Biểu thức trong tích phân có tổng của hàm logarit và hàm phân thức nên ta tách thành 2 tích phân dạng thường gặp. Một là tích phân của hàm đa thức và hàm logarit ta dùng tích phân từ[r]
(1)BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể tác giả!
Câu 1. Cho
1
0
1 ln ln
ln( 2)
2
a bc c
x x dx
x
− +
+ + =
+
,với a b c, , Tính T= + +a b c
A. T=13 B. T=15 C. T=17 D. T =11
Câu 2. Cho ( )
3
2
1 ln ln
ln d
1
abc b c
I x x x
x
− −
= + − = +
, với a b c, , Tính T = + +a b c
A T=13 B T=15 C T=10 D T =11
Câu 3. Cho ( )
1
2
1 ln ln
ln d
1
ab bc c
I x x x
x
+ −
= + − =
+
, với a b c, , Tính T =abc
A T = −18 B T =16 C T =18 D T = −16
Câu 4. Cho f x( ) hàm liên tục a0 Giả sử với x 0;a , ta có f x( )0 ( ) ( )
f x f a−x = Tính
( )
0
1 d
a
I x
f x
= +
A
3
a
B 2a C aln 1( +a) D
2
a
Câu 5. Cho f x( ) là hàm liên tục 0 ;1 Giả sử với x 0 ;1 , ta có f x( )0và
( ) ( )
f x f −x = Tính
( )
1
02
dx f x +
A 1 B 2 C 1
2 D
1
Câu 6. Cho hàm số f x( ) liên tục 3f ( )− −x 2f x( )=tan2x Tính ( )
4
4
d
f x x
−
A 1
− B
2
−
C 1
4
+ D 2
2
−
Câu 7. Biết
1 3
0
2 1
.ln
.2 ln
x x
x
x e x e
dx p
e m e n e Với m n p, , số nguyên dương Tính tổng S m n p
A 7 B 6 C 8 D 5
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai 0;1 thỏa
1
12
x f x dx
2f f Tính
1
0
f x dx
A 10 B 14 C 8 D 5
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓3 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8
0 𝑓(3) = ln Tính ∫ 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
(2)Câu 10. Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=xsin x Tính ( )
2
2
I f x dx
−
=
A
2019 B
1
2019 C
1
1009 D
1 2018
Câu 11. Cho hàm số f x( ) xác định khoảng (0;+) \ e thỏa mãn ( )
(ln1 1)
f x
x x
=
− ,
2
1
ln
f e
=
( )
2
3
f e = Giá trị biểu thức ( )3
f f e
e
+
A 3 ln 1( + ) B 2 ln C 3ln 1+ D ln 3+
Câu 12 Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx+d có đạo hàm hàm số với đồ thị hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y= f x( ) tiếp xúc với trục hoành điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung điểm điểm có tung độ
A −4 B 1 C 2 D 4
Câu 14. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
2
1
.ln
f x f x dx=
f ( )1 =1, f ( )2 1 Giá trị f ( )2
bằng
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D f ( )2 =e2
Câu 15. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )
2
0
d
f x x=
f ( )2 =2 Tính ( )
4
0
d
f x x
A I 2. B I C I D I
Câu 16. Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa f (4−x)= f x( ) Biết ( )
3
1
d xf x x=
Tính ( )
3
1
d f x x
A 5
2 B
7
2 C
9
2 D
11
Câu 17. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn ( ) ( )
1
0
2 d
x f x − x= f
Giá
trị ( )
1
0
d
I = f x x
(3)Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn
1
0
4 d
x f x x f Giá trị
của
1
0
d
I f x x
A 0 B C D 2
Câu 19. Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa
1
0
1 d 10
x f x x 2f f Tính
1
0
d
I f x x
A.I 12 B.I C.I 12 D.I
Câu 20. Biết hàm sốy= f x( ) liên tục thỏa ( ) ( )
2
0
2 =16; =4
f f x dx Tính ( )
1
0
2 =
I xf x dx
A.I =13 B.I =12 C.I =20 D.I =7
Câu 21. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2 , 0;1
f x + f −x = x − x x Tính ( )
1
2
1
I =f −x dx
A
15
I = B I =1 C
15
I = − D
15
I =
Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với x1 thỏa mãn 3, 1
x
f x x
x
+
= + −
Tính
( )
1
2
e
I f x dx
+
=
A I =4e−1 B I = +e C I =4e−2 D I = +e
Câu 23. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với x0thỏa mãn f x( ) 2f ,x x
x
+ =
Tính
( )
1
f x
I dx
x
=
A
2
I = B
2
I = C
2
I = D
(4)BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tập thể tác giả!
