Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Hằng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Hằng MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Chun ngành: PHƢƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số:60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Phạm Văn Quốc Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian theo học trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đặc biệt khoảng thời gian thực luận văn tốt nghiệp, tơi nhận đƣợc giúp đỡ hết lịng mặt vật chất, tinh thần, kiến thức kinh nghiệm q báu từ gia đình, thầy bạn bè Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Mẹ Anh Chị gia đình giúp đỡ mặt vật chất lẫn tinh thần để chúng tơi hồn thành nhiệm vụ cách tốt nhất; Q Thầy, Cơ trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, đặc biệt q thầy, khoa Tốn Cơ-Tin, ngƣời hết lòng truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quí báu suốt thời gian chúng tơi theo học trƣờng để chúng tơi tự lập đƣợc công việc sau này; Thầy giáo Phạm Văn Quốc - thuộc Khối phổ thông chuyên, trƣờng Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, động viên giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn tốt nghiệp; Các anh chị học viên lớp Cao học khóa 14 bạn đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, kinh nghiệm tài liệu cho trình nghiên cứu thực luận văn này; Trƣờng THPT Thanh Oai A giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn này; Cuối xin kính chúc sức khỏe q thầy cơ, gia đình anh chị học viên Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2016 Học viên thực Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng dƣới hƣớng dẫn TS Phạm Văn Quốc Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực tham khảo điều đƣợc trích dẫn ghi gõ nguồn gốc Mọi chép không hợp lệ, quy phạm quy chế đào tạo hay gian trá tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU .3 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA LUẬN VĂN ĐẶT TÊN ĐỀ TÀI BỐ CỤC LUẬN VĂN CHƢƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái niệm phƣơng trình ẩn .6 1.1.2 Phƣơng trình vơ tỷ 1.2 PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN 1.2.1 Các dạng thƣờng gặp 1.2.2 Phƣơng pháp đƣa tích .9 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ .12 2.1 PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 12 2.1.1 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển phƣơng trình đa thức .12 2.1.2 Đặt ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai với hai biến 15 2.1.3 Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 18 2.1.4 Phƣơng pháp đặt nhiều ẩn phụ đƣa hệ 21 2.2 PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 28 2.2.1 Một số đẳng thức hay sử dụng 28 2.2.2 Các ví dụ minh họa 29 2.3 PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 39 2.3.1 Tính đơn điệu hàm số 39 2.3.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số .40 2.3.3 Các dạng toán liên quan 40 2.3.4 Các ví dụ .41 2.3.5 Xây dựng phƣơng trình vơ tỷ dựa theo hàm đơn điệu .49 2.4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC 51 2.4.1 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa 51 2.4.2 Phƣơng pháp đánh giá 57 2.5 PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHỨC TẠP VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO 61 2.5.1 Phƣơng pháp thủ thuật sử dụng máy tính để tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp giải phƣơng trình vơ tỷ 61 2.5.2 Phƣơng pháp cộng dùng thủ thuật máy tính cầm tay trợ giúp giải phƣơng trình vơ tỷ 69 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhiều kỳ thi, đề thi bao gồm nhiều kiến thức với yêu cầu ngƣời học cần học rộng hiểu sâu Một kiến thức thƣờng xuyên đƣợc nhắc tới phần kiến thức tƣơng đối khó ln thách thức ngƣời học “ phƣơng trình vơ tỷ” Phƣơng trình vơ tỷ phƣơng trình có chứa thức phần kiến thức rộng xuất dƣới nhiều hình thức dạng tốn khác biến đổi khó