AB CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC AD , không phải là đường sinh của hình trụ.. Tan của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt đáy bằng.[r]
(1)ĐỀ SỐ 08 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( )P : 3x−11z+40=0 có vectơ pháp tuyến A. n=(3; 11;0− ) B. n=(3; 11; 40− ) C. n=(3;11;0) D. n= −( 3;0;11) Câu 2. Cho số thực dương , a b , x y số thực Mệnh đề đúng?
A. ax y+ =ax+ay B. a bx y =( )ab xy C. (a b+ )x=ax+bx D. x
x x a
a b b
−
=
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3+3x+2 điểm có hồnh độ A. y=6x+12 B. y=6x C. y=6x−6 D. y=6x−12 Câu 4. Cho ,a b hai số thực dương, biểu thức P=log3a−2 log9b+log3ab
A. P=log 23( ab) B. P=log3ab C. P=log3a2 D. P=log3a Câu 5. Cho cấp số cộng có u1= −2 d =4 Chọn khẳng định đúng khẳng định sau?
A. u4 =8 B. u5 =15 C. u2 =3 D. u3 =6 Câu 6. Chọn mệnh đề đúng mệnh đề sau?
A. Nếu f( )x 0 x ( )a b; hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; B Hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; f( )x 0 x ( )a b;
C Hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; f( )x 0 x ( )a b; D Nếu f( )x 0 x ( )a b; hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b;
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1;3; 2) Hình chiếu vng góc điểm A trục Oz điểm
A. M(0;0; 2) B. N(−1;0;0) C. P(0;3;0) D. Q(0;0; 2− ) Câu 8. Tổng số mặt hình chóp ngũ giác
A. B. C. D
Câu 9. Số tập hợp tập hợp A=1; 2;3; 4;5;6
A. C62 B.
2 C. A62 D. 6!
Câu 10. Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z+ =1 điểm M(2; 2; 1− ).Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P
A. d M P( ;( ))=3 B. ( ;( ))
d M P = C. ( ;( ))
d M P = D. ( ;( )) d M P = Câu 11. Cho hàm số f x( )có f( )x liên tục đoạn −1;3, f ( )− =1 2019
3
1
( ) d
f x x
−
=
giá trị ( )3
f
THUVIENTOAN.NET KỲ THI THPT QUỐC GIA 2020
(2)A. −2020 B. −2018 C. 2020 D. 2018 Câu 12. Khối đa diện sau có mặt tam giác đều?
A Bát diện B Hai mươi mặt C Tứ diện D Mười hai mặt Câu 13. Cho số phức z= +1 3i, Khi số phức liên hợp số phức z
A 3+i B. − +1 3i C 3− i D. − −1 3i Câu 14. Kết luận sau tính đơn điệu hàm số
1 x y
x
+ =
− đúng?
A Hàm số đồng biến khoảng (−;1) (1;+) B Hàm số luôn đồng biến \
C Hàm số luôn nghịch biến \
D Hàm số nghịch biến khoảng (−;1) (1;+) Câu 15. Nguyên hàm hàm số f x( )=e3x+1
A. 1e3
x C + +
B. 3e3x+1+C C. e3x+1+C D. e
ln e x
C
+
+
Câu 16. Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 Khi độ dài đoạn thẳng AB
A. B. C. 20 D.
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD EFGH Tính góc hai đường thẳng ACvà BE A. = 30 B. = 45 C. = 60 D. = 90
Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z+ −2 3i =5 Xác định bán kính đường trịn ( )C hình biểu diễn hình học số phức z hệ trục tọa độ Oxy
A 14 B. C. D. 14
Câu 19. Tập nghiệm củabất phương trình 2019 2020
2
log x
x
−
A. (−;0) B. 0;1
C.
1 ;
D.
1 ;
+
Câu 20. Cho hàm số f x( )=x3−3mx2+3(m2−1)x+2020 Tìm m để hàm số f x( ) đạt cực đại
0
x =
A. m0 m2 B. m=2 C. m=0 D. m=0 m=2 Câu 21. Phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm M(0; 4;1) vng góc
với hai mặt phẳng ( ) :x− =3 0,( ) :y− + =z
A. y+ − =z B. y z− − =3 C. x+ − =y D. x− + =z
Câu 22. Một hình vng ABCD có AD= Cho hình vng quay quanh CD, ta vật thể trịn xoay tích
(3)Câu 23. Tìm m để đồ thị hàm số ( )
3
y=x − mx + m − x−m +mcó hai điểm cực trị nằm phía
của trục tung
A. m= 1 B. m=1 C. − 1 m D. m=0
Câu 24. Cho log2x=3, logx y=4, logyz=5.Tính giá trị biểu thức P= x+6 y+10z A. P=90 B. P=80 C. P=60 D. P=70 Câu 25. Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình 3z2+2z+ =4 Giá trị biểu thức
2
1
2
z z
z + z
bằng
A. 25
9 B.
29
− C. 20
9
− D. 16
9
Câu 26. Phương trình 5x2− +3x =3x−2 có nghiệm dạng x=logab với a, b số nguyên dương lớn nhỏ 16 Khi a+2b
A 35 B. 25 C. 40 D 30
Câu 27. Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm , góc đỉnh o
60 Diện tích xung quanh hình nón
A.
cm
B.
2 cm C.
3 cm D.
6 cm Câu 28. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau sai?