Câu 1. Cho
1
0
1 ln ln
ln( 2)
2
a bc c
x x dx
x
− +
+ + =
+
,với a b c, , Tính T= + +a b c
A. T=13 B. T=15 C. T=17 D. T =11
Lời giải Chọn A
Phân tích:
Biểu thức tích phân có tổng hàm logarit hàm phân thức nên ta tách thành tích phân dạng thường gặp Một tích phân hàm đa thức hàm logarit ta dùng tích phân phần, tích phân hàm phân thức bậc bậc
Ta có:
1 1
1
0 0
1
ln( 2) ln( 2)
2
x
I x x dx x x dx dx I I
x x
= + + = + + = +
+ +
*Tính
1
0
ln( 2) I =x x+ dx
Đặt ln( 2) 2
2
dx du
u x x
dv xdx x
v
= = +
+
=
=
Khi đó :
1
2 2
1
0
1
0
1 1 4
ln( 2) ln
0
2 2 2
1
1 1
ln ( ) ln ( ln )
0
2 2 2
1 1 3
ln ( ln 3) ln ln ln
2 2
x x x
I x dx dx
x x
x
x dx x x
x
− +
= + − = −
+ +
= − − + = − − + +
+
= − − + + = − + +
*Tính
1
0
x
I dx
x =
+
1 1
2
0 0
1
2 2
(1 ) ( ln )
0
2 2
1 ln ln
x x
I dx dx dx x x
x x x
+ −
= = = − = − +
+ + +
= − +
2
1
7 ln 2.7 ln ln ln
2 4
I = + =I I − + = − +
Ta có a=4,b=2,c=7 Vậy T= + + = + + =a b c 13
Câu 2. Cho ( )
3
2
1 ln ln
ln d
1
abc b c
I x x x
x
− −
= + − = +
, với a b c, , Tính T = + +a b c
A T=13 B T=15 C T=10 D T =11
(5)Chọn C
Ta có ( )
3
1
2
0
ln d d
1
x
I x x x x I I
x
= + − = −
+
* Tính ( )
3
0
ln d
I =x x+ x
Đặt ( ) 2
d d
ln 1
d d
2 x u
u x x
x v x x
v = = + + = =
Khi đó : ( )
3 3 3
2
1
0
0
1 1
ln d ln d
2 2
x x
I x x x x
x x = + − = − − + + +
ln ln
2 2
x
x x
= − − + +
9
ln ln 4 ln
2 2
= − − + = − * Tính 2 d x I x x = +
Đặt
1 d d
u=x + u= x x
Đổi cận: x= =0 u 1;x= =3 u 10
Khi đó :
10 10
2
1
1 1
d ln ln10
2 2
I u u
u
= = =
Suy ( )
3
1
2
0
ln d d
1
x
I x x x x I I
x
= + − = −
+
ln 1ln10 5.2.3ln 2 ln
4
− −
= − − =
Ta có a=5,b=2,c=3 Vậy T = + + =a b c 10
Câu 3. Cho ( )
1
2
1 ln ln
ln d
1
ab bc c
I x x x
x + − = + − = +
, với a b c, , Tính T =abc
A T = −18 B T =16 C T =18 D T = −16
Lời giải Chọn A
- Ta có ( )
1
2
1
ln d
1
I x x x
x
= + −
+
( )
0
ln d
1
x
x x x
x = + − + ( ) 1 0
ln d d
1 x
x x x x
x
= + −
+
- Đặt ( )
1
0
ln d
I =x x+ x
(6)+ Tính ( )
1
0
ln d
I =x x+ x Ta đặt ( ) 2
1 d
ln 2
d
2
du x
u x x
dv x x x
v = = + + = =
, đó ta có:
( ) 1 2 0
ln d
2 2
x x
I x x
x = + − +
1
ln d
2 x x x
= − − + + 1
ln ln
2 2
x
x x
= − − + +
1ln 1 ln ln
2 2
= − − + −
ln 3ln 3
2 = − + + Tính 2 d x I x x = + ( ) 2 1 d x x + = + ln x
= + 1ln 2 =
- Khi đó 1 2 ln 3ln 3 1ln
2
I = − =I I − + −
3ln 3ln 3
2
= − +
3.2.ln 3.2.ln 3
4
− +
=
3.2.ln 2.( )3 ln ( )3
+ − − −
=
Ta suy ra:
3 a b c = = = −
Vậy T =a b c =3.2.( )− = −3 18
Câu 4. Cho f x( ) hàm liên tục a0 Giả sử với x 0;a , ta có f x( )0 ( ) ( )
f x f a−x = Tính
( ) d a I x f x = + A a
B 2a C aln 1( +a) D
2 a Lời giải Chọn D Ta có ( ) d a I x f x = + ( ) d 1 a x f a x
= + − (( )) d a
f a x x f a x
− =
− +
(7)Ta ( )
( )
0
d
a f t
I t
f t
= −
+
( )( )
0
d
a f x
x f x
=
+
Do đó, ta có
( ) ( )( )
0 0
1
