Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm mặt cầu - mặt nón - mặt trụ

B. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trọng tâm tam giác AB C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trực tâm tam giác AB C. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác có góc[r]

(1)

CHỦ ĐỀ MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I MẶT NÓN

1/ Mặt nón tròn xoay

Trong mặt phẳng( )P , cho đường thẳng d, ∆cắt tại Ovà chúng tạo thành góc β với

0

0 < <β 90 Khi quay mp P( )xung quanh trục ∆với góc βkhông thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O(hình 1)

 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón

 Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay

Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)

 Đường thẳng OIgọi là trục, O là đỉnh, OIgọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón

 Hình tròn tâm I , bán kính r IM= là đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáyrvà đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: Sxq =π .r l

 Diện tích đáy (hình tròn): .

ð

S =π r

 Thể tích khối nón: . .2

3

non ð

V = S h= π r h

4/ Tính chất:

 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp P( ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp P( ) cắt mặt nón theo đường sinh⇒Thiết diện là tam giác cân

+ Nếu mp P( ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón

 TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp( )Q không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp Q( ) vuông góc với trục hình nón⇒giao tuyến là một đường tròn

+ Nếu mp Q( ) song song với đường sinh hình nón⇒giao tuyến là nhánh của hypebol + Nếu mp Q( ) song song với đường sinh hình nón⇒giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ

Diện tích tồn phần hình nón: Stp Sxq Sð

(2)

1/ Mặt trụ tròn xoay

Trong mp P( ) cho hai đường thẳng ∆và l song song nhau, cách một khoảng r Khi quay mp P( ) quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ

 Đường thẳng ∆ được gọi là trụC.  Đường thẳng l được gọi là đường sinh

 Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ 2/ Hình trụ tròn xoay

Khi quay hình chữ nhậtABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnhAB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ  Đường thẳngAB được gọi là trụC.

 Đoạn thẳngCD được gọi là đường sinh

 Độ dài đoạn thẳng AB CD h= = được gọi là chiều cao của hình trụ

 Hình tròn tâm A, bán kính r AD= và hình tròn tâm B, bán kính r BC= được gọi là đáy của hình trụ

 Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ

3/ Công thức tính diện tích va thề ̉ tích của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao làhvà bán kính đáy bằngr, đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq =2πrh

 Diện tích toàn phần của hình trụ: 2. 2 2

tp xq Ðay

S =S + S = πrh+ πr  Thể tích khối trụ: V B h= . =πr h2

4/ Tính chất:

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp( )α vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mp( )α không vuông góc với trục ∆

cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng

sin

r

ϕ , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp( )α với 00 < <ϕ 900

 Cho mp( )α song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d + Nếu d r< thì mp( )α cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật + Nếu d r= thì mp( )α tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh

+ Nếu d r> thì mp( )α không cắt mặt trụ

III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa

∆ A

D

B

C

l

r

(3)

Tập hợp các điểm M không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R , kí hiệu là: S O( ; R) Khi S O( ; R) {= M OM R| = }

2/ Vị trítương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầuS O( ; R)và một điểmAbất kì, đó:

 Nếu OA=R ⇔ ∈A S O( ; R) Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là hai bán kính cho OA= −OB thì đoạn thẳngAB gọi là đường kính của

mặt cầu

 Nếu OA<R ⇔ Anằm mặt cầu  Nếu OA>R ⇔ Anằm ngoài mặt cầu

⇒ Khối cầu S O( ; R) là tập hợp tất cả các điểm M cho OM ≤R 3/ Vị trítương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầuS O( ; R)và mộtmp P( ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp P( ) và

H là hình chiếu của O mp P( )⇒ =d OH

 Nếu d R< ⇔ mp P( ) cắt mặt cầu S O( ; R) theo giao tuyến là đường tròn nằm mp P( ) có tâm là H và bán kính r HM= = R2 −d2 = R2 −OH2 (hình a)

 Nếu d R> ⇔mp P( ) không cắt mặt cầu S O( ; R) (hình b)

 Nếu d R= ⇔mp P( ) có mợt điểm chung nhất Ta nói mặt cầu S O( ; R) tiếp xúc mp P( ) Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P( ) tiếp xúc với mặt cầu S O( ; R) là d O P( ,( ))=R (hình c)

Hình a Hình b Hình c

4/ Vị trítương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầuS O( ; R)và một đường thẳng∆ GọiHlà hình chiếu củaOtrên đường thẳng∆vàd OH= là khoảng cách từ tâmOcủa mặt cầu đến đường thẳng∆ Khi đó:  Nếu d R> ⇔ ∆không cắt mặt cầuS O( ; R)

 Nếu d R< ⇔ ∆cắt mặt cầuS O( ; R)tại hai điểm phân biệt

 Nếu d R= ⇔ ∆và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng∆tiếp xúc với mặt cầu làd d O= ( ,∆ =) R

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O( ; R) thì:  QuaAcó vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O( ; R)

 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng

A

A A

B O

d d

=

(4)

Trang 4/44  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S O( ; R)

5/ Diện tích và thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: 4

C

S = πR • Thể tích mặt cầu:

3 C

V = πR

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm bản

Trục của đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó

 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó

⇒ Bất kì một điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với

đoạn thẳng đó

⇒ Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2/ Tâm vàbán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp

 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp

3/ Cách xác định tâm vàbán kính mặt cầu của một số hình đa diện bản a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒Tâm là I , là trung điểm của AC'

- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒Bán kính: '

2

AC

R=

b/ Hình lăng trụđứng cóđáy nội tiếp đường tròn Xét hình lăng trụ đứng ' ' ' '

1 n n

A A A A A A A A , đó có đáy

1 n

A A A A và ' ' ' ' n

A A A A nội tiếp đường tròn ( )O và ( )O' Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

- Tâm: I với I là trung điểm của OO'

- Bán kính: '

1 n

R IA= =IA = = IA

c/Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc vuông - Hình chóp S ABC có SAC SBC = =900

+ Tâm: I là trung điểm củaSC + Bán kính:

2 SC

R= =IA IB IC= =

C’

A B

D

D’

B’ I

A’

C

A

C’ I

O

O’ I A1

A2

A3

An

A’1 A’2

A’3

A’n

S

I

S

A

(5)

- Hình chóp S ABCD có

   900

SAC SBC SDC= = =

+ Tâm: Ilà trung điểm củaSC + Bán kính:

2

SC

R= =IA IB IC ID= = = d/ Hình chóp đều

Cho hình chóp đều S ABC

- Gọi Olà tâm của đáy⇒SOlà trục của đáy

- Trong mặt phẳng xác định bởiSOvà một cạnh bên,

chẳng hạn mp SAO( ), ta vẽ đường trung trực của cạnhSA

là ∆ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒I là tâm của mặt cầu - Bán kính:

Ta có: SMI SOA SM SI

SO SA

∆ ∆ ⇒ = ⇒ Bán kính là:

2

SM SA SA

R IS IA IB IC

SO SO

= = = = = = =

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông goc v́ ới mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA⊥ đáy (ABC ) và đáy ABC nội tiếp được

đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC .được xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp ABC( ) tại O - Trong mp d SA( , ), ta dựng đường trung trực ∆của cạnhSA, cắtSAtạiM , cắt dtại I

I

⇒ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R IA IB IC IS= = = = = - Tìm bán kính:

Ta có: MIOBlà hình chữ nhật Xét ∆MAI vuông tại M có:

2

2 2

2

SA R AI= = MI +MA = AO +   

  f/ Hình chóp kháC.

- Dựng trục ∆ của đáy

- Dựng mặt phẳng trung trực ( )α của một cạnh bên bất kì - ( )α ∩ ∆ = ⇒I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp một sốđa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán

S

A B

C

D O

I ∆

M

A S

M I ∆

O B

(6)

Trang 6/44 II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP.