A Đồ thị hàm số có điểm cực đại (−1;3) B Hàm số nghịch biến (− +1; ) C Hàm số đồng biến (1;+) D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (1; 1− ) Câu 29. Cho hàm số f x( ) thoả mãn ( ) ( )
1
0
1 d 20
x+ f x x=
2f( )1 − f ( )0 =4 Tính ( )
0
d B= f x x A. B=16 B. B= −16 C. B= −24 D. B=24
Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA=6.j+9.k−3.i điểm B thuộc đoạn thẳng OA cho OB=2AB Gọi ( )S mặt cầu tâm B có bán kính r ( )S tiếp xúc với trục Oz Tính r
(4)Câu 31. Cho biết
1
2
7 13
ln 2
x x a
P dx c
x b
−
− +
= = +
−
với ,a c , b số nguyên âm a
b phân số tối giản Tính a bc+
A. −45 B. −39 C. 39 D. 45
Câu 32. Cho hai hàm số F x( )=(ax2+3x b e+ ) 2x f x( )=(4x2+10x+1)e2x Tính P= +a 3b ( )
F x nguyên hàm hàm số f x( )
A. B. C. D. −1
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1;0; 2) hai đường thẳng 1: x t
y t
z
=
= −
=
,
2
1
:
1
x t
y t
z t
= +
= +
= −
Đường thẳng qua A vuông góc với hai đường thẳng 1, 2 có phương trình
A.
1 1
x+ y z−
= =
− B.
1
1
x− y− z−
= =
C.
1 1
x+ = y = z−
− D.
1
1
x = y− = z−
Câu 34. Tìm mơđun số phức z biết (4 3− i)(z−5) (= −1 2i)2
A. z = B. z =26 C. z =5 D. z = 26 Câu 35. Đồ thị hàm số 12
4
x x
y
x x
+ − +
=
+ có số đường tiệm cận
A B C D
Câu 36. Tìm tất giá trị để bất phương trình
( 2)
3
2 log sinx+m −4 log sinx+2sinx+cos 2x+2m − 1 có nghiệm A. m − 2; 2 B.
4
m − C. m D. m=0
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên ba số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn ba số có tổng số lẻ
A. 28
75 B.
112
225 C.
28
225 D.
75 112
Câu 38. Cho hình trụ có bán kính r chiều cao r Một hình vng ABCD có hai cạnh ,
AB CD dây cung hai đường trịn đáy, cịn cạnh BC AD, khơng phải đường sinh hình trụ Tan góc mặt phẳng chứa hình vng mặt đáy
A B.
2 C.
6
3 D.
(5)Câu 39. Cho phương trình (x−2 log) 52(x m− ) (+ −x log) 5(x m− )=1 với m tham số Tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (3;+) tập S =(a;+) Đánh giá sau đúng?
A. − −3 a B. − 1 a C 1 a D. 2 a
Câu 40. Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình vng cạnh a Mặt bên (SAD)là tam giác nằm vng góc với đáy Góc SD (SBC)là
A. arcsin
9 B.
21 arcsin
7 C.
2 arcsin
7 D.
3 arcsin
7
Câu 41. Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục có f ( )4 =1, ( )
4
1 ln
1
e
f x dx
x =
Giá trị
( )
2
3
0
x f x dx
thuộc khoảng ?
A. ( )0; B. ( )1;3 C. ( )2; D. ( )3;5
Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1;9) mặt cầu ( ) (S : x−3) (2+ y−4) (2+ −z 4)2 =25 Gọi ( )C giao tuyến ( )S với mặt phẳng (Oxy) Lấy hai điểm M N, ( )C cho
2
MN = Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây?
A. (5;5;0 ) B. 1; 4;0
−
C.
12
; 3;
−
D. (4;6;0 )
Câu 43. Gọi S tập hợp số nguyên m khoảng (−2020; 2020) để đồ thị hàm số
3 2
3
y=x − mx + −x m cắt đường thẳng y= +x ba điểm phân biệt Tính số phần tử S A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 2020
Câu 44. Gọi z1, z2 hai số phức thỏa mãn z− + =2 i z1−z2 =2 Tính môđun số phức w= + − +z1 z2 2i
A. w=6 B. w=5 C. w =4 D. w =4 Câu 45. Cho ( )
1
0
1 ln ln
ln d
2
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
, với ,a b c, Giá trị a b c+ + A 13 B 15 C 17 D 11
Câu 46. Cho hàm số y= f x( ) xác định, có đạo hàm thỏa mãn f2(− =x) (x2+2x+4) (f x+2) ( )f x 0, x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y= f x( ) điểm có hồnh độ
2 x=
A. y= − +2x B. y=2x+4 C. y=2 x D. y=4x+4
(6)thể tích khối chóp O ABC
240 3a Thể tích khối chóp O EFI đạt giá trị nhỏ bao nhiêu?
A. 80 3a3 B. 40 3a3 C. 60 3a3 D. 48 3a3
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(0;1; 1− ) Hai điểm D, E thay đổi đoạn OA, OB cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích Khi DE ngắn trung điểm đoạn DE có tọa độ
A. 2; 2; 4
I
B.
2 ; ; 3
I
C.
1 ; ;0 3 I
D.