lƣờng Nhƣng đào sâu nhìn dƣới nhiều khía cạnh khác thấy đƣợc thƣờng xoay quanh số dạng ta đƣa số phƣơng pháp giải cho phƣơng trình dạng Thực tế cho thấy việc giảng dạy phần phƣơng trình vơ tỷ bậc trung học phổ thơng có thời lƣợng dạng toán mức độ dễ nhƣng ngƣời học muốn giải toán đề thi khơng dễ dàng chút Vì có hệ thống phƣơng pháp làm tập khiến cho ngƣời học dễ dàng việc giải vấn đề liên quan đến phần kiến thức Ngoài từ phƣơng pháp cụ thể ta tạo đƣợc phƣơng trình vơ tỷ hay, khó nhƣng khơng phần thú vị tìm lời giải Đây cách phát triển tƣ sáng tạo ngƣời học Mỗi ngƣời học trao đổi tốn riêng với học viên khác để mở rông thêm kiến thức nhƣ tiếp cận với nhiều ý tƣởng hay lạ Đặc biệt giáo viên bạn kích thích tƣ sáng tạo tìm tịi học snh từ khiến cho học sinh khơng cịn thấy khó khăn bắt gặp dạng tốn đề thi Hiện nay, phần phƣơng trình vơ tỷ cịn xuất với tần số dày đề thi hình thức thi trắc nghiệm cần nhanh xác nhìn phƣơng pháp làm giúp ngƣời học biến đổi nhanh không bị lúng túng Xuất phát từ lợi ích thực tế mà việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ mang lại, tơi định chọn đề tài tốt nghiệp cho là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi tiến hành thực nhiệm vụ sau: nghiên cứu vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ, nghiên cứu phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ, nghiên cứu tiêu chí áp dụng phƣơng pháp cho hợp lý nhanh gọn Thiết kế số phƣơng trình vơ tỷ từ sở ban đầu Dạy thử nghiệm học sinh trƣơng THPT Thanh Oai A, đánh giá kết thử nghiệm Tất kết nghiên cứu nhằm bổ sung sở lý luận việc tìm hiểu phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Hệ thống đƣợc xây dựng nhằm hỗ trợ cho việc giảng dạy nâng cao trình độ cho học sinh trƣơng THPHƢƠNG TRÌNH Thanh Oai A Từ giúp tơi xác định đƣợc đối tƣợng sử dụng hệ thống, nhƣ xác định đƣợc phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Để xây dựng đƣợc hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ thực hiệu quả, tiến hành với hai phƣơng pháp nghiên cứu là: nghiên cứu lý thuyết cuối phƣơng pháp thực nghiệm Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết, với phƣơng pháp tiến hành: nghiên cứu lý thuyết phƣơng trình có chứa thức phép biến đổi tƣơng đƣơng liên quan đến căn, thực trạng dạy học phần phƣơng trình vơ tỷ trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH trƣờng THPHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp thực nghiệm: thử nghiệm với học sinh lớp 10 12 trƣơng trung học phổ thông Thanh Oai A Cả hai phƣơng pháp giúp tơi có nhìn chung hệ thống phƣơng trình vơ tỷ từ đƣa đƣợc số phƣơng pháp giải sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Việt Nam giai đoạn đẩy mạnh cơng nghiệp hóa, đại hóa hội nhập sâu rộng với giới tất lĩnh vực Một nhân tố quan trọng để đạt đƣợc mục tiêu xây dựng xã hội học tập, đƣợc đào tạo liên tục, tự học, học trƣờng, học mạng, thƣờng xuyên trau dồi kỹ năng, kiến thức, phát triển trí tuệ sáng tạo Trong đó, việc xây dựng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ giải pháp có nhiều tiềm hứa hẹn đem lại hiệu cao việc học tập mơn tốn giúp ngƣời học vƣợt qua kì thi Với đề tài là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ” tơi làm sáng tỏ đƣợc vai trị phƣơng trình vơ tỷ đề thi Từ xây dựng thành công hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ” Bố cục luận văn Nội dung luận văn đƣợc chia thành chƣơng , cụ thể nhƣ sau: Chƣơng 1: Nghiên cứu tổng quan Giới thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ từ phƣơng pháp có CHƢƠNG NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN 1.1 CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1 Khái niệm phƣơng trình ẩn a Khái niệm Cho A x , B x hai biểu thức chứa biến x, A x B x gọi phƣơng trình ẩn Trong đó: + x đƣợc gọi ẩn + A x , B x gọi hai vế phƣơng trình + Quá trình tìm x gọi giải phƣơng trình + Giá trị tìm đƣợc x gọi nghiệm phƣơng trình + S: Tập hợp