Đề thi thử THPT quốc gia

 Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, v[r]

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế cuộc sống Đến với chương này, tìm hiểu về các “Ứng dụng Đạo Hàm” khơng Tốn học mà cịn đối với ngành khoa học kỹ thuật khác; lẽ Đạo hàm không chỉ dành riêng cho nhà Tốn học, mà đạo hàm cịn ứng dụng rất nhiều sống ngành khoa học khác, ví dụ có thể kể đến như:

Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các định đầu tư đắn phải làm ?

Một nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền phải dựa vào đâu ?

Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học nào hay nhà Vật lí cần làm để muốn tính toán vận tốc, gia tốc chuyển động ?

Và nữa, thực tiễn đời sống ln có nhiều những bài tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao như phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp nhất mà lợi nhuận đạt cao ?,

Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho mình hiểu biết ứng dụng đạo hàm thơng qua bố cục trình bày chương sau:

 Phần 1.1: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm.

 Phần 1.2: Các toán thực tế ứng dụng đạo hàm.  Phần 1.3: Các toán trắc nghiệm khách quan.

Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu một cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán là nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí.

● Đối với tốn hình học: xác định tiếp tuyến một đường cong.

Nếu trước đây, nhiều tốn Đại Số giải quyết nhờ vào công cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với những phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) đã khai thác nó vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên toán các nhà tốn học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường tròn, đường Conic, ) cơng

cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, bài toán xác định tiếp tuyến tuyến của một đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát

Khái niệm tiếp tuyến lúc được hiểu theo quan niệm là vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số

góc k tiếp tuyến với đường cong yf x  được định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức

   

  h

f x h f x

k lim f ' x

h



 

 

0

● Đối với tốn vật lí: tìm vận tốc tức thời

Thừa nhận xem vận tốc tức thời vt của vật thể có phương trình chuyển động s S t  là giới hạn của vận tốc trung bình khoảng thời gian t ;t    t 0, Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vt (có cùng chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là:

   

  t t

S t S t

v lim S' t

t

 

  

 



0

Ngồi ra, ta bắt gặp số khái niệm khác đạo hàm “đạo hàm - tốc độ biến thiên hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số”.

Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm.

Cho hàm số yf x  xác định khoảng a; b, xoa; b , x o   x a; b Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn)

 o   o x

f x x f x lim

x

 

   

0 gọi đạo

hàm f x  điểm xo , kí hiệu f ' x o hay y' x o

         

o

o o o

o x x x

o

f x x f x f x f x

f ' x lim lim

x x x

  

   

 

 

0

2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm bảng cơng thức đạo hàm thường gặp.

Các quy tắc tính đạo hàm.

Giả sử uu x , vv x , w  w x  hàm số có đạo hàm điểm x

thuộc khoảng xác định Ta có:

● u v w '    u' v' w' ●  uv 'u' v v' u ● uvw ' u' vw v' uw w'uv  ●    

u u' v v' u

' v v x

v v

  

  

 

 

0

● ku 'ku' (với k số) ●     v'

' v v x

v v

  

  

   

1

0 Bảng công thức đạo hàm thường gặp

Đạo hàm f x  với x biến

số Đạo hàm

 

f u với u một hàm số

 k '0 (với k số)  kx 'k

(với k số)  ku 'k.u'(với k số)  x 'n nxn

  u 'n nun u '  

x 

x x

   

 

   

1

0 u' u x  

u u

   

 

   

1

0

 x ' , x  x

 0

2      

u'

u ' , u x u

 0

2

tan x ' tan x cos x

  

2

1 x k , k

           

tanu '  u '  tan u u '   cos u

  

2

 

u x k , k

            cot x '  cot x

sin x 

  

2

1

1 xk ,k  

cotu '  u '  cot u u '   sin u



  

2

 

u x k ,k    a 'x a lna,x 0a1

 a 'u a ln a u 'u   , 0 a 1    x x

e 'e

 e 'u e u 'u   log x 'a  , x 

x ln a

 0 0 a 1   log u 'a  u' u x   uln a

 0

,0 a 1   ln x ' x 

x

1 0 lnu ' u' u x   u

 0

Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp

Hàm số Đạo hàm hàm số

ax b y cx d        a b c d ad bc y'

cx d cx d 

 

 

a x b x c y

a x b x c   

 

2

1 1

2

2 2

 

a b a c b c

x x

a b a c b c

y'

  b

  a x x c

 



 

2

1 1 1

2 2 2

2

2 2

2

2.1.2 Tính đơn điệu hàm số.

Định nghĩa: Gọi K khoảng a;b đoạn a;b nửa khoảng  

a;b , a;b

 

 và hàm số f x  xác định K.

Hàm số yf x  đồng biến (tăng) K    

1 2

x ,x K : x x f x f x

    

Hàm số yf x  nghịch biến(giảm) K :x ,x1 2K : x1x2  1  2

f x f x

  .

Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K

Các định lí:

 Định lí 1: Cho hàm số yf x  có đạo hàm a;b

 Nếu f x 0, x a;b hàm số f x  nghịch biến a;b

 Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)

Cho hàm số yf x  có đạo hàm a;b

 Hàm số f x  đồng biến a;b  f x   0, x a;b phương trình f x 0 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b

 Hàm số f x  nghịch biến a;b  f x   0, x a;b phương trình f x 0 có hữu hạn nghiệm thuộc a;b

 Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)

 Nếu hàm f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a; b f x  liên tục nửa đoạn a;b f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn a;b

 Nếu hàm f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a;b f x  liên tục nửa đoạn a;b f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn a;b

 Nếu hàm f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng a;b f x  liên tục đoạn a;b f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn a;b.

2.1.3 Cực trị hàm số.

Định nghĩa: Giả sử hàm số yf x  xác định tập hợpD, D   xoD

 x0 gọi điểm cực đại hàm số f x  tồn khoảng a; b chứa x0 cho a,bD f x f x 0 với

 

x a; b

 

0 xx

Khi f x 0 gọi giá trị cực đại hàm số f x 

 x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f x  tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho (a,b)D f (x) f (x ) 0 với

 0 x (a; b)\ x

  .

Khi f (x )0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f x 

Các định lý:

 Định lý (điều kiện cần): Giả sử hàm số f x  đạt cực trị

điểmx0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '(x )0 0

Lưu ý: Điều ngược lại định lý không Đạo hàm f 'có

thể điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm

0

x ví dụ hàm yx3 hàm số đạt cực trị một

điểm mà hàm số khơng có đạo hàm ví dụ hàm yx

 Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên

tục khoảng a; bchứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x )0 (x ;b)0 Khi

 Nếu f '(x) đổi dấu từ   sang   x0 f đạt cực đại tại x0.

x

a xo

b

 

f' x  0



 

f x

Giá trị cực đại

 Nếu f '(x) đổi dấu từ   sang   x0 f đạt cực tiểu

x

Do f đạt cực trị x0  f ' x  đổi dấu x0.

x

a xo

b

 

f' x  0



 

f x

Giá trị cực tiểu Chú ý: f ' x o tồn không tồn tại.

 Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo

hàm cấp khoảng a; b chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0

 Nếu f '(x )0 0 f ''(x )0 0 hàm số đạt cực đại điểm x0

2.1.4 Giá trị lớn nhỏ hàm số. Định nghĩa:

 Số M gọi giá trị lớn nhất (GTLN) f x  miền xác

định D:

   

 

x D

o o

f x M, x D

M max f x

x D : f x M



   



  

  

 

 Số m gọi giá trị nhỏ nhất (GTNN) f x  miền xác

định D:

   

 

x D

o o

f x m, x D

m f x

x D : f x m



   



  

  

 

Định lý tồn GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục trên đoạn a b;  đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn đó “.

Một số lưu ý:

 Khi nói đến GTLN GTNN, hàm số f mà không rõ

,

GTLN GTNN trên tập ta hiểu GTLN GTNN, trên tập xác định f

 Nếu hàm số f đồng biến

        x a b

x a b

f x f a a b

f x f

   

 

      

 



; ;

min ;

max

 Nếu hàm số f nghịch biến

        x a b

x a b

f x f a b

f x f a

   

 

      

 



; ;

min ;

max

 Phương pháp GTLN – GTNN yf x  đạo hàm trên đoạn Da b; 

Bước 1: Tính đạo hàm f x' 

Bước 2: Tìm điểm tới hạn (nếu có) xi a b i; , 1,n cho f x'  0 (hoặc khơng có đạo hàm)

Bước 3: Tính

      i f x f a f

 

 

 



 



' ?

Bước 4: So sánh kết luận

                         

1

1

max max ; ; ; ; ;

min ; ; ; ; ; n

D

n D

f x f x f x f x f a f

f x f x f x f x f a f

 

 

 



Lưu ý:

 Trường hợp tập Da b;  (hoặc Da b D; ; a b; ) ta làm

tương tự bước bước Đến bước ta “lập bảng biến thiên” để từ đưa kết luận

 Ngoài cách sử dụng đạo hàm trình bày trên, đơi

để giải nhanh tốn ta sử dụng thêm kiến thức cực trị hàm số bậc hai hay bất đẳng thức học kể đến như:

► Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM - GM).

Cho n số không âm: a , a , ,a1 n Khi ta có:

1

1

n

n

a , a a n a a a n

   

Dấu “=” xảy a1a2  an ► Bất đẳng thức Bunyakovsky.

Cho hai n số: a ,a , ,a ;b ,b , ,b1 n n ta có bất đẳng thức:

 2  2 2  2 2

1 2 n n n n

a b a b  a b  a a  a b b  b

Dấu “=” xảy 2

n n

a

a a

b b  b với quy ước số

1

i

b (i ,n) tương ứng ai 0.

► Bất đẳng thức tam giác.

Với ba điểm A, B, C ta ln có:

AB AC BC Dấu xảy A nằm B C (

Tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn hoặc bằng cạnh thứ ba)

AB AC BC

Tổng quát: tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ

►Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai.

Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng :

2 0 0

A  hay A 

Do với m số, ta có:

2

0

f A m m min f m A

f A M M max f M A

       

 

      

 

►Dựa vào cực trị hàm số bậc 2: yax2 bx c a  0

Nếu

2

4ac b a y

4a 4a   

   

khi

b x

2a  

Nếu

2 max

4ac b a y

4a 4a   

   

khi

b x

Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy toán thực tế liên quan đến việc dụng đạo hàm chia thành phần lớn:

Một là, toán thực tế mơ hình hóa một hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, tác giả ra cho bạn đọc dạng tốn thường gặp ? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải bài toán mà họ đặt ?

Hai là, toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số”. Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa đây

Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau:

Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn của chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề bài.

Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tính biến).

Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế đã cho chưa

Sau để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả lấy ví dụ minh họa trình bày theo chủ đề ứng dụng đạo hàm:

● Trong Hình học (bài tốn đến toán 11 ) ● Trong Vật lý (bài toán 12 đến toán 17). ● Trong Kinh tế (bài toán 18 đến toán 21).

x b

a

● Trong Đời sống lĩnh vực khác (bài toán 22 đến bài tốn 28).

Bài tốn Từ tơn hình chữ nhật có kích thước a b´ với

a b< Người ta cắt bỏ hình vng góc gị thành

một hình hộp chữ nhật khơng có nắp Hỏi cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn ?

 Phân tích:

● Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh

của hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhôm sau bị cắt trở thành

a a 2x x

2    

nên ta có

a x

2  

.

● Và đồng thời ta có cạnh của

tấm nhơm cịn lại b 2x 0  Đến ta

cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp

   

V x a x b x

● Bài toán trở thành tìm

 

2

a x ;

max V x ?

     



Mời bạn đọc xem lời giải !

Hướng dẫn giải.

● Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện

a x  

0

2

Khi thể tích hình hộp V x a  2x b   2x4x3  2a b x  abx V x  

● Bài toán trở thành tìm

 

2

a x ;

max V x ?

     



Đạo hàm V 'f ' x 12x2 4a b x ab   Ta có  ' a b   ab a  ab b 

2 2 2

4 12

với a, b.

Do V '0 ln có hai nghiệm phân biệt

a b a ab b a b a ab b

x      x     

2 2

1 6 6

Theo định lý Vi-et, ta có

a b

x x

ab x x

 

  

  

  

 

1

1

0

0 12

suy 0x1x2

Hơn nữa, ta có  

a a

V ' f ' a  ab a a b      

2 0

2 Do

a

x x

 1  2

0

2

x x1

a  x

V'  0 

 

V x max

● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn

2

1 6

a b a ab b

xx      .

 Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý:

Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng

Chúng ta khơng nên ghi x 0 theo cách hiểu số đo đại số

số dương

Hai là, khơng thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem bài tốn khơng thể giải tiếp Điều đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng kiến thức học vào toán thực tế.

Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V ' x 0 lập bảng

biến thiên V x  khơng đơn giản chút nào, địi hỏi người giải

phải có kỹ tốt biến đổi đại số.

Bài tập tương tự 1: Cho một nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 cm chiều rộng 10 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm  , gập nhôm hình vẽ để hộp khơng

nắp Tìm x để hộp nhận thể tích lớn nhất. A.x

 10

3 B.x

 11 31

3 C.x  11 31

3 D.x  10

3

(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Xuân Nguyên, Thanh Hóa, 2016)

Hướng dẫn giải

Áp dụng kết câu ta có

.

x      

2

12 10 10 10 12 12 11 31

6

Bài tập tương tự 2: Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm. Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm , gập nhơm hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn

A.x6 B.x3 C.x2 D.x4

(Trích đề minh họa THPT Quốc Gia, 2016)

Hướng dẫn giải

Tương tự tốn 1, nhơm có dạng hình chữ nhật trở thành

hình vng ta có

2 12

2

6 6

a b

a b a ab b a

x      x  

cm Đáp án C. Bình luận: ngồi giải dùng “công thức giải nhanh” thiết lập. Ta thấy cịn xét trường hợp đáp án để tìm lại số đo kích thước hình hộp từ tính thể tích so sánh tìm kết quả.

Bài tốn 2 Tìm chiều dài bé thang để tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ cao m, song song cách tường 0,5m kể từ gốc cột đỡ

A xấp xỉ 4902, m B.xấp xỉ 602, m C xấp xỉ 5902, m C.xấp xỉ 5902, m

(trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh, 2016)

● Trước tiên, ta minh họa mơ hình hình vẽ sau Để

xác định độ dài ngắn AC thì ta thử suy nghĩ xem nên

phân tích độ dài AC theo hướng ? Để từ định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ quan hệ cạnh , ta nhận thấy có hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất phân tích

2

AC AB AC và hướng thứ hai là ACAMMC

● Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta thử đặt

HC x 0  , đến cần tính AB theo x lập được

hàm số f x  biểu diễn độ dài AC Nhưng cách ? MH 4

   Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ định lý Thales thuận (

MH / /AB) nên ta có:

HC MH x

BC  AB x0 5, Bài toán trở thành tìm

  min f x ?

● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC x 0  khi

đó ta biểu diễn độ dài AC  P x   Q x  (việc khảo sát hàm này

khơng đơn giản chút nào) Do ta chuyển hướng sang tìm quan hệ

giữa góc cạnh tam giác nhận thấy  MCH AMK Đến đây

ta thấy hướng phân tích tiếp hồn tồn thuận lợi đó

MCMH sin AM MK cos Khi tốn trở thành tìm

  ming  ?

Hướng dẫn giải.

● Đặt HC x 0 BC x 5, Theo định lý Thales ta có

HC MH x

BC  AB x0 5,

Do ta có

x ,  AB

x  4

Do ABC vuông  

x , 

B AC AB BC x ,

x 

     

2

2 2

2

● Hay

x ,  x 

AC x    2 2

0 16

Đặt    

x x x x

f x x

x

   

 

4

2

65

16

4 0

Bài tốn trở thành tìm min f x  ? với x0.

Ta có  

x x x x x x x x x

f ' x

x                     

3 2

4

65 65

4 16 16

2

  x x x

f ' x

x

  

 

4 3

2 16

Cho

      

  x

f ' x x x x x

x loai                 2

0 2 1

0 Lập bảng biến thiên ta có:

x 0 2   

f' x  0 

  f x

  f

Dựa vào bảng biến thiên ta có min f xx0   f  

125

4

Do ta có min AC    , 125 5

5 5902

4 Đáp án C

Cách khác : Đặt x ACB ;          

Khi ta có

KM MH

AC AM MC

cos x sin x cos x sin x

     

2

Đặt g x   cos xsin x

1

2 Bài tốn trở thành tìm

  x ;

min g x ?

       

    o  

cos x sin x

g' x , g' x tan x x arctan ' ''

sin x cos x

         3 2

0 2 63 26

2

Lập bảng biến ta suy

   

min o

x ;

AC min g x g x ,

          5902

(mét) Đáp án C.

 Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý:

Một là, thật dù giải theo cách nào, ta gặp phải số khó

khăn định giải tìm nghiệm phương trình f' x  0 hay

 

đáp án để tìm nghiệm (bằng chức CALC máy tính cầm tay) sau kiểm tra qua f' x  0 hay g' x  0

Hai là, việc sử dụng” ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của hàm số này, ta vận dụng bất đẳng thức Giả sử đặt

ABb, BCa b  , a 

 

1

2

Dựng hệ trục Bxy BC Bx, BABy Ta có :

x y

AC :

a b 

Khi

1

M ; AC

2 2a b

 

   

   

Bài toán trở thành tìm AC min a b 

2 2

thỏa

1

1

2ab  ,a2,b

(việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc !)

Ba là, ta có:  

x x x x

f x x x

x

x x

   

   

     

   

4

2

2

65

16

16 65

4

4

  x x Cauchy

f x x .

x x x

 

           

3

2

2 3

8 65 65 125

3

2 4

         

Dấu “=” xảy x 2

Bài tập tương tự : Tìm chiều dài L bé thang để có thể tựa vào tường mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao 3m cách tường 1m kể từ tim cột đỡ

A.L5. B.L8 C.L

2 D.L4 2

Hướng dẫn giải

Đặt x ACB ;   

   

 

2 

Khi ta có

BH MH

AC AM MC

cos x sin x cos x sin x

      3

Đặt g x  cos xsin x 3

Bài toán trở thành tìm

  x ;

min g x ?

     





0

   

o

sin x cos x

g' x , g' x tan x

cos x sin x

tan x x ;



   

 

      

 

 

3

2

3

0

3

3

Lập bảng biến thiên , ta có: x

0



3 

2  x

g'  0 

  g x

5

  min

x ;

AC min g x g

     

 

   

 





0

5

(mét) Đáp án A

Bài toán 3 Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V (m3) khơng đổi, hệ số k0 cho trước (k tỉ số giữa

chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

 Phân tích:

● Với thể tích V cho trước quan hệ giữa

chiều rộng đáy chiều cao hình hộp ta hồn tồn biểu diễn độ dài chiều dài theo biến.

● Như ta cần hiểu yêu cầu toán “tiết

kiệm ngun vật liệu ?” Đó là làm cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích nhỏ hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải.

● Gọi x, y0xy chiều rộng chiều dài đáy hố ga Gọi h chiều cao hố ga h0

● Theo đề ta có hkx

V V

V hxy y

hx kx

    2

Khi ta có: tp    

V V

S xh yh xy x kx kx x

kx kx

     

2

2 2 2

Suy tp

k V k S kx x       

 

1 2

Xét hàm số  

k V k

f x kx

x

  

 

 

 

1 2

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f x  với x0.

   

k V

k x k V

k

f ' x kx

x kx             2 2

, cho  

  o

k V

f ' x x

k 

  3 

2

1

0

2 Lập bảng biến thiên ta có

x 0

xo 

 

f' x  0 

  f x

 o f x

Dựa vào bảng biến thiên ta có

   

x

k V

min f x f

k            2

Khi  

kV y k   2

1

 

k k V

h3 1

2 .

 Bình luận: Qua tốn ta cần lưu ý:

Một là, ta sử dụng bất đẳng thức để tìm min Stp   tp

k k k

V V V

k V

k k k

S kx kx

x x x k

        

      

     

     

2

2

1 1

2

2

2

.

Khi dấu ‘=” xảy

  k V k V k kx x x k            3 1 2

Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu toán ta

đến quan hệ tỉ lệ chúng là

      k V x k

kV kx h

y y

k k

k

k k V h                       3 2

4 2

1

Ba là, từ toán giữ nguyên giả thiết V const thay

thế ykxhay h ky (k tỉ số kích thước hình hộp)

liệu tốn có thay đổi ? Câu trả lời kết tương tự như ta khảo sát với h kx Do đó

Nếu

x,y,h ?

tp

V const 2kx 2y

min S ? h

y kx, k k k



 

        

   



Nếu

x,y,h ?

tp

V const 2ky 2h

min S ? x

h ky, k k k



 

        

   



Bài tập tương tự 1: Cần phải xây dựng hố ga có dạng hình hộp chữ nhật tích V m 3 , có chiều cao gấp lần chiều rộng cạnh đáy Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu ?

Hướng dẫn giải

Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp Dựa vào tốn 3, ta có:

x,y,h ?

tp

V hxy 6x 2h

min S ? y

h 3x, k 4



 

        

 



Như chiều cao gấp lần chiều dài khối hộp.

Bài tập tương tự 2: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h và

có thể tích 18m3 Hãy tính chiều cao h hồ nước cho chi phí

xây dựng thấp ?

A.h1m B.h2 m C.h m

3

2 D.h m

5 (Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016)

Hướng dẫn giải

Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp ● Theo đề ta có y 3x

V V

V hxy h

xy x

   

2

3

Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hố ga nhỏ nhất.

● Khi ta có: tp

V V V

S xh yh xy x x. x x x

x

x x

       

2

8

2 2 3

3

3

Ta có

Cauchy tp

V V V V

S x x

x x x

      

2

2 3

8 4 16

3 3 36

3 3

Dấu “=” xảy

2 3

2

4V 4V V

3x x h

3x      3x 2.Đáp

 Bình luận: so với tốn 3, tốn có điểm khác biệt chính đáy “khơng nắp” Bạn đọc tổng qt tốn lên thành

x,y,h ? y kx, k

min S V const



 



    

 

Bài tốn 4 Có hai vị trí A, B nằm phía bờ sơng (d) hình vẽ Khoảng cách từ A đến

bờ sông 30m Khoảng cách từ B

đến bờ sông 45m Khoảng cách A B 5 409 m Một người

đi từ A đến bờ sơng (phía A, B) để

lấy nước sau vị trí B Hỏi đoạn đường tối thiểu người từ A đến B (có ghé qua bờ sơng) (đơn vị m) ?

(Bài toán từ tác giả Hứa Lâm Phong , 2016)

 Phân tích:

● Gọi M điểm nằm cạnh ON

(vị trí để từ A đến để lấy nước từ bờ sơng Khi ta cần xác định M cho AM MB min

● Do đề cho độ dài AB, AO,BN

n ên ta mơ tả độ dài cạnh AM

theo OM(pytago tam giác AOM

) Tuy nhiên để biểu diễn độ dài cạnh

BM theo độ dài OM ta cần biểu

diễn MN theo OM Điều dẫn đến việc cần phải tính độ dài ON ?

   

ON d A; BN AB BN HN

     

● Đến ta nhận thấy biểu thức SAMMB OA2 OM2  MN2 NB2

 

 

f x

S x x

     

             2 302 100 452

(với x OM 0 x ON)

Bài toán trở thành tìm xmin f x ;ON   ?



Hướng dẫn giải. ● Gọi H hình chiếu vng góc A lên BN

Dựa vào hình vẽ ta có ONAH AB  BN HN  2

Gọi M vị trí mà người từ A đến bờ sơng, đặt OAx m  0x100

Khi ta có đoạn đường tối thiểu mà người phải là:

 

SAMMB OA2 OM2  MN2 MB2  S x2 302  100 x 452 Đặt f x   x     x 

2

2 2

30 100 45

với 0x100

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f x  với 0x100

       

 

x tm

x x

f ' x , f ' x

x ktm

x x x

   

    

 

   

2 2

40 100

0

200

30 12015 200

Khi lập bảng biến thiên ta có

x 0 40 100  

f' x  0 

  f x

125

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: minSxmin f x0 100;    f 40 125 m

 Bình luận: ngồi cách giải ta sử dụng “bất đẳng thức

tam giác” để giải như sau:

 

AMMBMA' MB BA' min AMMB BA' A', M , B

thẳng hàng. Do BA' A' B'2BB'2  1002 752 125

Bài tập tương tự 1: Có hai vị trí A, B nằm phía bờ sơng (d) hình vẽ Khoảng cách từ A đến bờ sông là upload.123doc.net m Khoảng cách từ B đến bờ sông 487 m. Khoảng cách A B 615 m Một người từ vị trí A đến bờ sơng (phía A, B) để lấy nước sau vị trí B Hỏi đoạn đường tối thiểu người từ A đến B (có ghé qua bờ sơng) ? (đơn vị m)

(Trích đề thi HSG giải tốn máy tính cầm tay, Tây Ninh, 2006)

Hướng dẫn giải

Gọi M điểm thuộc cạnh HK Khi ta có AM MB MA ' MB A ' B   

Do      

2

2 2

min

AM MB A 'B BB' A 'B'  BK HA ' AB  BK AH

 2  2

A ' B 487 118 615 487 118 608089 779,800612 m

       

Bài tập tương tự (theo Thầy Lê Phúc Lữ): Có hai cột A B dựng mặt đất cao 1m 4m, đỉnh hai cột cách 5m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai cột) để giăng nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài ngắn sợi giây ?

