Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng.. Ký hiệu C là chữ số chẵn, L là chữ số lẻ.[r]
(1)MỤC LỤC
1.PHÉP ĐẾM (QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN) 5
2. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 6
2.1 ĐẾM SỐ (CHỈ DÙNG MỘT LOẠI P HOẶC A HOẶC C)
2.2 CHỌN NGƯỜI, VẬT
3. XÁC SUẤT 8
4. CẤP SỐ CỘNG 13
5. CẤP SỐ NHÂN 14
6. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 15
6.1 Góc đường thẳng mặt phẳng 15
6.2 Góc đường thẳng mặt phẳng 20
7. KHOẢNG CÁCH 22
7.1 Từ chân H đường cao đến mp cắt đường cao 22
7.2 Từ điểm M (khác H) đến mp cắt đường cao 22
7.3 Hai đường chéo (vẽ đoạn v.góc chung) 26
7.4 Hai đường chéo (mượn mặt phẳng) 27
8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 31
8.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, BBT y) 31
8.2 ĐK để hàm số-bậc ba đơn điệu khoảng K 34
8.3 ĐK để hàm số-nhất biến đơn điệu khoảng K 36
8.4 Đơn điệu liên quan hàm hợp, hàm ẩn 38
8.5 Ứng dụng tính đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐ 38
9. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 41
9.1 Tìm cực trị hàm số cho công thức y, y’ 41
9.2 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BBT y) 42
9.3 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BXD y’) 45
9.4 Cực trị liên quan hàm hợp, hàm ẩn 47
9.5 Cực trị liên quan hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối 54
10. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 58
10.1 GTLN, GTNN f(x) đoạn [a;b] biết biểu thức f(x) 58
10.2 Tìm m để hs f(x) có GTLN, GTNN thỏa mãn đk cho trước 60
10.3 GTLN, GTNN hàm nhiều biến dạng khác 61
11. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 62
11.1 Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ,không chứa tham số 62
11.2 Tiệm cận đồ thị hàm số f(x) dựa vào BBT không tham số 64
12. ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ TH 65
12.1 Nhận dạng hàm số thường gặp (biết đồ thị, BBT) 65
12.2 Xét dấu hệ số biểu thức (biết đồ thị, BBT) 69
(2)12.1 Tìm toạ độ (đếm) giao điểm 73
12.2 Đếm số nghiệm pt cụ thể (cho đồ thị, BBT) 75
12.3 Tương giao liên quan hàm hợp, hàm ẩn 81
12.4 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm (chứa GTTĐ) 91
12.5 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm thuộc K (khơng GTTĐ) 92
13. MŨ - LŨY THỪA 95
13.1 Kiểm tra quy tắc biến đổi lũy thừa, tính chất 95
13.2 Tính tốn, rút gọn biểu thức có chứa biến(a,b,c,x,y,….) 95
14. LOGARIT 96
14.1 Câu hỏi lý thuyết tính chất 96
14.2 Biến đổi biểu thức logarit liên quan a,b,x,y 97
14.3 Tính giá trị biểu thức logarit không dùng BĐT 98
14.4 Dạng toán khác logarit 99
15. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT 100
15.1 Tập xác định liên quan hàm số mũ, hàm số lơ-ga-rít 100
15.2 Đạo hàm liên quan hàm số mũ, hàm số lơ-ga-rít 102
15.3 Đồ thị liên quan hàm số mũ, Logarit 102
15.4 Câu hỏi tổng hợp liên quan hàm số lũy thừa, mũ, lơ-ga-rít 102
15.5 Bài tốn lãi suất 103
15.6 Bài toán tăng trưởng 104
15.6 Hàm số mũ ,logarit chứa tham số 106
15.6 Min-Max liên quan hàm mũ, hàm lơ-ga-rít(nhiều biến) 107
16. PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 113
16.1 PT,BPT mũ bản, gần (không tham số) 113
16.2 Phương pháp đưa số (không tham số) 113
16.3 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số) 115
17. PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGA 116
17.1 Câu hỏi lý thuyết 116
17.2 PT,BPT loga bản, gần (không tham số) 117
17.3 Phương pháp đưa số (không tham số) 119
17.4 PP phân tích thành nhân tử (không tham số) 119
17.5 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số) 121
17.6 Phương trình loga có chứa tham số 122
17.7 Phương trình,bất phương trình tổ hợp mũ loga có tham số 122
18. NGUYÊN HÀM 123
18.1 Định nghĩa, tính chất nguyên hàm 123
18.2 Nguyên hàm hs bản, gần 124
18.3 Nguyên hàm phân thức 126
(3)18.5 Nguyên hàm kết hợp đổi biến phần hàm xđ 126
18.6 Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn 127
19. TÍCH PHÂN 128
19.1 Kiểm tra định nghĩa, tính chất tích phân 128
19.2 Tích phân bản(a), kết hợp tính chất (b) 130
19.3 PP tích phân phần-hàm xđ 132
19.4 Kết hợp đổi biến phần tính tích phân-hàm xđ 133
19.5 Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn 134
20. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 135
20.1 Xác định cơng thức tính diện tích, thể tích dựa vào đồ thị 135
20.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm xác định 135
20.3 Thể tích giới hạn đồ thị (trịn xoay) hàm xác định 138
21. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 139
21.1 Các yếu tố thuộc tính số phức 139
22. CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 141
22.1 Thực phép toán số phức 141
22.2 Xác định yếu tố số phức (phần thực, ảo, mô đun, liên hợp,…) qua phép tốn 142
22.3 Giải phương trình bậc theo z (và z liên hợp) 144
23. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 145
23.1 Câu hỏi lý thuyết, biểu diễn hình học số phức 145
23.2 Tập hợp điểm biểu diễn đường trịn, hình trịn 145
24. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 146
24.1 Tính tốn biểu thức nghiệm 146
24.1 Các tốn biểu diễn hình học nghiệm phương trình 147
24.1 Các tốn khác phương trình 148
25. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP 149
25.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…) 149
25.2 Thể tích khối chóp 150
25.3 Thể tích khối chóp khác 151
25.4 Tỉ số thể tích khối chóp 157
26. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ-ĐA DIỆN KHÁC 159
26.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…) 159
26.2 Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật 159
26.3 Thể tích khối lăng trụ 160
26.4 Thể tích khối đa diện phức tạp 160
27. KHỐI NÓN 163
27.1 Câu hỏi lý thuyết khối nón 163
27.1 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, Thể tích(liên quan) khối nón biết kiện 163 28. KHỐI TRỤ 168
(4)29. KHỐI CẦU 172
29.1 Câu hỏi liên quan đến biến đổi V,S,R 172
29.2 Khối cầu nội - ngoại tiếp, liên kết khối đa diện 173
29.3 Bài tốn tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu 178
30. TỌA ĐỘ ĐIỂM – VECTƠ 182
30.1 Hình chiếu điểm lên trục tọa độ, lên mặt phẳng tọa độ điểm đối xứng 182
31. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 184
31.1 Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu 184
32.1 Điểm thuộc mặt cầu thoả ĐK 185
32. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 187
32.1 Tìm VTPT, vấn đề lý thuyết 187
32.2 PTMP trung trực đoạn thẳng 188
32.3 PTMP qua điểm, dễ tìm VTPT (không dùng t.c.h) 188
33.4 PTMP qua điểm, song song với mặt phẳng 188
33.5 PTMP theo đoạn chắn 189
33.6 PTMP qua điểm, vng góc với đường thẳng 190
33. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 192
33.1 Các câu hỏi chưa phân dạng 193
33.2 Tìm VTCP, vấn đề lý thuyết 193
33.3 PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h) 195
33.4 PTĐT qua điểm, thoả ĐK khác 197
(5)1 PHÉP ĐẾM (QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN)
Câu 1. Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ ?
A 11 B 30 C 6 D 5
Lời giải Chọn A
PA1 : Chọn học sinh nam có cách PA2 : Chọn học sinh nữ có cách Theo quy tắc cộng có + = 11 cách
Câu 2. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ?
A 9 B 54 C 15 D 6
Lời giải Chọn C
Chọn học sinh từ 15 học sinh ta có 15 cách chọn
Câu 3. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm học sinh nam học sinh nữ
A 7 B 12 C 5 D 35
Lời giải Chọn B
Tổng số học sinh là: 12.+ =
(6)2.1 ĐẾM SỐ (CHỈ DÙNG MỘT LOẠI P HOẶC A HOẶC C)
Câu 4. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc
A 36 B 720 C 6 D 1
Lời giải
Mỗi cách xếp ngẫu nhiên bạn thành hàng dọc hoán vị phần tử nên
Số cách xếp 6! 720=
Câu 5. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?
A 7 B 5040 C 1 D 49
Lời giải Số cách xếp cần tìm là: P7 =7! 5040=
2.2 CHỌN NGƯỜI, VẬT
Câu 6. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?
A 1 B 25 C 5 D 120
Lời giải Chọn D
Có 5! 120= cách xếp học sinh thành hàng dọc
Câu 7. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?
A 8 B 1 C 40320 D 64
Lời giải
Số cách xếp học sinh thành hàng hoán vị phần tử Đáp số: 8! 40320= cách Câu 8. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có cách xếp học sinh thành hàng dọc?
A 8 B 1 C 40320 D 64
Lời giải
Số cách xếp học sinh thành hàng hoán vị phần tử Đáp số: 8! 40320= cách
Câu 9. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh?
A C102 B A102 C 10 D 2 10
Lời giải Chọn A
Mỗi cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh tương ứng với tổ hợp chập tập có 10 phần tử Vậy số cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh
10 C
Câu 10. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Số cách chọn học sinh từ học sinh
A 2 B A72 C C72 D 7 Lời giải
(7)Câu 11. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Có ghế kê thành hàng ngang, xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B A 1
6 B
3
20 C
2
15 D
1
Lời giải Chọn D
Xếp ngẫu nhiên học sinh ghế kê thành hàng ngang có 6! cách Để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B ta có trường hợp
TH1: Xét học sinh C ngồi vị trí đầu tiên:
C B
Ta có 2.4!=48 cách xếp chỗ
TH2: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 2:
B C B
Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ
TH3: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 3:
B C B
Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ
TH4: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 4:
B C B
Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ
TH5: Xét học sinh C ngồi vị trí thứ 5:
B C B
Ta có 2!.3! 12= cách xếp chỗ
TH6: Xét học sinh C ngồi vị trí cuối cùng:
B C
Ta có 2.4!=48 cách xếp chỗ
Suy số cách xếp thỏa mãn 48 12 12 12 12+ + + + +48 144= cách Vậy xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B 144
(8)Câu 12. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Chọn ngẫu nhiên hai số khác từ 25 số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng số chẵn
A.
2 B.
13
25 C.
12
25 D.
313 625 Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu: n( ) =C252 =300 (kết đồng khả xảy ra) Gọi biến cố A biến cố cần tìm
Nhận xét: tổng hai số số chẵn có trường hợp: + TH1: tổng hai số chẵn
Từ số đến số 25 có 13 số chẵn, chọn 13 số chẵn có: C132 =78 (cách) + TH2: tổng hai số chẵn
Từ số đến số 25 có 12 số chẵn, chọn 12 số chẵn có: C122 =66 (cách) Suy ra: n A( )=78 66 144+ =
Vậy: ( ) ( )
( ) 144300 1225
n A P A
n
= = =
Câu 13. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn
A. 25
42 B.
5
21 C.
65
126 D.
55 126
Lời giải
Có A49 cách tạo số có chữ số phân biệt từ X =1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9
9
A 3024
S
= =
3024
=
Gọi biến cố A:”chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn”
Nhận thấy khơng thể có chữ số chẵn chữ số chẵn lúc ln tồn hai chữ số chẵn nằm cạnh
Trường hợp 1: Cả chữ số lẻ Chọn số lẻ từ Xvà xếp thứ tự có
5
A số Trường hợp 2: Có chữ số lẻ, chữ số chẵn
Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X xếp thứ tự có C C 4!35 14 số Trường hợp 3: Có chữ số chẵn, chữ số lẻ
Chọn chữ số lẻ, chữ số chẵn từ X có C C25 24 cách Xếp thứ tự chữ số lẻ có 2! cách
Hai chữ số lẻ tạo thành khoảng trống, xếp hai chữ số chẵn vào khoảng trống thứ tự có 3! cách
trường hợp có 2
5
(9)Vậy ( )
4 2
5 5
A C C 4! C C 2!.3! 25
3024 42
A
P A = = + + =
Câu 14. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7 Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp chẵn
A
35 B
16
35 C
22
35 D
19 35
Lời giải Ta có n( ) = A74
Gọi số có chữ số abcd
Ký hiệu C chữ số chẵn, L chữ số lẻ
Các số thuận lợi cho biến cố A dạng sau: Dạng 1: CLLL, LCLL, LLCL, LLLC có C A31 43.4 số Dạng 2: CLCL, LCLC, CLLC có 3.A A32 42 số Dạng 3: LLLL có P4 số
Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A n A( )=C A13 43.4 3.+ A A32 42+P4
Vậy ( ) ( )
( ) 2235
n A P A
n
= =
Câu 15. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ
A 1
5 B
13
35 C
9
35 D
2 Lời giải
* Số cần lập có dạng: a a a a1 4
( )
7 840
n =A =
Gọi biến cố A:" số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” TH1: Hai chữ số lẻ hai chữ số chẵn không liên tiếp
Có cách xếp sau: + Các số chẵn lẻ liên tiếp
+ a a4 chữ số lẻ, a2 a3 chữ số chẵn
Số số cần chọn là: 2 2
4
2!.A A +C 2!.C 2! 216=
TH2: chữ số lẻ chữ số chắn Số số cần chọn 4.C33.4! 96=
Vậy n A( )=216 96+ =312
Xác suất biến cố A là: ( ) ( )
( ) 1335
n A P A
n
= =
(10)A
81. B. C.18 D.2
Lời giải Chọn B
Gọi số cần lập abcdef với a0 Ta có n( ) =9A95
Gọi A: “số tự nhiên có chữ số đơi khác có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ”
TH1: a chẵn, f chẵn, e lẻ có: 4.4.5.A73 =80.A73 số TH2: a chẵn, f lẻ, e chẵn có: 4.5.4.A73 =80.A73 số TH3: a lẻ, f lẻ, e chẵn có: 5.4.5.A73 =100.A73 số TH4: a lẻ, f chẵn, e lẻ có: 5.5.4.A73 =100.A73 số Suy n A( )=360A73
Vậy xác suất để chọn số tự nhiên có chữ số đơi khác có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ ( )
3
360
9
A P A
A
= =
Câu 17. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Gọi Slà tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ
A 4
9 B
2
9 C
2
5 D
1
Lời giải Chọn A
Gọi số cần lập a a a a a a1 6, ai0,1, ,9 ; i=1, 6;a10
Gọi A biến cố: “chọn số tự nhiên thuộc tập Ssao cho số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ”
Do ( )
9
9 136080
n = A =
Trường hợp 1: a1chẵn hai chữ số tận chẵn
Số cách lập:
4
4.A A =10080
Trường hợp 2: a1chẵn hai chữ số tận lẻ Số cách lập: 4.A A52 73=16800
Trường hợp 3: a1lẻ hai chữ số tận chẵn Số cách lập: 5.A A52 73=21000
Trường hợp 4: a1lẻ hai chữ số tận lẻ Số cách lập: 5.A A42 73 =12600
Xác suất để số có hai chữ số tận có tính chẵn lẻ bằng: ( ) ( )( ) 60480
1360809
n A P A
n
= = =
Câu 18. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Xét số thực thỏa mãn 2x2+ +y2 1(x2+y2−2x+2 4) x Giá trị
lớn biểu thức
2
x P
x y
+ =
− + gần với giá trị sau nhất?
(11)Lời giải Chọn C
( )
2
1 2
2x+ +y x +y −2x+2 4x
2
1 2
2
2x+y− x+ x +y −2x+2
( )12 ( )2 ( )
2
1
2x− +y − x− +y − 0
Đặt ( )2 2
1
t= x− +y
( ) ( )2 2
1 2t 0 1
t t x y
− − − +
( ) ( )
8
2
2
x
P P x P y P
x y
+
= − − + − =
− +
Yêu cầu toán tương đương:
( ) ( )
2 2
2 2
2
1 12 5 5
2
P P
P P P P
P P
− + −
− − + − +
− +
Câu 19. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ
A 50
81 B
1
2 C
5
18 D
5 Lời giải
Chọn D
Gọi x=abcde a, 0 số tự nhiên có chữ số khác Khi có 9.9.8.7.6 27216= số
Số phần tử không gian mẫu n( ) =27216
Gọi F biến cố số x có hai chữ số tận khác tính chẵn lẻ TH1: Một hai chữ số cuối có chữ số : Có C P A51 .2 83 =3360 số TH2: Hai chữ số tận khơng có chữ số : Có 1
4 .7.7.6 117602
C C P = số
Suy n F( )=3360 11760 15120.+ =
Vậy ( ) ( )
( ) 59
n F P F
n
= =
Câu 20. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2,3, 4,5, 6, Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ
A 1
5 B
13
35 C
9
35 D
2 Lời giải
* Số cần lập có dạng: a a a a1 4
( )
7 840
n =A =
Gọi biến cố A:" số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” TH1: Hai chữ số lẻ hai chữ số chẵn không liên tiếp
(12)Số số cần chọn là: 2 2
4
2!.A A +C 2!.C 2! 216=
TH2: chữ số lẻ chữ số chắn Số số cần chọn 4.C33.4! 96=
Vậy n A( )=216 96+ =312
Xác suất biến cố A là: ( ) ( )
( ) 1335
n A P A
n
= =
Câu 21. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác chữ số thuộc tập hợp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số thuộc S, xác suất để số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ
A 17
42 B
41
126 C
31
126 D
5 21
Lời giải Số phần tử S
9 3024 A =
Chọn ngẫu nhiên số từ tập S có 3024 (cách chọn) Suy n( ) =3024 Gọi biến cố A: “ Chọn số khơng có hai chữ số liên tiếp lẻ” Trường hợp 1: Số chọn có chữ số chẵn, có 4! 24= (số)
Trường hợp 2: Số chọn có chữ số lẻ chữ số chẵn, có 5.4.4! 480= (số) Trường hợp 3: Số chọn có chữ số lẻ chữ số chẵn, có 2
5
3.A A =720 (số) Do đó, n A( )=24 480 720 1224+ + =
Vậy xác suất cần tìm ( ) ( )
( ) 12243024 1742
n A P A
n
= = =
(13)4 CẤP SỐ CỘNG
Câu 22. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho cấp số cộng ( )un với u1 =3 u2 =9 Công sai cấp số cộng cho
A −6 B 3 C 12 D 6
Lời giải Chọn D
Công sai cấp số cộng cho d =u2− = − =u1
Câu 23. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho cấp số cộng ( )un với u1 =11 công sai d =3 Giá trị
A 8 B 33 C 11
3 D 14
Lời giải Chọn D
Ta có u2 = + = + =u1 d 11 14
Câu 24. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho cấp số cộng ( )un với u1=9 công sai d =2 Giá trị
u
A 11 B 9
2 C 18 D 7
Lời giải Chọn A
Ta có: u2= + = + =u1 d 11
Câu 25. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho cấp số cộng ( )un với u1=8 công sai d =3 Giá trị
u
A 8
3 B 24 C 5 D 11
Lời giải Chọn D
Áp dụng cơng thức ta có: u2 = + = + =u1 d 11
Câu 26. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho cấp số cộng ( )un với u1=3 u2=9 Công sai cấp số cộng cho
A 6 B 3 C 12 D −6
(14)Công sai cấp số cộng cho u2− =u1
5 CẤP SỐ NHÂN
Câu 27. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho cấp số nhân ( )un với u1=3 công bội q =2 Giá trị u2
A 8 B 9 C 6 D 3
2
Lời giải Ta có: un =u q1 n−1u2 =u q1 =3.2=6
Câu 28. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho cấp số nhân ( )un với u1=2 công bội q=3 Giá trị
u
A. B 9 C 8 D 2
3 Lời giải
Ta có u2 =u q1 =2.3=6
Câu 29. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =3 công bội q=4 Giá trị
u
A 64 B 81 C 12 D 3
4
Lời giải
Áp dụng công thức cấp số nhân ta có: un =u q1 n−1u2 =u q1 =3.4 12=
Câu 30. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =4 công bội q=3 Giá trị
u
A 64 B 81 C 12 D 4
3 Lời giải
2 = =4.3 12=
u u q
Câu 31. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho cấp số nhân ( )un với u1 =4 công bội q=3 Giá trị
u
A 64 B 81 C 12 D 4
3 Lời giải
2 = =4.3 12=
(15)6 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 6.1 Góc đường thẳng mặt phẳng
Câu 32. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng(ABC),
2
SA= a, tam giác ABC vuông B, AB=a BC=a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng(ABC)
A. 90 B. 45 C. 30 D. 60
Lời giải Chọn B.
Ta có: SA⊥(ABC)
Góc SCvà (ABC) SCA=
( )
2 2
2
tan
3
SA SA a
AC AB BC
a a
= = = =
+ +
45
=
A
B
C S
a 2a
α
a 3 A
B
(16)ABC tam giác vuông B, AB=a, BC=2a; SA
vng góc với mặt phẳng đáy SA= 15a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng đáy A 45 B 30
C 60 D 90 Lời giải
Ta có: (SC ABC,( ))=SCA
Trong ABCvng B, ta có AC= AB2+BC2 = a2 +4a2 = 5a
Trong SACvng A, ta có tan = = 15 = 3 = 60
5
SA a
SCA
AC a
SCA
Câu 34. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, AB=3a
, BC= 3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=2a (tham khảo hình vẽ bên)
Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A 60ο B 45ο C 30ο D 90ο Lời giải
Ta có SA⊥(ABC) nên góc SC (ABC) SCA
2 2
9 3
AC= AB +BC = a + a = a
Suy tan
2 3
SA a
ASC
AC a
= = = ο
30
SAC
=
Câu 35. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B,
AB=a; BC=3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA= 30a Góc đường thẳng SC
và mặt phẳng đáy S
A
B
(17)A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải
Vì SA vng góc với mặt phẳng đáy nên góc SC đáy góc SCA Ta có AC=a 10
Trong tam giác SAC ta có: tanC SA
AC
= =
Vậy góc SCA= 60
Câu 36. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B,
,
AB=a BC=a ,SAvng góc với mặt phẳng đáy SA=a (tham khảo hình bên dưới) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A 90 B 45 C 60 D 30 Lời giải
Ta có ABC vng B
Có AC2=AB2+BC2=a2+2a2=3a2AC=a
Do SA⊥(ABC)(SC ABC,( ))=(SC AC, )=SCA
Trong SCA có tan
3
SA a
SCA
AC a
= = =
A
B S
C
A
B S
(18)Vậy (SC ABC,( ))= 30
Câu 37. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có
,
AB=BC=a AA= a (tham khảo hình dưới) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) bằng:
A 60 B 90 C 30 D 45 Lời giải
Chọn A
Ta có góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD) góc A C AC góc A CA
Ta có AC = AB2+BC2 =a
Xét tam giác A CA có tan 60
2
A A a
A CA A CA
AC a
= = = =
Vậy góc A C mặt phẳng (ABCD) 60
Câu 38. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình hộp chữ nhật ABCD ' ' 'A B C D' có AB=a,
D 2
A = a, AA'= 3a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A C' mặt phẳng
(ABCD)
A 45 B 90 C 60 D 30
B' C'
D'
C
A D
B
A'
2a 6a
B' C'
D'
C
A D
B
(19)Lời giải Chọn D
Ta thấy: hình chiếu A C' xuống (ABCD) AC
( )
(A C ABC' ; D )=(A C AC' ; )= A CA' Ta có: AC = AB2+AD2 =3a Xét tam giác A CA' vng C ta có:
( ) ' 3
tan '
3
A A a
A CA
AC a
= = =
' 30
A CA
=
Câu 39. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B,
,
AB=a BC=a ,SAvng góc với mặt phẳng đáy SA=a (tham khảo hình bên dưới) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy
A 90 B 45 C 60 D 30 A
B S
(20)Ta có ABC vng B
Có AC2=AB2+BC2=a2+2a2=3a2AC=a Do SA⊥(ABC)(SC ABC,( ))=(SC AC, )=SCA
Trong SCA có tan
3
SA a
SCA
AC a
= = =
30
SCA
=
Vậy (SC ABC,( ))= 30
6.2 Góc đường thẳng mặt phẳng
Câu 40. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D , có AB= AA=a,
2
=
AD a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng A C mặt phẳng (ABCD)
A. 30 B. 45 C. 90 D. 60
Lời giải Chọn A
Vì ABCD hình chữ nhật, có AB=a, AD=a nên
( )2
2 2
2
= = + = + =
AC BD AB AD a a a
Ta có (A C ABCD ;( ))=(A C CA ; )=A CA
Do tam giác A AC vuông A nên tan
3
= AA = a =
A AC
AC a 30
=
A AC
Câu 41. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC),
SA= a, tam giác ABC vuông cân B AC =2a (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC)
A
B S
(21)A o
30 B o
45 C o
60 D o
90 Lời giải
Chọn B
Ta có: SB(ABC)=B; SA⊥(ABC) A
Hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (ABC) AB Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) =SBA
Do tam giác ABC vuông cân B AC =2a nên
2
AC
AB= = a=SA
Suy tam giác SAB vuông cân A
Do đó: o
45
SBA
= =
Vậy góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) o
(22)7.1 Từ chân H đường cao đến mp cắt đường cao
Câu 42. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a AA =2a Gọi M trung điểm CC (tham khảo hình bên)
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC ) A.
5
a
B.2
5
a
C 2 57
19
a
D. 57
19
a
Lời giải
Ta có : ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )
2
1 1
, ; ; *
2 2
AA AI
d M A BC d C A BC d A A BC AH
AA AI
= = = =
+
Tam giác ABC cạnh a có AI độ dài đường trung tuyến nên
2
a AI =
Ta có : ( ( ))
3
1 2 57
(*) ,
2 19 19
4
a
d M A BC a a
= = =
+
7.2 Từ điểm M (khác H) đến mp cắt đường cao
Câu 43. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB
là tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (Minh họa hình vẽ bên) Khoảng cách từ A đến (SBD)
A. 21
14
a
. B. 21
7
a
C.
2
a
D. 21
28
a
(23)
Gọi M trung điểm ABSM ⊥(ABCD)
Ta có d A SBD( ( ))=2d M( ,(SBD)).Kẻ MI ⊥BD ta có (SMI) (⊥ SBD)
( )
( ) ( ) 2 2 2 2
3
2 4 21
, ,
14
3
4 16
a a
SM MI a
d M SBD d M SI
SM MI a a
= = = =
+
+
Vậy ( ,( )) 21
7
a
d A SBD =
Câu 44. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC' (tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC' ) A 21
14
a
B
2
a
C 21
7
a
D
4
a
Lời giải
Ta có ( ;( ' )) ( ';( ' )) ( ;( ' ))
2
d M A BC = d C A BC = d A A BC Gọi N trung điểm BC AH; ⊥A N'
( )
( ) 2 2 2
2
' 2 21
; ' ' a a
AA AN a
d A A BC AH
AA AN a
a
= = = =
+ +
( )
( ) 21
; '
14
a d M A BC
=
Câu 45. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình lăng trụ đứng
ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a AA =2a Gọi M trung điểm AA
(tham khảo hình bên) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB C )
(24)A 57
19
a
B
5
a
C 2
5
a
D 2 57
19
a Lời giải
• Ta có ( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
2
d M AB C = d A AB C = d B AB C • Gọi I trung điểm AC, H hình chiếu B B I
Ta có AC BI
AC BB
⊥
⊥
AC ⊥(BB I ) AC⊥BH
Mà BH⊥B I nên BH ⊥(AB C ), d B AB C( ,( ))=BH
• Có
2
a
BI = , BB =2a
2
57
19
BI BB a
BH
BI BB
= =
+
Vậy ( ,( )) 57
2 19
a d M AB C = BH =
Nhận xét: Bài tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tốn khơng thể thiếu kỳ thi tốt nghiệp THPTQG Lí lời giải cho toán thường đủ ngắn gọn, không đánh đố, phù hợp khuôn khổ đề thi trắc nghiệm, đồng thời toán hàm chứa đủ nhiều kiến thức hình học khơng gian Nếu thí sinh gặp tốn khơng đáng ngại, loại tốn có quy trình tính tốn rõ ràng
M
C'
A B
C
I M
B'
C'
A B
C A'
(25)Câu 46. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ Mđến mặt phẳng
(AB C )
A
a
B 21
7
a
C
2
a
D 21
14
a
Lời giải
FB tác giả: Lục Minh Tân
Ta có: ( ,( )) ( ,( ))
2
d M AB C = d B AB C
Gọi I trung điểm AC kẻ BK⊥B I E Ta có:
( , ) ( )
BK B I
BK AB C BK AC AC B B AC BI
⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
* Ta có: 3;
2
a
BI = B B =a
2
21
7
B B BI a BK
B B BI
= =
+
Vậy, ( ,( )) 21
14
a d M AB C =
Câu 47. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA(tham khảo hình vẽ bên) Khoảng cách từ Mđến mặt phẳng
(26)A
a
B 21
7
a
C
2
a
D 21
14
a
Lời giải
Ta có: ( ,( )) ( ,( ))
2
d M AB C = d B AB C
Gọi I trung điểm AC kẻ BK⊥B I E Ta có:
( , ) ( )
BK B I
BK AB C BK AC AC B B AC BI
⊥
⊥
⊥ ⊥ ⊥
* Ta có: 3;
2
a
BI = B B =a
2
21
7
B B BI a BK
B B BI
= =
+
Vậy, ( ,( )) 21
14
a d M AB C =
7.3 Hai đường chéo (vẽ đoạn v.góc chung)
Câu 48. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình chópSABC có đáy tam giác vng A,
2 ,
(27)A 2
3
a
B
3
a
C
3
a
D
2
a Lời giải
Chọn A
Gọi Nlà trung điểm cạnh AC, mặt phẳng (SMN)//BC Ta có d SM BC( , )=d BC SMN( ,( ))=d B SMN( ,( ))=d A SMN( ,( )) Gọi AI đường cao tam giác vng AMN, ta có
2
5
AM AN a
AI
AM AN
= =
+ Lại có SA⊥(ABC)SA⊥MN, suy (SAI) (⊥ SMN)
Kẻ AH⊥SI ( ) ( ( ))
2
,
3
AI SA a
AH SMN d A SMN AH
AI SA
⊥ = = =
+
Vậy ( , )
3
a d SM BC =
7.4 Hai đường chéo (mượn mặt phẳng)
Câu 49. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân
A AB=a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA=a Gọi M trung điểm BC
(28)A 2
a
B. 39
13
a
C.
