Báo cáo bài tập lớn QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG Tìm hiểu về số ngẫu nhiên và mối liên quan giữa số ngẫu nhiên với biến ngẫu nhiên Giảng viên hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Thị Hoàng Lan Bắt đầu từ lớp bài toán quen thuộc Trong số các phương pháp để giải quyết những bài toán tất định, các phương pháp Monte Carlo là lời giải thích hợp để tính toán bằng máy tính, nhất là khi các thuật toán tất định không thể đưa ra được kết quả chính xác. Chúng ta quan tâm đến các phương pháp này vì lời giải của chúng sử dụng đến lý thuyết số ngẫu nhiên.
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI BÀI TẬP LỚN QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ỨNG DỤNG Đề tài 3: Tìm hiểu số ngẫu nhiên Mối liên quan số ngẫu nhiên với biến ngẫu nhiên Giảng viên hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Thị Hồng Lan MỤC LỤC CHƯƠNG I: TÌM HIỂU VỀ SỐ NGẪU NHIÊN Số ngẫ u CHƯƠNG I: TÌM HIỂU VỀ SỐ NGẪU NHIÊN Bắt đầu từ lớp toán quen thuộc Trong số phương pháp để giải toán tất định, phương pháp Monte Carlo lời giải thích hợp để tính tốn máy tính, thuật tốn tất định khơng thể đưa kết xác Chúng ta quan tâm đến phương pháp lời giải chúng sử dụng đến lý thuyết số ngẫu nhiên Một ví dụ điển hình ước lượng giá trị tích phân Monte Carlo có dạng tổng quát: I= Dạng tích phân không gian chiều, xét khoảng (0,1) I= Như ta biết, giả sử có biến ngẫu nhiên X ~ U(0,1), Y hàm X có dạng y = g(x), tính E{g(x)} = = Giả sử biến ngẫu nhiên X mơ hình hóa cho đai lượng vât lý thực tế, ta ước lượng giá trị kỳ vọng E{g(x)} tần suất tương đối: với n đủ lớn Số ngẫ u Nhận xét rằng, cho dù liệu xi tạo cách nữa, chúng số ngẫu nhiên có đặc trưng định Do đó, có cách tạo số ta tính giá trị tích phân I Từ dẫn đến nhu cầu thiết lập phương pháp số để khởi tạo số ngẫu nhiên Để thực điều đó, trước tiên ta cần trả lời vấn đề sau: - Số ngẫu nhiên gì? - Có thể khởi tạo số ngẫu nhiên máy tính khơng? - Có thể tạo số thực “ngẫu nhiên”? Khái niệm số ngẫu nhiên Khái niệm số ngẫu nhiên rút từ hai trình nghiên cứu: lý thuyết thực nghiệm - Khái niệm lý thuyết: Một chuỗi số xi gọi ngẫu nhiên phần tử với mẫu xi = Xi(ζ) biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Biến ngẫu nhiên có phân phối số ngẫu nhiên hiểu theo nghĩa tương tự, tức xác suất tạo số ngẫu nhiên chuỗi ngẫu nhiên - Khái niệm thực nghiệm: Một chuỗi số xi gọi ngẫu nhiên thuộc tính thống kê giống với thuộc tính liệu ngẫu nhiên thu từ thử nghiệm ngẫu nhiên Để kết thu từ thực nghiệm phù hợp với lý thuyết xác suất: o Các phép thử phải độc lập o Mẫu thử thu chi coi gần Vì số liệu khơng chắn ⇒ Khó xác định chất số tạo ⇒ Lợi chuyển vấn đề thiết lập tính ngẫu nhiên chuỗi số toán quen thuộc Số ngẫ u Khởi tạo số ngẫu nhiên Thuật toán chung để khởi tạo dãy số ngẫu nhiên zi là: zn = f(zn-1,…,zn-r) mod m Trên biểu thức đệ quy phi tuyến thể zn với điều kiện m số, f hàm với điều kiện ban đầu zn-1,…,zn-r Chất lượng khởi tạo phụ thuộc vào dạng hàm f 3.1 Thuật toán Lehmer: khởi tạo lâu đời đơn giản z0 = zn= azn-1 mod m ≥ m số nguyên tố, a số nguyên Qua nhiều năm, số thuật toán đưa để tạo dãy số ngẫu nhiên đẹp Tuy nhiên tất kiểm chứng đứng vững với thời gian Một ví dụ chuỗi zn co thể đáp ứng hầu hết đc yêu cầu thu từ (8-134) với a = 27 – m = 231 -1 : zn = 16.807zn-1 mod 2.147.483.647 Dãy xem chuẩn thỏa mãn tiêu chuẩn kiểm tra tính ngẫu nhiên áp dụng nhiều trường hợp 3.2 Số ngẫu nhiên với phân phối - Gọi U biến ngẫu nhiên có phân phối khoảng (0, 1) tương ứng có số ngẫu nhiên ui - Nếu xi mẫu BNN x, yi =g(xi ) thể BNN y=g(x) Ta chứng minh được: xi có phân phối Fx (x), yi có phân phối Fx ((y-a)/b) b>0 Fx ((y-a)/b) b0 với x Số ngẫ u Định lý loại trừ: BNN X U độc lập ω={u ≤ r(x)} với fx(x|ω) = fy(x) r(x) =a ≤1 (2) Chứng minh: Hàm mật độ chung hai BNN X U fx(X) dải 0