Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt cầu

A. Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên. Ở các đáp án B, C, D đều thỏa mãn điều kiện phương tr[r]

(1)

R

I B

A CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ Định nghĩa:

2/ Các dạng phương trình mặt cầu : Dạng : Phương trình tắc

Mặt cầu (S) có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R>0

( ) ( ) (2 ) (2 )2 2 : S x a− + y b− + −z c =R

Dạng :Phương trình tổng quát

2 2

( ) : S x +y +z −2ax−2by−2cz d+ =0 (2) ⇒ Điều kiện để phương trình (2) phương trình mặt cầu: a b c d2+ 2+ − >2 0

• (S) có tâm I a b c( ; ; )

• (S) có bán kính: R= a b c d2+ + −2 3/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng :

Cho mặt cầu S I R( ; ) mặt phẳng ( )P Gọi H là hình chiếu vng góc I lên ( )P ⇒ d IH= khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( )P Khi :

+ Nếu d R> : Mặt cầu mặt phẳng khơng có điểm chung

+ Nếu d R= : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó: ( )P mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu H tiếp điểm

+ Nếu d R< : Mặt phẳng ( )P

cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I' bán kính r= R2−IH2

P

M2 M1

H I R

R I

H P

d

r I'

α

R I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) qua tâm I thì mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng kính và thiết diện lúc gọi đường trịn lớn

4/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng :

Cho mặt cầu S I R( ; ) đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu I lên ∆ Khi : + IH R> : ∆ không cắt mặt

cầu +

=

IH R: ∆ tiếp xúc với mặt cầu ∆ tiếp tuyến của (S) H là tiếp điểm

+ IH R< : ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt

R I

∆

H H

∆

I R

H B

A I R

Δ Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R đượcgọi mặt cầu tâm I, bán kính R

(2)

* Lưu ý:Trong trường hợp ∆ cắt (S) điểm A, B thì bán kính R của (S) tính sau: + Xác định: d I( ;∆ =) IH

+ Lúc đó:

2

2 2

2

 

= + = +  

 

AB

R IH AH IH

ĐƯỜNG TRỊN TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

* Đường trịn (C) khơng gian Oxyz, xem giao tuyến (S) mặt phẳng ( )α

( ) 2

S : x +y +z −2ax−2by−2cz d+ =0 ( )α : Ax By Cz D+ + + =0

* Xác định tâm I’ bán kính R’ của (C) + Tâm I'= ∩d ( )α

Trong d đường thẳng qua I vng góc với mp( )α + Bán kính R'= R2−( )II' = R2 d I( ;( )α )2

−  

5/ Điều kiện tiếp xúc :Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R + Đường thẳng ∆ tiếp tuyến (S)⇔ d I( ;∆ =) R + Mặt phẳng( )α tiếp diện (S) ⇔ d I( ;( )α =) R * Lưu ý:Tìm tiếp điểm M x y z0( 0; ;0 0)

Sử dụng tính chất : ( )

0 α 0 α

 ⊥

⇔ 

 ⊥

⊥ 

 

   d

IM d IM a

(3)

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Phương pháp:

* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a b c( ; ; ) Bước 2: Xác định bán kính R (S)

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I a b c( ; ; ) bán kínhR ( ) : S (x a− ) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2

* Thuật toán 2:Gọi phương trình ( ) : S x2 +y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 Phương trình (S) hồn tồn xác định nếu biết a b c d, , , (a b c d2+ 2+ − >2 0) Bài tập :Viết phương trình mặt cầu (S), trường hợp sau:

a) ( )S có tâm I(2;2; 3− ) bán kính R=3 b) ( )S có tâm I(1;2;0) (S) qua P(2; 2;1− ) c) ( )S có đường kính AB với A(1;3;1 , ) (B −2;0;1) Bài giải:

a) Mặt cầu tâm I(2;2; 3− ) bán kính R=3, có phương trình: (S): (x−2) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9

b) Ta có: IP=(1; 4;1− )⇒IP=3

Mặt cầu tâm I(1;2;0) bán kính R IP= =3 2, có phương trình: (S): (x−1) (2+ y−2)2+z2 =18

c) Ta có: AB= − −( 3; 3;0)⇒ AB=3 Gọi I là trung điểm AB 3; ;1

2

 

⇒ − 

 

I

Mặt cầu tâm 3; ;1 2

− 

 

 

I bán kính

2

= AB =

R , có phương trình: (S): ( 1)2

2 2

x y z

 +  + −  + − =

   

   

Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) , trường hợp sau: a) (S) qua A(3;1;0 , 5;5;0) (B ) tâm I thuộc trục Ox

b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng ( )α : 16 15x− y−12z+75 0=

c) (S) có tâm I(−1;2;0)và có tiếp tuyến đường thẳng : 1

1

+ −

∆ = =

− −

x y z

Bài giải:

a) Gọi I a( ;0;0)∈Ox Ta có : IA= −(3 a;1;0 , ) IB= −(5 a;5;0)

Do (S) qua A, B⇔IA IB= ⇔ (3−a)2+ =1 (5−a)2+25⇔4a=40⇔ =a 10

(10;0;0)

⇒I IA=5

(4)

b) Do (S) tiếp xúc với ( )α d ,( ( )) 75 25

O α R R

⇔ = ⇔ = =

Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính R=3, có phương trình (S) : x2+y2+z2 =9 c) Chọn A(−1;1;0)∈ ∆ ⇒IA=(0; 1;0− )

Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ = −( 1;1; 3− ) Ta có:  IA u, ∆ = (3;0; 1− )

Do (S) tiếp xúc với d ,( ) , 10 11 IA u

I R R

u

∆ ∆

 

 

∆ ⇔ ∆ = ⇔ = =

 



Mặt cầu tâm I(−1;2;0) bán kính 10 11

R= , có phương trình (S) : ( 1) (2 2)2 10 . 121

x+ + y− +z =

Bài tập : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :

a) (S) qua bốn điểm A(1;2; , 1; 3;1 , 2;2;3 , 1;0;4− ) (B − ) (C ) (D )

b) (S) qua A(0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4) (B ) (C ) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) Bài giải:

a) Cách1:Gọi I x y z( ; ; ) tâm mặt cầu (S) cần tìm Theo giả thiết:

2

1

7

4

IA IB

IA IB y z x

IA IC IA IC x z y

IA ID IA ID y z z

 =

= − + = − = −

  



 = ⇔ = ⇔ + = − ⇔  =

   

 =  =  − =  =

   

Do đó: I(−2;1;0) R IA= = 26 Vậy (S) : (x+2) (2+ y−1)2+z2 =26

Cách2:Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0, (a b c d2+ 2+ − >2 0) Do A(1;2; 4− ∈) ( )S ⇔ − −2a 4b+8c d+ = −21 (1)

Tương tự: B(1; 3;1− ) ( )∈ S ⇔ − +2a 6b−2c d+ = −11 (2) C(2;2;3) ( )∈ S ⇔ − −4a 4b−6c d+ = −17 (3) D(1;0;4) ( )∈ S ⇔ − −2a 8c d+ = −17 (4)

Giảihệ (1), (2), (3), (4) ta có a b c d, , , , suy phương trình mặt cầu (S) : ( ) (2 )2 2

2 26

x+ + y− +z =

b) Do tâm I của mặt cầu nằm mặt phẳng (Oyz)⇒I(0; ;b c)

Ta có: 22 22

5

 =  =



= = ⇔ ⇔ =

=

 



IA IB b IA IB IC

c

IA IC

Vậy I(0;7;5) R= 26 Vậy (S): x2+(y−7) (2+ −z 5)2 =26.

Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : x t y z t

=   ∆  = −

 = − 

và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α : x+2y+2z+ =3 ( )β : x+2y+2z+ =7

Bài giải:

(5)

Theo giả thiết: ( ,( )) ( ,( )) 5 3 α = β ⇔ − = − ⇔ − = −− = − ⇒ =  t t t t

d I d I t

t t

Suy ra: I(3; 1; 3− − ) d ,( ( )) α

= =

R I Vậy (S) : ( 3) (2 1) (2 3)2

− + + + + =

x y z

Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(2;6;0 , 4;0;8) (B ) có tâm thuộc d:

1

− +

= = −

x y z

Bài giải: Ta có : = −   =   = − +  x t

d y t

z t

Gọi I(1 ;2 ; 5−t t − + ∈t) d tâm mặt cầu (S) cần tìm Ta có: IA= +(1 ;6 ;5t − t −t IB), = + −(3 ; ;13t t −t)

Theo giả thiết, (S) qua A, B⇔ AI BI=

( ) (2 ) (2 )2 ( )2 2 ( )2

1 13

⇔ +t + − t + −t = +t + t + −t 29

62 32 178 20 12 116

3 ⇔ − t= − t⇔ t= − ⇔ = −t

32 58 44; ;

3 3

 

⇒  − − 

 

I R IA= =2 233 Vậy (S):