Cho hình chóp S A A A n (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước:

Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng ∆: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( )α cạnh bên

Lúc : - Tâm O mặt cầu: ∆ ∩mp( )α ={ }O

- Bán kính: R SA= (=SO) Tuỳ vào trường hợp

Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

1 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy

Tính chất: ∀ ∈ ∆M : MA MB MC= = Suy ra: MA MB MC= = ⇔ M∈ ∆

2 Các bước xác định trục:

- Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy

VD:Một số trường hợp đặc biệt

A. Tam giác vuông B Tam giác C. Tam giác

3 Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng

H

A

B C

∆ ∆

C B

A H

B

A

C H

∆

M O

(7)

SMO

∆ đồng dạng với SIA SO SM

SA SI

∆ ⇒ =

4 Nhận xét quan trọng:

M S, : MA MB MC SM

SA SB SC

= =



∃  ⇒

= =

 trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC 5 Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Dạng 1: Chóp có điểm nhìn một đoạn góc vng.

Ví dụ: Cho S ABC : SA (ABC) ABC B

 ⊥



∆ ⊥

 Theo đề bài:

( )

BC AB gt

BC SA SA ABC

⊥  

⊥ ⊥



⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

Ta có B A nhìn SC góc vng

⇒ nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC

Gọi I trung điểm SC ⇒I tâm MCNT khối chóp S ABC và bán kính R SI=

Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.

Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC

+ Vẽ SG⊥(ABC) Glà tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

+ Trên mặt phẳng (SGC), vẽ đường trung trực SC, đường cắt SG tạiI I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC và bán kính R IS=

+ Ta có ( )

2

SG SC SC SK SC

SGC SKI g g R

SK SI SG SG

∆ ∆ − ⇒ = ⇒ = =

Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy.

Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Mặt bên (SAB) (⊥ ABC) ∆SAB

đều Gọi H M, lần lượt trung điểm AB AC,

Ta có Mlà tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC (do MA MB MC= = )

Dựng d trục đường tròn ngoại tiếp 1 ∆ABC(d qua M song song1 SH)

Gọi Glà tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SABvà d trục đường tròn ngoại 2

tiếp ∆SAB, d cắt 2 d 1 I⇒Ilà tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC

(8)

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

MẶTCẦU

Câu 1. Cho mặt cầu có diện tích S, thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu

A. R 3V S

= B

3

S R

V

= C. R 4V

S

= D.

3

V R

S

=

Câu 2. Cho mặt cầu ( ; )S O R điểm A cố định với OA d= Qua A, kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với

mặt cầu ( ; )S O R tại M Cơng thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A. 2R2 −d2 B. d2 −R2 C. R2 −2d2 D. d2 +R2

Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước , ,a b c Gọi ( )S mặt cầu qua đỉnh hình

hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( )S theo , ,a b c

A. π(a2 +b2 +c2) B 2 (π a2 +b2 +c2)

C. 4 (π a2 +b2 +c2) D. ( 2 2)

2 a b c

π

+ +

hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( )S A. đỉnh hình hộp chữ nhật B tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C. trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật

D. tâm hình hộp chữ nhật

Câu 5. Cho mặt cầu S O R( ; ) đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ d Đường thẳng

∆ tiếp xúc với S O R( ; ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ?

A. d R= B d R> C. d R< D. d R≠

Câu 6. Cho đường trịn ( )C điểm A nằm ngồi mặt phẳng chứa ( )C Có tất mặt cầu

chứa đường tròn ( )C qua A?

A. B C. D. vô số

Câu 7. Cho hai điểm A B, phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B

A. mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB D. trung điểm đoạn thẳng AB

Câu 8. Cho mặt cầu S O R( ; ) mặt phẳng ( )α Biết khoảng cách từ O tới ( )α d Nếu d R<

thì giao tuyến mặt phẳng ( )α với mặt cầu S O R( ; )là đường trịn có bán kính bao nhiêu? A. Rd B R2 +d2 C. R2 −d2 D. R2 −2d2

Câu 9. Từ điểm M nằm mặt cầu S O R( ; ) kẻ tiếp tuyến với mặt cầu?

A.Vô số B C. D.

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ) M Gọi H hình

chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A. Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA

C. Mặt phẳng qua O vng góc với AM D. Mặt phẳng qua A vng góc với OM

Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ) M Gọi H hình

(9)

A.

R B.

3

R C. 2

3

R D. 3

4

R

Câu 12. Thể tích khối cầu 113 cm1

7 bán kính ? (lấy

22 π ≈ )

A. 6cm B 2 cm C. cm D. 3cm

Câu 13. Khinh khí cầu nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu

dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy 22

7

π ≈ làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) A. 379,94 (m ) 2 B 697,19 (m ) 2 C. 190,14 cm D. 95,07 (m ) 2

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh 10cm Gọi O tâm mặt cầu

qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: A. S =150 (cm );π V =125 (cm )3 B S =100 (cm );π V =500(cm )3

C. S =300 (cm );π V =500 (cm )3 D. S =250 (cm );π V =500 (cm )3

Câu 15. Cho đường tròn ( )C ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a, chiều cao AH Quay

đường tròn ( )C xung quanh trục AH, ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: A. 3

54

a

π

B 4

9

a

π

C. 3

27

a

π

D.

3

a

π

27

a

π

B 4

9

a

π

C. 3

54

a

π

D.

3

a

π

Câu 17. Cho tam giác ABC vng A có BC=2a B=300 Quay tam giác vuông quanh

trục AB, ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số

2

S

S là:

A.

1

S

S = B 12

1

S

S = C. 12

2

S

S = D. 12

3

S

S =

MẶTNĨN

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, diện tích xung quanh S1

và mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau

khẳng định ?

A. 2S2 =3S1 B S1 =4S2 C. S2 =2S1 D. S1 =S2

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình cầu có

đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi đó, tỉ số thể tích

V

V bao nhiêu?

A.

2 V

V = B. 12

1 V

V = C. 12

1 V

V = D. 12

(10)

Câu 20. Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a đường cao a A. 2πa2 B. 2πa2 3 C. πa2 D. πa2 3

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a

Tính diện tích xung quanh hình nón A. 2

4

a

π

B. 2

2

a

π

C. πa2 2 D. 2

3

a

π

Câu 22. Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân SAB có cạnh cạnh huyền

bằng a Diện tích tồn phần Stp hình nón thể tích V khối nón tương ứng cho A. 2(1 2);

2 12

tp a a

S =π + V =π B 2;

2

tp a a

S =π V =π

C. 2(1 2);

6

tp a

S =πa + V =π D. 2( 1) ;

2 12

tp a a

S =π − V =π

Câu 23. Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a

góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Diện tích xung quanh 0

xq

S hình nón thể tích V khối nón tương ứng là:

A. 2;

12

xq a

S =πa V =π B ; 3

2 12

xq a a

S =π V =π

C. 2;

4

xq a

S =πa V =π D. 2;

4

xq a

S =πa V =π

Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy 3a , góc đỉnh 1200 Tính thể tích khối nón

theo a

A. 3πa3 B. πa3 C. 2 3πa3 D. πa3 3

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tạiA, AB a= AC= 3a Tính độ dài đường

sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A. l a= B l = 2a C. l = 3a D. l=2a MẶTTRỤ

Câu 26. Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h thể tích V1; hình nón có đáy trùng

với đáy hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy cịn lại hình trụ (hình vẽ bên dưới) tích V2

Khẳng định sau khẳng định ?

R h

A. V2 =3V1 B V1 =2V2 C. V1 =3V2 D. V2 =V1

Câu 27. Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h

(11)

Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh hình trụ

A. πa2 B 2πa2 C. 3πa2 D. 4πa2

Câu 29. Tính diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đáy a đường cao a

A. 2πa2( 3 1− ) B πa2 3 C. πa2(1+ 3) D. 2πa2(1+ 3)

Câu 30. Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy hình trụ a thiết diện qua trục

một hình vng

A. 2πa3 B 2

3πa C. 4πa3 D. πa3

Câu 31. Tính thể tích khối trụ biết chu vi đáy hình trụ (cm)π thiết diện qua trục

là hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 (cm)

A. 48 (cm )π B 24 (cm )π C. 72 (cm )π D. 18 3472 (cm )π π .

Câu 32. Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 AD =2 Gọi M, N

trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ

A. Stp =6π B Stp =2π C. Stp =4π D. Stp =10π

Câu 33. Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm thùng đựng nước

hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):

- Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

- Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng

Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị theo cách Tính tỉ số

2

V V

A.