2
a
D. 21
7
a
Lời giải
Chọn B
Cách (Phương pháp hình học cổ điển):
Gọi N trung điểm AB, MN //AC
Gọi H hình chiếu A lên SN Dễ dàng chứng minh AH ⊥(SMN) Suy d AC SM( , )=d AC( ,(SMN))=d A SMN( ,( ))=AH
Trong tam giác SAN vng A có: 2 12 2
AH = AS + AN , AS =a 3,
1
2
a
AN = AB=
Suy 39
13
a
AH = Vậy ( , ) 39
13
a
d AC SM =
Cách (Phương pháp tọa độ hóa):
Chọn a=1, gắn tốn vào hệ trục tọa độ Axyz, A(0; 0; 0), B(1;0;0), C(0;1;0),
(0;0; 3)
S , 1; ;
2
M
M
A C
B
N
M S
A
C
B H
y z
x
M S
A
(29)Ta có: ( )
,
,
,
SM AC AS d SM AC
SM AC
=
với 1; ;
2
SM = −
, AC=(0;1; 0), AS =(0;0; 3)
Suy ( , ) 39
13
d SM AC = , hay ( , ) 39
13
a
d SM AC =
Câu 50. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình chóp S ABCD có đáy tam giác ABC vng cân
A, AB=a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA=2a, M trung điểm BC Khoảng cách AC SM
A
2
a
B
2
a
C 2 17
17
a
D 2
3
a
Lời giải Chọn C
(30)Ta có MN/ /ACMN ⊥(SAB)
Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AH ⊥SN H nên AH ⊥(SMN)
Nên ( ( ))
2
17
;
17
AN AS a
d A SMN AH
AN AS
= = =
+
Câu 51. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng ACvà SMbằng
A.
3
a
B.
2
a
C.
2
a
D
5
a Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Gọi N trung điểm AB, ta có AC/ /MN
Suy AC/ / AMN d AC SM, d AC SMN, (
,
d A SMN
Ta có
(
SAB SMN MN SAB
SAB SMN SN AH SMN
AH SN
Suy AH d A SMN,
2 2
2
2
a a
AS AN a
AH
AS AN a
a
Cách 2: (Tọa độ hóa)
(31)Chọn a 2, ta có A 0;0;0 , B 2;0;0 , C 0; 2;0 , S 0;0; Suy M 1;1;
Ta có 0; 2; , 4; 0;
1;1;
AC
AC SM SM
1;1;
AM AC SM AM, 0.1
Vậy
2 2
, 4 2 5
,
5
,
AC SM AM a
d AC SM
AC SM
8 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
8.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, BBT y)
Câu 52. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
x 2
y 0 0 0
y
1
3
1
Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?
A (−2;0) B (2;+ ) C ( )0; D (0;+ )
Lời giải Chọn C.
Câu 53. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A (− −; 1) B ( )0;1 C (−1; 1) D (−1; 0) Lời giải
(32)Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A. (1;+) B. (−1;1) C. ( )0;1 D. (−1; 0)
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( )0;1
Câu 55. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A (−2; 2) B ( )0; C (−2;0) D (2;+)
Lời giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng: (− −; 2) ( )0; Câu 56. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A (−3; 0) B (−3;3) C ( )0;3 D (− −; 3)
Lời giải
Từ BBT ta có hàm số f x( ) đồng biến hai khoảng (−3; 0) (3;+)
(33)A (1;+) B ( 1; 0)− C (0;1) D (−; 0) Lời giải
Chọn C
Qua đồ thị hàm số y= f x( )đồng biến khoảng (0;1)
Câu 58. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?
A (−1;0 ) B (− −; 1) C ( )0;1 D (0;+ )
Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) ta có:
Hàm số y= f x( ) nghịch biến khoảng (−1;0) (1;+ ), đồng biến khoảng
(− −; 1) ( )0;1
(34)A. (−1; 0) B. (− −; 1) C. (0;+) D. ( )0;1 Lời giải
Chọn A
Câu 60. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đồng biến khoảng đây?
A (−3; 0) B (−3;3) C ( )0;3 D (− −; 3)
Lời giải
Từ BBT ta có hàm số f x( ) đồng biến hai khoảng (−3; 0) (3;+) Câu 61. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?
A (− −; 1) B ( )0;1 C (−1; 0) D (−; 0)
Lời giải Chọn C
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy f '( )x 0 khoảng (−1; 0) (1;+ ) hàm số nghịch biến (−1; 0)
8.2 ĐK để hàm số-bậc ba đơn điệu khoảng K
Câu 62. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số
( )
3
3
y=x − x + −m x đồng biến khoảng (2;+)
A. (−;1 B. (−; 4 C. (−;1) D. (−; 4)
(35)Ta có
'
3
y = x − x+ −m.ycbt y' 0, x (2;+)
( )
2
3x 6x m 0, x 2;
− + − + ( )
3 4, 2;
m x x x
− + +
(min2; ) ( )
m g x
+
với g x( )=3x2−6x+4
Ta có ( ) '
6
g x = x− ( ) '
0 6
g x = x− = =x
x − +
( ) '
g x +
( )
g x +
4
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m4 thỏa u cầu tốn Vậy: m −( ; 4 hàm số đồng biến khoảng (2;+)
Câu 63. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số
( )
3
3
y=x − x + −m x đồng biến khoảng (2;+)
A (−; 2) B (−;5) C (−;5 D (−; 2 Lời giải
Chọn C
Ta có y =3x2−6x+ −5 m
Hàm số cho đồng biến (2;+) y 0, x (2;+)
2
3x 6x m 0, x m 3x 6x 5, x
− + − − +
Xét hàm số f x( )=3x2−6x+5 khoảng (2;+) Có f( )x =6x−6, f( )x = 0 6x− = =6 x (lo i)¹ Bảng biến thiên
Từ bàng biến thiên ta có m3x2−6x+ 5, x m Vậy m −( ;5
Câu 64. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tập hợp tất giá trị thực tham số mđể hàm số
( )
3
3
y=x − x + −m xđồng biến khoảng (2;+)là
A (− −; 1 B (−; 2) C (− −; 1) D (−; 2 Lời giải
Chọn D
(36)( )
3x 6x m 0, x 2;
− + − + ( )
3 2, 2;
m x − x+ x +
Xét hàm số f x( )=3x2−6x+ 2, x (2;+) ( )
' 6
f x = x− ; f '( )x = 0 6x− = =6 x Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy m2 Vậy m −( ; 2
Câu 65. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Có giá trị nguyên tham số m cho hàm số
( )
4
3
f x = x +mx + x+ đồng biến ?
A 5 B 4 C 3 D 2
Lời giải Chọn A
* TXĐ: D=
* Ta có: f( )x =x2+2mx+4
Để hàm số đồng biến điều kiện ( )
0; 2
f x =x m − − m
mà m − −m 2; 1;0;1; 2
8.3 ĐK để hàm số-nhất biến đơn điệu khoảng K
Câu 66. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y x x m
+ =
+ đồng biến khoảng (− −; 7)
A 4; ) B (4; C ( )4; D (4;+ )
Lời giải Tập xác định: D= \ −m
( )2
4
' m
y
x m
− =
+
Hàm số đồng biến khoảng (−; 7)
( )
'
4
; 7
y m
m
m m
− − − − −
(37)Câu 67. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Tập hợp giá trị thực tham số m để hàm số y x x m + =
+ đồng biến khoảng (− −; 8)
A (5;+) B (5;8 C 5;8) D ( )5;8 Lời giải
Tập xác định hàm số D= \ −m
Hàm số y x
x m + =
+ đồng biến khoảng (− −; 8)
( )
0, ;
y x x m − − − ( ) ( ) ( )
0, ;
; m x x m m − − − + − − − 5 8 m m m m m − −
Vậy m(5;8 thỏa mãn yêu cầu tốn
Câu 68. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tìm m để hàm số y x x m
+ =
+ đồng biến khoảng (− −; )
A (2;5 B 2;5 ) C (2;+) D ( )2;5
Lời giải Điều kiện: x −m
Ta có:
( )2
2 ' m y x m − = +
Hàm số đồng biến khoảng ( )
( )
'
; 5
; 5
y m m m m − − − − − − − − Vậy m(2;5
Nhận xét: Bài tốn khơng mới, nhiên bạn học sinh học khơng kĩ bị sai thiếu điều kiện − − −m ( ; 5), dẫn tới sai lầm chọn C làm đáp án
Câu 69. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số
3 x y x m + =
+ đồng biến khoảng (− −; 6)
A (3;6 B ( )3; C (3;+) D 3;6 )
Lời giải
TXĐ: D \ m
Ta có
( )2
3 m y x m − = +
Để hàm số đồng biến khoảng (− −; 6) y x ;
3 3
3
; 6
m m m
m
m m m
Câu 70. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số
3 x y x m + =
(38)Lời giải
TXĐ: D \ m
Ta có
( )2
3
m y
x m
− =
+
Để hàm số đồng biến khoảng (− −; 6) y x ;
3 3
3
; 6
m m m
m
m m m
8.4 Đơn điệu liên quan hàm hợp, hàm ẩn
Câu 71. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ), bảng xét dâu f( )x sau:
hàm số y= f (3 2− x) nghịch biến khoảng đây?
A (4;+) B (−2;1) C ( )2; D ( )1;
Lời giải Chọn B
Ta có: y= −2.f(3 2− x)
( ) ( ) 3 2
0 3
3 1
x x
y f x f x
x x
− − −
− − −
−
Vậy hàm số cho nghịch biến ( )2;3 (−;1)
8.5 Ứng dụng tính đơn điệu vào PT, BPT, HPT, BĐ
(39)A m f ( )2 −2 B m f ( )0 C m f ( )2 −2 D m f ( )0 Lời giải
Chọn B
Ta có: f x( ) + x m g x( )= f x( )− x m Từ đồ thị hàm số y= f( )x ta thấy: ( ) ( )
( )0;2 ( ) ( ) ( )
1 max 0
g x = f x − g x =g = f Do đó: bất phương trình f x( ) +x m nghiệm với x( )0;
( )0;2 ( ) ( )
maxg x m f m
Câu 73. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Có cắp số nguyên dương (m n, ) cho m n+ 14
và ứng với cặp (m n, ) tồn ba số thực a −( 1;1) thỏa mãn 2am=nln(a+ a2+1) ?
A. 14 B. 12 C. 11 D. 13
Lời giải
Chọn C.
Xét f x( ) 2.xm ln(x x2 1)
n
= − + + (−1;1)
Đạo hàm ( )
2
2
0 m
m
f x x
n x
−
= − =
+
Theo đề f x( )=0 có ba nghiệm nên
2
1 m
m x
n x
− =
(40)Xét đồ thị hàm
2 ;
1
y x y
x
= =
+ , suy m−1 chẵn m− 1
Suy m3;5;7;9;11;13 Khi f( )x =0 có nghiệm
0
x x
Phương trình có nghiệm ( )
( )
1
1
f f
−
( )
( )
2
ln
2 1;
2
ln
n
n n
n
+
=
− −
1;
(41)9 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
9.1 Tìm cực trị hàm số cho công thức y, y’
Câu 74. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f( )x =x x( +2 ,)2 x Số điểm cực trị hàm số cho
A 0 B 3 C 2 D 1
Lời giải Chọn D.
Ta có phương trình f( )x =0 có hai nghiệm x=0 x= −2 (là nghiệm kép) Bảng xét dấu
Suy hàm số cho có điểm cực trị
Câu 75. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( )x =x x( −1)(x+4 ,)3 x
Số điểm cực đại hàm số cho
A. B. C. D.
Lời giải Chọn D
Ta có ( )
0
0
4
x
f x x
x =
= =
= − Bảng xét dấu f( )x :
Từ bảng xét dấu suy hàm số có điểm cực đại
Câu 76. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f '( ) (x =x x−1)(x+4 ,)3 x Số điểm cực tiểu hàm số cho
A 2 B 3 C 4 D 1
Lời giải Chọn A
Ta có: ( ) ( )( )3
0
'
4
x
f x x x x x
x
=
= − + = =
= −
(42)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số cho có điểm cực tiểu
Câu 77. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm f( ) (x =x x+1)(x−4 ,)3 x
Số điểm cực đại hàm số cho
A 2 B 3 C 4 D 1
Lời giải Chọn D
( ) ( )( )3
0
0
4
x
f x x x x x
x
=
= + − = = −
=
Lập bảng biến thiên hàm số f x( )
Vậy hàm số cho có điểm cực đại
9.2 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BBT y)
Câu 78. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau Lời giải
Hàm số cho đạt cực tiểu
A x=2 B x=1 C x= −1 D x= −3 Chọn C
Quan sát bảng biến thiên ta được:
Nghiệm y= f( )x =0 x= −1 Đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x= −1nên đạt cực
tiểu x= −1
Câu 79. [Đề-BGD-2020-Mã-101] [ Mức độ 1] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
(43)
Giá trị cực tiểu hàm số cho
A 3 B −5 C 0 D 2
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên hàm số f x( ) suy giá trị cực tiểu hàm số −5 Câu 80. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau
Giá trị cực đại hàm số cho
A. B. C. −2 D. −3
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có giá trị cực đại
Câu 81. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực tiểu hàm số cho
A 2 B −2 C 3 D −1
Lời giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu x= −2 giá trị cực tiểu y= −1 Câu 82. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Giá trị cực đại hàm số cho
(44)Từ bảng biến thiên suy giá trị cực đại hàm số f x( )
Câu 83. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Điểm cực đại hàm số cho
A x=3 B x= −1 C x=2 D x= −3 Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta có: hàm số đạt cực đại điểm x=3
Câu 84. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Điểm cực đại hàm số cho
A x=3 B x= −1 C x=1 D x= −2 Lời giải
Chọn C
Từ BBT hàm số f x( ) suy điểm cực đại hàm số f x( ) x =1 Câu 85. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau :
Điểm cực đại hàm số cho
A.x=3 B. x=2 C. x= −2 D. x= −1
Lời giải Chọn D
(45)Giá trị cực đại hàm số cho
A 3 B −3 C −1 D 2 Lời giải
Từ bảng biến thiên suy giá trị cực đại hàm số f x( )
Câu 87. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số cho đạt cực đại điểm
A x= −2 B x=2 C x=1 D x= −1 Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: y' đổ dấu từ dương sang ấm qua x= −1 Vậy hàm số đạt cực đai điểm x= −1
9.3 Tìm cực trị, điểm cực trị, số điểm cực trị (khi biết đồ thị, BXD y’)
Câu 88. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau:
Số điểm cực đại hàm số cho
A 4 B 1 C 2 D 3
Lời giải
Từ bảng xét dấu ta thấy: f( )x đổi dấu từ dương sang âm qua x= −1 x=1 Mà hàm số f x( ) liên tục
Vậy hàm số cho có hai điểm cực đại x= −1 x=1
Câu 89. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu cuả f( )x
(46)Số điểm cực tiểu hàm số cho
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Bảng biến thiên hàm số f x( )
Do hàm số đạt cực tiểu x= −1 x=1
Câu 90. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau:
Số điểm cực tiểu hàm số cho
A 2 B 4 C 3 D 1
Lời giải Hàm số đạt cực tiểu x= −2 x=2
Vậy hàm số có cực tiểu
Nhận xét: Câu kiểm tra hiểu biết học sinh mối quan hệ điểm cực trị hàm số đạo hàm hàm số Một số bạn chọn D đáp án, thấy x=2 đạo hàm khơng xác định Thật ra, hàm số đạt cực trị điểm (thuộc tập xác định) mà đạo hàm không xác định, chẳng hạn hàm số f x( ) | |= x khơng có đạo hàm x=0 ( em thử nghĩ xem nhé), có cực tiểu x=0
Câu 91. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau
(47)A 3 B 1 C 2 D 4 Lời giải
Quan sát bảng xét dấu f( )x ta có: f( )x đổi dấu từ + sang − qua điểm x= 2 Do hàm số cho liên tục nên hàm số có điểm cực đại
Câu 92. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số f x( ) liên tục có bảng xét dấu f( )x sau
Số điểm cực đại hàm số cho
A 3 B 1 C 2 D 4
Lời giải
Quan sát bảng xét dấu f( )x ta có: f( )x đổi dấu từ + sang − qua điểm x= 2 Do hàm số cho liên tục nên hàm số có điểm cực đại
Câu 93. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu f( )x sau:
Số điểm cực trị hàm số cho
A 3 B 0 C 2 D 1
Lời giải Chọn C
Ta có f( )x đổi dấu qua x= −2 x=0 nên hàm số cho có điểm cực trị
9.4 Cực trị liên quan hàm hợp, hàm ẩn
Câu 94. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ), bảng biến thiên hàm số f( )x sau
Số điểm cực trị hàm số y= f x( 2−2x)
A 9 B 3 C 7 D 5
Lời giải Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f( )x =0 có nghiệm tương ứng
( )
( )
( )
( )
, ;
, 1;
, c 0;1
, 1;
x a a
x b b
x c
x d d
= − −
= −
=
= +
(48)Xét hàm số ( ) ( ) ( )
2 2
y= f x − x y= x− f x − x
Giải phương trình ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
1
0 2 2
2
2
2
x
x x a
x
y x f x x x x b
f x x
x x c
x x d
=
− =
− =
= − − = − =
− =
− =
− =
Xét hàm số h x( )=x2−2x ta có ( ) ( )2
2 1 1,
h x =x − x= − + x− − x
Phương trình ( )
2 ,
x − x=a a − vô nghiệm
Phương trình ( )
2 ,
x − x=b − b có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 không trùng với nghiệm
của phương trình ( )1
Phương trình ( )
2 ,
x − x=c c có hai nghiệm phân biệt x x3; 4 khơng trùng với nghiệm phương trình ( )1 phương trình ( )2
Phương trình ( )
2 ,
x − x=d d có hai nghiệm phân biệt x x5; 6 khơng trùng với nghiệm phương trình ( )1 phương trình ( )2 phương trình ( )3
Vậy phương trình y=0 có nghiệm phân biệt nên hàm số ( )
2
y= f x − x có điểm cực trị
Câu 95. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số f x( ) bậc có bảng biến thiên sau:
Số điểm cực trị hàm số g x( )=x4f x( +1)2
A 11 B 9 C 7 D 5
Lời giải
Ta chọn hàm bậc bốn y= f x( )=5x4−10x2+3 có bảng biến thiên đề cho Ta có g x'( )=4x3f x( +1)2+x4.2.f x( +1) (f ' x+ =1)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3
2 '
0 (1)
1 (2)
2 ' (3)
x f x f x xf x
x f x
f x xf x
+ + + + =
=
+ =
+ + + =
(49)+ Phương trình (1) có nghiệm bội x=0
+ Từ bảng biến thiên hàm số y= f x( ), ta có phương trình f x( )=0 có nghiệm phân biệt
x Phương trình (2): f x( + =1) có nghiệm phân biệt x0 + Giải (3): Đặt x+ = = −1 t x t 1, phương trình (3) trở thành:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
4
2 ' 10 20 20
30 20 40 20 (3')
f t t f t t t t t t
t t t t
+ − = − + + − − =
− − + + =
Bấm MTCT thấy phương trình (3’) có nghiệm phân biệt t1
Phương trình (3) có nghiệm phân biệt x0
Ngồi ra, nghiệm phương trình (2) khơng phải nghiệm phương trình (3) giá trị x thỏa mãn f x( + =1) khơng thỏa mãn phương trình (3)
Do phương trình g x'( )=0 có nghiệm phân biệt nên hàm số g x( )=x4f x( +1)2 có điểm cực trị
Câu 96. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biến thiên sau:
Số điểm cực trị hàm số ( ) ( )
1
g x = x f x−
A 7 B 8 C 5 D 9
Lời giải Ta có hàm số g x( ) liên tục có đạo hàm
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
' ' '
g x = x f x− + x f x− f x− = x f x − f x− + xf x−
Cho ( ) ( )
( ) ( )
1
0
1 '
x x
g x f x
f x x f x
= =
= − =
− + − =
* Với phương trình f x( − =1)
Vì f x( ) hàm bậc bốn có bảng biến thiên ta thấy phương trình f x( − =1) có bốn nghiệm đơn phân biệt x x x x2, 3, 4, 5 khác x1
* Với phương trình f x( − +1) 2xf '(x− =1)
Ta thấy phương trình khơng nhận số x x x x x1, 2, 3, 4, 5 làm nghiệm
Gọi ( )
f x =ax +bx +c, f '( )x =0 có nghiệm phân biệt −1; 0;1 f ( )0 = −1, f ( )1 =3
nên c= −1,a= −4,b=8, suy ( )
4
f x = − x + x −
Đặt t = −x 1, phương trình f x( − +1) 2xf '(x− =1) trở thành f t( )+2(t+1) ( )f ' t =0
( )( )
4
4t 8t t 16t 16t 36t 32t 40t 32t
− + − + + − + = − − + + − =
Xét hàm số h t( )= −36t4 −32t3 +40t2 +32t−1 có h t'( )= −144t3 −96t2 +80t+32, cho
( )
' 1; ,
3
h x = = −x x= − x=
(50)Do phương trình h t( )=0 có nghiệm đơn phân biệt hay phương trình ( 1) '( 1)
f x− + xf x− = có nghiệm đơn phân biệt x x x x6, 7, 8, 9 Hay hàm số g x( ) có điểm cực trị x x x x x x x x x1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Câu 97. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc có bảng biến thiên hình vẽ
Số điểm cực trị hàm số g x( )=x4f x( −1)2
A 7 B 5 C 9 D 11
Lời giải
Cách Từ giả thiết đề cho ta thấy hàm số f x( ) có dạng f x( )=ax4+bx2+c Sử dụng giả thiết ta
( )
4
f x = x − x + f(x− =1) 16(x−1)3−16(x− =1) 16x x( −1)(x−2) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3
0
0
1
2 *
g x x f x x f x f x
x f x
f x x f x
= − + − − =
=
− =
− + − =
Xét phương trình ( )* ( 1) ( 1)
2
x
f x f x
− = − − , ta có ( ) 2( )( )
2
x
f x x x x
− − = − − −
Biểu diễn hai hàm số f x( −1) ( 1)
x f x
(51)Như phương trình ( )* có nghiệm phân biệt
Xét phương trình ( )
( )
( )
2
2
6
3
1
5
1
1
1
3
4
x x
f x x
x
x
= +
− =
− = =
− =
=
Thay nghiệm vào phương trình ( )* ta thấy nghiệm phương trình khơng phải nghiệm phương trình ( )*
Vậy hàm số cho có tất điểm cực trị Cách
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy phương trình f x( − =1) có nghiệm phân biệt khác 0,
suy phương trình ( ) ( )
1
g x =x f x− = có tất nghiệm bội chẵn, đồ thị hàm số
( )
g x có dạng sau
Như hàm g x( ) có điểm cực trị
(52)Số điểm cực trị hàm số ( ) ( )
= +
g x x f x
A 7 B. C 9 D.
Lời giải
Nhận xét ( )
( )
0, lim
x
g x x
g x →
= +
,
Cho g x( )=0
( )
2
4
0
1
=
+ =
x
f x ( )
0
1
=
+ =
x f x
Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f x( ) sang trái đơn vị ta thu đồ thị f x( +1)
Do f x( + =1)
,
,
,
,
= −
= − −
= −
=
x a a
x b b
x c c
x d d
Vì g x( )=0 có nghiệm phân biệt
Hay đồ thị g x( ) có điểm tiếp xúc với trục hoành Vậy hàm số g x( ) có cực trị
Câu 99. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số f x có f 0 Biết y f x hàm số bậc
bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số g x f x3 x
(53)A 4 B 5 C 3 D 6 Lời giải
Chọn B
Đặt 3
2
3
3
h x f x x h x x f x f x
x
Đặt t x3 x 3t
vào phương trình ta
3
1
f t
t
Xét hàm số
3
1
3
y y
t t đổi dấu qua đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
0
y Khi vẽ đồ thị mặt phẳng tọa độ với đồ thị hàm số y f t ta thấy hai đồ thị cắt điểm phân biệt thuộc góc phần từ thứ 4, gọi giao điểm
3
1 0, 1, 2
t t x t x t Như ta có bảng biến thiên hàm số h x sau
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x có nghiệm phân biệt hàm số h x có điểm cực trị khơng nằm trục hồnh, hàm số g x h x có điểm cực trị Câu 100. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số bậc bốn f x( ) có bảng biến thiên sau:
Số điểm cực trị hàm số g x( )=x2f x( +1)4
(54)Nhận xét ( )
( )
0, lim
x
g x x
g x →
= +
,
Cho g x( )=0
( )
2
4
0
1
=
+ =
x
f x ( )
0
1
=
+ =
x f x
Nhận thấy: Tịnh tiến đồ thị f x( ) sang trái đơn vị ta thu đồ thị f x( +1)
Do f x( + =1)
,
,
,
,
= −
= − −
= −
=
x a a
x b b
x c c
x d d
Vì g x( )=0 có nghiệm phân biệt
Hay đồ thị g x( ) có điểm tiếp xúc với trục hồnh Vậy hàm số g x( ) có cực trị
9.5 Cực trị liên quan hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu 101. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có f ( )0 =0 Biết y= f( )x hàm số bậc bốn có đồ thị đường cong hình bên Số điểm cực trị hàm số g x( )= f x( )3 −x
A 5 B 4 C 6 D 3
Lời giải Chọn A
(55)Có h x'( )=3x f2 '( )x3 −1
( ) ( )3 ( )3 ( ) ( )
2
0 0
3
h x x f x f x x
x
= − = =
Đặt 3
x = t x = t phương trình (1) trở thành: ( ) 312 ( ) ( )
0
3
f t t
t
=
Vẽ đồ thị hàm
3
y x
= hệ trục tọa độ với hàm y= f( )x
Dựa vào đồ thị ta có:
( ) 312 33 33
0 0
3
t b x b x b
f t
t a x a
t x a
= = =
= =
= =
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thầy hàm số g x( )= f x( )3 −x có điểm cực trị
(56)A 4 B 3 C 6 D 5 Lời giải
Chọn D
Xét hàm số h x( )= f x( )4 −x2 có h x( )=4x f3 ( )x4 −2x
( ) ( )4 ( )
2
0 1
*
x h x
f x
x
=
=
=
Xét phương trình ( )* : Đặt t=x4 ( )* thành ( )
2
f t
t
= với t0
Dựa vào đồ thị, phương trình ( )* có nghiệm a0 Khi đó, ta x= 4 a
Bảng biến thiên hàm số h x( )= f x( )4 −x2
Số cực trị hàm số g x( )= f x( )4 −x2 số cực trị hàm h x( )= f x( )4 −x2 số nghiệm đơn bội lẻ phương trình h x( )=0
(57)(58)10.1 GTLN, GTNN f(x) đoạn [a;b] biết biểu thức f(x)
Câu 103. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Giá trị lớn hàm số f x( )=x3−3x+2 đoạn −3;3
A −16 B 20 C 0 D 4
Lời giải Chọn B
Ta có: f( )x =3x2−3; f( )x = = −0 x 3;3
( )3 16; ( )3 20; ( )1 4; ( )1
f − = − f = f − = f =
Vậy
3;3 ( )
max f x 20
− =
Câu 104. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−21x đoạn 2; 19
A −36 B −14 C 14 D −34
Lời giải
Đạo hàm ( ) ( )
3 21, 2; 19
f x = x − x
( ) ( / )
0
7 ( )
x T m
f x
x L
=
=
= −
Ta có f ( )2 = −34; f ( )7 = −14 7; f ( )19 =6460 Do
2; 19 ( ) 14
xMin f x = − , đạt x=
Câu 105. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−30x đoạn 2;19
A 20 10 B −63 C −20 10 D −52
Lời giải Ta có f( )x =3x2−30; f( )x = = 0 x 10
Hàm số f x( )=x3−30x liên tục đoạn 2;19
( )2 52; ( )10 20 10; ( )19 6289
f = − f = − f =
So sánh giá trị trên, ta có giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−30x đoạn 2;19 20 10
−
Vậy chọn C.
