x) theo lũy thừa giảm dần biến

b) Chỉ hệ số khác Q(x)

3A. Thu gọn đa thức sau:

a) P(x) = -x (x + 5) - (2x - 3) + x2 (3x - 2); b) Q(x) = 2x (x +1) + 3x (5 - x) - 7(x - 5)

3B. Thu gọn đa thức sau:

a) P(x) = 2x (x - 2) + (x + 3) + (x +1); b) Q(x) = 5x2 - (x +1) + 3x (x - 2) +

Dạng Xác định bậc, hệ số đa thức

Phương pháp giải:

- Bậc đa thức biến (khác đa thức không, thu gọn) số mũ lớn biến đa thức

- Hệ số lũy thừa bậc biến gọi hệ số tự do; hệ số lũy thừa bậc cao biến gọi hệ số cao

4A. Xác định bậc hệ số tự do, hệ số cao đa thức sau: a) A(x) = -x4 + x3 - 2x2 + x -

b) B(x) = -x4 + 3x2 - 2x3 + 5x5 - x +

c) C(x) = 2x2 + 3x4 - x + - 3x2 - 2x4 + 2x + x3

4B Xác định bậc hệ số tự do, hệ số cao đa thức sau:

a) A(x) = x3 - 2x2 + x -

b) B(x) = -2x4 + 3x2 + - 2x3 + x5 - x c) C(x) = 2x2 - x + - 3x2 + 2x + x3

5A. Viết đa thức biến có ba hạng tử mà hệ số cao hệ số tự -2

5B Viết đa thức biến co hai hạng tử mà hệ số cao la -3 hệ

số tự

Dạng Tính giá trị da thức

Phương pháp giải:

- Để tính giá trị đa thức, ta thường làm saư:

Bước 1. Thu gọn đa thức (nếu cần)

Bước 2.Thay giá trị biến vào đa thức thực phép tính

- Chú ý: Giá trị đa thức P(x) x = a kí hiệu P(a)

6A Cho đa thức: P(x) = -x4 +3x2 +5 - 2x3 + x + x4 - x2 + 2x3 -

a) Thu gọn xếp hạng tử P(x) theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính P(0); P(-1); P(1); P

2      

6B Cho đa thức: Q(x) = 3x4+ 3x - x2 +1 - 2x4 + 2x2 - 3x

a) Thu gọn xếp hạng tử Q(x) theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính Q(0); Q(-1); Q(1)

7A Cho đa thức: P(x) = x4 + 2x2 +1 a) Tính P(0); P(l); P(-l); P

2 −     ; P

1      

7B Cho đa thức: Q(x) = x3 + x

a) Tính Q(0); Q(l); Q(-l); Q(2); Q(-2)

b) Chứng minh rằng: Q(-a) = - Q(a) với a

8A. Cho đa thức: P(x) = 2x3 + x2 + - 3x + 3x2 - 2x3 - 4x2 +1 a) Thu gọn P(x)

b) Tính giá trị P(x) x = 0; x = -1; x =

c) Tìm giá trị x để P(x) = 0; P(x) =

8B Cho đa thức: Q(x) = 5x4 - 3x2 + 3x - - 5x4 + 4x2 - x - x2 +2 a) Thu gọn Q(x)

b) Tính giá trị Q(x) x = 0; x = -1; x =

2

c) Tìm giá trị x để Q(x) = 0; Q(x) =

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9. Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến:

a) P(x) = 4x5 - 3x2 + 3x - 2x3 - 4x5 + x4 - 5x + + 4x2

b) Q(x) = x7 - 2x6 + 2x3 - 2x4 - x7 + x5 + 2x6 - x + + 2x4 - x5

10 Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần

biến Chỉ hệ số cao hệ số tự đa thức a) P(x) = x5 + 3x2 + x4 -

2x - x

+ 5x4 + x2 - +

2x

b) Q(x) = 3x5 + 4x4 - 2x +

2- 2x

+ 3x - x5 - 2x4 +

2+ x

11. Cho đa thức: P(x) = 7x3 + 3x4 - x2 + 5x2 - 6x3 - 2x4 + 2017 - x3

a) Thu gọn xếp hạng tử P(x) theo lũy thừa giảm dần biến

b) Chỉ bậc P (x)

c) Viết hệ số P (x) Nêu rõ hệ số cao hệ số tự d) Tính P (0); P (1); P (-1)

e) Chứng minh rằng: P (-a) = P (a) với a

12 Tính giá trị đa thức P (x) = x + x3 + x5 + x7 + …+ x101tại x = -1

HƯỚNG DẪN

1A. a) P(x) = x3 - 3x2 + x - b) Q (x) = x3 + x2 +

1B. a) P(x) = x4 + b) Q (x) = -x3 + 2x2 - 14x -

2A. a) P(x) = -3x2 + 2x3 + x - b) HS tự làm

2B. a) Q (x) = 2x4 + 2x3 + x -1 b)HS tự làm

3A. a) Sử dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng (hoặc phép trừ) quy tắc dấu ngoặc, ta thu được:

P(x) = -x2 - 5x - 2x + + 3x3 - 2x2 Thu gọn xếp ta được: P(x) = 3x3

- 3x2 - 7x + b) Q (x) = - x2 + 8x + 35

3B. a) P(x) = 2x2 + 4x + 18 b) Q(x) = 8x2 - 8x +

4B HS tự làm

5A Có nhiều kết quả, chẳng hạn P(x) = 4x2 + x -

5B. Tương tự 5A.

6A. a) P(x) = 2x2 + x +

b) P(0) = ; P(-1)= 5; P(1) = 7; P

2       =

6B. a) Q(x) = x4 + x2 +1

b) P(0) = 1; P(-l) = 3; P(l) =

7A a) Tương tự 6A

b) P(-a) = (-a)4 + 2(-a)2 +l = a4 +2a2+ l = P(a) (ĐPCM)

7B. Tương tự 7A.

8A. a) P(x) = -3x + b) HS tự làm c) P(x) =  -3x + =  x =

P(x) =1  -3x + =1  x =

3

8B a) Q9x) = 2x + b) HS tự làm

c) Q (x) =  x =

2

Q (x) =  x =

9 a) P(x) = x4 - 2x3 +x2 - 2x + l b) Q(x) = 2x3- x +

10 a) P(x) = 6x4 - 2x2 + x - b) Q(x) = 2x5 + 2x +

11 a) P(x) = x4 + 4x2 + 2017 b) HS tự làm

c) HS tự làm

d) P(0) = 2017; P(l) = 2022; P(-1) = 2022 e) Tưong tự 7A

12 Ta có:

P( -1) = (-1) + (-1)3 + (- l)5 + + (-l)101 = (-l) + (-l) + + (-l) = -51

51 số hạng

CHỦ ĐỀ CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Để cộng trừ hai đa thức biến, ta thực theo hai cách sau:

Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo "hàng ngang",

Cách 2: Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc

tăng) biến, đặt phép tính theo cột dọc tương tự cộng, trừ số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Tính tổng hiệu hai đa thức

Phương pháp giải:Để tính tổng hiệu hai đa thức, ta thường làm sau:

Cách 1 Cộng, trừ theo "hàng ngang"

Cách 2.Cộng, trừ theo "cột dọc"

1A Cho hai đa thức:

P(x) = 2x4 + 3x3 + 3x2 - x4 - 4x + - 2x2 + 6x Q(x) = x4 + 3x2 + 5x - - x2 - 3x + + x3

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính P(x) + Q (x), P(x) - Q(x), Q(x) - P(x)

1B Cho hai đa thức:

P(x) = 5x3 + - 3x2 + x4 - 2x - + 2x2 + x Q(x) = 2x4 + x2 + 2x + - 3x2 - 5x + 2x3 - x4

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính P(x) + Q(x), P(x) - Q(x), Q(x) - P(x)

2A. Cho hai đa thức:

P(x) = x5 + - 8x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 - 4x3 Q(x) = (3x5 + x4 - 4x)- ( 4x3 - + 2x4 + 3x5)

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính P(x) + Q(x), P(x) - Q(x)

2B. Cho hai đa thức:

P(x) = (4x + - x2 + 2x3) - (x4 + 3x - x3 - 2x2 - 5) Q(x) = 3x4 + 2x5 - 3x - 5x4 - x5 + x + 2x3 -

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm,dần biến

b) Tính P(x) + Q(x), P(x) - Q(x)

3A. Tính tổng hiệu đa thức sau: a) P(x) = 5x4 + 3x2 - 3x5 + 2x - x2 - +2x5 Q(x) = x5 - 4x4 + 7x - + x2 - x3 + 3x4 - 2x2

và R( x) = x4 + 7x3 - - 4x ( x2 + 1) + 6x

3B Tính tổng hiệu đa thức sau:

a) P(x) = 5x5 - 3x2 - 3x5 + 2x + 7x2 +2x4 - x3 + Q(x) = 2x5 - 2x4 + - 2x2 + 3x3 - + x - 2x3 b) H (x) = ( x4 + 2x3 - 3x + 2) - ( x4 - - x2 + 3x) R( x) = 2x4 - 3x3 + x2 -

4A. Cho ba đa thức:

P(x) = 2x3 - x + 2x2 - Q(x) = x2 - x3 + - 2x H (x) = x4 - 2x2 +

Tính P(x) + Q(x) + H(x) P(x) - Q(x) - H(x)

4B. Cho ba đa thức: P(x) = x3 - 2x2 + x - Q(x) = -x3 + 2x2 + 3x - H (x) = 2x3 + x2 -

Tính P(x) + Q(x) + H(x) P(x) + Q(x) - H(x)

5A. Cho hai đa thức:

P(x) = 2x4 + 2x3 - 3x2 + x +6 Q(x) = x4 - x3 - x2 + 2x + a) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x) b) Tính P(x) - 2Q(x)

5B. Cho hai đa thức: P(x) = 2x3 - 3x2 + x Q(x) = x3 - x2 + 2x +

a) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)

b) Tính P(x) - 2Q(x) ; P(x) + 3Q(x)

Dạng Tìm đa thức chưa biết đẳng thức

Phương pháp giải: Để tìm đa thức chưa biết đẳng thức, ta làm

sau:

- Xác định vai trị đa thức chưa biết (chẳng hạn, đóng vai trò số hạng chưa biết, số bị trừ, số trừ, )

- Áp dụng quy tắc dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế quy tắc cộng, trừ đa thức biến để biến đổi

6A. Cho đa thức P(x) = 2x4 - x2 +x -

Tìm đa thức Q(x),H(x),R(x) cho: a) Q(x) + P(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1; b) P(x) - H(x) = x4 - x3 + x2 - 2;

c) R(x) - P(x) = 2x3 + x2 +

6B. Cho đa thức P(x) = x3 - 2x2 + x -

2

Tìm đa thức Q(x), H(x), R(x) cho: a) P(x) + Q(x) = x4 - 2x2 +1;

b) P(x) - H(x) = x3 + x2 + 2; c) R(x) - P(x) = 2x3 - x

7A Tìm đa thức P(x), biết rằng: a) P (x) +

x x x

 

 

 + + + = 3x

3

b) P(x) - (x3 + 2x2 - x + ) = x3 + x2 +

c)

2 - + 3x - 2x x x + x +

 

 

  - P ( x) = x

4

+ x2 +

7B Tìm đa thức Q(x), biết rằng:

a) Q(x) + (x3 - x2 + 2x +1) = 2x3 + 5x2 - 3x; b) Q(x) - (2x3 - x2 + 3x +1) = x3 - x + 2;

c)

3 - - x

x x + x +

 

 

  - Q (x) = x

3

+ 2x2 -

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 8. Cho hai đa thức:

P(x) = 4x5 - 3x2 + 3x - 2x3 - 4x5 + x4 - 5x + + 4x2

Q(x) = x7 - 2x6 + 2x3 - 2x4 - x7 + x5 + 2x6 - x + + 2x4 - x5

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính tổng hiệu hai đa thức

9 Cho hai đa thức:

P(x) = - x5 + 4x - 2x3 + x2 - 7x4; Q(x) = x5 - + 2x2 + 7x4 + 2x3 - 3x

a) Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm, dần biến

b) Tính P(x) + Q(x), P(x) - Q(x), Q(x) - P(x)

10 Tính tổng hiệu đa thức sau:

a) P(x) = - 2x4 + x5 - 3x6 + x3 - x + 3x6 + 2x - Q(x) = 3x5 - 4x3 + 2x2 - + 2x - x5;

b) H(x) =

2- 2x

+ 5x3 - 9x -

2 + 3x

- x3

và R(x) = (x5 + 7x4 - 2x2 -7) - (x5 - 5x2 + 5x4 - x3) + x

11 Cho đa thức P(x) = 2x3 + x2 - 3x + l Tìm đa thức Q(x), H(x), R(x) cho: a) P(x) + Q(x) = 3x3+ 2x2 + 2;

b) P(x) - H(x) = x2 - 1; c) R(x) - P(x) = x2 + x

12. Tìm đa thức P(x), biết rằng:

a) P(x) + (4x3 - 2x2 + 3x -1) = 2x3 - x2 + x +1; b) P(x) - (x5 + 4x3 -1 + 2x) = x3 - 2;

c)

3

2 x + x + x − x + x−

 

 

 - P(x) = 2x

4

+ x3 - x2 + 2x +1

13 Cho hai đa thức:

P(x) = 5x3 + x2 - x + 3; Q(x) = x3 - 2x2 + 3x + a) Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)

b) Tính P(x) + 2Q(x); P(x) - 4Q(x)

14. Cho ba đa thức:

H(x) = 2x3+ 4x +1

a) Tính P(x) + Q(x) + H(x), P(x) - Q(x) - H(x) b) Tính 2P(x) - Q(x) + H(x)

15 Cho hai đa thức:

P(x) = 3x2 + + 2x4 - 3x2 - - 5x + 2x3; Q(x) = -3x3 + 2x2 - x4 + x + x3 + 4x - + 5x4

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm biến

b) Tính P(-l) Q(0) c) Tính G(x) = P(x) + Q(x)

d) Chứng tỏ G(x) dương với giá trị x

16 Cho hai đa thức:

P(x) = 2x2 (x -1) - (x + 2) - 2x (x - 2); Q(x) = x2 (2x - 3) - x(x + 1) - (3x- 2)

a) Thu gọn xếp P(x), Q(x) theo lũy thừa giảm dần biến b) Cho biết hệ số cao hệ số tự đa thức

c) Tính K(x) = P(x) + Q(x) d) Tính H(x) = P(x) - Q(x) e) Tìm x để H(x) =

HƯỚNG DẪN

1A. a) P(x) = x4 +3x3 + x2 + 2x + 2; Q(x) = x4 + x3 +2x2 + 2x - b) P(x) + Q(x) = 2x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 1;

P(x) - Q(x) = 2x3 - x2 + 3; Q(x) - P(x) = -2x3 + x2 -

1B. a) P(x) = x4 + 5x3 - x2 - x +1; Q(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 3x + b) P(x) + Q(x) = 2x4 + 7x3 - 3x2 - 4x + 3;

P(x) - Q(x) = 3x3 + x2 + 2x -1; Q(x) - P(x) = -3x3 - x2 - 2x +1

2A. a) P(x) = x5 - 3x4 - 2x3 + x2 + x + 5; Q(x) = -x4 - 4x3 - 4x + b) P(x) + Q(x) = x5 + x4 - 6x3 + x2 - 3x + 12;

P(x) - Q(x) = x5 - 2x4 + 2x3 + x2 + 5x -

2B. a) P(x) = - x4 + 3x3 + x2 + x + 6; Q(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x - l b) P(x) + Q(x) = x5 - 3x4 + 3x3 + 3x2 - x + 5;

P(x) - Q(x) = - x5 + x4 + 3x3 - x2 + 3x +

3A a) P(x) + Q(x) = 4x4 - x3 + x + + 9x - 6; P(x) - Q(x) = -2x5 + 6x4 + x3 +3x2 - 5x - b) H(x) + R(x) = 2x4 + x3 + x2 + 3x + 4; H(x) - R(x) = -5x3 + x2 - x + 12

3B. a) P(x) + Q(x) = 4x5 + 4x4 + 2x2 + 3x + 3; P(x) - Q(x) =-2x3+ 6x2 + x -

b) H(x) + R(x) = 2x4 - x3 + 2x2 - 6x + 6; H(x) - R(x) = -2x4 + 5x3 - 6x +

4A. P(x) + Q(x) + H(x) = x4 + x3 + x2 - 3x - 3; P(x) - Q(x) - H(x) = -x4 + 3x3 + 3x2 + x -

5A a) P(x) + Q(x) = 3x4 + x3 - 4x2 + 3x + 7; P(x) - Q(x) = x4 + 3x3 - 2x2 - x + b) P(x) - 2Q(x) = 4x3 - x2 - 3x +

5B a) P(x) + Q(x) = 3x3 - 2x2 + 3x + 1; P(x) - Q(x) = x3 - 2x2 - x -

b) P(x) - 2Q(x) = - x2 - 3x - 2; P(x) + 3Q(x) = 5x3 - 6x2 + 7x +

6A a) Q(x) = x4 + x3 + 3x2 + b) H(x) = x4 + x3 - 2x2 - c) R(x) = 2x4 + 2x+3 + x -