1

V

V = B. 12

V

V = C. 12

V

V = D. 12

V V = VẬN DỤNG THẤP

Câu 34. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện cạnh a

A.

a B

2

a C.

4

a D.

4

a

Câu 35. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC , biết cạnh đáy có độ

dài a, cạnh bên SA a= A.

2

a B 3

2

a C.

8

a D. 6

8

(12)

Câu 36. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a

A. 14

a B 7

2

a C. 7

3

a D. 2

7

a

Câu 37. Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác

đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A.

V = π B 15

18

V = π C.

27

V = π D. 15

54

V = π

Câu 38. Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình lăng trụ A. 39

6

a B 12

6

a C. 3

3

a D. 4

3

a

Câu 39. Cho hình trụ có bán kính đáy R, thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối

lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R

A. 4R3 B 2 2R3 C. 4 2R3 D. 8R3

Câu 40. Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt

đáy theo hai dây cung song song AB A B, ' ' mà AB A B= ' ' 6cm= (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ' '

ABB A 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho

A. 2cm B 4 3cm C. 2cm D. cm

Câu 41. Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn (O R; ) (O R'; ) Tồn dây cung AB

thuộc đường tròn ( )O cho ∆O AB' tam giác mặt phẳng ( 'O AB) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn ( )O góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh

xq

S hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là:

A. 2;

7

xq R R

S = π V = π B. 7; 3

7

xq R R

S = π V = π

C. 2; 7

xq R R

S = π V = π D. 7;

7

xq R R

S = π V =π

Câu 42. Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCDcạnhacó hai đỉnh liên tiếpA B, nằm

đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc45 Diện tích xung quanh 0

xq

S hình trụ và thể tích V của khối trụ là:

A. 3; 3

3

xq a a

S =π V = B 2; 3

3 32

xq a a

S =π V =

C. 3; 3

4 16

xq a a

S =π V = D. 3; 3

2 16

xq a a

S =π V =

Câu 43. Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh cm với AB đường kính

của đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB cho ABM =600 Khi đó, thể tích

(13)

A. V =6 (cm )3 B V =2 (cm )3 C. V =6(cm )3 D. V =3(cm )3

Câu 44. Một hình nón có chiều cao h=20cm, bán kính đáy r=25cm Một thiết diện qua đỉnh có

khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện A. 450 cm2 B 500 2 cm2 C. 500cm2 D. 125 34 cm2

Câu 45. Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh Sxq

thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A B C D’ ’ ’ ’

A. ;

2 12

xq a a

S =π V =π B ;

4

xq a a

S =π V =π

C. ;

2

xq a a

S =π V =π D. 5;

4

xq a

S =πa V =π

Câu 46. Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền

bằng a Kẻ dây cung BC đường trịn đáy hình nón, cho mp (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60 Diện tích tam giác 0 SBC tính theo a là:

A. 2

a B 2

6

a C. 3

2

a D. 6

3

a

Câu 47. Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a

góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Gọi 0 I điểm đường cao SO hình

nón cho tỉ số

SI

OI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục hình

nón là: A. 2

18

a

π

B

9

a

π

C.

18

a

π

D.

36

a

π

Câu 48. Cho hình nón đỉnh S với đáy đường trịn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm

mặt phẳng đáy cho OI R= Giả sử A điểm nằm đường tròn ( ; )O R cho

OA OI⊥ Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh Sxq hình

nón thể tích V của khối nón là:

A. 2;

3

xq R

S =πR V =π B 2 2;

3

xq R

S = πR V = π

C. 2 ;

2

xq R R

S =π V =π D. 2;

3

xq R

S =πR V = π

Câu 49. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a 3, góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh

hình nón tam giác. Diện tích lớn Smax thiết điện ?

A.

max

S = a B

max

S =a C.

max

S = a D. Smax = 98a2

VẬN DỤNG CAO

Câu 50. Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a

A.

12 a

r= B

8 a

r= C.

6 a

r= D.

(14)

Câu 51. Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R A. R B

3

R C. 4

3

R D. 2

3

R

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp

hình nón theo h

A.

h

x= B.

3

h

x= C.

3

h

x= D.

3

h

x=

Câu 53. Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy

là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết 0< <x h

h x O A. h

x= B x h= C.

3

h

x= D.

3

h

x=

Câu 54. Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu S O r( ; )

Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu ( ; )S O r A. ( ) 3 16 R π

− B

3

4

R

π

+ C. ( )

3 16 R π

+ D.

3

4

R

π −

Câu 55. Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h

khối trụ tích lớn là:

A. ;

2 2

S S

R= π h= π B ;

4

S S

R= π h= π C. ;

3

S S

R h

π π

= = D. ;

6

S S

R h

π π

= =

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN)

Câu 56. Thiết diện qua trục hình nón trịn xoay tam giác vng cân có điện tích

2

2a Khi thể tích khối nón bằng: A. 2

3

a

π

B 3

a

π

C. 3

a

π

D. 3

a

π

Câu 57. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình

trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng:

A. S =πa2 B. S =πa2 2 C. 2

2

a

S =π D. 2

4

(15)

Câu 58. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a2 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A. 3

2

a

S V = π B

2

a

S V = π C.

2

a

S V = π D.

2

a

S V = π

Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB a BC a= , = 3, AA'=a Gọi V thể tích

hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng: A.

3

a

V = π B

3

a

V =π C.

3

a

V = π D. 3

5

a

V = π

Câu 60. Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vng Khi

đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:

A. 2π B 4π C.

2

π D. π

Câu 61. Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng:

A.

3π B 3π C. 33π D. 33π

Câu 62. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc αvà độ dài đường sinh l Khi diện

tích tồn phần hình nón bằng: A. 2 2cos cos2

2 tp

S = πl α α B 2 2cos sin2

2 tp

S = πl α α C. 2cos cos2

2 tp

S =πl α α D. 2cos cos2

2

tp

S = πl α α

Câu 63. Cho lăng trụ có tất cạnh A. Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng

trụ nói Khi V bằng: A. 3

3

a

V =π B.

3

a

V =π C. 3

2

a

V = π D.

6

a V =π

Câu 64. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên

3

a Khẳng định

nào sau sai?

A. Khơng có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

B.Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC. C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trực tâm tam giác ABC. D. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính

3

a

R=

Câu 65. Một hình nón có bán kính đường trịn đáy A. Thiết diện qua trục hình nón tam

giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng:

A.

6

a

V =π B 3

3

a

V =π C. 3

9

a

V =π D.

3

a V =π

Câu 66. Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm

(16)

A.

a

π

B 12

a

π

C. 3

a

π

D.

a

π

Câu 67. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3a, BC = 4a, SA⊥(ABC),

cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là:

A.

3

a

V =π B 50

3

a

V = π C.

3

a

V = π D. 500

3

a

V = π

Câu 68. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O′

là tâm A′B′C′D′ (C) đường trịn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O′ đáy (C)

A. 2 xq a

S = π B

2 xq a

S = π C.

2 xq a

S =π D. 2

2

xq a

S = π

Câu 69. Một hình trụ có hai đáy hai đường trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh

bằng Thể tích khối trụ bằng: A.

4

π B

3

π C.

2

π D. π

Câu 70. Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đơi một, SA = 3,

SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng:

A. 25π B. 50π C. 75π D. 100π

Câu 71. Thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường tròn

đáy R bằng:

A. 2R h2 B R h2 C. 2R h2 D.

2

(17)

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 7.5

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

D A B A C B D A A B A II –HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU * MẶT CẦU

Câu 1. Cho mặt cầu có diện tích S, thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu

A. R 3V S

= B

3

S R

V

= C. R 4V

S

= D.