A 41 m B 37 m C 29 m D m

Hướng dẫn giải

Gọi A’,B’ điểm đối xứng A B qua cạnh DE Ta có AC CB CA ' CB BA '     BB'2B' A '2  41

(việc tính tốn cụ thể xin dành cho bạn đọc) Bài tốn 5 Có sở in sách xác định rằng:

Diện tích tồn trang sách S cm 

Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu dòng cuối phải cách mép (trên dưới) trang sách

 

a cm Lề bên trái bên phải phải cách mép trái mép phải trang sách

    b cm ba

mô tả hình vẽ Các kích thước trang sách diện

tích phần in chữ có giá trị lớn Khi xác định tỷ số kích thước trang sách

 Phân tích:

● Rõ ràng tốn vơ thực

tế mà ta thấy hàng ngày Khi cầm tay quyển sách bạn tinh ý biết ngay

nó thuộc khổ 20x30 số sách của

trang sách ? Chúng ta thử trở lại toán này, giải câu hỏi để tìm câu trả lời !

● Qua hình vẽ mơ tả, ta tính phần diện tích in chữ sau

thơng qua cạnh trừ cách mép ngang dọc Vì đó ta có: Px 2b y   2a kèm với giả thiết S xy , x, y lần lượt

là chiều rộng chiều dài trang sách ● Từ ta

S x

y 

hay

S y

x 

để thay vào biểu thức P từ đưa đến việc tìm max P x  hay max P y  .

Hướng dẫn giải.

● Gọi x, ylần lượt chiều rộng chiều dài trang sách 0xy đồng thời P diện tích phần in chữ trang sách.

Khi chiều rộng phần in sách

x x b, b  

 

2

Và chiều dài phần in sách

y y a, a  

 

2 ● Theo đề ta có: Px 2b y   2a  * Mặt khác,

S S xy y

x   

, thay vào (*) ta   S

P x b a

x

 

    

 

2

Suy

bS

P S ab ax

x

 

     

 

2

4

● Đặt  

bS f x ax

x 2 2

với x0 Ta nhận thấy max P min f x 

  bS   bS

f ' x a , f ' x x a x

    

2

2

2

Và đồng thời   bS f '' x

x

 

2

4

0 x  ;   

bS

min f x f abS

a

 

 

    

   

0

Khi

y

bS aS S a

x , y

a b x x b

     

2

Hai là, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy

  bS bS

f x ax ax. abS

x x

2 2 2 2 4

Dấu “=” xảy

bS bS

ax x

x a

2  

S aS y

x b

 

Do ta có

y S a

x x2  b

.

Bài tập tương tự 1: Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 384cm2.Lề 3cm Lề trái phải 2cm Để

diện tích phần chữ in vào sách nhiều kích thước trang giấy

A Dài 24cm, rộng 16 cm B. Dài 26 cm, rộng 14 77, cm C Dài 25cm, rộng 15 36, cm D Dài 25 6, cm, rộng 15 cm

Hướng dẫn giải

Áp dụng kết trên, ta có

x y x

y

y

x x x

   



     

 

 

 2

3 16

384

24

2 256 Đáp án A.

Bài tập tương tự 2: Một trang chữ sách giáo khoa cần diện tích 486cm2.Lề 3cm Lề trái phải 2cm Để

diện tích phần chữ in vào sách nhiều kích thước trang giấy

A Rộng 18cm, dài 27 cm B. Rộng19 cm, dài 25 57, cm

C Rộng 20 cm, rộng 24 3, cm D. Rộng 17 cm, dài , cm

28 59 .

Hướng dẫn giải

Áp dụng kết trên, ta có

x y x

y

y

x x x

   



     

 

 

 2

3 18

486

27

2 324 Đáp án A.

Bài toán 6 Một đường xây dựng hai thành phố A B Hai thành phố bị ngăn cách sơng có chiều rộng

 

sông khoảng a km , B cách sông khoảng bằng

 

b km 0 a b hình vẽ Hãy xác định vị trí xây cầu EF (theo hình

vẽ) để tổng khoảng cách hai thành phố nhỏ ?

 Phân tích:

● Ta thấy ràng vị trí xây cầu để tổng khoách cách thành phố

là nhỏ tương đương với độ dài đường gấp khúc AFEB nhỏ nhất.

● Lúc đề gợi ý số liệu a, b r nên ta giả

thiết khoảng cách AF hình vẽ với AF vng góc BF Khi ta

đặt  

CF x

0 x p ED p x AF p

 

     

 

● Tổng khoảng cách lúc là

 

SAFEFEB x2 a2  r p x b2

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số S x  với x p

 

Hướng dẫn giải. ● Đặt AFp vàCF  x ED p x0xp

Khoảng cách hai thành phố  

SAFEFEB x2 a2  r p x b2

Đặt S x   x a  r p x  b

2 2

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số S x  với x p

 

Khi  

 

x p x

S' x

x a b p x



 

  

2 2

     

         

S' x x b p x p x x a

x b p x p x x a a b x a px a p *

      

 

          

 

 

2

2 2

2

2 2 2 2 2

0

Xét  ' a p4  a p a2 2  b2 a p b2 2 0

Do

   

  a p apb ap

x ; p

a b a b

pt *

a p apb ap

x ktm

a b a b

 

  



 

 

 

 



 



2 2

2

0

Mặt khác  

     

 

a b

S'' x , x ; p

x a b p x

    

  

2

3

2

2 2 2

0

Do  

ap minS x S

a b     

  

Vậy để khoảng cách hai thành phố ngắn

ap x

a b 

 .

 Bình luận: ta thấy chiều dài r cầu đại lượng bất biến vấn đề chọn vị trí thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E trong hình vẽ để tạo quãng đường ngắn Dĩ nhiên ta đặt ra câu hỏi liệu cịn cách khác hay khơng ?

Gọi B’ ảnh B qua phép tịnh tiến EF Khi AB' CF D 

Với vị trí đặt cầu EF ta ln có:

BE EF AF B'F DK AF DK B'A DK B'D DA const          

Dấu “=” xảy  F D Khi  

2

S B'A EF   p  b a r

Bài tập tương tự 1: Hai thành phố A B nằm hai phía khác nhau sơng thẳng, lịng sơng

(Trích đề thi HSG giải tốn máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012)

Hướng dẫn giải

Sử dụng kết quan trọng toán vừa ta xác định đại lượng quan trọng p (chính đoạn BE song song dịng sơng, BE vng EA)

Khi  

2

2 231

p AB 0,8 1,5

10

    

đồng thời

ap 1,5.p 231 x

a b 1,5 50

  

 

Lúc minS x a  r p x  b  ,

2 2 16 4

Hoặc sử dụng kết cách giải qua bất đẳng thức hình học :  2

2

S p  b a  r 16,

Bài tập tương tự 2: Một đường dây điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C khoảng cách ngắn từ B đến C km, khoảng cách từ B đến A 4 km minh họa hình vẽ sau:

Biết rằng km dây điện đặt nước 5000 USD, đặt đất 3000 USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn ?

A km 15

4 B. km

13

4 C. km

10

4 D. km

19

Hướng dẫn giải

Gọi x km  khoảng cách từ S đến tới điểm B SBx0x4 km Khi khoảng cách từ SA 4 x km   SC BC2 BS2  1x2 (km)

Chi phí mắc dây điện từ A qua S đến C là:

   

C x 3000 4 x 5000 1x ,2 với 0 x 4

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số C x  với 0x4

  x x x

C' x

x x

   

 

   

 

   

2

2

5000 3000 1000

1

     

 

  

x tm

x do x

x ktm

  

     

  

2

3

9 4

0

3 16

4 .Lại có:

 

   

C'' x , x ;

x

   



3

5000

0

Do xmin C x ;    C     

 

0

3

16000

4 (USD).

Vậy, để chi phí tốn điểm Sphải cách A

AB BS  4 13km 4 .

Bài toán 7 Giả sử bạn chủ xưởng khí vừa nhận đơn đặt hàng thiết kế bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít Để tốn nguyên vật liệu nhất, bạn chọn giá trị cho độ cao bồn nước giá trị ?

A.0,3 mét B. 0,4 mét C. 0,5 mét D.

0,6 mét

(Trích đề thi thử lần 4, Facebook: Group Toán 3K , 2016)

 Phân tích:

● Ta đặt số câu hỏi định hướng sau:

Một là, để tốn nguyên vật liệu ? Hai là, tổng qt tốn lên

không ?

● Ta nhận thấy để tốn ngun vật liệu thì

diện tích xung quanh phần vỏ bao bên ngồi bồn chứa nước với diện tích đáy nắp phải nhỏ Hay xác ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ ứng với thể tích mà đề cho Mà ta đã biết Stp Sxq  Sday  rh r

2

2 2 (với r, h bán kính đáy chiêu cao

của bồn nước hình trụ) Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo biến r h Và đến ta hiểu đề lại cho sẵn dung tích

2

Vr h const tức cho mối liên hệ bán kính đáy r và

chiều cao h hình trụ Từ

V

V r h h

r

  



2

● Như ta tìm minStp phụ thuộc theo biến r hoặc

h Và ta nhận thấy nên tổng quát toán lên thành V const thay

vì xét riêng lẻ trường hợp V 20 (lít) Hướng dẫn giải.

V

V r h h

r     2

● Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r cho diện tích tồn phần khối trụ nhỏ

Do tp

V V

S r rh r r r

r r                   

2 2

2

2 2 2

● Xét hàm số

V f (r) r

r

 



Bài tốn trở thành tìm f rr 0   ?



Ta có:    

V V V

f ' r r , f ' r r h

r           3 2 .

Lập bảng biến thiên, ta có:

r V    

f r'  0 

 

f r

V f 

 

 

3

2

Dựa vào bảng biến thiên, ta có r  

V f r f

          .

Khi  

V .

h   , dm  , m

 

3 4 20 2 94 0 29

Đáp án A

 Bình luận: ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy

tp

V V V V V V

S r r . r h

r r r

                            

2 3 3 3

2

4

2 2

2

Thay V 20vào ta h2 94, (dm)0 29,  m Ta chọn đáp án A.

Đồng thời với việc tổng quát toán lên, ta nhận thấy,

V h

h r

r  V   

  3 2 .

Bài tập tương tự 1: Trong số khối trụ có diện tích tồn phần S, khối trụ tích lớn bán kính đáy rvà đường cao

h thỏa mãn:

A.

S r h



2 B.

S r h



C.

S r h



5 . D.

S r h



6 .

Hướng dẫn giải

Ta có tp

S r S

S r rh h r

r r



        

 

2

2

2

2

S rS

V r h r r r

r

 

     

 

  



2

2 .

Xét hàm số  

rS f r   r3

2 Bài tốn trở thành tìm max f rr0   ?

    o

S S

f ' r   r , f ' r  r  

3

2

Lập bảng biến thiên, ta có:

x

ro



 

f' x  0



 

f x

1250

ta thấy r  

S max f r f



 

  

 

  

0 6

S r h



6 .

Bài tập tương tự 2: bạn muốn xây dựng bình chứa nước hình trụ tích 150m3 Đáy làm bêtơng giá 100 nghìn VNĐ/m2,

thành làm tơn giá 90 nghìn VNĐ/m2, nắp nhơm khơng gỉ

giá 120 nghìn VNĐ/m2 Vậy phải chọn kích thích bình để

chi phí xây dựng thấp ?

Hướng dẫn giải

Gọi r ,hlần lượt bán kính đáy chiều cao bình chứa hình trụ r , h0.