nghiệm phƣơng trình + Tập xác định: Tập xác định phƣơng trình b Tập xác định phƣơng trình Là tập giá trị biến làm cho biểu thức phƣơng trình có nghĩa c Các khái niệm hai phƣơng trình tƣơng đƣơng + Hai phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Hoặc nghiệm phƣơng trình nghiệm phƣơng trình ngƣợc lại 1.1.2 Phƣơng trình vơ tỷ a Định nghĩa Phƣơng trình vơ tỷ phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu Ví dụ: x x x b Các bƣớc giải phƣơng trình vơ tỷ x x x x ( x 2) x x 0(2) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) phƣơng trình (2) nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)=; Ta nhập biểu thức vế trái phƣơng trình(2) bấm =; Máy Start? Ta bấm -9 =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm = Khi xem bảng ta thấy X `1thì F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm x= -1 Giả sử nhân tử phƣơng trình (1) có dạng ax bx c x x Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nghiệm phƣơng trình: ax bx c x x suy a b c c a b Nhân tử phƣơng trình (*) trở thành: ax bx a b x x a( x 1)( x 1) b( x 1) x x Xét a( x 1)( x 1) b( x 1) x x Suy b 8x x a( x 1) Z x 1 Ta tìm a, b cách bấm máy tính nhƣ sau: MODE máy f(X)= , ta nhập A3 A ( A 1) X bấm =; A 1 Máy Start? Ta bấm -9 =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm =; 64 Quan sát bảng ta thấy X=1 F(X)=3 số nguyên Nhƣ a=1,b=3,c=0.Ta đƣợc nhân tử x 3x x x Mà ( x 3x) (8 x x 3) x x Phƣơng trình (1) trở thành: x x ( x 2)( x 3x x x ) ( x 3x x x )(2 x 3x x x ) x x x x(3) 2 ( x ) x x ( ) Dễ thấy phƣơng trình (4) vơ nghiệm x 3x x 1 (3) ( x 1) ( x 1) Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x Ví dụ 2.5.3 Giải phƣơng trình x 3x x 36 x 44 x3 17 x x Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng: x 3x 36 x 44 x 17 x x x 0(1) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) phƣơng trình (1) nhƣ sau: Bấm MODE máy f(X)=; Ta nhập biểu thức vế trái phƣơng trình(1) bấm =; Máy Start? Ta bấm -9 =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm =; 65 Khi ta thấy X=1 F(X)=0 Nhập biểu thức vế trái (1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE; Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X 0,629960524 Làm tƣơng tự thí dụ ta đƣợc: b x 3x 36 x 44 x 17 x x a( x 1) b a( x 1) x 1 x 1 Nên x 3x (2 x x 1) x x 36 x 44 x 17 x x biểu thức cần xuất phƣơng trình Phƣơng trình(1) trở thành: 2( x 3x x x 1) (4 x 3x 36 x 44 x 17 x x ) 2 4x x 3x x x 2 3x 36 x 44x 17 x x 0 5x 3x x x x 3x 36 x 44 x 17 x x 2 5 4x 4x x [ ]0 2 x 3x x x x 3x 36 x 44 x 17 x x x x x x ( x 1)(4 x 1) x 3 4 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x 1; x 3 Ví dụ 2.5.4 Giải phƣơng trình x x 14 x x x x 5x x x 16x 12x 11 Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình: x x x x x 16 x 12 x 11 x x x x 0(1) Bấm máy tính nhƣ thí dụ để tìm nghiệm ngun ta thấy khơng có 66 Tìm lƣu nghiệm ta đƣợc nghiệm A 2,732050808 ; B 1,414213562; C 0,732050807 Chú ý: Nếu máy Continue:[=] ta bấm = ,đợi lúc ta đƣợc nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax bx c x x x Do A,B,C nghiệm biểu thức nên ta có aA bA c A A A aB bB c B B B aC bC c 4C 7C 2C Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm phƣơng trình trên.Ta đƣợc a=1;b=1;c=1 Nhƣ biểu thức thứ cần tìm x x x x x Tƣơng tự biểu thức thứ hai cần tìm x x x 16 x 12 x 11 (1) x x x3 x x 2 x x x3 16 x 12 x 11 x x3 x x ( x x x x 4) P( x) 0(2) với P( x) x x x3 x x x x x3 16 x 12 x 11 x Suy PT (2) x x x x ( x x 2)( x 2) x Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x ; x Chú ý: Do A C ; AC 2 nên phương trình có nhân tử x x 67 Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm phương trình số hữu tỷ ta đưa tìm biểu thức dạng n k P( x) ( px qx r ) ,với p, q, r số nguyên n số nguyên dương ta tìm ta thử chọn Vấn đề đặt liệu có phương trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp chẳng hạn k P( x) (ax bx cx d ) Hãy làm tập bạn rõ Bài tập rèn luyện 1) 2) 3) x 