3

V R

S

=  Hướng dẫn giải:

Ta có cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu là:

2

4 ;

3

S = πr V = πr ⇒ 3V r

S =

Câu 2. Cho mặt cầu ( ; )S O R điểm A cố định với OA d= Qua A, kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với

mặt cầu ( ; )S O R tại M Công thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A. 2R2 −d2 B. d2 −R2 C. R2 −2d2 D. d2 +R2

 Hướng dẫn giải:

Vì ∆ tiếp xúc với ( ; )S O R M nên OM ⊥ ∆ M Xét tam giác OMA vuông M , ta có:

2 2 2 2

AM =OA OM− =d −R ⇒ AM = d −R

hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( )S theo a b c, ,

A. π(a2 +b2 +c2) B 2 (π a2 +b2 +c2)

C. 4 (π a2 +b2 +c2) D. ( 2 2)

2 a b c

π

+ +

Đường kính mặt cầu ( )S đường chéo hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu ( )S có

bán kính 2

2

r= a +b +c Do diện tích mặt cầu ( )S là: S =4πr2 =π(a2 +b2 +c2)

Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a b c, , Gọi ( )S mặt cầu qua đỉnh hình

hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( )S A. đỉnh hình hộp chữ nhật

R

O A

(18)

C. trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật

D. tâm hình hộp chữ nhật  Hướng dẫn giải:

Tâm hình hộp chữ nhật cách đỉnh hình hộp nên tâm mặt cầu ( )S tâm hình hộp chữ nhật

Câu 5. Cho mặt cầu ( ; )S O R đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ d Đường thẳng

∆ tiếp xúc với S O R( ; ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ?

A. d R= B d R> C. d R< D. d R≠ Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với ( ; )S O R d R=

Câu 6. Cho đường trịn ( )C điểm A nằm ngồi mặt phẳng chứa ( )C Có tất mặt cầu

chứa đường tròn ( )C qua A?

A. B C. D. vô số

Trên đường tròn ( )C lấy điểm điểm M0 cố định Gọi ( )α mặt phẳng trung trực AM0 đường thẳng ∆ trục ( )C Gọi

I giao điểm ( )α ∆ mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề

Ta chứng minh tâm I Giả sử M điểm

khác nằm đường tròn ( )C , gọi ( ')α mặt phẳng trung trực AM ' ( ')I = α ∩ ∆ mặt cầu tâm tâm I' thỏa mãn yêu cầu đề Ta có:

0

' ' '

I A I M I M= = ⇒ I' thuộc mặt phẳng trung trực ( )α AM0 nên I' ( )= α ∩ ∆ Từ suy I'≡I Vậy có mặt cầu thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 7. Cho hai điểm A B, phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B

A. mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB D. trung điểm đoạn thẳng AB  Hướng dẫn giải:

Gọi I tâm mặt cầu qua hai điểm A B, cố định phân biệt ta ln có IA IB= Do

I thuộc mặt phẳng trung trực đoạn AB

Câu 8. Cho mặt cầu S O R( ; ) mặt phẳng ( )α Biết khoảng cách từ O tới ( )α d Nếu d R<

thì giao tuyến mặt phẳng ( )α với mặt cầu S O R( ; )là đường trịn có bán kính bao nhiêu? Δ

d=R

O M

Δ

α

I

O M

(19)

A. Rd B R2 +d2 C. R2 −d2 D. R2 −2d2

Gọi I hình chiếu O lên ( )α M điểm thuộc đường giao tuyến ( )α mặt cầu ( ; )

S O R Xét tam giác OIM vng tại I , ta có: OM R= OI d= nên IM = R2 −d2

Câu 9. Từ điểm M nằm ngồi mặt cầu S O R( ; ) kẻ

bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?

A.Vô số B C. D.

+ Gọi ( )α mặt phẳng chứa đường thẳng MO dễ dàng thấy mp( )α cắt mặt cầu S O R( ; ) theo giao tuyến đường tròn ( )C có tâm O, bán kính R Trong mp( )α , ta thấy từ điểm M nằm ( )C ta kẻ tiếp tuyến

1,

MT MT với đường tròn ( )C Hai tiếp tuyến tiếp tuyến với mặt cầu ( ; )S O R

+ Do có vơ số mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu S O R( ; ) theo giao tuyến đường tròn ( )C khác nên có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ điểm M

nằm mặt cầu

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A tiếp xúc với mặt cầu ( ; )S O R M Gọi H hình

chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A. Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA

C. Mặt phẳng qua O vng góc với AM D. Mặt phẳng qua A vng góc với OM  Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng ( , )d O , xét tam giác OMA vuông M có MH

đường cao Ta có: . .

2

R R

OM OH OA OH

R

= ⇒ = = Do H cố

định Vậy M thuộc mặt phẳng vng góc với OA H

Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A tiếp xúc với mặt cầu S O R( ; ) M Gọi H hình

chiếu M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: A.

2

R B.

3

R C. 2

3

R D. 3

4

R

Trong mặt phẳng ( , )d O , xét tam giác OMA vng M có MH

đường cao Ta có: . .3

2 2

R R R

MH =HO HA⇒MH = ⇒MH =

Câu 12. Thể tích khối cầu 113 cm1

7 bán kính ?

α I

O

M

d

H

O A

M

d

H

O A

M

(C) α

T2

O M

(20)

(lấy 22 π ≈ )

A. 6cm B 2 cm C. cm D. 3cm

Thể tích khối cầu bán kính R 3

1 3.113

4 7 27 3

22

3 4.

7

V

V πR R R

π

= ⇒ = = = ⇒ = (cm)

Câu 13. Khinh khí cầu nhà Mơng–gơn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu

dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy 22

7

π ≈ làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) A. 379,94 (m ) 2 B 697,19 (m ) 2 C. 190,14 cm D. 95,07 (m ) 2

Diện tích kinh khí cầu 22 11 379,94 (m )2

7

S =πd = =

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có độ dài cạnh 10cm Gọi O tâm mặt cầu

qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: A. S =150 (cm );π V =125 (cm )3 B S =100 (cm );π V =500(cm )3

C. S =300 (cm );π V =500 (cm )3 D. S =250 (cm );π V =500 (cm )3

Dễ thấy tâm O mặt cầu tâm hình lập phương

Trong tam giác vng AA C' có: AC'2 = AA'2+A C' '2

Trong tam giác vuông A B C' ' ' có:

2 2

' ' ' ' ' ' A C = A B +B C

Do AC2 =100 100 100 300+ + = ⇒ AC=10 3 (cm)

+ Bán kính mặt cầu tâm O

R OA= = AC = (cm) + Diện tích mặt cầu: S =4πR2 =4 3π ( )2 =300 (cm )π

+ Thể tích khối cầu: 4 ( )5 3 500 (cm )3

3

V = πR = π =

54

a

π

B 4

9

a

π

C. 3

27

a

π

D.

3

a

π  Hướng dẫn giải:

AH đường cao tam giác cạnh a nên

a

AH =

O

C' C

D' A

B

B' A'

D

(21)

Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp ∆ABC, O AH∈

3

a

OA= AH =

Bán kính mặt cầu tạo thành quay đường tròn ( )C quanh trục AH 3

a

R OA= =

Vậy thể tích khối cầu tương ứng là:

3 3

3

4 4

3 3 27

a a

V = πR = π  = π

  (đvtt)

27

a

π

B 4

9

a

π

C. 3

54

a

π

D.

3

a

AH đường cao tam giác cạnh a nên

a

AH =

Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp ∆ABC, O AH∈

2

3

a

OA= AH =

Bán kính mặt cầu tạo thành quay đường tròn ( )C quanh trục AH 3

a

R OA= =

Vậy thể tích khối cầu tương ứng là:

3 3

3

4 4

3 3 27

a a

V = πR = π  = π

  (đvtt)

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông A có BC =2a B=300 Quay tam giác vuông quanh

trục AB, ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số

2

S

S là:

A.

1

S

S = B 12

1

S

S = C. 12

2

S

S = D. 12

3

S

S =

Xét tam giác ABC vng A, ta có:

0

sin 30 ; cos 30

AC BC= =a AB BC= =a

Diện tích tồn phần hình nón là:

2 2

1 xq day

S =S +S =πRl+πR =πa a+πa = πa

Diện tích mặt cầu đường kính AB là:

( )2

2

2 3

S =πAB =π a = πa

Từ suy ra, tỉ số

1

S S =

* MẶT NÓN

H C

B

O A

300

A

O

A B

B C

(22)

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, diện tích xung quanh S1

và mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau

khẳng định ?