Câu 106. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−33x đoạn 2;19
bằng
A −72 B −22 11 C −58 D 22 11
Lời giải Ta có f( )x =3x2−33
( )
0 11 11
f x = x = = x
(59)Ta có f ( )2 = −58; f ( )11 = −22 11;f ( )19 =6232 Vậy
2;19 ( ) ( )
min f x = f 11 = −22 11
Câu 107. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x4−10x2−4 0;9 A. −28 B. −4 C. −13 D. −29
Lời giải Chọn D
Hàm số y= f x( ) liên tục 0;9
Có ( )
4 20
f x = x − x, ( )
0
0
5 0;9
x
f x x
x
=
= =
= −
Ta có f ( )0 = −4, f ( )5 = −29, f ( )9 =5747
Do
0;9 ( ) ( )
min f x = f = −29
Câu 108. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x4−12x2−4 đoạn 0;9
A −39. B −40. C −36. D −4
Lời giải Chọn B
Ta có: f( )x =4x3−24x; ( ) 0
x f x
x =
=
=
Tính được: f ( )0 = −4; f ( )9 =5585 f ( )6 = −40 Suy
0;9 ( )
min f x = −40
Câu 109. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Giá trị nhỏ hàm số ( )
4
10
f x =x − x −
đoạn 0;9
A −2 B −11 C −26 D −27 Lời giải
Chọn D
Ta có f '( )x =4x3−20x
( )
'
f x = 4x3−20x=0
( ) ( )
( )
0 0;9
5 0;9
5 0;9
x x x
=
=
= −
( )0
f = − ; f ( )5 = −27; f ( )9 =5749 Vậy
0;9 ( )
min f x = −27
Câu 110. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Giá trị nhỏ hàm số f x( )=x3−33x đoạn 2;19
(60)Lời giải Ta có f( )x =3x2−33
( )
0 11 11
f x = x = = x
Xét 2;19 ta có x= 112;19
Ta có f ( )2 = −58; f ( )11 = −22 11;f ( )19 =6232 Vậy
2;19 ( ) ( )
min f x = f 11 = −22 11
Câu 111. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Giá trị nhỏ hàm số
10
y=x − x + đoạn −1; 2 bằng: A 2 B −22 C −23 D −7
Lời giải Chọn B
( )
4
10 20
y=x − x + y= x − x= x x −
0
5
x
y x
x
= = =
= −
Các giá trị x= − x= không thuộc đoạn −1; 2 nên ta khơng tính Có f ( )− = −1 7;f ( )0 =2; f ( )2 = −22
Nên giá trị nhỏ hàm số đoạn −1; 2 −22
10.2 Tìm m để hs f(x) có GTLN, GTNN thỏa mãn đk cho trước
Câu 112. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số ( )
1
x m f x
x + =
+ (m tham số thực) Gọi tập hợp tất giá trị cho
0;1 ( ) 0;1 ( )
max f x +min f x =2 Số phần tử
A 6 B 2 C 1 D 4
Lời giải Chọn B
a/ Xét m=1, ta có f x( )= −1 x
Dễ thấy
0;1 ( )
maxf x =1,
0;1 ( )
minf x =1
Tức m=1 thảo mãn yêu cầu b/ Xét m1 ta có ( )
( )2 '
1
m
f x
x
− =
+
i/ Với m1 ta có
0;1 ( ) 0;1 ( ) ( ) ( )
1
max
2
m
f x + f x = f + f = +m +
Phương trình
2
m
(61) 0;1 ( ) 0;1 ( )
maxf x +minf x = m + = −0 m Phương trình− =m có nghiệm m= −2 ( loại) 2i/ với m1, ta có
Xét m0:
0;1 ( ) 0;1 ( ) ( ) ( )
1
max
2
m
f x + f x = f + f = + +m
Phương trình
2
m
m
+ + =
có nghiệm m=1 (loại)
Xét m m m + :
0;1 ( ) 0;1 ( )
1
max
2
m m
f x + f x = + + = +
Phương trình
2
m+
= có nghiệm m=3 (loại)
Xét 2 m m m m + + :
0;1 ( ) 0;1 ( )
maxf x +minf x = m + = −0 m
Phương trình − =m có nghiệm m= −2 (loại)
Xét 0:
2
m+
0;1 ( ) 0;1 ( )
1
max
2 2
m m m
f x + f x = m + + = − −m + =− −
Phương trình
2
m
− − =
có nghiệm
3
m=− (nhận)
Vậy 1;
3
S= −
10.3 GTLN, GTNN hàm nhiều biến dạng khác
Câu 113. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101]Xét số thực x y, thỏa mãn 2x2+ +y2 1(x2+y2−2x+2 4) x Giá
trị nhỏ biểu thức
2
y P
x y
=
(62)Lời giải Chọn B
Ta có 2 ( 2 ) 2 2
2x+ +y x +y −2x+2 4x2x+ + −y xx +y −2x+2
( 1)2 ( )2 2
2x− +y x y
− + + Đặt ( )2 2( )
1
t= x− +y t , ta BPT: 2t +t Đồ thị hàm số y=2t đồ thị hàm số y= +t sau:
Từ đồ thị suy 2t + t t (x−1)2+y2 1 Do tập hợp cặp số (x y; ) thỏa mãn thuộc hình trịn ( )C tâm I( )1;0 ,R=1
Ta có ( 4)
2
y
P Px P y P
x y
= + − + =
+ + phương trình đường thẳng d
Do d ( )C có điểm chung ( ( ))
( )
2
2
3
, 16
4
P
d I d R P P
P P
+ −
+ −
1 P
− − − + , suy giá trị nhỏ P gần nhất với −3
11 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
11.1 Tiệm cận đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ,không chứa tham số
Câu 114. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1
x y
x + =
−
A.
4
y= B y=4
(63)Lời giải
Ta có lim 4
1 x x x →− + =
− (hoặc
4 lim x x x →+ + =
− ) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=4
Câu 115. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 x y x + =
−
A y=1 B
5
y= C y= −1 D y=5 Lời giải
Người giải: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Theo cơng thức ta có tiệm cận ngang dồ thị hàm số y=5 nên chọn đáp án D
Câu 116. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 x y x + =
−
A
2
y= B y= −1 C y=1 D y=2 Lời giải
Ta có: lim lim2
1 x x x y x → → + = = −
Nên đường thẳng y=2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số
Câu 117. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 + = − x y x
A
=
y B y=3 C y= −1 D y=1
Lời giải
Ta có: lim lim 3
1 → → + = = − x x x y x
Do đường thẳng y=3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 118. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2
1 x y x + =
−
A x=2 B x= −2. C x=1 D x= −1 Lời giải
Chọn C
Tập xác định D= \ 1 Ta có
1
lim ; lim
x x
y y
− +
→ = − → = + , suy đồ thị có tiệm cận đứng x=1
Câu 119. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Tiệm cận đứng đồ thị hàm số
3 x y x − =
−
A x= −3 B x= −1 C x=1 D x=3 Lời giải Chọn D lim x x x − → − = −
− Suy ta tiệm cận đứng đường thẳng x=3
Câu 120. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2 x y x − =
+
(64)Chọn C Ta có 1 2 lim lim x x x y x + + →− →− − = = −
+ 1
2 lim lim x x x y x − − →− →− − = = +
+ nên đường thẳng x= −1
tiệm cận đứng đồ thị hàm số
Câu 121. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 + = − x y x
A
=
y B y=3 C y= −1 D y=1
Lời giải
Ta có: lim lim 3
1 → → + = = − x x x y x
Do đường thẳng y=3 đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số Câu 122. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Tiệm cận ngang đồ thị hàm số
1 x y x − =
+
A y= −2 B y=1 C x= −1 D x=2 Lời giải Chọn B Ta thấy lim 1 lim 1 x x x x x x →+ →− − = + − = +
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=1
11.2 Tiệm cận đồ thị hàm số f(x) dựa vào BBT không tham số
Câu 123. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho
A 4 B 1 C 3 D 2
Lời giải Chọn D
Ta có lim ( ) , lim ( )
x→+ f x = + x→− f x = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y=2
( )
0
lim
x→+ f x = − nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
0
(65)x y
O
Vậy đồ thị hàm số y= f x( ) có tổng hai đường tiệm cận
12 ĐỌC ĐỒ THỊ - BIẾN ĐỔI ĐỒ TH
12.1 Nhận dạng hàm số thường gặp (biết đồ thị, BBT)
Câu 124. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ bên ?
A y=x3−3x2+3 B y= − +x3 3x2+3 C y=x4−2x2+3 D y= − +x4 2x2+3
Lời giải Chọn A
Đồ thị đồ thị hàm số bậc 3, với hệ số a dương Do đó, chọn đáp án A
Câu 125. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y= −x3 3x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= − +x4 2x2+1 D y=x4−2x2+1
Lời giải
Ta có: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm trùng phương có hệ số a âm
Câu 126. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên
(66)Lời giải
Vì đồ thị hàm số có cực trị nên ta loại đáp án B D Ta lại thấy x→ + y→ + Nên hệ số trước x4 phải dương
Vậy ta chọn đáp án C
Câu 127. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y=x4−2x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= −x3 3x2+1 D y= − +x4 2x2+1 Lời giải
Hình vẽ bên đồ thị hàm số bậc có hệ số a 0 chọn A
Câu 128. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y= − +x4 2x2−1 B y= x4−2x2−1 C y= −x3 3x2−1 D y= − +x3 3x2−1 Lời giải
Chọn D
(67)A.
3
y=x − x+ B.
2
y=x − x +
C.
2
y= − +x x + D.
3
y= − +x x+ Lời giải Chọn A
Câu 130. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A y=x4−2x2+1 B y= − +x3 3x2+1 C y= −x3 3x2+1 D y= − +x4 2x2+1 Lời giải
Hình vẽ bên đồ thị hàm số bậc có hệ số a 0 chọn A
Câu 131. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên?
A.
2
y= − +x x B. y= − +x3 3x C. y=x4−2x2 D. y=x3−3x
(68)Hàm số có hệ số a0 Suy loại đáp án C.
Câu 132. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên A. y=x4−2x2−2 B. y= − +x3 2x2−2
C. y=x3−3x2−2 D. y= − +x4 2x2−2 Lời giải
Chọn B
Qua đồ thị hàm bậc nên loại A, D.
Bên phải đồ thị xuống nên hệ số a < loại đáp án C
Câu 133. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình dưới?
A y=x3−3x B y= − +x3 3x C y=x4−2x2 D y= − +x4 2x Lời giải
Chọn A
Ta thấy đồ thị hàm số ( )
0
y=ax +bx +cx+d a a0 Nên chọn A
Câu 134. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d (a, b, c, d ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?
A 4 B 2 C 1 D 3
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương d
lim 0
x→+y a
Ta có: y =3ax2+2bx c+
Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm bên trái trục tung nên phương trình y =0 có nghiệm phân biệt x1x2 0
y
(69)Khi theo Viet ta có:
1
1
2
3
b
x x
a c x x
a
+ = −
=
Từ suy b0 c0
Vậy số a, b, c, d có số dương
12.2 Xét dấu hệ số biểu thức (biết đồ thị, BBT)
Câu 135. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Cho hàm số
( )
3
, , ,
y=ax +bx + +cx d a b c d có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a b c d, , , ?
A 4 B 1.
C 2 D 3
Lời giải
Ta có y' 3= ax2 +2bx c+ Từ đồ thị hàm số đề cho, suy ra: + a0
+ Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương nên d 0 + Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ dương
Phương trình y'=0 có nghiệm phân biệt dương
0
0
0
3
b S
b a
c c
P a
−
=
=
(Vì a0) Vậy có số dương số a b c d, , ,
Câu 136. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d a b c d( , , , ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số , , , ?a b c d
A 4 B 2 C 1 D 3
Lời giải Ta có y =3ax2+2bx c+
Do lim
(70)Hàm số có điểm cực trị x1x2 0, suy
1
1
2
0
0
3
b
x x
b a
c c
x x a
−
+ =
=
Câu 137. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số y=ax3+bx2+ +cx d (a, b, c, d ) có đồ thị đường cong hình bên Có số dương số a, b, c, d?
A 4 B 2 C 1 D 3
Lời giải
Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ dương d
lim 0
x→+y a
Ta có: y =3ax2+2bx c+
Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm bên trái trục tung nên phương trình y =0 có nghiệm phân biệt x1x2 0
Khi theo Viet ta có:
1
1
2
3
b
x x
a c x x
a
+ = −
=
Từ suy b0 c0
Vậy số a, b, c, d có số dương
Câu 138. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+d a b c d( , , , ) có bảng biến thiên sau:
Có số dương số , , ,a b c d?
A. B. C. D.
Lời giải Chọn A.
Từ bảng biến thiên, ta có
y
(71)1
(0) 3 4
(4) 64 16
2
(0) 0
0
(4) 48
3
a
f d
f a b c d
b
f c
c
f a b c
d
=
= =
= − + + + = −
= −
= =
=
= + + =
=
Vậy số , , ,a b c d có số dương
Câu 139. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+ +cx d (a b c d, , , ) có bảng biến thiên sau
Có số dương số a b c d, , , ?
A 2 B 4 C 1 D 3
Lời giải Chọn D
Từ dáng điệu biến thiên hàm số ta có a0 Khi x=0 y= = d
Mặt khác f( )x =3ax2+2bx c+ Từ bảng biến thiên ta có ( )
x
f x
x
= −
=
=
Từ suy 0; 2
3
b
c b a
a −
= = − = .
Vậy có số dương a b d, , .
Câu 140. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+cx+d a b c d( , , , ) có bảng biến thiên sau:
Có số dương số , , ,a b c d?
A. B. C. D.
Lời giải Chọn C
lim ( )
x→+ f x = + a
f ( )0 = − = − 1 d
( )
3
f x = ax + bx c+
+
-+
1
0 0
-2
-∞
+∞ +∞ -∞
f (x)
f ' (x)
(72)Ta có 2
2
2 3
0
0
x x a b a
x x c c
a − = − + = − = = = =
Câu 141. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) ax bx c
+ =
+ (a b c, , ) có bảng biến thiên sau
Trong số ,a b c có số dương?
A 2 B 3 C 1 D 0
Lời giải Chọn C Ta có 1 lim lim x x a
ax x a
c
bx c b b
x
→+ →+
+
+ = =
+ +
Theo gỉa thiết, ta có a a b( )1
b = =
Hàm số không xác định x=2 nên suy ( )2
2
c b c+ = = −b
Hàm số đồng biến khoảng xác định ( )
( )2 3( )
ac b f x bx c − =
+ với x khác
Nếu a= b từ ( )2 suy c0 Thay vào ( )3 , ta thấy vô lý nên trường hợp khơng xảy Suy ra, xảy khả a= b c0
Câu 142. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Cho hàm số
( ) ( , , , )
f x =ax +bx +cx+d a b c d có đồ thị đường cong
hình vẽ bên Có số dương số a b c d, , , ? A 4 B 3
C 1 D 2
Lời giải Quan sát hình dáng đồ thị ta thấy a0
Đồ thị cắt trục Oy điểm A(0;d) nằm bên trục Ox nên d 0
Lại thấy hàm số đạt cực trị hai điểm x x1, 2 hai số dương nên phương trình y'=0 (
'
y = ax + bx+c) có hai nghiệm x x1, 2 hai số dương, theo Vi – et ta có
1 2 0 b x x b a c c x x a + = − =
(73)12.3 Đọc đồ thị đạo hàm (các cấp)
Câu 143. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số
5
y= − +x x là:
A 2 B 3
C 1 D 0
Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm
3 2
0
5 5 5
5 5
x y
x x x x x x x y
x y
= =
− = − + − = = = − +
= − = − −
Vậy số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số y= − +x2 5x
12 TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ TH 12.1 Tìm toạ độ (đếm) giao điểm
Câu 144. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Số giao điểm đồ thị hàm số y= x3+3x2 đồ thị hàm số
2
3
y= x + x
A 3 B 1 C 2 D 0
Lời giải
Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+3x2 đồ thị hàm số y=3x2+ 3x số nghiệm phân biệt phương trình x3+3x2 =3x2+3x ( )1
( )
=
− = =
= −
3
0
1 3
3
x
x x x
x
Phương trình ( )1 có nghiệm phân biệt
Vậy số giao điểm đồ thị hàm số = 3+
3
y x x đồ thị hàm số = 2+
3
y x x
Câu 145. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 7xvới trục hoành
(74)Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị trục hoành là:
7
x x
− + =
( )
7
7
x x x
x =
− =
=
Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 7xvới trục hoành
Câu 146. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3+x2 đồ thị hàm số
5
y=x + x
A 3 B 0 C 1 D 2
Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: 2
5
5
x
x x x x x x
x =
+ = + − =
= Vậy có giao điểm
Câu 147. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số
3
y= − +x x
A 1 B 0 C 2 D 3
Lời giải
Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm thực phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm
sau: 2 ( )
3 3
3
x
x x x x x x x x
x =
− = − + − = − =
=
Vậy số giao điểm hai đồ thị hàm số cho
Câu 148. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Số giao điểm đồ thị hàm số
y= − +x x với trục hoành
A 2 B 3 C 1 D 0
Lời giải Chọn B
Ta có hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số
6
y= − +x x với trục hồnh nghiệm phương trình − +x3 6x=0 (*) −x x( 2−6)=0
6
x x
= =
Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt, đồ thị hàm số
6
y= − +x x cắt trục hoành ba điểm phân biệt
Câu 149. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Số giao điểm đồ thị hàm số y= − +x3 3x với trục hoành
A 2 B 0 C 3 D 1
Lời giải Chọn C
Xét phương trình hồnh dộ giao điểm
3 ( 3)
3
=
− + = − + =
=
x
x x x x
x
(75)Câu 150. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số giao điểm đồ thị hàm số y= −x3 x2 đồ thị hàm số
3
y= − +x x
A 1 B 0 C 2 D 3
Lời giải
Số giao điểm hai đồ thị số nghiệm thực phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm
sau: 2 ( )
3 3
3
x
x x x x x x x x
x =
− = − + − = − =
=
Vậy số giao điểm hai đồ thị hàm số cho
Câu 151. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Số giao điểm đồ thị hàm số y=x3−3x+1 trục hoành là:
A 3 B 0 C 2 D 1
Lời giải Chọn A
( )( )
3 3 1 3 3 3 1 1
y=x − x+ =y x − = x− x+
0
1
x y
x
= − = =
Ta có bảng biến sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f x( ) cắt trục hoành ( tức đường thẳng y=0 ) ba điểm phân biệt
12.2 Đếm số nghiệm pt cụ thể (cho đồ thị, BBT)
Câu 152. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
Số nghiệm thực phương trình 2f x( )− =3 là:
A 2 B 1 C 4 D 3
Lời giải Chọn C.
Ta có: ( ) ( )
2
(76)Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng
y= cắt đồ thị y= f x( ) điểm phân biệt nên số nghiệm phương trình cho nghiệm thực
Câu 153. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x( )= −1
A 3 B 1 C 0 D 2
Lời giải
Số nghiệm phương trình f x( )= −1 số giao điểm đường cong y= f x( ) với đường thẳng y= −1 Nhìn hình vẽ ta thấy có giao điểm nên phương trình cho có nghiệm
Câu 154. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f x( )=1
A 0 B 3 C 1 D 2
Lời giải Chọn B
Ta thấy đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm phân biệt Nên phương trình
( )
f x = có nghiệm thực phân biệt
Câu 155. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phương trình f x( )=1
(77)Lời giải
Số nghiệm thực phương trình f x( )=1 số giao điểm đường thẳng y=1 đồ thị hàm số y= f x( ) Nhìn vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y=1 cắt đồ thị điểm phân biệt Vậy phương trình f x( )=1 có nghiệm thực
Câu 156. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho đồ thị hàm số bậc bay= f x( )có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x( )=2
A 0 B 3 C 1 D 2
(78)có nghiệm thực
Câu 157. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm phương trình ( )
2
f x = −
A 3 B 4 C 2 D x=1
Lời giải
Số nghiệm phương trình ( )
2
f x = − số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( )
đường thẳng
2
y= −
Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y= f x( ) đường thẳng
y= − cắt điểm
Nên phương trình ( )
2
f x = − có nghiệm
Câu 158. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực
phương trình ( )
2
(79)A 4 B 1 C 3 D 2
Lời giải
Từ đồ thị ta ( )
2
f x = − có nghiệm phân biệt
Câu 159. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho đồ thị hàm số bậc bay= f x( )có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x( )=2
A 0 B 3 C 1 D 2
Lời giải
Đường thẳng y=2 cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm phân biệt nên phương trình f x( )=2
(80)Câu 160. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình
bên Số nghiệm thực phương trình ( )
2
f x =
A 2 B 4 C 1 D 3
Lời giải Chọn A
Số nghiệm thực phương trình ( )
2
f x = số giao điểm đồ thị hàm số f x( ) với
đường thẳng
2
y=
Dựa vào hình ta thấy đồ thị hàm số f x( ) với đường thẳng
y= có giao điểm
Vậy phương trình ( )
2
f x = có hai nghiệm
Câu 161. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm phương trình f x( )= −1
A 3 B 2 C 1 D 4
(81)Số nghiệm phương trình f x( )= −1 số giao điểm đồ thị hàm số y= f x( ) với đường thẳng y= −1 Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) suy số nghiệm phương trình
12.3 Tương giao liên quan hàm hợp, hàm ẩn
Câu 162. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị hình vẽ bên
Số nghiệm thực phương trình ( 3 )
3
f x − x =
A 3 B 8 C 7 D 4
Lời giải Chọn B
Ta có ( )
( )
( )
3
3
4
4
3
4
3
3
f x x
f x x
f x x
− =
− =
− = −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
3
2
3
3
3
4
3
3 2
3
3 4
x x t t
x x t t
x x t t
x x t t
− = −
− = −
− =
− =
Hàm số y=x3−3x có bảng biến thiên
(82)Câu 163. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x f x( ( ))+ =1
A. B. C. D. Lời giải
Cách 1:
Ta có ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3
3
( )
( ) ( ) ( ) 2;3
( ) 5;
x f x
f x f x f x f x x f x a
x f x b
=
+ = = − =
=
Ta có ( )
( )
0
1
0
x x
f x x c
=
=
= =
Xét g x( ) k3 x
= , với k 0 Ta có g'( )x 3k4 0, x
x
= −
Bảng biến thiên
(83)Vậy phương trình f x f x( ( ))+ =1 có nghiệm phân biệt Cách 2:
Ta có:
( ) ( )
3
3 3
3
3
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) (do 0)
( )
( ) (do 0)
x f x x f x
a
f x f x f x f x x f x a f x x
x
x f x b
b
f x x
x
=
=
=
+ = = − = =
=
=
* f x( )=0 có nghiệm dương x=c * Xét phương trình f x( ) k3
x
= với x0, k 0 Đặt g x( ) f x( ) k3
x
= − ; g x( ) f x'( ) 3k4
x
= +
TH 1: Với xc, đồ thị hàm f x( ) đồng biến (c;+) nên f x( )0, x + (c; )
( )
4
3
( ) ( ) k 0, ;
g x f x x c
x
= + +
Mà ( )
lim ( )
x g c
g x →+
= +
g x( ) liên tục (c;+ )
g x( )=0 có nghiệm (c;+) TH 2: Với 0 x c f x( ) k3
x
(84)( )
3
( ) ( ) k 0, ;
g x f x x
x
= + −
Mà
lim ( ) lim ( )
x
x
g x g x − → →−
= −
g x( ) liên tục (−;0)
g x( )=0 có nghiệm (−;0) Do đó: g x( )=0 có hai nghiệm \ * Phương trình f x( ) a3 (k a)
x
= = có nghiệm phân biệt khác khác c
* Phương trình f x( ) b3 (k b) x
= = có nghiệm phân biệt khác khác c
Kết luận: Phương trình f x f x( ( ))+ =1 có nghiệm
Câu 164 - HẾT -[ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số bậc ba y = f x( ) có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phân biệt phương trình ( ( ))
1
f x f x + =
A 6 B 4 C 5 D 8
Lời giải
Ta có ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
3
3 3
3
3 1
1
0
x f x a a
f x f x f x f x x f x b b
x f x
= − −
+ = = − = − −
=
+ Với m0, xét phương trình ( ) ( )
3 m x f x m f x
x
= =
Đặt g x( ) m3 x
= , g x( ) 34m 0, x
x −
=
( )
lim
x→g x = , ( )
lim x
g x
−
→ = +, ( )
lim x
g x
+
→ = −
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên đề bài, suy khoảng (−;0) (0;+) phương trình f x( )=g x( ) có nghiệm
(85)+ Xét phương trình ( ) ( )
( )
3 0
3 :
0
x x
x f x
f x x c
= =
=
= =
, với c khác nghiệm
của ( )1 ( )2
Vậy phương trình ( ( ))
1
f x f x + = có nghiệm
Câu 165. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số bậc bốn y= f x( )có đồ thị đường cong hình
bên Số nghiệm thực phân biệt phương trình f x f x( ( ))+ =2
A 8 B 12 C 6 D 9
Lời giải
Cách 1:
Ta có f x f x( ( ))+ =2
( )
2
2
2
( )
( ) (0;1)
( ) 2;3
( ) (3; 4)
x f x
x f x a
x f x b
x f x c
=
=
=
=
( )
2
2
( ) (1)
( ) , (0;1) (2)
( ) , 2;3 (3)
( ) , (3; 4) (4)
x f x
a
f x a
x b
f x b
x c
f x c
x
=
=
=
=
=
Xét hàm số g x( ) k2(k 0)
x
= , Ta có g x'( ) 2k3
x
= −
Bảng biến thiên
Đồ thị f x( ) g x( ) mô tả sau: 2
−
O x
(86)Do ta có: (1), (2), (3) (4) phương trình có nghiệm phân biệt Suy phương trình cho có nghiệm
Cách 2:
Ta có f x f x( ( ))+ =2
( )
2
2
2
( )
( ) (0;1)
( ) 2;3
( ) (3; 4)
x f x
x f x a
x f x b
x f x c
= = = = ( ) 2
( ) (1)
( ) 0, (0;1) (2)
( ) 0, 2;3 (3)
( ) 0, (3; 4) (4)
x f x
a
f x a
x b
f x b
x c
f x c
x = = − = − = − =
(1) có nghiệm phân biệt x= 0,x= Xét hàm số g x( ) f x( ) k2(k 0)
x
= − có g x'( ) f '( )x 2k3
x
= + Ta có:
* x ; g x( )0 nên phương trình (2), (3) (4) khơng có nghiệm x ;
* 2
lim ( )
lim ( )
'( ) 0, ( ; )
x
x
g x k g x
g x x
− →− → = + = − −
Mỗi phương trình (2), (3) (4) có nghiệm
( ; )
x −
* 2
lim ( )
lim ( )
'( ) 0, ( ; ),
x
x
g x
k g x
g x x
+ →+ → = + = − +
Mỗi phương trình (2), (3) (4) có nghiệm
( ; )
x +
Suy phương trình (1), (2), (3) (4) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm
(87)Ta có f x f x( ( ))+ =2
( )
2
2
2
( ) (1)
( ) (0;1) (2)
( ) 2;3 (3)
( ) (3; 4) (4)
x f x
x f x a
x f x b
x f x c
=
=
=
=
Ta có (1) có ba nghiệm phận biệt x=0,x= 0,x= Xét g x( )=x f x2 ( ) có g x'( )=2xf x( )+x f x2 '( )
Với x ; g x( )=x f x2 ( )0 nên (2), (3), (4) khơng có nghiệm x ;
Với x −( ;)ta có: g x'( )0 Và với x(;+), 3, g x'( )0 nên ta có bảng biến thiên ( )g x
Do phương trình (2), (3), (4) có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt
Nhận xét : để chặt chẽ cần lập luận thêm nghiệm nghiệm trùng Việc khơng khó, xin dành cho bạn đọc
Nhận xét chung : Đề thi THPTQG năm 2020 kiến thức chân phương, không đánh đố, khơng có q lạ Nhưng để đạt điểm tối đa đòi hỏi phải học tốt, có q trình chuẩn bị bản, lâu dài, công phu Điểm nhấn đề câu 49 ( mã đề 103) Phần vận dụng cao chưa thực làm khó máy tính cầm tay, điều đáng tiếc
Câu 166 - [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x f x( ( ))− =2
A 6 B 12 C 8 D 9
(88)( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
2
1
3
4
x f x a a
x f x b b
x f x c c
= −
= − −
= − −
Giải ( )
( )
2 0
1
0
x x
x x
f x
x x
= =
=
=
=
(có nghiệm phân biệt)
Giải ( )2 f x( ) a2 x
=
Vẽ đồ thị hàm sốy a2 x
= lên hệ tọa độ Oxy Ta thấy đồ thị hàm số y a2 x
= cắt đồ thị hàm
số y= f x( ) nghiệm phân biệt
Tương tự với ( )3 ( )4 có nghiệm phân biệt
Câu 167 Vậy có phương trình f x f x( ( ))=2có nghiệm phân biệt.[ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên hình vẽ:
Có giá trị ngun tham số m để phương trình ( )
6f x −4x =m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0;+ )?