Khi đó: V r h m  hr

2

2

150 150

Tổng chi phí xây dựng P r  100.Sday binh 90Sxq 120.Snap binh

  day xq  

P r S S r rh r

r

  

 220 90 220 90 220 27000

Bài toán trở thành tìm minP r  ? với r 0 Ta có P' r   r r , P' r    ro  

3

27000 675

440

r 0

ro   

P r'  0 

  P r

Pmin

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán  r 

3 675

11 và h



 

 

 

 

 

2

150 675 11

Bài toán 8 Một chủ trang trại nuôi gia cầm muốn rào thành chuồng hình chữ nhật sát sát sơng, chuồng nuôi gà chuồng nuôi vịt Biết có sẵn 240 m hàng rào Hỏi diện tích lớn bao quanh chuồng ?

 Phân tích:

● Xét hình chữ nhật ABCD hình vẽ.

Ta cần rào cạnh AB, BC, CD, EF hình

vẽ Việc đề cho ta 240 m rào tức là

đã cho tổng chiều dài cạnh AB, BC,

CD, EF hay 3AB BC 240 với yêu cầu max

S AB.BC

● Như ta đặt AB x 0  đó

độ dài cạnh BC BC 240 3x  0 Và

do đó

 

Sx 240 3 x 240x 3x2

Hướng dẫn giải.

● Xét hình chữ nhật ABCD hình vẽ, đặt ABx(x0) Khi BC240 3 x0 x80.

Diện tích hình chữ nhật ABCD Sx240 3 x 240x 3x2

● Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f x  với x

  80

Xét f x  240x 3x2  f ' x  240 6 x, f ' x   0 x40 Do f '' x  60, x 0 80; 

Do maxSxmax f x0 80;    f 40 4800 x40

 Bình luận: ta biến đổi f x   x x   x  

2

240 4800 40 4800. Dấu “=” xảy x40.

Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy

       x x

f x x  x  x  x    

2

3 240

1

240 3 240 4800

3

Dấu “=” xảy 3x240 3 x x40

Bài tập tương tự 1: Một khu vườn hình chữ nhật xây dựng bên cạnh nhà để xe Người làm vườn có hàng rào dài 100 m dự định làm hàng rào cạnh: mặt bên nhà để xe cạnh thứ Kích thước làm cho diện tích khu vườn lớn ?

Hướng dẫn giải

Gọi x m  chiều rộng cạnh hình chữ nhật hình vẽ 0x100

Khi chiều dài cạnh hình chữ nhật x

 100

Diện tích hình chữ nhật S x 100 2 x Xét hàm f x  x100 2 x , x  0 100;  Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f x  với x0 100;  Ta có: f ' x 100 4 x, f ' x   0 x25 tm

Lập bảng biến thiên ta có:

x

25 100

 x

f'  0



 

f x

1250

Dựa vào bảng biến thiên, ta có xmax f x0 100;    f 25 1250

Vậy, hình chữ nhật có chiều rộng 25 m chiều dài 50 m thỏa yêu cầu toán

m2

, ba mặt hàng rào song song chi phí ngun vật liệu 50.000 đồng/m2 Tính diện tích lớn đất rào thu ?

A.6250m2 B.1250 m2 C.3125m2 D.50 m2

Hướng dẫn giải

Gọi x, y chiều dài chiều rộng chiều dài khu đất hình chữ nhật

Ta có 15006 6.x.  y.  x15y số tiền dùng để làm hàng rào

Khi ta có  

x

y100 0 0 x250

Khi diện tích khu đất

x x

Sxyx   x

 

2

2

100 100

5

Xét  

x f x  x

2

2 100

5 tốn trở thành tìm xmax f x0 250;    ?

  x  

f ' x , f ' x x

 100  0 125

Lập bảng biến thiên ta có:

x

125 250

 x

f'  0



 

f x

6250

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: xmax f x ;    f 

 

0 250 125 6250 Đáp án A

Bài toán 9 Cần phải đặt đèn điện phía bàn hình trịn có bán kính r Hỏi phải treo độ cao h để mép bàn được nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C biểu thị công thức

sin C k

l   2

( là góc nghiêng tia sáng và mép bàn, k - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng.

h

r

I

l

 Phân tích:

● Gọi ký hiệu l, M, N ,O,I hình vẽ

Ta cần tìm cường độ chiếu sáng lớn biểu thức

sin C k

l   2

phụ thuộc vào góc  chiều dài l Do ta cần tìm một

đẳng thức quan hệ biến thông qua số (bất biến) Ở đây số r (bán kính hình trịn bàn)

● Dựa vào hình vẽ, ta có

h sin

l  

.

Đồng thời h2 l2  r2 Điều có nghĩa là

 

l r

C k l r

l



 

2

● Bài tốn trở thành tìm rmax fl ?0;l   

Hướng dẫn giải. Gọi h độ cao đèn so với mặt bàn (h0) Các ký hiệu l, M, N ,O,I hình vẽ

Ta có

h sin

l  

h2 l2  r2  cường độ sáng  

l r

C k l r

l



 

2

Đặt  

l r

fl k

l

 

2

Bài tốn trở thành tìm rmax fl ?0;l   

Ta có:  

 

l

l l r

l l r

l r

f ' l k kl

l l l r

 

  

 



4

2 2

2 2

2

2

6 8 2 2

3

3

Cho f ' l    l  r  l    lr r

2 2

0

2 Lập bảng biến thiên ta thấy

l 0 r r

3 l

 x

f'  0 

 

f x

max h

r

O

N

M I

l

Dựa vào bảng biến thiên, ta có     r ;l

max fl f r



      

0

3

Và

r h l2  r2  3r2  r2 

2

 Bình luận: so với tốn trước toán này, đề đã xác định sẵn hàm cho lại đòi hỏi ta phải biến đổi và tìm mối liên hệ biến từ định hướng tìm lời giải So về độ khó tốn khác, tốn có phần dễ hơn. Sau ta thử xét số tập tương tự khác xem ?

Bài tập tương tự 1: Với đĩa tròn thép trắng phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình nón Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?

Hướng dẫn giải

Gọi x chiều dài cung trịn phần đĩa xếp làm hình nón

Như vậy, bán kính R đĩa đường sinh hình nón vịng trịn đáy hình nón có độ dài x

Bán kính r đáy xác định đẳng thức

x r x r





  

2

Chiều cao hình nón tính theo Định lý Pitago

x

h R x R



   

2

2 2

2

4

Thể tích khối nón

x x

V r h  R

 

 

    

 

2 2

2

2

1

3

 

V x R x

   



2 2

2

1

4

24 Đặt f x  42R x2  x ,6 0x2R

    R

f ' x   R x  x , f ' x   x  

2

2

16

3 R

Lập bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu toán tương đương với

R x2

3

Cách khác: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy, ta có:

x x x

R

x x x R

V  . . R      .

  

 

  

 

 

 

    

 

 

 

 

3

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

4 8 8 4

9 8 9 27

x x

max V R x  R , R

 

      

2

2

2

2

6 15

8

Do số đo cung x tính độ xấp xỉ 2950 suy cung

của hình quạt bị cắt 3600  2950 650 Bài tập tương tự 2: Cho hình nón đỉnh S, chiều cao h Một khối nón có đỉnh tâm

của đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết 0xh ?

A h x

3. B

h x

2

C h x2

3 D

h

x

3

Hướng dẫn giải

Gọi O tâm đáy hình nón S, I tâm đường trịn thiết diện song song với đáy nón cho

Gọi R,r bán kính hai đường trịn đáy hình nón O và đường trịn thiết diện (0 r R)

Ta có:  

SI r h x r R

r h x

SO R h R h



     

Ta có

   

 

non

f x

R R

V x r x. h x x h x

h h



 

    

2

2

2

2

1

3 3     

Ta thấy max Vnon max f x  với 0 x h

Khi            

h f ' x  h x  2x h x  h x h  3x , f ' x  0 x

3

Lập bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán x  ;h  

h R h

max f x f 



 

   

 

2

Cách khác:        

 x h x h f x x h x  x h x h x     

3

2 1 2

2

2 27 27

Dấu “=” xảy

h x h x   x

3

Bài tốn 10 Màn hình TV đặt thẳng đứng sân vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nằm phía tầm mặt khán giả A ngồi 8,5m Một khán giả B có góc quan sát TV thuận lợi góc đối diện với hình TV cực đại, khoảng cách

giữa khán giả A B ?

 Phân tích:

● Do đề yêu cầu góc quan sát  thuận lợi (tức lớn nhất) nên ta tìm cách biểu thị khoảng cách x theo góc .

● Một nhận xét quan trọng max  max tan , lại có  2  1 nên

ta thử tính

 

 

 

g x

, , , ,

tan tan x x x ,

tan

tan tan , , ,

x

. x

x

x x

  

    

 

 



   

 

 

 

2

2

2

2

2 8

2 1853 1853

1 2 8 5

1

1 20

20

● Đến đây, tốn trở thành tìm g xx0   ?

Hướng dẫn giải.

Gọi x khoảng cách từ khán giả B đến khán giá A Ta thấy u cầu tốn xác định max để từ suy khoảng cách x ?

Ta có

 

 

 

g x

, , , ,

tan tan x x x ,

tan tan

tan tan , , ,

x

. x

x

x x

 

  

 

  

     

 

 



2

2

2

2

2 8

2 1853 1853

1 2 8 5

1

1 20

20    

Ta thấy max  max tan   min g x  Đặt g x   x x

1853

20 Bài toán trở thành tìm xmin g x0;   ?

Ta có: g' x    x2 , g' x    xo   ,

1853 1853

1 63

20 20

x

xo



 x

g'  0 

  g x

ta suy     xmin g x; g

 

  

 

 

0

1853

20 thỏa u cầu tốn.

 Bình luận: có vài điều ta cần lưu ý giải với tốn liên quan đến góc là

Một là, tỉ số lượng giác max  max sin  maxtan với

0  10

Hai là, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị maxg(x) sau:

  Cauchy

g x x x.

x x

 1853  1853 2 1853

20 20 20 . Dấu “=” xảy ra

1853 1853

x x

20x 20

   

Ba là, việc sử dụng công thức  

tan tan

tan tan

tan tan



  



 

  

 

2

2

2

1 giúp ta

chuyển toán từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt câu hỏi) Hai tập tương tự giúp bạn rèn luyện củng cố thêm cho mình.

Bài tập tương tự 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ?

Hướng dẫn giải

Với toán ta cần xác định OA ?  BOC max

Điều xảy

tan BOC  max Đặt OAx m , x  0 Ta có

 

tan BOC tan AOC AOB

AC AB

tan AOC tan AOB OA OA

AC.AB tan AOC.tan AOB

OA

 

 

 



 2

1

1

  

 

  , x

f x tan BOC , x

x ,

   



2

1

0 76 

Bài tốn trở thành tìm x0 để f x  đạt giá trị lớn

   

   

x

, x ,

f ' x , f ' x x , x ,

x ,



 

       



0

2

1 76

0 76

5 76

x

2, 

 

f' x  0



 

f x 84 193

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m

Bài tập tương tự (trích từ đề thi TSĐH môn Vật Lý khối A-A1 năm 2013) Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O1 O2 dao động pha, biên độ Chọn hệ tọa độ vng góc xOy có OP4 5, cm OQ8cm Phải dịch chuyển nguồn O2

trên trục Oy để góc PO Q2 có giá trị lớn ?

Hướng dẫn giải

Đặt O O1  x

PO Q ;

   

 

2

2



Để góc max tan max

Ta có:  

tan tan

tan PO Q tan

tan .tan

 

 

 



  



2

2

2

1



,

,

x x

tan PO Q

,

. x

x x x



  

 

2

8

3

8 36

1



Để tan PO Q max x x min

 

    

 

2

36



Ta có x x  

36

2 36 12

Dấu “=” xảy  x x  x

36

6

Bài tốn 11 Cơng ty mỹ phẩm chuẩn bị cho mẫu sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế

là khối cầu viên ngọc trai khổng lồ, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da hình vẽ (hình ảnh mang tính chất minh họa) Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R3 3cm Tìm thể tích lớn nhất khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn (với mục đích thu hút khách hàng)

A.54 cm3 B.18 cm3 C.108 cm3 D.45 cm3 (Sưu tầm Facebook, theo Vũ Thị Ngọc Huyền)

 Phân tích:

● Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa

cầu hình vẽ bên Gọi h, r lần lượt là chiều cao bán kính hình trụ

● Ta thấy thể tích khối trụ

sẽ là:

tru

V r h2 (phụ thuộc theo biến r và

h).