A. 2S2 =3S1 B S1 =4S2 C. S2 =2S1 D. S1 =S2  Hướng dẫn giải:

Bán kính đáy hình nón a Đường sinh hình nón 2a

Do đó, ta có

1 (1)

S =πRl = πa

Mặt cầu có bán kính

2

a , nên ta có

2

2 a23 (2)

S = π  = πa

 

Từ (1) (2) suy S1 =S2

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a, tích V1 hình cầu có

đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi đó, tỉ số thể tích

V

V bao nhiêu?

A.

2

V

V = B 12

1

V

V = C. 12

1

V

V = D. 12

1

V

V =

Hình nón có bán kính đáy a, chiều cao a

Do thể tích

1 13 a3

V = πa a =π

Hình cầu có bán kính

2

a nên tích

3 3

1 43 a23 a2

V = π  =π

 

Từ suy

2

V

V =

Câu 20. Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a đường cao a

A. 2πa2 B. 2πa2 3 C. πa2 D. πa2 3

Hình trụ có bán kính đáy a đường cao a 3nên 2 2 2 3

xq

S = πrh= πa a = πa

Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón

A. 2

a

π

B. 2

2

a

π

C. πa2 2 D. 2

3

a

π

a

2a

a a

a

2a

(23)

Thiết diện qua trục tam giác vuông cạnh a nên đường sinh hình nón a bán kính đáy

2

a

nên

2

2.

2

xq a a

S =π a =π

Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân SAB có cạnh cạnh huyền a

Diện tích tồn phần Stp hình nón thể tích V khối nón tương ứng cho A. 2(1 2);

2 12

tp a a

S =π + V =π B 2;

2

tp a a

S =π V =π

C. 2(1 2);

6

tp a

S =πa + V =π D. 2( 1) ;

2 12

tp a a

S =π − V =π

+ Do thiết diện qua trục tam giác ∆SAB vng cân đỉnh S, có cạnh huyền AB a= nên suy bán kính đáy hình nón

là

2

a

r = ; đường sinh hình nón l SA SB a= = = ; đường cao

hình nón

2

a

h SO= =

+ Diện tích tồn phần hình nón là:

2 2 2 2

2 2 (1 2)

2 2 2

tp xq day a a a a a

S =S +S =πrl+πr =π a+π  =π +π =π +

  (đvdt)

+ Thể tích khối nón tương ứng là: 1

2 12

a

V = Bh = πr h=π (đvtt)

Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Diện tích xung quanh 0

xq

S hình nón thể tích V

của khối nón tương ứng là:

A. 2;

12

xq a

S =πa V =π B ; 3

2 12

xq a a

S =π V =π

C. 2;

4

xq a

S =πa V =π D. 2;

4

xq a

S =πa V =π

Gọi A điểm thuộc đường trịn đáy hình nón Theo giải thiết ta có đường sinh SA a= góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO =600 Trong tam giác vuông SAO, ta

có:

cos 600

2

a

OA SA= = ;

0

.sin 60

2

a

SO SA= =a =

Diện tích xung quanh hình nón . 2 2

2

xq a

S =πrl =π a =πa (đvdt)

a a

a 2

O B

A

S

600

a a

O

(24)

Thể tích khối nón trịn xoay

2 3

2

1 . 6

3 2 12

a a a

V = πr h = π  =π

  (đvtt)

Một hình nón có đường kính đáy 3a , góc đỉnh 120 Tính thể tích khối nón theo 0 a

A. 3πa3 B. πa3 C. 2 3πa3 D. πa3 3

Gọi S đỉnh hình nón, O tâm đáy, A điểm thuộc đường tròn đáy Theo giả thiết dễ suy đường trịn đáy có bán kính

3 (cm)

R OA a= =

và góc  1200 600

2

ASO= = Xét tam giác SOA vuông O, ta

có 0

tan 60

OA a

SO= = =a Do chiều cao hình nón h a= Vậy thể tích khối nón 3

3

V = πR h = π a a =πa

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tạiA, AB a= AC = 3a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A. l a= B l = 2a C. l = 3a D. l=2a  Hướng dẫn giải:

Độ dài đường sinh l độ dài cạnh BC tam giác vuông

ABC

Theo định lý Pytago

2 2 3 4 2

BC = AB + AC =a + a = a ⇒BC = a

Vậy độ dài đường sinh hình nón l =2 a * MẶT TRỤ

Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h thể tích V1; hình nón có đáy trùng với đáy

của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy cịn lại hình trụ (hình vẽ bên dưới) tích

2

V

Khẳng định sau khẳng định ?

R h

A. V2 =3V1 B V1 =2V2 C. V1 =3V2 D. V2 =V1

Hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h nên thể tích

V =πR h Hình nón có bán kính đáy R chiều cao h nên thể tích

2 13

V = πR h Từ suy V1 =3V2

a

A C

B

a 600

A C

(25)

Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h

A. V =πR h2 B V =πRh2 C. V =π2Rh D. V =2πRh

 Hướng dẫn giải: Áp dụng cơng thức thể tích khối trụ, đáp án V =πR h2

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục hình vng Tính diện tích xung quanh hình trụ

A. πa2 B 2πa2 C. 3πa2 D. 4πa2

Một hình trụ có bán kính đáy a, có thiết diện qua trục hình vng nên chiều cao hình trụ 2a Do diện tích xung quanh hình trụ

2

xq

S = πRh= π a a= πa

Tính diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đáy a đường cao a

A. 2πa2( 3 1− ) B πa2 3 C. πa2(1+ 3) D. 2πa2(1+ 3)

Ta có: 2 2 3

xq

S = πa a = πa ;

day

S =πa

Do 2 3 2 2 2(1 3)

tp

S = πa + πa = πa +

Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy hình trụ a thiết diện qua trục hình vng

A. 2πa3 B 2

3πa C. 4πa3 D. πa3  Hướng dẫn giải:

Theo thiết diện qua trục hình trụ hình vng nên hình trụ có bán kính đáy a, chiều cao 2a Do thể tích khối trụ là:

2 2.2 2

V =πR h=πa a= πa

Tính thể tích khối trụ biết chu vi đáy hình trụ (cm)π thiết diện qua trục hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 (cm)

A. 48 (cm )π B 24 (cm )π C. 72 (cm )π D. 18 3472 (cm )π π .

Gọi O O, ' hai tâm đáy hình trụ thiết diện qua trục hình chữ nhật ABCD Do chu vi đáy hình trụ (cm)π nên bán kính đáy hình

trụ 3(cm)

2

C

R π

π π

= = =

Vì thiết diện qua trục hình chữ nhật ABCD có AC =10 (cm) AB=2R=6(cm) nên chiều cao hình trụ là:

2 2

' 10

h OO= =BC = AC −AB = − = (cm) Vậy thể tích khối trụ là: V =πR h2 =π.3 72 (cm )2 = π

2a

a

2a

a

D

B

(26)

Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1 AD=2 Gọi M, N trung điểm

AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ

A. Stp =6π B Stp =2π C. Stp =4π D. Stp =10π  Hướng dẫn giải:

Ta có

2 2 ( )

tp xq day

S =S +S = πRh+ πR = πR h R+

Hình trụ cho có chiều cao h MN AB= = =1 bán kính

đáy

2

AD

R= = Do diện tích tồn phần hình trụ là: (1 1)

tp

S = π + = π

Từ tơn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây):

- Cách 1: Gị tơn ban đầu thành mặt xung quanh thùng

- Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng

Kí hiệu V1 thể tích thùng gị theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gị

được theo cách Tính tỉ số

V V

A.

1

V

V = B. 12

V

V = C. 12

1

V

V = D. 12

V V =

Gọi R r bán kính đáy thùng đựng nước hình trụ làm theo cách cách

Gọi C1 C2 chu vi đáy thùng đựng nước hình trụ làm theo cách

và cách

Ta có: 1

2

C R C R

C r C r

π π = 

⇒ = =

 =

 (vì cắt tôn ban đầu thành hai nên

1 2

C = C )

Thùng làm theo hai cách có chiều cao h nên ta có:

2

1

2

1 2.