13x x x 16 x x 1 x 7x3 x3 9x 3 x 3x x x 3x x ( x x 1) x 3x 14 1 3x x x 3x x 4) 1 3x x 5) 6) 7) 8) 9) 16 x 12 x x 24 x 23 x 3x x 14 x 13 2 x x 12 x x 1 12 x x x 3 x x 3x x x x 3x x 1 1 x x x 27 x x 20 x x x 26 x x 1 x x x x 10 x x 10) 1 ( x 2)3 x x 12 x x 1 18 x 12 20 x x 30 x 20 2 x x x 3x x ( x x) x x x x 3x 11) 1 3x x x x x 68 12) 13) x 8x 3x 21x 15x 27 x x 14x x 11x x 11x 1 (28x 29x 11) x 43x x x x x (36x 25x 11) x 35x x 1 14) 21x 19 x5 13x x3 x x x8 x 20 x 19 x5 19 x 12 x3 x x 2.5.2 Phƣơng pháp cộng dùng thủ thuật máy tính cầm tay trợ giúp giải phƣơng trình vơ tỷ Điều kiện sử dụng phƣơng pháp: Bấm máy tính tìm đƣợc nghiệm A, B phân biệt Nếu phƣơng trình có chứa P (x ) giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ax bx c P ( x ), a, b, c số nguyên Do A, B nghiệm biểu thức nên aA bA c P ( A) 0(*) aB bB c P( B) Chú ý: Nếu B nghiệm ngoại lai ta có aB bB c P( B) Trừ vế với vế ta đƣợc: a( A B)( A B) b( A B) P( A) P( B) , suy b Trƣờng hợp 1: A B b Nhập biểu thức P( A) P( B) ( A B) a A B P( A) P( B) A B P( A) P( B) bấm = máy giá trị b cần tìm A B Từ (*) suy c P ( A) aA bA Ta tìm a, c máy tính nhƣ sau: 69 Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P( A) XA bA bấm =; máy Start? ta bấm =; máy End? ta bấm =; máy Step? ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên suy a=X, c=F(X) Trƣờng hợp 2: A B Do b P( A) P( B) ( A B)a nên ta tìm a, b máy tính nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P( A) P( B) ( A B) X bấm =; A B máy Start? ta bấm =; máy End? ta bấm =; máy Step? ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ suy a=X, b=F(X) Từ phƣơng trình (*) ta tìm c P ( A) aA bA Nhập biểu thức P( A) aA bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau thí dụ Ví dụ 2.5.5 Giải phƣơng trình x x x x3 x x 3x 12 x x 10 Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình: Với P( x) x 6x 6x3 2x 2x Nhập biểu thức vế trái phƣơng trình(1) bấm SHIFT SOLVE; Máy hỏi Solve for x ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm x 2, 25992105 ; Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại vế trái (1) ta bấm = để lƣu vế trái(1); 70 Bấm ALPHA x SHIFT STO A để lƣu nghiệm vào A; Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE; Máy hỏi Solve for x ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm x 2, 25992105 ; Bấm SHIFT STO B; Bấm máy A B máy suy b Nhập biểu thức P( A) P( B) ; A B P( A) P( B) bấm = máy -1 Vậy b 1 A B Do b 1 nên c P( A) aA (1) A P( A) aA A Bấm MODE máy f x ta nhập P( A) A X A bấm =; Máy Start? Ta bấm =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm =; Quan sát bảng ta thấy X F X nguyên Suy a 3, c Biểu thức cần tìm là: x x x x x (3x x 1) Phƣơng trình(1) trở thành P( x) (3x x 1) [ P( x) x x x 3x x P( x) x x x 3x x x 3x x P( x) x x P( x) (3x x 1) x 3x x 1]( x 3x x 9) 71 x 3x x ( x x) (3 x 3) ( x x x 3)( x x x 3) ( x 1) 2( x `1) ( x 1) 2 2 ( x 1) x (1 ) Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x (1 ) Ví dụ 2.5.6 Giải phƣơng trình x x x x x3 x x x x6 x x3 10 x 12 x Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: P( x) Q( x) 3x x 4(1) Với P( x) x x x 10 x 12 x Q( x) x x x x x Tìm lƣu nghiệm nhƣ ví dụ ta đƣợc nghiệm A 0,793700526 ; B 1, 25992105 Ta có A B 0,4662205239 Có b P( A) P( B) ( A B)a nên ta tìm a, b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f X ta nhập Máy Start? Ta bấm =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm =; 72 P( A) P( B) ( A B) X bấm =; A B Quan sát bảng ta thấy f X 2 X Suy a 1, b 2 Khi c P( A) A A Nhập biểu thức P( A) A A bấm = máy số Ta đƣợc c Biểu thức cần tìm P ( x) ( x x 3) Tƣơng tự biểu thức cần tìm Q( x) (2 x x 1) Phƣơng trình(1) trở thành P( x) ( x x 3) P( x) x x x 3x P( x) x x ( x 2)(2 x 1)[ P( x) ( x x 3) Q( x) (2 x x 1) Q( x) (2 x x 1) Q( x ) x x x 3x 0 Q( x ) x x 1 P( x) x x 0 ]0 Q( x ) x x x ( x 2)(2 x 1) x Vậy phƣơng trình có nghiệm x ; x Vấn đề đặt liệu với biểu thức thức P (x ) có có nhiều lựa chọn biểu dạng ax bx c P( x) hay khơng.