2 d d d
1
a a a
a f x
I x x x x a
f x f x
= + = = =
+ +
Vậy
2
a I =
Câu 5. Cho f x( ) là hàm liên tục 0 ;1 Giả sử với x 0 ;1 , ta có f x( )0và
( ) ( )
f x f −x = Tính
( )
1
02
dx f x +
A 1 B 2 C 1
2 D
1
Lời giải Chọn D
Ta có
( ) ( ( ( ) ))
1
0
1
2 2
f x
dx
I dx
f x f x
−
= =
+ + −
Đặt t= − = −1 x dt dx, đổi cận : x= =0 t 1; x= =1 t ( )
( )
( ) ( ( )( ))
0
1 2 2
f t f x
I dt dx
f t f x
= − =
+ +
( ) ( ( )( ))
1
0
1
2
2 2
f x dx
I dx I
f x f x
= + = =
+ +
Câu 6. Cho hàm số f x( ) liên tục 3f ( )− −x 2f x( )=tan2x Tính ( )
4
4
d
f x x
−
A 1
− B
2
−
C 1
4
+ D 2
2
−
Lời giải Chọn D
Theo đề bài, ta có ( ) ( )
3f − −x 2f x =tan x ( )1
Thay x −x ta được: 3f x( )−2f ( )− =x tan2( )− =x tan2x ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra: f x( )=tan2x ( )
4 4
2
0
4
d tan d tan d
I f x x x x x x
− −
= = = ( )
2
0
1
2 tan d d
cos
x x x
x
= + − = −
( )
2 tan
2
x x
= − = −
(8)Câu 7. Biết
1 3 3
0
2 1
.ln
.2 ln
x x
x
x e x e
dx p
e m e n e Với m n p, , số nguyên dương Tính tổng S m n p
A 7 B 6 C 8 D 5
Lời giải Chọn A
Ta có:
1
1 3 3 4
3
0
0 0
.2
2 2
.2 e ln 2
x
x x x
x x x
d e
x e x x
dx x dx
e e e
1
1 1 1
ln ln ln
4 e ln e ln e ln
x e e
e
e e
Vậy
4
2
1
m
n m n p
p
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm cấp hai 0;1 thỏa
1
12
x f x dx
2f f Tính
1
0
f x dx
A 10 B 14 C 8 D 5
Lời giải Chọn D
Đặt
2 du 2xdx
u x
v f x
dv f x dx Khi đó
1
0
I x f x x f x dx
Đặt u 2x du 2dx
dv f x dx v f x Suy
1
1
0
2 x f x dx x f x 2f x dx
Do đó
1
0
12 f 2f f x dx f x dx
Câu 9. Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn ∫ 𝑥𝑓3 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 8
0 𝑓(3) = ln Tính ∫ 𝑒 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
A 1 B 11 C 8 − ln3 D 8 + ln3
Lời giải Chọn A
Áp dụng phương pháp tính tích phân phần
Từ giả thiết đề cho, Đặt {𝑑𝑣 = 𝑓𝑢 = 𝑥 ′(𝑥)𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 => {𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Khi đó:
𝐼 = 𝑥𝑒𝑓(𝑥)|
3− ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
=> = 3𝑒𝑓(3)− ∫ 𝑒𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(9)Câu 10. Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa mãn f ( )− +x 2018f x( )=xsin x Tính ( )
2
2
I f x dx
−
=
A
2019 B
1
2019 C
1
1009 D
1 2018
Lời giải Chọn A
Đặt t= − x dt= −dx
2
x − t
= = ;
2
x t −
= =
( ) ( )
2
2
I f t dt f x dx
−
−
= − − = −
Suy ( ) ( )
2 2
2 2
2019.I f x dx 2018 f x dx xsinxdx
− − −
= − + = =
2 2019
I
=
Câu 11. Cho hàm số f x( ) xác định khoảng (0;+) \ e thỏa mãn ( )
(ln1 1)
f x
x x
=
− ,
2
1
ln
f e
=
( )
2
3
f e = Giá trị biểu thức ( )3
f f e
e
+
A 3 ln 1( + ) B 2 ln C 3ln 1+ D ln 3+
Lời giải Chọn A
Ta có: ( ) ( )
( ) ( )
ln 1
ln ln
ln ln
d x
f x f x dx dx x C
x x x
−
= = = = − +
− −