● Ta lại có mối liên hệ chúng h2 r2 R2 const Để thuận tiện

ta tính r theo h

Hướng dẫn giải. Ta có Vtru r h

2

Lại có r2 R2  h2

Suy Vtru r hh R  h 

2 2

Xét f ' h  h R  h2,0hR Bài toán trở thành tìm hmax fh ? ;R  



0

Khi f ' h  R2  3h2 ,  

R f ' h  0 h R

3 . L p b ng bi n thiên ta có:ậ ả ế

h

0

R

3 R  

fh'  0 

  fh

R f 

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: h  ;R  

R max fh f



      

0 3

Khi ta có:  

R

tru tru

R R R

V r hh R  h  R       V  

 

2

3

2 2 2

54

3 3

 Bình luận: ngồi cách giải trên, ta làm sau:

Đặt  

h R cos x x r R sin x        0 90

.Vtru r hR sin x.cos x

2

Xét f x  sin x.cos x2 Bài tốn trở thành tìm

  x ;

max f x ?

       

Đặt t cos x,t ;  g t    t t g' t     

2

0 1

Khi       t m g' t t ktm          

3

Lập bảng biến thiên ta suy ra

 

   

t ; x ;

max f x max g t g t cos x

                   1 3

Khi ta có  

R R

V R        V   cm

 

3

3

3 1 54

3 3 3

Bài tập tương tự 1: Cho hình trụ nối tiếp hình cầu bán kính R.

Xác định chiều cao bán kính để hình trụ tích lớn ?

Hướng dẫn giải

Gọi h,r lần lượt chiều cao bán kính đáy hình trụ nội tiếp khối cầu

Khi ta có

h h

r R r R

 

    

   

2 2

2 2

2

Mặt khác,

h V r hh R  

 

2

2

4

Xét hàm số      

h h R

fh h R  ,  h R  f ' h R    h 

 

2

2

0

4 3

Lập bảng biến thiên, ta có u cầu tốn tương đương với

Bài tập tương tự 2: Diện tích hình chữ nhật nội tiếp nửa hình trịn bán kính R3

(xem hình đây) có giá trị lớn bằng:

A.9 B.6 C.6 D.7.

Hướng dẫn giải Đặt OQx,0x R 



MNPQ

PQ x

S PQ.NQ x R x

NQ R x

 



   



 

 

2 2

2

2

SMNPQ x R x 

 4 2

Đặt f x 4x R2 2 4x4 Bài toán trở thành tìm xmax f x0;R   ?

Ta có    

R R

f ' x  xR  x , f ' x   x   x

2

8 16

2

Lập bảng biến thiên ta suy x ;R  

R

max f x f R



 

   

 

0 2

Cách khác: áp dụng bất đẳng thức Cauchy MNPQ

x R x

S  x R  x  .   R

2 2

2 2

2

2

Dấu “=” xảy

R x R2 x2  x

2 .

Bài toán 12 Một chất điểm chuyển động theo quy luật  

s t 6t2   1, s tính theo mét, t tính theo giây Trong giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là:

A t3 B.t1. C.t2 D t4

 Phân tích:

● Với kiến thức Vật lý học, ta biết v t  s ' t  Do để tìm giá trị lớn giây t0;5 ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học.

Hướng dẫn giải

       

v t s' t 12t 2,v' t ,v' t6 12  0 2. Lập bảng biến thiên ta có:

t 2 5  

v t'  0 

  v t

3

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 

 

  t 0;5

max v t v



 

 Bình luận: Ứng dụng đạo hàm Vật lý đa dạng nhưng đặc biệt thể rõ nét qua tốn chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Khơng riêng tốn chuyển động vậy, ta bắt gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý toán khác Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi toán sau để hiểu rõ hơn.

Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s t  km hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuân theo biểu thức sau: s t  et  te  km

2 3 3 1

2 Hỏi vận tốc tên lửa sau giây (biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian) ?

A.10e km / s4  B.5e km / s4  C.3e km / s4  D 9e km / s4 

Hướng dẫn giải

    t t    

v t s' t e  e  te  v e e e e km / s

 2 2 6  2 2 6 10

Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động chất điểm sf t  t3  9 , với đơn vị đo t giây, s mét Khi chất điểm đứng yên biết biểu thức phương trình v t  điểm t biết v t  f ' t  ?

Hướng dẫn giải

Theo đề ta có: v t  f ' t  3t2  12 9

Chất điểm đứng yên  

t

v t t

t         

 

2

0 12

3

Bài tập tương tự 3: Một máy bay Cessa cất cánh từ sân bay gần mặt nước biển có quỹ đạo bay theo hàm số h t  2000ln t 1 với h tính theo feet t tính theo phút Tính tốc độ cất cánh thời điểm

t3 phút ? (biết 1 feet 0 3048, mét)

Hướng dẫn giải

 

h' t , t t

    

2000

1

1 Do tốc độ cất cạnh h' 3 500 feet152 4, mét

Bài toán 13 Một nguồn điện với suất điện động E điện trở r nối với biến trở R hình vẽ Với giá

trị biến trở cơng suất tỏa nhiệt tồn mạch đạt cực đại ?

C.r3R D.r4R

 Phân tích:

● Để làm dạng tốn này, trước tiên ta cần có kiến thức

dòng điện chiều học lớp dưới: cơng suất tỏa nhiệt tồn

mạch PR I2 và đồng thời cường độ dòng điện mạch là

E I

R r



 .

● Đến ta thấy P tính theo R r Và ta vận

dụng kiến thức đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P.

Hướng dẫn giải.

Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có PR I2 với

E I

R r

 

   

RE

P R

R r

  



2

2

Xét hàm số  

 

RE f R

R r 



2

với R0

Ta tìm

     

     

R r R R r r R

f ' R E E , f ' R r R

R r R r

   

    

 

2

2

4

2

0 Lập bảng biến thiên ta có:

R  r  

f' R  0 

 

f R f r 

suy     E max f R f r

r

 

2

4 Ta chọn đáp án A.

 Bình luận: Ta dùng bất đẳng thức Cauchy để giải nhanh tốn sau:

Ta có  

RE E E E

P

r r r

r

R r r R

R

   



  

2 2

2 2 2 4

2

2 Cauchy

r r

R R

R R

  

Dấu “=” xảy

2 r

R r R

R

   

Đáp án A.

Bài tập tương tự 1: Một dòng điện (đơn vị Ampere – A) mạch máy khuếch đại tuân theo hàm số theo thời t(giây – s) cho công

thức i t  , cos t  

 

   

 

0 120

Hướng dẫn giải

 

i' t  sin t 

 

12 120

6 Ta có VL Li' t  . sin t  V  

  

    

 

3

24 10 120

Bài tập tương tự 2: Mạch điện xoay chiều gồm biến trở, cuộn dây không cảm tụ điện ghép nối tiếp Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp có biểu thức uU sin t V   Trong U  khơng đổi Khi biến trở R75 cơng suất tiêu thụ biến trở đạt giá trị lớn Xác định điện trở cuộn dây tổng trở Z mạch AB Biết chúng có giá trị nguyên

A.r21 Z 120  B r 15 Z 100 . C. r12 Z 157 . D. r35 Z 150 .

(trích thi thử lần - THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An 2012)

Hướng dẫn giải

Mạch gồm (R đổi) (L-r) -(C) có U  = const Ta có:

Ta có

     

2 2

R 2 2 2 2 2

L C L C

U U R U

P R

Z R r Z Z r Z Z

2r R

R

  

 

    

 

 

 

 

 2

L C R max

r Z Z

P R Min

R

   

 

  

 

 

Dùng đạo hàm áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 

 

2 Cauchy

2

L C

L C

r Z Z

R r Z Z

R  

   

Dấu “=” xảy

 2 2

L C

R r Z Z

   

Trở lại với tốn ta có R 75, r , ZAB

Ta có:

     

2

2

2 2

AB L C L C

R

Z  R r  Z  Z  R 2Rr r  Z  Z  2R 2Rr       

   

AB

Z 150 75 r 75 r

    

Do ZABZ 75 r 6k   r 6k  75 Mặt khác ta có

2

0 r R 75 6k 75 75 k

         

Lại có: k r 21 ZAB 120 Đáp án A.

Bài tập tương tự 3: Cho mạch điện xoay chiều AB hình vẽ

 

AB

u 200 2sin100t V , R , C   F 

 

4

10 100

A.   H

B.   H

C.  H

D.   H

1 Hướng dẫn giải:

Cảm kháng ZL L dung kháng ZC C  

1

100

Đồng thời tổng trở Z R ZL  ZC

2

Ta có  

L L L C C L L UZ U U IZ Z Z R Z Z Z       2 2

Đặt L    C  C

X f X R Z X Z X

Z

    2  1

Khi UL max  f X min Do f X là tam thức bậc hai với

C

aR2 Z 0  

minf X



đỉnh parabol  

C C

C C

Z R Z

b

X L H

a R Z Z 

        2 2 2

Và  

C L max

U R Z

U V R    2 200

* Nhận xét: Nếu L = const, tụ C có điện dung thay đổi Tìm C để UC max

đạt giá trị cực đại ta làm tương tự kết là:

L L

C max C

L

U R Z R Z

U Z

R Z

 

  

2 2

Bài toán 14 Khi cá hồi bơi với tốc độ v km / h  ngược dịng nước, lượng sản đơn vị thời gian v3  J

, đơn vị Jun Người ta thấy rằng, cá di cư cố gắng cực tiểu hóa lượng tổng thể để bơi cách định Nếu vận tốc dòng nước

 

a km / h thời gian cần bơi khoảng cách L v aL năng lượng sản  

L

E v qv

v a

 

q số dương Để giảm thiểu tối đa lượng bơi quãng đường Lthì tốc độ v cần thỏa mãn A a v B. a v3

2 C.

a v5

2 D.

a v7

2

(Bài toán từ tác giả Hứa Lâm Phong , 2016)

● Do toán cho ta sẵn hàm  

L

E v qv

v a

 

nên ta ứng

dụng đạo hàm tìm E (lưu ý v a )

Hướng dẫn giải.

     

 

 

 

v v a v v v a

L

E v qv E' v q q , v a

v a v a v a

  

     

  

2

3

2

3

  a

E' v  0 v3

2 .Lập bảng biến thiên ta thấy v

0

a

2 

 v

E'  0 

  E v

a3

27

Dựa vào bảng biến thiên ta có:  

a

min E v E  a  

3

3 27

 Bình luận: trong thực tế, khảo sát việc bơi ngược dòng của những cá này, ta thấy tốc độ chúng gần gấp 1,5 lần tốc độ của dòng nước.

Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho bởi

công thức:  

, v f v

, v , v 

 

2

290

0 36 13 264 (xe/ giây), v km / h)  vận tốc trung bình xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn ?

Hướng dẫn giải

   

 

, v , v

f v f ' v , , v

, v , v , v , v

 

   

   

2

2 2

290 36 264

290

0 36 13 264 0 36 13 2 264

   

f ' v v , km / h

,

 0  264 10 66 27 08

0

Lập bảng biến thiên ta có:

v 0

10 66

3



 

f' v 0  0 

  f v

max

tốc bơi cá nước đứng yên v km / h  lượng tiêu hao cá tgiờ cho công thức E v cv t3 (trong c một

hằng số dương, E tính đơn vị Jun) Cá bơi ngược dịng quãng đường 300 km khoảng thời gian t với vận tốc bao

nhieu để lượng tiêu hao thấp ?

A.12km / h B.9 km / h C.21km / h D 15km / h

Hướng dẫn giải

Vận tốc cá bơi ngược dịng v

Do thời gian để quãng đường 300 km

300

t v 



Do lượng tiêu hao  

3

300

v

E v c

v 



Do    

3

0

6

v

c E v f v

v

    



Với

   

     

 

 

2 3

2

0

3 2 18

6, ' , '

9

6

v ktm

v v v v v

v f v f v

v tm

v v

 

  

     

 

  

Lập bảng biến thiên ta nhận v9

Bài tốn 15 Thể tích V 1kg nước nhiệt độ t (t nằm 00C

đến 300C) được cho bởi công thức

  V 999 87 06426,  , t0 0085043, t2  0000679, t cm3

Ở nhiệt độ nước có khối lượng riêng lớn ?