2

V R h V R

V r

V r h

π π  =

 ⇒ =   =

  

=  



VẬN DỤNG THẤP Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện cạnh a

B

1

N C

M D

(27)

A.

a B

2

a C.

4

a D.

4

a

Cho tứ diệnABCD cạnh a Gọi I trung điểm cạnh BC, G

là trọng tâm tam giác ABC Ta có 3;

2

a a

AI = AG=

DG trục tam giác ABC Trong mp(DAG)kẻ trung trực

DA cắt DG O OD OA OB OC= = = nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bán kính R mặt cầu độ dài đoạn OD

Trong tam giác ADG vng G, ta có:

2 2

2 2 2 2

3

a a

DA = DG +GA ⇒DG = DA −GA =a −  =

 

6

a DG

⇒ =

Mặt khác tứ giácAGOI nội tiếp nên ta có:

2 6

2

DA a

DJ DA DO DG DO R DO

DG

= ⇒ = ⇒ = =

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác S ABC, biết cạnh đáy có độ dài a, cạnh bên SA a=

A.

a B 3

2

a C.

8

a D. 6

8

a

Gọi H tâm tam giác ABC, ta có SH ⊥(ABC) nên SH trục tam giác ABC Gọi M trung điểm SA, mp(SAH) kẻ trung trực SA cắt SH O

OS OA OB OC= = = nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bán kính mặt cầu R SO=

Vì hai tam giác SMO SHA đồng dạng nên ta có SO SM

SA = SH

Suy

2

SM SA SA a

R SO

SH SH

= = = =

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a A. 14

7

a B 7

2

a C. 7

3

a D. 2

7

a

Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi H tâm đáy SH trục hình vng ABCD Gọi M trung điểm SD, mp

(SDH) kẻ trung trực đoạn SD cắt SH O OS OA OB OC OD= = = = nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu R SO=

J

I A

B

C D

G O

a

a M

I S

C

B A

H O

2a

M

A B

S

(28)

Ta có 2

SO SM SD SM SD

SMO SHD R SO

SD SH SH SH

∆ ∽∆ ⇒ = ⇒ = = =

Với 2 4 2

2

a a

SH =SD −HD = a − =

2

a SH

⇒ =

Vậy 2 14

2

SD a

R

SH

= =

Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho

A.

V = π B 15

18

V = π C.

27

V = π D. 15

54

V = π

Gọi M trung điểm AB SM ⊥ AB (vì tam giác SAB đều) Mặt khác (SAB)⊥(ABC) nên

( )

SM ⊥ ABC

Tương tự: CM ⊥(SAB)

Gọi G K tâm tam giác ABC SAB

Trong mặt phẳng (SMC), kẻ đường thẳng Gx SM// kẻ đường thẳng Ky SM// Gọi O Gx Ky= ∩ , ta có: ( )

( )

OG SAB

OK ABC

⊥ 

 ⊥



Suy OG OK, trục tam giác ABC SAB

Do ta có: OA OB OC OD OS= = = = hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S ABC

Tứ giác OKMN hình chữ nhật có

MK MG= = nên OKMN hình vng Do

3

OK =

Mặt khác

3

SK = Xét tam giác SKO vng K có

2 3 15

36

OS = OK +SK = + =

Suy bán kính mặt cầu cần tìm 15

R OS= = Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:

3

4 . 15 15

3 54

V = πR = π   = π

 

Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

O K

G M

S

C A

(29)

A. 39

a B 12

6

a C. 3

3

a D. 4

3

a

Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Gọi , 'G G tâm hai đáy ABC ' ' 'A B C Ta có GG' trục tam giác ABC A B C' ' '

Gọi O trung điểm GG' O cách đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu

R OA=

Xét tam giác OAG vng G, ta có:

2

2 2

3

a a

OA= AG +GO = +a = Vậy bán kính mặt cầu cần tìm

a R=

Cho hình trụ có bán kính đáy R, thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R

A. 4R3 B 2 2R3 C. 4 2R3 D. 8R3

Giả sử ABCD A B C D ' ' ' ' lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ BDD B' ' thiết diện qua trục hình trụ

'

BD BB= = R cạnh đáy hình lăng trụ R Do thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '

( )2 3

2

V = R R= R

Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB A B, ' ' mà AB A B= ' ' 6cm= (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác

' '

ABB A 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho

A. cm B cm C. 2cm D. 3cm

Dựng đường sinh B C' A D' , ta có tứ giác A B CD' ' hình chữ nhật nên // ' '

CD A B CD A B= ' ' 6cm= Vậy CD AB// CD AB= =6cm Do tứ giácABCD hình bình hành nội tiếp nên hình chữ nhật Từ AB BC⊥ , mặt khác AB B⊥ 'C nên AB⊥(BCB')⇒ AB BB⊥ '

Vậy ABB C' ' hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật Ta có SABB A' ' = AB BB ' nên BB'=606 =10cm Xét tam giác

'

BB C vng C có B C' =BB'2−BC2 mà 2 64 36 28

BC = AC −AB = − = nên

2

' 100 28 72 ' cm

B C = − = ⇒B C =

Vậy chiều cao hình trụ cm

Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn (O R; ) (O R'; ) Tồn dây cung AB thuộc đường tròn ( )O cho ∆O AB' tam giác mặt phẳng ( 'O AB) hợp với mặt phẳng chứa

2a

a

O

G G'

C

B A

B'

A' C'

R 2R

O D

B C A

C' B' O' D'

A'

6 2cm

6 cm

C A

B D

(30)

đường trịn ( )O góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh

xq

S hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là:

A. 2;

7

xq R R

S = π V = π B. 7; 3

7

xq R R

S = π V = π

C. 2; 7

xq R R

S = π V = π D. 7;

7

xq R R

S = π V =π

* Ta có: OO'⊥(OAB) GọiHlà trung điểm

củaABthìOH ⊥ AB O H, ' ⊥ AB ⇒OHO' 60= 0

* Giả sử OH x= Khi đó: 0< <x R và

0

' tan 60

OO = x = x

* Xét ∆OAH, ta có: AH2 =R2 −x2

* Vì ∆O AB' đều nên: O A AB' = =2AH =2 R2 −x2 ( )1

* Mặt khác, ∆AOO'vuông tạiO nên: ( )

2 2 2

' '

AO =OO +R = x +R

* Từ( ) ( )1 , 4( 2) 3 2

7

R

R x x R x

⇒ − = + ⇒ =

3

'

7

R

h OO x

⇒ = = =

* Vậy, nếu kí hiệuSlà diện tích xung quanh vàV là thể tích của hình trụ thì, ta có:

2

6 7

2 ;

7

R R

S = πRh= π V =πR h = π

Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuôngABCDcạnhacó hai đỉnh liên tiếpA B, nằm đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng

(ABCD) tạo với đáy hình trụ góc450 Diện tích xung quanh

xq

S hình trụ và thể tích V của khối trụ là:

A. 3; 3

3

xq a a

S =π V = B 2; 3

3 32

xq a a

S =π V =

C. 3; 3

4 16

xq a a

S =π V = D. 3; 3

2 16

xq a a

S =π V =

* Gọi ,M N theo thứ tự là trung điểm củaABvàCD Khi đó: OM ⊥ AB vàO N' ⊥DC Giả sửI là giao điểm củaMN vàOO' Đặt R OA h OO= , '=

* Trong∆IOM vuông cân tạiI nên: 2

OM OI= = IM

2.

2 2

h a h a

⇒ = ⇔ =

(31)

2

2 2 2 2

2

2 4 8

a a  a a a

 

=  +  = + =

   

2

3 3

2 ;

2 16

2

xq a a a a a a

S πRh π π V πR h π

⇒ = = = = = =

Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông ABCD cạnh cm với AB đường kính đường trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung AB cho ABM =600 Khi đó, thể tích V

khối tứ diện ACDM là:

A. V =6 (cm )3 B V =2 (cm )3 C. V =6(cm )3 D. V =3(cm )3

Ta có: BM ⊥ AD BM, ⊥ AM ⇒BM ⊥(ADM)

// //( )

BC AD⇒BC ADM

[ ,( )] [ ,( )]

d C ADM d B ADM BM

⇒ = =

1. . 1. . .