6B a) Q(x) = x4 - x3 - x +

2

b) H(x) = -3x2 + x -

2

c) R(x) = 3x3 - 2x2 -

2

7A P(x) = (3x3 + 3x2 + x +1) -

-2

2 x + x x +

 

 

 

= 2x3 + x2 + 6x +

2

b) P(x) = x3 + x2 + - (x3 + 2x2 - x + 4) = 2x3 + x2 - x +

c) P( x) =

2 3

2

x x x x x

 

 

 − + + − + - (x

4

+ x2 +1) = 2x5 - 4x4 + x3 + 2x2 - 2x +

2

7B a) Q(x) = x3 +6x2 - 5x - l b) Q(x) = 3x3- x2 + 2x + c) Q(x) = 3x4 - 3x3 +4x2 -7x +

2

8 a) P(x) = x4 - 2x3 + x2 - 2x +1; Q(x) = 2x3 - x + b) P(x) + Q(x) = x4 + x2 - 3x + 6;

P(x) - Q(x) = x4 - 4x3 + x2 - x -

9 a) P(x) = - x5 - 7x4 - 2x3 + x2 + 4x + 9; Q(x) = x5 + 7x4 + 2x3 + 2x2 - 3x - b) P(x) + Q(x) = 3x2 + x;

P(x) - Q(x) = -2x5 - 14x4 - 4x3 - x2 + 7x +18; Q(x) - P(x) = 2x5 + 14x4 + 4x3 + x2 - 7x -18

10 a) P(x) + Q(x) = 3x5 - 2x4 - 3x3 + 2x2 + 3x + 3; P(x) - Q(x) = -x5 - 2x4 + 5x3 - 2x2 - x +

b) H(x) + R(x) = 3x4 + 5x3 + 3x2 - 8x - 6; H(x) - R(x) = -x4 + 3x3 - 3x2 - l0x +

11 a) Q(x) = x3+ x2 + 3x + b) H(x) = 2x3 - 3x +

c) R(x) = 2x3 + 2x2 - 2x +

c) P(x) = 3x5 - x4 + 3x3 - 4x2 + 4x -

2 13 a) P(x) + Q(x) = 6x3 - x2 + 2x +5;

P(x) - Q(x) = 4x3 + 3x2 - 4x + b) P(x) + 2Q(x) = 7x3 - 3x2 + 5x + 7; P(x) - 4Q(x) = x3 + 9x2 - 13x -

14 a) P(x) + Q(x) + H(x) = 14x3 - 14x2 + 7x + 13; P(x) - Q(x) - H(x) = -4x3 - 5x +

b) 2P(x) - Q(x) + H(x) = 5x3 - 7x2 + 4x +10

15 a) P(x) = 2x4 + 2x3 - 5x + 3; Q(x) = 4x4 - 2x3 + 2x2 + 5x - b) P(-l) = 8;Q(0) = -2

c) G(x) = 6x4 + 2x2 +1

d) Do 6x4 ≥ 0; 2x2 ≥ 0; > nên G(x) > với x

16 a) P(x) = 2x3 - 4x2 - x -10; Q(x) = 2x3 - 4x2 - 4x + b) HS tự làm

c) K(x) = 4x3 - 8x2 - 5x - d) H(x) = 3x - 12

e) x =

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a)

nghiệm đa thức

• Một đa thức (khác đa thức khơng) có nghiệm, hai nghiệm,

khơng có nghiệm

• Số nghiệm đa thức (khác đa thức không) không vượt số bậc

đa thức

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1= Kiểm tra xem x = a có nghiệm đa thức P(x) hay không

Phương pháp giải:

Ta tính P(a), P (a) = a nghiệm đa thức P(x)

1A Cho đa thức: P(x) = x3+ 2x2 - 3x Số sau nghiệm đa thức P(x): 0; l; -l; -3

1B Mỗi số x= ;x = -3 có phải nghiệm đa thức

P(x) = x2 + 2x - hay không?

2A. Cho đa thức P(x) = 2x2 + x - Chứng tỏ x = l; x = -3

2 hai

nghiệm đa thức

2B. Cho đa thức P(x) = x2 + 5x + Chứng tỏ x = -2; x = -3 hai nghiệm đa thức

3A. Cho đa thức: f (x) = (2x2 - 3x + 1) - (x2 - 7x - 2)

a) Thu gọn đa thức f (x)

b) Chứng minh -1 -3 nghiệm f (x)

3B. Cho đa thức: f (x) = 2(x2 - 3) - (x2 +5x)

a) Thu gọn đa thức f (x)

b) Chứng minh -1 nghiệm f (x)

Dạng Tìm nghiệm đa thức

Phương pháp giải:

Để tìm nghiệm đa thức P(x), ta tìm giá trị x cho P(x) =

4A Tìm nghiệm đa thức sau:

a) x - 10; b) 2x + 8; c) 3x + 8; d) 16 - x2 e) 4x2 - 9; f) 2x2 - 6; g) 3x2+6x; h) 4x3 + 9x

4B. Tìm nghiệm đa thức sau:

a) x + 5; b) - 3x; c) -4x + 7; d) x2 - 25 e) 9x2 - 4; f) 5x2 - 10; g) x2 + 2x; h) x3 + x

5A. Tìm nghiệm đa thức sau:

a) (2x - 4)(x + 9); b) x2 + 4x + 3;

c) x2 + 7x +12; d) x2 - x - 6;

e) 2x2 + 5x + 3; f) 3x2 + 5x -

5B. Tìm nghiệm đa thức sau:

c) x2 +7x + 10; d) x2 + 3x - 4; e) 2x2 - 5x + 3; f) 3x2 + 5x -

6A Cho hai đa thức:

f (x) = 3x3 + 4x2 - 2x - l - 2x3 g(x) = x3 + 4x2 + 3x - a) Thu gọn đa thức f (x)

b) Tính h(x) = f (x) - g(x)

c) Tìm nghiệm đa thức h(x)

6B Cho hai đa thức:

f (x) = 5x2 - 3x3 + 6x - + 4x3 - 2x2 g(x) = - x3 - 3x2 a) Thu gọn đa thức f (x)

b) Tính h(x) = f (x) + g(x) c) Tìm nghiệm đa thức h(x)

7A. Cho hai đa thức:

A(x) = 2x (x - 2) - 5(x + 3) + 7x3

B(x) = -x (x + 5) - (2x - 3) + x (3x2 - 2x) a) Thu gọn đa thức

b) Tìm nghiệm đa thức C(x) = A(x) - B(x) - x2 (4x + 5)

7B. Cho hai đa thức:

A(x) = 6x3 - x (x + 2) + (x + 3); B(x) = -x (x + l)- (4 - 3x) + x2 (x - 2) a) Thu gọn đa thức

b) Tìm nghiệm đa thức C(x) = A(x) + B(x) - x2 (7x - 4)

Dạng Chứng minh đa thức khơng có nghiệm Phương pháp giải:

Để chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác với giá trị x

8A. Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm: a) x2+5; b) 3x2 + 7; c) 3x4 + l0

8B. Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm: a) x2 +1; b) 2x2 + 1; c) x4 +

9A. Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm: x2 + x +

9B. Chứng tỏ đa thức sau nghiệm: x2 + x +

10A. Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm:

f (x) = (x + 1)2 + 2(x - l)2 +

10B. Chứng tỏ đa thức sau khơng có nghiệm: x2 + (x + 1)2 +

Dạng Tìm đa thức biến có nghiệm cho trước

Phương pháp giải: Để tìm đa thức P(x) biết x = x0 nghiệm P(x) ta

cần ý P (x0) =

11A Cho đa thức P(x) = 2x + a - l Tìm a để P (x) có nghiệm:

a) x = 0; b) x = 1; c) x = -2

11B Cho đa thức P(x) = 4x + a Tìm a để P(x) có nghiệm:

a) x = 0; b) x = -2; c) x= -1

12A. Cho đa thức P(x)= 2ax + a - Tìm a để P(x) có nghiệm:

a) x = 1; b) x = -5; c) x= -1

2

12B Cho đa thức P(x) = ax + a + Tìm a để P(x) có nghiệm:

a) x = 1; b) x = -5; c) x = -1

13A. Hãy xác định hệ số a b để đa thức f (x) = x2+ 2ax + b nhận số 0; làm nghiệm

13B Hãy xác định hệ số a b để đa thức f (x) = x2 + ax + b + nhận

số 0; -2 làm nghiệm

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 14. Kiểm tra xem l; 2; -2;

2 có phải nghiệm đa thức:

P(x) = x3 - x2 - 4x + hay không?

15. Cho đa thức Q(x) = x5 + 2x4 +2x3 - 2x2 - x5 - x4 + x2 - Số có phải nghiệm Q(x) hay khơng?

16 Tìm nghiệm đa thức sau:

a) x + 7; b)

2x - 4; c) - 8x + 20; d) x

-100; e) 4x2 -81; f) x2 - 7; g) x2 - 9x; h) x3 + 3x

17. Tìm nghiệm đa thức sau:

a) (x2 - 9)(x + l); b) x2 + 4x - 5;

c) x2+ 9x + 20; d) x2 - x - 20;

e) 2x2 +7x + 6; f) 3x2 + x -

18. Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2x - Q(x) = x2 - 9x + a) Tính M(x) = P(x) + Q(x) N(x) = P(x) - Q(x)

b) Tìm nghiệm đa thức M(x) N(x)

19 Cho đa thức f (x) = x2 + mx +

a) Xác định m để đa thức f (x) nhận x = - làm nghiệm

b) Với m tìm câu a), tìm tập hợp nghiệm đa thức f (x)

20 Cho hai đa thức:

f (x) = 2x4 + 3x2 - x + l - x2 - x4 - 6x3; g(x) = 10x3 + - x4 - 4x3 + 4x - 2x2

a) Thu gọn đa thức f (x), g(x) xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính h(x) = f (x) + g(x) c) Tìm nghiệm đa thức h(x)

21 Cho đa thức:

A(x) = x - 5x3 - 2x2 + 9x3 - (x - l) - 2x2 ; B(x) = -4x3 -2(x2 + 1) + 6x + 2x2 - 9x + 2x3; C (x) = 2x - 6x2 - + x3

a) Thu gọn đa thức xếp theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính A(x) + B(x) - C(x)

c) Tìm nghiệm đa thức P(x) biết P(x) = C(x) - x3 +

22 Cho đa thức:

f (x) = x3 (3x -1) - x (l + 3x4);

h(x) = x3 (- + 2x - x2 ) -1

2 (5x - - 2x

)

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính A(x) = f (x) + g(x) - 2h(x) c) Tìm nghiệm đa thức A (x)

23 Cho đa thức:

A(x) - 4x2 - 2x - + 5x3 - 7x2 +1; B(x) = -3x3 + 4x2 + + x - 2x - 2x3

a) Thu gọn xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b) Tính M(x) = A(x) + B(x), N(x) = A(x) - B(x)

c) Chứng tỏ x = nghiệm đa thức M(x) nghiệm đa thức N(x)

d) Tìm nghiệm đa thức M(x)

HƯỚNG DẪN

1A Thay x = vào đa thức P(x) ta P(0) = 03 + 2.02 - 3.0 = => x = nghiệm đa thức P(x)

Thay x = -1 vào đa thức P(x) ta

P(-l) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 3.(-l) = 6=>x = - l không nghiệm đa thức P(x) Tương tự số 1;- nghiệm đa thức P(x)

1B Tương tự 1A.

2A Tính P(1) = P

2 −   

 = nên x = 1; x

− nghiệm P(x)

2B Tương tự 2A.

3A a) f (x) = x2 + 4x +

b) Tính f (-1) = f (-3) = nên -1 -3 nghiệm f (x)

3B Tương tự 3A.

4A. Tìm giá trị x đa thức có giá trị ta được: a) x = 10; b) x = -4; c) x =

3

− d) x = ±4

e) x = ±

2; f) x = ± 3; g) x = 0,x = -2 h) x =

4B Tương tự 3A

5A. Tìm giá trị x đa thức có giá trị ta được:

a) x = 2, x = -9 b) x = -1, x = -3 c) x = -3, x = -4

d) x = 3, x = -2 e) x = -1, x = -3

2 f) x = -2, x =

5B. Tương tự 5A

a) x = 5, x = -7 b) x = -1, x = -2 c) x = -2, x = -5

d) x = 1, x = -4 e) x = 1, x =

2 f) x = 2, x =

-1

c) Cho -5x +1 = ta tìm x =

5 nghiệm h(x) 6B. Tương tự 6A.

a) f (x) = x3 + 3x2 + 6x -

b) h(x) = 6x -

c) Nghiệm h(x) x =

3

7A a) A(x) = 7x3 + 2x2 - 9x - 15; B(x) = 3x3 - 3x2 - 7x + b) C(x) = -2x - 18

Nghiệm C(x) x = -9

7B. Tương tự 7A.

a) A(x) = 6x3 - x2 + 2x +12; B (x) = x3 - 3x2 + 2x - b) C(x) = 4x +

Nghiệm C(x) x = -2

8A. a) Do x2 ≥ nên x2 + > vói x Vậy x2

+ khơng có nghiệm b) Tương tự câu a

c) Tương tự câu a Chú ý x4 ≥

8B. Tương tự 8A.

9A. Biến đổi f (x), ta có:

2

2

1 1

( )

2

1 1

2 2

1 7

2 4

f x x x x x x

x x x

x x x

= + + = + + + +

   

=  + +  + +

   

    

= +  + + = +  + ≥

    

Với ∀x ta có f (x) ≠ Vậy f (x) khơng có nghiệm

9B. Tương tự 9A

10A Chú ý bình phương biểu thức nhận giá trị

không âm Do 3(x +1)2 ≥

0,2 (x - 1)2 ≥ với x Suy f (x) ≥ vói x

Vậy với ∀x ta có f (x) ≠0, Vậy f (x) khơng có nghiệm

10B. Tương tự 10A.

11A a) Ta có: P(0) =  2.0 + a - =  a = b) a = -1

c) a =

11B Tương tự 11A a) a =

b) a = c) a =

12A. a) Ta có: P(l) =  2a + a - =  a = b) a = -

11 c) Khơng có a thỏa mãn

a) a =-

2 b) a =

5

4 c) Khơng có a thỏa mãn

13A. Do f (x) nhận x = nghiệm, thay x = vào f (x) ta f (0) = 02 + 2.a.0 + b = => b =

Thay x = vào f (x) ta f (2) = 22 + 2.a.2 + b =

=>4a + b = -4: mà b = => a = -1

13B. Tương tự 13A.

Ta tìm b = -1 a =

14 Tương tự 1A. 15 Tương tự 1A 16 Tương tự 4A

a) x = -7; b) x = 8; c) x =5

2 d) x = ±10

e) x = ±

2; f) x = ± g) x = 0, x = 9; h) x =

17 Tương tự 5A.

a) x = ±3, x= -1; b) x = 1, x = -5; c) x = - 4, x = -5 d) x = , x= -4 e) x = - x = -3

2; f) x = 1, x = -4

18 a) M (x) = 2x2 - 7x ; N(x0 = 11x - 10 b) m (x) có nghiệm x = , x =

2

N (x) có nghiệm x = 10 11

19 a) Do f (x) nhận x = -2 làm nghiệm nên f (-2) = Từ tìm

được m =

b) Với m = f (x) = x2 + 3x + có tập hợp nghiệm {-1; -2}

20 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức, ta được:

f (x) = x4 - 6x3 + 2x2 - x +1; g (x) = - x4 + 6x3 - 2x2 + 4x + b) h (x) = 3x +

c) Nghiệm h(x) x = -4

21 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức, ta được:

A (x) = 4x3 - 4x2 +1; B (x) = -2x3 - 3x - 2; C (x) = x3 - 6x2 + 2x -

b) A(x) + B(x) - C(x) = x3 4- 2x2 - 5x + c) P(x) = -6x2 + 2x có nghiệm x = 0, x =

3

22 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức, ta được:

f (x) = -3x5 + 3x4 - x3 - x;

h (x) = - x5 +2x4 - 2x3 + x2 -

2x +

b) A(x) = x3 -3x

c) Nghiệm A(x) x = 0,x =

23 a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức, ta được:

A (x) = 5x3 - 3x2 - 2x - 7; B(x) = -5x3 + 4x2 - x + b) M(x) = x2 -3x + 2; N(x) = 10x3 - 7x2 - x - 16 c) Tính M(2) - nên x = nghiệm M(x)

Tính N(x) = 34 ≠ nên x = không nghiệm N(x) d) M(x) có nghiệm x = 2, x =

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem lại Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A Cho đa thức A =

3x

y

4x

b) Tính C = A - B; tìm bậc đa thức C;

c) Hiệu A - B nhận giá trị âm không?