 Phân tích:

● Khối lượng riêng lớn tương ứng với thể tích vật nhỏ nhất.

Do toán xác lập hàm nên ta dùng cơng cụ đạo hàm để min cho biểu thức trên.

Hướng dẫn giải  

V ' t 0 06426 0085043,  , t 0000679 , t2

  t ,  ; 

V ' t

t ,

  

     

0

79 53138 30

3 9665 Lập bảng biến thiên ta có:

t 3, 9665 30

 

V t'  0 

  V t

Vmin

Dựa vào bảng biến thiên ta có khối lượng riêng lớn vật khi thể tích nhỏ lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần 40C

 Bình luận: Trong thực tế, nhiệt độ độ C nước có khối lượng riêng lớn Đây kiến thức ta học từ Vật Lý lớp 7.

Bài tập tương tự 1: Nhiệt độ T người bệnh được

cho công thức T t  0 1, t2 1 2, t98 0, ,  t 12, T nhiệt

độ oF Fahrenheit theo thời gian t ngày Tìm nhiệt độ lớn nhất

độ celcius (o

C Celcius ) người bệnh ngày thời điểm mà xảy ? (Biết

o oC F

,   32

1 )

Hướng dẫn giải

Ta có: T t  0 1, t2 1 2, t98 6, , T' t  0 2, t1 2,  T' t   0 6

Đồng thời ta có:      

  o

o

t ; o

T , F C

T , F C max T t C t

T , F C

   

  

 

     

 

 

 

0

0

0 12

0 98 37

6 102 39 39

12 98 37

Vậy, nhiệt độ lớn người bệnh ngày 390C t 6

Cách khác: Ta có

   

T t 0 1, t2 1 2, t98 6, 102 1,  , t 102 2,   t 0 12; 

Vậy dấu “=” xảy t6 Do maxT 102 2,  t6

Bài tập tương tự 2: Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ tlà f t  45t2  3(kết khảo sát được

trong tháng vừa qua) Nếu xem f t'  tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) thời điểm t Tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ:

A.15 B.30 C.20 D

12

Hướng dẫn giải

Ta có        

2

90

2

45 ' 90 g t t ' 90 15

f t  t  f t t      g t t    

Lập dựa vào bảng biến thiên g t  15 giá trị cần tìm Đáp án A

Bài toán 16 Hai tàu A B

một vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, tàu A chạy hướng Nam với hải lý/giờ, cịn tàu B chạy vị trí tàu A với vận tốc hải lý/giờ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn ?

A

B

A

1

B

1

 Phân tích:

● Trước tiên, bạn cần hiểu đôi

chút khái niệm vĩ tuyến kinh tuyến ?

Trên Trái Đất hay hành

tinh thiên thể hình cầu, vĩ

tuyến vòng tròn tưởng

tượng nối tất điểm có

cùng vĩ độ Trên Trái Đất, vịng

trịn này có hướng

từ đơng sang tây Vị trí vĩ

tuyến xác định kinh độ Một vĩ tuyến ln vng góc với

một kinh tuyến giao điểm chúng Các vĩ tuyến gần cực Trái

Đất có đường kính nhỏ (theo wikipedia.org).

Kinh tuyến nửa đường tròn bề mặt Trái Đất, nối liền

hai Địa cực, có độ dài khoảng 20.000 km, hướng bắc-nam cắt

thẳng góc với đường xích đạo Mặt phẳng kinh tuyến 0° (chạy

qua đài quan sát thiên văn Greenwich thuộc Luân Đôn) kinh

tuyến 180°, chia Trái Đất làm hai bán cầu – Bán cầu đông Bán cầu tây.(theo wikipedia.org).

● Như tàu, thuyền biển dùng một

đơn vị đo khoảng cách khác hải lý (1 hải lý = 1852 mét) Từ mơ hình mơ tả tốn ta gọi t thời gian mà sau khi xuất tàu cách khoảng d.

● Khi d A B 12 AB12 AA12 Trong AA1 quãng đường

của tàu A Dựa vào gợi ý tàu cách ban đầu hải lý theo đường vĩ tuyến, nên ta tính AB12 5 BB 12.

● Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ quãng đường, vận tốc thời gian

1 A B AA v t S v.t

BB v t  

   

Hướng dẫn giải.

Tại thời điểm tsau xuất phát, khoảng cách hai tàu d khi tàu A vị trí A1 tàu B vị trí B1 hình vẽ

Ta có d AB AA   BB  AA   t  

2 2

2 2

1 1

Với BB1là quãng đường tàu B BB1 v tB 7 Và AA1là quãng đường tàu A AA1 v tA 6

Suy d 85t2  70 25 Đặt f t   85t2  70 25 với t0 Bài tốn trở thành tìm tmin f t0;   ?

Ta có:      

t

f ' t , f ' t h

t 

   

 

2

170 70

0

17 85 70 25

Lập bảng biến thiên ta thấy

t

0

7

17 

 

f t'  0 

 

f t 6 85

17

Dựa vào bảng biến thiên ta có: tmin f t ;   f ,

 

     

0

7 85

3 254

17 17 (hải lý)

 Bình luận: Ta có thêm cách khác để tìm minf(t) sau:

 

f t  t   t         

 

2

2 245 185 185 85

85 70 25 85 70 85

17 17 17 17 17

  85

min f t t

17 17

   

(hoặc sử dụng cực trị parabol)

Bài tập tương tự 1: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường

v2 (v1 > v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian

vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn ?

Hướng dẫn giải

Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D

A C

D

E h 

Thời gian t là:

AC CD AE CE CD t

v v v v



   

1 2

h h

l

l h.cot h tan sin

t

v v v v sin



 

 



    

1 2

Xét hàm số  

l h.cot h t

v v sin 



 

 

1

Bài tốn trở thành tìm t  ?

Ta có:   2 2

h h cos h cos

t '

v v

v sin v sin sin

 

 

      

    

Khi  

2 v

t ' cos

v      

Lập bảng biến thiên, ta suy  

v

mint cos

v

   

Bài tập tương tự 2: Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB 1km kho hàng đặt vị trí C cách B khoảng 2km Người canh giữ hải đăng chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M bờ biển nằm B C với vận tốc 3km/h, sau đến vị trí C với vận tốc 5km/h M cần cách B khoảng ngắn để thời gian người đến kho hàng nhanh ?

Hướng dẫn giải

Đặt x BM  km   Điều kiện: 0£ £x 2.

Suy quãng đường AM  1x2 quãng đường MC 2 x. Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M AM

x

t  

2

1

Thời gian người canh hải đăng từ M đến C MC

x t 2

5 .

Thời gian người canh hải đăng từ A đến C là

AM MC

x x

t t     

2

1

3

Xét hàm số  

x x

f x    

2

1

3 đoạn 0 2;  . Bài tốn trở thành tìm xmin f x0 2;   ?

Ta có    

f ' x , f ' x x x ;

x

 

          



2

1

0

5 3

3

Ta có f  , ;    f , ;    f  , .  

      

 

11 31

0 73 68 75

15 45

Vậy yêu cầu toán  x BM  3 km.

Bài toán 17 Một nhà địa chất học điểm A sa mạc Anh ta muốn đến điểm B cách A đoạn 70 km Trong sa mạc xe di chuyển với vận tốc 30 km/h Nhà địa chất phải đến điểm B sau Vì vậy, thẳng từ A đến B khơng thể đến May mắn thay, có đường nhựa song song với đường nối A B cách AB đoạn 10 km Trên đường nhựa xe nhà địa chất học di chuyển với vận tốc 50 km/h Làm để nhà địa chất học đến sớm (đảm bảo khung cho phép) ?

(Trích dẫn từ Bài toán Thầy Trần Nam Dũng, theo sputnikedu.com)

 Phân tích:

● Ta mơ tả tốn hình vẽ sau:

● Như phân tích trên, trực tiếp từ A đến B sa mạc

với vận tốc khoảng cách có nhà địa chất học không thể đến thời gian quy định

● Vì cần thiết phải chia quãng đường thành giai đoạn: Giai đoạn 1: từ A đến C (từ sa mạc đến đường nhựa song song) Giai đoạn 2: từ C đến D (một quãng đường đường nhựa)

Giai đoạn 3: từ D đến B (từ điểm kết thúc D đường nhựa đi tiếp đến B băng qua sa mạc).

Goi H, K, C, D điểm hình vẽ

Khi gọi HCx 0x70 DKy0y70

Quãng đường từ A đến Clà sahara

AC x

AC x t

v



    

2 2

1

10 100

30

Quãng đường từ D đến Blà sahara

y DB

DB y t

v



    

2 2

2

10 100

30

Và quãng đường C đến Dlà  

 

street

x y CD

CD x y t

v

  70   3  70

50 Vậy tổng thời gian mà nhà địa chất học từ A đến B T  t t1 

  x y x y

T x; y    

   

2

2 10 70

10

30 30 50

Đây biểu thức có dạng đối xứng biến x, y ta cần tìm  

minT x; y

Ta có      

y y

x x

T x; y         f x f y

2

2 10 35

10 35

30 50 30 50

Khi ta xét  

u u

f u     , u

2

10 35

0 70 30 50

Xét    

u u

f ' u , f ' u u u

u

        



2 2

1 15

0 10

50

30 10

Lập bảng biến thiên ta có umin f u ;    f     

 

0 70

15 29 30

Do ta có T x; y  f x  f y     , 29 29 29

1 93 30 30 15

Dấu “=” xảy x y 15

2

 Bình luận: Bài tốn qng đường, vận tốc, thời gian ta nhận thấy có mối quan tâm lớn thực tế để quãng đường ngắn thời gian Trong thực tế, đời sống hằng ngày, điều lúc lẽ phải chịu tác động nhiều yếu tố khác thời điểm, mật độ di chuyển, động nhiều thứ ta không lường trước Việc lý tưởng hóa tốn mức sai số chấp nhận được.

Bài tập tương tự: Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách

biển với vận tốc km / h đến C với vận tốc 6 km / h Xác định vị trí điểm M để người đến kho nhanh ?

Hướng dẫn giải

Đặt x BM  km   Điều kiện: 0£ £x Suy quãng đường AM 25x2 và quãng đường MC 7 x.

Thời gian người canh hải đăng chèo

đò từ A đến M AM

x

t  

2

25

4

Thời gian người canh hải đăng từ M đến C MC

x t 7

6 .

Thời gian người canh hải đăng từ A đến C là

AM MC

x x

t t     

2

25

4

Xét hàm số  

x x

f x    

2

25

4 đoạn 0 7;  .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f x  với

x 0 7; 

Đạo hàm  

x f ' x

x

 

 25

  x ;

f ' x  0 4 25x2 6x  0 7x2 5

Ta có f      , ;    f    , ;    f   , .

5 29 74

0 41 09 15

4 12

Vậy giá trị nhỏ t điểm M cách B khoảng

2 5km 4,472km

x= »

Bài tốn 18 Một cơng ty đánh giá bán N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền x (triệu đồng) vào việc quảng cáo Biết N x liên hệ với biểu thức N x  x2 30x6 0,  x 30 Hãy tìm số lơ hàng lớn mà cơng ty bán sau đợt quảng cáo số tiền dành cho việc quảng cao ?

Hướng dẫn giải.

Ta có: N x  x2 30x6 N' x  2x30 N' x   0 x15

Đồng thời      

  x ;

N

N max N x x

N

   

 

 

    

 

 



0 30

0

15 231 231 15

Vậy, cơng ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo công ty bán nhiều 231 lô hàng

 Bình luận: ta có thể sử tam thức bậc hai

   

N x 231 x 15 231, x  0 30;  Dấu xảy khi x 15

Do toán cho sẵn hàm nên ta khơng q khó để vận dụng đạo hàm tìm giá trị lớn hàm số Tuy nhiên với tốn cần phải có bước thiết lập hàm khơng dễ chút Các bài toán bạn đọc thấy rõ hơn.

Bài tập tương tự 1: Một công ty xác định tổng thu nhập (tính USD) từ việc sản xuất bán x đơn vị sản phẩm cho bởi công thức: P x  x2  x

150000

60 1000 Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất bán để tổng thu nhập lớn ?