1 ; ;0 4 I
Câu 49. Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+ +cx d có đồ thị hình vẽ
Gọi T tập hợp tất giá trị x cho hàm số ( ) ( ( )) ( )
( ) ( ( ))
2
1
f f x
g x
f f x f f x
− =
− + đạt
giá trị lớn Số phần tử T
A B. C. D
Câu 50. Cho số thực ,x y thỏa mãn 0x y, 1 log3 ( 1)( 1)
x y
x y
xy
+
+ + + − =
−
Biết biểu thức
2
P= +x y đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức T =x2+2y2
(7)BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
D D B C D A A C B B C D C D A A C B C B A A C D D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B B B A D D D D B D B C A B A A B D A C C A C C HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng ( )P : 3x−11z+40=0 có vectơ pháp tuyến A. n=(3; 11;0− ) B. n=(3; 11; 40− ) C. n=(3;11;0) D. n= −( 3;0;11)
Lời giải Chọn D
Mặt phẳng ( )P : 3x−11z+40=0 có vectơ pháp tuyến n= −( 3;0;11)
Câu 2. Cho số thực dương a b, , x y số thực Mệnh đề đúng? A. ax y+ =ax+ay B. a bx y =( )ab xy C. ( )x x x
a b+ =a +b D.
x
x x
a
a b b
− = Lời giải
Chọn D
Ta có tính chất
x x
x x x
a a
a b
b b
− = =
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=x3+3x+2 điểm có hồnh độ A. y=6x+12 B. y=6x C. y=6x−6 D. y=6x−12
Lời giải Chọn B
TXĐ: D=R; y =3x2+3; y =(1) 6; (1)y =6
Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoảnh độ là:
6 6( 1)
y− = x− =y x
Câu 4. Cho a b, hai số thực dương, biểu thức P=log3a−2 log9b+log3ab A. P=log3(2ab) B. P=log3ab C.
3 log
P= a D. P=log3a
Lời giải Chọn C
Ta có P=log3a−2 log9b+log3ab=log3a−log3b+log3a+log3b=2 log3a log a
=
Vậy
3 log
P= a
Câu 5. Cho cấp số cộng có u1= −2 d =4 Chọn khẳng định đúng khẳng định sau? A. u4 =8 B. u5 =15 C. u2 =3 D. u3 =6
(8)Ta có u3 = +u1 2d = − +2 2.4=6
Câu 6. Chọn mệnh đề đúng mệnh đề sau?
A Nếu f( )x 0 x ( )a b; hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; B Hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; f( )x 0 x ( )a b;
C Hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; f( )x 0 x ( )a b; D Nếu f( )x 0 x ( )a b; hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b;
Lời giải Chọn A
Ta có hàm số y= f x( ) đồng biến ( )a b; f( )x 0 x ( )a b; ,
( )
f x = hữu hạn điểm thuộc ( )a b;
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1;3; 2) Hình chiếu vng góc điểm A trục Oz điểm
A.M(0;0; 2) B. N(−1;0;0) C. P(0;3;0) D. Q(0;0; 2− ) Lời giải
Chọn A
Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(−1;3; 2) Hình chiếu vng góc A trục Oz điểm M(0;0; 2)
Câu 8. Tổng số mặt hình chóp ngũ giác
A. B. C. D.
Lời giải Chọn C
Hình chóp ngũ giác có đáy ngũ giác nên có mặt bên Vậy hình chóp ngũ giác có tất mặt
Câu 9. Số tập hợp tập hợp A=1; 2;3; 4;5;6
A.C62 B.
6
2 C.A62 D.6!
Lời giải Chọn B
Số tập hợp khơng có phần tử A C60 (tập rỗng) Số tập hợp có phần tử A C61
Số tập hợp có hai phần tử A C62 Số tập hợp có ba phần tử A C63 Số tập hợp có phần tử A C64 Số tập hợp có phần tử A C65 Số tập hợp có phần tử A
6
(9)Vậy tổng số tập hợp Abằng:
0 6
6 6 6 6 (1 1)
C +C +C +C +C +C +C = + =
Tổng quát: Số tập hợp tập hợp có nphần tử 2n
Câu 10. Trong không gian Oxyzcho mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z+ =1 điểm M(2; 2; 1− ).Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P
A. d M( ;( )P )=3 B. ( ;( ))
d M P = C. ( ;( ))
d M P = D. ( ;( )) d M P = Lời giải
Chọn B
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( )P d M( ;( )P )
( )2
2
2.2 2.( 1)
2
− + − +
=
+ − +
1
=
Câu 11. Cho hàm số f x( )có f( )x liên tục đoạn −1;3, f ( )− =1 2019
1
( ) d
f x x
−
=
giá trị ( )3
f
A. −2020 B. −2018 C. 2020 D. 2018 Lời giải
Chọn C Ta có
3
1
( ) d
f x x
−
=
( )3
1
f x −
= f ( )3 − f ( )− =1 1 f ( )3 = f ( )− + =1 2020 Câu 12. Khối đa diện sau có mặt khơng phải tam giác đều?
A Bát diện B Hai mươi mặt C Tứ diện D Mười hai mặt
Lời giải Chọn D
A Bát diện đều: có mặt tam giác
B Hai mươi mặt đều: có 20 mặt tam giác
(10)D Mười hai mặt đều: có 12 mặt ngũ giác
Câu 13. Cho số phức z= +1 3i, Khi số phức liên hợp số phức z
A 3+i B. − +1 3i C 3− i D. − −1 3i Lời giải
Chọn C
Theo định nghĩa: Cho số phức z= +a bi a b( , ), Khi số phức liên hợp số phức z z= −a bi
Câu 14. Kết luận sau tính đơn điệu hàm số 1 x y
x
+ =
− đúng?