1B Cho đa thức A = 2x2y3 x4y; B = xy2 4x5y2 a) Thu gọn đa thức A B;

b) Tính C = A - B; D = A + B; c) Tìm bậc đa thức C, D

2A. Tính giá trị biểu thức sau x = l ; y = -1; z = -2 a) 2xy (5x2y + 3x - z);

b) xy2 +y2z3 + z3x4

2B. Tính giá trị biểu thức: a) 2

2

x + x x = -1

b)

2

2

3

xy x y x y

+ −

− x =

-1 2; y =

2

3A. Cho đa thức P(x) = (5x2 + 5x - 4)(2x2 - 3x + l) - (4x2 - x - 3) a) Thu gọn tìm bậc đa thức P;

b) Tính giá trị đa thức P x = -1

3B. Cho P(x) = - 3x2 + 2x +1; Q(x) = -3x2 + x - a) Tính P(1) ; Q

2    

 ; b) Tính P(x) - Q(x)

4A Tìm đa thức M biết:

a) 2 3 2 3

5 2

2

M − x y− xy +x −y = xy − x y+ y − x

 

b)

5

7xy x x y

 − + − 

 

  + M =

4B Tìm đa thức M biết:

3 2 3 2

1

5

3x y x y 2xy M xy 6x y x y

 − − − = − −

 

 

5A Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:

a) A = (x2 - 9)2 + |y - 2| - l; b) B = x4 + 3x2 +2;

c) C = x2 + 4x + 100; d) D = 12

(x 3) −

+ +

5B Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A = -3x2 - 5|y - l| + 3; b) B = 22005

(x+3) +|y− +1|

c) C = 12

(x−2) +1 d) D =

4 ( ) x x x − ∈ − 

6A Cho x2 + y2= Tính giá trị biểu thức: M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2

6B Tính giá trị biểu thức: 12x2+ 20x +1, biết 3x2 + 5x - -

7A. Tìm nghiệm đa thức:

a) A(x) = 1 1(3 )

3x 2 x

 − − −

 

 

b) B(x) = (2x -5)

16 x

 − 

 

 (x

2

c) C = (x) = x3 - 2x

7B Tìm nghiệm đa thức:

a) A(x) = 9x2 -16; b) C(x) = x2 + 4x;

c) B(x) = x3 - 27; d) D(x) = x3 - 2x2 - 2x +

8A. Tìm x, biết:

a) |2x - l| = x + 4; b) ( 3x - 1)4 = 81 c) (x - 2)3 = -64; d) |x - 3| - |2x - 1| =

8B. Tìm x, biết:

a) 5x + 5x+2 = 650;

b) (2x -1) - (5x +1) = (x + 3) - (x - 2);

c) 1 4

3x 3x

 − −  −  + − − =

     

     

d) | - x | = 3x

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Cho đa thức B (x) = (-2x2 + 3x - 5x2 + x + 3) + (3x2 - 4x - 3) a) Thu gọn tìm bậc đa thức B;

b) Tính giá trị đa thức B x = 2; c) Tìm x để B(x) =

10 Tính giá trị đa thức 6x2 - 4x + biết 3x2 - 2x - =

11 Tìm x, biết:

a) (2x - 3) - (x - 5) = (x + 2) - (x - 1); b) (x -1) - 5(x + 2) = -10

12 Tìm hệ số a đa thức P(x) = ax2 +5x - 3, biết đa thức có nghiệm

2

HƯỚNG DẪN 1A. a) A = 2

3x y 4x y =2x y ; B = -0,5xy

4x5y2 = - 2x6y4 b) C =

2x

y4bậc 10 c) A - B > ∀x; y

1B. a) A= 2x2y3 x4y = 2x6y4 ; B = xy2.4x5y2 = 4x6y4 b) C = -2x6y4 ; D = 6x6y4

c) Bậc C 10; bậc D 10

2A a) 0; b) -15

2B a) -4

3 b)

-1 39

3A. a) P(x) = 3x2 - 3x; bậc P(x) b) Tại x =

2 gía trị đa thức

3B a) P(1) = 0; Q

2

  = −    

4A a) M =

2 3 2 3

2 3

3

2

4

17

4

xy x y y x x y xy x y xy x y y x

 − + −  + − + − 

   

   

= − + +

b) M = -

7xy

+ 5x5 - 7x2y3 +

4B. M = -1

6x

y3 + 8x2y2 -

2xy

5A. a) A ≥ l∀x, y => Amin = -1  x = ±3; y =

b) B≥ 2∀x => Bmin =  x =

c) C = x2 + 4x +100 = x2 + 2x + 2x + + 96 = x (x + 2) + 2(x + 2) + 96 = (x + 2)2 + 96 => C ≥96∀x => Cmin = 96  x = -2

d) D = 12

(x 3)

−

+ +

Ta có ( x + 3)2 + ≥ 2∀x => 12 12

(x+3) +2≤ =>2 (x+3) +2≥ −2

=> Dmin = -1

2 x= -3

5B. a) A ≤ 3∀x, y => Amax =  x = ; y =

b) (x+ 3)2 +| y- 1| + 5≥ 5∀x; y => B ≤ 2005

5 =405

=> Bmax = 405  = -3 ; y=

c) ( x - 2)2 + 1≥1∀x=> C ≤1 => Cmax =1  x =

d) D = ( 3) 1

3 3

x x

x x x

− =− − + = − +

− − −

Vì x ∈Z nên D có giá trị lớn  x - số nguyên dương nhỏ => x - = => x = Dmax =  x =

6A. M = 2x4 + 3x2y2 + y4 + y2 = 2x4 + 2x2y2 + x2y2 + y4 + y2 = 2x2( x2 + y2) + y2 ( x2 + y2) + y2 = 2x2.1+ y2.1 + y2 = 2( x2 + y2) = =

6B. 12x2 + 20x + = ( 3x2 + 5x - 2) + =

7A a) 1 1(3 ) 15

3x 2 x 6x x



− − − = => − = => = 

b) Nghiệm đa thức 5;

2

x= x= ±

c) Nghiệm đa thức x = 0; x = ± 7B. a) Nghiệm đa thức x =

3 ±

b) Nghiệm đa thức x ∈{0; -4}

c) Nghiệm đa thức x = d) Nghiệm đa thức

x3 - 2x2 - 2x + = =>x2 ( x - 2) - 2(x - 2) = => (x - 2)(x2 - 2) = => x = 2; x = ±

Nếu x + > => x > -4 => |2x -1| = x +



2

x x x x x x

− = + =

 

=>

 − = − −  = −

  (Thỏa mãn)

b) 3x - = ± =>

4 3

x x

 =    = − 

c) x - = -4 => x = -2

d) Từ đề ta có |x - 3| = |2x -1|

Trường hợp 1. x - = 2x - => x = -2

Trường hợp 2 x - = l - 2x => x=

3

8B a) 5x + 5x+2 = 650 => 5x (l + 52) = 650 => 5x - 25 => x = 2; b) - 3x - = => x = -

3

c) - 11

12x - = => x = -12

d) x =

4

9 a) B(x) - 4x2; bậc B (x) 2; b) B(2) = -16;

c) B(x) = => x =

10 6x2 - 4x + = (3x2 - 2x - 8) + 27 = 27

11. a) x = 1; b) x = -

3

12. a =

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Thu gọn đơn thức M = 2xy

2xy

− 

 

  ta được:

A M = -xy4; B M = x2y4;

C M = -x2y4; D M =

2x

Câu 2. Bậc đơn thức 10x2y3 là:

A 10; B 5; C.6; D.8

Câu Hiệu hai đơn thức 5x2y -4x2y là:

A -9x2y; B 9x2y; C x2y; D -x2y

Câu Nếu P(x) - (x2 - 3xy + y2) = 2x2 - xy + 4y2 P(x) bằng: A 2x2 - 4xy + 5y2; B -x2- 2xy - 3y2;

C x2 + 2xy + 3y2; D 3x2 - 4xy + 5y2

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài 1.(2,5 điểm) Cho đơn thức M = -

4x

y4.(3x2y)2

a) Thu gọn M bậc, phần hệ số, phần biến M b) Tính, giá trị M biết x =

2 y

− x - y = -3

Bài 2.(4,5 điểm) Cho đa thức:

A(x) = -5x3 - 2x2 + x + 9x3 - 2x2 - (x - l); B(x) = -4x3 - 2x2 - + 2x (3 + x) - 9x + 2x3; C (x) = x3 - 2x (3x + l) -

a) Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính A(x) + B(x) - C(x)

c) Tìm nghiệm đa thức P(x), biết P(x) - C(x) = - x3

Bài 3.(1,0 điểm)Cho biểu thức:

P = 3

2 7

a b b a a b

− −

+

+ − (với a ≠ -3,5 , b ≠ 3,5)

Tính giá trị P a - b =

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1 C Câu B

Câu 2. B Câu 4 D

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài

a) M = -

4 x

y6

b) Từ điều kiện cho ta tìm x = -1, y = Thay vào M, tính M = 144

Bài

a) A (x) = 4x3 - 4x2 +1; B(x) = -2x3 - 3x - 2; C (x) = x3 - 6x2 - 2x -

b) A(x) + B(x) - C(x) = x3 + 2x2 -x +

Từ tìm nghiệm P(x) x = 0, x = -

3 Bài 3.Cách a - b = a = b + Thay vào P, ta có:

3 3( 7)

2 7 2( 7) 7

1 2 ( 7) 2 21 7

a b b a b b b b P

a b b b

b b b b = − − + − − + + − + = + + − + + − = + = + = + −

Cách 2.Biến đổi

2 7

3 (

7

) ( )

P

a b

a b b a a a b b b a a b − − + = + = − + − + − + − −

Thay a - b = vào P

Cách 3. Thay = a - b vào P

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Sau thu gọn đơn thức -3x2.4.2

3z ta đơn thức có hệ

số là:

A M = -3; B 8; C -8; D -12

D Có phần biến

Câu 3 Cho đa thức -2x4 + 3x2 - 6x5 +9x; hệ số cao hệ số tự đa thức là:

A -2 9; B 0; C -6 0; D -6

Câu 4. Nghiệm đa thức -9x + là:

A -3; B.1

3

C.-1

3 D

1

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài (3,0 điểm)Cho biểu thức: M

M =

3

3 2 2

3

7 12

xy

x y x y x y

−  − − 

   

   

a) Thu gọn biểu thức M

b) Xác định phần hệ số, phần biến bậc M c) Tìm giá trị M x = -l y = -2

Bài 2 (4,5 điểm)Cho hai đa thức:

f (x) = 2x4 + 3x2 -x + l - x2 - x4 - 6x3;

g(x) = 10x3 + - x4 - 4x3 + 4x - 2x2

a) Thu gọn đa thức f (x), g(x) xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến

b) Tính f (x) + g(x)

c) Gọi h(x) = f (x) + g(x), tìm nghiệm đa thức h(x)

Bài 3.(0,5 điểm)Cho đa thức:

P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 - l00x96 + + 100x - Tính P (99)

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐlỂM)

Câu 1. C Câu 3. C

Câu 2 D Câu 4. B

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Bài

a) M =

2 x

y4 b) HS tự làm

c) Thay x = -l y = -2 vào M, tính M =

Bài

a) f(x) = x4 - 6x3 + 2x2 - x +1; g(x) = - x4 + 6x3 - 2x2 + 4x + b) f(x) + g(x) = 3x +

c) h(x) có nghiệm x = -

P(99) = 9999 -100.9998 + 100.9997 -100.9996 + +100.99 - = 9999-(99 + l).9998 +(99 + 1).9997 - + (99 + 1) 99-1

= 9999 - 9999- 9998 + 9998 + 9997 - 9997 - 9996 +…+ 992 + 99 - = 99 - = 98

PHẦN B HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định lý

Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn

Trong tam giác ABC, AC > AB

 

2 Định lý

Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong tam giác ABC, B >Cthì AC > AB

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng So sánh hai góc tam giác

Phương pháp giải:

- Xét hai góc cần so sánh hai góc tam giác - Tìm cạnh lớn hai cạnh đối diện hai góc - Kết luận

1A. So sánh góc tam giác ABC, biết AB = cm, BC = cm, AC = cm

1B So sánh góc tam giác MNP, biết MN = 8cm, NP = cm, MP = 10 cm

2A. Cho tam giác ABC có AC > AB So sanh hai góc ngồi đỉnh B C

2B. Cho tam giác DEF có DE = cm, DF = cm So sánh hai góc đỉnh E F

3A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với AC D, CE vng góc với AB E So sánh hai DBC ECB

3B. Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt I So sánh IBC ICB

Dạng So sánh hai cạnh tam giác

Phương pháp giải:

- Xét hai cạnh cần so sánh hai cạnh tam giác - Tìm góc lớn hai góc đối diện với hai cạnh - Kết luận

4A. So sánh cạnh tam giác ABC, biết A = 80°, B = 40°

4B So sánh cạnh tam giác PQR, biết P = 70°, R = 50°

5A Cho tam giác ABC vuông A, điểm K nằm A C So sánh độ dài BK BC

5B. Cho tam giác MNP vuông N Trên tia đối tia PN lấy điểm Q So sánh độ dài MP MQ

6A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với AC D, CE vng góc với AB E Gọi H giao điểm cửa BD CE So sánh độ dài HB HC

6B. Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt I Từ I vẽ IH vng góc với BC So sánh độ dài HB HC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Cho tam giác QMN có OM = cm, ON = cm, MN = cm So sánh góc tam giác OMN

8 Chứng minh tam giác vuông, cạnh huyền lớn cạnh góc

vng

10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ AH vng góc với

BC H So sánh HAB HAC

11. Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt BC D So sánh ADB ADC

12. Cho tam giác ABC có A = 90°, C = 30° Điểm D thuộc cạnh AC

cho ABD = 20° So sánh độ dài cạnh ∆BDC

13 Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB So sánh độ dài

cạnh tam giác BMC

14 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ

DH vng góc vói BC H So sánh:

a) BA BH; b) DA DC

15 Cho tam giác ABC có A > 90° Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E

thuộc cạnh AC Chứng minh DE < DC <BC

16 Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia Bx nằm hai tia BA BC

Trên tia Bx lấy điểm D nằm tam giác ABC Chứng minh DC < DB

17*. Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Chứng minh DB < DC

18*. Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Chứng minh  MAB>MAC

HƯỚNG DẪN 1A Ta có AB < BC < AC => C  < <A B

1B. Ta có NP < MN < MP => M  < <P N

2A. Ta có AC > AB => B >C, góc ngồi đỉnh B nhỏ góc

ngồi đỉnh C

2B. Ta có DE < DE =>  F<E, góc ngồi đỉnh E nhỏ góc

ngồi đỉnh F

3A Vì AB < AC nên  ACB<ABC Lại có DBC=90° −ABC

 90 

ECB= ° −ABC, từ ta có

 

DBC>ECB

3B. Vì AB < AC nên  ACB<ABC, với

chú ý    ,

2

ABC ACB IBC= ICB=

4A. Tính C = 60°,   B< <C A => AC < AB < BC

4B. Tính Q = 60°,   R< <Q P => PQ < PR < QR

5A Chú ý BKC góc ngồi ∆AKB

nên BKC >A = 90° > C

 BK < BC

5B Tương tự 5A, ta có MP < MQ

6A Áp dụng 3A, ta có  HBC>HCB=> HB < HC

6B Dùng kết 3B, ta có  IBC>ICB => IB < IC

Mà HB2 = IB2 - IH2, HC2 = IC2 - IH2 Suy HB < HC

7 Ta có OM < ON < MN =>  N <M <O

8 Trong tam giác vuông, góc vng góc lớn nên cạnh huyền (đối diện với góc vng) cạnh lớn

9 Tính B =C = 65°, C >A => AB > BC

10 Ta có AB < AC =>  ABC> ACB Chú ý HAB 90= ° −ABC

 90 

HAC = ° −ACB, từ ta có

  <

HAB HAC

11 Chú ý:   

2 BAC ADB=ACB+   

2 BAC ADC=ABC+

Mà AB < AC =>  ABC>ACB

nên  ADB< ADC

12 Tính DBC= 40 , ° BDC = 110°

và DCB= 30°, từ ta có

13. Ta có DCM <BCA= 60°

Chú ý BMC góc ngồi tam giác

AMC nên  BMC>BAC= 60°

Do   BMC>MBC>MCB

bởi MB < MC < BC

14 a) Ta có ∆ABD = ∆HBD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BH

b) Chứng minh DA = DH, lại có tam giác DHC vuông H nên DH < DC => DA < DC

15 Chú ý DEClà góc ngồi tam giác

DAC nên  DEC>DAC > 90°

=> DE < DC

Tương tự ta có BDC >DAC > 90°

=> DC < BC, DE < DC < BC

16 Do Bx nằm BA BC nên

 

DBC< ABC, ý D nằm tam

giác ABC nên CA nằm CD CB, DCB >ACB

Từ DCB > DB DCB>DBC=>DC < DB

17*. Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB = AE, chứng minh

∆ABD = ∆AED (c.g.c)

18*. Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD, chứng minh

∆MAB = ∆MDC (c.g.c)

 

MAB=MDC => , ý

CD = AB < AC => MAC <MDC

Do MAB >MAC

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Quan hệ đường vng góc đường xiên

Định lý Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn

AH ⊥a => AH < AC, AH < AD (Với C, D điểm thuộc a)

2 Quan hệ đường xiên hình chiếu

Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó:

•Đường xiên có hình chiếu

lớn lớn

•Đường xiên lớn có

hình chiếu lớn

AH ⊥ a, AD > AC => HD > HC

•Nếu hai đường xiên

thì hai hình chiếu

ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên AB = AC  HB = HC (hình vẽ)

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng So sánh hai đường xiên hai hình chiếu

Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 2

1A Cho tam giác ABC có AB <AC Kẻ AH vng góc với BC H So sánh độ dài HB HC

1B Cho tam giác MNP có MN = cm, MP = cm Kẻ MK vng góc với NP K So sánh độ dài KN KP

2A Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, AC lấy

điểm M, N

a) Chứng minh MN < BN < BC

b) Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC AN cịn CM có hình chiếu xuống AC AC nên CM > BN không?