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều này: Ví dụ 2.5.7 Giải phƣơng trình x 2x x 2x 12 x 24 x x 12x 51x Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình: x x x x P( x) Q( x) 0(1) 73 Với P( x) 12 x 24 x x Q( x) 12 x 51x Tìm lƣu nghiệm ta đƣợc nghiệm A 3,449489743 ; B 1,449489743 Bấm máy tính có A B ; AB 5 (Theo Định lí Vi-ét phƣơng trình có nhân tử ( x x 5) ) Có b P( A) P( B) ( A B)a nên ta tìm a,b nhƣ sau: A B Bấm MODE máy f X ta nhập biểu thức P( A) P( B) ( A B) X bấm A B =; Máy Start? Ta bấm =; Máy End? Ta bấm =; Máy Step? Ta bấm =; Quan sát bảng ta thấy tất giá trị F X nguyên Vì ta chọn cặp X 2; F X Suy a 2, b c P( A) A A Nhập biểu thức P( A) A A bấm = máy số 1.Ta đƣợc c=1 Suy x x P( x) biểu thức cần tìm Tƣơng tự ta chọn đƣợc 3x x Q( x) biểu thức cần tìm Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với x x P( x) x x Q( x) x x x x x x P( x) 3x x Q( x) ( x x 5)( x 1) 74 4x 9x 0 ( x x 5) x x x P ( x ) x x Q( x ) x 2x x Vậy phƣơng trình có nghiệm x Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn x 3x P( x) ; 3x x Q( x) ta giải đƣợc phƣơng trình theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng cách nhân liên hợp Xin dành cho người tìm hiểu điều + Một số phương trình ta tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn P( x) (ax bx cx d ) giải theo cách viết nêu điều kiện nghiệm phương trình ta tìm nhiều (kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập rèn luyện 1) 3x 24 x x x 1 x 8x x 2) 3) 4) 5) 6) x x 5x x x x 12 x x 3x x x 18x x 12x 3x 10x x 2 x x 1 x x x 16x x x 5x 20 16 x 49 x 26 x 21 x x x x x 12x x x x 11x x 15 x 3x x x 8x 8x 17 x x x 5x x 20 1 1 1 75 7) 8) 9) x x x x 14 x x x 3x x 1 3x 3x x x x x `1 x x 5 x x x 3x 24 x x x x 33x x x x 10) 11) 12) 1 x3 3x 3x x x x 12 x 16 x x x 4 x x x 15 x x x 18x x 16 x x x 18x 3x x 15 1 2x 6 x7 15 x6 18 x5 x 11x x x8 x6 x5 19 x 22 x3 14 x x 76 KẾT LUẬN Luận văn thu đƣợc kết sau đây: Căn vào đặc điểm mơn tốn, đặc điểm q trình dạy học tốn trình độ nhận thức học sinh luận văn làm rõ đặc trƣng tính tích cực thể ba cấp độ: tính tích cực tái hiện, tính tích cực tìm tịi tính tích cực sáng tạo Luận văn xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó theo ba mức độ tính tích cực Bƣớc đầu xây dựng đƣợc hệ thống cách sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ nhằm phát huy tính sáng tạo học sinh trung học phổ thơng Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trung học phổ thông việc giảng dạy học tập phần phƣơng trình vơ tỷ 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Ban tổ chức kì thi (2012), Tổng hợp đề thi Olympic 30 tháng Toán học 10, Nhà xuất Đại học Sƣ Phạm Nguyễn Tài Chung (2014), sáng tạo giải phương trình hệ phương trình bất phương trình, NXB Tổng hợp TP Hồ Chí Minh, tr 174-246 Nguyễn Phú Lộc (2007), “ Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phƣơng trình bất phƣơng trình”, tuyển chọn theo chun đề Tốn học tuổi trẻ, (1), NXB Giáo Dục, tr 29-31 Ths Lê Văn Đồn (2015), Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình bất phương trình hệ phương trình đại số vô tỷ, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội 78 ... thiệu số vấn đề liên quan đến phƣơng trình vơ tỷ Chƣơng 2: Phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ Giới thiệu số phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ cách sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ từ phƣơng pháp. .. trị phƣơng trình vơ tỷ đề thi Từ xây dựng thành cơng hệ thống phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ sáng tạo phƣơng trình vơ tỷ Đặt tên đề tài “ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ” Bố cục... phƣơng pháp giải phƣơng trình vơ tỷ giải pháp có nhiều tiềm hứa hẹn đem lại hiệu cao việc học tập mơn tốn giúp ngƣời học vƣợt qua kì thi Với đề tài là: “ Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ? ??