A 25 B 30 C 29 D 24
Lời giải Chọn B
Ta đặt: ( ) ( )
4
g x = f x − x
( ) ( ) ( )
2 4
g x = x− f x − x
( )( )( )( )
2 x x 4x x 4x x 4x
= − − + − + − (dựa vào bảng biến thiên)
( )3( 2 ) ( )
2 x x 4x x x
= − − + −
Mặt khác:
( )0 ( )0
g = f = − ;
(2 2) (2 2) ( )2
g − =g + = f − = ;
( )2 ( )4
(89)( )4 ( )0
g = f = −
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu toán tương đương
6
m
−
18 m 12
−
Vậy có tất 30 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán
Câu 168. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị đường cong hình bên
Số nghiệm thực phương trình f x f x( ( ))− =2
A 6 B 12 C 8 D 9
Lời giải Ta có f x f x( ( ))− = 2 f x f x( ( ))=2 Dựa vào đồ thị ta thấy:
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2
2
2
2
0
1
3
4
x f x
x f x a a
x f x b b
x f x c c
=
= −
= − −
= − −
Giải ( )
( )
2 0
1
0
x x
x x
f x
x x
= =
=
=
=
(có nghiệm phân biệt)
Giải ( )2 f x( ) a2 x
(90)Vẽ đồ thị hàm sốy 2 x
= lên hệ tọa độ Oxy Ta thấy đồ thị hàm số y 2
x
= cắt đồ thị hàm
số y= f x( ) nghiệm phân biệt
Tương tự với ( )3 ( )4 có nghiệm phân biệt
Câu 169 Vậy có phương trình f x f x( ( ))=2có nghiệm phân biệt [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Số nghiệm thuộc đoạn 0;5
phương trình f (sinx)=1
A 7 B 4 C 5 D 6
Lời giải Chọn C
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( )
( )
( )
( )
( )
; 1;
0;1 1;
x a
x b
f x
x c
x d
= − −
= −
= =
= +
Như ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
sin ; 1
sin 1;
sin
sin 0;1
sin 1;
x a
x b
f x
x c
x d
= − −
= −
= =
= +
Vì sin 0;1 , 0;5
x x
nên ( )1 ( )4 vô nghiệm Cần tìm số nghiệm ( )2 ( )3 0;5
2
(91)Dựa vào đường trịn lượng giác: ( )2 có nghiệm 0;5
, ( )3 có nghiệm
5 0;
Vậy phương trình cho có tất nghiệm Cách 2
Xét ( ) sin , 0;5 '( ) cos , 0;5
2
g x = x x g x = x x
Cho '( ) cos
3
x
g x x
x = = = =
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: ( )2 có nghiệm 0;5
, ( )3 có nghiệm
5 0;
Vậy phương trình cho có tất nghiệm
12.4 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm (chứa GTTĐ)
Câu 170. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hai hàm số
2 1
x x x x
y
x x x x
− − −
= + + +
− − + vày= + − +x x m
(m tham số thực) có đồ thị ( )C1 ( )C2 Tập hợp tất giá trị m để ( )C1
và ( )C2 cắt bốn điểm phân biệt
A (−; 2 B 2;+) C (−; 2) D (2;+) Lời giải
Chọn B
Xét phương trình 2
2 1
x x x x
x x m
x x x x
− + − + − + = + − +
− − +
3
2
2 1
x x x x
x x m
x x x x
− − −
+ + + − + + =
− − + (1)
Hàm số
( )
3
2
3 2 1
2
3
2 1
2
2 1
x x x x
x
x x x x x x x x
p x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
(92)Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
0, 2; \ 1; 0;1;
2 1
1 1
2 0,
2 1
x x
x x x
p x
x x
x x x
+ + + − + −
− − +
=
+ + + + −
− − +
nên hàm số
( )
y= p x đồng biến khoảng (− −; 1), (−1; 0), ( )0;1 , ( )1; , (2;+)
Mặt khác ta có lim ( )
x→+p x = xlim→−p x( )= −
Bảng biến thiên hàm số y=g x( ):
x − −2 −1 +
( )
g x + + + + +
( )
g x
+ + + +
4912
− − − − −
Do để ( )C1 ( )C2 cắt bốn điểm phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Điều xảy đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y= p x( )
tại điểm phân biệt m
12.5 ĐK để f(x) = g(m) có n-nghiệm thuộc K (khơng GTTĐ)
Câu 171. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau:
Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 5f x( 2−4x)=m có nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;+)
A. 24 B. 21 C. 25 D. 20
Lời giải Chọn C
Đặt
4
t=x − x Ta có t =2x− = =4 x
Bảng biến thiên
(93)Dựa vào bảng biến thiên ta có 15 10
m
m
− − Vì m nguyên nên 14; 13; ;10
m − − Do có 25 giá trị nguyên m thỏa mãn đề
Câu 172. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên sau
Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3f x( 2−4x)=m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0;+)?
A. 15 B.12 C. 14 D.13
Lời giải Chọn A
Đặt
4
u=x − x (1) Ta có BBT sau:
Ta thấy:
+ Với u −4, phương trình (1) vơ nghiệm
+ Với u= −4, phương trình (1) có nghiệm x= 2 + Với − 4 u 0, phương trình (1) có hai nghiệm x0 + Vơi u0, phương trình (1) có nghiệm x0
Khi ( ) ( )
3
3
m
f x − x = m f u = (2), ta thấy:
+ Nếu
3
m
m
= − = − , phương trình (2) có nghiệm u=0 nên phương trình cho có
một nghiệm x0
+ Nếu
3
m
m
− − − − , phương trình (2) có nghiệm u0 nghiệm
( 2;0)
(94)2
3 = − = −m , phương trình (2) có nghiệm u= −4 u −( 2; 0)
một nghiệm u0 nên phương trình cho có bốn nghiệm x0
+ Nếu 2 6
3
m
m
− − , phương trình (2) có nghiệm u −4, hai nghiệm
( 4;0)
u − nghiệm u0 nên phương trình cho có năm nghiệm x0
+ Nếu
3
m
m
= = , phương trình (2) có nghiệm u −4, nghiệm u= −2 nghiệm u0 nên phương trình cho có ba nghiệm x0
+ Nếu
3
m
m
, phương trình (2) có nghiệm u −4 nghiệm u0 nên phương trình cho có nghiệm x0
(95)13 MŨ - LŨY THỪA
13.1 Kiểm tra quy tắc biến đổi lũy thừa, tính chất
Câu 173. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Với số thực hai số thực Mệnh đề đúng?
A B C D
Lời giải Chọn D
13.2 Tính tốn, rút gọn biểu thức có chứa biến(a,b,c,x,y,….)
Câu 174. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho a b, hai số thực dương thỏa mãn ( ) 2
log 3
4 a b =3a Giá trị ab2
A 3 B 6 C 12 D 2
Lời giải
Ta có ( ) ( ) ( )
2
2
2 log
log 3 2 3 2 3 2
4 a b =3a a b =3a a b =3a ab =3
a m n,
( )m n m n
a =a + ( )am n =amn
m
n m n
a a a
−
= m m n
n
a a a
−
(96)14.1 Câu hỏi lý thuyết tính chất
Câu 175. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Với ,a b số thực dương tùy ý a1 , loga2b
A 1 log
2 ab B
1 log
2 ab C 2 logab D 2 logab Lời giải
Chọn B
Ta có loga b=1logab a b, , 0,a1 Vậy:
1
log log ; , 0,
2 a
a b= b a b a
Câu 176. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Với a, b số dương tùy ý a1, loga3b
A 3 log+ ab B 3logab C 1 log
3+ ab D
1 log ab
Lời giải Chọn D
Câu 177. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Với a b, số thực dương tùy ý a1 loga4b
A 4 log+ ab B 1log
4 ab C 4logab D
1 log 4+ ab
Lời giải
Ta có
1
log log
4 a
a b= b
Câu 178. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Với a số thực dương tùy ý, log 55( )a
A 5 log+ 5a B 5 log− 5a C 1 log+ 5a D 1 log− 5a
Lời giải Chọn C
Ta có: log 55( )a =log log5 + 5a = +1 log5a
Câu 179. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Với a b, số thực dương tùy ý a1 loga4b
A 4 log+ ab B 1log
4 ab C 4logab D
1 log 4+ ab
Lời giải
Ta có
1
log log
4 a
a b= b
Câu 180. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Với a số thực dương tùy ý, ( )3
log a
A 3log2
2 a
B
1 log
3 a C 3 log+ 2a D 3log2a
Lời giải Chọn D
(97)14.2 Biến đổi biểu thức logarit liên quan a,b,x,y
Câu 181. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Với a số thực dương tùy ý, log5a2 A. 2log5a. B. log+ 5a C. log5
2+ a D.
1 log a
Lời giải Chọn A.
2
5
log a =2 log a
Câu 182. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Với a, b số thực dương tùy ý a1, loga5b
A. 5logab B. log
5+ ab C. log+ ab D.
1 log ab
Lời giải
Ta có log loga
ab= b
Vậy
1
log log
5 a
a b= b
Câu 183. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Với a số thực dương tùy ý, log4( )4a
A 1 log+ 4a B 4 log− 4a C 4 log+ 4a D 1 log− 4a
Lời giải Chọn A
Ta có: log4( )4a =log log4 + 4a = +1 log4a
Câu 184. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Với a số thực dương tùy ý, log 22 a
A. log+ 2a B 1 log− 2a C 2 log− 2a D 2 log+ 2a
Lời giải Chọn A
2 2
log 2a=log log+ a= +1 log a
Câu 185. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho a b hai số thực dương thỏa mãn log2( )
4 ab =3a Giá trị
của
ab
A 3 B 6 C 2 D 12
Lời giải
( )
2 log
4 ab =3a
( )2 log2( )
2 ab 3a
=
( )
2 2log
2 ab 3a
=
( )2 log
2 ab 3a
=
( )2
3
ab a
= , a b hai số thực dương
2
3
ab
=
(98)Lời giải
Ta có 9log3ab =4a(3log3ab)2 =4aa b2 =4a mà a0
Suy
4
ab =
Câu 187. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Với ,a b số thực dương tùy ý thỏa mãn log2a−2log4b=3 , mệnh đề đúng?
A. a=8b2 B. a=8b. C. a=6b D. a=8b4 Lời giải
Chọn B
Có log2a−2log4b= 3 log2a=log2b+3log2a=log 82 b =a 8b
Câu 188. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Với a b, số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a−2log9b=2 , mệnh đề đúng?
A a=9b2 B a=9b C a=6b D a=9b2 Lời giải
Chọn B
Ta có: log3a−2log9b=2log3a−log3b=2 log3 a
b
=
=a 9b
Câu 189. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Với ,a b số thực dương tùy ý thỏa mãn log3a−2log9b=3 , mệnh đề đúng?
A a=27b B a=9b C a=27b4 D a=27b2 Lời giải
Chọn A
Ta có: log3 log9 log3 log3 log3 27 27
a a
a b a b a b
b b
− = − = = = =
Câu 190. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Xét số thực a b; thỏa mãn log3(3 9a b)=log 39 Mệnh đề
đúng?
A a+2b=2 B 4a+2b=1 C 4ab=1 D 2a+4b=1 Lời giải
Chọn D
( ) ( ) ( )
3 3
1
log log log log
2
a b = a + b =
1
2
2
a b a b
+ = + =
14.3 Tính giá trị biểu thức logarit không dùng BĐT
Câu 191. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b4 =16 Giá trị
2
4log a+log b
A 4 B 2 C 16 D 8
(99)Từ a b4 =16, lấy logarit số hai vế ta log2( )a b4 =log 162
4
2
log a log b
+ =
2
4log a log b
+ =
Câu 192. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho a blà hai số thực dương thỏa mãn 9log (3 a b2 )=4a3 Giá trị ab2
A 4 B 2 C 3 D 6
Lời giải Ta có:
( )
2 2
3 3
2
log ( ) 2log ( ) log ( ) 3
9 a b =4a 3 a b =4a 3 a b =4a a b =4a a b =4a ab =4
Câu 193. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho a blà hai số thực dương thỏa mãn 9log (3 a b2 )=4a3 Giá trị ab2
A 4 B 2 C 3 D 6
Lời giải Ta có:
( )
2 2
3 3
2
log ( ) 2log ( ) log ( ) 3
9 a b =4a 3 a b =4a 3 a b =4a a b =4a a b =4a ab =4
14.4 Dạng toán khác logarit
Câu 194. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Xét số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1
x y
a =b = ab Giá trị nhỏ biểu thức P= +x 2y thuộc tập hợp đây? A ( )1; B 2;
2
C 3; 4) D
5 ;
Lời giải Chọn D
Do ,a b1 ,x y0 nên ax =by = ab logaax =logaby =loga ab Tìm
1
log
2
2 log
a
b
x b
y a
= +
= +
Tức 1log log
2 a b
P= + b+ a
Lại ,a b1 nên logab, logba0
Tức 1log log
2 a b
P + b a = + ,
2
P= + logab=
Lưu ý rằng, tồn ,a b1 thỏa mãn logab=
Vậy
2
P= +
Câu 195. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Có số nguyên x cho tồn số thực ythõa mãn
( ) ( 2)
3
log x+ y =log x + y ?
(100)Chọn B
Điều kiện 2
0;
x+ y x + y
Ta đặt: ( ) ( 2)
3
log x+ y =log x +y =t Ta có ( )
2 t t x y x y + = + = Vì ( )2 ( 2) ( )2 9
4
2 3t 2.4t log
x+y x + y t
Thế
9 log
2
4t 3, 27
x +y = , x nguyên nên x2 0;1
Với x=0, ta có hệ t t y t y y = = = = Với x=1, ta có hệ
2 t t y y = − = −
Hệ có nghiệm
0 t y = =
Với x= −1, ta có hệ
2 t t y y = + = −
Ta có phương trình
( )2 ( )
3t +1 =4t − 1 9t +2.3t − + =4t * Đặt f t( )= +9t 2.3t − +4t 2, ta có
Với t 0 9t 4t f t( )0 Với t 0 4t 2 f t( )0 Vậy phương trình ( )* vơ nghiệm Kết luận: Vậy x 0;1
15 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
15.1 Tập xác định liên quan hàm số mũ, hàm số lơ-ga-rít
Câu 196. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Tập xác định hàm số y=log5xlà
A 0;+ ) B (−;0) C (0;+ ) D (− + ; ) Lời giải
Ta có: y=log5x
Điều kiện xác định: x 0 Suy tập xác định D=(0;+ )
Câu 197. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Tập xác định hàm số y=log6x
(101)Lời giải
Biểu thức log6x xác định x0 Do tập xác định hàm số D=(0; + ) Câu 198. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tập xác định hàm số y=log3 x
A (−;0) B (0;+ ) C (− + ; ) D 0;+ ) Lời giải
Chọn B
Hàm số y=log3x có nghĩa x0 Vậy D=(0;+ )
Câu 199. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tập xác định hàm số log4x
A (−; 0) B 0;+ ) C (0;+ ) D (− + ; ) Lời giải
Tập xác định hàm số log4x (0;+ )
Câu 200. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tập xác định hàm số y=4x
A \ 0 B 0;+) C (0;+) D Lời giải
Chọn D
Câu 201. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Tập xác định hàm số y=5x
A B (0;+) C \ D 0;+ )
Lời giải Chọn A
Tập xác định hàm số y=5x
Câu 202. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tập xác định hàm số y=2x
A. B. (0;+) C. 0;+) D. \ 0 Lời giải
Chọn A
Hàm số mũ y=2x xác định với x nên tập xác định D= Câu 203. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tập xác định hàm số log4x
A (−; 0) B 0;+ ) C (0;+ ) D (− + ; ) Lời giải
Tập xác định hàm số log4x (0;+ )
Câu 204. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Tập xác định hàm số y=log2x
A [0;+) B (− +; ) C (0;+) D [2;+) Lời giải
Chọn C
(102)Câu 205. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Hàm số y=2x2−3x có đạo hàm
A (2x−3 2) x2−3x.ln B 2x2−3x.ln C (2x−3 2) x2−3x D (2x−3 2) x2− −3x1 Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức ( )au =u a u.lna, ta có: y=2x2−3x =y (2x−3 2) x2−3x.ln
15.3 Đồ thị liên quan hàm số mũ, Logarit
Câu 206. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Hàm số y=logax y=logbx có đồ thị hình bên
Đường thẳng y=3 cắt hai đồ thị điểm có hồnh độ x x1; 2 Biết x1=2x2 Giá trị a
b
A 1
3 B C 2 D
3 2
Lời giải Chọn D
Xét phương trình hồnh độ giao điểm
1
logax= =3 x a , logbx= 3 x2 =b3 Ta có
3
3 3
1 2 2
a a
x x a b
b b
= = = =
15.4 Câu hỏi tổng hợp liên quan hàm số lũy thừa, mũ, lơ-ga-rít
Câu 207. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Có cặp số nguyên dương (m n, ) cho m n+ 16 ứng với cặp (m n, ) tồn số thực a −( 1;1) thỏa mãn ( )
2am−nln a+ a +1 ?
A 16 B.14 C.15 D. 13
Lời giải Chọn D
Đặt ( ) ( )
2 m ln
f a = a −n a+ a + , ta có ( )
2
2
1
m n
f a ma
a −
= −
+
( ) 1
2
0
2
m n m n
f a ma a a
m a
− −
= − = + =
+ phải có nghiệm a0 1
Suy
2
n n
m m suy a0 nghiệm Ta có bảng biến thiên
x
y
3
O x1 x2
logb y= x
loga
(103)Ta thấy nghiệm phương trình f a( )=0
Nếu m=1 suy để có nghiệm
2
n
n
m (loại)
Nếu m lẻ m1 ta có a nghiệm −a nghiệm, có đủ nghiệm Nếu m chẵn phương trình có tối da nghiệm (vì khơng có nghiệm âm)
Suy m lẻ
Để có nghiệm dương theo BBT ta có
( ) ( ) ( )
ln 2,
ln
2
1
f n + n
+
Suy n 1; suy m3;5; ;15 Suy có 13 cặp (m n, ) (do 15 17 16+ = )
15.5 Bài toán lãi suất
Câu 208. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X 900.000.000 đồng dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe tô niêm yết giá bán loại xe X bảo nhiêu ( kết làm trịn đến hàng nghìn)?
A. 810.000.000 B. 813.529.000 C. 797.258.000 D. 830.131.000
Lời giải Chọn B
Ta có: 900.000.000,
100
A= r=
Năm 2021 giá xe niêm yết là: T1 = −A Ar
Năm 2022 giá xe niêm yết ( ) ( )2
2
T = −A Ar− A−Ar r= A −r
Năm 2025 giá xe niêm yết là: T5 =T4−T r4 =A(1−r)5
5
5
2
900.000.000 813.529.000
100
T = −
Câu 209. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Năm 2020một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X 750.000.000
đồng dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X ( kết làm trịn đến hàng nghìn ) ?
A 677.941.000 đồng B 675.000.000 đồng
(104)Chọn A
Giá xe năm 2020 A
Giá xe năm 2021 A1= −A A r = A(1−r) Giá xe năm 2022 A2 =A1−A r1 = A(1−r)2 Giá xe năm 2023 A3= A2−A r2 = A(1−r)3 Giá xe năm 2024 A4 = A3−A r3 =A(1−r)4
Giá xe năm 2025 ( )
5
5 4
2
750.000.000 677.941.000
100
A = A −A r=A −r = −
đồng
Câu 210. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Trong năm 2019 , diện tích trồng rừng tỉnh A 1000 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019 , năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1400 ha?
A Năm 2043 B Năm 2025 C Năm 2024 D Năm 2042
Lời giải
Fb: Do Huu Nhan Phản biện: Trần Quốc An Đặt A0 =1000 ha, r=6%
Diện tích rừng trồng sau n năm là: An = A0(1+r)n
( )
14
1400 1000 log 5, 77
10
n
r
r n + n
+
Vậy tới năm 2025 diện tích rừng trồng đạt 1400
Câu 211. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X 800.000.000 đồng dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe tơ niêm yết giá bán loại xe X (kết làm trịn đến hàng nghìn)?
A 708.674.000 đồng B 737.895.000 đồng. C 723.137.000 đồng. D 720.000.000 đồng Lời giải
Chọn C
Giá bán loại xe X năm 2021 là: 800.000.000 800.000.000 2%− =800.000.000 −(1 2%)
Giá bán loại xe X năm 2022 là:
( ) ( ) ( )2
800.000.000 −1 2% −800.000.000 −1 2% 2%=800.000.000 −1 2%
Tương tự ta có: giá bán loại xe X năm 2025 là: ( )5
800.000.000 −1 2% 723.137.000 đồng
15.6 Bài toán tăng trưởng
Câu 212. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A 600 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1000 ha?
(105)Lời giải
Gọi S S r0, n, % diện tích rừng trồng năm 2019, diện tích rừng trồng sau n
năm phần trăm diện tích rừng trồng tăng năm Sau năm, diện tích rừng trồng S1=S0+S r0 =S0(1+r)
Sau năm, diện tích rừng trồng S2 = +S1 S r1 =S1(1+ =r) S0(1+r)2 …
Sau n năm, diện tích rừng trồng Sn =S0(1+r)n
Theo
( )
0 1,06
5
600, 0, 06, 1000 600 0, 06 1000 1, 06 log 8, 77
3
n n
n
S = r= S + n
Vậy phải sau năm diện tích rừng trồng tỉnh A đạt 1000 Đó năm 2028
Câu 213. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A 900 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1700 ha?
A Năm 2029 B Năm 2051 C Năm 2030 D Năm 2050
Lời giải
Gọi x số năm tính từ 2019 đến năm có diện tích 1700 ha, ta có
( )
1700900 6%+ x x 10,
Năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1700 chọnx=11
Suy năm 2030
Nhận xét: Bài toán tương tự toán lãi suất quen thuộc với em
Câu 214. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A 800 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1400 ha?
A Năm 2029 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2049
Lời giải Ta có: Sn =1400 ha; A=800 ha; r=6%
Áp dụng công thức: Sn =A(1+r)n A(1+r)n 1400
1 1,06
1400 1400
log log 9, 609 10
800
+
=
r
n n n n
A
Vậy năm năm 2029
Câu 215. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A 800 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1400 ha?
A Năm 2029 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2049
Lời giải Ta có: Sn =1400 ha; A=800 ha; r=6%
(106)1 1,06
log log 9, 609 10
800
+
=
r
n n n n
A
Vậy năm năm 2029
Câu 216. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Để quảng bá cho sản phẩm A, công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo truyền hình Nghiên cứu công ty cho thấy: sau n lần quảng cáo phát tỷ lệ người xem quảng cáo mua sản phẩm A tn theo cơng thức
( ) 0,015
1
1 49 n
P n
e−
=
+ Hỏi cần phát ít nhất lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản
phẩm đạt 30%?
A 202 B 203 C 206 D 207
Lời giải Chọn B
Để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt 30% điều kiện ( ) 0,015 30%
1 49 n 10
P n
e−
= =
+
0,015 10 0,015 1 1
1 49 0, 015 ln ln 202,968
3 21 21 0, 015 21
n n
e− e− n n
+ − −
min
203 203
n n
=
15.6 Hàm số mũ ,logarit chứa tham số
Câu 217. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Xét số thực không âm x y thỏa mãn 2x+y.4x y+ −13 Giá trị nhỏ biểu thức P=x2+y2+6x+4y
A 65
8 B
33
4 C
49
8 D
57
Lời giải
Ta có 2x+y.4x y+ −1 3 y.22x+2y−2 −3 2x ( ) ( )
2 2y y 2x 2− x *
−
Hàm số f t( )=t.2t đồng biến , nên từ ( )* ta suy
( )
2y −3 2x 2x+2y− 3
Ta thấy ( )1 bất phương trình bậc có miền nghiệm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d: 2x+2y− =3 (phần không chứa gốc tọa độ O), kể điểm thuộc đường thẳng d
Xét biểu thức P=x2+y2+6x+4y (x+3) (2+ y+2)2 = +P 13 ( )2
Để P tồn ta phải có P+ −13 P 13
Trường hợp 1: Nếu P= −13 x= −3; y= −2 không thỏa ( )1 Do đó, trường hợp khơng thể xảy
Trường hợp 2: Với P −13, ta thấy ( )2 đường trịn ( )C có tâm I(− −3; 2) bán kính 13
R= P+
Để d ( )C có điểm chung ( ; ) 13 13 65
8 2
d I d R P+ P
Khi 65
8
P= đường tròn ( )C tiếp xúc đường thẳng d 5; 4
N
(107)Vậy 65
P=
Câu 218. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Có cặp số nguyên dương (m n; ) cho m+ n 10 ứng với cặp (m n; ) tồn số thực a −( 1;1) thỏa mãn 2am=nln(a+ a2+1)?
A 7 B 8 C 10 D 9
Lời giải Chọn D
Ta có ( ) ( )
2 ln ln
m
m a
a n a a a a
n
= + + = + +
Xét hai hàm số f x( )=ln(x+ x2 +1) g x( ) 2xm n
= (−1;1)
Ta có ( )
2
0
f x
x
=
+ nên f x( ) đồng biến
( ) ( ) ( ) ( )
2
ln ln ln
1
f x x x x x f x
x x
− = − + + = = − + + = −
+ +
nên f x( ) hàm số
lẻ
+ Nếu m chẵn g x( ) hàm số chẵn có bảng biến thiên dạng
Suy phương trình có nhiều nghiệm, m lẻ + Nếu m lẻ hàm số g x( ) hàm số lẻ đồng biến
Ta thấy phương trình ln có nghiệm x=0 Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy phương trình cho có nghiệm (−1;1) có nghiệm ( )0;1 , hay
( ) ( ) ( ) ( )
1 ln 2, 26 1;2
ln
f g n n
n
+
+
Đối chiếu điều kiện, với n=1 suy m1;3;5;7;9, có cặp số thỏa mãn Với n=2 m1;3;5;7 có cặp số thỏa mãn
Vậy có cặp số thỏa mãn tốn
15.6 Min-Max liên quan hàm mũ, hàm lơ-ga-rít(nhiều biến)
Câu 219. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Xét số thực không âm x y thỏa mãn 2x+y.4x y+ −1 3 Giá trị
nhỏ biểu thức 2
4
P=x + y + x+ y
A. 33
4 B.
65
8 C.
49
8 D.
57
(108)nhỏ Khi
1
0
(1) :2x y 4x y 4x y 2(x y)
y y
+ − + − + + −
+ = − =
Đặt a= +x y, từ ( )1 ta phương trình
( )
1
4a a *
y y
− + − − =
Xét hàm số ( )
4a
f a a
y y
−
= + − − Ta có ( )
' ln 4a 0,
f a y
y
−
= + nên f a( ) hàm số đồng biến
Mặt khác, lim ( )
x→− f a = −, xlim→+ f a( )= +
Do đó, phương trình ( )* có nghiệm 3
2
a= + =x y
Ta viết lại biểu thức ( )2 ( ) 1 65
4
4 8
P= x+y + x+y + y− − =
Vậy
65
P = Cách khác:
Với x y, khơng âm ta có
3
1 3
2 4
2
x y x y
x y
x+ y + − +x y + − x+ −y + y + − −
(1)
Nếu
2
x+ − y ( )
3
0
3
2
x y
x y y + − y
+ − + − + − =
(vơ lí)
Vậy
2
x+ y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta
( ) (2 )2
2
4 13
P=x + y + x+ y = x+ + y+ −
( )
2
1 65
5 13 13
2 x y 2
+ + − + − =
Đẳng thức xảy
5 4 y x y
x y x
= + = + = + =
Vậy 65
8
P=
Câu 220. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Xét số thực không âm x y, thỏa mãn 2x+y.4x y+ −13 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x2+2x+y2+4y
A 33
8 B
9
8 C
21
4 D
41
Lời giải:
Cách 1 (Thầy Nguyễn Duy Hiếu)
(109)Nếu 2x+2y− 3 VT(1) < 0, vơ lý, nên từ (1) suy 2x+2y− 3
x+ y ( ) (2 )2 1( ) ( ) (2 )2
1 1
2
P= x+ + y+ − = + x+ + y+ −
( )2
1 41
1 5
2 x y 2
+ + + − + − =
Dấu “=” xảy 5,
4
x= y= Vậy 41
8
P=
Cách (Trần Văn Trưởng)
Ta có 2x+y.4x y+ −1 3 y.4 4y x−1 −3 2x y.22y −(3 2x).22 2− x
( )
2
2 2y y 2x 2− x
− (*)
Nếu 3
2
x x
− với 3,
2
x y thỏa mãn (*)
2 21
2
4
P=x +y + x+ y Nếu 2− x0
Xét hàm số f t( )=t.2t với t(0;+) Ta có f '( )t = +2t t.2 ln 2t +0, t (0; )
Do hàm số f t( ) đồng biến (0;+) Từ (*) suy 2y −3 2x2x+2y3 Xét P=(x+1) (2+ y+2)2−5(x+1) (2+ y+2)2 = +P
Ta có hệ điều kiện sau:
( ) ( ) ( )
( ) (2 )2 ( )
3
0
2
0
2 3
1
x y
x y
x y P
+ −
+ + + = +
(110)Để hệ có nghiệm d I( ; =) R P+5, : 2x+2y− =3
Suy ( ) ( )
2
2 2 41
5
8
2 P P
− + − −
+
+
Dấu xảy hệ sau có nghiệm:
( ) (2 )2
0
2
2
41
1
8
x y
x y
x y
+ − =
+ + + = +
Giải hệ ta tìm 4
x
y
= =
Vậy Min 41
8
P = 5, 1
4 4
x= y= Cách 3 (Nguyễn Kim Duyên)
Giả thiết 2x+ y.4x y+ −1 3 1( ) 2
2x y.2 x+ y−
− +
Đặt a=2x+2y−2; b=2x−2 a b
2
a b
y= −
( )1 viết lại: 2( ) ( )2 2
2
a a
a b
b+ − b−a + a−b − a (a−b)(2a −2) −2 2a ( )*
• Nếu a1 VT( )* 0 VP( )* Vậy khơng xảy a1
• Nếu a1 ( )
0
2
x
y D
x y
+
(111)Biểu diễn P+ =5 (x+1) (2 + y+2)2, xem phương trình đường trịn ( )C có tâm
( 1; 2)
I − − , bán kính P+5
Ta cần tìm minP miền ( )D Khi ( )C đường trịn có bán kính nhỏ chạm miền
( )D d I( ), = P+5 (trong đó, : 2x+2y− =3 0)
9 41
5
8
2 P P
= + = Khi tiếp xúc ( )C điểm 1; 4
Vậy 41
8
P = , đạt
4
x = ,
4
y=
Cách 4 ( NT AG) Ta có 2x+y.4x y+ −1 3 2x+2 2y 2x+2y−33
Nếu 2x+2y− 3 32x+2 2y 2x+2y−32x+2 2y =2x+2y Suy 2x+2y− 3 Mâu thuẫn
Nếu 2x+2y− 3 (1) Ta có (1) ( 1)
2
x y x y
+ + + Đặt t= +y ( t 1) Ta có
2
x+ t Khi đó,
2 2
2 ( 1) 2
P= x + x+y + y =x + y+ + x+ y+ − = x2+ +t2 2(x+ −t)
2
1 5 41
( ) 2( )
2 x t x t 2
+ + + − + − =
Dấu đẳng thức xảy
4
x= =t hay 5,
4
x= y=
Nhận xét: Thông qua đặt t = +y ta đưa giả thiết kết luận có biểu thức đối xứng x t, thí sinh dễ dàng phán đốn P đạt
4
x= =t Câu 221. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Xét số thực x y, thỏa mãn 2 ( 2 )
2x y 2 4x
x y x
+ + + − +
Giá
trị nhỏ biểu thức
2
x P
x y
+ =
− + gần với số
A 1 B 2 C 3 D 4
(112)Bất phương trình 2x2+ +y2 1(x2+y2−2x+2 4) x ( )
2 1
2 2 2 2 x y
x x y x
+ +
+ − +
( )
2 2 1 2 2
2x + − +y x x y 2x
+ − +
Đặt 2
2
t=x +y − x+
Bất phương trình2t +t 1 − − 2t t Đặt f t( )= − −2t t Ta thấy f ( )0 = f ( )1 =0 Ta có f( )t =2 ln 1t −
( )
1
0 ln log 0,52
ln t
f t = = =t
Quan sats BBT ta thấy f t( ) 0 t
2
0x +y −2x+ 1 ( )2
1
x y
− + ( )1
Xét 8
2
x
P Px Py P x
x y
+
= − + = +
− +
( )
4
P P x Py
− = − +
( )
4 8 2
P P P x P Py
− + − = − + − +
( )( )
3P 12 2P x Py
− = − − +
( )2 ( )( ) ( )2 2 ( )2 2
3P 12 2P x Py 2P P x y
− = − − + − + − +
Thế ( )1 vào ta có (3P−12)2 ( )2
8 2P P
− +
4P 40P 80
− + −5 5 +P 5
Dấu “=” xảy
( )2 2
8 2
5 1 P x P y x y − − − = = − + = 2 5 x y y − − = − = 5 x y y − − = = 5 x y x y = = = = −
(113)16 PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 16.1 PT,BPT mũ bản, gần (không tham số)
Câu 222. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Nghiệm phương trình 32x−1 =27
A x=5 B x=1 C x=2 D x=4 Lời giải
Chọn C.
