Tùy vào cấu trúc bài toán, yêu cầu câu hỏi và sự thành thạo về kiến thức mà học sinh.. chọn phương pháp giải cho phù hợp..[r]
(1)§ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MÔĐUN SỐ PHỨC
Dạng ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng ( ) : Ax By C 0 điểm M ( ) Điểm N ( ) cho NM nhỏ
nhất K hình chiếu N lên ( ), nghĩa NMmin NK d [ ,( )]N M K
,( )
min 2
z OH dO C
A B
Khi M H tọa độ H ( ) (OH)
[ ;( )]
min 2
z (x y i) NK dN Ax By C
A B
Khi M K tọa độ K ( ) (MK)
BÀI TẬP TẠI LỚP BÀI TẬP VỀ NHÀ
1 Cho z x yi thỏaz 2 4i z 2i
z đạt giá trị nhỏ Tính 3x2y
A B C D
1 Cho z x yi thỏa z i z 2 3i
z đạt giá trị nhỏ Tính 3x y
A B C D
Ta có: z 2 4i z 2i
(x 2) (y 4)i x (y 2)i
2 2
(x 2) (y 4) x (y 2)
4 :
x y
đường thẳng d
Khi đó: min
min
z OM z OM
M H
Do OH d x y : 4
:
OH x y m
(0;0)
O OH m OH x y: 0
Tọa độ H d OH thỏa
0
x y x y
2
3 2
2
x
x y
y
Chọn đáp án A
Cách Từ d y: 4 x z x2y2 x2 (4 x)2 2(x2)2 8 8 2.
Suy ra: zmin 2 x y 3x 2y Chọn đáp án A
Cách Sử dụng Cauchy – Schwarz, có 2 2 ( )2 42 2 2.
1 1
x y x y
z x y
(2) Lưu ý Nếu đề u cầu tính | |zmin, | |zmin OH d O d ( ; )
2 Cho z x yi thỏa z 1 5i z i
và z đạt giá trị nhỏ Tìm 3x y .
A
12 B 125 C 125 D 125
2 Cho z x yi thỏa z 1 i z 2i
và z đạt giá trị nhỏ Tìm 5x10 y
A
5 B 103 C D 35
3 Cho z x yi thỏa z3i z i
z đạt giá trị nhỏ Tìm x2 y
A B
5 C D 35
3 Biết số phức z thỏa iz 3 z i
z có giá trị nhỏ Phần thực z
A
5 B 15 C 25 D 15
4 Cho z x yi thỏa z 2 i z 3i
z đạt giá trị nhỏ Giá trị 4x2y
A B
2 C 25 D 32
4 Xét số phức z thỏa z z( 2 i) 1i
một số thực Giá trị nhỏ z
A
5 B 165 C 96 D 75
(3)
5 Cho số phức z thỏa z 2 2i z i
Giá trị nhỏ iz 1
A 2 B C
2 D 22
5 Cho z thỏa z 1 2i z i Giá trị
nhỏ z 2 3i
A 10 B 10 C 11
10 D 121
10
Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi
Đề (x 2) (y 2)i x (y 4)i
2
x y
đường thẳng d
Cóiz 1 i z i z i AM với A(0;1).