2 2

32 58 44 932

3 3

 −  + +  + +  =

     

x  y  z 

Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3; 1− ) cắt đường thẳng : 1

1

+ −

∆ = =

−

x y z tại

hai điểm A, B với AB=16 Bài giải:

Chọn M(−1;1;0)∈ ∆ ⇒IM = − −( 3; 2;1) Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ =(1; 4;1− ) Ta có: , ∆ (2;4;14) d ,( ) , ∆

∆       = ⇒ ∆ = =        IM u

IM u I

u

Gọi R là bán kính mặt cầu (S) Theo giả thiết : d ,( ) 2 19

 

=  ∆  + AB =

R I

Vậy (S): (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =76

Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng ( )P : 5x−4y z+ − =6 0, ( )Q : 2x y z− + + =7 đường thẳng

1

:

7

− −

∆ = =

−

x y z Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm (P) ∆ sao cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20π

Bài giải: Ta có : = +   ∆  =  = −  x t y t z t

Tọa độ I là nghiệm hệphương trình:

1 (1) (2) (3) (4)

= +   =   = −   − + − =  x t y t z t

x y z

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7( + t) ( ) (−4 3t + −1 2t)− = ⇔ = ⇒6 t I(1;0;1) Ta có : ( ,( ))

3

(6)

Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có: 20π π= r2 ⇔ =r 2 5. R bán kính mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết: ( ,( )) 2 330.

R= d I Q  +r = Vậy (S) : ( 1)2 ( 1)2 110

− + + − =

x y z

Bài tập 8:Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y− −2z− =2 đường thẳng :

2 = − 

 = − 

 = + 

x t d y t z t

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d I cách (P) khoảng (S) cắt (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính

Bài giải:

Gọi I t t(−;2 1;− t+ ∈2) d: tâm mặt cầu (S) R là bán kính (S) Theo giả thiết : =  ( ;( ))2+ = 4 9+ = 13

 

R d I P r

Mặt khác: ( ( ))

1

2 2 6

; 2 6

11 4

6  =  − − + − − −

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ 

+ +  = −

 t

t t t

d I P t

t * Với

6 =

t : Tâm 1 1; 13; 6

− − 

 

 

I , suy ( )1 : 2 13 13

6

 +  + +  + −  =

     

     

S x y z

* Với 11 = −

t : Tâm 211 16 ;−3 6; 

 

I , suy ( )

2 2

2 :  −116  + +32 + −61 =13

     

S x y z

Bài tập9:Cho điểm I(1;0;3) đường thẳng : 1

2

− = + = −

x y z

d Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d hai điểm A, B sao cho ∆IAB vuông I

Bài giải :

Đường thẳng d có vectơ phương u=(2;1;2) P(1; 1;1− )∈d Ta có: IP=(0; 1; 2− − )⇒u IP,=(0; 4; 2− − ) Suy ra: d ;( ) , 20

3

 

 

= =

 

 u IP I d

u

Gọi R là bán kính (S) Theo giả thiết, ∆IAB vng I ( )

2 2

1 1 2 2d , 40

3

⇒ = + = ⇔ =R IH = I d =

IH IA IB R Vậy (S) : ( 1)2 ( 3)2 40

9

− + + − =

x y z

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2+y2+z2−4x−4y−4z=0 và điểm A(4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB đều

Bài giải :

(S) có tâm I(2;2;2 ,) bán kính R=2 Nhận xét: điểm O A cùng thuộc (S) Tam giác OAB đều, có bán kính đường trịn ngoại tiếp /

3

=OA=

R

Khoảng cách : ( ;( )) ( )/ 2

(7)

Mặt phẳng (P) qua O có phương trình dạng : ax by cz+ + =0 (a b c2+ 2+ >0 *) ( ) Do (P) qua A, suy ra: 4a+4b= ⇔ = −0 b a

Lúc đó: d ;( ( )) 2(2 2 )2 22 2 22 2

2

+ +

= = ⇒ =

+ + + +

a b c c c

I P

a b c a c a c

2 2

2

1 = 

⇒ + = ⇒ 

= − 

c a

a c c

c Theo (*), suy ( )P x y z: − + =0 x y z− − =0 Chú ý: Kỹ xác định tâm bán kính đường trịn khơng gian

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn (C) Bước 1:Lập phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với mặt phẳng (P) Bước 2:Tâm I’ của đường tròn (C) giao điểm d và mặt phẳng (P)

Bước 3:Gọi r bán kính (C): r = R2 d I P( ;( ))2

−  

Bài tập 11:Chứng minh rằng: Mặt cầu ( ) : S x2+y2+z2−2x− =3 0 cắt mặt phẳng (P): x− =2 0 theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính (C)