2
3 x− =27 2x− =1 3 =x
Câu 223. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Nghiệm phương trình 3x−1=9
A x= −2 B x=3 C x=2 D x= −3 Lời giải
Ta có: 3x−1= 9 3x−1 =32 − = =x x Vậy phương trình cho có nghiệm x=3
Câu 224. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Nghiệm phương trình 22x−3 =2x
A x=8 B x= −8 C x=3 D x= −3 Lời giải
Chọn C
Ta có 22x−3 =2x 2x− = =3 x x Vậy phương trình cho có nghiệm x=3 Câu 225. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Nghiệm phương trình 22x−4=2x
A x=16 B x= −16 C x= −4 D x=4 Lời giải
Chọn D
Ta có: 22x−4 =2x 2x− = =4 x x
Câu 226. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Nghiệm phương trình 3x−1=27
A x=4 B x=3 C x=2 D x=1 Lời giải
Chọn A
1
3x− =27
3x
x
−
= =
Câu 227. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Tập nghiệm bất phương trình 9x+2.3x− 3 A 0;+) B (0;+) C (1;+) D 1;+)
Lời giải Chọn B
Đặt t=3x(t 0) bất phương trình cho trở thành
( )
2
2
3
t
t t
t loai
+ − −
Với t1 3x 1 x
16.2 Phương pháp đưa số (không tham số)
(114)Lời giải Ta có:
3x2−13 273x2−13 33 x2− 13 x2 16 x − 4 x Tập nghiệm bất phương trình cho S= −( 4; 4)
Kết luận: S= −( 4; 4)
Câu 229. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Nghiệm phương trình 3x−2 =9
A x B x C x D x
Lời giải Chọn C
Ta có 3x−2 = 9 3x−2 =32 − = =x 2 x
Câu 230. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Nghiệm phương trình
3x+ =9
A x=1 B x=2 C x= −2 D x= −1 Lời giải
Ta có 3x+1 = + =9 x log 93 =x
Câu 231. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Nghiệm phương trình 3x+2 =27
A x= −2 B x= −1 C x=2 D x=1 Lời giải
Ta có: 3x+2 =273x+2 =33 + =x 3 =x
Câu 232. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Nghiệm phương trình 3x+2 =27
A x= −2 B x= −1 C x=2 D x=1 Lời giải
Ta có: 3x+2 =273x+2 =33
2
x
+ = =x
Câu 233. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Tập nghiệm bất phương trình 23 3x − 9
: A ( 5;5)− B (−;5) C (5;+) D. (0;5)
Lời giải
Ta có : 3x2−23 9 3x2−2332 x2−23 2 x2 25 − 5 x Câu 234. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Tập nghiệm bất phương trình 2x2−7 4
A (−3;3) B ( )0;3 C (−;3) D (3;+)
Lời giải Ta cóx2− 7 x2 9 − 3 x
Câu 235. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Tập nghiệm bất phương trình
2x − 8
A ( )0; B (−; 2) C (−2; 2) D (2;+ )
Lời giải Ta có 2x2−182x2−123
1
x − x2− 4 − 2 x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −( 2; 2)
(115)A ( )0; B (−; 2) C (−2; 2) D (2;+ ) Lời giải
Ta có 2x2−182x2−123
1
x − x2− 4 − 2 x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −( 2; 2)
16.3 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số)
Câu 237. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q
242 số nguyên y thỏa mãn ( ) ( )
4
log x +y log x+y ?
A 55 B 28 C 29 D 56
Lời giải
Điều kiện
0 ,
x y x y x y
+
+
Khi
( ) ( ) log3( ) ( )log 43
4
log x +y log x+y x + y x y+ x + +y x y
( )log 43 ( )
x x x y x y
− + − + ( )1
Đặt t= + x y t ( )1 viết lại x2− x tlog 43 −t ( )2
Với x nguyên cho trước có không 242 số nguyên y thỏa mãn bất phương trình ( )1
Tương đương với bất phương trình ( )2 có khơng q 242 nghiệm t
Nhận thấy f t( )=tlog 43 −t đồng biến 1;+) nên x2− x 243log 43 −243=781 có 243 nghiệm ngun t1
Do yêu cầu toán tương đương với
781 27, 28,
x − x − x
Mà x nguyên nên x − 27, 26, , 27, 28−
Vậy có tất 28 28 56+ = số nguyên x thỏa yêu cầu toán
Câu 238. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Xét số thực không âm x y thỏa mãn 2x y.4x y
Giá trị nhỏ biểu thức P x2 y2 4x 2y
A 33
8 B
9
8 C
21
4 D
41 Lời giải
Ta có : 2x y.4x y 2 2y 2y− −(3 2x) −3 2x 2 2y 2y −(3 2x).23 2− x ( )* Xét hàm số f t( )=t.2t có f( )t = +2t t.2 ln 2t
Trường hợp : Với ( )*
x ln y
Ta có : P=(x+2) (2+ y+1)2−5 ( )
2
2
3 33
2
2
+ + + − =
Dấu xảy
3
x y
=
=
(116)Trường hợp :
2
x
t 0 f ( )t 0 y= f t( )
( )* 2y −3 2x
2
x
y −
Ta có :
2
2 2
4
2
x
P=x +y + x+ yx + − + x+ − x
2
2 21 41 41
2
4 8
x x x
= − + = − +
dấu xảy
1 x y = =
Câu 239. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Xét số thực không âm x y thỏa mãn 2x y.4x y
Giá trị nhỏ biểu thức P x2 y2 4x 2y
A 33
8 B
9
8 C
21
4 D
41 Lời giải
Ta có : 2x y.4x y 2 2y 2y− −(3 2x) −3 2x ( ) ( )
2 2y y 2x 2− x *
−
Xét hàm số f t( )=t.2t có f( )t = +2t t.2 ln 2t Trường hợp : Với ( )*
2
x y
Ta có : P=(x+2) (2+ y+1)2−5 ( )
2
2
3 33
2
2
+ + + − =
Dấu xảy
3 x y = =
Trường hợp :
x
suy t 0 f( )t 0 hay hàm số y= f t( ) đồng biến nên
( )* 2y −3 2x
2
x
y −
Ta có :
2
2 2
4
2
x
P=x +y + x+ yx + − + x+ − x
2
2 21 41 41
2
4 8
x x x
= − + = − +
dấu xảy
1 x y = =
17 PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGA
17.1 Câu hỏi lý thuyết
(117)A x=10 B x=9 C x=8 D x=7 Lời giải
Chọn B
Ta có
2
log (x 1)− = =3 x + =1 nên
17.2 PT,BPT loga bản, gần (không tham số)
Câu 241. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Nghiệm phương trình log3(x− =1)
A x=8 B x=9 C x=7 D
10
x=
Lời giải
Ta có log3( 1) 1 10
1 10
x x
x x
x x
−
− = =
− = =
.
Câu 242. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Nghiệm phương trình log (2 x− =2)
A x=6 B x=8 C x=11 D x=10 Lời giải
Điều kiện x2
3
log (x− = − =2) x 2 =x 10(thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x=10
Câu 243. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Nghiệm phương trình log3(x−2)=2 A x=11 B x=10 C x=7 D x=8
Lời giải Điều kiện : x− 2 x
Ta có: log3(x−2)= − =2 x 32 =x 11 (Thỏa mãn điều kiện x2 ) Vậy phương trình log3(x−2)=2 có nghiệm x=11
Câu 244. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Nghiệm phương trình log (2 x+ =8) A x=17 B x=24 C x=2 D x=40
Lời giải Chọn B
Ta có log (2 x+ = + =8) x 25 =x 24
Câu 245. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Nghiệm phương trình log2(x+ =9)
A x=41 B x=23 C x=1 D x=16 Lời giải
Chọn B ĐK: x −9
Ta có: log2(x+ = + =9) x 25 =x 23
Câu 246. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Nghiệm phương trình log3(x−2)=2 A x=11 B x=10 C x=7 D x=8
(118)Ta có: log3(x−2)= − =2 x 32 =x 11 (Thỏa mãn điều kiện x2 ) Vậy phương trình log3(x−2)=2 có nghiệm x=11
Câu 247. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Tập nghiệm bất phương trình log 183( −x2)2
A. (−;3 B. (0;3
C. −3;3 D. (− − ; 3 3;+ )
Lời giải Chọn C
Điều kiện: ( )
18−x −0 x ;3 (*)
Khi ta có: ( 2)
3
log 18−x 218−x2 9 − 3 x
Kết hợp với điều kiện (*) ta tập ngiệm bất phương trình cho −3;3 Câu 248. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Tập nghiệm bất phương trình log 133( −x2)2
A (− − ; 2 2 :+) B (−; 2
C (0; D −2; 2
Lời giải Chọn D
Bất phương trình ( )
2
2
3 2
13 13
log 13
13
x x
x
x x
−
−
−
13 13
2
2
x
x x
−
−
−
Vậy, tập nghiệm bất phương trình ( 2)
3
log 13−x 2 −2; 2
Câu 249. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Nghiệm phương trình log2(x+6)=5 là:
A x=4 B x=19 C x=38 D x=26 Lời giải
Chọn D
Điều kiện x+ −6 x
Ta có: log2(x+6)=5log2(x+6)=log 22 (x+6)=32 =x 32 6− =x 26( )TM
Vậy nghiệm phương trình: x=26
Câu 250. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Tập nghiệm bất phương trình log 363( −x2)3 A (− − ; 3 3;+). B (−;3 C −3;3 D (0;3
Lời giải Chọn C
Ta có: log 363( −x2) 3 36−x2 27 −9 x2 − 0 x Câu 251. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Tập nghiệm bất phương trình logx1
A (10;+) B (0;+) C 10;+) D (−;10) Lời giải
(119)logx 1 x 10
Vậy tập nghiệm bất phương trình 10;+)
17.3 Phương pháp đưa số (không tham số)
Câu 252. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Nghiệm phương trình log3(x+ + =1) log3(4x+1) A x=3 B x= −3 C x=4 D x=2
Lời giải Chọn D
Ta có điều kiện:
4
x −
( ) ( )
3
log x+ + =1 log 4x+1 log 33 (x+ =1) log3(4x+1)
3(x+ =1) 4x+1
x=2(nhận)
17.4 PP phân tích thành nhân tử (khơng tham số)
Câu 253. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q
255 số nguyên y thỏa mãn log3(x2+y)log (2 x+y)?
A 80 B 79 C 157 D 158
Lời giải
Điều kiện 2 2
0
x y y x
x y y x
+ −
+ −
Vì x nên x2− x 0, x suy x2 − −x x2 x có điều kiện
y − −x y x
Xét hàm số f y( )=log3(x2+y)−log2(x+y)
Ta có ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
2
ln ln
1
ln
ln ln 3.ln
x y x y
f y
x y
x y x y x y
+ − +
= − =
+
+ + +
Vì xx2 + 0 x y x2+y 0ln 2ln
Suy ln 2(x+y)ln 3(x2+y) f( )y 0
Nhận xét: f (1−x)=log3(x2− + −x 1) log 0,2 x
Giả sử phương trình f y( )=0 có nghiệm, f y( )0 phương trình f y( )=0có nghiệm y=m
(120)Nên bất phương trình f y( ) − 0 x y m để bất phương trình có khơng q 255
giá trị y m255−x nên f (256−x)0log3(x2− +x 256)−log 2562 0
2
256
x x
− + −78,9 x 79,9
Vì x nên − 78 x 79 có 158 giá trị x thỏa mãn
Câu 254. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q
255 số nguyên y thỏa mãn log3(x2+y)log (2 x+y)?
A 80 B 79 C 157 D 158
Lời giải
Điều kiện 2 2
0
x y y x
x y y x
+ −
+ −
Vì x nên x2− x 0, x suy x2 − −x x2 x có điều kiện
y − −x y x
Xét hàm số f y( )=log3(x2+y)−log2(x+y)
Ta có ( )
( ) ( ) (( ) )( ( ) )
2
2
ln ln
1
ln
ln ln 3.ln
x y x y
f y
x y
x y x y x y
+ − +
= − =
+
+ + +
Vì xx2 + 0 x y x2+y 0ln 2ln
Suy ln 2(x+y)ln 3(x2+y) f( )y 0
Nhận xét: f (1−x)=log3(x2− + −x 1) log 0,2 x
Giả sử phương trình f y( )=0 có nghiệm, f y( )0 phương trình f y( )=0có nghiệm y=m
Có bảng biến thiên:
Nên bất phương trình f y( ) − 0 x y m để bất phương trình có khơng q 255
giá trị y m255−x nên f (256−x)0log3(x2− +x 256)−log 2562 0
2
256
x x
− + −78,9 x 79,9
(121)17.5 Phương pháp hàm số, đánh giá (không tham số)
Câu 255. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q 728
số nguyên y thỏa mãn log4(x2 +y)log (3 x+ y)?
A. 59 B. 58 C. 116 D. 115
Lời giải Với x ta có
x x
Xét hàm số ( )
3
( ) log ( ) log
f y = x+y − x +y
Tập xác định D= − +( x; ) (do y − −x y x2) ( )
1
'( ) 0,
( ) ln ln
f y x D
x y x y
= −
+ + (do
2
0
x + + y x y ,ln 4ln 3)
f tăng D
Ta có f(− + =x 1) log (3 x− + −x 1) log4(x2− + x 1) 0 Có khơng q 728 số ngun y thỏa mãn f y( )0
( )
3
( 729) log 729 log 729
f x x x
− + − − +
2
729
x x
− + −
3367
x − −x
57, x 58,
−
Mà x nên x − 57, 56, ,58−
Vậy có 58 ( 57) 116− − + = số nguyên x thỏa
Câu 256. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Có số nguyên x cho ứng với x có khơng q
127 số nguyên y thỏa mãn ( ) ( )
3
log x +y log x+y ?
A 89 B 46 C 45 D 90
Lời giải
Cách 1:
Với x nguyên tùy ý, ta có x2 x
Xét hàm số f y( )=log2(x+y)−log3(x2+y)
Tập xác định : D= − + ( x; ) ( 2)
y − −x y x
( ) ( ) ( ) (( ))( () )
2
2
ln ln
1
0
ln ln ln ln
x y x y
f y
x y x y x y x y
+ − +
= − =
+ + + + y D
( )
0; ln ln
x + + y x y f y( ) đồng biến D
Ta có f (− + = −x 1) log3(x2− + x 1) (do x2− + x 1) Có không 127 số nguyên y thỏa mãn f y( )0
( ) ( )
2
128 log 128 log 128
f x x x
− + − − +
( )
2
1 2
128 44,87; 45,87
x x x x x x x
− + −
44; 43; ; 45
x
(122)Đặt t= + x y
(1) log (3 x2− + x t) log2t g t( )=log2t−log (3 x2− + x t) (2) Ta có
( )
1
'( )
ln ln
g t
t x x t
= −
− + với t1 Do g t( ) đồng biến 1;+)
Vì x ngun có khơng q 127 giá trị t * thỏa mãn (2) nên ta có
(128)
g log 128 log2 − 3(x2− +x 128)0
128
x − +x −44,8 x 45,8 Vậy có 90 giá trị thoả mãn YCBT
Nhận xét: Đây câu hay đề năm Trong trình bày tự luận, thí sinh mắc sai lầm từ đầu đặt t , hàm g t( ) khơng liên tục tập , khơng có đạo hàm
17.6 Phương trình loga có chứa tham số
Câu 257. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho phương trình log9x2−log 33( x− = −1) log3m với m tham số thực Có tất giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm ?
A. 2. B. C. D. vô số
Lời giải Chọn A.
Điều kiện
3
x m0
Phương trình tương đương log3x log 33( x 1) log3
m
− − =
3
x x
m
x m x
−
= =
−
Xét hàm số f x( ) 3x x
−
= với
3
x ( )
1
f x
x
=
Bảng biến thiên
Vậy 0 m phương trình có nghiệm
Do có giá trị ngun để phương trình có nghiệm
17.7 Phương trình,bất phương trình tổ hợp mũ loga có tham số
Câu 258. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho phương trình (4 log22x+log2x−5) 7x− =m (m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt?
A 49 B 47 C Vô số D 48
(123)Lời giải Chọn B
Điều kiện: 0
7x 7x
x x m m −
* Trường hợp m0 (4 log22x+log2x−5) 7x− = m log22x+log2x− =5 (log2x log)( 2x 5)
− + =
2 log log x x = = − 2 x x − = = Trường hợp không thỏa điều kiện m nguyên dương
* Trường hợp m0, ta có
7x x m
x log7m m1 x0 0 m
Khi ( )
2
4 log x+log x−5 7x− =m
2
2
4 log log
7x
x x m + − = − = 2 log x x x m − = = =
+ Xét 0 m nghiệm x=log7m0 nên trường hợp phương trình cho có nghiệm
5
2;
x= x= − thỏa mãn điều kiện
+ Xét m1, điều kiện phương trình xlog7m Vì
5
22− nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt
5
2log m2−
4
2
7 m
−
Trường hợp m3; 4;5; ; 48, có 46 giá trị nguyên dương m Tóm lại có 47 giá trị nguyên dương m thỏa mãn
Chọn phương án B.
18 NGUYÊN HÀM
18.1 Định nghĩa, tính chất nguyên hàm
Câu 259. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Hàm số ( )F x nguyên hàm hàm số ( )f x khoảng K A F x( )= −f x( ), x K B f x( )=F x( ), x K
C F x( )= f x( ), x K D f x( )= −F x( ), x K Lời giải
Chọn B
(124)Khi f ( )2x dx
A 2ex+2x2+C B 1 2
x
e +x +C C 1 2
2 x
e + x +C D e2x+4x2+C Lời giải
Chọn C
Ta có: F x( )=ex+x2 nguyên hàm hàm số f x( )
( ) ( ) ( ) 2
2 2 2
2 2
x
f x dx f x d x F x C e x C
= = + = + +
18.2 Nguyên hàm hs bản, gần
Câu 261. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Họ tất nguyên hàm hàm số f x( )=2x+5 là: A x2+5x C+ B 2x2+5x C+ C 2x2+C D x2+C
Lời giải Chọn A.
Ta có: (2x+5 d) x=x2+5x C+ Câu 262. [Đề-BGD-2020-Mã-101] x x2d
A 2x+C D 1
3x +C C
3
x +C D
3
3x +C
Lời giải
Ta có 2d
3
x x= x +C
Câu 263. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] x dx3
A 4x4 C B 3x2 C C x4 C D 1 4x C Lời giải
Chọn D
Ta có
4
x dx= x +C
Câu 264. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] x dx4 A 1
5x +C B
3
4x +C C x5 +C D
5x +C Lời giải
(125)Ta có
d
x x= x +C
Câu 265. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] x dx5 A
5x +C B 1
6x +C C
6
x +C D
6x +C Lời giải
Ta có:
6 C
x dx= x +
nên đáp án B
Câu 266. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] 5x dx4 A 1
5x +C B
5
x +C C 5x5+C D 20x3+C
Lời giải Chọn B
Ta có 5x dx4 =x5+C
Câu 267. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]
6x dx
A 6x6+C B x6+C C 1
6x +C D
4 30x +C Lời giải
Chọn B
Ta có:
6x dx=x +C
Câu 268. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]
2
3 dx x
bằng
A.3x3+C B.6x C+ C.
3x +C D
3
x +C Lời giải
Chọn D Ta có:
3
2
3 d
3
x
x x= + =C x +C
Câu 269. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] x dx
A
5x +C B 1
6x +C C
6
x +C D
6x +C Lời giải
Ta có:
6 C
x dx= x +
nên đáp án B
Câu 270. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Biết ( ) x
F x =e −x nguyên hàm hàm số f x( ) Khi f ( )2x dx
A 1 2 2
x
e − x +C B e2x−4x2+C C 2ex−2x2+C D 1 2
x
e −x +C Lời giải
Chọn A
Ta có f ( )2x dx ( ) ( )2 d
2 f x x
= ( )2
2F x C
= + 2
2
x
e x C
(126)18.3 Nguyên hàm phân thức
Câu 271. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Họ tất nguyên hàm hàm số ( )
( )2
2 1 x f x x − =
+ khoảng
(− +1; )
A 2 ln( 1)
x C
x
+ + +
+ B ( )
3
2 ln
1
x C
x
+ + +
+
C 2 ln( 1)
x C
x
+ − +
+ D ( )
3
2 ln
1 x C x + − + + Lời giải Chọn B Ta có
( )2 (( ))2 ( ) ( )2 ( )
2
2 3
2 ln
1
1 1
x x
dx dx dx dx x C
x x
x x x
+ −
− = = + − = + + +
+ +
+ + +
18.4 PP nguyên hàm phần
Câu 272. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số ( ) = + x f x x
Họ tất nguyên hàm hàm số g x( ) (= x+1) ( )f x
A 4 + + + x C x
B
2 4 − + + x C x
C
2 2 4 + − + + x x C x
D
2 2 4 + + + + x x C x Lời giải
( )d = ( +1) ( ) d
g x x x f x x Đặt ( )
( ) ( )
1 d d
d d = + = = =
u x u x
v f x
v f x x
( )d ( 1) ( ) ( )d ( 1) ( ) 2 d
= + − = + −
+
g x x x f x f x x x f x x x
x Tính d +
x x
x
, đặt 2
4 d d
= + = + =
t x t x t t x x
2
2 d d 1d
4
= = = + = + +
+
x x t t t t C x C
t x
Khi đó: ( ) ( )
2
4
d
4
−
= + − + + = +
+ +
g x x x x x C x C
x x
18.5 Nguyên hàm kết hợp đổi biến phần hàm xđ
Câu 273. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hàm số ( ) 2 x f x x =
+ Họ tất nguyên hàm hàm số
( ) ( 1) ( )'
(127)A 2 2 2 x x C x + − +
+ B
2 x C x − +
+ C
2 2 2 x x C x + + +
+ D
2 2 x C x + + + Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ' 1 2 1 2 1 2 2
g x dx x f x dx
x f x f x dx
x x x
dx x x d x x x x x x x x C x x C x = + = + − + = − + + + + = − + + + = − + + + − = + +
Câu 274. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hàm số ( ) x f x x =
+ Họ tất nguyên hàm hàm số g x( ) (= x+1) ( )f x
A 2 3 x x C x + − +
+ B
3 x C x + +
+ C
2 2 3 x x C x + + +
+ D
3 x C x − + + Lời giải Ta có g x( )dx=(x+1) ( )f x dx
Đặt
( ) ( )
1 d d
d d
u x u x
v f x x v f x
= + = = =
( )d ( 1) ( ) ( )d ( 1) ( ) 2 d
x
g x x x f x f x x x f x x
x = + − = + − + Tính d x x x +
Đặt 2
3 d d
t= x + =t x + t t=x x
2 d d d
3
x t
x t t t C x C
t x
= = = + = + +
+
Vậy ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
1 3
3
x x x
g x dx x f x x C x C C
x x
+ −
= + − + + = − + + = +
+ +
18.6 Nguyên hàm liên quan đến hàm ẩn
Câu 275. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Biết F x( )= −ex 2x2 nguyên hàm hàm số f x( ) Khi f ( )2x dx
A 2ex−4x2+C B 1 2
4
2
x
e − x +C C e2x −8x2+C D 1 2
2
2
x
(128)Chọn B
Ta có: F x( )= −ex 2x2 nguyên hàm hàm số f x( ) Suy ra:
( ) ( ) ( 2) ( )
2
x x x
f x =F x = e − x = −e x f x =e − x
( ) ( ) 2
2
2
x x
f x dx e x dx e x C
= − = − +
19 TÍCH PHÂN
19.1 Kiểm tra định nghĩa, tính chất tích phân
Câu 276. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Biết ( )
1
4
f x dx=
Giá trị ( )
5
1
3f x dx
A 7 B 4
3 C 64 D 12
Lời giải
Ta có : ( ) ( )
5
1
3f x dx=3 f x dx=3.4 12=
Câu 277. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Biết ( )
1
d
f x x=
Giá trị ( )
2
1
3f x dx
A 5. B 6. C 2
3 D 8
Lời giải
Ta có ( ) ( )
2
1
3f x dx=3 f x dx=3.2=6
Câu 278. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Biết ( )
2
d
f x x=
Giá trị ( )
3
2
2f x dx
A 36 B 3 C 12 D 8
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
3
2
2f x dx=2 f x dx= =2 12
Câu 279. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Biết ( )
2
4
f x dx=
( )
3
2
1
g x dx=
Khi đó:
( ) ( )
2
f x −g x dx
bằng:
A −3 B 3 C 4 D 5
(129)Chọn B
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
4
f x −g x dx= f x dx− g x dx= − =
Câu 280. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Biết ( )
2
3
f x dx=
( )
3
2
1
g x dx=
Khi ( ) ( )
3
2
f x +g x dx
bằng
A 4 B 2 C −2 D 3
Lời giải Chọn A
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
4
f x +g x dx= f x dx+ g x dx=
Câu 281. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Biết
( )
1
d
f x x=
( ) d
g x x=
Khi ( ) ( )
2
1
d
f x −g x x
bằng?