A. Hàm số đồng biến khoảng (−;1) (1;+) B. Hàm số luôn đồng biến \ 1
C. Hàm số luôn nghịch biến \ 1
D. Hàm số nghịch biến khoảng (−;1) (1;+) Lời giải Chọn D
Xét hàm số 1 x y
x
+ =
−
Hàm số cho xác định với x1 Ta có
( )2
3
0, 1
y x
x
−
=
−
Vậy hàm số nghịch biến khoảng (−;1) (1;+) Câu 15. Nguyên hàm hàm số ( )
e x
f x = +
A. 1e3
x C + +
B. 3e3x+1+C C. e3x+1+C D. e
ln e x
C
+
+
Lời giải Chọn A
Áp dụng công thức eax bdx 1eax b C a
+ = + +
Câu 16. Gọi A, B điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 Khi độ dài đoạn thẳng AB
A. B. C. 20 D.
(11)Hàm số có tập xác định D=
Ta có: y =3x2−6x; 0
2
x y
y x x
x y
= =
= − =
= = −
Bảng biến thiên:
Suy điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số A(0; 2), B(2;−2) Vậy độ dài AB AB= AB = (2 0− ) (2+ − −2 2)2 =2
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD EFGH Tính góc hai đường thẳng ACvà BE A. = 30 B. = 45 C. = 60 D. = 90
Lời giải Chọn C
Ta có EG/ /AC nên =(AC BE, ) (= EG BE, ).
Vì ABCD EFGH hình lập phương nên BE=EG=GB Suy BEG= 60 Vậy =(EG BE, )=BEG=60
Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn z+ −2 3i =5 Xác định bán kính đường trịn ( )C hình biểu diễn hình học số phức z hệ trục tọa độ Oxy
A. 14 B. C. D. 14
Lời giải Chọn B
Giả sử M x( ); y biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn tốn, ta có:
( ) ( ) ( ) (2 )2 ( ) (2 )2
2 5 25
x+ + −yi i = x+ + y− i = x+ + y− = x+ + y− =
Vậy biểu diễn hình học z hệ trục tọa độ Oxy đường trịn có bán kính
Câu 19. Tập nghiệm củabất phương trình 2019 2020
2
log x
x
−
x – ∞ + ∞
y' + 0 – 0 +
y
– ∞
2
-2
(12)A. (−;0) B. 0;1
C.
1 ;
D.
1 ;
+
Lời giải Chọn C
Điều kiện: 0 x
x x
−
Bất phương trình 3x 4x
x x
− −
0 x
x
Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là: 2;
Câu 20. Cho hàm số f x( )=x3−3mx2+3(m2−1)x+2020 Tìm m để hàm số f x( ) đạt cực đại
0
x =
A. m0 m2 B. m=2 C. m=0 D. m=0 m=2 Lời giải
Chọn B * TXĐ:
Ta có f '( )x =3x2−6mx+3(m2−1)
Để hàm số đạt cực đại x0 =1 f ' 1( )=0 hay ( )
2
3
2
m
m m
m
=
− + − =
=
* Với m=0, ta có ( )
' 3
f x = x − ; f '( )x = = 0 x Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x=1 nên m=0 không thỏa mãn * Với m=2, ta có ( )
' 12
f x = x − x+ ; '( )
3
x
f x
x
=
= =
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x=1 nên m=2 thỏa mãn
x – ∞ -1 + ∞
y' + 0 – 0 +
y
– ∞
+ ∞
x – ∞ + ∞
y' + 0 – 0 +
y
– ∞
(13)Câu 21. Phương trình phương trình mặt phẳng qua điểm M(0; 4;1) vng góc với hai mặt phẳng ( ) :x− =3 0,( ) :y− + =z
A. y z+ − =5 B. y z− − =3 C. x+ − =y D. x− + =z
Lời giải Chọn A
Mặt phẳng ( ) có véc tơ pháp tuyến n =(1;0;0), ( ) có véc tơ pháp tuyến n =(0;1; 1− ) Gọi ( ) mặt phẳng thỏa mãn điều kiện toán n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng
( )
Do mặt phẳng ( ) vng góc với mặt phẳng ( ) mặt phẳng ( ) nên chọn
( )
, 0;1;1
n =n n =
Phương trình mặt phẳng ( ) là: 1(y− +4) (1 z− = + − =1) y z
Câu 22. Một hình vng ABCD có AD= Cho hình vng quay quanh CD, ta vật thể trịn xoay tích
A. 4 B. 24 C.3 D. 23
Lời giải Chọn A
Vật thể tròn xoay tạo thành khối trụ có bán kính r= chiều cao h= thể tích bằng: V=r h2 = = (đvtt)
Câu 23. Tìm m để đồ thị hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+mcó hai điểm cực trị nằm phía
của trục tung
A m= 1 B m=1 C − 1 m D m=0
Lời giải Chọn C
Tập xác định: D=
( )
2
3
y = x − mx+ m −
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục tung =y' có nghiệm x x1; trái dấu P=(m2− − 1) m
Câu 24. Cho log2x=3, logx y=4, logy z=5.Tính giá trị biểu thức P=3 x+6 y+10z A. P=90 B. P=80 C. P=60 D. P=70