min
1
iz AM M hình chiếu A
lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó:
min
min 2
1 2
1 ( ; )
2
1
iz AM d A d
6 Cho z thỏa z 1 2i z i Giá trị
nhỏ z 2 2i
A B
2 C 25 D
6 Cho z thỏa z 1 i z i Giá trị
nhỏ (3 ) i z 5 10i
A
26 B 152 C 172 D 1326
7 Cho số phức z thỏa z 2i z i
Tìm giá trị nhỏ (1 )i z 2
A
41 B
5
34 C D
7 Cho số phức z thỏa z z i
Giá trị nhỏ (1 ) i z 11 2i
A
2 B 52 C 25 D 52
(4)
Dạng ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Cho tập hợp điểm M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi đường trịn ( )C có tâm I a b( ; )
bán kính R Gọi N điểm biểu diễn số phức z
Phương pháp Hình học
min 1
max 2
max
khi
z OM OM OI R M M
z OM OM OI R M M
Khi ( ) ( ) { ;OI C M M1 2}
min 1
max 2
max
khi
z z MN NN NI R M N
z z MN NN NI R M N
Khi ( ) ( ) { ; }.NI C N N1 2
Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với
min, max
z z từ nhận
xét I trung điểm M M1 2 suy ra: tổng phần thực ,a tổng phần ảo b
Phương pháp Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Giả sử tập hợp điểm đường tròn ( ) : (C x a )2 (y b)2 R2 viết lại:
2 2
( ) :C x y 2ax2by c 0 x y 2ax2by c
2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2
z x y z x y ax by c a x a b y b a b c
nhằm lợi dụng(x a )2 (y b)2 R2 bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (điểm rơi):
2
2 2 2 2
(4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) ( ) ( )
R R
a b x a y b a x a b y b a b x a y b
Suy ra: 2a22b2 c 2 (R a2 b2)z2 2a22b2 c 2 (R a2 b2)
2 2 2 2
2a 2b c (R a b ) z 2a 2b c (R a b )
Phương pháp Lượng giác
Giả sử tập hợp điểm đường tròn
2
2 2
( ) : (C x a ) (y b) R x aR y bR 1,
gợi ta
đến công thức sin2tcos2t 1 nên đặt sin sin
cos cos
x a t
x a R t
R
y b t y b R t
R
Do đó: z x2 y2 z2 x2 y2 (a R tsin ) (2 b Rcos )t
2 2 2 2 2 2
(sin cos ) sin cos
z a b R t t aR t bR t
2 2 2 2 2 2
2 sin( )
z a b R R a b t
ln có 1 sin(t ) nên suy ra:
2 2 2 2 2 2.
a b R a b z a b R a b
(5)Phương pháp Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z1 z2 z1 z2 z1 z2
Ví dụ minh họa: Xét số phức z x yi thỏa mãn z 2 3i
a) Giá trị nhỏ giá trị lớn z Ứng với
min
z số phức z a bi ứng với
max
z
là số phức z c di Tìm tổng a b c d
Ta có z 2 3i 1 (x 2) (y 3)i 1 (x 2)2 (y 3)2 1 ( )
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn ( )C có tâm I(2;3) bán kính R1
Cách Hình học
1
min 13 13
z OM OI R
2
max 13
z OM OI R
Vì I(2;3) trung điểm M M1 2 nên:
1
1
2
2
M M I
M M I
x x x a c
y y y b d
Suy a b c d 10
Lưu ý Nếu đề yêu cầu tìm số phức tương ứng với
z
max,
z tức tìm hai điểm biểu diễn
1, ,2
M M tọa độ giao điểm đường thẳng d OI đường tròn ( ).C
Cách Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz:
Ta có: (x2)2 (y 3)2 1 x2 y2 4x 6y 12.
Ta lại có: z2 x2 y2 4x 6y 12 4.(x 2) 6.(y 3) 14
Mà (426 ) (2 x2)2 (y 3)2 4(x 2) 6(y 3) (426 ) (2 x2)2 (y 3)2
2
14 13 z 14 13 13 z 13
Cách Lượng giác
Đặt sin (2 sin )2 (3 cos )2 13 sin 6cos
3 cos
x t
z t t t t
y t
2 2 2
14 sin( ) 14 13 sin( )
z t t
1 sin(t ) nên:
2
14 13 z 14 13 13 1 z 13 1.
Cách Sử dụng bất đẳng thức z1 z2 z1 z2 z1 z2 (tham khảo giải lớp) Nhận xét Tùy vào cấu trúc toán, yêu cầu câu hỏi thành thạo kiến thức mà học sinh
chọn phương pháp giải cho phù hợp
b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z i
Ta có: P z i (x 1) (y 1).i
(x1)2 (y 1)2 MA với A( 1;1).
Từ hình vẽ, suy ra:
max
13 13
P AM AI R
P AM AI R
(6)Kết luận: Pmin 13 1 Pmax 13 1.
1 Cho số phức z thỏa z 3 4i 4 Giá
trị lớn z
A B
C 12 D
1 Cho số phức thỏa mãn z 2 2i 1
Giá trị lớn z
A 2. B 2
C 2 1. D 1.