A 6 B 1 C 5 D −1
Lời giải Chọn B
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1
d d d
f x −g x x= f x x− g x x= − =
Câu 282. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Biết ( )
2
d
f x x=
Giá trị ( )
3
2
2f x dx
A 36 B 3 C 12 D 8
Lời giải
Ta có: ( ) ( )
3
2
2f x dx=2 f x dx= =2 12
Câu 283. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Biết F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x( )
Giá trị ( )
3
1
1+ f x dx
A 10 B 8 C 26
3 D
32 Lời giải
Do F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x( ) nên f x( )=(F x( )) =( )x2 =2x
Suy ( ) ( ) ( )
3
3
1
1
1+ f x dx= 2+ x dx= x+x =10
Câu 284. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Biết ( )
0
2
f x + x dx=2
Khi ( )
1
0
f x dx
:
A 1 B 4 C 2 D 0
Lời giải Chọn A
(130)( ) ( )
0 0
2
f x + x dx=2 f x dx+ xdx=2
( ) 0
0
2
f x dx x
= − ( )
0
2
f x dx
= −
( )
0
1
f x dx
=
Câu 285. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Biết ( )
0
2
f x + x dx=
Khi ( )
1
0
d
f x x
A 1 B 5 C 3 D 2
Lời giải Chọn D
Ta có ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1
2 3
0
x f x + x dx= f x dx+ xdx= f x dx+ =
Suy ( ) ( )
1
2
0
1
3
d
0
f x x= −x = − − =
Câu 286. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Biết F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x( )
Giá trị ( )
3
1
1+ f x dx
A 10 B 8 C 26
3 D
32 Lời giải
Do F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x( ) nên f x( )=(F x( ))=( )x2 =2x
Suy ( ) ( ) ( )
3
3
1
1
1+ f x dx= 2+ x dx= x+x =10
19.2 Tích phân bản(a), kết hợp tính chất (b)
Câu 287. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Biết ( )
0
d
f x x= −
( )
1
0
d
g x x=
, ( ) ( )
1
0
d
f x −g x x
A −5 B 5 C −1 D 1
Lời giải Chọn A ( ) ( ) d
f x −g x x
( ) ( )
0
d d
f x x g x x
= − = − − = −2
Câu 288. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Biết ( ) =
1
3
f x dx Giá trị ( )
1
2f x dx
A 5 B 9 C 6 D 3
2
(131)Ta có: ( ) = ( ) = =
3
1
2f x dx f x dx 2.3
Câu 289. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Biết F x( )=x2 nguyên hàm hàm số f x( ) Giá trị + ( )
2
1
2 f x dxbằng
A 5 B.3 C.13
3 D
7
Lời giải
( )
F x =x nguyên hàm hàm số f x( )
Khi + ( ) = + ( ) =( + ) =
2 2
2
1 1
2
2 f x dx 2dx f x dx 2x x
Câu 290. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Biết F x( )=x3 nguyên hàm hàm số f x( )
Giá trị ( )
2
1
2+ f x dx
A 23
4 B 7 C 9 D
15
Lời giải
Ta có: ( ) ( ) ( )
2
3
1
2
2 d 2 12
1
f x x x F x x x
+ = + = + = − =
Câu 291. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Biết F x( )=x3 nguyên hàm hàm số f x( )
Giá trị
3
1
1+ f x( ) dx
A 20 B 22 C 26 D 28
Lời giải
Theo F x( )=x3 nguyên hàm hàm số f x( ) nên ta có
( ) ( )
3
3
1
1+ f x dx= x+x =30 2− =28
Câu 292. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Biết ( )
0f x +2xdx=4
Khi ( )
0 f x dx
bằng
A 3 B 2 C 6 D 4
Lời giải Chọn A
( ) ( ) ( )
1 1
0f x +2xdx= 4 f x dx+ 02 dx x= 4 f x dx= − =4
Câu 293. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Nếu ( )
1
0
d
f x x=
( )
1
0
2f x xd
A 16 B 4 C 2 D 8
(132)( ) ( )
0
2f x xd =2 f x xd =2.4 8=
Câu 294. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Diện tích S hình phẳng giới hạn đường
2 , 1,
y x y x x tính cơng thức đây?
A
1
0
(2 1)
S x dx B
1
0
(2 1)
S x dx
C
1
2
0
(2 1)
S x dx D
1
0
(2 1)
S x dx
Lời giải Chọn D
Diện tích cần tìm là:
1
2
0
2 (2 1)
S x dx x dx
Câu 295. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Cho hàm số f x( ) có f ( )0 =0 f '( )x =cos cos ,x x x Khi
đó ( )
0
f x dx A 1042
225 B
208
225 C
242
225 D
149 225 Lời giải
Chọn C
Ta có f '( )x =cos cos ,x x x nên f x( ) nguyên hàm f '( )x
Có '( ) cos cos 22 cos cos cos cos cos
2 2
x x x x
f x dx= x xdx= x + dx= dx+ dx
( )
1 1 1
cos cos cos sin sin sin
2 xdx x x dx x 20 x 12 x C
= + + = + + +
Suy ( ) 1sin sin sin ,
2 20 12
f x = x+ x+ x+C x Mà f ( )0 = =0 C
Do ( ) 1sin sin sin ,
2 20 12
f x = x+ x+ x x Khi đó:
( )
0 0
1 1 1 242
sin sin sin cos cos cos
2 20 12 100 36 225
f x dx x x x dx x x x
= + + = − − − =
19.3 PP tích phân phần-hàm xđ
Câu 296. [ĐỀ BGD 2020-MH2]Xét 2
0 x
x e dx
, đặt u=x2
2
0 x
x e dx
A
2
0
2 u
e du
B
4
0
2 u
e du
C
2 u e du
D
(133)Đặt
2
u=x →du= xdx
Với x= → =0 u x= → =2 u
Ta
2 0 x u
x e dx= e du
19.4 Kết hợp đổi biến phần tính tích phân-hàm xđ
Câu 297. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục Biết f ( )4 =1 ( )
1
0
4 d
xf x x=
, ( )
4
0
d
x f x x
A 31
2 B −16 C 8 D 14
Lời giải Chọn B
Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4
4
2
0
0 0
d d 16.1 4 d 16 2.16.1 16
x f x x=x f x − xf x x= − tf t t = − = −
Cách 2: Đặt t=4x =dt 4dx Đổi cận:
Khi đó: ( ) ( ) ( )
1 4
0 0
1
4 d d d
16 16
xf x x= tf t t = xf x x
Xét: ( )
4
0
' d
I =x f x x: Đặt
( ) ( ) ( )
2 d 2
' d
d ' d
u xdx u x
v f x x f x v f x x
= = = = =
( ) ( ) ( )
2
0
4
2 d 2.16 16
0
I x f x xf x x f
= − = − = −
Câu 298. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hàm số ( ) x f x x =
+ Họ tất nguyên hàm hàm số g x( ) (= x+1) ( )f x
A 2 2 x x C x + − +
+ B
1 x C x + +
+ C
2 2 1 x x C x + + +
+ D
1 x C x − + + Lời giải Ta có g x( )dx=(x+1) ( )f x dx
Đặt
( )
1
d ' d
u x
v f x x
= + =
( )
du dx
v f x
= =
Khi g x( )dx= +(x 1) ( )f x − f x( )dx ( ) ( )
2
2 2
d
1 d
2
1 1
x
x x x x x x
x x x x
+ + + = − = − = + + + + 2 2 1 1
x x x
x C C
x x
+ −
= − + + = +
(134)vào vi phân mà không cần đặt
( )
1
d d
u x
v f x x = +
=
Câu 299. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hàm số ( ) = + x f x x
Họ tất nguyên hàm hàm số g x( ) (= x+1) ( )f x
A 4 + + + x C x
B
2 4 − + + x C x
C
2 2 4 + − + + x x C x
D
2 2 4 + + + + x x C x Lời giải
( )d = ( +1) ( ) d
g x x x f x x Đặt ( )
( ) ( )
1 d d
d d = + = = =
u x u x
v f x
v f x x
( )d ( 1) ( ) ( )d ( 1) ( ) 2 d
= + − = + −
+
g x x x f x f x x x f x x x
x Tính d +
x x
x
, đặt 2
4 d d
= + = + =
t x t x t t x x
2
2 d d 1d
4
= = = + = + +
+
x x t t t t C x C
t x
Khi đó: ( ) ( )
2
4
d
4
−
= + − + + = +
+ +
g x x x x x C x C
x x
19.5 Tích phân liên quan đến phương trình hàm ẩn
Câu 300. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) Biết f ( )0 =4 f( )x =2 cos2 x+1, x ,
khi ( )
4
0
f x dx
A
2 16
+
B
2 14 16
+
C
2
16
16
+ +
D
2 16 16 16 + + Lời giải Chọn C
Ta có ( ) ( ) (2 cos2 1) (cos 2) 1sin 2
2
f x = f x dx= x+ dx= x+ dx= x+ x C+
( )0 4
f = =C
Vậy ( )
2
4 4
2
0 0
1 16
sin 2 cos
2 16
f x dx x x dx x x x
(135)20 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
20.1 Xác định cơng thức tính diện tích, thể tích dựa vào đồ thị
Câu 301. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hàm số f x( ) liên tục Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= f x( ), y=0, x= −1 x=4 (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng?
A ( ) ( )
1
1
d d
S f x x f x x
−
= − + B ( ) ( )
1
1
d d
S f x x f x x
−
= −
C ( ) ( )
1
1
d d
S f x x f x x
−
= + D ( ) ( )
1
1
d d
S f x x f x x
−
= − −
Lời giải Chọn B.
Ta có diện tích hình phẳng cần tìm ( )
4
1
d
S f x x
−
= ( ) ( )
1
d d
f x x f x x
−
= +
( ) ( )
1
1
d d
f x x f x x
−
= −
20.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm xác định
Câu 302. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y= x2 −4
=2 −4
y x
A 36 B 4
3 C.
4
3 D 36
Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm:
( )
=
− = − − =
=
2
4
2 f x
x
x x x x
x
O
-1
1
4
y
(136)( ) ( ) ( ) ( )
= = − = = − = − =
0 2 2
2
3
3
S f x dx f x dx f x x x dx x x
Câu 303. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2−1 y= −x
bằng ? A
6
B 13
6 C
13
D 1
6
Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là:
2
1
1
x
x x x x
x = − = − − = =
Diện tích hình phẳng là:
( )
1 2
0
1
S = x −x dx= x −x dx x x
= −
=
Câu 304. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y=x2−2 y = 3x−2
A 9
2 B
9
C 125
6 D
125
Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường
2
2
3 x x x x = − = − =
Diện tích hình phẳng
3
3
2
0 0
3
(3 )d
2
x x
x x x
= − = − =
Câu 305. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y=x2−3
3
= −
y x
A 125
3
B 1
6 C
125
6 D 6
Lời giải
2
3
1 = − = − − = = x
x x x x
x
( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1
3 d d d
0
3
= − − − = − = − = − =
x x
S x x x x x x x x x
Câu 306. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] [ Mức độ 2] Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường
3
= −
y x y= −x
A 125
3
B 1
6 C
125
6 D 6
Lời giải
2
3
1 = − = − − = = x
x x x x
(137)( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1
3 d d d
0
3
= − − − = − = − = − =
x x
S x x x x x x x x x
Câu 307. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho đường thẳng y=x va parabol
2
y= x +a (a tham số thực dương) Gọi S S1, diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi
1
S =S a thuộc khoảng đây? A 1;
7
B
1 0;
3
C
1 ;
D
2 ; Lời giải Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y=x
2
y= x +a:
2
1
0
2
x= x + a x − + =x a (có = −1 2a)
Theo hình, ta có:
2
a
Gọi x x1, 2(0 x1 x2) hai hoành độ giao điểm: x1= −1 2a ,− x2 = +1 2a 1− ( )
Khi ( ) 1 2 2
3 2
0
2
2
2
2 2
1
2
1 1
6 2
0
2
x x
x
x x
x
S S x a x dx x x a dx
x ax x x x ax
x x
ax x x a
= + − = − − + − = − − − − = − − =
Từ ( ) ( )
2
3
1 , 2a 4a
8
16a 6a
(138)20.3 Thể tích giới hạn đồ thị (tròn xoay) hàm xác định
Câu 308. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Gọi D hình phẳng giới hạn đường e x
y= , y=0,
0
x= x=1 Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: A
1
0 e dx x
B
1
0 e dx x
C
1
0 e dx x
D
1
0 e dx x
Lời giải Chọn C
Ta tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox bằng: ( )
1
2
3
0
e x dx e dx x
=
Câu 309. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Gọi D hình phẳng giới hạn đường y=e2x,y=0,x=0 x=1 Thể tích khối trịn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox
A
0 d x e x
B
0 d x e x
C
0 d x e x
D
0 d x e x Lời giải Chọn A
Thể tích khối tròn xoay tạo thành kho quay D quanh Ox 1( )2
0 d d
x x
V = e x= e x
Câu 310. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102]Gọi D hình phẳng giới hạn đường y=e4x,y=0,x=0 x=1 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox
A d x e x
B
1 d x e x
C
1 d x e x
D
1 d x e x Lời giải Chọn B
Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục Ox là:
( )
1
2
4
0
d d
x x
(139)21 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
21.1 Các yếu tố thuộc tính số phức
Câu 311. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Số phức liên hợp số phức 4− i
A − −3 4i B − +3 4i C 3 4+ i D − +4 3i Lời giải
Chọn C
Theo tính chất z= +a bi = −z a bi
Theo để 4− i, suy số phức liên hợp 4+ i
Câu 312. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Số phức liên hợp số phức z= − +3 5i
A. z = − −3 5i B z = +3 5i C z = − +3 5i D z = −3 5i Lời giải
Số phức z= +a bi có số phức liên hợp z = −a bi
3 5
z= − + = − −i z i
Câu 313. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Trên mặt phẳng tọa độ, biết M(−3;1) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A 1 B −3 C −1 D 3
Lời giải
Ta có: M(−3;1) điểm biển diễn số phức z = − +z i Vậy: Phần thực số phức z −3
Câu 314. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Trên mặt phẳng tọa độ, biết M(−1;3) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A 3 B −1 C −3 D 1 Lời giải
M(−1;3) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z −1
Câu 315. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Số phức liên hợp số phức z= − +2 5i
A z= −2 5i B z= +2 5i C z= − +2 5i D z= − −2 5i
Lời giải Ta có z= − −2 5i
Câu 316. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Số phức liên hợp số phức z= −2 5i
A z = +2 5i B z = − +2 5i C z = −2 5i D z = − −2 5i Lời giải
Ta có: z= − = +2 5i z 5i
Câu 317. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trên mặt phẳng tọa độ, biết M(−2;1) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A −2 B 2 C 1 D −1
Lời giải Chọn A
(140)Câu 318. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số phức liên hợp số phức z= −3 5i
A z = − −3 5i B z = +3 5i C z = − +3 5i D z = −3 5i Lời giải
Số phức liên hợp z= −3 5i z = +3 5i
Câu 319. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trên mặt phẳng tọa độ, biết điểm M(−1; 2) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A. B. C. 2− D. 1−
Lời giải
Điểm M(−1; 2) điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i nên phần thực a= −1
Câu 320. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= − +3 ?i :
A N(3; 4) B M(4;3) C P( 3; 4)− D Q(4; 3)− Lời giải
Chọn C
Ta có z= − +3 4i có phần thực 3− , phần ảo P( 3; 4)− biểu diễn số phứcz
Câu 321. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Phần thực số phức z= − −3 4i
A 4 B −3 C 3 D −4
Lời giải Chọn B
Phần thực số phức z= − −3 4i A C
Câu 322. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Phần thực số phức z= −3 4i
A 3 B 4 C −3 D −4
Lời giải Ta có phần thực số phức z= −3 4i Câu 323. Phần thực số phức z= − −5 4i
A 5 B 4 C −4 D −5
Lời giải Chọn D
Số phức z= − −5 4i có phần thực −5
Câu 324. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Số phức liên hợp số phức z= −3 5i
A z = − −3 5i B z = +3 5i C z = − +3 5i D z = −3 5i Lời giải
Số phức liên hợp z= −3 5i z = +3 5i
Câu 325. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trên mặt phẳng tọa độ, biết điểm M(−1; 2) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z
A. B. C. 2− D. 1−
Lời giải
(141)22 CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 22.1 Thực phép toán số phức
Câu 326. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hai số phức z1= −3 2ivà z2 = +2 i Số phức z1+z2bằng A 5+i B − +5 i C 5−i D − −5 i
Lời giải Ta có: z1= −3 ;i z2 = +2 i
( ) ( )
+z1 z2 = 2+ + − +2 i= −5 i
Câu 327. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hai số phức z1= +3 2i z2 = −2 i Số phức z1+z2 A 5−i B 5+i C − −5 i D − +5 i
Lời giải
Người giải: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Áp dụng phép cộng số phức ta có z1+ = +z2 inên chọn B.
Câu 328. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hai số phức z1 = −1 2i z2 = +2 i Số phức z1+z2 A 3+i B − −3 i C 3−i D − +3 i
Lời giải Ta có: z1+ = −z2 (1 2i) (+ + = + + − + = −2 i) (1 2) ( 2i i) i
Câu 329. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hai số phức z1= −1 3i z2 = +3 i Số phức z1+z2 A 4 2− i B − +4 2i C 4 2+ i D − −4 2i
Lời giải Ta có z1+ = − + + = −z2 3i i 2i
Vậy z1+ = −z2 2i
Câu 330. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho số phức z= −1 2i, số phức (2 3+ i z)
A 4 7− i B − +4 7i C 8+i D − +8 i Lời giải
Chọn C
Ta có: (2 3+ i z) =(2 3+ i)(1 2+ i)= − +4 7i
Câu 331. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hai số phức z1 = +1 2i z2 = −4 i Số phức z1−z2 A 3 3+ i B − −3 3i C − +3 3i D 3 3− i
Lời giải Chọn C
Ta có: z1−z2 = +(1 2i) (− 4− = − +i) 3i
Câu 332. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hai số phức z1= −1 3i z2 = +3 i Số phức z1−z2 bằng A − −2 4i B 2 4− i C − +2 4i D 2 4+ i
Lời giải Chọn A
Ta có z1− = −z2 (1 3i) (− + = − − − = − −3 i) 3i i 4i
(142)Lời giải
Ta có z1+ = − + + = −z2 3i i 2i Vậy z1+ = −z2 2i
Câu 334. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho số phức z= −2 i, số phức (2 3− i z) A − +1 8i B − +7 4i C 7 4− i D 1 8+ i
Lời giải Chọn C
Ta có: (2 3− i z) =(2 3− i)(2+ = −i) 4i
Câu 335. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho số phức z= − +2 3i, số phức ( )1+i z A. − −5 i B. − +1 5i C. 5− i D. 5−i
Lời giải Chọn C
Ta có z= − +2 3i z = − −2 3i Do (1+i z) = +(1 i) ( − −2 3i)= −1 5i
Câu 336. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hai số phức z1= +2 i z2 = +1 3i Phần thực số phức z1+z2
bằng
A 1 B 3 C 4 D −2
Lời giải Chọn B
Ta có z1+ = +z2 4i
Phần thực số phức z1+z2
22.2 Xác định yếu tố số phức (phần thực, ảo, mô đun, liên hợp,…) qua phép toán
Câu 337. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hai số phức z1 = +3 2i z2 = −1 i Số phức z1−z2 A 2 3− i B − +2 3i C − −2 3i D 2 3+ i
Lời giải Chọn D
Ta có: z1−z2 = + − −3 2i ( )1 i = +2 3i
Câu 338. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hai số phức z= +1 2i w= +3 i Môđun số phức z w
A 5 B 26 C 26 D 50
Lời giải
Ta có w= −3 i nên z w= +5 5i Do z w = 52+52 =5
Câu 339. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hai số phức z= +2 2i w= +2 i Mô đun số phức wz
bằng
(143)Lời giải w= + 2 i w= −2 i
( )( )
w 2
z = + i − = +i i Vậy wz = +6 2i =2 10
Câu 340. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hai số phức z= +4 2i w= +1 i Mođun số phức z w
bằng
A 2 B 8 C 2 10 D 40
Lời giải Ta có z w = +(4 1i) ( )− = − + + = −i 4i 2i 2i Suy z w = 62+ −( )2 =2 10
Câu 341. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hai số phức z= +1 3i w= +1 i Môđun số phức z w
bằng
A 2 B 2 C 20 D 8
Lời giải Ta có w= + = −1 i w i
( )( )
z w= + i − = +i i 2
2
z w = + =
Câu 342. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hai số phức z= +1 3i w= +1 i Môđun số phức z w
bằng
A 2 B 2 C 20 D 8
Lời giải Ta có w= + = −1 i w i
( )( )
z w= + i − = +i i 2
2
z w = + =
Câu 343. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Số phức liên hợp số phức z= +2 i
A z = − +2 i B z = − −2 i C z = −2 i D z = +2 i
Lời giải Chọn C
Số phức liên hợp số phức z= +2 i z = −2 i
Câu 344. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hai số phức z1 i z, 2 i.Phần ảo số phức z z1 2bằng
A 4 B 4i C D i
Lời giải Chọn A
(144)Câu 345. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho số phức z thỏa mãn 3(z + −i) (2−i z) = +3 10i Mô đun z
bằng
A 3 B 5 C D
Lời giải Chọn C
Cách 1: Dùng máy tính cầm tay
2
az bz c c a bc z
a b
+ =
− =
−
( ) ( ) ( )
3 z + −i 2−i z= +3 10i − −2 i z+3z = +3 7i
2
z= − i z =
Cách 2: Gọi z z = +x yi x y( , ) = −z x yi
Từ đề bài, ta có phương trình: ( ) ( 3) 10
5
x y x
x y x y i i
x y y
− = =
− + − + = +
− = = −
2
(145)23 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 23.1 Câu hỏi lý thuyết, biểu diễn hình học số phức
Câu 346. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức z= −1 2i?
A Q( )1; B M( )2;1 C P(−2;1) D N(1; 2− ) Lời giải
Chọn D
Điểm biểu diễn số phức z= −1 2i điểm N(1; 2− )
Câu 347. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức z= −3 2i ?
A P(−3; 2) B Q(2; 3− ) C N(3; 2− ) D M(−2;3) Lời giải
Chọn C
Ta có: z= + a bi N a b( ); điểm biểu diễn số phức z
z= − i N(3; 2− )
Câu 348. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i điểm đây?
A Q( )1; B P(−1; 2) C N(1; 2− ) D M(− −1; 2) Lời giải
Chọn B
Điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i điểm P(−1; 2)
Câu 349. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hai số phức z1= −1 i z2 = +1 2i Trên mặt phẳng Oxy, điểm biểu diễn số phức 3z1+z2có tọa độ
A (4; 1− ) B (−1; 4) C ( )4;1 D ( )1; Lời giải
Chọn A
Ta có 3z1+ =z2 3(1− + +i) )i = −4 i
23.2 Tập hợp điểm biểu diễn đường trịn, hình trịn
Câu 350. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Xét số phức zthỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,
tập hợp điểm biểu diễn số phức
1
iz w
z + =
+ đường trịn có bán kính
A. 34 B. 26 C. 34 D. 26
Lời giải
Ta có w 1( ) w ( w) w
1 w
iz
w z iz i z z
z i
+ −
= + = + − = − =
+ − (do w=ikhông thỏa
mãn)
Thay w
w
z i
− =
(146)( )
2 w w *
w i
i− = − = − Đặt w= +x yi, ta được:
( ) ( )2 2 ( )2 2
* x−4 +y =2x + −1 y x +y +8x−4y−14=0 Đây đường trịn có Tâm I(−4; 2), bán kính R= 34 Chọn đáp án A
24 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
24.1 Tính toán biểu thức nghiệm
Câu 351. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z2– 6z+10 0= Giá
trị 2
1
z +z
A. 16 B. 56 C. 20 D. 26
Lời giải Chọn A.
Phương trình – 6 10 0
z z+ = có hai nghiệm phức z1= +3 i z2 = −3 i
Khi đó: 2 2 ( ) (2 )2
1 3 16
z +z = +i + −i =
Câu 352. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
6 13
z − z+ = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn 1−z0 là:
A M(−2; 2) B Q(4; 2− ) C N( )4; D P(− −2; 2) Lời giải
Xét phương trình
6 13
z − z+ = Ta có = − 13= − =4 ( )2i
Suy phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt
3
z i
z i
= + = −
0
z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z2−6z+13=0 nên zo = +3 2i
( )
0
1−z = − +1 2i = − −2 2i
Vậy điểm biểu diễn số phức 1−z0 điểm P(− −2; 2)
Câu 353. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2+ + =z
Khi z1 + z2
A 4 B 2 C 2 D
Lời giải Chọn B
Phương trình
2
z + + =z , có = −1 4.1.2= − 7 Suy phương trình có hai nghiệm phức 1,2
1
2
i
z = −
Do 1 2 7 2 2
2
i i
z + z = − + + − − = + =
(147)Câu 354 [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2− + =z
Khi z1 + z2
A 2 B 4 C. 2 D
Lời giải Chọn C
Ta có
1 i
2
1 i
z
z z
z
−
= − + =
+
=
Khơng tính tổng qt giả sử 1 i
2
z = − 2 i
2
z = +
Khi
2
2
1
1 7
2 2
2 2
z + z = +− + + = + =
Câu 355. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình
2
z z
Môđun số phức z0 ibằng
A 2 B C 10 D 10
Lời giải Chọn B
Xét phương trình:
2
z z có '
4
Phương trình có hai nghiệm phức z 2ivà z 2i
0
z nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 2inên z0 i i z0 i
24.1 Các tốn biểu diễn hình học nghiệm phương trình
Câu 356. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
6 13
z + z+ = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1−z0
A N(−2; 2) B M( )4; C P(4; 2− ) D Q(2; 2− ) Lời giải
Ta có 13
3
z i
z z
z i
= − +
+ + =
= − −
= − +z0 2i
( )
0
1 z 2i 2i
− = − − + = −
Vậy điểm biểu diễn số phức 1−z0 P(4; 2− )
Câu 357. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
4 13
z + z+ = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1−z0
A P( 1; 3)− − B M( 1;3)− C N(3; 3)− D Q(3;3) Lời giải
Ta có:
4 13
z + z+ = = − z i
(148)Câu 358. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
4 13
z − z+ = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1−z0
A M(3; 3− ) B P(−1;3) C Q( )1;3 D N(− −1; 3) Lời giải
2
4 13
2
z z z i
z i
− + = = −= +
Vậy z0 = +2 3i
( )
0
1− = − +z 3i = − −1 3i
Suy điểm biểu diễn số phức 1−z0 N(− −1; 3)
Câu 359. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình
4 13
z − z+ = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 1−z0
A M(3; 3− ) B P(−1;3) C Q( )1;3 D N(− −1; 3) Lời giải
2
4 13
2
z z z i
z i
− + = = −= +
Vậy z0 = +2 3i
( )
0
1− = − +z 3i = − −1 3i
Suy điểm biểu diễn số phức 1−z0 N(− −1; 3)
24.1 Các toán khác phương trình
Câu 360. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2− + =z
Khi z1 + z2
A 3. B 2 3. C 6. D 3
Lời giải Chọn B
Giải phương trình
1 11
2
3
1 11
2
= +
− + =
= −
z i
z z
z i
Khi đó: 1 2 11 11
2 2
+ = + + − =
(149)25 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
25.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…)
Câu 361. [Đề-BGD-2020-Mã-101] [Mức độ 1] Cho khối chóp có diện tích đáy B=6 chiều cao h=2 Thể tích khối chóp cho
A 6 B 3 C 4 D 12
Lời giải
Thể tích khối chóp 1.6.2
3
V = Bh= =
Câu 362. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 chiều cao h=2 Thể tích khối chóp cho
A 6 B 12 C 2 D 3
Lời giải Chọn C
Ta có 1.3.2
3
V = B h= =
Câu 363. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho khối chóp có diện tích đáy B=2 chiều cao h=3 Thể tích khối chóp cho
A 12 B 2 C 3 D 6
Lời giải
Thể tích khối chóp cho là: 1.2.3
3
V = B h= =
Câu 364. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối chóp có diện tích đáy B=3, chiều cao h=8 Thể tích khối chóp cho
A 24 B 12 C 8 D 6
Lời giải
Thể tích khối chóp: 1.3.8
3
= =
V
Câu 365. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho khối chóp có diện tích đáy
2
B= a chiều cao h=6a
Thể tích khối chóp cho
A 12a3 B 4a3 C 2a3 D 6a3 Lời giải
Chọn B
Thể tích khối chóp cho 1
.2
3
V = Bh= a a= a
Câu 366. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho khối chóp có diện tích đáy B=6a2 chiều cao h=2a Thể tích khối chóp cho bằng:
A 2a3 B 4a3 C 6a3 D 12a3 Lời giải
Chọn B
2
1
3
(150)chiều cao h=3 Thể tích khối trụ cho
A 5 B 30 C 25 D 75 Lời giải
Chọn D
Thể tích khối trụ V =r h2 =75
Câu 368. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho khối chóp có diện tích đáy B=2a2 chiều cao h=9a Thể
tích khối chóp cho
A. 3a3 B. 6a3 C. 18a3 D 9a3 Lời giải
Chọn B
2
1
.2
3
V = Bh= a a= a
Câu 369. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối chóp có diện tích đáy B=3, chiều cao h=8 Thể tích khối chóp cho
A 24 B 12 C 8 D 6
Lời giải
Thể tích khối chóp: 1.3.8
3
= =
V
Câu 370. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 chiều cao h=4 Thể tích khối chóp cho
A 6 B 12 C 36 D 4
Lời giải Chọn D
Thể tích khối chóp cho 1.3.4
3
V = B h= =
25.2 Thể tích khối chóp
Câu 371. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a, cạnh bên
bằng 3
2
a
O tâm đáy Gọi M, N, P Q hình chiếu vng góc O
trên mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) (SAD) Thể tích khối chóp O MNPQ A.
3
16
a
B.
3
3
a
C.
3
32
a
D.