Hướng dẫn giải

Ta có

     

 

x

P x P' x , x

x x x x

 

    

   

2

2

150000 60 150000

60 1000 60 1000 

 

P' x  0 x30

Lập bảng biến thiên ta có:

X   30



 

P x'  0



  P x

1500

Từ bảng biến thiên, ta có max P x  1500 x30

Vậy, để tổng thu nhập lớn cần sản xuất bán 30 đơn vị sản phẩm

Cách khác: Ta có  

 

P x

x x x

   

   

2

150000 150000 150000

1500 100

60 1000 30 100 Do x  x x    , x 

2

2 60 1000 30 100 100 

Vậy dấu “=” xảy x30.

   

C x x x

x

   



2

6 với x số sản phẩm cải tiến Tìm số sản phẩm mà cơng ty cần cải tiến để tổng chi phí thấp ?

Hướng dẫn giải

Ta có

   

     

C x x C' x C' x x

x x

          

 

2

2

2

6 6

x x

x x

    

   

  

 

6

6 5 Do x6 nên loại x5 Ta có bảng biến thiên sau: x   6



 x

C'  

  C x

20 Dựa vào bảng biến thiên, ta có minC20 x7

Lưu ý: để xét dấu khoảng C' x  , việc sử dụng dấu tam thức bậc hai thơng thường ta “trong vùng số, chọn số vào, số dương ghi + ngược lại”

Bài toán 19 Doanh nghiệp tư nhân Tân Hưng Yên chuyên kinh doanh xe gắn máy tay ga loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe tay ga Lead với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 40 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua 2000 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán tăng thêm 800 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực việc giảm giá, lợi nhuận thu cao ?

 Phân tích:

● Ta thử mơ tả tốn bảng sau:

Ban đầu

Giá mua vào chiếc xe

Giá bán ra

1 xe

Lợi nhuận Khi bán chiếc xe

Số lượng Tổng lợi

nhuận 27 (triệu

đồng)

40 (triệu đồng)

13 triệu đồng

2000 chiếc

● Từ ta gọi x giá bán Lead Ta thấy

rằng giá bán dao động khoảng 27 triệu đồng đến 40

triệu đồng.

● Ta xác định lại số lượng xe bán sau giảm giá ứng với giá bán mới x.

Khi lợi nhuận doanh nghiệp tổng doanh thu – Tổng chi phí hàm phụ thuộc theo biến x Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm giá trị x thỏa yêu cầu toán.

Hướng dẫn giải.

Gọi x giá bán Lead mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận thu sau giảm giá cao 27x40 Suy số tiền giảm 40 x Đồng thời số lượng xe tăng lên

  x 800 40

Vậy tổng số sản phẩm bán 2000 800 40   x 34000 800 x Doanh thu mà doanh nghiệp đạt 34000 800 x x Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ 34000 800 x  27

Lợi nhuận mà công ty đạt = Tổng doanh thu – chi phí

 x x  x  x x

 34000 800  34000 800 27800 55600  918000

Đặt f x  800x2 55600x 918000 Bài tốn trở thành tìm 27max f x x 40   ? Ta có f ' x   x , f ' x    x  ,

139

1600 55600 34 75

4 triệu đồng.

Lập bảng biến thiên, ta có max f x x   f

    

 

27 40

139

48050

4 (triệu đồng) hay 48 tỷ 50 triệu đồng

 Bình luận: trong kinh doanh ta thấy tùy vào thời điểm khác nhau, dựa theo nhu cầu thị trường mà nhà kinh doanh không ngừng thay đổi chiến lược kinh doanh có những lúc “đại hạ giá” mà thường quen với tên gọi “sale off” Với tâm lý thích giá vừa túi tiền nên ta thấy bảng hiệu “sale off” (giảm giá) trưng bày trước nhiều cửa hiệu Dĩ nhiên kinh doanh tính tốn nhiều biến số thay đổi giây, từng phút không hẳn dựa chất lượng tốt sản phẩm v,v

bóng đèn với chi phí 18USD bóng Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán để lợi nhuận lớn ?

Hướng dẫn giải

Gọi x giá bán x30

Lượng tiền tăng giá bán x 30

Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán hàng tháng giảm x 

100 30

Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá 3000 100 x 30 Lợi nhuận bóng x 18

Lợi nhuận thu hàng tháng

x 18 6000 100   x 100x2 7800x 108000

Đặt f x  100x2 7800x 108000 với x30 Bài tốn trở thành tìm  

x

max f x ?

30 

Ta có f ' x  200x7800, f ' x   0 x39 (USD)

Lập bảng biến thiên ta suy max f xx30   f 39 44100USD

Vậy nhà sản xuất cần bán 39USD/ bóng để đạt lợi nhuận cao

Bài tập tương tự 2: Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ lên mặt Trăng Công ty sở hữu 20 máy, máy sản xuất 200 huy chương/giờ Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương 80 USD/máy tổng chi phí vận hành 5,76 USD/giờ Hãy biểu diễn chi phí sản xuât 400.000 huy chương hàm theo số máy dùng Hãy ước tính số máy mà cơng ty nên dùng để chi phí nhỏ

Hướng dẫn giải

Gọi x 1 x 20, x số máy sử dụng C x  hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng

Chi phí lắp đặt máy 80x

Chi phí vận hành máy x , 400000

5 76 200

Tổng chi phí = Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành  C x   x x 11520 80

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số C x  với x 1 20; 

Ta có

     

 

x tm

C' x C' x

x x ktm

 

     

 

2

12 11520

80

12

Đồng thời      

    x ;

C

C max C x C x

C

   

 

 

     

 

 



1 20

1 11600

20 2176 12 1920 12

12 1920

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất tổng chi phí nhỏ

Bài toán 20 Giám đốc nhà hát A phân vân việc xác định giá vé xem chương trình trình chiếu nhà hát Việc quan trọng, định nhà hát thu lợi nhuận hay bị tổn thất Theo sổ ghi chép mình, Ơng ta xác định rằng: giá vé vào cửa 20 USD/người trung bình có 1000 người đến xem Nhưng tăng tiền vé lên thêm USD/người 100 khách hàng số trung bình Biết rằng, trung bình, khách hàng dành 1,8USD cho việc uống nước nhà hát Hãy giúp giám đốc nhà hát xác định xem cần tính giá vé vào cửa để thu nhập lớn ?

 Phân tích:

● Gọi x số tiền cần tăng thêm giá vé vào cửa (20USD) Nếu x0 có nghĩa ta nên giảm giá vé.

● Khi tổng thu nhập nhà hát bao gồm thu nhập từ việc bán vé bán nước uống Dĩ nhiên tăng giá vé lên tác động đến việc nhu cầu xem phim rạp Và lợi nhuận từ việc bán nước lại phụ thuộc vào số người xem.

Hướng dẫn giải.

Gọi x số tiền cần tăng thêm giá vé vào cửa (20USD) Nếu x0 có nghĩa ta nên giảm giá vé.

Khi tổng thu nhập nhà hát gồm thu nhập từ việc bán vé bán nước uống

Ta xác định sau: R x   1000 100 x 20x1 1000 100,   x  

R x x x

 100  1180 21800.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số R x  với x 

   

R' x 200x 1180,R' x  0 x 59 5 0, 

10

Lại có R'' x  2000, x

Do max R x  R5 9,  25281(USD)

Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé 20 9 , 14 1, (USD) Giá vé hấp dẫn nhiều người đến xem

Cụ thể 1000 100 .5 9,  1590 khách hàng

 Bình luận: Cách khác: R x  100x2  1180x21800

     x x 

R x  x  x      

2

10 10 118

10 10 118 21800 21800 25281

4 .

Dấu “=” xảy 10x10x 118 x5 9,

Bài tập tương tự 1: Một nhà xuất nhận in 4000 ấn phẩm Nhà xuất có tất 14 máy in cài đặt, hoạt động tự động giám sát kĩ sư Mỗi máy in in 30 ấn phẩm Chi phí cài đặt máy in 12 USD/máy, chi phí giám sát 9USD/giờ Tính số máy in nhà xuất nên sử dụng để chi phí in nhỏ ?

Hướng dẫn giải

Gọi x số máy in mà nhà xuất sử dụng 1 x 14 . Chi phí lắp đặt 12x

Số để sản xuất đủ số ấn phẩm x 4000

30 Chi phí giám sát . x  x

4000 1200

30

Chi phí sản xuất = Chi phí lắp đặt + Chi phí giám sát  x x 1200 12

Đặt C x   x x 1200 12

Bài tốn trở thành tìm xmin C x1 14;    ?

Ta có: C' x    x ,C' x    x   x 

2

1200

12 100 10

Lập bảng biến thiên, ta

x 1 20 14

 

C x'  0 

 

C x 240

Dựa bảng biến thiên ta có: xmin C x1 14;    C 10 240USD

Bài tập tương tự 2: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 tivi năm. Chi phí gửi kho 10USD một năm Để đặt hàng nhà sản xuất lần chi phí cố định 20USD, cộng thêm 9USD Biết số lượng tivi trung bình gửi kho nửa số tivi lần đặt hàng Như cửa hàng nên đặt hàng nhà sản xuất lần năm lần đặt để chi phí hàng tồn kho thấp ?

Gọi x số tivi lần đặt hàng x 1 2500; 

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi kho x

2 Do đó, chi phí

gửi hàng năm x .  x 10

2 .

Số lần đặt hàng năm x 2500

Do chi phí đặt hàng năm   x  x  x  2500 50000

20 22500

Suy ra, chi phí hàng tồn kho C x   x x  50000

5 22500

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ C x  với x 1 2500; 

Ta có:

     

 

x tm

C' x ,C' x x

x x ktm

 

      

 

2

2

100 50000

5 100

100

Do C'' x   x3  , x   ;  100000

0 2500

nên xmin C x1 2500;    C100 23500

Khi số lần đặt hàng năm  2500

25 100 lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho nhỏ cửa hàng cần đặt hàng 25 lần năm 100 lần

Bài toán 21 Một doanh nghiệp chuyên sản xuất loại sản phẩm, biết nhu cầu thị trường chi phí loại sản phẩm

là

P

Q5000 ,

3 C Q  Q2 2200Q500, Q số sản phẩm P giá bán sản phẩm Hãy xác định mức thuế t cần định trên đơn vị sản phẩm sản xuất cho thu lợi nhuận cao

 Phân tích: ta tổng qt tốn sau

● Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm có hàm cầu đơn vị thời gian QQ P  hàm chi phí sản xuất đơn vị thời gian CC Q  Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm xí nghiệp để thu nhiều thuế nhất. ● Phương pháp giải: Giả sử mức thuế đơn vị sản phẩm là t0.

Ta có QQ P   PP Q 

Lợi nhuận xí nghiệp N Q.P Q  C Q  Q.t

Do thuế thu làT t.Q t  từ ta xác định t để Tmax Hướng dẫn giải.

Gọi Q số sản phầm mà doanh nghiệp cần sản xuất

Khi ta có

P

Q5000  P15000 3 Q

3

Gọi t mức thuế cần định đơn vị sản phẩm cho thuế thu cao Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp

  T t .Q

Doanh thu mà doanh nghiệp có D Q  P.Q15000 3 Q Q Suy lợi nhuận mà doanh nghiệp thu là:

        L Q D Q  C Q  T t

     

L Q Q Q Q Q tQ Q Q tQ

  15000 3  2200 500  4 12800  500

Để công ty nộp thuế cao trước hết lợi nhuận thu doanh

nhiệp cao ta cần

   

L' Q Q t

Q t

L'' Q

     



   

 

 

 

 

0 8 12800 0 1

1600

8

0

Vậy thuế mà doanh nghiệp phải nộp  

t

T t Q t   

 

2

1600 1600

8

Theo yêu cầu đề bài, ta có  

 

t T' t

t T'' t



  

  

 

  

 



 

  

 

1

1600

0 4

6400

0

0

Với mức thuế t6400 (đơn vị tiền tệ) cho đơn vị sản phẩm doanh nghiệp thu lợi nhuận cao L800 2559500

 Bình luận: Trong thực tế, tùy vào mặt hàng sản xuất từ xuất đến nhập mà chịu loại thuế khác nhau. Trên tình ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm để đạt lợi nhuận cao nhất.

Bài tập tương tự 1: Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu đơn vị thời gian Q300 P và hàm chi phí sản xuất đơn vị thời gian C Q  Q2 100Q10

a Hãy xác định mức thuế t đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận tổng thuế phủ thu đạt giá trị cực đai ? b Muốn xí nghiệp sản xuất 40 sản phẩm mức thuế

thu đơn vị sản phẩm ?