3 ADM

V BM S∆ BM AM AD

⇒ = = (1)

Vì ∆OBM

2

3

BM AM AB BM

⇒ = ⇒ = − = (cm)

3

1

(1) 3.3.2 3(cm )

6

V

⇒ = =

Một hình nón có chiều cao h=20cm, bán kính đáy r=25cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện

A. 450 cm2 B 500 cm2 C. 500cm2 D. 125 34 cm2

Tính diện tích thiết diện SSAB

+ Ta có 12

2

SAB

S∆ = AB SI = IA SI IA SI=

+ Xét tam giác vuông SOI, ta có:

2 2 2

1 1 1 15 (cm)

12 20 OI

OH =OI +OS ⇒ =OI + ⇒ =

+ Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì: 20.15

25

12 OI OS

OI OS SI OH SI

OH

(32)

+ Trong tam giác vuông AIO, ta có:

2 25 152 20

IA= OA −OI = − = (cm)

+ Từ suy ra: S∆SAB =IA SI =20.25 500= (cm2)

Cho hình lập phương ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh Sxq thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng

’ ’ ’ ’

A B C D

A. ;

2 12

xq a a

S =π V =π B ;

4

xq a a

S =π V =π

C. ;

2

xq a a

S =π V =π D. 5;

4

xq a

S =πa V =π

Khối nón có chiều cao a bán kính đáy

a r=

Diện tích xung quanh khối nón

2

xq a a

S =πrl =π a a +   =π

  (đvdt)

Thể tích khối nón là:

2 3

2

1 1

3 3 12

a a

V = Bh= πr h = π    a=π

  (đvtt)

Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a Kẻ dây cung BC đường trịn đáy hình nón, cho mp (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60 Diện tích tam giác 0 SBC tính theo a là:

A. 2

a B 2

6

a C. 3

2

a D. 6

3

a

+ Do thiết diện qua trục tam giác ∆SAB vuông cân đỉnh S, có cạnh huyền AB a= nên suy bán kính đáy hình nón

2

a

r= ; đường sinh hình nón l SA SB a= = = ; đường

cao hình nón

2 a h SO= =

+ Gọi I trung điểm BC OI ⊥BC (1) Ta lại có: BC OI BC (SOI) BC SI

BC SO

⊥

 ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

 ⊥

 (2)

Gọi ( )α mặt phẳng chứa đáy ( ) (SBC) BCα ∩ = (3) Từ (1), (2) (3) suy (  ( ),(SBC)α )=( , )SI OI =SIO =600

Xét tam giác SOI vuông O, ta có:



2

6

3 sin

2

a

SO a

SI

SIO

(33)

Xét tam giác SIB vng I, ta có:

2

2 2

3

a a

IB= SB −SI = a −  =

 

2

3

a

BC IB

⇒ = =

Diện tích thiết diện SBC là: 2

2 3

SBC a a a

S∆ = SI BC = = (đvdt)

Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường trịn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 60 Gọi 0 I điểm đường cao SO hình nón

sao cho tỉ số

SI

OI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục hình

nón là: A. 2

18

a

π

B

9

a

π

C.

18

a

π

D.

36

a

Gọi A điểm thuộc đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua I

và vng góc với trục hình nón hình trịn có bán kính hình vẽ Gọi diện tích Std Theo giả thiết ta có đường sinh

2

SA a= góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO =600

Trong tam giác vng SAO có cos 600

2

a

OA SA= =

Ta có ∆SIB∽∆SOA . 2

3

SI IB IB SI OA a a

SO OA SO

⇒ = ⇒ = = =

⇒

2 2

2 .

6 18

td a a

S =πIB =π   =π

 

Cho hình nón đỉnh S với đáy đường trịn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI R= Giả sử A điểm nằm đường tròn ( ; )O R cho OA OI⊥ Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh Sxq hình nón thể tích V của khối nón là:

A. 2;

3

xq R

S =πR V =π B 2 2;

3

xq R

S = πR V = π

C. 2 ;

2

xq R R

S =π V =π D. 2;

3

xq R

S =πR V = π  Hướng dẫn giải:

+ Xét tam giác AOI vng O, có:

2 2 3 4 2

IA =OA +OI = R + R = R ⇒IA= R + Do tam giác SAI vng cân S nên ta có:

2

IA R

IA SA= ⇒SA= = =R

+ Xét tam giác SOA vng O, ta có: I

(34)

2 2 2

SO = SA −OA = R −R =R

+ Diện tích xung quanh hình nón là: . 2 2

xq

S =πRl =πR R =πR (đvdt) + Thể tích khối nón tương ứng là: 1 2

3 3

R

V = Bh= πR h= πR R=π (đvtt)

Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a 3, góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh hình nón

một tam giác. Diện tích lớn Smax thiết điện ?

A.

max

S = a B

max

S =a C.

max

S = a D. max

8

a

S =

Giả sử O tâm đáy vàAB đường kính đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy

3 cm

R OA a= = , ASB=1200 nên ASO =600 Xét tam giác SOA vng O, ta có:

0

sin 60

OA SA OA a

SA

= ⇒ = =

Diện tích thiết diện là: . .sin 12 sin 2 sin2 

2

SAM

S∆ = SA SM ASM = a a ASM = a ASM

Do sin< ASM ≤1 nên S∆SAM lớn sinASM =1 hay tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì ASB =1200 >900 nên tồn tam

giác ASM thỏa mãn)

Vậy diện tích thiết diện lớn là:

max

S = a

(đvtt)

VẬNDỤNG CAO Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a

A.

12

a

r= B

8

a

r= C.

6

a

r= D.

4

a

r=

Gọi O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD cạnh a Ta tính thể tích khối tứ diện

12 ABCD a

V =

Mặt khác, ta lại có:

(*)

ABCD O ABC O ACD O BCD O ABD

V =V +V +V +V

Mỗi hình tứ diện đỉnh O có chiều cao r diện tích đáy

2 3

4

a

Do đó, từ (*) ta suy ra: .1

12 12

ABCD a a a

V = = r ⇒ =r

Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R

A

C

B D

O

O A

B

S

(35)

A. R B 3

R C. 4

3

R D. 2

3

R

Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0< <x R) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ r= R2 −x2 Thể tích khối trụ là:

2

( )2

V =π R −x x Xét hàm số V x( )=π(R2 −x2)2 , 0x < <x R

Ta có '( ) ( 3 ) 02

3

R

V x = π R − x = ⇔ =x

Bảng biến thiên:

x 3

R R

'( )

V x + − ( )

V x

3

4

9

R

π

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 3

R ;

3

max R9

V = π

Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón theo h

A.

h

x= B.

3

h

x= C.

3

h

x= D.

3

h

x=

r h

R

x

O

I J B

A

Gọi ,r R theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình nón, B điểm chung OA với khối trụ Ta có: r h x r R(h x)

R h h

−

= ⇒ = −

Thể tích khối trụ là: 2

2 ( )

R

V xR x h x

h

π π

= = −

Xét hàm số 2

2

( ) R ( ) ,

V x x h x x h

h π

= − < <

R x

x

(36)

Ta có '( ) 22 ( )( ) hay

R h

V x h x h x x x h

h

π

= − − = ⇔ = =

x

h h

'( )

V x + − ( )

V x

2

4 27

R h

π

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ

h x= ;

2 max 27R h

V = π

Cho hình nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết 0< <x h

h x

O

A.

h

x= B x h= C.

3

h

x= D.

3

h

x=

Từ hình vẽ ta có JB OJ h x JB R h x( )

IA OI h h

− −

= = ⇒ =

Thể tích khối nón cần tìm là: 2

1 ( )

3

R

V h x x

h

π

= −

Xét hàm số 2

2

1

( ) ( ) ,

3

R

V x h x x x h

h

π

= − < <

Ta có '( ) 22 ( )( ) hay

3

R h

V x h x h x x h x

h

π

= − − = ⇔ = =

x

h h

'( )

V x + − ( )

V x

2

4 81

R h

π

x

R h

O

I J

(37)

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn chiều cao

h x = ;

2 max 81R h

V = π

Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao 2R, ngoại tiếp hình cầu ( ; )S O r Khi đó, thể tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu ( ; )S O r

A. ( ) 3 16 R π

− B

3

4

R

π

+ C. ( )

3 16 R π

+ D.