3
3
a
Lời giải
(151)Gọi E F G H, , , giao điểm SM với AB, SN với BC, SP với CD, SQ với DA
thì E F G H, , , trung điểm AB BC CD DA, , ,
Ta có
2
2
2
9
4
9
2
a
SP SP SG SO
a
SG = SG = SG = = P trung điểm SG
Chứng minh tương tự ta có M,N Q, trung điểm AB BC DA, ,
Khi ( , ( ))
2
a
d O MNPQ = SO=
2
1
4 8
MNPQ EFGH ABCD
a
S = S = S =
Vậy
2
1 9
3 32
O MNPQ
a a a
V = =
25.3 Thể tích khối chóp khác
Câu 372. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên
a O tâm đáy Gọi M N P Q, , , điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB SBC SCD SDA, , , S điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ
A.
3 40 10
81
a
. B
3 10 10
81
a
C
3 20 10
81
a
D
3 10
9
a
(152)Gọi G G G G1, 2, 3, 4 trọng tâm SAB,SBC,SCD,SAD
Do 1 2// 3 4// ; 1 2 3 4
2
G G G G EF G G =G G = EF Tứ giác G G G G1 2 3 4 hình bình hành
1 2
// // ,
MN PQ G G MN PQ G G
= = Tứ giác MNPQ hình bình hành
Gọi H =QNMP Ta có:
3
SH SO =
Ta có: ( )
2
2 2 10
3
2
a SO= a − a =
Ta có:
1
3
2 80
5 5.2 5.2
3 27
S MNPQ S MNPQ S G G G G S EFIK S EFIK
V = V = V = V = V
2
3
80 10 20 10
27 2 81
a a a
= =
Câu 373. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a O tâm đáy Gọi M,N, P, Q điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S' điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ'
A.
3 20 14
81
a
B.
3 40 14
81
a
C.
3 10 14
81
a
D.
3 14
9
a
(153)
Gọi G G G G1, 2, 3, 4 trọng tâm SAB,SBC,SCD,SDA
, , ,
E F G H trung điểm cạnh AB BC CD DA, , , Ta có
1
2
4
4 4
9 9
MNPQ G G G G EFGH
a
S = S = S = EG HF =
( )
( ) ( ( )) ( ( ))
( )
( ) ( ( ))
( )
( ) ( ( ))
( )
( )
1
, , ,
, ,
2
, ,
3
5 14
,
3
d S MNPQ d S ABCD d O MNPQ
d S ABCD d O G G G G d S ABCD d S ABCD
a d S ABCD
= +
= +
= +
= =
Vậy
2
1 14 20 14
3 81
S MNPQ
a a a
V = =
Câu 374. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên
2
a O tâm đáy Gọi M, N , P, Q điểm đối xúng với O qua trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA S điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ
A
3
9
a
B
3 40
81
a
C
3 10
81
a
D
3 20
81
a
(154)Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA
E, F, I, K trung điểm AB, BC, CD, DA
Ta có:
1
2
4 16
4
9 9
MNPQ G G G G EFIK ABCD
S = S = S = S = a
( )2 2
2
2
2
2 2
a a a
SO= a − = a − =
2
3
a
S H S O OH SO SO
= + = + =
3
1 20
3 81
S MNPQ
a a
V a
= = (đvtt)
Câu 375. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a O tâm đáy Gọi M N P Q, , , điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDAvà S điểm đỗi xứng với SquaO Thể tích khối chóp S MNPQ
A
3
2
a
B
3
20 81
a
C
3
40 81
a
D
3
10 81
a .
Lời giải
O' H
N M
P G
I
O
B
F E
A
D C
S
Q
(155)Ta có S ABCD hình chóp có tất cạnh a 2
a SO
=
Gọi ,G I trọng tâm tam giác SDA SDC, Gọi ,E F trung điểm DA DC,
Ta có ,
3
GI = EF
2
a
EF = AC =
3
a GI
=
Mà ,G I trung điểm OQ OP, 2
3
a
QP GI
= =
Từ giả thiết cho dễ dàng suy MNPQ hình vng cạnh 2
3
a PQ=
2
9 MNPQ
a S
=
Gọi O tâm hình vng MNPQ kẻ GH/ /QO H( OO) H trung điểm OO(vì G trung điểm OQ)
Ta có 2 2
3
a a
QO = = 2 .1
3
a OO = OH = SO=
Theo giả thiết
2
a
OS =OS = 2
2
a a a
S O S O OO
= + = + =
2
1 20
3 81
S MNPQ
a a a
V = =
Câu 376. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên
2
a
O tâm đáy Gọi M N P, , Q hình chiếu vng góc O
mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) (SDA) Thể tích khối chóp O MNPQ A
3
48
a
B
3
81
a
C
3
81
a
D
3
96
a
Lời giải
Chọn D
Gọi M N P Q , , , trung điểm cạnh AB BC CD DA, , , Ta có AB⊥OM AB⊥SO nên AB⊥(SOM)
Suy (SAB) (⊥ SOM) theo giao tuyến SM
Theo giả thiết ta có OM ⊥(SAB) nên OM⊥SM, M hình chiếu vng góc O
(156)Ta có
2
2
4
a a a
SO= SA −AO = − = =OM
Suy tam giác SOM vuông cân O nên M trung điểm SM
Từ dễ chứng minh MNPQ hình vng có tâm I thuộc SO nằm mặt phẳng song song với (ABCD), với I trung điểm SO
Suy
2
a
OI = OS=
Do 1
2 4
a
MN = M N = AC=
Thể tích khối chóp O MNPQ
2
2
1 1
3 MNPQ 3 96
a a a
S OI = MN OI = =
Câu 377. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a O tâm đáy Gọi M N P Q, , , điểm đối xứng với O qua trọng tâm tam giác
, , ,
SAB SBC SCD SDAvà S điểm đỗi xứng với SquaO Thể tích khối chóp S MNPQ A 2 a
B
3
20 81
a
C
3
40 81
a
D
3 10 81 a . Lời giải
Ta có S ABCD hình chóp có tất cạnh a
2
a SO
=
Gọi ,G I trọng tâm tam giác SDA SDC, Gọi ,E F trung điểm DA DC,
Ta có ,
3
GI = EF
2
a
EF = AC =
3
a GI
=
Mà ,G I trung điểm OQ OP, 2
3
a
QP GI
= =
Từ giả thiết cho dễ dàng suy MNPQ hình vng cạnh 2
(157)Gọi O tâm hình vng MNPQ kẻ GH/ /QO H( OO) H trung điểm OO(vì G trung điểm OQ)
Ta có 2 2
3
a a
QO = = 2 .1
3
a OO = OH = SO=
Theo giả thiết
2
a
OS =OS = 2
2
a a a
S O S O OO
= + = + =
2
1 20
3 81
S MNPQ
a a a
V = =
25.4 Tỉ số thể tích khối chóp
Câu 378. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a, cạnh bên 3a O tâm đáy Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc O
lên mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD)và (SDA) Thể tích khối chóp O MNPQ
A
3
3
a
B
3 64
81
a
C
3 128
81
a
D
3
3
a
Lời giải
Chọn D
Gọi E F G H, , , trung điểm AB BC CD, , DA Gọi M N P Q, , , hình chiếu vng góc O lên đường thẳng SE SF SG SH, , , ta suy M N P Q, , , hình chiếu vng góc O mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) (SDA)
Ta có EFGH hình vuông
2
EFGH ABCD
S = S suy . .
2
S EFGH S ABCD
V = V
Các độ dài 2 2
(2 3) (4 2)
4
SO= SA − AC = a − a = a SE= SO2+OE2 =2a
Trong tam giác vuông SOE ta có
2
2
SM SO
SE = SE = suy
1
(158)1
OO SO
= , đồng thời diện tích đáy
2 MNPQ
EFGH
S MN
S EF
= =
Do
1 O MNPQ
S EFGH
V
V = hay
2
1 1
.2 (4 )
8 16 16 3
O MNPQ S EFGH S ABCD
(159)26 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ-ĐA DIỆN KHÁC 26.1 Câu hỏi dạng lý thuyết(Cơng thức V,h,B ;có sẵn h, B;…)
Câu 379. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h A 3Bh B Bh C 4
3Bh D
1 3Bh Lời giải
Chọn B
Câu 380. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B=3 chiều cao h=6 Thể tích khối lăng trụ cho
A 9 B 18 C 3 D 6
Lời giải Chọn B
Ta tích khối lăng trụ V =B h =18
Câu 381. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho khối trụ có bán kính đáy r=4 chiều cao h=3 Thể tích khối trụ cho
A 48 B 4 C 16 D 24 Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ 2
.4 48
V = r h= =
Câu 382. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B=3 chiều cao h=2 Thể tích khối lăng trụ cho
A 1 B 3. C 2 D 6
Lời giải Chọn D
Thể tích khối lăng trụ V =B h =3.2=6
Câu 383. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B=6, chiều cao h=3 Thể tích khối lăng trụ cho
A. B. 18 C. D.
Lời giải Chọn B
Tta có V =B h =V 6.3 18=
Câu 384. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Thể tích khối lập phương cạnh
A 6 B 8 C 4 D 2
Lời giải Chọn B
Ta có V =23 =8
26.2 Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật
Câu 385. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 3; 4; Thể tích khối hộp cho
(160)Thể tích khối hộp cho V =3 5=60
Câu 386. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 2; 4; Thể tích khối hộp cho
A 16 B 12 C 48 D 8
Lời giải Thể tích khối hộp V =2.4.6=48
Câu 387. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2; ; Thể tích khối hộp cho
A 28 B 14 C 15 D 84
Lời giải Thể tích khối hộp cho 2.6.7=84
Câu 388. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước ; ; Thể tích khối hộp cho
A 7 B 42 C 12 D 14
Lời giải
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước ; ; là: V =2.3.7=42
Câu 389. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước ; ; Thể tích khối hộp cho
A 7 B 42 C 12 D 14
Lời giải
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước ; ; là: V =2.3.7=42
26.3 Thể tích khối lăng trụ
Câu 390. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho khối chóp đứng ABC A B C có đáy tam giác cạnh a AA =a (minh hoạ hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ cho
A.
3
a
. B.
3
3
a
C.
4
a
. D.
3
2
a
Lời giải Chọn A.
Ta có
2
3
ABC
a
S = Vậy .
2
3
4
ABC AB C ABC
a a
V = AA S =a =
26.4 Thể tích khối đa diện phức tạp
C/
B A
A A/
(161)Câu 391. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho lăng trụ ABC A B C có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M, N P tâm mặt bên ABB A , ACC A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C M N P, , , , ,
A 27 B 21 C 30 D 36
Lời giải Chọn A
Cách 1:
Thể tích khối lăng trụ cho
2
8.6
72
V = =
Gọi A B C1, 1, 1 trung điểm AA BB CC, ,
Thể tích khối đa diện cần tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C 1 1 1, trừ thể tích khối chóp
1 ; ;
AA MN BB MP CC NP
Thể tích khối chóp AA MN1
2
6
1 4
3 24
V
=
Vậy thể tích khối đa diện cần tính 3 27
2 24
ABCMNP
V V V
V = − = =
Cách 2:
C1
B1
A1
Q N
M
C'
B' A'
C B
(162)Diện tích đáy
S = = , chiều cao lăng trụ h=8
Gọi I trung điểm AA Ta có (MINP) (/ / ABC)
Gọi E giao điểm A P (ABC), suy BE/ /AC BE=2MP=AC, hay E đỉnh thứ tư hình bình hành ABEC
Ta có V =VA ABEC. −VP BEC. −VA IMPN. −VA IMN.
Trong đó:
1
.2
3
A ABEC
V = S h= Sh
( )
( )
1 1
,
3
P BEC BEC
V = S d P ABC = S h= Sh
( )
( )
1 1 1
,
3 2 12
A IMPN IMPN
V = S d A IMPN = S h= Sh
( )
( )
1 1 1
,
3 24
A IMN IMN
V = S d A IMN = S h= Sh
Vậy . . . . 1 27
3 12 24
A ABEC P BEC A IMPN A IMN
V =V −V −V −V = − − − Sh= Sh=
(163)27 KHỐI NÓN
27.1 Câu hỏi lý thuyết khối nón
Câu 392. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r A 1
3r h B
2 r h
C 4
3r h D
2
2r h Lời giải
Chọn A
Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính r 3r h
27.1 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, Thể tích(liên quan) khối nón biết kiện
Câu 393. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho khối nón có bán kính đáy r=5 chiều cao h=2 Thể tích khối nón cho
A. 10
3
B.10
C 50
3
D. 50
Lời giải
Thể tích khối nón cho 50
3
V = r h=
Câu 394. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A. 8 B. 16
3
C.
3
D. 16
Lời giải
Gọi S đỉnh hình nón AB đường kính đáy
Theo ra, ta có tam giác SAB tam giác l =SA= AB=2r =4 Diện tích xung quanh hình nón cho Sxq =rl=8
Kết luận: Sxq =8
Câu 395. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Giátrị nhỏ hàm số f x( )=x3−24x đoạn 2;19
A. 32 B.−40. C. −32 D.−45
Lời giải Ta có: f x( )=x3−24x
60°
B S
(164)( )
3 24
2 2;19
f x x
x
= − =
= −
( )
2 24.2 40
f = − = − ; ( ) ( )
3
2 2 24.2 32
f = − = − ; f ( )19 =193−24.19=6403
Mà −32 2 −406403 Kết luận:
2;19 ( )
min 32
x f x = − x=2
Câu 396. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho khối nón có bán kính r =4 chiều cao h=2 Thể tích khối nón cho
A 8
3
B 8 C 32
3
D 32
Lời giải
Người giải: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Theo cơng thức ta tích khối nón =1 =32
3
V h r nên chọn đáp án C.
Câu 397. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho khối nón có bán kính đáy r=2 chiều cao h=5 Thể tích khối nón cho
A 20
3
. B 20 . C 10
3
D 10
Lời giải
Thể tích khối nón .2 52 20
3
1
V = r h= = .
Câu 398. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối nón có bán kính đáy r=2 chiều cao h=4 Thể tích khối nón cho
A 8 B 8
3
C 16
3
D 16
Lời giải
Thể tích khối nón: 2 42 16
3 3
= = =
V r h
Câu 399. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình nón có bán kính đáy r=2 độ dài đường sinh
l= Diện tích xung quanh hình nón cho A 20 B 20
3
C 10 D 10
3
Lời giải
Chọn C
Ta có diện tích xung quanh hình nón cho là: Sxq = rl = .2.5 10=
Câu 400. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình nón có bán kính đáy r=2 độ dài đường sinh l=7 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 28 B 14 C 14
D 98
3
Lời giải
(165)Có Sxq =rl=.7.12 14=
Câu 401. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối nón có bán kính đáy r=2 chiều cao h=4 Thể tích khối nón cho
A 8 B 8
3
C 16
3
D 16
Lời giải
Thể tích khối nón: 2 42 16
3 3
= = =
V r h
Câu 402. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho khối nón có chiều cao h=3 bán kính đáy r=4 Thể tích khối nón cho
A 16 B 48 C 36 D 4 Lời giải
Chọn A
Thể tích khối nón cho 2
4 16
3
V = r h= =
Câu 403. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh
60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 50 B 100
3
C 50
3
D. 100
Lời giải
Ta có
sin 30 l 10 Sxq rl 5.10 50
l
= = = = =
Câu 404. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 18 B 36 C 6 3 D 12 3 Lời giải
30
5
(166)Vì góc đỉnh 60 nên IOM = 30
Trong tam giác vng IOM ta có IM=OM.sinIOM hay r=lsin 30
1 sin 30
2
r l
= = =
Diện tích xung quanh hình nón Sxq =rl =.3.6 18=
Câu 405. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 64 3
B 32 C 64 D 32
3
Lời giải
Ta có ASB=60 HSB=30 ; HB=4
Áp dụng tỉ số lượng giác cho SHB ta có = = = =
4
sin30
1 sin30
2 HB SB HB
SB
Vậy Sxq =rl=.HB SB =8.4. =32
Câu 406. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình nón có bán kính đáy góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh hình nón cho
A 64 3
B 32 C 64 D 32
3
Lời giải
4 60°
H
A B
(167)Ta có ASB=60 HSB=30 ; HB=4
Áp dụng tỉ số lượng giác cho SHB ta có = = = =
4
sin30
1 sin30
2 HB SB HB
SB
Vậy Sxq =rl=.HB SB =8.4. =32
Câu 407. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AB=a
AC= a Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vng AB đường gấp khúc ACB tạo thành hình nón Diện tích xung quanh hình nón
A
5a B 5a2 C 2 5a2 D
10a
Lời giải Chọn C
Hình nón tạo thành có bán kính đáy R=2a chiều cao h=a
Áp dụng Pitago: l=BC= AB2+AC2 = a2+( )2a =a Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =Rl=.2 a a 5=2a2
4 60°
H
A B
(168)28.1 Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, Thể tích (liên quan) khối trụ biết kiện
Câu 408. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình trụ có bán kính đáy r =8 độ dài đường sinh l=3 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A. 24 B. 192 C. 48 D. 64 Lời giải
Diện tích xung quanh hình trụ Sxq =2rl=2 =
Câu 409. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình trụ có bán kính đáy r=4 độ dài đường sinh l=3 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 48 B 12 C 16 D 24 Lời giải
Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ ta có: Sxq =2rl=2 4.3 =24
Câu 410. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hình trụ có bán kính đáy r=5 độ dài đường sinh l=3 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 15 . B 25. C 30 D 75 Lời giải
Diện tích xung quanh hình trụ cho Sxq =2 .r l=2.5.3. =30
Câu 411. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình lăng trụ có bán kính đáy r=7 độ dài đường sinh
l= Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 42 B 147 C 49 D 21 Lời giải
Diện tích xung quanh hình trụ là: S =2rl=2 7.3 =42
Câu 412. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho khối trụ có bán kính r=3và chiều caoh=4 Thể tích khối trụ cho
A 4 B 12 C 36 D 24 Lời giải
Chọn C
Ta có: V =r h2 =.3 42 =36
Câu 413. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho hình trụ có bán kính đáy r=3 độ dài đường sinh l=7 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A 42 B 147 C 49 D 21 Lời giải
Diện tích xung quanh hình trụ là: S =2rl=2 3.7 =42
Câu 414. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Diện tích xung quanh hình trụ có độ dài đường sinh l bán kính đáy r
A 4rl B rl C 1
3rl D 2rl
Lời giải Chọn D
(169)Câu 415. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cắt hình trụ ( )T mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình vng cạnh Diện tích xung quanh ( )T
A. 49
π
B. 49
2
π
. C. 49π D. 98π
Lời giải Chọn C
Bán kính đáy hình trụ
2
r = Đường cao hình trụ h=7
Diện tích xung quanh hình trụ 77 49
2
S = πr h= π = π
Câu 416. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cắt hình trụ ( )T mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh Diện tích xung quanh ( )T
A B
2
C 2 D
4
Lời giải
Chọn A
Thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh a
Do hình trụ có đường cao h=1 bán kính đáy
2
CD r= =
Diện tích xung quanh hình trụ: 2 1.1
2
xq
S = rh= =
Câu 417. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cắt hình trụ ( )T mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng cạnh Diện tích xung quanh ( )T
A 9
B 18 C 9 D 9
2
Lời giải
(170)1 H O'
O
A B
D C
sinh l=3, bán kính
2
l
r= =
Diện tích xung quanh hình trụ ( )T 2 93
2
xq
S = rl= =
Câu 418. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Cho hình trụ có chiều cao Cắt mặt trụ cho mặt phẳng song song với trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 30 Diện tích xung quanh hình trụ cho
A. 10 3 B. 39 C. 20 3 D.10 39
Lời giải Chọn C
Ta có hình vẽ bên, với khoảng cách từ O đến mặt phẳng cắt OH =1 (với H trung điểm cạnh AB); AD=BC=5 Gọi R bán kính đường trịn mặt đáy hình trụ
Ta có diện tích thiết diện: SABCD =30
30
AB BC
=
.5 30
AB
=
2
AB
=
Suy ra: AH =
2
2 2
1
OA= OH +AH = + = =R
Vậy diện tích xung quanh hình trụ cho bằng: Sxq =2 R l =2 2.5 3 =20 3
Câu 419. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình trụ có chiều cao 6a, Biết cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 3a, thiết diện thu hình vng Thể tích khối trụ giới hạn hình trụ cho
A 216a3 B 150a3 C 54a3 D 108a3 Lời giải
Chọn D
Gọi J trung điểm GH Khi IJ ⊥GH IJ =3a
Theo giả thiết, ta có EFGH hình vng, có độ dài cạnh 6aGH =6a Trong tam giác vng IJH, ta có IH = ( ) ( )3a 2+ 3a =3 2a
(171)Câu 420. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' 'có chiều cao diện tích đáy Gọi M N P, , Qlần lượt tâm mặt bên ABB A BCC B CDD C' ', ' ', ' 'và
' '
DAA D Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A B C D M N P, , , , , , Qbằng
A 27 B 30 C 18 D 36
Lời giải
Chọn B
Mặt (MNPQ)cắt cạnh AA', BB', CC', DD'tại A B C D1, 1, 1, 1 Thể tích khối đa diện cần tìm
V , thì:
1 1 ' ' ' ' ' ' ' '
8.9
2 24
30
A B C D A B C D A QMA B MNB C PNC D QPD
V V V V V V
V
V
= − − − −
= −
=
28.2 D06 - Bài toán thực tế khối trụ - Muc
Câu 421. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1, m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần nhất với kết đây?
A 1,8 m B 1, m C 2, m D 1, m
Lời giải Chọn D
Gọi chiều cao bể nước h( )m , bán kính bể r( )m
Khi tổng thể tích hai bể nước ban đầu là: ( )3
.1, 44 2, 44 m
V = h+ h= h
Vì bể có chiều cao tích tổng thể tích hai bể cũ nên:
2, 44 2, 44 1,56
r h h r
(172)29.1 Câu hỏi liên quan đến biến đổi V,S,R
Câu 422. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho khối cầu có bán kính r=4 Thể tích khối cầu cho A. 256
3
B. 64 C. 64
3
D. 256
Lời giải
Thể tích khối cầu 4 256
3 3
V = r = =
Câu 423. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho khối cầu có bán kính r=4 Thể tích khối cầu cho A 64 B 64
3
C 256 D 256
3
Lời giải
Ta tích khối cầu là: 256
3
V = r =
Câu 424. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho khối cầu có bán kính r=2 Thể tích khối cầu cho
A 16. B 32
3
. C 32 D 8
3
Lời giải
Thể tích khối cầu cho 3
3
.2
3
4 32
3 r
V = = =
Câu 425. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối cầu có bán kính r=2 Thể tích khối cầu cho A 32
3
B 16 C 32 D 8
3
Lời giải
Thể tích khối cầu bán kính r=2
3
V = r .23 32
3
= =
Câu 426. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho mặt cầu có bán kính r=4 Diện tích mặt cầu cho
A 256
B 64
3
C 16 D 64
Lời giải Chọn D
Ta có diện tích mặt cầu S= =4 r2 64
Câu 427. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho mặt cầu có bán kính r=5 Diện tích mặt cầu cho A 25 B 500
3
C 100 D 100
3
Lời giải
Chọn C
Diện tích mặt cầu 2
4 100
(173)Câu 428. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho mặt cầu có bán kính r =4 Diện tích mặt cầu cho
A 16 B 64 C 64
D 256
3
Lời giải
Chọn B
Diện tích mặt cầu 2
4r =4 .4 =64
Câu 429. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Cho khối cầu có bán kính r=2 Thể tích khối cầu cho A 32
3
B 16 C 32 D 8
3
Lời giải
Thể tích khối cầu bán kính r=2
3
V = r .23 32
3
= =
Câu 430. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Cho mặt cầu có bán kính R=2 Diện tích mặt cầu cho A 32
3
B 8 C 16 D 4
Lời giải Chọn C
Diện tích mặt cầu cho S =4R2 =4 2 =16
29.2 Khối cầu nội - ngoại tiếp, liên kết khối đa diện
Câu 431. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 172
3
a
B
2 76
3
a
C
84a D
2 172
9
a
(174)Gọi O tâm tam giác ABC, M N trung điểm BC SA, R S, bán kính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Dựng trục d tam giác ABC, d qua O d//SA
Trong mặt phẳng (SA d, )dựng đường thẳng qua N song song với AO cắt d I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R=AI
Do ABC SA⊥(ABC) nên
( ) (( ) (, )) 60
BC AM
BC SAM SBC ABC SMA
BC SA
⊥
⊥ = =
⊥
2
3 3 3
4
2 1
tan 60
2
a
AO AM
AM a a
AN SA AM a
= =
= =
= = =
ANIO hình chữ nhật
2
2 2 16 43
9
3
a
AI AN AO a a
= + = + =
Vậy
2 172
3
a
S= R =
Câu 432. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a, SA vng góc với đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng đáy
30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:
A 52a2 B
2
172
a
C
2
76
a
D
2
76
a
(175)Gọi N trung điểm BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Dựng qua O, ⊥(ABC) trục đường tròn ngoại tiếp ABC ,SA đồng phẳng Trong mặt phẳng (SAN) dựng đường trung trực d cạnh bên SA
Gọi I = d, suy IA=IB=IC=IS, suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
và R=IA
Ta có: BC AN BC (SAN) BC SN
BC SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
Suy ((SBC) (, ABC))= (AN SN, )= SNA= 30
Mặt khác: 3
2
AB a
AN = = = a ,
3
a AO= AN = Vì SA⊥(ABC)SA⊥AN SAN vng A
Ta có tan SNA SA
AN
= SA=ANtan 30 3
3
a a
= = , suy
2
SA MA=IO= =a
Xét tam giác IOA vuông O: R=IA= IO2+AO2
2
2 57
3
a a
a
= + =
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC ( )
2
2
57 76
4
3
S ABC
a a
S = R = =
Câu 433. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBC)và mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 43
3
a
B
2 19
3
a
C
2 43
9
a
D
(176)Phân tích, nhận xét:
1 Bài toán kiểm tra kĩ xác định góc hai mặt phẳng kĩ xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
2 Để xác định góc hai mặt phẳng có giao tuyến d, ta cần xác định hai đường thẳng d d1, 2 nằm hai mặt phẳng, vuông góc với d điểm Góc hai mặt phẳng góc d d1, 2
3 Để tính diện tích mặt cầu ta cần tìm bán kính mặt cầu Do cần xác định xem tâm mặt cầu hình vẽ nằm đâu Tâm Ocủa mặt cầu cách A B C, , nênOphải nằm
, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy Mặt khác, O cách S A, nên O phải nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng SA Như vậy, O giao điểm mặt phẳng trung trực củaSA với Trường hợp SA song song với , mặt phẳng xác định SA , ta kẻ đường trung trực SA
+ = 60 góc mặt phẳng (SBC)và (ABC) Lấy I trung điểm BC AI BC
SI BC
⊥
⊥
(SI AI, ) SIA 60o
= = =
+ 3 3
2
AI = a =a SA= AI = a
+ Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC QuaG kẻ đường thẳng ⊥(ABC) // SA Trong mp(SA,): Đường trung trực SAcắt O
Mặt cầu S O OA( ; ) ngoại tiếp S ABC Gọi Klà trung điểm AS
Ta có ; 2
2 3
a a
AK = AS = AG= AI =
2
2 43
4 12
a a
R= AK +AG = + =a
+ Diện tích mặt cầu S O OA( ; )
2
2 43 43
4
12
a
S = R = a =
(177)A
2 43
3
a
B
2 19
3
a
C
2 19
9
a
D 13a2
Lời giải
Gọi M trung điểm BC, ta có góc SMA góc (SBC) (ABC)
30
SMA
=
Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:
2
3
a
AM = =a , 2
3
a
AG= AM = , tan 30
3
SA= AM =a =a
Qua G kẻ đường thẳng d vng góc với (ABC) d/ /SA
Gọi E trung điểm SA, qua E kẻ mặt phẳng ( )P cho: ( )
( )
P SA
P d I
⊥
=
Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC khối cầu có bán kính là:
2 2 2
2 2 57
2
SA a a a
R=IA= IG +AG = +AG = + =
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:
2 19
3
a
S= R =
Câu 435. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBC) mặt phẳng đáy 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
A
2 43
3
a
B
2 19
3
a
C
2 19
9
a
D 13a2
(178)Gọi M trung điểm BC, ta có góc SMA góc (SBC) (ABC)
30
SMA
=
Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:
2
3
a
AM = =a , 2
3
a
AG= AM = , tan 30
3
SA= AM =a =a
Qua G kẻ đường thẳng d vuông góc với (ABC) d/ /SA
Gọi E trung điểm SA, qua E kẻ mặt phẳng ( )P cho: ( )
( )
P SA
P d I
⊥
=
Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC khối cầu có bán kính là:
2 2 2
2 2 57
2
SA a a a
R=IA= IG +AG = +AG = + =
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là:
2 19
3
a
S= R =
29.3 Bài tốn tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu
Câu 436. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Cho hình nón ( )N có đỉnh S ,bán kính đáy 2a độ dài đường sinh 4a.Gọi ( )T mặt cầu qua S đường trịn đáy ( )N Bán kính ( )T
bằng A.
3 a B. 14a C.
4 14
7 a D.
