Đề thi thử THPT quốc gia

Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho... Ta có SO ABCD.[r]

(1)

UBND TỈNH HỊA BÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018

Mơn thi: TỐN Ngày thi: 15/12/2017 Thời gian làm 180 phút. Họ tên thí sinh:… ………

Số báo danh:………… Phịng thi:……… Câu 1: (3,0 điểm):

a) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số f x( ) 3x2 2x3 b) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số

2

1 x mx y

x

có đường tiệm cận đứng Câu (5,0 điểm):

a) Tính tổng nghiệm x −





2( os

c x

+

3 sin ) cos

x

=

cos

x

−

3

sinx

+

1.

b) Giải phương trình x x 7.2x c) Giải hệ phương trình

3

2

3

( , )

( 1) ( 6) 12

x y x x y

x y

x y x y x x y

 − + + − + =

 



+ + + + + = − + 

Câu (4,0 điểm):

Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a 2, BC=a

SA SB SC SD a Gọi K hình chiếu vng góc điểmB AC H hình chiếu vng góc Ktrên SA

a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

b) Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành quay tam giácADC quanh AD theo a

c) Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng BKH Câu (4,0 điểm):

a) Tìm hệ số x7 khai triển nhị thức Newton

2 , 0

n

x x

x , biết n số

nguyên dương thỏa mãn 4Cn3 1 2Cn2 An3

b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho

Câu (2,0 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm K 2; đường trịn C có phương trình

2

1 10

x y Đường tròn C2 tâm K cắt đường tròn C hai điểm A B, cho dây cung AB Viết phương trình đường thẳng AB

Câu (2,0 điểm):

a) Cho avà blà hai số thực dương Chứng minh a b a2 b2 8a b2 b) Cho x y z, , số thực thỏa mãn x y z x y z

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

P

xz y

x y y z

(2)

UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án gồm có 03trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018

Mơn thi: TỐN. Ngày thi: 15/12/2017

Câu

Nội dung

Điểm

1a (2đ)

Tập xác định hàm số D f x' (1x x) 0,5

'

f x x 0,x

Xét dấu f x' 1,0

Kết luận đồ thị hàm số có điểm cực đại có tọa độ 1; cực tiểu (0;1) 0,5

1b (1đ)

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng có giới hạn:

1 lim

x y

1 lim

x y

0,5

Ta có:

1

lim 2

x x mx m với m

Do với m hàm số khơng có giới hạn x nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng

Với m m

1

lim 2

x x mx m khác

2

lim

x x

Khi

1 lim

x y nên đường thẳng x đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số

0,5 Khi m 3, ta có

2

1 1

2 1

lim lim lim

1 1

x x x

y

x x x x

1

1 lim

2 1

x

x x x

Nên đường thẳng x đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Tóm lại, giá trị m cần tìm m

2a

(1,5đ)

Pt chocos2x+ sin 2x=cosx− sinx 0,5

cos os

3

x  c  x

   

  − =  +     

2 , k

x  k

 =  0,5

Vì x −





3

x = x =  x =−  thỏa mãn

0,5 Vậy tổng nghiệm x −





2b

(1,5đ)

Đưa PT dạng 5

2

x x

Đặt

2

x

t với t 0,5

Ta có PT

2

1 5

7

2

t t t t

t 0,5

Từ suy PT có nghiệm x 0,5

2c (2đ)

ĐK: y −1

Phương trình (1) tương đương :

(

)

(

)

1 3

x+ + x+ =y + y = +y x

0,5

(3)

2

1 7 12

x x x x x x

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2

x x x x x x

 + + − + + + − = + −

(

)

2

x x

+ +

 

 −  + − − =

+ + + +

 



( )

2

1

4 *

2

x

x x

x

x x

= 

 + +

 + − − =

 + + + + 

Chứng minh phương trình (*) vô nghiệm

2 6

2

x x x x

x x

+ + + +

 −  + − 

 + +   + + 

   

-1

0

2 x

x+ +    −

Kết luận hệ phương trình có nghiệm

(

x y

) ( )

0,5

3a (2đ)

Gọi O AC BD Ta có SO ABCD

0,5

3

2

AC a

OA

2

2 2 4 13 13

4

a a a

SO SA OA a SO 0,5

3

1 13 26

3

S ABCD

a a

V a a 1,0

3b (1đ)

2

xq

S = DC AC=a 1,0

3c (1đ)

Chỉ K trọng tâm tam giác BCD, KA 2KC Chứng minh SA BKH

Do góc SB BKH góc SBH

0,5

Tính

3

a

BK , 39

3

SO AC a

KH

SA

0,5 Tam giác BKH vuông K

Từ suy

2 2

2 39 7

3 36

a a a a

BH BH

và cos

4

BH SBH

SB

4a Từ 4Cn3 1 2Cn2 An3 Điều kiện n *, n Tìm n 11 1,0

K O A

D C

B S

(4)

(2đ)

Khai triển

11 11 11 11

2 22

11 11

0

2

k k k

k

k k

x C x C x

x x 0,5

Hệ số x7 tương ứng với 22 3k k

Vậy hệ số x7 C115 14784 0,5

4b (2đ)

Tính số phần tử không gian mẫu: 14

( ) C 364

n  = = 0,5

Gọi A biến cố : “ Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác ”

Suy A biến cố : “ Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác ”

0,5

TH 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn

TH 2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10=140 tam giác thỏa mãn

0,5

Suy n A( ) 14 140 154= + =

Vậy số phần tử biến cố Alà: n A( )=  −n( ) n A( )=210 Suy ( ) ( ) 15

( ) 26 n A P A

n

= =



0,5

5 (2đ)

Gọi H giao điểm IK AB

Tính IH 0,5

Viết PT đường thẳng IK: 2x y H IK H t t; 0,5

5 0;

IH H H 2; 0,5

Đường thẳng AB qua H vng góc với IK nên có phương trình:

2

x y x 2y 0,5

6a (0,5đ)

2 2 2

4 0;

a b ab a b ab 0,5

Nhân vế tương ứng hai bđt trên, suy điều phải chứng minh

6b (1,5đ)

Theo phần a) ta có

2 2

1

a b a b với a b, nên 2

1

x y y z x z

Suy

2 3

1 8

P

xz y xz y

x y y z x z

0,5 Ta chứng minh bất đẳng thức :

2 2 m n

m n

a b a b với a b m n, , ,

đẳng thức xảy a b

m n Ta có:

2

2 2

1

4xz 4

x z x z xz x z

Vì

2 3

1 72 72

8

4 1

P

xz y y y

x z x z y

Xét hàm số

2

36

1

f t

t t

với t Ta 0;1

1

min 216

3

f t f 0,5

Vậy P nhỏ 216

3

y ,

3

x z , x z 2xz

Hay 2,

3 27

x z xz Tức 1 ; 1; 1

3 3 3 3 3 3

x y z

0,5