2B Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, N (M

nằm A, N) So sánh độ dài BM, BN, BC

3A Cho tam giác ABC có AB > AC Kẻ AH vng góc với BC H, điểm

D thuộc đoạn AH So sánh:

a) DB DC; b) DB AB

3B. Cho tam giác MNP có MN < MP Kẻ MK vng góc với NP K Trên tia đối tia MK lấy điểm Q So sánh độ dài QN QP,

Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên

Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vng góc ngắn đường xiên

(từ điểm đến đường thẳng)

4A Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD khơng vng góc

với AC) Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BD So sánh AC với tổng AE + CF

4B Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Gọi H K chân

đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC tổng MH + MK

5 Cho tam giác ABC khơng vng Kẻ BD vng góc với AC D, kẻ

CE vng góc với AB E Chứng minh BD + CE < AB + AC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

6 Cho tam giác ABC vuông B Trên cạnh BC lấy điểm D E (D

nằm B E)

a) So sánh độ dài đoạn thẳng AB, AD, AE, AC

b) Vẽ BI, BK, BH vng góc với AD, AE, AC So sánh góc ABH, ABK, ABI

7 Cho tam giác OMN vuông O Lấy điểm P cạnh OM, điểm Q

8 Cho tam giác ABC cân A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A

đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H) Chứng minh AH < AD < AB

9 Cho tam giác ABC có B C góc nhọn Gọi D điểm

thuộc cạnh BC, gọi H K chân đường vuông góc kẻ từ B c đến đường thẳng AD So sánh:

a) BH BD Có BH BD không? b) HC BK BD <

2

BC

10 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F

chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM a) Chứng minh ME = MF

b) So sánh AB

2 BE+BF

11 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CB lấy điểm D a) So sánh AD AB

b) Vẽ BE ⊥AC DF ⊥AB So sánh BE DF

HƯỚNG DẪN

1A Đường xiên AB < AC nên hình chiến HB < HC 1B Đường xiên MN < MP nên hình chiếu KN < KP 2A Hình chiếu AM < AB nên đường

xiên MN < BN

Hình chiếu AN < AC nên đường xiên BN < BC

Bởi MN < BN < BC

b) Khơng M B khác

2B Tương tự 2A, ý: AM < AN < AC

3A. a) Đường xiên AB > AC nên hình chiếu HB > HC

Hình chiếu HB > HC nên đường xiên DB > DC

b) BA BD có hình chiếu AH DH Mà AH > BH => BA > BD

4A AE đường vng góc, AD đường

xiên nên AE < AD

CF đường vng góc, CD đường xiên nên CF < CD

Do AE + CF < AD + CD = AC

4B Tương tự 4A, ý MH < MB, MK < MC

5 Chứng minh được: BD < AB, CE < AC

Do BD + CE < AB + AC

6 a) Tương tự 2B, ta có: AB < AD < AE < AC

b) Chứng minh   ADB> AEB> ACB

Mà      ADB=ABI AEB; =ABK ACB; =ABH

Suy   ABH <ABK <ABI

7 Do = POQ 90° nên MPQ góc tù Xét ∆MPQ có MPQ lớn nên

MQ > PQ

Xét ∆MQN có MQN tù nên MN > MQ

8. Ta có AH < AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên)

Nếu D thuộc đoạn HC => HD < HC, AD < AC = AB

Nếu D thuộc đoạn HB => HD < HB => AD < AB Bởi AH < AD < AB

9 a) Ta có BH ≤ BD (đương vng góc ngắn đường xiên)

BH = BD  H≡ D AD ⊥ BC b) Xét ∆MPQ có BK2 = BH2 + HK2 Xét ∆CHK có CH2 = CK2 + HK2 Mà BD <

2 BC

nên BH < CK Vậy BK < HC

10 a) Chứng minh

∆MAE =∆MCF (ch- gn) => ME = MF

= BM - ME + BM + MF = 2BM Mặt khác AB < BM => AB <

2 BE+BF

11. a) Kẻ AH⊥BC H

Ta có AB = AC => HB = HC Lại có D thuộc tia đối tia CB Vậy HD > HC =HB => AD > AB b) Diện tích ∆ABC =

2 AH BC;

Diện tích ∆ABD =

2AH.BD

Mà BC < BD

Suy Diện tích ∆ABC < Diện tích ∆ABD Lại có:

Diện tích ABC =

2 AC.BE; Diện tích ∆ABD =

2AB.DF

Suy

2 AC.BE <

2AB.DF Từ đó, ta có: BE < DF

CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Trong tam giác, độ dài cạnh lớn giá trị tuyệt đối hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Cụ thể: |AB - AC| < BC < AB + AC

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Khẳng định có tồn hay khơng tam giác biết độ dài ba cạnh

Phương pháp giải:

- Tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nếu:

a b c b a c c a b

< +   < +   < + 

hoặc |b - c | < a < b + c

- Trong trường hợp xác định a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam giác cần: a < b + c

1A Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam

giác?

c) m; m; m

1B. Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam giác?

a) cm; cm; cm b) m; m; m

c) m; 10 m; 15 m

2A. Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh cịn lại, biết chu vi tam giác 20 cm

2B Tính chu vi tam giác cân biết độ dài hai cạnh 3,9 cm

và 7,9 cm

3A Cho tam giác ABC có BC = cm, AC = cm Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài số nguyên (cm)

3B Cho tam giác MNP có MN = m, NP = m, độ dài cạnh MP số nguyên Tính độ dài MP

Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài

Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất

đẳng thức

- Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a< b => a + c < b + c

- Cộng vế hai bất đẳng thức chiều:

a b

a c b d c d

<

 => + < +

 < 

4A tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB a) So sánh MC với AM + AC

b) Chứng minh MB + MC < AB + AC

4B Cho tam giác ABC, tia đối tia AC lấy điểm K

a) So sánh AB với KA + KB

b) Chứng minh AB + AC < KB + KC

5A Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác

a) So sánh MB + MC với BC b) Chứng minh MA + MB + MC >

2 AB+BC+CA

5B Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC

a) So sánh AD với BA + BD b) Chứng minh AD <

2 AB+BC+CA

6A Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D

cho BD = BA Chứng minh DC > AB

6B Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm D Chứng minh DB > DC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Có hay khơng tam giác với độ dài cạnh

a) m; m; m? b) cm; cm; 10 cm?

8 Tìm chu vi tam giác cân, biết hai cạnh bằng:

9 Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, độ dài cạnh BC

số nguyên Tính độ dài BC

10 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, tia BO cắt cạnh AC

I

a) So sánh OA IA + IO, từ suy OA + OB < IA + IB; b) Chứng minh OA + OB < CA + CB

c) Chứng minh

2 AB+BC+CA

< OA + OB + OC < AB + BC + CA

11 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC

D, cạnh AC lấy E cho AE = AB a) So sánh DB DE

b) Chứng minh AC - AB > DC - DB

12* Cho tam giác ABC Gọi M

trung điểm BC a) Chứng minh AM <

2 AB+AC

b) Cho bốn điểm A, B, C, D hình vẽ Gọi thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh AB + BC + C + DA > 4MN

HƯỚNG DẪN

1A. a) Có, 12 < + 10 b) Khơng, + = c) Có, < +

1B. a) Có, < + b) Khơng, > + d) Khơng, +10 = 15

2A. Nếu cạnh cho (6cm) cạnh đáy hai cạnh cịn lại cm cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Nếu cạnh cho (6 cm) cạnh bên hai cạnh lại cm cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

2B. Nhận xét: Cạnh thứ ba tam giác cân hai cạnh

Loại trường hợp cạnh thứ ba 3,9 cm 3,9 + 3,9 < 7,9 Trường hợp cạnh thứ ba 7,9 cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 7,9 < 7,9 + 3,9 Từ tính chu vi tam giác 19,7 cm

3A. Chú ý |AC - BC| < AB < AC + BC => < AB <8 Do AB số nguyên nên AB = cm

3B. Tương tự 3A, ta có < MP < => MP 3cm

MB + MC' < MB + MA + AC = AB + AC

4B. Tương tự 4A

5A. a) ∆MBC có MB + MC > BC b) Tương tự ý a, ta có

MA + MC > AC, MA + MB > AB Cộng vế ba bất đẳng thức

 2(MA + MB + MC) >AB + BC + CA

MA + MB + MC >

2

AB + BC + CA

Chú ý kết M tam giác hai cạnh AB AC Riêng M thuộc BC

BM + MC = BC

5B. a) ∆ABD có AD < BA + BD

b) Tương tự ý a, ta có : AD < CA + CD Cộng trừ hai vế bất đẳng thức

=> 2AD < BA + BC + AC => ĐPCM

6A. ∆ADC có DC > AD - AC = AB

6B. Tương tự 6A

7. a) Khơng, + = b) Có, + > 10 Tương tự 2B, ta có:

a) Chu vi tam giác + + = 17cm b) Chu vi tam giác + + = 18cm

9 Tương tự 3A, ta có < BC < => BC = 4cm 10 a) ∆OIA có OA < IA + IO,

OA + OB < IA + IO + OB = IA + IB b) Tương tự ý a, chứng minh IA + IB < CA + CB

Bởi OA + OB < IA + IB < CA + CB c) Chứng minh bất đẳng thức tương tự OB + OC < AB + AC, OC + OA < BA + BC

Cộng vế ba bất đẳng thức, ta OA + OB + OC < AB + BC + CA

Kết hợp với kết 5A, ta có ĐPCM

11 a) Chứng minh

∆ADB = ∆ADE (c.g.c) => DB = DE b) ∆EDC có EC > DC - DE

Từ ta có AC - AB > DC - DB

12*. a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh

∆MAB = ∆MDC (c.g.c) => AB = CD

∆ACD có AC + CD > AD, ý

AD = 2AM, AB = CD nên 2AM < AB + AC =>AM <

2 A

AB+ C

b) Sử dụng kết ý a) ta có:

BA + BC > 2BM, DA + DC > 2DM

Suy AB + BC + CD + DA > 2(MB + MD) (1) Trong ∆BMD, lại có

MB + MD > 2MN (2)

Từ (1) (2), ta có ĐPCM

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN\ CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1- Đường trung tuyến tam giác

• Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam

giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC

•Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến

2 Tính chất ba đường trang tuyến tam giác

Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm

Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh khoảng

3 độ dài đường

trung tuyến qua đỉnh

Nếu G trọng tâm tam giác

ABC

3 AG BG CG AD= BE =CF =

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan tới trọng tâm tam

giác

AG =2

3 = AM , AG = 2GM; GM =

3AM;

1A Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số BG CG,

BD CE

b) Chứng minh BD + CE >

2 BC

1B Cho ∆ABC có BC = cm, đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE > 12 cm

2A Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G

Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC EF//BC

2B Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB

Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác

Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta

có thể dùng hai cách sau:

- Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác - Chứng minh điểm thuộc đường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâm tam giác

3A Cho ∆ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Lấy G thuộc cạnh AC cho AG =

3 AC Tia DG cắt BC

tại E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD

Chứng minh:

a) G trọng tâm ∆BCD;

b) ∆BED = ∆FDE, từ suy EC = DF; c) ∆DMF = ∆CME;

d) B, G, M thẳng hàng

3B. Cho ∆ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 2CM Vẽ điểm D cho C trung điểm AD Gọi N trung điểm BD, Chứng minh:

a) M trọng tâm tam giác ABD; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

c) Đường thẳng DM qua trung điểm AB

4B. Cho ∆ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm ∆ABC

5A Cho ∆ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG =

3BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK;

GE cắt AC I Chứng minh:

a) I trọng tâm ∆KGC; b) CI =

3 AC

5B Cho ∆ABC, M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM =

2 KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH = 2BK Gọi

I điểm thuộc cạnh AC IC =1

3 CA Đường KI cắt HC E

a) Chứng minh I trọng tâm ∆HKC E trung điểm HC E

b) Tính tỉ số IE, IC

IK MC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I

là trung điểm KC)

6A Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn

Gọi M, N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM, AN cắt BD I K Chứng minh:

a) I trọng tâm ∆ABC K trọng tâm ∆ADC; b) BI = IK = KD

6B Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = BD Gọi P, Q điểm BE cho BP = PQ = QE Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB,AE b) CP//AQ CQ//AP

Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác

Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân,

tam giác

7A Cho ∆ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA

a) Tính ABD

b) Chứng minh ∆ABD = ∆BAC c) Chứng minh AM =

2BC

7B Cho ∆ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính khoảng cách từ trọng tâm G ∆ABC tới đỉnh, tam giác

8A Cho ∆ABC , trung tuyến AM =

2 BC

a) Chứng minh BMA=2MAC CMA=2MAB b) Tính BAC

góc với G Tia AG cắt BC I BC = cm

Tính độ dài GI,AG

9A. Cho ∆ABC cân A có đường trung tuyến AM a) Chứng minh AM ⊥BC

b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính độ dài đoạn vng góc kẻ từ B xuống AC

9B. Cho ∆ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm G Tính độ dài GM

10A. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BM, CN a) Chứng minh ∆ABC cân A BM = CN

b) Ngược lại BM = CN, chứng minh: i) GB = GC, GN = GM;

ii) BN = CM;

iii) ∆ABC cân A

10B. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = CN Chứng minh AG ⊥BC

11A. Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AM = BN = CP Chứng ∆ABC

11B Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AG = BG = CG Chứng minh ∆ABC

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

12 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho

AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh:

a) A trọng tâm ∆CDE;

b) Đường thẳng CA qua trung điểm DE

13 Cho bốn điểm A, B,C, D khơng thẳng hàng hình vẽ Gọi O giao

điểm AC BD Trung điểm BD AC M, N Chứng minh AC + DB > 2MN

14 Cho ∆ABC vuông A, AB = cm, AC = cm a) Tính BC

b) Đường thẳng qua trung điểm I BC vng góc với BC cắt AC D Chứng minh CBD =DCB

c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh

∆BCE vuông

15 Cho ∆ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 6cm, AC = 8cm

a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh

∆AMB = ∆DMC

b) Chứng minh ∆BAC = ∆DCA c) Tính AM

D0 Chứng minh AM <

16. Cho ∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vng góc với nhau, trọng tâm G Biết AM = 4,5 cm, BN cm Tính độ dài cạnh

∆ABC

HƯỚNG DẪN

1A. Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD,CE G

∆GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác) Mà GB =

3BD, GC =

3CE nên:

3BD +

3CE > BC

Do BD + CE >

2 BC

1B. Tương tự 1A BD + CE >

2 = 12 cm

2A. a) Vì G trọng tâm ∆ABC nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE,CG = GF b) Suy ∆GBC = ∆GEF (c.g.c) Từ ta có EF = BC GEF =GBC

=> EF // BC

2B. Tương tự 2A

3A. a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD => CA đường trung tuyến ∆BCD Mà AG =

3AC => G trọng tâm ∆BCD

b) Ta có : BD || EF => BDE =DEF

và DE || BC => BED =EDF

=>∆BED = ∆FDE (g.c g) => BE = DF

(hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm ∆BCD nên E trung điểm BC

=> BE = EC (2)

Từ (1) (2) suy EC = DF c) ∆DMF = ∆CME (g.c.g)

d) Do ∆DMF = ∆CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến ∆BCD

=> G ∈BM => B, G, M thẳng hàng

3B. Tương tự 3A.

a) M thuộc đường trung tuyến BC ∆ABD mà BM = 2CM nên M trọng tâm ∆ABD

b) DM trung tuyến thứ ba

∆ABD nên DM qua trung điểm

của AB

4A Theo đề ta có AD = DE nên C thuộc MD đường trung tuyến tam giác AEM (1)

Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD (2) Từ (1) (2) suy C trọng tâm ∆AEM

4B. Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE =

3AM

Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm ∆ABC

5A a) Theo đề BG =

3BM

Suy BG = 2GM => GK = 2GM =>M trung điểm GK

Do I giao điểm ba đường trung tuyến ∆KGC

b) I trọng tâm ∆KGC nên CI =

3CM=

1

2AC = 3AC

5B Tương tự 5A

a) M trung điểm KH Suy I trọng tâm ∆HKC Suy KI trung tuyến ∆KHC

b) 1,

2

IE IC

IK = MC = Suy HI

cũng trung tuyến ∆KHC

6A a)∆ABC có hai đường trung BO, AM cắt I nên I trọng tâm ∆ABC Tương tự ta có K trọng tâm ∆ADC

b) Từ ý a) suy ta có: BI =2

3 BO, DK = 3DO

Mặt khác BO = DO => BI = DK =

3BO =

3BD => IK =

3BC Suy ĐPCM

Do BI = IK = KD

6B. Tương tự 6A

a) Chứng minh P,Q trọng tâm ∆ABC, ∆AEC.Suy ĐPCM b) Chú ý ∆ADP = ∆CQD

7A a) ∆AMC = ∆DMB (c.g.c)