2 Xét số phức z thỏa z 2 4i Giá
trị nhỏ z
A B C D
2 Xét số phức z thỏa iz 4 3i 1 Giá
trị nhỏ z
A B C D
3 Xét số phức z thỏa z 3 4i 2 Gọi
1,
z z hai số phức có mơđun lớn
nhỏ Tổng phần thực z z1, 2
A B 6 C 8 D
3 Xét số phức z thỏa z 2 4i Gọi
1,
z z hai số phức có mơđun lớn
nhỏ Tổng phần ảo z z1, 2
A 8 B C D 4
4 Xét số phức z thỏa mãn iz 1
Gọi m M, giá trị nhỏ giá
trị lớn biểu thức P z Giá trị
biểu thức 2020M m
A 2014 B 2016 C 2018 D 2022
4 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện
(1i z) 1 7i Gọi m M,
là giá trị nhỏ giá trị lớn biểu
thức P z Giá trị M m
A B 10 C D 24
(7)
5 Xét số phức z thỏa mãn z 2 3i
Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu
thức z 1 i
A 14 2, 14 2. B 13 1, 13 1.
C 13 4, 13 4. D 14 1, 14 1.
5 Cho số phức z thỏa z 3 4i 2
cho số phức w 2z 1 i Khi w có
giá trị lớn ?
A 16 74 B 2 130
C 4 74 D 4 130
6 Xét số phức z thỏa mãn z 2 Số phức
3
w z i có mơđun nhỏ lớn
lần lượt m M Tổng m M
A B C D
6 Xét số phức z thỏa |z 1 | 2.i Số
phức z mà có |z1| có dạng zo a bi
Giá trị tổng 2a3b
A B C D
7 Xét số phức z w, thỏa mãn z
(4 )
w i z i Giá trị nhỏ
w
A B C 5 D
7 Xét số phức z w, thỏa mãn w iz
(1i z) 2 2i Giá trị lớn
z w
A B C D 3
8 Cho số phức z thỏa z2 4 z2 2 iz
Tìm giá trị nhỏ z i
A B C D
8 Cho z2 2z 5 (z 1 )(i z 3 1) i
Giá trị nhỏ z 2 2i
A 0,5 B C 1,5 D
(8)
Dạng ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1 Xét số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 4 iz2 2 Giá trị nhỏ z12z2
A 2.
B 4
C 3.
D 3.
Đặt z3 2 ,z2 suy P z1 2z2 z1 ( )z2 z1 z3
Và 2 3
2
z z vào 2 1 3
2
iz iz z34i 2
Gọi A B, hai điểm biểu diễn cho hai số phức z z3, .1
3
z i A
thuộc đường tròn tâm I(0;4), R3 2
1
z B
thuộc đường tròn tâm J(4;0), R1 1
min
1
max
4
P IJ R R
P z z AB
P IJ R R
Chọn C
2 Xét số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 3i iz2 1 2i Giá trị lớn biểu
thức P 2iz13z2
A 313 16.
B 313
C 313 8.
D 313 5.
3 Xét số phức z w, thỏa z3 w4 2i 2 Biết z w đạt giá trị nhỏ
khi z z 0 w w 0 Giá trị 3z0w0
A 2
B
C
D
4 Xét số phức z z1, 2 thỏa z1 12 z2 3 4i Giá trị nhỏ z1z2
A
B
C
(9)D 17
5 Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1, số phức w thỏa mãn w 2 3i Giá trị nhỏ
của biểu thức z w
A 13 3.
B 17 3.
C 17 3.
D 13 3.
6 Cho số phức z w, thỏa mãn z 5 3i 3 iw 4 2i 2. Giá trị lớn biểu
thức 3iz 2w
A 554 5.
B 578 13.
C 578 5.
D 554 13.
7 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2 3i z2 1 2i Giá trị lớn biểu
thức z1z2
A 3 34
B 3 10
C
D
8 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn
z z z 3 i m Tổng phần tử S
A 2
B
C
(10)D 5 Dạng ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1 Biết số phức z x yi x y ( , ) thỏa mãn đồng thời z 3 4i biểu thức
2
2
P z z i đạt giá trị lớn Giá trị z
A 33 B 50 C 10 D
Lời giải tham khảo (hình học)
Có z 3 4i (x 3)2 (y 4)2 5.