Hướng dẫn giải

Doanh thu xí nghiệp R Q  Q.P Q  300Q Q Thuế xí nghiệp t.Q

Lợi nhuận xí nghiệp N Q  R Q  C Q  tQ2Q2 200 t Q  10

    t

N' Q 4Q200 t,N' Q  0 Q200

Vậy để lợi nhuận lớn xí nghiệp phải sản xuất mức:

t Q200

4 Do thuế thu

t

T Q.t  t 

2

200

50

4

  t  

T' t  50,T' t  0 100

Với mức thuế t100thì xí nghiệp sản xuất Q



200 10025

4 sản

phẩm đơn vị thời gian

Muốn xí nghiệp sản xuất 40 sản phẩm

t

Q200 40 t40

Nghĩa cần chọn mức thuế tối đa 40 cho đơn vị sản phẩm Bài tập tương tự 2: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm x sản phẩm bán với giá p1000 x (USD) cho sản phẩm Nhà sản xuất xác định tổng chi phí làm x sản phẩm là

 

C x 3000 20 x (USD).

a Hãy xác định tổng thu nhập R x  tổng lợi nhuận P x  nhà máy ?

b Nhà máy phải sản xuất bán sản phẩm giá bán sản phẩm để lợi nhuận lớn ?

Hướng dẫn giải

a R x  x1000 x 1000x x P x  R x  C x  x2 980x 3000 b P' x  2x980, P' x   0 x490 (sản phẩm)

Lại có P'' x  20, x 0 nên max P x  237 100.  x490 Khi giá bán sản phẩm 1000 490 510USD Cách khác P x   x  x   x  

2

980 3000 237100 490 237100 Dấu “=” xảy x490.

Bài toán 22 (Ứng dụng Sinh học) Trong mơi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian qui luật

  t

N t

t

 

 100 1000

Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn ?

 Phân tích:

● Tương tự toán trước, đề mơ hình hóa

tốn dạng hàm nên ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm có thể tìm số lượng tăng nhanh vi khuẩn.

Hướng dẫn giải.

Ta có tốc độ phát triển đàn vi khuẩn thời điểm t

     

   

t t t

N' t

t

  

 

 

2 2 2

2

2

100 100 100 100 100

100 100

( t 0) Xét N' t   0 t2 100 10 0

Lập bảng biến thiên ta được:

t 10 

 

N t'  

 

N t 1005

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận max N t N 10 1005

 Bình luận: ngồi ta làm sau

  t

N t

. t

t t

      





2

100 100 100

1000 100 1000 1005

100 10

100

do

Cauchy

100 100

t t 20

t   t  Dấu “=” xảy

100

t t 10 t   

Bài tập tương tự 1: Giả sử nf t  n o 2t số lượng cá thể đám vi khuẩn thời điểm t, no số lượng cá thể lúc ban đầu Khi tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn thời điểm t

 

f ' t Giả sử mẫu thử ban đầu ta có

o

n 100 vi khuẩn Vậy tốc độ phát triển sau vi khuẩn ?

A.1109 B.1600. C.6400 D 4436

Hướng dẫn giải

Ta có: f ' t  no tln no f '  . ln



 2  100 100 24 21109 vi khuẩn.

Hướng dẫn giải

Vậy với n cá ta có

       

P n nQ n 480 20 n n480n 20n2  P' n 480 40 n

Khi đo P' n  0 n12 Khi ta có bảng biến thiên: n

12



 

P n'  0



  P n

2880

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy max P nn0  P 12 2880 Cách khác: P n 20n2480n20n 1222880 2880

Suy max P nn0  2880 n12

Bài toán 23 (Ứng dụng Hóa học) Đốt cháy hidrocacbon dãy đồng đẳng tỉ lệ mol H O2 : mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần ?

A.Ankan B Anken C. Ankin D.

Ankylbenzen

 Phân tích:

● Để làm này, ta cần có hiểu biết kiến thức chương

Hidrocabon học chương trình hóa lớp hóa lớp 11.

● Từ ta thiết lập công thức tổng quát hidrocacbon là

n n k

C H2  2

● Sau thực phản ứng cháy

 

o

xt ,t n n k

C H2  2 2 O2   nCO2  n 1 k H O2

Đến ta thấy tỉ lệ mol nước khí cacbonic sinh ra chính

H O CO

n n k

n n

  

2

1

Tới ta xét hàm  

*

n k

f n ,n N

n  

 

Khảo sát

và tìm điều kiện k (chính số liên kết )

Hướng dẫn giải.

Công thức tổng quát hidrocacbon C Hn 2n 2 2k với k số liên kết  phân tử Phương trình phản ứng cháy là:

 

o

xt ,t n n k

C H2  2 2 O2   nCO2  n 1 k H O2

Ta có H O

n n k

n n

  

2

Xét hàm số  

*

n k

f n ,n N

n  

Ta có   k f ' n

n  

2

1

Theo giả thiết ta có f n  hàm nghịch biến nên  

f ' n 0

k

n n k

k k k CTTQ : C H : ankan

n







           2 2

2

1

0 1 

 Bình luận: việc vận dụng kiến thức liên mơn kết hợp với nhau, góp phần giúp cho tốn Hóa trở nên dễ dàng có cơng cụ Tốn học hỗ trợ, ngược lại ta tìm thấy ứng dụng Tốn học q trình tìm hiểu mơn học khác, điều góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta lĩnh hội học.

Bài tập tương tự : Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ đioxit Oxy

o

dk ,t ,xt

NO O 2      NO2

2 Biết là

một phản ứng thuận nghịch Giả sử x, y nồng độ phần trăm khí NO O2 tham gia phản ứng Biết tốc độ phản ứng hóa học phản ứng xác định vkx y2 , với k số tốc độ phản ứng Để tốc độ phản ứng xảy nhanh tỉ số

giữa x y ? A

1

2 B.2 C.

1

3 D.3

Hướng dẫn giải

Ta có vkx y2 kx2100 x do x y 100% , 0x100 Xét hàm số f x  kx2100 x k100x2  x3

Bài tốn trở thành tìm xmax f x0 100;    ?

Ta có:

     

 

x ktm f ' x k x x , f ' x

x ;

  

 

   

   

 

2

0

200 200

0 100

Lập bảng biến thiên ta có:

x 0

200

3 100

 

f' x 0  0 

 

f x f

 

 

 

200

Dựa vào bảng biến thiên ta suy xmax f x ;    f

      

0 100

Và ta có

x

y x

y 100 100  2

3 .

Bài toán 23 (Ứng dụng Y Học) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G x( )=0,025 (30x2 - x) với x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( : miligam).x Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm ?

 Phân tích:

● Tương tự tốn cho sẵn hàm số, việc ứng

dụng đạo hàm khơng cịn q khó khăn

Hướng dẫn giải.

         

G x 1 x2 30 x 1 30x2  x3  G' x  60x 3x2

40 40 40

Cho    

x G' x

x ktm

    

 

20

0

Ta có bảng biến thiên sau: x

20



 x

G'  0



  G x

100

Dựa vào bảng biến thiên ta có max G x 100 x20

Bài tốn 24 (Ứng dụng thể thao) Trong nội dung thi điền kinh bơi lội phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50m chiều dài 200m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến B hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x) vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ bơi 4,5 m/s 1,5 m/s

● Với lộ trình vạch sẵn hình vẽ, ta thấy, với chiều rộng và chiều dài hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên phải AC + CB

● Giả sử đặt AC = x (x > 0) Khi ta nhận thấy để tính quãng

đường bơi từ C đến B phải dựa vào chiều rộng hồ, quãng đường lại vận động viên dọc theo bờ hồ.

● Do vận tốc nước khác nên thời gian di chuyển khác Việc xác định x thỏa mãn u cầu tốn, ta sử dụng ứng dụng đạo hàm

Hướng dẫn giải.

Gọi C vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và

 

ACx 0x200 Khi ta có chay

AC x

t

v ,

 

1

4 5 thời gian từ A đến C.

Đồng thời quãng đường bơi BC   x 2

50 200

Khi ta có

 

boi

x BC

t

v ,

 

 

2

2

50 200

1 là thời gian từ C đến B.

Tổng thời gian vận động viên

 x x

T t

, ,

     

2

1

50 200 5

Xét hàm  

 x x

f x , x

, ,

 

   

2

50 200

0 200 5

Bài tốn trở thành tìm xmin f x0 200;    ?

Ta có:

   

   

x

f ' x , x ;

x  

   

 

2

200 2

0 200 50 200

     

  o

f ' x x x

x x ,

     



     

2

2 2

0 200 50 200 400 25

8 200 50 182 322

2 Lập bảng biến thiên ta có

x

0 xo 

 

f' x  0 

  f x

 o

f x

Dựa vào bảng biến thiên ta có:    

xmin f x; f , s

  

  

 

 

0 200

400 25

 Bình luận: một lần việc vận dụng đạo hàm giúp ta tối ưu hóa tốn thời gian cho vận động viên Ta tự hỏi thực tế mơ hình liệu có thực ?

Tìm hiểu kiến thức khoa học wikipedia, ta có thơng tin sau:

Ba mơn phối

hợp (thuật ngữ tiếng Anh: Triathlon) bao

gồm chạy

bộ, bơi đua xe

đạp Ban đầu vận

động viên đua bơi lội. Tiếp đua xe đạp

tới đường chạy, cuối vận động viên chạy marathon

để đích.[1][2]

Đây mơn thể thao chơi ngồi trời môn thể thao chơi Thế Vận Hội từ năm 2000 Sydney, Á

Vận Hội chí SEA Games Ba mơn phối hợp địi hỏi

các vận động viên phải có sức bền thể lực lẫn tinh thần Đây môn thể thao thi đấu cá nhân đồng đội. Mơn thể thao có nhiều người tham gia.

Bài toán 25 (Ứng dụng kỹ thuật vi tính) Một máy tính lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật góc phần tư thứ hai trục tọa độ chiều, nội tiếp đường cong yex Hỏi diện tích lớn hình chữ nhật lớn nội tiếp đường cong ?

 Phân tích:

● Ta mơ tả toán cách

vẽ đồ thị hàm yex.

● Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy Diện tích

của hình chữ nhật Sxy x.ex

● Đến ta nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để tìm x cho tương ứng y thỏa mãn diện tích hình chữ nhật trên là lớn nhất.

Hướng dẫn giải. Ta có diện tích hình chữ nhật x

Sx.e

Đồng thời f '' x  xex  1 x e x ex 0, x  Do ta có max f x  f 1 e1 0 3678,

Bài toán 26 (Ứng dụng Thủy lợi) Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn

nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, là

độ dài đường biên giới hạn tiết diện này,- đặc trưng cho khả thấm

nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định,  nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn

nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật)

Hướng dẫn giải.

Gọi x, ylần lượt chiều rộng, chiều cao mương

Theo ta có:

S S xy y

x , y x

S

l y x x

x 

   



  

     



0

2

Xét hàm số   S

f x x

x 2 

Bài tốn trở thành tìm min f xx0   ?

Ta có:  

S x S

f ' x

x x

 

  

2

2

2

1

Cho  

S S

f ' x x S x S y

x  0   0    

2 .

Lập bảng biến ta suy min f xx0   f 2S

Do mương có dạng thuỷ động học kích thước mương

x S

S y    

  

2

Cách khác:

Cauchy

S S

l y x x .x S

x x

2  2   2 2

Dấu “=” xảy S

x x S

x   

2

Bài toán 27 (Ứng dụng Xây Dựng) Hãy xác định độ dài ngắn cánh tay nâng cần cẩu bánh dùng để xây dựng tịa nhà cao tầng mái có chiều cao H chiều rộng 2? (Biết cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích cẩu góc nghiêng cánh tay nâng để cho điểm

cuối cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng (Hình vẽ) Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái

Hướng dẫn giải.

Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu cánh tay cần cẩu 0hH

Gọi , A,B,C, E kí hiệu hình vẽ. Khi cánh tay cần cầu

H h l

AC AB BC

sin cos 

   

với 0 900

Đặt  

H h l

f

sin cos 

 



 

Bài toán trở thành tìm

  ;

min f ?

 



     



0

2

Ta có:    

 

l sin H h cos

cos sin

f ' H h l

sin cos sin .cos

 

 



   

  

   

3

2 2

Cho  

H h H h

f ' tan tan k

l l

  0 3   0  3   0 Lập bảng biến thiên ta có



0 arctank



2  

f'   0 

  f 

5

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

     

;

min ff arctan k H h k l k

 



     

     

2

2

1

1

.