8 14 a Lời giải
(179)Gọi R bán kính mặt cầu ( )T ,SH đường cao hình nón
( )2 ( )2
4 14
SH a a a
= − =
Gọi I tâm mặt cầu ( ) ( )
2
2
2 14
R a R a
= + − 14
7
R a
=
Câu 437. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Cho hình nón ( )N có đỉnh S, bán kính đáy 3a độ dài đường sinh 4a Gọi ( )T mặt cầu qua S đường tròn đáy ( )N Bán kính
( )T A 2 10
3
a
B 16 13
13
a
C 8 13
13
a
D 13a
Lời giải Chọn C
(180)tam giác SAB Khi bán kính mặt cầu ( )T bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB
Gọi M trung điểm SB Kẻ đường vuông góc với SB M , cắt SO I
Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp SAB r =SI bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB
Ta có: SIM SBO SI SM SI SM SB
SB SO SO
=
∽ =
Trong đó:
2
2
8 13
4
13 13
SM a
a
SB a r SI
SO SB OB a
=
= = =
= − =
Cách
Gọi O tâm mặt cầu ( )T , H tâm đường tròn đáy ( )N , M điểm đường trịn đáy ( )N R bán kính ( )T
Ta có: SO=OM =R; OM2 =OH2 +HM2; SH = SM2 −HM2 = 13a Do SH HM nên xảy hai trường hợp sau
Trường hợp 1: SH =SO OH+
Ta có hệ phương trình
( )
2 2
2 2
13 13
13 3 *
3
OH a R
R OH a
R a aR R a
R OH a
+ = = −
= − + +
= +
Giải ( )* ta có 13
13
a
R=
Trường hợp 2: SH =SO OH−
M S
O
(181)Ta có hệ phương trình
( )
2 2
2 2
13 13
13 13 *
3
OH R a
R OH a
R a aR R a
R OH a
= + = −
= − + +
= +
Giải ( )* ta có 13
13
a
R=
Câu 438 [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Cho hình nón ( )N có đỉnh S, bán kính đáy a độ dài đường sinh 4a Gọi ( )T mặt cầu qua S đường tròn đáy ( )N Bán kính
( )T A 2
3
a
B 16 15
15
a
C 8 15
15
a
D 15a
Lời giải Chọn C
Gọi I tâm ( )T ISO IS=IA Gọi M trung điểm SA IM ⊥SA Ta có SO= SA2−OA2 = ( )4a 2−a2 =a 15
Lại có 15
15 15
SM SA a a a
SM SA SI SO SI
SO a
= = = =
S
O
M H
M
S
O A
(182)30.1 Hình chiếu điểm lên trục tọa độ, lên mặt phẳng tọa độ điểm đối xứng
Câu 439. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M(2;1; 1− ) trục Oz có tọa độ
A (2;1;0 ) B (0;0; 1− ) C (2;0;0 ) D (0;1;0 )
Lời giải Chọn B.
Câu 440. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm A(3; 2;1) trục Ox có tọa độ
A (0; 2;1 ) B (3;0;0 ) C (0;0;1 ) D (0; 2;0 )
Lời giải Hình chiếu điểm A(3; 2;1) trục Ox A(3; 0; 0)
Câu 441. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm (1; 2;5)
A lên trục Ox có tọa độ
A (0; 2;0 ) B (0; 0;5) C (1;0;0 ) D (0; 2;5)
Lời giải
Hình chiếu vng góc điểm A(1; 2;5) lên trục Ox có tọa độ (1;0;0 )
Câu 442. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong khơng gian Oxyz hình chiếu vng góc điểm A(3;5; 2) trục Ox có tọa độ
A (0;5; 2). B (0;5;0). C (3;0;0 ) D (0;0; )
Lời giải
Hình chiếu vng góc điểm A(3;5; 2) trục Ox (3;0;0 )
Câu 443. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm
(8;1; 2)
A trục Ox có tọa độ
A (0;1;0 ) B (8; 0; ) C (0;1; ) D (0;0; )
Lời giải
Tọa độ hình chiếu vng góc A(8;1; 2) lên trục Ox (8; 0; )
Câu 444. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz Điểm sau hình chiếu vng góc điểm A(1; 4; 2) mặt phẳng Oxy?
A (0; 4; 2) B (1; 4; 0) C (1; 0; 2) D (0; 0; 2) Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu A(1; 4; 2) mặt phẳng Oxy (1; 4; 0)
(183)A Q(1;0;3) B P(1; 2;0) C M(0;0;3) D N(0; 2;3) Lời giải
Chọn B
Ta có hình chiếu vng góc điểm A(1; 2;3) mặt phẳng Oxy điểm P(1; 2;0)
Câu 446. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz điểm hình chiếu vng góc điểm A(3;5; 2) mặt phẳng (Oxy)?
A M(3;0; 2) B (0;0; 2) C Q(0;5; 2) D N(3;5;0)
Lời giải Chọn D
Hình chiếu vng góc điểm A(3;5; 2) mặt phẳng (Oxy) điểm N(3;5;0)
Câu 447. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm (8;1; 2)
A trục Ox có tọa độ
A (0;1;0 ) B (8; 0; ) C (0;1; ) D (0;0; )
Lời giải
Tọa độ hình chiếu vng góc A(8;1; 2) lên trục Ox (8; 0; )
Câu 448. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc điểm M(2;1; 1− ) mặt phẳng (Ozx) có tọa độ
A (0;1; 0) B (2;1; 0) C (0;1; 1− ) D (2; 0; 1− ) Lời giải
Chọn D
(184)31.1 Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu
Câu 449. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) 2 ( )2
:
S x +y + z+ = Bán
kính ( )S
A. B 18 C 9 D 3
Lời giải
Mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
:
S x−a + y−b + z−c =R có tâm I a b c( ; ; ) bán kính R Vậy mặt cầu ( )S :x2+y2+(z+2)2 =9 có tâm I(0;0; 2− ) bán kính R=3
Câu 450. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+ −(y 2)2+z2 =9 Bán kính mặt cầu (S)
A 6 B 18 C 3 D 9
Lời giải
Người giải: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn Áp dụng phép cộng số phức ta có bán kính mặt cầu nên chọn đáp án C
Câu 451. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+(z−1)2 =16 Bán kính ( )S
A 32 B 8 C 4 D 16
Lời giải Chọn C
Bán kính ( )S R= 16 =4
Câu 452. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 2)2 =16 Bán kính ( )S bằng:
A 4 B 32 C 16 D 8
Lời giải
Mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 2)2 =16 có bán kính bằngR=4
Câu 453. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
:
S x+ + y− + +z = Tâm ( )S có tọa độ
A (−1; 2; 3− ) B (2;−4; 6) C (1;−2;3) D (−2; 4; 6− ) Lời giải
Chọn A
Tâm mặt cầu ( )S có tọa độ (−1; 2; 3− )
Câu 454. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
2 2
( ) : (S x+1) +(y+2) + −(z 3) =9 Tâm ( )S có tọa độ là:
(185)Chọn C
Tâm ( )S có tọa độ là: ( 1; 2;3)− −
Câu 455. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
:
S x− + y+ + +z = Tâm ( )S có tọa độ
A (−1; 2;3) B (2; 4; 6− − ) C (−2; 4; 6) D (1; 2; 3− − ) Lời giải
Chọn D
Tâm mặt cầu ( )S có tọa độ (1; 2; 3− − )
Câu 456. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 2)2 =16 Bán kính ( )S bằng:
A 4 B 32 C 16 D 8
Lời giải
Mặt cầu ( )S :x2+y2+ −(z 2)2 =16 có bán kính bằngR=4
Câu 457. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
( ) 2
: 2
S x +y +z + x− z− = Bán kính mặt cầu cho
A. 7. B. 9. C. 3. D. 15
Lời giải Chọn C.
Ta có x2+y2+z2+2x−2z− =7 (x−1)2+y2+ +(z 1)2 =9
Vậy bán kính mặt cầu R=3
Câu 458. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
:
S x− + y+ + z− = Tâm ( )S có tọa độ
A (−2; 4; 1− ) B (2; 4;1− ) C (2; 4;1 ) D (− − −2; 4; 1) Lời giải
Chọn B
Tâm mặt cầu ( )S có tọa độ (2; 4;1− )
32.1 Điểm thuộc mặt cầu thoả ĐK
Câu 459. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) 2
:
S x +y + +z = Có tất điểm A a b c( ; ; ) (a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng (Oxy) cho có hai tiếp tuyến ( )S qua A hai tiếp tuyến vng góc với ?
A. 12 B. C. 16 D.
(186)Chọn A
Ta có
Suy
Mặt cầu có tâm bán kính
Từ giả thiết ta có
Vì nên có 12 điểm thỏa tốn , , , , ,
, ,
Vậy có 12 điểm thỏa tốn
( )
A Oxy =c
( ; ; 0) A a b
( )S I(0;0; 2) R=
2
RIAR 2
3 a b
+ +
2
1 a b
+
,
a b (1; 0) (2; 0) (0; 1 ) (0; 2 ) ( )1;1 (− −1; 1)
(187)32 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
32.1 Tìm VTPT, vấn đề lý thuyết
Câu 460. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng ( )P : x+2y+3z− =1 Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P
A. n3 =(1; 2; 1− ). B. n4 =(1; 2;3) C. n1 =(1;3; 1− ) D. n2 =(2;3; 1− )
Lời giải Chọn B.
( )P : x+2y+3z− =1 có vtpt n4 =(1; 2;3)
Câu 461. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x+4y− + =z Véctơ sau véc tơ pháp tuyến ( ) ?
A n1 =(2; 4; 1− ) B n2 =(2; 4;1− ) C n3 = −( 2; 4;1) D n1 =(2; 4;1) Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng ( ) : 2x+4y− + =z có véctơ pháp tuyến n=(2; 4; 1− )
Câu 462. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x−3y+4z− =1 Vectơ vectơ pháp tuyến ( ) ?
A n3 =(2; −3; 4) B n2 =(2; 3;−4) C n1=(2; 3; 4) D n4 = −( 2; 3; 4) Lời giải
Chọn A
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) : 2x−3y+4z− =1 n3 =(2; −3; 4)
Câu 463. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng ( ) : 2x− +y 3z+ =5 Vectơ vectơ pháp tuyến ( ) ?
A. n3 = −( 2;1;3 ) B. n4 =(2;1; − ) C. n2 =(2; 1;3 − ) D. n1 =(2;1;3 )
Lời giải Chọn C
Câu 464. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :2x+3y+ + =z Vectơ vectơ pháp tuyến ( )P ?
A n3 =(2;3; 2) B n1 =(2;3;0) C n2 =(2;3;1) D n4 =(2; 0;3) Lời giải
Chọn C
(188)Câu 465. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3; 0) B(5;1; 2− ) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình
A 2x− − + =y z B 2x− − − =y z C x+2y+2z− =3 D 3x+2y− −z 14=0 Lời giải
Chọn B.
Mặt phẳng trung trực ( )P AB qua trung điểm I(3; 2; 1− ) AB nhận (4; 2; 2)
AB= − − làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mặt phẳng ( )P
( ) ( ) ( )
4 x− −3 y− −2 z+ =1 2x− − − =y z
32.3 PTMP qua điểm, dễ tìm VTPT (khơng dùng t.c.h)
Câu 466. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 4− ) mặt phẳng ( )P :3x−2y+ + =z Phương trình mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( )P
là
A. 2x−2y+4z−21=0 B. 2x−2y+4z+21=0
C. 3x−2y+ −z 12=0 D. 3x−2y+ +z 12=0 Lời giải
Chọn C
Phương trình mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( )P
( ) ( ) ( )
3 x− −2 y+ + −1 z =03x−2y+ −z 12=0
33.4 PTMP qua điểm, song song với mặt phẳng
Câu 467. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 2− ) mặt phẳng ( )P : 3x−2y+ + =z Phương trình mặt phẳng qua M song song với ( )P là: A 2x+ −y 2x+ =9 B 2x+ −y 2z− =9
C 3x−2y+ + =z D 3x−2y+ − =z
Lời giải Chọn D
Phương trình mặt phẳng ( )Q song song mặt phẳng ( )P có dạng:3x−2x+ + =z D Mặt phẳng ( )Q qua điểm M(2;1; 2− ), đó: 3.2 2.1− + − + = = −( )2 D D Vậy ( )Q : 3x−2y+ − =z
Câu 468. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1;3− ) mặt phẳng ( )P : 3x−2y+ + =z Phương trình mặt phẳng qua M song song với ( )P
(189)C 3x−2y+ − =z 11 0. D 2x− +y 3z+14=0 Lời giải Chọn C
( )P nhận n=(3; 2;1− ) làm vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng cho song song với ( )P nên nhận nhận n=(3; 2;1− ) làm vectơ pháp tuyến Vậy mặt phẳng qua M song song với ( )P có phương trình
( ) ( ) ( )
3 x− −2 y+ + − =1 z 03x−2y+ − =z 11
33.5 PTMP theo đoạn chắn
Câu 469. [Đề-BGD-2020-Mã-101]Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;0;0), B(0;1; 0), C(0; 0; 2− ) Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A.
3
x+ y + =z
− B 3
x+ +y z =
− C 3
x+ + =y z
D
3
x + + =y z
−
Lời giải
Phương trình mặt phẳng qua điểm A a( ;0;0), B(0; ;0b ), C(0;0;c), abc0, có dạng
1
x y z
a+ + =b c nên phương trình mặt phẳng qua điểm A(3;0;0), B(0;1;0) C(0; 0; 2− )là
1
3
x+ +y z =
−
Câu 470. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−2;0;0 ,) (B 0;3;0)
(0;0; 4)
C Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A.
2
x y z
+ + =
− B.
x y z
+ + = C.
2
x y z
+ + =
− D.
x y z
+ + =
−
Lời giải
Phương trình mặt phẳng(ABC) qua ba điểm A(−2;0;0 ,) (B 0;3;0) C(0;0; 4) có phương
trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:
2
x + + =y z
−
Câu 471. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1, 0, 0), B(0, 2, 0) (0, 0,3)
C Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A
1
x+ +y z =
− B 1
x+ y + =z
− C
x + + =y z
− D 1
x+ + =y z
Lời giải
Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC)
1
x + + =y z
−
Câu 472. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho điểm (2 ; ; ,) (0 ; 1; ,) (0 ; ; 3)
A B − C Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A
2
x + + =y z
− B 2
x+ +y z =
− C 2
x+ + =y z
D
2
x+ y + =z
−
(190)(ABC) có phương trình: x y z
a+ + =b c
Với điểm A(2; 0; ,) (B 0; 1; ,− ) C(0; 0; 3), theo phương trình đoạn chắn ta có phương
trình mặt phẳng ( ):
2
x y z
ABC + + =
−
Câu 473. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho điểm
(2 ; ; ,) (0 ; 1; ,) (0 ; ; 3)
A B − C Mặt phẳng (ABC) có phương trình
A
2
x y z
+ + =
− B 2
x y z
+ + =
− C 2
x y z
+ + = D
2
x y z
+ + =
−
Lời giải
Với ba điểm A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0;0;c) thuộc ba trục tọa độ abc0 mặt phẳng
(ABC) có phương trình: x y z
a+ + =b c
Với điểm A(2; 0; ,) (B 0; 1; ,− ) C(0; 0; 3), theo phương trình đoạn chắn ta có phương
trình mặt phẳng ( ):
2
x y z
ABC + + =
−
(191)Câu 474. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 2;3− ) đường thẳng
− + −
= =
−
1
:
3
x y z
d Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A 3x+2y− + =z B 2x−2y+3z−17=0
C 3x+2y− − =z D 2x−2y+3z+17=0
Lời giải
Gọi mặt phẳng ( )P mặt phẳng qua M vng góc với d
Ta có: ( )P ⊥ d ( )P nhận vectơ phương d làm vectơ pháp tuyến
( ) ( )
( )
−
= = −
qua 2; 2;3
có vectơ pháp tuyến P d 3;2;
M P
n u
( ) ( ) ( ) ( )
P : x−2 +2 y+2 − −z = 0 3x+2y− + =z
Câu 475. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102]Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;1; 2− ) đường thẳng
1
:
1
x y z
d − = + =
− Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A x+2y−3z− =9 B x+ −y 2z− =6 C x+2y−3z+ =9 D x+ −y 2z+ =6
Lời giải
Đường thẳng :
1
x y z
d − = + =
− có véc tơ phương u(1; 2; 3− ) Mặt phẳng ( ) vng góc với d có véc tơ pháp tuyến n=u(1; 2; 3− )
Mặt phẳng ( ) qua M(1;1; 2− ), có véc tơ pháp tuyến n(1; 2; 3− ) phương trình
( ) ( ) ( )
1 x− +1 y− −1 z+2 =0
2
x y z
+ − − =
Câu 476. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2− ) đường thẳng
1
:
2
x y z
d − = + = − Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A 2x+3y+ − =z B 2x− +y 2z− =9
C 2x+3y+ + =z D 2x− +y 2z+ =9
Lời giải
Mặt phẳng ( ) qua M vng góc với đường thẳng d nên có vectơ pháp tuyến (2;3;1)
n=
Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình 2(x− +2) (3 y+ +1) (1 z−2)=0
2x 3y z
+ + − =
Câu 477. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;−2; 2), đường thẳng
3 1
:
1 2
x y z
d − = + = −
− Mặt phẳng qua M vng góc với d có phương trình
A x+2y− + =2z B 3x−2y+2z−17=0 C 3x−2y+ + =2z 17 D x+2y−2z− =5
(192)Gọi ( ) mặt phẳng qua ( ) vng góc với :
1 2
d = =
−
Vectơ phương d u=(1; 2; 2− )
( ) ⊥d nên vectơ pháp tuyến ( ) n=(1; 2; 2− ) Phương trình mặt phẳng ( ) là:
( ) ( ) ( )
1 x− +3 y+ −2 z−2 = +0 x 2y−2z+ =5
Câu 478. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104]Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;−2; 2), đường thẳng
3 1
:
1 2
x y z
d − = + = −
− Mặt phẳng qua M vuông góc với d có phương trình
A x+2y− + =2z B 3x−2y+2z−17=0 C 3x−2y+ + =2z 17 D x+2y−2z− =5
Lời giải
Gọi ( ) mặt phẳng qua M(3; 2; 2− ) vng góc với : 1
1 2
x y z
d − = + = −
−
Vectơ phương d u=(1; 2; 2− )
( ) ⊥d nên vectơ pháp tuyến ( ) n=(1; 2; 2− ) Phương trình mặt phẳng ( ) là:
( ) ( ) ( )
1 x− +3 y+ −2 z−2 = +0 x 2y−2z+ =5
Câu 479. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) đường thẳng
3 1
:
1
x− y− z+
= =
− Mặt phẳng qua M vuông góc với có phương trình
A 3x+ − − =y z B x+4y−2z+ =6 C x+4y−2z− =6 D 3x+ − + =y z Lời giải
Chọn C
Gọi ( )P mặt phẳng cần tìm Dễ thấy ( )P ⊥ nên ( )P nhận vtcp u =(1; 4; 2− ) làm vtpt
Vậy ( )P qua M có vecto pháp tuyến (1; 4; 2− ) nên:
( ) (P :1 x− +2) (4 y− −1) (2 z− = 0) ( )P :x+4y−2z− =6
(193)33.1 Các câu hỏi chưa phân dạng
Câu 480. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
4
:
2
x z z
d − = − = +
− Điểm sau thuộc d?
A N(4; 2; 1)− B Q(2;5;1) C M(4; 2;1) D P(2; 5;1)− Lời giải
Chọn A
Thế điểm N(4; 2; 1)− vào d ta thấy thỏa mãn nên chọn A
33.2 Tìm VTCP, vấn đề lý thuyết
Câu 481. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
1
x y z
d − = − = +
−
Vecto vecto phương d?
A u2 =(2;1;1) B u4 =(1; 2; 3− ) C u3 = −( 1; 2;1) D u1=(2;1; 3− ) Lời giải
Chọn C
Đường thẳng :
1
x y z
d − = − = +
− có vecto phương u3= −( 1; 2;1)
Câu 482. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = − = +
−
Vectơ vectơ phương d ?
A u2 =(3; 4; 1− ) B u1 =(2; 5;3− ) C u3 =(2;5;3) D u4 =(3; 4;1)
Lời giải
Đường thẳng có phương trình dạng x x0 y y0 z z0
a b c
− = − = −
có vectơ phương ( ; ; )
u = a b c nên đường thẳng :
2
x y z
d − = − = +
− có vectơ phương u1 =(2; 5;3− )
Câu 483. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
2
:
3
x y z
d − = + = −
− Vectơ vectơ phương d ?
A. u2 =(3; 4; 1− ) B. u1 =(2; 5; 2− ) C. u3 =(2;5; 2− ) D. u4 =(3; 4;1) Lời giải
Dựa vào phương trình tắc đường thẳng dta có vectơ phương d u2 =(3; 4; 1− )
(194)Câu 484. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103]Trong không gian Oxyz cho đường thẳng :
4
d = =
− Vectơ vectơ phương đường thẳng d?
A u3 =(3; 1; 2− − ). B u4 =(4; 2;3). C u2 =(4; 2;3− ) D u1 =(3;1; 2) Lời giải
Một véc tơ phương đường thẳng dlà u2 =(4; 2;3− )
Câu 485. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
4
:
3
x y z
d − = + = −
− − Vectơ vectơ phương d?
A u2 =(4; 2;3− ) B u4 =(4; 2; 3− ) C u3 =(3; 1; 2− − ) D u1 =(3;1; 2) Lời giải
Vectơ phương đường thẳngd u3=(3; 1; 2− − )
Câu 486. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
2
:
4
x y z
d − = − = +
− Điểm thuộc d?
A Q(4; 2;1 − ) B N(4; 2;1 ) C P(2;1; − ) D M(2;1;3 )
Lời giải Chọn C
Thay tọa độ điểm P(2;1; 3− ) vào :
4
x y z
d − = − = +
− ta
2 1 3
0 0
4
− − − +
= = = =
− Vậy điểm P( )d
Câu 487. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
3
:
2
x y z
d − = + = +
− Điểm thuộc d?
A N(3; 1; 2− − ) B Q(2; 4;1) C P(2; 4; 1− ) D M(3;1; 2)
Lời giải Chọn A
Ta có: 3 1 2
2
− = − + =− + =
− Vậy N(3; 1; 2− − ) thuộc d
Câu 488. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
4
:
3
x y z
d − = + = −
− − Vectơ vectơ phương d?
A u2 =(4; 2;3− ) B u4 =(4; 2; 3− ) C u3 =(3; 1; 2− − ) D u1 =(3;1; 2) Lời giải
Vectơ phương đường thẳngd u3=(3; 1; 2− − )
Câu 489. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = − = +
−
Điểm thuộc d?
(195)Lời giải Chọn A
Thay tọa độ điểm M N P Q, , , vào phương trình đường thẳng d ta có:
1 2 1
1
2 3
− − − − +
= = − = − = −
− (vô lý) Md
2 1 1
0
2 3
− = − =− + = =
− (vô lý) N d
1 2 1
0 0
2
− = − =− + = =
− (đúng) P d
2 1
2
2 3
− − =− − = + − = − = −
− (vô lý) Q d
Vậy điểm P(1; 2; 1− ) thuộc đường thẳng d
33.3 PTĐT qua điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h)
Câu 490. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;3),B(1;1;1)
(3; 4; 0)
C Đường thẳng qua A song song BC có phương trình
A
4
x+ y+ z+
= = B
4
x− y− z−
= =
C
2
x− = y− = z−
− D
1
2
x+ = y+ = z+
−
Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm ta có u =BC=(2;3; 1)−
Vậy phường trình tắc qua A song song BC :
1
2
x− = y− = z− −
Câu 491. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2;0); B(1;1; 2); (2;3;1)
C Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình
A
1
x− = y− = z
− B
1
3
x− = y− = z
C
3
x+ = y+ = z
D
1
x+ = y+ = z
−
Lời giải Ta có BC =(1; 2; 1− )
Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình
1
x− = y− = z
−
Câu 492. [Đề-BGD-2020-Mã-101] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0),
(3; 4; 1)
C − Đường thẳng qua A song song với BC có phương trình
A 1
4
x− y z− = =
− B
1
2
x+ y z+ = =
(196)C
2 = =3 −1 D = =5 −1
Lời giải Ta có: BC=(2;3; 1− )
Gọi d đường thẳng cần lập phương trình Vì d // BC nên BC vectơ phương
d
Vậy phương trình đường thẳng d là: 1
2
x− y z− = =
−
Câu 493. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;0); B(1;0;1);
(3;1;0)
C Đường thẳng qua A(1;1;0) song song với BC có phương trình
A 1
2 1
x+ = y+ = z
− B
1
4 1
x+ = y+ = z
C 1
2 1
x− = y− = z
− D
1
4 1
x− = y− = z
Lời giải
Đường thẳng cần tìm qua A(1;1; 0) có véc tơ phương u=BC=(2;1; 1− )
Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1
2 1
x− = y− = z
−
Câu 494. [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2;3− ) mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ =1 Phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( )P A. 2 3 x t y t z t = + = − − = +
B.
1 2 3 x t y t z t = − + = − = − +
. C.
2 3 x t y t z t = + = − − = +
D.
1 2 3 x t y t z t = − = − − = − Lời giải Chọn A
Đường thẳng cần tìm qua M(1; 2;3− ), vng góc với ( )P nên nhận n( )P =(2; 1;3− ) véc tơ phương Phương trình đường thẳng cần tìm
1 2 3 x t y t z t = + = − − = +
Câu 495. [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Trong không gian Oxyz, cho M(1; 2; 3− ) mặt phẳng
( ) : 2P x− +y 3z− =1 Phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với ( )P A 2 3 x t y t z t = + = − + = − B 2 3 x t y t z t = − + = − − = +
C
1 2 3 x t y t z t = + = − = − + D 2 3 x t y t z t = − = − = − − Lời giải Chọn C
Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) : 2P x− +y 3z− =1 n=(2; 1;3− ) Đường thẳng qua điểm M(1; 2; 3− ) và vng góc với ( )P có phương trình
(197)Câu 496. [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 103] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 2; 2− ) mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 3z+ =1 Phương trình đường thẳng qua M vng góc với mặt phẳng ( )P
là A 2 x t y t z t = + = − + = − B 2 x t y t z t = + = − − = + C 2 x t y t z t = + = − = − + D 2 x t y t z t = − + = + = − − Lời giải Chọn A
Đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( )P nhận véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P làm véc tơ phương có phương trình tham số
1 2 x t y t z t = + = − + = −
Câu 497. [ĐỀ BGD-2020-L1-MĐ 104] Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;0); B(1;0;1);
(3;1;0)
C Đường thẳng qua A(1;1;0) song song với BC có phương trình
A 1
2 1
x+ = y+ = z
− B
1
4 1
x+ = y+ = z
C 1
2 1
x− = y− = z
− D
1
4 1
x− = y− = z
Lời giải
Đường thẳng cần tìm qua A(1;1; 0) có véc tơ phương u=BC=(2;1; 1− )
Phương trình đường thẳng cần tìm là: 1
2 1
x− = y− = z
−
Câu 498. [ĐỀ BGD 2020-MH2] Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(1;0;1) N(3; 2; 1− ) Đường
thẳng MN có phương trình tham số
A 2 x t y t z t = + = = +
B
1 x t y t z t = + = = +
C
1 x t y t z t = − = = +
D
1 x t y t z t = + = = − Lời giải Chọn D
Ta có: MN =(2; 2; 2− ) nên chọn u=(1;1; 1− ) vecto phương MN
Đường thẳng MN có vecto phương u=(1;1; 1− ) qua điểm M(1;0;1)
nên có phương trình tham số là: 1 x t y t z t = + = = −
33.4 PTĐT qua điểm, thoả ĐK khác
Câu 499. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101] Trong không gian Oxyz, cho điểm (1; 2;0 , ) (2;0; , ) (2; 1;3 , ) (1;1;3)
A B C − D Đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng
(198)A
y t
z t
= − −
= −
B.
3
y t
z t
= − +
= −
C.
2
y t
z t
= − +
= +
D.
1
y t
z t
= − = +
Lời giải Chọn C
Đường thẳng cần tìm qua C(2; 1;3− ) có vectơ phương u=AB AD, = − − −( 4; 3; 1) nên có phương trình tham số
2
1 3
x t
y t
z t
= +
= − +
= +
Ta thấy điểm M(− −2; 4; 2) thuộc đường thẳng qua C (ứng vớit = −1) vuông góc với mặt phẳng (ABD) nên ta chọn đáp án C.
33.5 Toán Max-Min liên quan đến đường thẳn
Câu 500. [ĐỀ BGD 2019-MĐ 101]Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 4; 3− ) Xét đường thẳng d
thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng Khi khoảng cách từ A đến
d nhỏ nhất, d qua điểm đây?
A P(−3; 0; 3− ) B M(0; 3; 5− − ) C N(0;3; 5− ) D Q(0;5; 3− ) Lời giải
Chọn C
Cách 1: Điểm A thuộc mặt phẳng (Oyz) có tung độ dương
Đường thẳng d thuộc mặt trụ có trục Oz có bán kính (phương trình: x2+y2 =9) Do khoảng cách từ A đến d nhỏ d phải nằm mặt phẳng (Oyz) cách
Oz khoảng 3, đồng thời qua điểm có tung độ dương Vậy d qua điểm N(0;3; 5− )
Cách
Vì d thay đổi, song song với trục Oz cách trục Oz khoảng nên d đường sinh mặt trụ tròn xoay có trục Oz bán kính
Dễ thấy: d A Oz( ; )=4 nên mind A d( ; )=d A Oz( ; ) (−d d Oz; )=1 Mặt khác, điểm A(Oyz) nên d (Oyz)
do d d Oz( ; )=3 nên d qua điểm K(0; 0;3)
//
d Oz
0
:
x
d y
z z t
=
=
= +