Đáp án HSG Toán học lớp 10 trại hè Hùng Vương 2015 - Học Toàn Tập

biến đổi này cũng không làm thay đổi biệt thức của tam thức.[r]

1

Câu Nội dung Điểm

1

3

3

x x  x  x  x  (1)

   

3

x x x x x

         

3

3

3

0

3

x x x x x

x x x x x

    

  

      

1,0

     

3

1

0

x x x x x x

x x x x x

     

  

       1,0

  3 2 3

1

3

x x x x

x

x x x x x

     

    

      

   x 1,0

Thử lại x1 thỏa mãn (1) 1,0

Nguồn: Bắc Giang

2

Nguồn: Yên Bái

a) Dễ thấy ·BH C1800 µA Từ suy

· · · µ

180 180

MKC BKC BHC A 1,0 Do · µ

180

NKM  A suy tứ giác AN KM

nội tiếp 1,0

b) Ta có ·BTC1800·BHC·BAC nên T đối xứng với A qua BC

Do ·PKCTBC· ·ABC µB, suy tứ giác PKN B nội tiếp

Tương tự ta có tứ giác PKM C nội tiếp

1,0

Do PMC· PKC·  Bµ ·PBN MPC;· ·MKC·NKBNPB· suy PBN : PM C Vì X Y, hai trung điểm tương ứng BN CM, nên ·XPBMPY,· từ suy

· · · · µ

180 180 180

XPY  BPM  MPC MKC A không đổi

1,0

3

Ta có x4 1 2x2x4 1 2xy2x x y Do đó,

 

4

1 2

x

x y

x   xy   1,0 Tương tự,

   

4

1

2

1 2

y z

y z z x

y   yz  ;z   zx   1,0

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN - KHỐI:10

(đáp án gồm 02 trang)

O H

T

K X

N

Y M A

B C

2 Do đó,

2 2

4 4

1 1

2

1 2

x y z

x y y z z x

x x y y y z z z x (* )

 

      

  

        , áp dụng bất

đẳng thức quen thuộc 1

x y x y(* * ), suy

1,0

1 1 1 1 1

4

x y y z z x x y y z z x (* * )

 

         

    

Từ (*) (**) suy bất đẳng thức cho 1,0 Nguồn: Lào Cai

4

Với tam thức

f x( )ax bxc, kí hiệu biệt thức f x( )  f b24ac Với phép biến đổi (i),

ax bxc biến đổi thành cx2bxa, suy chúng có biệt thức

4 b ac

  

1,0

Với phép biến đổi (ii), gọi x x1; 2 nghiệm f x1( )ax2 bxcsuy x1t x; 2 t nghiệm f2 x a x t2b x  t c 1,0 Vì x1 x2 b x x1 2 c

a; a     nên

     

1

2

2

2 2

1 2

4

f f

b c

b ac a a x x a x t x t

a a

.  

              

 

 

  Tức phép

biến đổi không làm thay đổi biệt thức tam thức Do đó, phép biến đổi không làm thay đổi biệt thức  tam thức (*)

1,0

Mặt khác, tam thức

8 2015

x  x , 2016x28x1 có biệt thức  8124;8128 Do đó, từ (*) suy u cầu tốn thực

1,0 Nguồn: Sưu tầm

5

Với n 0, ta có n7n52n4n3n2 1 (khơng thỏa mãn)

Với n 1, ta có n7n52n4n3n2 1 (thỏa mãn) 1,0 Xét n2, ta có n7 n52n4n3n2  1 n3 n 1n4  n 1  *

Giả sử

2

n n  n n n  có ước nguyên tố p 1,0 Vì n2 nên n4  n n n 3  n 1 n2 1 n3  n 1, suy tồn số nguyên dương s t, cho st

4

1

s t

n n p n n p

   

 

  

 1,0

Ta có n2 1 n4   n 1 n n3  n 1 psnpt, suy

 

2

1 t 1

n  Mp n  n   n n n   n , vô lý Vậy tất giá trị cần tìm n n 1

1,0 Nguồn: Vĩnh Phúc