3

4

R

π −  Hướng dẫn giải:

Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB Ta có OA OB= = R2 +(2 )R =R 5

Tam giác OAB có diện tích S =2R2,

chu vi 2p=2 (1R + 5) Do bán kính khối cầu ( ; )S O r S R r p = = +

Thể tích khối trụ cần tìm là:

( ) 3 16 tru R

V =πr h = πr = π

+

Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A. ;

2 2

S S

R h

π π

= = B ;

4

S S

R h

π π

= =

C. ;

3

S S

R= π h= π D. ;

6

S S

R = π h= π  Hướng dẫn giải:

Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S

Ta có:

2day xq 2

S S= +S = πR + πRh Từ suy ra:

2

2 2 3

2

3

2 2

Cauchy

S R Rh S R V R V V V

R R R

π = + ⇔ π = +π = + π + π ≥ π hay

3

2

27

4 54

V S V S

π ≤ π ⇔ ≤ π Vậy Vmax = 54S3π Dấu “=” xảy ⇔

2

2 2

V R h Rh

R

R R

π

π π

= = = hay h=2R

Khi 6

6

S

S πR R

π

= ⇒ = 2

6

S

h = R= π

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN)

Thiết diện qua trục hình nón trịn xoay tam giác vng cân có điện tích 2a2 Khi

thể tích khối nón bằng:

(38)

A. 2 3

a

π

B 3

a

π

C. 3

a

π

D. 3

a

π Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2

2

S = l = a ⇒ =l a

Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta đường kính đường trịn đáy

2 2

d = a ⇒ =r a

Vậy 1 2 2

3 3

a

V = Bh= πr l −r = π

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng:

A. S =πa2 B. S =πa2 2 C. 2

2

a

S =π D. 2

4

a S =π Hướng dẫn giải

+) Đáy hình vng cạnh a ⇒ đường chéo AC a= ⇒ bán kính đường trịn ngoại

tiếp đáy

2

a

r =

+) Đường sinh l cạnh hình lập phương ⇒ =l a

+) Vậy 2 2

xq

S = πrl =πa ⇒ Chọn B.

Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a2 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện tích mặt

cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A. 3

2

a

S V = π B

2

a

S V = π C.

2

a

S V = π D.

2

a

S V = π

Hướng dẫn giải +) Đặt AB x= ⇒BD x=

+) Ta có:

' ' ' 23

BDD B a

S =a = x x ⇒ = ⇒x a BD =a ⇒ =R

+) Khi ta có: 3

3

a

V = πR =π S =4πR2 =3πa2

+) Vậy 3

a

SV = π ⇒ Chọn A.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB a BC a= , = 3, AA'=a Gọi V thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng:

A.

a

V = π B

3

a

V =π C.

3

a

V = π D. 3

5

a

V = π

Hướng dẫn giải Ta có: r AC= = AB2 +BC2 =2a

Vậy: 1 '

3

V = Bh= πr AA =

a

(39)

Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vng Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng:

A. 2π B 4π C.

2

π D. π

Hướng dẫn giải +) Theo đề ta có: Sxq =4π ⇒2πrl =4π ⇒rl=2(*) +) Thiết diện qua trục hình vng

2 l r

⇒ = Thay vào (*) ta được: l = ⇒ =2 r +) Vậy V =πr l2 =2π ⇒ Chọn A.

Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng: A.

3π B 3π C. 33π D. 33π

Hướng dẫn giải +) Thể tích khối lập phương V a= 3

+) Đăt AB = a⇒ AC a= ⇒ A C a' = 3⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương

3

2 Câu

a a

R= ⇒V = πR =π (**)

Từ (*) (**) suy ra: 3 lâp phuong

CAU V

V = π ⇒ Chọn D

Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc α độ dài đường sinh l Khi diện tích tồn phần hình nón bằng:

A. 2 2cos cos2

2 tp

S = πl α α B 2 2cos sin2

2 tp

S = πl α α C. 2cos cos2

2 tp

S =πl α α D. 2cos cos2

2

tp

S = πl α α

Hướng dẫn giải +) Ta có: r cos r lcos

l = α ⇒ = α +)

2 2cos 2cos2 2cos (1 cos ) 2 2cos cos2

2 TP XQ Đ

S = S +S =πrl+πr =πl α π+ l α π= l α + α = πl α α +) Vậy chọn A.

Cho lăng trụ có tất cạnh A. Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ nói Khi V bằng:

A. 3

a

V =π B.

3

a

V =π C. 3

2

a

V = π D.

6

a V =π Hướng dẫn giải

+) Gọi I, G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC.

+) Tam giác ABC 3

2 3

a a a

AI AG r

⇒ = ⇒ = = =

(40)

+) Vậy

3

a

V =πr l =π ⇒Chọn B.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên

a Khẳng định sau

sai?

A. Khơng có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

B.Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC. C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trực tâm tam giác ABC. D. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính

3

a

R=

Một hình nón có bán kính đường trịn đáy A. Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng:

A.

6

a

V =π B 3

3

a

V =π C. 3

9

a

V =π D.

3

a V =π Hướng dẫn giải

+ ) r a=

+) Góc đỉnh

0

120

tan 60

a a

h

= ⇒ = =

+) . 3

3 Đ a9

V = S h = πr h =π ⇒ Chọn C.

Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB CD. Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn xoay.Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng:

A.

a

π

B 12

a

π

C. 3

a

π

D.

a

π Hướng dẫn giải

+) Ta có: a

r= và l a=

+) .

4

a V B h= =πr l =π

Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3a, BC = 4a, SA⊥(ABC), cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là:

A.

3

a

V =π B 50

3

a

V = π C.

3

a

V = π D. 500

3

a

V = π

Hướng dẫn giải +) Ta có: ∆SAC vng S(*)

+) BC AB BC (SAB) BC SB SBC

BC SA

⊥ 

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆

 ⊥

 vuông B(**)

+) Từ (*) (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC trung điểm đoạn SC.

+) Ta có: AC 2 5 cos 600 2 10 5

2

AC SC

AB BC a Mà SC AC a R a

SC

(41)

+) Vậy 500

3

a

V = πR = π ⇒Chọn D.

Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy a, chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′D′ (C) đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O′ đáy (C)

A. 2 xq a

S = π B

2 xq a

S = π C.

2 xq a

S =π D. 2

2

xq a

S = π

Hướng dẫn giải

+) ABCD.A'B'C'D' lăng trụ tứ giác ⇒ đáy ABCD hình vng Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy r =

2

AC a=

+) Đường sinh ' '2 ' 4 2

2

a a

l O A= = AA +A O = a + =

+) Vậy 3

2 2

XQ a a a

S =πrl =π = π ⇒Chọn A.

Một hình trụ có hai đáy hai đường trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh Thể tích khối trụ bằng:

A. π

B π

C. π

D. π

+) Ta có:Đường trịn đáy nội tiếp hình vng cạnh ⇒ bán kính r= +) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh hình lập phương ⇒l=1

+) Vậy 12

2

V =πr l=π   =π ⇒

  Chọn A.

Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đôi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng:

A. 25π B. 50π C. 75π D. 100π Hướng dẫn giải

+) Tam giác SBC vuông S nên từ trung điểm I cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vng góc với (SBC) (tức d // SA), d trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. +) Trong mp xác định đường thẳng song song d SA ta dựng đường trung trực SA cắt d J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC⇒SJ bán kính

+) 2 2

2

SA BC SA

SJ = SI +  = + =

 

+ 4 4 50 50

4

S = πR = π = π ⇒Chọn B

Thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường trịn đáy R bằng:

A. 2R h2 B R h2 C. 2R h2 D.

2

(42)

+) Ta có: . ' 2. '

LTRU ABCD

V =S AA = AB OO = AB h (*)