với x(0;+) \ e
• Trường hợp 1: lnx− 1 lnx 1 x e ( ) ln ln( 1)
f x x C
= − + , f e( )2 = 3 C1=3 f x( )=ln ln( x− +1)
( ) (3 )
ln ln 3 ln
f e = e − + = +
• Trường hợp 2: lnx− 1 lnx 1 x e ( ) ln ln( )
f x x C
= − + , 2
1
ln ln ln ln ln ln
f C C
e
= + = = − =
(10)1
ln ln ln 2 ln f
e e
= − + =
Vậy f f e( )2 ln ln ln 1( ) e
+ = + + = +
Câu 12 Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx+d có đạo hàm hàm số với đồ thị hình vẽ bên Biết đồ thị hàm số y= f x( ) tiếp xúc với trục hoành điểm có hoành độ âm Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung điểm điểm có tung độ
A −4 B 1 C 2 D 4
Lời giải Chọn A
Ta có f( )x =ax x( +2) mà
( ) ( ) ( ) ( )
1 3
f − = − = a f x = x + x f x = f x dx=x + x +C Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x0 0) suy ( )
( ) ( )
0
0
0
3
4
f x x
f x x x
C f x
=
= −
= + −
= − =
Vậy đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ −4
Câu 13 Cho y= f x( ) hàm số chẵn, liên tục Biết đồ thị hàm số y= f x( )đi qua điểm
; M−
( )
1
0
3 f t dt=
Tính ( )
0
6
sin x f sinx dx
−
A I =10 B. I = −2 C I =1 D I = −1
Lời giải Chọn B
Đặt sinx=t; đổi cận 1; 0
6
x= − = − t x= =t
( ) ( )
0
1
6
sin sin
I x f x dx t f t dt
− −
= =
Đặt
( ) ( )
2t u 2dt du f t dt dv f t v
= =
= =
( ( )) ( )
0
1
2
2 |
I t f t f t dt
− −
(11)( )
y= f x hàm số chẵn: ( ) ( )
1
0
1
2
2f t dt 2f t dt 2.3
−
= = =
Đồ thị hàm số y= f x( )đi qua điểm 1; M−
:
4 f − =
( )
( ) ( ) ( ( )) ( )
1
0
1
2
1
2 | 2 | 2.0 6
2
I t f t f t dt t f t f f
− −
− −
= − = − = − − = − = −
Câu 14. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) ( )
2
1
.ln
f x f x dx=
f ( )1 =1, f ( )2 1 Giá trị f ( )2
bằng
A f ( )2 =2 B f ( )2 =3 C f ( )2 =e D f ( )2 =e2
Lời giải Chọn C
Đặt ( )
( )
ln
u f x
dv f x dx
=
=
( ) ( ) ( ) f x
du dx
f x v f x
=
=
Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
.ln ln
f x f x dx= f x f x − f x dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 f ln f f ln f f f = − − −
( )
( ) ( ) ( )
1
2 ln 2
f
f f f
=
=
( )
( )
2
ln
f
f
= f ( )2 =e
Câu 15. Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( )
2
0
d
f x x=
f ( )2 =2 Tính ( )
4
0
d
f x x
A I 2. B I C I D I
Lời giải Chọn A
Xét tích phân ( )
4
0
d
f x x
Đặt
d t x = = t x t x= td
Đổi cận: Khi x= =4 t 2; Khi x=0 t=0 Khi đó ( ) ( )
4
0
d d
(12)Đặt
( ) ( )
2
dt=dv
u t du dt
f t f t v
= =
=
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
4 2
2
0 0
d d 2 d
I = f x x= tf t t= tf t − f t t
2
0
4f 2 f x dx 4.2 2.3
Câu 16. Cho hàm số y= f x( ) liên tục thỏa f (4−x)= f x( ) Biết ( )
3
1
d xf x x=
Tính ( )
3
1
d f x x
A 5
2 B
7
2 C
9
2 D
11
Lời giải Chọn A
Ta có ( ) ( )
3
1
5=xf x xd =xf 4−x xd
Đặt
4
d dt
4
1; 3;
x t
x
t x
x t
x t
Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