=>  ADB=DAC=> BD //AC Mà AB ⊥AC nên AB ⊥BD => ABD = 90°

b) ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

c) ∆ABD = ∆BAC (c.g.c) => AD = BC Mà AM =

2AD => AM = 2BC

7B. Áp đụng đinh lý Pytago tam giác vuông ABC tínhđược BC = 10cm Gọi M trung điểm BC Do AM = 5cm

=> AG = 2.5 10 3AM = = cm

Tương tự tính

2

2 2

52

3 3

BG= BN = AB +AN = cm

và 73

3

CG= cm

8A. a) Ta có: MA = MB = MC =

2 BC

=> ∆MAB, ∆MAC tam giác cân M Do

   2   , 2

BMA=MAC+MCA= MAC CMA=MAB+MBA= MAB

b) Theo ý (a) ta có 2.(MAB +MAC)= MBA CMA+ = 180° => BAC = 90°

8B. Vì GI đường trung tuyến kẻ từ G đến BC => GI =

2BC =

2 = 2,5 cm

Lại có AI đường trung tuyến ∆ABC, G trọng tâm => AG =

2GI = 2.2,5 = 5cm

9A. a) ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)  AMB=AMC = 90° => AM ⊥ BC

b) BC = 12cm => BM = 6cm Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vng AMB, ta tính được: AM = 8cm

Vẽ BC Chứng minh dt ∆ABC =

2 BC AM =

2AC BN

Từ tính BN = 9,6cm

9B Tương tự 9A. BM = 12cm => GM =

3 BG =

3 12 = 4cm

GB =

3BM,GM =

1 3BM,

GC =

3CN, GN = 3CN

Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM

ii) Từ ý i) suy ∆GBN = ∆GCM (c.g.c) => BN = CM iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC

Do ∆ABC cân A

10B. Tương tự 10A

Chứng minh tam giác ABC cân A

Kéo dài AG cắt BC M Ta có ∆AMB = ∆AMC (c.c.c) Suy ĐPCM

11A Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN Tương tự 10A, ta có AB = AC

Tương tự, ta có AB = BC Vậy AB = BC = CA Suy ∆ABC

11B Ta có AG = BG = CG AG =

3AM,

BG =

3BN, CG = 3CP

=> AM = BN = CP Tương tự 11A suy ĐPCM 12 Tương tự 3B. a) Ta có BD = BC,

do EB đường trung tuyến ∆CDE Mặt khác AE = 2AB nên A trọng tâm

∆CDE

b) Vì A trọng tâm ∆CDE nên CA đường trung tuyến, suy ĐPCM

13 Ta có

OD + OA > AD OA + OB > BC OB + OC > BC OC + OD > DC

2 (OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA

Sử dụng kết 12 trang 93, ta có: AB + BC + CD + DA > 4MN

Suy ĐPCM

Chú ý:Trung điểm G MN gọi trọng tâm hình ABCD

14. a) BC = 10 cm

b) ∆BDI = ∆CDI (hai cạnh góc vng) => CBD =DCB

c) Ta có

∆CDE cân D => DE = DC => CD =

2BE => ∆BCE vuông C

15 a) ∆AMB = ∆DMC (c.g.c)

b) Chứng minh CD ||AB mà AB ⊥AC nên AC ⊥ DC Từ suy

∆BAC = ∆DCA (hai cạnh góc vng) c) AM = cm

d) Xét ∆ABC có BC < AB + AC, mà BC = 2AM nên AM <

2 AB+AC

16 Vì G trọng tâm ∆ABC nên : AG =

3AM =

3 4,5 = 3cm,

BG =

3BN =

3 = 4cm ∆ABG vuông G nên :

AB2 = AG2 + BG2 = 32 + 42 = 25 Suy AB = cm

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Định lí thuận

Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc

2 Định lí đảo

Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Vận dụng tính chất phân giác góc để chứng minh đoạn thẳng

Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.

1A Cho ∆ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm AC, tia phân giác A cắt BC D

a) Tính BC

b) Chứng minh: ∆BAD = ∆EAD

c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC

1B Cho xOy khác 180° Trên tia phân giác Ot xOy lấy điểm M

Chứng minh điểm M cách Ox Oy

2A. Cho ∆ABC có A = 120° Tia phân giác A cắt BC D Tia phân

giác ADC cắt AC I Gọi H, K, E hình chiếu I

đương thẳng AB, BC, AD Chứng minh: a) AC tia phân giác DAH

b) IH = IK

2B. Cho ∆ABC Hai tia phân giác góc đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh điểm I cách hai cạnh AB, AC

3A. Cho ∆ABC có trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh:

b) ∆ACD cân C

c) Chứng minh ∆ABC cân A

3B. Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm K cạnh BC, vẽ KH ⊥AC (H∈AC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh KAH =IAH

c) Chứng minh ∆AKI cân,

Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc

Phương pháp giải: Để chứng minh tia tia phân giác góc, ta có

thể sử dụng cách sau:

Cách 1.Áp dụng Định lí đảo

Cách 2.Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác

Cách 3 Đường trung tuyến tam giác cân đồng thời đường phân giác

4A. Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy

A ∈ Ox, B ∈ Oy cho OA = OB Gọi H giao điểm AB Ot Chứng minh:

a) CA = CB CO phân giác ACB;

b) OC vng góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB = cm, OA = cm Tính OH

4B Cho ∆ABC, AB = AC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh:

a) BE = CD;

b) ∆BMD = ∆CME;

c) Đường vng góc với OE E cắt Ox, Oy M, N Chứng minh MN / / AC //BD

5A. Cho xOy Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA > OB Lấy

điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh.:

a) AD = BC ;

b) ∆ABE = ∆CDE;

c) OE tia phân giác góc xOy

5B Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cạnh Oy lấy điểm B cho OA = OB Đường vng góc với Ox kẻ từ A cắt Oy điểm C Đường vng góc với Oy kẻ từ B cắt Ox D cắt AC I Đường vng góc với Ox kẻ qua D cắt Oy E Đường vuông góc với Oy kẻ qua C cắt Ox F cắt DE J

a) Chứng minh OI tia phân giác xOy

b) Chứng minh OC = OD Từ suy OJ tia phân giác xOy

6A Cho ∆ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx ⊥ BC Trên tia Mx lấy E

cho ME = MB

a) Tam giác BEC tam giác gì?

b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB, AC Chứng minh  BEH =CEK

c) Chứng minh AE tia phân giác góc A

6B. Cho ∆ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng ∆BCD vuông cân D Hạ DI ⊥AB, DH ⊥AC

Chứng minh AD tia phân giác A

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

7 Cho tam giác ABC vuông A có B = 60° Trên cạnh BC lấy điểm H

sao cho HB = AB Đường thẳng vuông góc với BC H cắt AC D Chứng minh:

a) BD tia phân giác ABC; b) ∆BDC cân

8 Cho xOy khác góc bẹt

a) Từ điểm M tia phân giác xOy, kẻ đường vng góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A ∈ Ox, B∈Oy), OM cắt AB H Chứng minh AB ⊥ OM

b) Trên tia đối tia Ox, Oy lấy hai điểm C D, cho OC = OD Hai đương thẳng vng góc với Ox, Oy C D cắt E Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng

9 Cho hai góc nhọn xOy zO t' có cạnh cắt tạo thành hình

ABCD hình vẽ Xét hình ABCD

a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D 360°

b) Cho biết A = 130°,B = 120°, C = 50°.Các tia phân giác củaA,B cắt

nhau M, tia phân giác D,C cắt N

Tính  AMB DNC,

c) Chứng minh tia phân giác hai góc xOy zO t'

vng góc với

trong tam giác vng ABC tính, BC 45 cm Vì E trung điểm AC nên AE =

2AC = cm => AE = AB

=> ∆BAD =∆EAD (c.g.c)

c) Do DH ⊥AB nên DH khoảng cách từ D đến AB Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC

Suy DH = DK

1B Hạ ME, MF vng góc với Ox,Oy (E∈Ox, F∈ Oy) Chứng minh ∆OME = ∆OMF (ch-gn) => ME = MF Vậy M cách, hai cạnh Ox, Oy

2A. a) Vì BAC= 120° nên CAH = 60° Do AD phân giác BAC nên

 1

2

DAC= BAC = 60°

=>  DAC=CAH

=> AC phân giác DAH b) Khi IE = IH

Mặt khác DI phân giác

ADC nên IE = IK

Vậy IH = IK

2B Gọi E, F, P hình chiếu I đường thẳng AB,

BC, CA

Theo Định lí thuận ta có IE = IF IF = IP => IE = IP Vậy I cách hai cạnh AB, AC

3A. a) Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD => ∆MAB = ∆MDC (c.g.c) => AB = CD

b) AM phân giác BAC nên BAM =CAM

Lại có BAM =CDM (hai góc tương ứng nhau)

Do CAM =CDM => ∆CAD cân tại C => CA = CD

c) Vậy AB = AC => ∆ABC cân A

3B a) Ta có: AB ⊥ AC, KH ⊥AC => AB // KH

b) ∆AHK = ∆AHI (ch-cgv) =>  KAH =IAH

c) ∆AKI có AH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác nên ∆AKI cân A

=> ∆AOC = ∆BOC (c.g.c) => CA = CB, OCA =OCB

=> CO phân giác ACB

b) Chúng minh được: ∆OAH = ∆OBH (c.g.c) => OAH =OHB = 90°, AH = BH

Vậy OC vng góc với AB trung điểm AB

c) Vì H trung điểm AB => AH =

2 AB = cm

Áp dụng định lí Pytago tam

giác vng OHA, tính OH = cm

4B a) ∆ABE = ∆ACD (c.g.c) => BE = CD

b) Do ∆ABE = ∆ACD =>  ABE= ACD=> BDC=CEB Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE

Lại có: ∆ABE = ∆ACD =>  ABE= ACD=> DBM =ECM

=> ∆BMD = ∆CME (g.c.g)

c) Vì ∆BMD = ∆CME => MD = ME => ∆ADM = ∆AEM(c.c.c) => MAD =MAE => AM phân giác BAC

5A. a) ∆OAD = ∆OCB (c.g.c) => AD = CB b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD

Lại có ∆OAD = ∆OCB (c.g.c) => OBC =ODA=> ABE=CDE

Mà OAD =OCB Vậy ∆ABE = ∆CDE (g.c.g) c) Vì ∆ABE = ∆CDE (g.c g) => BOE =DOE

=> OE tia phân giác góc xOy Tam giác AOC BOD

cân O nên OE ⊥ BD OE ⊥ AC Suy AC // MN // BD

5B a) b) Tương tự 5A

c) Vì OI, OJ phân giác xOy nên ba điểm O, I, J

thẳng hàng

6A a) ∆BEC có trung tuyến ME =

2 BC => ∆BEC vuông E Mặt khác ∆BME vuông cân M nên MBE = 45°

=> ∆BEC vuông cân E

b) Từ ý (a) suy BE = CE (1) AB ⊥AC, EK ⊥AC => AB // EK

=>  HEB=KEC(cùng phụ HEC) (2)

c) Từ (1) (2) suy ∆BHE = ∆CKE (Ch-gn) => EH - EK

Chứng minh ∆AHE = ∆AKE => HAE =KAE Vậy AE tia phân

giác góc A

6B Tương tự 6A

Chứng minh ∆BID = ∆CHD => DI = DH Suy ∆ADI = ∆ADH => DAI =DAH

Vậy AD tia phân giác A

7 a) Chứng minh ∆ABD ∆HBD => ∆ABD = ∆HBD => ABD=HBD

=> BD tia phân giác ABC

b)  1 30 ,  90  90 60

2

BDH = ABC = ° DCB = ° −ABC = ° − ° = °

=>  DBH =DCB=> ∆DBC cân D

8 Tương tự 4A.

a) Ta có MA = MB suy ∆OAM = ∆OBM => OA = OB Do ∆OAH = ∆OBH nên OHA =OHB= 90°

Vậy AB ⊥OM H

b) ∆OCE = ∆ODE => EOC =EOD Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia

phân giác xOy

9. a) ∆ABD có tổng góc 180° Tương tự, ∆DBC có tổng góc 180° Cộng lại ta ĐPCM

b) Sử dụng kết ý a) suy D = 60°

∆AMB có  

2

A+B

= 125° nên

AMB = 55°

Tương tự DNC = 125°

c) Gọi I giao điểm tia phân giác góc xOy với AD E giao điểm

của hai tia phân giác góc xOy

'

zO t Ta có:

  1(   )

=

2

' z 't 180 D 35

IO E = O ° − −C = °

 1  1(180   )

=

2

IOA = xOy ° −B−C = °

 180  50

OAI = ° − = °A

Suy AIE = IOA+OAI =55°

Vậy O EI' (35=180° − ° + ° =55 ) 90°

=> BD = DC

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GĨÁC CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí: Ba đường phân giác

tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể:

     

1 2, 2,

A =A B =B C =C => ID = IE = IF

2 Tính chất:Trong tam giác cân,

đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến

(hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh

∆ABC : AB = AC  A1= A2

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:

• Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm

đường phân giác góc thứ ba

• Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác 1A Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB



1B Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân

giác góc tam giác

2A Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm,

IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL

a) So sánh IP IH b) Tính IH

2B. Cho xOy, tia phân giác Oz Trên tia Ox lấy điểm A cho

OA = 4cm Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ox cắt Oz H, cắt Oy K Lấy điểm B tia Ox cho A trung điểm OB Hạ HI ⊥

OK

a) Chứng minh AH = HI

b) Biết OH = cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK

Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất ba đường phân giác tam giác

3A. Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M trung điểm BC

c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số HM

MK

3B Cho tam giác MNP có MN = MP Hạ MK⊥ NP (K ∈NP) Gọi NE, PF tia phân giác góc N P tam giác MNP Chứng minh: a) MK tia phân giác góc NMP;

b) MK, NE, PF đồng quy

4A Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng

4B Cho góc xOy nhọn Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Trên

tia Ox lấy điểm C cho BC tia phân giác góc ABy Gọi I giao điểm hai tia phân giác góc xAB xOy Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng

Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác

góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao

5A Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm

tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng

5B Cho tam giác ABC cân A Gọi I điểm nằm tam giác cách

đều ba cạnh tam giác Chứng minh AI vng góc với BC

6A. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác góc A Chứng minh tam giác ABC cân A

6B Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A

Dạng Chứng minh mối quan hệ góc

Phương pháp giải:

• Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc

• Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180°

7A. Cho ∆ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC

b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A

c) Chứng minh BIC = 90° + 

2 A

7B. Cho tam giác DEF cân D Gọi I giao điểm tia phân giác EP, FQ

a) Biết EIF = 110°, tính số đo góc D

b) Biết D = 50°, tính số đo ba góc tam giác IPF

8A Cho tam giác ABC có B >C Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân

giác AD

a) Biết B = °70 ,C = °50 , tính số đo HAD

B) Chứng minh   

2 B C HAD= −

a) Nếu B=40 ,° C =60°, Tính số đo góc HID

b) Chứng minh   

2 B C HID= −

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9. Tìm x, y biết M giao điểm phân giác tam giác ABC

10 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C

cắt I Gọi H, J, K chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm

a) Chứng minh ∆BHI = ∆BKI

b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vng cân c) Tính chu vi tam giác ABC

11 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB =

AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:

a) MA, NA tia phân giác PMB PNC ,

b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN, từ

đó suy AK tia phân giác BAC

12 Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A

C cắt K

a) Chứng minh BK phân giác góc ABC

b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng

c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC

13 Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy cắt E Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy

 

2

BEC= FEH

14 Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung

tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng

15 Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai

cạnh bên

16 Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam

giác ABC (P ∈ AB, Q ∈ AC) Gọi O giao điểm CP BQ a) Chứng minh tam giác OBC tam giác cân

b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC

c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với

e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì

17 Chứng minh tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh bên

thì

18 Cho xOy = 50° Lấy điểm A∈ Ox, B ∈ Oy Các tia phân giác



xAB yBA cắt E

a) Tính số đo góc AEB

b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF

19 Cho tam giác ABC vng A Kẻ AH vng góc với BC (H ∈ BC) Tia phân giác HAB cắt BC D

a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân

b) Các tia phân giác HACvà AHC cắt I Chứng minh CI

qua trung điểm, AD Từ tính góc AIC

20 Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H ∈ BC) Chứng minh:

a) AD tia phân giác A;

b)  90 

2

CID= ° −B

c) BIH =CID

21 Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:

a) Các góc ICBvà BIH hai góc phụ nhau;

b) IBH =ACI

22*. Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ BM vng góc với AC (M ∈ AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song

song AB hạ CN vng góc vói AB (N∈AB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh:

a) Đường phân giác A và hai đường BM, CN đồng quy;

b) Đường phân giác A và hai đường thẳng xy x'y' đồng quy

HƯỚNG DẪN

1A. a) Ta có  B C + =2IBC + 2ICB=2( IBC+ICB) 120= °

=A =180° −( +  B C) 18= 0° −120° =60°

Mà BI, CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác ∆ABC

=> AI tia phân giác  

2 A

b) Ta có ∆DEF cân D => F = =E 2HEF= °64 => FH tia phân giác  DEF 32

2

DFE=> =x = °

1B. Tương tự 1A

a) x = 24° b) x = 33°

2A. a) I giao điểm ba đường phân giác ∆MLN Do I cách ba cạnh ∆MLN => IP = IH

b) Xét ∆IKN vuông K : 2

5

IK = IN −IK = cm

=> IH = IK = cm

2B. a) Do KA vừa đường cao vừa trung tuyến nên ∆OKB cân K

Suy KA phân giác OKB Vì H nằm tia phân giác xOy nên

H cách Ox, Oy => AH = HI

b) Tính AH = 2

5 −4 =3cm

Từ giả thiếp ta suy H giao điểm

của ba đường phân giác ∆OBK nên H cách ba cạnh tam

giác

Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm

3A. a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét ∆ABC có AM, BD,CE tia

phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy

3B a) b) tương tự 3A

c) Khi ∆MNP tam giác

MN, KE, PF ba đường trung tuyến

Vậy H trọng tâm, hay

3 HM MK =

4A Gọi F,H,G hình chiếu

vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG

=> EF = EH nên E thuộc tia phân giác góc BAC Mà AD tia phân giác góc BAC

Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng

4B Tương tự 4A.

cạnh tam giác nên MI tia phân giác góc M

Do ∆MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm ∆MNP nên G nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng

5B Tương tự 5A

6A. Hạ MD ⊥AB, ME ⊥AC

Vì AM tia phân giác A nên

MD = ME

Do ∆BDM = ∆CEM (ch-cgv) Suy B =C Vậy ∆ABC cân A

6B. Tương tự 6A.