Lời giải Chọn D
Ta có
+) 3
2
log x= =3 x x =2
+) log 4 212 6 212 ( )22 4
(14)+) log 5 260 10 10260 10( )26 10 26 64
yz= =z y = z = = = =
Suy 6 10
2 64 70
P= x+ y+ z = + + =
Câu 25. Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình
3z +2z+ =4 Giá trị biểu thức
2
1
2
z z
z + z
bằng
A. 25
9 B.
29
− C. 20
9
− D. 16
9 Lời giải
Chọn D Cách 1:
Áp dụng định lý Viet ta có: 2 3 z z z z = + = − 2 2 z z
z + z
3 2 z z z z + = ( ) ( )
1 2
1
z z z z z z
z z
+ − +
=
3
2
3
3 3
4 − − − = 16 =
Cách 2: Sử dụng máy tính để tính tốn kết
2
3z +2z+ =4
1 11 3 11 3 z i z i = − − = − + Ta có: 2 2 z z
z + z
2
1 11 11
3 3
1 11 11
3 3
i i i i − − − + = + − + − −
8 11 11
9 i 9 i
= + + − 16
9
=
Câu 26. Phương trình 5x2− +3x =3x−2 có nghiệm dạng x=logab với a, b số nguyên dương lớn nhỏ 16 Khi a+2b
A 35 B. 25 C. 40 D 30
Lời giải Chọn A
2 3 2 2
5x− +x =3x− ( ) ( )
3 2 log
x x x
− + = − (x−2)(x− −1 log 35 )=0
5
1 log x
x
=
= +
2 log 15 x x = =
(15)Câu 27. Cho hình nón có độ dài đường sinh 2cm , góc đỉnh 60 Diện tích xung quanh o hình nón
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 Lời giải
Chọn B
Do góc đỉnh o
60 suy thiết diện qua trục hình nón tam giác Ta có l=2, r=1
Diện tích xung quanh hình nón 2 xq
S =rl= cm
Câu 28. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau sai?
A.Đồ thị hàm số có điểm cực đại (−1;3) B.Hàm số nghịch biến (− +1; ) C.Hàm số đồng biến (1;+) D.Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (1; 1− )
Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến (−1;1)nên khẳng định đáp án B sai; khẳng định khác
Câu 29. Cho hàm số f x( ) thoả mãn ( ) ( )
0
1 d 20
x+ f x x=
2f ( )1 − f ( )0 =4 Tính ( )
0
d B= f x x A. B=16 B. B= −16 C. B= −24 D. B=24
Lời giải Chọn B
Đặt u= + x du=dx, dv= f( )x dx, chọn v= f x( )
Khi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
1
1 0
0 0 0
1 d d d d d
x+ f x x= u v=uv − v u= x+ f x − f x x= f − f − f x x
(16)( ) ( )
1
0
20 f x dx f x dx 16
= − = −
Vậy B= −16
Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho OA=6.j+9.k−3.i điểm B thuộc đoạn thẳng OA cho OB=2AB Gọi ( )S mặt cầu tâm B có bán kính r ( )S tiếp xúc với trục Oz Tính r
A. r=2 B. r=2 13 C. r=2 10 D. r= 117 Lời giải
Chọn A
Ta có: A(−3;6;9)
OB= OA nên suy B(−2; 4;6)
Do mặt cầu ( )S tâm B tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu
( )2 2
2
r= − + =
Câu 31. Cho biết
1
2
7 13
ln 2
x x a
P dx c
x b
−
− +
= = +
−
với a c, , b số nguyên âm a
b phân số tối giản Tính a bc+
A. −45 B. −39 C. 39 D. 45 Lời giải
Chọn D Ta có:
1
1 2
2 2
7 13 33
dx dx 3ln ln
2 2
x x x
P x x x
x x
− − −
− +
= = − + = − + − = − −
− −
Suy ra: a=33,b= −2,c= −6 Vậy a bc+ =33+ −( )( )2 − =6 45
Câu 32. Cho hai hàm số F x( )=(ax2+3x b e+ ) 2x f x( )=(4x2+10x+1)e2x Tính P= +a 3b ( )
F x nguyên hàm hàm số f x( )
A. B. C. D. −1
Lời giải Chọn D
( )
F x nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )= f x( ) x
( ) ( ) ( )
2ax e x ax 3x b e x 4x 10x e x
+ + + + = + +
( ) ( )
2 2 2
2 10
1
x x a
ax a x b e x x e
b
=
+ + + + = + +
= −
(17)Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−1;0; 2) hai đường thẳng 1:
x t
y t
z
=
= −
=
,
2
1
:
1
x t
y t
z t
= +
= +
= −
Đường thẳng qua A vng góc với hai đường thẳng 1, 2 có phương trình
A.
1 1
x+ y z−
= =
− B.
1
1
x− y− z−
= =
C.
1 1
x+ y z−
= =
− D.
1
1
x y− z−
= =
Lời giải Chọn D
Gọi d đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề
Đường thẳng 1 có vec tơ phương u1=(1; 1;0− ) Đường thẳng 2 có vec tơ phương u2 =(2;1; 1− ) Ta có u u1; 2 = (1;1;3)
Do đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng 1, 2, nên d có vec tơ phương (1;1;3)
u=
d qua A(−1;0; 2) nên có phương trình
1
x+ = =y z−
Ta thấy điểm B(0;1;5)d nên d có phương trình
1
x = y− = z−
Câu 34. Tìm mơđun số phức z biết (4 3− i)(z−5) (= −1 2i)2
A. z = B. z =26 C. z =5 D. z = 26 Lời giải
Chọn D
Ta có (4 3− i)(z−5) (= −1 2i)2 − = − = −z i z i Suy z = 26
Câu 35. Đồ thị hàm số 12
x x
y
x x
+ − +
=
+ có số đường tiệm cận
A B C D
Lời giải Chọn B
(18)Ta có:
Suy ra, đồ thị hàm số có cận ngang Ta lại có:
Suy ra, đường thẳng đường tiệm cận đứng đồ thị Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận
Câu 36. Tìm tất giá trị để bất phương trình
( 2)
3
2 log sinx+m −4 log sinx+2 sinx+cos 2x+2m − 1 có nghiệm A. m − 2; 2 B.