Tập hợp điểm biểu diến số phức z
đường tròn ( )C tâm I(3;4), bán kính R
Ta lại có P z 22 z i2
2 2
( 2) ( 1)
P x y x y
4
P x y
4x 2y P
đường thẳng d
Để tồn z d ( )C phải có điểm chung
2
4.3 2.4
,
4
P
d I R
23 P 10
13 P 33maxP 33
Dấu " " 22 332
( 3) ( 4)
x y x y
5
x y z
Chọn đáp án D
Lời giải tham khảo (đại số)
Có z 3 4i (x 3)2 (y 4)2 5.
Ta lại có: P z 22 z i2
2 2
(x 2) y x (y 1)
4x 2y
4(x 3) 2(y4) 23
Cauchy-Schwarz
2 2
(4 ) (x 3) (y 4) 23
2
(4 ).5 23 33
Dấu " " xảy 4 2
4 33
x y x y
2 16
4 30
x y
x y
24 42 3010
x y x y x y
z 5i z
Chọn đáp án D
2 Xét số phức z thỏa mãn z 1 3i 13 Gọi m M, giá trị nhỏ lớn
nhất biểu thức P z 22 z i2 Tổng m M
A 10
B 25
C 34
D 40
3 Xét số phức z x yi x y ( , ) thỏa mãn (1i z) 2 i 4. Giá trị lớn biểu
thức P x y 3
A
B
(11)C 2. D
4 Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i Gọi M m giá trị lớn giá trị
nhỏ biểu thức P z 22 z i2 Môđun số phức w M mi
A 1258
B 1258
C 314
D 309
5 Xét số phức z1 thỏa mãn z1 22 z1 i2 số phức z2 thỏa z2 4 i Giá
trị nhỏ z1z2
A B
C
5 D 55
Ta có: 2 2 2
1 1 ( 2) ( 1)
z z i x y x y
2x y
Tập hợp biểu diễn số phức z1 đường thẳng d
Ta lại có: z2 4 i (x 4) (y 1)i
2
(x 4) (y 1)
Tập hợp biểu diễn z2 đường trịn ( )C có
tâm I(4;1), bán kính R
Khi z1z2 khoảng cách từ điểm thuộc d đến điểm thuộc ( ).C
Suy ra: min , 5
5
P MN d I R Chọn đáp án D
6 Cho hai số phức z w, thỏa mãn z 3 2i w 1 2i w i Giá trị nhỏ
của biểu thức z w
A 2
2
B 1.
C 2.
D 2
2
7 Cho hai số phức z w, thỏa mãn z 2 4i 1 w 2 3i w i Giá trị nhỏ
của biểu thức |w z |
A 1.
B 1.
(12)C 1.
D 1.
8 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 5 z2 1 3i z2 3 i Giá trị nhỏ
biểu thức z1z2
A
2
B
2
C
2
D
2
9 Gọi S tập hợp số phức z thỏa z 1 34 z 1 mi z m 2 i Gọi z1, z2
hai số phức thuộc S cho z1z2 lớn nhất, giá trị z1z2
A
B 10
C
D 130
10 Xét số thức z thỏa mãn z 2i z 4i z 3 3i 1. Giá trị lớn biểu thức
2
P z
A 2.
B 10
C 10 1.
D 13 1.
11 Cho biểu thức P z 2i z 4i z 6i xét số phức z thỏa mãn điều
kiện z 2 i Biết minP a b với a
b phân số tối giản Giá trị a b
A 10
B 11
C 12
(13)D 17
Dạng ĐOẠN THẲNG VÀ TIA
1 Xét số phức z thỏa mãn z 2 i z 7i Gọi m M, giá trị nhỏ
nhất giá trị lớn T z i Giá trị m M
A 73
2
B 2 73.
C 13 73
D 2 73
2
Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi
Ta có: z 2 i z 7i 6 MA MB 6
Trong A( 2;1), (4;7) B có AB 6
Nên MA MB AB
Suy điểm M thuộc đoạn AB
Ta có T z i CM với C(1; 1).