Chứng minh ∆ABH = ∆ACH (g.c.g) => ∆ABC cân A

7A a) Xét ∆ABC, ta tính B C + = 110° Do đó, IBC +ICB= 55°

Vậy BIC = 180° - 55° = 125°

b) Xét ∆BIC, từ giả thiết suy

 

IBC+ICB= 40° Do đó, ta có:

 ABC+ACB= 80°

Vậy BAC = 100°

c) Ta có: = BIC=180 - (° IBC +ICB)

=180 -   180 - 180 

2

B C A

=

+ ° −

° °

 

180 - 90 - +

2

2 90

A A

 

=  =

  °

° °

7B Tương tự 7A.

a) D = 40°

b) EIF=115 ; 82 30 '° IPF= ° ;IFP = °32 30 ' ; EIF=115° 8A. a) Từ giả thiết, ta tính được:

 60

BAC= °

  30 

2 BAC

DAC DAB

=> = = ° =

Do đó, xét ∆AHD ta tính

 10

HAD= °

Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20°

Vậy HDA = 30°- 20° = 10°

b) HAD = 90° - HDA

= 90 -   180  2  

2

A A C B C C

  − −

+ = ° − =

 

 

 

°

8B Tương tự 8A.

9. Tương tự 1A.

a) x = 19° b) x = 33°; y = 24°

10 a) ∆BHI = ∆BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm b) AI tia phân giác góc A nên   45

2

A HAI = = °

Do đó, ∆AHI tam giác vng cân c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm

Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm

∆IKC = ∆IJC (ch-gn) => IC = KC = 3cm

∆IBH = ∆IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm

11. a) ∆ABM cân nên  A1 =M1

Có AB // MP => M 2 =A1 (so le trong)

Vậy  

1

M =M , nên MA tia phân giác PMB

Tương tự, ∆ACN có NA tia phân giác PNC

b) Xét ∆PMN có A giao điểm hai tia phân giác góc M N nên PA tia phân giác góc MPN

Có: AB //MP => BAK =P1 ( đồng vị)

AC // PN =>  KAC=P2 (đồng vị)

Mà P 1 =P2 (do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia

phân giác BAC

12 a) Tương tự 4A

BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:

 90  125

2 ACB

AIC= ° + = °

Chú ý  IAK =ICK = 90° nên suy



KAC= 180° - 125° = 55°

13. Từ 4A, ta chứng minh E

thuộc tia phân giác góc BAC

Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý:

 1  1

;

2

BEG= FEG CEG= HEG

Suy ĐPCM

14 Vì ∆ABC cân A nên tia phân giác AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến ∆ABC nên K trọng tâm ∆ABC

Do I, K, C thẳng hàng

15. Ta có ∆ABM = ∆ACM (c.c.c), suy AM tia phân giác BAC.Vậy điểm

M cách hai cạnh bên AB, AC

16 a) Vì ∆ABC cân nên  ABC= ACB,

do  

2

B =C Vậy ∆OBC cân O

b) Vì O giao điểm tia phân giác CP BQ ∆ABC nên O giao điểm ba đường phân, giác ∆ABC Do đó,

O cách ba cạnh ∆ABC

c) Ta có ∆ABC cân A, AO tia phân giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao ∆ABC

Vậy đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vuông góc với

d) ∆PBC = ∆QCS (g.c.g) => CP = BQ e) Từ ý d), ta suy AP = AQ

Vậy tam giác APQ cân A

∆ABD = ∆ACE (g.c.g) => BD = CE

18. a) Xét ∆OAB, O= 50° nên ta có

  130

OAB OBA+ = °

Mặt khác     180 180 xAB OAB yBA OBA °  − ° = = −  

 nên

  230

xAB+yBA= °

Do đó,

  230

115

EAB+EBA= °= °

Xét ∆AEB, ta tính

AEB=180° −115°=65°

b) Tương tự, tính

 70

EKF = ° Suy

 45

KFE= °

19. a) Ta có:

      90 90 DAC A DAC ADC ADC A ° °  + =

 => =



+ =



=> ∆ACD cân C

b) Vì ∆ACD cân C nên tia phân giác CI đồng thời đường

trung tuyến Do CI qua trung điểm M AD

Do ∆AMI vuông cân M nên AIM =45°, hay AIC = 135°

20 Xét ∆ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C nên AI tia phân giác A

=> AD tia phân giác A

b)     2 90 

2

A C B CID=A +C = + = ° −

c) Ta có  90 2 90 

2 B BIH = ° −B = ° −

Kết hợp với câu b), suy  BIH =CID

21 a) Từ giả thiết suy

IA, IB, IC tia phân giác ∆ABC

Tương tự 20 ý b), chứng minh

được  

1 90

I = ° −C

góc phụ

b) Vì ∆IBH vng H nên:

    

1 1

90 90 (90 )

IBH = ° −I = ° − ° −C =C =C

Vậy IBH = ACI

22*. a) Vì ∆ABC nên đường cao BM,CN đồng thời đường phân giác ∆ABC

Vậy đường phân giác gócA

và hai đường BM, CN đồng quy b) Từ giả thiết suy BM ⊥ BP, mà BM tia phân giác

∆ABC nên BP tia phân giác ngồi ∆ABC

Tương tự, ta có CP tia phân giác ∆ABC

Từ 5A, ta chứng minh P thuộc

đường phân giác góc A Vậy đường phân giác góc A

hai đường thẳng xy x'y' đồng quy

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa đường trung trực:

Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d

2 Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách

hai mút đoạn thẳng

3 Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường

trung trực đoạn thẳng

MA = MB  M thuộc đường trung trực AB

4 Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực

của đoạn thẳng

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1

1A. Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN, Chứng minh ∆MAB = ∆NAB

1B Cho ∆ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh ∆ABD = ∆CBD

2A. Tam giác ABC vng A có C = 30° Trên tia đối tia AC lấy

điểm D cho AD = AC Tính số đo góc BDA

2B Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40° Tính số đo góc ∆ABC

3A. Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M giao điểm d với DF

a) Chứng minh DM + ME = DF

b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P ≠M) Chứng minh DP

+ PE > DF

c) So sánh chu vi hai tam giác DEM DEP

3B. Tam giác ABC có  B C− = 30° Đường trung trực BC cắt AC K

a) Chứng minh  KBC = KCB

b) Tính số đo góc ABK

c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK

4A. Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M N

a) Biết =B 30°, C = 45° Tính số đo góc BAC MAN

4B Cho tam giác ABC cân có A > 90° Các đường trung trực AB

AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110° Tính số đo góc DAE

b) Chứng minh 2BAC = DAE +180°

c) Tính góc DFE

5A. Cho góc vng xOy Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh:

a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB

5B Cho ∆ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H, cắt BC D Nối A D

a) So sánh số đo góc DAB DBA

b) Chứng minh D trung điểm BC

Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng

Phương pháp giải:

• Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định

lí hoặcĐịnh nghĩa đường trung trực

• Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực

6A. Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính cm đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường tròn cắt D, E Chứng minh:

a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE;

c) ADB = 90°

6B. Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh:

a) Điểm M thuộc đường trung trực AB; b) MN đường trung trực AB

7A Cho ∆DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P ∈ DE), KQ vng góc với DF

(Q∈DF) Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực EF PQ;

b) DK đường trung trực EF PQ Từ suy PQ//EF

7B. Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M

điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.:

a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB;

c) Điểm M thuộc đường trung trực CD

Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 2 để xác định điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng

8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí

điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B

8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A khơng cắt đoạn

thẳng BC Tìm vị trí điểm D đường thẳng d cho D cách hai điểm B C

Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào tốn cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)

Phương pháp giải:

• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác

• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn

9A Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d

Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ

9B Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm

phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

10 Cho góc xOy= 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi

C điểm đối xứng với A qua Oy a) Chứng minh ∆OAB = ∆OCB b) Tính số đo góc AOC

11 Cho tam giác ABC vng A có góc C= 60° Lấy điểm D đối xứng

với điểm C qua AB

a) Chứng minh ∆BCD tam giác

b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC

12 Cho ∆ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh:

a) DB = DE;

b) AD đường trung trực BE

13 Cho ∆ABC cân A, M trung điểm BC ME vng góc với AB, MF vng góc với AC Chứng minh:

a) AM trung trực của BC;

b) ME = MF AM trung trực EF; c) EF// BC

14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh: a) ∆ABE = ∆CDE;

15 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC

cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.:

a) Chứng minh ∆ADC cân; b) Chứng minh  DAC=ABC; c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE

16 Cho ∆ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB; AC

a) Chứng minh AP = AQ

b) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ

c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh

 

API =AHIvà  AHK = AQK

d) Chứng minh HA tia phân giác IHK

17 Cho xOy = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ

đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H ∈ OA, M ∈ AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB

18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I ∈ BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh:

a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định

19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho

DA + DB = AC

20 Cho góc xAy, B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C

21 Cho bốn điểm A, B, C, D

tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC, AD

lần lượt M, N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA

22 Cho ∆ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với BE M điểm đường thẳng d

a) Chứng minh MB + MC ≥ EC

23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi

tại đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ

24* Cho điểm A nằm góc nhọn xOy

a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ∆ABC có chu vi nhỏ

HƯỚNG DẪN 1A Do A, B nằm đường trung trực

của đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN

Suy ∆MAB = ∆NAB (c.c.c)

1B Tương tự 1A.

2A AB đường trung trực AC

=> BD = BC => ∆DBC cân B =>  BDA= = °C 30

2B. Tương tự 2A

Tính được: ACB=4 ;0° BAC=100° 3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF

a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF

=> DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét ∆DEF: DP + PF > DF

Vậy DE + PE > DF

c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME

Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM

3B Do  B>C nên AC > AB K thuộc cạnh AC a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC => ∆BKC cân K =>KBC =KCB

b) Ta có:

    ABK =ABC−KBC =ABC− = °C 30

c) Ta có:

AK + BK = AK + KC = AC = 5cm => AB + AK + BK= + = cm Vậy chu vi tam giác ABK cm

4A a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N

    30 45 B A C A ° °  = =   = =

 Nên AN⊥ BC

Xét ∆ABC: A = 105°

Vậy MAN=90°− ABN+BAM =30°

b) Có: MAN = −A (A 1+A2)= −A (B C + )= −A (180°−A)

Vậy MAN=2A−180°

4B. Tương tự 4A Có

 40

DAE= °và DFE= °70 5A. a) Gọi M1,M2lần lượt

giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB M1A = M1O nên  A=O1

M2O = M2B nên B =O2

=> O   1+O2 = + =A B 90° =>M OM1 =0° =>M1 ≡M2 ≡M

Vậy A, B, M thẳng hàng

b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB

5B a) Từ giả thiết suy DC = DA => C = A1

      2 90 90 A A A B B C  + =

 => =



+ = 

° °

b)  A2 =B => DA = DB

Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM

6A. a) Từ giả thiết suy AD = AE Suy điểm A thuộc đường trung trực DE

b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25 Mà AB2 = 25

Vậy ∆ABD vuông D

6B Tương tự 6A

7A. a) Ta có: DE DF

KE KF

= 

 =

 nên K, D thuộc

trung trực EF

∆DEK = ∆DFK (c.c.c)

=>  D1=D2 => DK đường phân

=> ∆DPK = ∆DQK => KP = KQ DP = DQ

Từ suy K, D thuộc trung trực PQ

b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK ⊥ PQ, DK ⊥ EF

Vậy PQ // EF

7B. a) ∆OAM = ∆OEM (ch-gn)

OA OB

MA MB

= 

 =



=> O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực AB

∆OBD = ∆OAC (cgv-gn) Tương tự 7A, ta có OM trung

trực DC

8A. Vì điểm M cách hai điểm A B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB

Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung

trực AB

Chú ý: Nếu A, B nằm cho

AB ⊥ d khơng tồn điểm cần tìm

8B. Tương tự 8A.

9A. Lấy D điểm đối xứng, với A qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD

Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C khơng trùng với M xét

∆BCD, ta có: CB + CD > BD hay

CA + CB > BD (1)

Nếu C trùng với M thì:

CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2)

So sánh (1) (2) ta thấy điểm C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA + CB nhỏ

Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d

9B. Tương tự 9A

trung trực AC => OA = OC, BA = BC => ∆OAB = ∆OCB (c c c) b) Từ ý a) suy ra:

 AOB=BOC=35° =>AOC= °70

11. a) Có AB đường trung trực CD nên BD = BC

=> ∆BCD cân có C = 60° => ∆BCD

b) ∆BCD

=> CD = BC = 3

2 CD CA

=> = =

Xét ∆ABC vng A, ta có:

AB = 2

BC −AC =

12. ∆ABD = ∆AED (c.g.c) => DB = DE (1)

b) Theo giả thiết: AB = AE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường

trung trực BE

13. a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC

=> AM trung trực của BC b) ∆ABC cân A nên B =C

∆BEM = ∆CFM ( ch-gn) => ME = MF

∆BEM = ∆CFM (ch-gn) => BE = CF Mà AB = AC =>AE = AF

Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF

c) Ta có: AM đương trung trực BC EF

=> AM ⊥ BC, AM ⊥ EF => EF // BC

14. a) Vì hai đường trung trực BD AC cắt E nên EA = EC, EB = ED

=> ∆ABE = ∆CDE (c.c.c) b) ∆ABE = ∆CDE =>  A1 =C1

Mà EA = EC =>  A1=C1 => A1 =A2

=> AE tia phân giác góc BAC

=> điểm E cách hai cạnh AB AC

=> ∆ADC cân

b) ∆ADC cân => DAC =DCA Vì AB = AC nên  ABC =ACD

=>  DAC=ABC

c) Ta có :

   ( 180 )

EAC+DAC =DBA+ABC = °

Từ kết ý a), suy EAC = ADB

Chứng minh ∆EAC = ∆DBA (c.g.c) => AD = CE d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD

=> CF đường trung trực DE

16 a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ

b) Ta có:

    



2( )

2 120

PAQ PAH HAQ BAH HAC

BAC

= +

+

= = °

c) ∆API = ∆AHI (c.c.c)

 

API AHI

=> = (1)

∆AHK = ∆AQK ( c.c.c) =>  AHK= AQK (2)

d) Có AP = AQ => ∆PAQ cân A =>  API =AQK (3) Từ (1),(2) (3) có:  AHI = AHK

=> HA tia phân giác IHK

17 Ta có MA = MO => O 2 =A

Mặt khác,    

2 90

A+ =B O +O = °

=> O 1=B => MO = MB

Vậy M thuộc trung trực OB

18. a) Vì HE // AI nên  E=A1 (đồng vị) F 1= A2(so le trong)

Mà  A1 =A2,  E=F1

=> AE = AF

=> Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI

Từ kết ý a), suy đường trung trực EF qua điểm A

vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF cố định

 DA + DB = AD + DC

 DB = DC

 D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường

trung trực BC DA + DB = AC

20. Vì M cách hai cạnh góc xAy nên M thuộc tia phân giác xAy

Vì M cách B C nên M thuộc đường trung trực BC

Vậy M giao điểm tia phân giác góc xAy đường trung trực BC

Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC

thì tìm vô số điểm M nằm trung trực BC

21 Chứng minh được:

∆BAC = ∆DCA (g.c.g) nên BC = AD;

∆BOC = ∆DOA (g.c.g) nên OC = AO Do BC // AD nên  MCO=NAO (so le trong)

∆MOC = ∆NO A => OM = ON,

AC ⊥ MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM

22 a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF⊥ BE

∆AEF = ∆ABF (ch-cgv)

=> FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB

=>MB + MC = ME + MC

Nếu điểm M không trùng điểm A, xét ∆MEC có ME + MC > EC nên MB + MC > EC (1)

Nếu điểm M trùng điểm A, đó:

MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC ≥ EC

b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có:

MB + MC = EC = AB + AC = 23cm

23 Lấy điểm D đối xứng với

trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác

EBC nhỏ

24*. a) Từ A vẽ AM ⊥ Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Ox

Tương tự AN ⊥ Oy

Suy AM + AN tìm có giá trị nhỏ

b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm

Thật vậy, lấy điểm B',C' khác B,C ta ln có:

BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E

Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí 1.Ba đường trung trực

Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác

Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực ∆ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường

trịn ngoại tiếp ∆ABC

2 Định lí 2. Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng

thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy

II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực

tam giác cách ba đỉnh tam giác

1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt khơng thẳng hàng Hãy xác định đường trịn qua ba điểm A, B, C

1B Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.?