1 1
4 d d d d d
xf −x x= − −t f t x= −t f t x= f t t− tf t t
Suy ( ) ( ) ( )
3 3
1 1
5
5 d d 10 d
2
f t t f t t f t t
= − = = hay ( )
3
1
5 d
2 f x x=
Câu 17. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn ( ) ( )
1
0
2 d
x f x − x= f
Giá
trị ( )
1
0
d
I = f x x
A 1 B 2 C −1 D −2
Lời giải Chọn C
Đặt
( )
d d
u x
v f x x
=
= −
ta có ( )
d d
2
u x v f x x
=
= −
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
1 d 2 d
f =x f x − x=x f x − x −f x − x x= f − − +I Suy I = −1
Câu 18. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục 0;1 thỏa mãn
1
0
4 d
x f x x f Giá trị
của
1
0
d
I f x x
(13)Lời giải Chọn B
Đặt d d
4
d d
u x u x
v f x x
v f x x
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
0
1 d 4 d
f =x f x − x=x f x − x −f x − x x= f − − +I Suy I
Câu 19. Cho hàm số f x( ) liên tục thỏa
1
0
1 d 10
x f x x 2f f Tính
1
0
d
I f x x
A.I 12 B.I C.I 12 D.I
Lời giải Chọn D
Đặt d
d
u x du x
dv f x x v f x
Khi đó
1 1
0
0
1 d 10 d 10
x f x x x f x f x x 2f f I 10 Suy I
Câu 20. Biết hàm sốy= f x( ) liên tục thỏa ( ) ( )
2
0
2 =16; =4
f f x dx Tính ( )
1
0
2 =
I xf x dx
A.I =13 B.I =12 C.I =20 D.I =7
Lời giải Chọn D
Đặt
( ) ( )
2
2 = =
= =
du dx u x
dv f x dx v f x
Ta có: ( ) ( ) ( )
1
1
0
0
1 1
2 2
2 2
= = − = −
I xf x dx xf x f x dx A với ( )
1
0
2 =
A f x dx
Đặt ( ) ( ) ( )
1 2
0 0
1
2 2d 2
2
= = = = = =
t x dt x A f x dx f t dt f x dx
Vậy = − =
I A
Câu 21. Cho hàm số f x( ) liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
(14)A
15
I = B I =1 C
15
I = − D
15
I =
Lời giải Chọn C
Đặt t= − 1 x, x 0;1 t 0;1
Ta có f x( )+2f (1−x)=3x2−6x f x( )+2f (1−x) (=3 1−x)2−3
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3
f t f t t f x f x x
− + = − + − = −
Ta có hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 6
2 3 6
3 6 2
f x f x x x f x f x x x
f x f x x f x f x x
f x x x f x x x
+ − = − + − = −
+ − = − + − = −
= + − = + −
Khi đó ( 2) ( 2) (2 2)
1 2
f −x = −x + −x − =x − x +
Suy ( ) ( )
1
2
0
2
1
15 I =f −x dx= x − x + dx= −
Câu 22. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với x1 thỏa mãn 3, 1
x
f x x
x
+
= + −
Tính
( )
1
2
e
I f x dx
+
=
A I =4e−1 B I = +e C I =4e−2 D I = +e
Lời giải Chọn C
Đặt 1
1
x t
t xt t x x
x t
+ +
= − = + =
− − , suy ( )
1
3
1
t f t
t t
+
= + = +
− − hay ( )
2
1 f x
x = +
−
Ta có ( )
1
1 2
2
4 ln
1
e
e
I dx x x e
x
+ +
= + = + − = − −
Câu 23. Cho hàm số y= f x( ) liên tục với x0thỏa mãn f x( ) 2f ,x x
x
+ =
Tính
( )
1
f x
I dx
x
=
A
2
I = B
2
I = C
2
I = D
3 I =
Lời giải Chọn A
( ) ( )
2 ,
f x f x x
x
+ =
Nên f 2f x( ) 3,x 2( )
x x
+ =
(15)( ) ( ) ( ) , f x f
x x
+ =
( ) 1 ( )
3
f x f x
x x
+ = +
( ) ( ) ( )
2 , f x x x
= − +
( )
2
2
1
2
2
2
1 1
2
f x
I dx dx x
x x x
= = − + = − − =