Dựa vào hình vẽ, ta có:
min , 22
T CM d C AB
max
73 ; 13 73
CB CA CM CB
Suy 73 2 73
2
m M Chọn đáp án D
2 Xét số phức z thỏa mãn z 1 i z 3i 53 Giá trị lớn biểu thức
1
P z i
A 53
B 53
C 185
2
D 106
3 Xét số phức z thỏa z 2 3i z i 17 Gọi M m, giá trị lớn
và giá trị nhỏ P z 2i z i Giá trị m M
A
B 2
2
C 2 5.
(14)D 2
3
4 Xét số phức z thỏa z 3 2i z i Gọi M m, giá trị lớn
và giá trị nhỏ P z z i Giá trị m M
A 17 2.
B 26 2.
C 26 5
D 17 5
5 Xét số phức z thỏa mãn iz 2 2i z 3i 34 Giá trị nhỏ biểu thức
(1 )
P i z i
A
17 B
C D 26
Gọi M x y A( ; ), (2; 2), ( 1;3) B điểm biểu diễn số phức z, 2 , i 1 3i mặt phẳng tọa độ
Từ iz 2 2i z 3i 34
2 34 34
z i z i MA MB AB
Suy M nằm tia đối BA
Ta có P 1 i z 2i 2z 1 i 2MC với C 1;
Có MCmin M B MCmin CB 4 Pmin 4 Chọn C
6 Xét số phức z đồng thời thỏa mãn z 4 3i z 4 3i 10 z 3 4i nhỏ
Môđun số phức z
A
B
C
D 10
7 Xét số phức z a bi ( , a b) thỏa z 1 2i z i Tính P a b
3
T z i z i đạt giá trị lớn
A P 2
(15)C 26
3
P
D 28
3
P
Dạng PARABOL
1 Xét hai số phức z z1, 2 thỏa mãn 2z1 i z1 z1 2i z2 i 10 1. Giá trị nhỏ
của biểu thức z1z2
A 10 1. B 101 1. C 101 1. D 1.
Gọi z1 a bi a b ( , ) Ta có 1 1 1 2
4
a
z i z z i b
Tập hợp điểm M biểu diễn z1 parabol ( ) :
4
P y x có đỉnh O(0;0).
Ta có: z2 i 10 1 Tập hợp điểm N biễu diễn z2 đường tròn ( )C có tâm I(10;1),R 1
Khi P z1 z2 MN khoảng cách từ điểm thuộc ( )P đến điểm thuộc ( ).C
Ta có: MN NI MI MN MI NI MI 1 MNmin IMmin
Mà
2 2
2 10 1
4
x
IM x
2
2
4 ( 4) 45 45
4
x x
IM 45 5.
Do MNmin 3 1. Chọn đáp án D
2 Xét số phức z a bi a b ( , ) thỏa mãn điều kiện 4(z z ) 15i i z z ( 1) 2 Tính
4
P a b
2
z i đạt giá trị nhỏ
A P 4
B P 5
C P 6
D P 7
3 Xét số phức z a bi a b ( , ) thỏa 2z 3i z z i Tính 8a7b biểu thức
6
P z i đạt giá trị nhỏ
A 8a 7b
(16)B 8a 7b
C 8a 7b
D 8a 7b
Dạng MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
1 Xét số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn T z 2z1
A
B 10
C
D
2 Xét số phức z thỏa z 1 Giá trị lớn T z i z i
A
B
C
D
3 Xét số phức z a bi ( ,a b) có mơđun phần ảo dương Tính giá trị
2018
(5( ) 2)
S a b biểu thức P 2 z 2z đạt giá trị lớn
A S 0
B S 1
C S 2 2018
D S 2 1009
4 Xét số phức z thỏa mãn z 1 z i Gọi M m, giá trị lớn nhỏ
nhất P z i 2z 4 i Giá trị M m
A 10 5.
B 10 5.
C 20 5.
D 20 5.
5 Xét số phức z thỏa z 4 z 10 Giá trị lớn nhỏ z
A 10
B
(17)C
D