4
m − C. m D. m=0 Lời giải
Chọn D
Ta có điều kiện bất phương trình sin 02 sin
sin
x
x x m
+
Khi
( 2)
3
2 log sinx+m −4 log sinx+2sinx+cos 2x+2m − 1 (1)
( 2) ( 2)
3
2 log sinx m sinx m log sinx cos 2x
+ + + + −
( 2) ( 2)
3
2 log sinx m sinx m log sinx sin x
+ + + +
( 2) 2
3
log sinx m sinx m log sinx sin x
+ + + +
( 2) 2 ( )
3
log sinx m sinx m log sin x sin x
+ + + +
Xét hàm số f t( )=log3t+t với t 0 Ta có ( ) 1 0,
.ln
f t t
t
= + nên hàm f t( ) đồng biến (0;+) Do bất phương trình (2) tương đương với 2 2
sinx m+ sin xm sin x−sinx Suy bất phương trình (1) có nghiệm m2 max sin( 2x−sinx) miền sinx0 Xét hàm số g t( )= −t2 t, với t(0;1 g t( )= −2t 1; ( )
2
g t = =t
Vì (1) 0; 1; (0)
2
g = g = − g =
nên (0;1 (0;1
1 max ( ) 0; ( )
4 g t = g t = − Vậy bất phương trình (*) có nghiệm m2 =0 m
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên ba số khác từ 27 số nguyên dương Xác suất để chọn ba số có tổng số lẻ
2
2
1 1
1
lim lim
4
1
x x
x x x x x x
x x
x
→+ →+
+ − +
+ − +
= =
+ +
0 y=
( )( )
( )( ) ( )( )
2 2
0 0
1 1 1
1 1
lim lim lim
4 4 1 1 4 1 1
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x
→ → →
+ + − + +
+ − + +
= = =
+ + + + + + +
0 x=
(19)A. 28
75 B.
112
225 C.
28
225 D.
75 112 Lời giải
Chọn B
Chọn Ba số từ 27 số có C273 cách
3 27
C
=
Gọi A: “Chọn Ba số từ 27 số có tổng số lẻ” TH1 Hai số chẵn, số lẻ có C C132 141 cách TH2 Ba số lẻ có C143 cách
Suy A =C C132 141 +C143 Vậy ( )
2
13 14 14
3 27
112
225
A C C C
P A
C
+
= = =
Câu 38. Cho hình trụ có bán kính r chiều cao r Một hình vng ABCD có hai cạnh ,
AB CD dây cung hai đường tròn đáy, cịn cạnh BC AD, khơng phải đường sinh hình trụ Tan góc mặt phẳng chứa hình vng mặt đáy
A B.
2 C.
6
3 D.
15 Lời giải
Chọn C
Gọi MN hình chiếu vng góc AB lên đường trịn đáy Ta có MNDC hình chữ nhật NCMD=O tâm đường trịn đáy Gọi H I K, , trung điểm AB MN CD, , Lại có HK⊥CD IK, ⊥CD, suy góc mặt phẳng chứa hình vng ABCD mặt đáy
tan IH
HKI HKI
IK
=
Đặt AB=BC=CD=AD=x x( 0) Ta có
2
2 2
2 2
4
x
MC=IK = OK = OC −CK = r −
Trong tam giác vng BMC ta có
I N
M
D
C K H
O B
(20)2
2 2 2
4
4 2
x r r
BM +MC =BC r + r − =x =x IK=
Suy tan
3
3
2
IH r
HKI
IK r
= = = =
Câu 39. Cho phương trình (x−2 log) 52(x m− ) (+ −x log) 5(x m− )=1 với m tham số Tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (3;+) tập S =(a;+) Đánh giá sau đúng?
A. − −3 a B. − 1 a C 1 a D. 2 a
Lời giải Chọn A
TXĐ: D=(m;+)
Đặt t=log5(x m− ) Phương trình cho trở thành
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2 1
1
1
3
2
x t x t
x t x t t
x t t t
t x t
t
x t
x
− + − =
− + − = +
− + = +
+ − − =
= −
= −
+) Với 1 14
5
t= − = + x m m
+) Với
1
2
1
5
2
x x
t x m m x
x
− −
= − = = −
−
Mà hàm số ( )
1 5x
f x = −x − đồng biến (3;+ ) m f ( )3 = −2 Kết hợp hai trường hợp ta m − +( 2; )
Câu 40. Cho hình chóp S ABCDcó đáy hình vng cạnh a Mặt bên (SAD)là tam giác nằm
vng góc với đáy Góc SD (SBC)là A. arcsin
9 B.
21 arcsin
7 C.
2 arcsin
7 D.
3 arcsin
7 Lời giải
Chọn B
Gọi I trung điểm AD SI ⊥(ABCD)
Đỉnh điểm chung S Ta cần tìm hình chiếu D trên (SBC)
(21)Hình chiếu I (SBC) N ,với N hình chiếu vng góc I lên SJ (Vì ( ) (SIJ ⊥ SBC) theo giao tuyến SJ, J trung điểm BC)
Vậy ta vẽ DH // INvà DH =IN H hình chiếu Dtrên (SBC)
góc DSH
Ta có: sinDSH DH IN SD SD
= =
Có: 12 12 12
IN = IS +IJ 2
4
3a a
= + 72
3a
=
7
a IN
=
3 21 sin
7
a DSH
a
= = góc arcsin 21
Câu 41. Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục có f ( )4 =1, ( )
4
1 ln
1
e
f x dx
x =
Giá trị
( )
2
3
0
x f x dx
thuộc khoảng ?