2A. Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền

2B. Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC

Dạng Vận dụng tính chất ba đưòng trung trực tam giác để giải quyết toán khác

Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm

của hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác

Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường

trung tuyến, đường phân giác đường cao

3A Cho ∆ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt O Tính số đo góc OMB

3B Cho ∆MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH ⊥ NP Chứng minh H trung điểm NP

4A Cho ∆ABC có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh:

a) ∆BIC cân;

b) BIC = 2(180° - BAC) tính sốđo góc BIC

4B Cho ∆ABC vuông A Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh:

a) OB = OC;

b) BOC = 2(180° - BAC) O trung điểm BC

5B Cho ∆ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M ∈ BC) Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G cho AG =2

3AM Chứng minh

đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC

6A Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh:

a) MKO =PDO;

b) O thuộc đường trung trực MN; c) MO tia phân giác NMP

6B. Cho ∆ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA, OB, OC

a) Chứng minh OBA =OAC

b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN

Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực

trong tam giác

7A. Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng

7B. Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng

8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD,

8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB

và AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao?

10 ∆ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên

tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vng

c) Biết ABC = 70° Tính số đo góc ADC

11. Cho ∆ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết BO tia phân giác góc ABC Chứng minh:

12 Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt

nhau O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh:

a) ∆DOB = ∆EOC;

b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC

13 Cho tam giác ABC vng A có C = 60° Lấy điểm D đối xứng với

điểm C qua AB

a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC =

2 BC

c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO =

3BA Chứng minh O tâm

đường tròn ngoại tiếp ∆DBC

14 Cho tam giác ABC có A > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E

cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh:

a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE

15 Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo

thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC

a) Tính số đo góc MAO

b) Chứng minh ∆MAO = ∆OPC

c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP

16 Cho ∆ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh:

a) ∆AMB ∆ANC cân; b) ∆AMC = ∆ANB;

c) AO đường trung trực MN

17 Cho ∆ABC vuông A, C = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng

AC, cắt AC H cắt BC D Nối A D a) Chứng minh ∆ABD

b) Kẻ phân giác góc B cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh

I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC

c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK

d) Tính số đo góc DAI

18. Cho ∆ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O

Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP ⊥ BO (P thuộc BC), từ P hạ

PF ⊥OC (F thuộc AC) Chứng minh:

19. Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng

b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy

20*. Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC, H ∈ BC Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC

cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh ∆ABC điểm cách ba đỉnh ∆ADE

21*. Cho ∆ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ∆ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB'

a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song

b) Cho ABC=80 ,° BAC=60° Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C

HƯỚNG DẪN

1A Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O Ta có

OA = OB = OC

Ba điểm phân biệt A, B, C khơng thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trưng trực tam giác ABC

1B. Tương tự 1A.

2A. Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó, OA = OB = OC

Suy ra: B   =A C2, =A1

=>  

 

2

1

2

2 80 180

O A O A

 =

 

=

° − ° − 

=> BOC  =O1+O2 =360° −2A =180°

=> B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC => O trưng điểm BC

2B. Tương tự 2A

3A. Từ giả thiết suy O thuộc đường trung trực BC

=> OM đường trung trực BC => OMB = 90°

3B. Tương tự 3A

trung trực BC

=> IB = IC = ∆BIC cân I

b) Có BIA =180° −2 A AIC2; =1 08 ° −2A1

=>   BIC=BIA+AIC

= 180° −2A1+180° −2A2

= 2(180° −BAC)

Từ đó, suy BIC = 140°

4B Tương tự 4A

5A Vì ∆ABC cân A nên đường trung trực cạnh đáy BC đồng thời trung tuyến ∆ABC ứng với cạnh BC

Kết hợp với giả thiết suy G trọng tâm ∆ABC

5B. Tương tự 5A.

6A. a) Từ giả thiết suy OK = OD, OM = OP

∆MKO = ∆PDO (c.c.c) => MKO=PDO

b)Từ kết ý a), suy OKN =ODM

Mặt khác MN = MP, MK = PD =>NK = MD

Chứng minh

∆OKN = ∆ODM (c.g.c) => ON = OM => O thuộc đường trung trực MN c) Xét ∆MNP có O giao điểm đường trung trực MN

và MP

=> MO đường trung trực NP Mà ∆MNP cân M nên MO đồng thời tia phân giác góc NMP

6B a) Từ giả thiết suy OA = OB = OC Suy ∆AOB = ∆AOC (c.c.c)

Mà ∆AOB, ∆AOC tam giác cân đỉnh O nên OBA =OAC

b) Chứng minh ∆BMO = ∆ANO (c.g.c) => OM = ON

=> O thuộc đường trung trực MN

7A. Chứng minh được: ∆ABM = ∆ACM (c.c.c) Từ đó, suy AM đường trung trực BC Theo tính chất ba đường trung trực

tam giác, ta suy điểm E thuộc đường trung trực BC

7B Tương tự 7A

8A. Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC => AD đường trung trực BC Xét ∆ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác ta có đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD

8B. Tương tự 8A

9 Từ giả thiết suy OA = OB = OC

Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA

10 a) Ta có OA = OB = OC nên OA = OD = OC

=> O giao điểm hai đường trung trực AD DC b) Ta có : OA = OB => B 2 =BAO

OA = OD => D 1 =DAO

Xét ∆BAD có:

B   2+BAO+DAO+D2 =180°

=> 2(BAO +DAO) 180= ° =>BAD = °90

Vậy tam giác ABD vuông A

Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vuông C Ta ý AO =

2BD OC =

2BD Suy kết ∆ABD vuông A ∆BCD vuông C

c) Ta có:  B2+D1=90°;B 1+D2 =90°

Suy B   1+B2+D2+D1 =180°

=>  ABC+ADC=180° =>ADC=180° −ABC=110° 11. a) Ta có OA = OB = OC  B1=B2

nên C   1 =B1=B2 =A1

=>  AOB=COB

=> ∆AOB = ∆COB (c.g.c) b) ∆AOB = ∆COB => BA = BC

Mà OA = OC => BO đường trung trực AC

12 Ta có OB = OC, AB = AC

     

2 2, 1

B =C ABC=ACB=>B =C

=> ∆DOB = ∆EOC (c.g.c) b) ∆DOB = ∆EOC => OD = OE

=> AO đường trung trực DE c) AO đường trung trực DE

BC nên AO ⊥DE, AO ⊥ BC => DE // BC

13 a)Từ giả thiết suy AB đường trung trực CD Suy BD = BC Mà C = 60° => ∆BCD tam giác b) Ta có: AC = DA =

2CD

Từ kết ý a), suy CD = BC Do AC =

2BC

c) Xét ∆DBC có trung tuyến BA BO =

3BA => O trọng tâm

∆DBC

=> O giao ba đường trung trực ∆DBC

=> OA = OB = OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DBC

14 a) ∆BAC = ∆BAD nên ∆BCD tam giác

b) AC =1

2 DC = BC

c) Do BA trung tuyến nên O trọng tâm Suy CO, DO trung tuyến

Mà ∆BCD nên DO,CO trung trực BC, BD Vậy A tâm đường tròn ngoại tiếp A

15 a) Vì ∆ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân giác A

=>   30

2 BAC MAO= = °

b) Tương tự ý a), OCP = °30

Chứng minh ∆MAO = ∆PCO (c.g.c) Ta có: ∆MAO = ∆OPC => OM = OP (1) Tương tự ý b), ∆MAO = ∆NBO (c.g.c) => OM = ON (2)

Từ (1) (2) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP

16 a) Từ giả thiết suy

NA = NC, MA = MB nên

∆AMC cân N

∆ANB cân M

b) Ta có:   A1=NAC−A2

  

3

A =BAM −A (1)

   

NAC= ACB= ABC=BAM (2) Từ (1) (2) suy  

1

A =A Ta chứng minh

∆AMC = ∆ANB (c.g.c)

c) O giao điểm trung trực ∆ABC => OB = OC Từ ý b), suy AN = AM

Từ ∆OBN = ∆OCM suy OM = ON Vậy OA trung trực MN

17 a) C=30° =>B = °60

Ta có: DA = DC => DAC = = °C 30

=> BAD = 60° => ∆ABD

b) ∆ABD => BK đường trung trực AD => IA = ID,

Mà I ∈DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID => I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC

c) I thuộc phân giác gócB => IE = IF

DH đường trung trực AC => DH phân giác ADC

=> IK = IE Vậy IE = IF = IK

d) IK = IF => AI tia phân giác DAF

 60  120

BAD= ° =>DAF = °

=>   60

2 DAF DAI = = °

18. a) Gọi H giao điể PE

với OB I giao điểm PF với OC

Chứng minh được:

∆BEH = ∆BPH (cgv- gn) =>BE = BP, HE = HP

=> OB đường trung trực PE

Tương tự, ∆FOC = ∆POC => CF = CP, IF = IP => OC đường trung trực PF

b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC

19. a) Ta có: ∆ABE = ∆ACD (c.g.c) Từ suy AO đường trung trực

đoạn DE

Xét ∆ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác nên O thuộc

đường trung trực BC

Vậy ba điểm A, D, O thẳng hàng b) Ta có    ABC= ACB B, =C2

=> B 1=C1

OD = OE (2)

Từ (1) (2) suy AK đường trung trực DE

Xét ∆ADE, theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK đường trung trực AD AE đồng quy

20* Vẽ tia phân giác B C ∆ABC, chúng cắt O

Suy O cách ba cạnh ∆ABC Ta có:      AEB= +C A EAB4, =HAB+A3

Vì C =HAB (do phụ với góc B )

và  A4 =A3, nên  AEB=EAB

Suy ∆ABE cân B

Vậy đường phân giác BO góc B

đường trung trực cạnh AE

Tương tự, ta có đường phân giác CO góc C đường trung trực

của cạnh AD

Từ đó, suy O cách ba đỉnh ∆ADE

21*. a) Từ giả thiết suy

∆AKH = ∆BKC' (c.g.c) => AH = BC'

Mà  A1 =B1=> AH // BC'

Tương tự, ∆AHI = ∆CB'J =>AH = CB', AH // CB' Vậy ta có BC' = CB' (= AH) BC' // CB'( //AH)

Tương tự, ta có:

AC' = CA' ( = BH ) AC' // CA' ( // BH); AB' = BA' (= CH ) AB' // BA' (//CH)

Mà H giao điểm đường trung trực ∆ABC nên AH = BH = CH

Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song

b) Tính ACB = 40°

Do ∆C'BH, ∆HBA' cân nên  B1=B2 B 3 =B4

Suy C'BA'=2A CB =160°

Tương tự, C'AB'=2ABC =120° B'CA'=2ACB= °80

Do '/ / '  ' ' ' 160 '/ / '

AB BA

AB C A BC CB BC



=> = =



 °

Tương tự, AC B ' =B CA' '= °80 BA'C =2C A' B'=120°

CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Đường cao tam giác

Đường cao tam giác đoạn vng góc kẻ tà đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện

2 Tính chất ba đường cao tam giác

Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác

Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H trực tâm tam giác ABC

3 Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân

- Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường

- Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao)

trùng tam giác tam giác cân

- Trong tam giác vuông, trực tâm tam giác đỉnh góc vng tam giác

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Xác định trực tâm tam giác

Phương pháp giải: Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao

điểm hai đường cao tam giác

1A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt H

a) Chỉ đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác

b) Chỉ trực tâm tam giác HAB HAC

1B Cho tam giác HBC có H > 90°, đường cao BD CE cắt

A Tìm trực tâm tam giác ABC

2A. Hãy giải thích trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vuông?

2B. Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM Chứng minh trực tâm tam giác ABC, MAB MAC thẳng hàng

Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc

Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam

giác ABC AH ⊥BC

3A Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S a) Chứng minh MS⊥ NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR

3B. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE cắt I a) Chứng minh CI ⊥ AB

Cho ABC = 50° Tính  AIE DIE,

4A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH D Chứng minh AK ⊥ CD

4B Cho tam giác MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR

⊥NP (R ∈ NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ⊥ ON

5A. Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP, tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh:

a) PQ ⊥ NR b) RQ ⊥ NP

5B. Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A, B), tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Tia ED cắt BC F Chứng minh:

Dạng Đường cao tam giác cân

Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân đường cao ứng

với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác

6A. Cho tam giác ABC cân A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH ⊥ AB

6B. Cho tam giác MNP cân M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS K Chứng minh NK ⊥MP

7A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD, CE cắt H Chứng minh AH tia phân giác BAC

7B. Cho tam giác DEF cân D, đường cao EM, FN cắt O Gọi I giao điểm DO với EF Chứng minh IE = IF

Dạng Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác

chúng qua điểm

8A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA

a) Chứng minh BM⊥ AD

b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC,K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy

8B. Cho tam giác ABC vuông B, kẻ đường phân giác AD Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB = AE

a) Chứng minh DE ⊥ AC

b) Gọi F hình chiêu vng góc C đường thẳng AD Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

9 Trong câu sau, câu đúng?

Cho ∆MNP không vuông, H trực tâm, đó: a) M trực tâm tam giác HNP;

b) N trực tâm tam giác MPH; c) P trực tâm tam giác MHN; d) M trực tâm tam giác MNP

10. Cho tam giác MNO có ba góc nhọn Gọi K, P chân đường cao kẻ từ M N Gọi S giao điểm MK NP

a) Chứng minh OS ⊥ MN b) Cho MNO = 70 Tính OSK

11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ đường cao CD Đường trung trực

BC cắt CD M

a) Chứng minh BM ⊥ AC b) Tính BMD biết ABC = 70°

12 Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm Tính độ dài

đường trung tuyến AM tam giác ABC

13. Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Gọi I giao điểm đường phân giác góc B góc C Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho CD = CA, BE = BA

b) Gọi M giao điểm BI AD, N giao điểm CI AE Chứng minh AI ⊥ MN

14 Cho tam giác AMN cân A Đường trung trực d AM cắt đường

thẳng MN P Gọi D hình chiếu vng góc M AP E trung điểm MN Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy

15*. Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Gọi M, N trung điểm HB, HA Chứng minh AM vng góc với CN

HƯỚNG DẪN 1A. Học sinh tự làm

1B. Học sinh tự làm 2A. Học sinh tự làm 2B. Học sinh tự làm

Các trực tâm nằm đường cao AH

3A. Chú ý S trực tâm ∆MNP, từ

MS ⊥NP

b) Gọi H giao điểm MS với NP Chú ý ∆MHN vuông, từ tính SMR=25°

3B a) Chú ý I trực tâm ∆ABC b) Tính AIE=5 ,0° DIE=130° 4A Chú ý AB ⊥AC, từ DK ⊥AC

Bởi K trực tâm ∆ADC, suy AK ⊥CD

4B Chú ý Q trực tâm ∆PNO

5A a) Gọi S giao điểm PQ

NR Tính  SPR=SRP=45°,

từ PQ ⊥ NR

b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm ∆PNR => RQ ⊥ NP

5B a) Chú ý  FEC=FCE=45° ∆BDF vuông cân b) Dùng kết ý a, để có D trực tâm ∆EBC Từ CD ⊥ BE

6A Chú ý AD đường cao

đó H trực tâm

∆ABC suy CH ⊥AB

6B Tương tự 6A, chứng minh K trực tâm

của ∆MNP

7A Chú ý H trực tâm ∆ABC, từ AH

vừa đường cao vừa đường phân giác

7B Tương tự 7A, chứng minh AI

đường trung tuyến ∆ABC, từ

IE = IF

8A Chú ý tam giác ABD cân B nên

BM đường phân giác đường Cao, từ BM ⊥AD

b) Chú ý AK, BM, DH ba đường cao ∆AMD

8B a) Chứng minh

∆ABD = ∆AED(c.g.c)

Từ AED = 90° => DE ⊥AC

b) Chú ý AB, ED, CF

là ba đường cao ∆ADC

9 Học sinh tự làm 10 a) Tương tự 3A

b) OS cắt MN Q, ý ∆ONQ vng, từ OSK = 70°

11 Tương tự 6A, chứng minh M trực tâm ∆ABC

Tính BAC = 180° - 140° - 40° => ABM = 90° - 40° = 50°

Suy BMD = 40°

12 Chú ý AM đường cao, từ dùng Định lý Pytago tính

AM = 12 cm

13 a) Tam giác ABE cân B có BI

phân giác nên đường cao, từ BI ⊥ AE

Tương tự CI ⊥ AD

b) Từ kết ý a, chứng minh I trực tâm ∆AMN, từ AI ⊥ MN

14 Ta có tam giác AMN cân A,

AE ⊥MN

Từ d, MD, AE ba đường cao

chứng minh không thay đổi

15 Dùng tính chất đường trung bình cho

∆AHB ta có:

MN // AB => MN ⊥ AC

Chứng minh N trực tâm

∆AMC, từ dẫn đến AM ⊥ CN

ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phẩn Tóm tắt lý thuyếttừ Bài đến Bài

II BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1A Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AC So sánh:

a) ADC AEB; b) AD AE

1B Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC Trên cạnh BC lấy M N cho BN = BA, CM = CA

a) So sánh AMC ANB b) So sánh AM AN

c) Cho biết ABC =40 ,° ACB=30°.Tính ba góc ∆AMN

2A. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM trọng tâm G Trên tia đối tia BC lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho BE = CF a) Chứng minh G trọng tâm tam giác AEF

b) Gọi N trung điểm AF Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng

IH // MN IH = MN

2B. Cho tam giác ABC, trung tuyên AM Trên tia đối tia MA lấy D cho MD = MA

a) Chứng minh AB // CD AB = CD

b) Gọi E F trung điểm AC BD AF cắt BC I, DE cắt BC K Chứng minh I trọng tâm tam giác ABD, K trọng tâm tam giác ACD

c) Chứng minh BI = IK = KC d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng

3A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy M cho BM = BA Trên tia đối tia CB lấy N cho CN = CA Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt P

a) Chứng minh MA tia phân giác PMB, NA tia phân giác



PNC

b) Chứng minh PA tia phân giác MNP

c) Gọi D trung điểm AM, E trung điểm AN, đường thẳng BD, CE cắt Q Chứng minh QM = QN

d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng

3B. Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B đường phân giác C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F

a) Chứng BEI, CFI tam giác cân b) Chứng minh BE + CF = EF

c) Gọi M trung điểm IB, N trung điểm IC, đường thẳng EM, FN cắt O Chứng minh OB = OC

d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng

4A. Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°), đường phân giác AD Kẻ

đường cao BE, gọi H giao điểm BE AD a) Chứng minh CH ⊥ AB

b) Gọi F giao điểm CH AB Chứng minh AD trung trực EF

c) Kẻ EI ⊥HC, FJ ⊥ HB với I∈HC, J ∈HB Chứng minh đường thẳng EI, FJ,AD qua điểm, kí hiệu điểm O

d) Chứng minh AC - AF > OF - OC

4B Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D

Kẻ DE vng góc với BC E a) Chứng minh DA = DE

b) Chứng minh BD trung trực AE

c) Kẻ CK vng góc với BD K, đường thẳng CK, BA cắt F Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

5 Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM Trên tia đối

của tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD, AB // CD

b) So sánh MAB MAC c) So sánh AMB AMC

6 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy E cho AE = 2AB

Trên tia đối tia BC lấy D cho BD = BC a) Chứng minh A trọng tâm ∆CDE

b) Gọi F trung điểm DE Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng

c) Chứng minh BE + CF > EC

7 Cho tam giác ABC, đường phân giác B C cắt I Kẻ

ID⊥ AB, IE ⊥ AC với D ∈AB, E ∈ AC a) Chứng minh ∆ADE cân A

b) Chúng minh AI trung trực DE c) Biết BAC = 60° Tính số đo BIC

8 Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Trên tia đối tia BC

lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE a) Chứng minh ∆ADE cân A

b) Chứng minh AM tia phân giác DAE

c) Kẻ BH ⊥AD, CK⊥AE với H ∈ AD, K ∈ AE Chứng minh

 

DBH =ECK

d) Gọi N giao điểm HB KC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng

9 Cho tam giác ABC cân A (A < 90°), kẻ đường phân giác AD Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho MD = AD

a.) Chứng minh ∆DAM vuông cân D

b) Kẻ BN vng góc với AM N, đường thẳng BN AD cắt O Chứng minh OM ⊥AB

c) Chứng minh OB = OC d) Chứng minh AM // OC

10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD cắt I Tia phân giác HAC cắt cạnh BC E

a) Chứng minh ∆BAE cân B

b) Chứng minh I trực tâm ∆ABE, c) Chứng minh EI //AC

d) Cho biết ACB = 40° Tính góc ∆IAE

11 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh

BC lấy điểm M cho BA = BM

b) Gọi K hình chiếu vng góc M AC Chứng minh AM trung trực HK

c) Gọi I hình chiếu vng góc C tia AM Chứng minh AH, KM, CI đồng quy

d) Chứng minh AB + AC < AH + BC

12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AD Vẽ

điểm M cho AB trung trực DM, vẽ điểm N cho AC trung trực DN

a) Chứng minh ∆AMN cân A

b) Đường thẳng MN cắt AB, AC F, E Chứng minh DA tia phân giác EDF

c) Chứng minh EB tia phân giác DEF d) Chứng minh BE ⊥AC

e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

HƯỚNG DẪN 1A a) Chú ý tam giác BAD,

CAE cân, từ ta có

   ,

2

ABC ACB ADC= AEB=

Lại có AB < AC =>  ABC>ACB

=>  ADC>AEB

b) Dùng kết ý a,  ADC>AEB=>AD < AE

1B. a) Chú ý tam giác BAN, CAM

cân, từ  90 

2 ACB AMC= ° −

 90 

2 ABC ANC= ° −

Mà AB < AC => ABC>ACB=> AMC>ANB

b) Dùng kết ý a,  AMC> ANB =>AM < AN

c) ABN =40° =>ANB=70 °ACM =30° =>AMC= °75

Vậy MAN= °35

2A a) Ta có ME = NF nên AM đường trung tuyến ∆AEE, ý AG = 2GM => G trọng tâm ∆AEF

b) EN đường trung tuyến

∆AEF nên EN qua G,

c) Ta có GH = GM =

2

GA

GI = GN=

2 GE

Từ ta chứng minh được:

∆GMN= ∆GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN

2B. a) Chứng minh ∆AMB = ∆DMC (c-g-c) =>AB = CD, AB//CD

b) Chú ý AF, BM đường trung tuyến ∆ABD DE, CM đường trung tuyến ∆ACD => ĐPCM

c) Dùng kết ý b, ta có BI =

3MB =

3MC = CK

Lại có IK = MI + MK =

3MB +

3MC =

3MB=> ĐPCM

d) ME đường trung bình ∆ABC => EM //AB MF đường trung bình ∆BDA => EM //AB Vậy E, M, F thẳng hàng

3A. a) Chứng minh được:

     

AMB BAM AMP ANC CAN ANP

 = =

 

= =



Từ MA tia phân giác



PMB, NA tia phân giác PNC b) Xét ∆PMN, dùng kết câu a, ta có PA tia phân giác MPN

c) Chú ý tam giác ABM cân B,

tam giác ACN cân C, BD CE trung trực AM AN=> QM = QA = QN

d) Gọi Ax tia đối tia AP, chứng minh

   

xAB=MPA=NPA=xAC=> PA phân giác BAC

Xét ∆ABC, ý BD, CE đường phân giác đỉnh B, C => AQ phân giác BAC Từ ba điểm P,A,Q thẳng

hàng

3B Ta có EIB  =IBC=EBI

  

FIC=ICB=FCI Từ BEI,CFI

các tam giác cân E F b) Dùng kết ý a, ta có: EF = IE + IF = BE + CF

f) đường phân giác

g) đỉnh E, F => AO phân giác BAC Mà AI phân giác BAC A, I, O thẳng hàng

4A a) Chứng minh H trực tâm

∆ABC => CH ⊥AB

b) Ta có ∆AEB = ∆AFC (ch - gn) Từ suy AE = AF

Do ∆AEF cân, ý AD phân giác

A => AD trung trực đoạn thẳng EF

c) Chú ý EI , FJ, AD ba đường cao

∆EHF

d) Chú ý: AF = AE, FO = OE Vậy AC - AF = EC > OF - OC

4B. a) Chú ý ∆BAD = ∆BED (ch - gn) Từ DA = DE

b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD trung trực AE

c) Chứng minh D trực tâm

∆FBC, từ FD ⊥ BC, lại có

DE ⊥ BC => E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh được:

BC - BA = EC > DC - DE = DC - DA

5 a) Chứng minh

∆AMB = ∆DMC (c-g-c)

Từ suy AB = CD, AB // CD b) Chú ý MAB =MDC

CD = AB < AC

Từ ta có   MAB=MDC>MAC

c) Dùng kết ý a, ý  B> =>C  AMB<AMC

6. a) Chú ý BE đường trung tuyến

của ∆CED AE = 2AB, từ A

là trọng tâm ∆CDE

b) Ta có CF đường trung tuyến ∆CDE => C, A, F thẳng hàng c) Chứng minh

BE + CF =3

2 (AE + AC) > 2EC

7. a) Chứng minh AI tia

phân giác BAC, từ ta có:

∆AID = ∆AIE (ch - gn) => AD = AE => ĐPCM

b) Ta có ∆ADE cân A có AI phân giác DAE => AI trung

c) Ta có     60

ABC ACB

IBC+ICB= + = ° từ BIC= 120°

8. a) Chứng minh MD = ME

AM ⊥ BC => ∆ADE cân A (AM vừa đường cao vừa đường trung tuyến) b) Dùng kết ý a, ta có AM tia phân giác DAE

c) Chú ý HDB =KEC=> ĐPCM d) Dùng kết ý c, chứng minh

được NB = NC, ý AB = AC nên AN trung trực BC, từ

ba điểm A, M, N thẳng hàng

9 a) Chứng minh AD ⊥ BC, mà DM = DA nên ∆DAM vuông cân D

b) Chứng minh B trực tâm

∆AOM, từ OM ⊥AB

c) Ta có AD trung trực BC, từ suy OB = OC

d) Tính OBC =MBN = 45°

Từ BOC = 90° => OC ⊥ON => AM //OC

10 a) Chú ý HAE =EAC, từ

chứng minh BAE =BEA

nên ∆BAE cân B

b) Dùng kết ý a, với ý BI phân giác ABE suy

ra BI ⊥AE

Từ I trực tâm ∆ABE

c) Dùng kết ý b, ta có IE ⊥AB => IE //AC

d) ACB=40° =>HAC=90° − ° =40 50° =>IAE =IEA=25°

Suy AIE = 180° - 50° = 130°

11 a) Chú ý BAM =BMA

Từ CAM =HAM nên AM

tia phân giác HAC

b) Dùng kết ý a, chúng minh AH = AK, MH = MK Do

đó AM trung trực HK c) Chú ý AH, KM, CI ba đường cao ∆MAC

đó ta có:

AC - AH = CK < CM = BC - BA => AB + AC < AH + BC

12 a) Vẽ DH ⊥ AB lấy

HM = HD Suy AB trung trực DM Thực tương tự với N

Dùng tính chất đường trung trực, ta có:

AM = AD = AN

Từ ta có ∆AMN cân A

b) Chứng minh được:

   ADE=ANE ADF, =AMF

Mặt khác dùng kết ý a, ta có  AME= ANF Từ DA phân giác

của EDF

c) Do DB ⊥ DA nên DB đường phân giác đỉnh D

∆DEF Vậy B cách hai cạnh DF ED

Do FB phân giác đỉnh F ∆DFE nên B cách FE DF

Suy B cách FE DE, EB phân giác DEF

d) Chú ý EB, EC đường phân giác phân giác ngồi đỉnh E ∆DEF, từ BE⊥ AC

e) Tương tự ý d, ta có CF ⊥ AB, AD, BE,CF ba đường cao ∆ABC, từ chúng đồng quy

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng;

Câu 1. Độ dài hai cạnh tam giác cm 10 cm Trong số đo sau đây, số đo sau độ dài cạnh thứ ba tam giác đó?

A cm B cm C cm D cm

Câu 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A

và D cho

3 AG

AD = Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB

F Khẳng định sau sai?

A BG

EG = B E trung điểm cạnh AC

C

3 FG

CG = D F trung điểm cạnh AB

Câu 3. Cho tam giác ABC có   A= +B C Hai đường phân giác góc A

và góc C cắt O Khi số đo BOC bằng:

A 85° B 90° C 135° D 150°

Câu 4 Tam giác ABC có góc A tù, B >C Trong khẳng định sau,

khẳng định đúng?

A BC >AC >AB B AC >AB >BC

C BC >AB > AC D AB > AC > BC

Câu 5. Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vng góc AH đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C thuộc d) Biết HB < HC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau:

C AB = AC D AH > AB

Câu 6. Cho góc xOy có số đo 60° Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng cm Khi đoạn thẳng OM bằng:

A cm B cm C cm D cm

Câu 7. Trên đường trung trực đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N Khi khẳng định sau đúng?

A  AMN ≠BMN B ∆AMN = ∆BMN

C MAN ≠MBN D MNA ≠MNB

Câu Cho tam giác ABC vuông A Gọi P, Q, K trung điểm ba cạnh AB, AC, BC Gọi O giao điểm ba đường phân giác ∆ABC Khỉ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:

A O B P C Q D R

PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài 1.(2,5 điểm) Cho ∆ABC cân A có AD đường phân giác a) Chứng minh ∆ABD = ∆ACD

b) Gọi G trọng tâm ∆ABC Chứng ba điểm A, D, G thẳng

hàng

c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm

Bài 2.(3,5 điểm) Cho ∆ABC Gọi E, F trung điểm AB,AC Trên tia đối tia FB lấy P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE

a) Chứng minh A trung điểm PQ b) Chứng minh BQ // AC CP // AB

c) Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh chu vi ∆PQR hai lần chu vi ∆ABC

d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy điểm

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu D Câu B

Câu C Câu C

Câu C Câu B

Câu A Câu D

PHẦN II TỰ LUẬN

Bài 1 a) ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

b) ∆ABD = ∆ACD => BD = CD nên AD đường trưng tuyến Do G trọng tâm nên G ∈ AD Vậy A, D, G thẳng hàng

c) Ta có: BD =

2 BC =

2.10 = 5cm

Do tam giác ABC cân A nên trung tuyến AD đồng thời đường cao, ∆ABD vng D

Theo định lí pytago: AB2

Vì G trọng tâm ∆ABC nên DG =

3AD =

3 12 = cm Bài a) ∆AEQ = ∆BEC (c.g.c), suy

ra: AQ = BC AQ// BC Tương tự, ta có: AP = BC AP//BC

Từ suy AP = AQ A, P, Q thẳng hàng

Vậy A trung điểm PQ

b) ∆BEQ = ∆ABC (c.g.c) => BDE =ACE => BQ // AC

Tương tự ta có: CP // AB

c) Chứng minh ∆APC = ∆CBA (g.c.g) Chứng minh ∆APC = ∆BCR (g.c.g)

Từ đó, suy AB = CP = CR nên PK = 2AB Tương tự, ta có QR = AC

Từ câu a), suy PQ = 2BC

Vậy chu vi ∆PQR hai lần chu vi ∆ABC

d) ∆PQR có RA, PB, QC đường trung tuyến nên AR, BP, CQ đồng quy

ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1.(1,0 điểm) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai?

A Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn cạnh nhỏ C Trong tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn D Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc tù

Cân 2 (1,0 điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: a) Tam giác DEF có D =40 ,° E=60°thì:

A DF < EF < DE B EF < DF < DE C DE < EF < DF C EF < DE < DF b) Trực tâm tam giác thường là:

A Giao điểm đường trung tuyến tam giác B Giao điểm đường trưng trực tam giác C Giao điểm đường cao tam giác

D Giao điểm đường phân giác tam giác

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Cho tam giác ABC vuông B, BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE

a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE

b) Vẽ CM vng góc với AE M, CM cắt AB H Vẽ HN vng góc với CA N Chứng minh ∆MAN cân MN song song với CE

c) So sánh HM HC

d) Tìm điều kiện ∆ABC để ∆CMN cân N

HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu

A Đúng B Sai C Đúng D Sai

Câu

PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

HS tự ghi giả thiết, kết luận a) Chứng minh được:

∆ABC = ∆ABE (c.g.c) Suy CAB =EAB

Vậy AB tia phân giác CAE

b) Chứng minh được:

∆AHM = ∆AHN (ch- gn)

Suy AM = AN Do ∆AMN cân A

Mà AB phân giác EAC nên AB ⊥MN,

Khi MN song song với CE (cùng vng góc vói I) c) Do ∆AHM = ∆AHN nên HN = HM

Mặt khác, tam giác vng CNH có HC > HN Do HC > HM

d) ∆CMN cân N NCM =NMC

Mà MN // CE nên  NMC=MCE (so le trong) Suy  NCM =MCE

Chứng minh ∆CME = ∆CMA (g.c.g) Suy CE = CA Như CA = CE = AE nên ∆ACE tam giác



BCA = 60°

Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện BCA = 60° ∆CMN cân N

Chứng minh lại:

Khi ∆ABC có BCA = 60° ∆CMN vừa đường cao, vừa phân

giác ECA nên  HCN =CMN = 30° Suy ∆CMN cân N