A. ( )0; B. ( )1;3 C. ( )2; D. ( )3;5 Lời giải
Chọn A
Đặt t lnx dt 1dx x
= =
Với x= =1 t
4 x= =e t Khi ( )
4
0
2 f t
dt
= Do ( )
0
2 f x dx=
Xét ( )
2
3
0
I =x f x dx Đặt
2 t=x =dt xdx Với x= =0 t
2
x= =t
Khi ( )
0
I = tf t dt Do ( )
1
1
2
I = xf x dx= I
A B
D C
S
H
I J
(22)Tính I1
Ta có
( ) ( )
u x du dx
dv f x dx v f x
= =
= =
( )4 ( )
1 0
0
I =xf x − f x dx ( ) ( )
0
4f f x dx 2
= − = − =
Do I =1
Câu 42. Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(0;1;9) mặt cầu ( ) (S : x−3) (2+ y−4) (2+ z−4)2 =25 Gọi ( )C giao tuyến ( )S với mặt phẳng (Oxy) Lấy hai điểm M N, ( )C cho
2
MN = Khi tứ diện OAMN tích lớn đường thẳng MN qua điểm số điểm đây?
A. (5;5; ) B. 1; 4;0
−
C.
12
; 3;
−
D. (4;6;0 )
Lời giải Chọn A
( ) ( ) (2 ) (2 )2
: 4 25
S x− + y− + z− = có tâm I(3; 4; 4) bán kính R=5 Gọi H hình chiếu vng góc I lên (Oxy)H(3; 4;0 )
Đường trịn ( )C có tâm H(3; 4;0) bán kính 2
25 16
r= R −IH = − =
Gọi E trung điểm MN, suy ME= HE⊥MN
2
5,
OH = HE= r −ME = Suy O nằm ngồi ( )C Gọi K hình chiếu vng góc O lên MN
( )
( )
1 1
;
3
OAMN OMN
V = d A Oxy S = OK MN =3 5.OK 3 5.OE3 5.(OH+HE)=21
Đẳng thức xảy KE O H E, , thẳng hàng (H nằm đoạn OE) Khi đó: 21 28; ;0
5 5
OE= OH E
(23)MN qua điểm 21 28; ;
5
E
nhận
28 21
; ;0
5
u= k OE= −
làm vectơ phương
Do MN có phương trình:
21 28
5
28 21
5
0
x t
y t
z
= −
= +
=
Vậy, MN qua điểm (5;5;0 )
Câu 43. Gọi S tập hợp số nguyên m khoảng (−2020; 2020) để đồ thị hàm số
3 2
3 3
y= −x mx + −x m cắt đường thẳng y= +x ba điểm phân biệt Tính số phần tử S A. 2017 B. 2018 C. 4034 D. 2020
Lời giải Chọn B
Xét phương trình x3−3mx2+ −x 3m2=x+1x3−3mx2−3m2− =1 0 (*)
Yêu cầu toán phương trình (*) có nghiệm phân biệt
hàm số f x( )= −x3 3mx2−3m2−1 có cực đại, cực tiểu fcd.fct 0 (**) Ta có f( )x =3x2−6mx=3x(x−2m), ( ) 0
2
x
f x
x m
=
=
=
Do (**) ( ) ( )
0 (
0
1)
m
f f m
(1) ( )( )
3m 4m 3m
− − − − −
3
4m +3m +1
( )( ) 4m m
m+ − +
1 m
− (thỏa mãn m0)
Mà m nguyên khoảng (−2020; 2020) nên m − 2019; 2018; ; 2− − = S số phần tử S 2018 phần tử
Câu 44. Gọi z1, z2 hai số phức thỏa mãn z− + =2 i z1−z2 =2 Tính mơđun số phức w z= + − +1 z2 4 2i
A. w =6 B. w =5 C. w =4 D. w =4 Lời giải
(24)Gọi A điểm biểu diễn số phức z1, B điểm biểu diễn số phức z2
Theo giả thiết z1, z2 hai số phức thỏa mãn z− + =2 i nên A B thuộc đường
trịn tâm I(2; 1− ) bán kính r =3 Mặt khác z1−z2 = 2 AB=2
Gọi C trung điểm AB suy C điểm biểu diễn số phức
2
z +z
2
3 2
IC= − =
Ta có 2 2
2
z z
w = + − +z z i = + − + =i IC= Câu 45. Cho ( )
1
0
1 ln ln
ln d
2
a bc c
x x x
x
− +
+ + =
+
, với a b c, , Giá trị a b c+ + A 13 B 15 C 17 D.11
Lời giải Chọn A
Ta có ( )
1
0
1
ln d
2
I x x x
x
= + +
+
( )
0
ln d d
2
x
x x x x
x
= + +
+
( )
1
2
0
1
ln d d
2
x x x
x
= + − + −
+
( )1 ( ( ))
2
1 0
0
4
ln d ln
2 2
x x
x x x x
x
− −
= + − + − +
+
1
0
ln ln 2 ln ln
2
x x
= − + − − + − +
2
7 ln 2.7 ln
ln ln
2 4
− +
= − + + =
(25)Câu 46. Cho hàm số y= f x( ) xác định, có đạo hàm thỏa mãn f2(− =x) (x2 + +2x 4) (f x+2) f x( ) 0, x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y= f x( ) điểm có hồnh độ
2 x=
A. y= − +2x B. y=2x+4 C. y=2 x D. y=4x+4
Lời giải Chọn C
Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x=2 là: y= f(2)(x−2)+ f(2)
Ta cần tính f( )2 f( )2
Thay x=0,x= −2 vào đẳng thức giả thiết có
2
(0) (2) (0) (2)
(0) (2) (2) (0)
f f
f f
f f
f f
= =
=
=
=
=
Đối chiếu điều kiện f x( ) 0, x nhận f(0)= f(2)=4
Đạo hàm hai vế đẳng thức có:
2 (f − − −x) f( x) =(2x+2) (f x+ +2) (x +2x+4) (f x +2) Đẳng thức thay x=0,x= −2
2 (0) (0) (2) (2) (0) (2) (0) (2) (2) (0) (0) (2) (0) (2)
f f f f f f f
f f f f f f f
−
−
= + − = + = −
− = − + = − + =
Khi phương trình tiếp tuyến cần tìm y=2(x− + =2) x
Câu 47. Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy tam giác Gọi E, F, I điểm di động cạnh AB, BC, CA cho AE=BF =CI Điểm O tam giác A B C' ' ' cho thể tích khối chóp O ABC 240 3a3 Thể tích khối chóp O EFI đạt giá trị nhỏ bao nhiêu?
A. 80 3a3 B. 40 3a3 C. 60 3a3 D.48 3a3 Lời giải
Chọn C
A C
B
A' C'
B'
O
E
(26)
1
.S d(O, (EFI))
O EFI EFI
V =
Vì d(O, (EFI))=d(O, (ABC)) không đổi nên VO EFI. nhỏ diện tích EFI nhỏ Các tam giác AEI,BFE,CIF (#C.g.c) nên diện tích EFI nhỏ diện tích
EIA
lớn
Đặt AB=a AE, =x(0 x a) AI = −a x Áp dụng BĐT Cauchy ( AM-GM) ta có
2 2
0
1 3
.AE.AI.sin 60 x (a x)
2 4 16
EIA
x a x a
S
+ −
= = − =
Do đó, SEIA lớn
2
a
x= − =a x x , hay E trung điểm AB
Khi E, F, I trung điểm cạnh AB, BC, CA SABC =4SEFI
Do đó,
60 O E AB
O FI C
V = V = a
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(0;1; 1− ) Hai điểm D, E thay đổi đoạn OA, OB cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích Khi DE ngắn trung điểm đoạn DE có tọa độ
A. 2; 2;0
4
I
B.
2
; ;0
3
I
C.
1 ; ;0 3
I
D.
1 ; ;0 4
I
Lời giải
Chọn A
Ta có OA=(1; 0;1), OB=(0;1; 1− ), OA=OB= 2, AB= −( 1;1; 2− ), AB=
Ta có
ODE
OAB
S OD OE
S = OA OB
1
2
OD OE
= OD OE =1 cosAOB
2 2
2
OA OB AB
OA OB
+ −
= 2
4 + − = − =
Ta có DE2 =OD2 +OE2−2OD OE cosAOB 2 OD OE OD OE
= + + 3OD OE DE Dấu xảy OD=OE =1
Khi 2
OD= OA 2; 0;
2
D
,
2
OE= OB 0; 2;
2
E
−
Vậy trung điểm I DE có tọa độ 2; 2; 4
I
(27)Câu 49. Cho hàm số ( )
y= f x =ax +bx +cx+d có đồ thị hình vẽ
Gọi T tập hợp tất giá trị x cho hàm số ( ) ( ( )) ( )
( ) ( ( ))
2
1
f f x
g x
f f x f f x
− =
− + đạt
giá trị lớn Số phần tử T
A.1 B. C.7 D.5
Lời giải Chọn C
Đặt ( ) ( )
( )
g x g t f f x
=
=
Ta có
1 t g
t t
− =
− + ( ) ( )
2
g t g t g
− + + + =
Để tồn số thực t =(g+1)2−4g g( + 1) (g+1)2−4g g( + 1) (1 3g)(g 1)
− + 1
3 g
−
Do g x( ) đạt giá trị lớn
2
1
1 t
t t
− =
− +
2
4 t t
− + = =t 2 f (f x( ))=2
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f (f x( ))=2 tương đương ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) , 1 , ,
f x a a
f x b b
f x c c
=
=
=
(28)Số nghiệm phương trình ( )2 số giao điểm ĐTHS y= f x( ) y=b 1( b 3) nên có nghiệm phân biệt
Số nghiệm phương trình ( )3 số giao điểm ĐTHS y= f x( ) y=c (c3) nên có nghiệm
Các nghiệm tìm phân biệt nên tập T có tất phần tử
Câu 50. Cho số thực ,x y thỏa mãn 0x y, 1 log3 ( 1)( 1)
x y
x y
xy
+
+ + + − =
−
Biết biểu thức
2
P= +x y đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức T =x2 +2y2
A B. C D
Lời giải Chọn C
Điều kiện:
0 ,
0
x y x y
xy
+
−
0 ,
0;
x y
x y xy
+ −
Khi đó: log3 ( 1)( 1)
x y
x y
xy
+
+ + + − =
−
( ) ( )
3
log x y log xy x y xy
+ − − + + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
3
log x y x y log xy xy (*)
+ + + = − + −
Xét hàm số f t( )=log3t+t với t0, ta thấy ( ) 1 0, ln
f t t
t
= + nên hàm số f t( ) đồng
biến khoảng (0;+) Do ( )* + = −x y xy
Suy P= +x 2y= + + = −x y y xy+ = +y y(1−x)1,x y, thỏa mãn 0x y, 1 Đẳng thức xảy x=1;y=0 (thỏa điều kiện đề bài)