Bài giải :

* Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;0) bán kính R=2

Ta có : d ,(I P( ))= < = ⇔1 R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (đ.p.c.m)

* Đường thẳng d qua I(1;0;0) vng góc với (P) nên nhận nP =(1;0;0) làm vectơ phương, có phương trình

1

:

0 = +   =   = 

x t

d y z

+ Tọa độ tâm I/ đường tròn nghiệm hệ : /( )

2

0 2;0;0

0

= + 

=   =

 ⇔ = ⇒

 = 

  =

 − = 

x t

x y

y I

z

z x

+ Ta có: d I P( ,( ))=1 Gọi r là bán kính (C), ta có : r= R2−d I P( ,( ))2 = 3.

 

Dạng : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng ∆là tiếp tuyến (S)⇔ d I( ;∆ =) R + Mặt phẳng( )α tiếp diện (S) ⇔ d I( ;( )α )=R

* Lưu ý dạng tốn liên quan tìm tiếp điểm, tương giao Bài tập 1:Cho đường thẳng ( ):

2 1

− −

∆ = =

−

x y z và mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−2x+4 0z+ = Số điểm chung ( )∆ ( )S :

A 0.B.1.C.2.D.3. Bài giải:

(8)

Ta có MI =(1; 1; 4− − )và u MI ,  = −( 5;7; 3− ) ( , ) , 498

 

 

⇒ ∆ = =

   u MI d I

u Vì d I( ,∆ >) R nên ( )∆ không cắt mặt cầu ( ).S

Lựa chọn đáp án A

Bài tập 2: Cho điểm I(1; 2;3− ) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là: A (x−1) (2+ y+2) (2 z−3)2 = 10 B (x−1) (2+ y+2) (2 z−3)2 =10 C (x+1) (2+ y−2) (2 z+3)2 =10 D.(x−1) (2 + y+2) (2 z−3)2 =9 Bài giải:

Gọi M là hình chiếu I(1; 2;3− ) lên Oy, ta có : M(0; 2;0− ) ( 1;0; 3) ( , ) 10

= − − ⇒ = = =



IM R d I Oy IM bán kính mặt cầu cần tìm

Phương trình mặt cầulà : (x−1) (2+ y+2) (2 z−3)2 =10. Lựa chọn đáp ánB

Bài tập 3: Cho điểm I(1; 2;3− )và đường thẳng d có phương trình

2 1

+ = − = +

−

x y z Phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d là:

A (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =50 B.(x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =5 C (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =5 D.(x−1) (2 + y+2) (2+ −z 3)2 =50 Bài giải:

Đường thẳng ( )d qua I(−1;2; 3− )và có VTCP u =(2;1; 1− )⇒ ( , )=  ,  =5  

 u AM d A d

u Phương trình mặt cầu : (x−1) (2+ y+2) (2 z−3)2 =50

Lựa chọn đáp án D

Bài tập 4: Mặt cầu ( )S tâm I2; 3; 1  cắt đường thẳng : 11 25

2

− = = +

−

x y z

d điểm A, B sao cho 16

=

AB có phương trình là:

A (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =17 B.(x+2) (2+ y+3) (2+ −z 1)2 =289

C (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =289 D.(x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =280

Bài giải:

Đường thẳng ( )d qua M(11; 0; 25− )và có vectơ phương u =(2;1; 2− )

Gọi H là hình chiếu I (d) Ta có: ( , )  ,  15

= = =

   u MI IH d I AB

u

2

2 17

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy ( )S : (x−2) (2+ y−3) (2+ +z 1)2 =289. Lựa chọn đáp án C

Bài tập 5: Cho đường thẳng :

2

+ = − =

−

x y z

d điểm I(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S có I

B

A d

(9)

tâm I, hai điểm A, B sao cho AB=6 Phương trình mặt cầu ( )S là:

A (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =18 B.(x+4) (2+ y+1) (2+ +z 6)2 =18 C (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =9 D.(x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =16 Bài giải :

Đường thẳngd qua M( 5;7;0)− có vectơ phương (2; 2;1)

= −



u Gọi H là hình chiếu I trên (d) Ta có : ( , )  , 

= = =

   u MI IH d I AB

u

2

2 18

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy ( )S : (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =18 Lựa chọnđáp án A

Bài tập 8: Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng : 1

1

− = − = +

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A ( 1)2 2 20.

+ + + =

x y z B.( 1)2 2 20.

3

− + + =

x y z

C ( )2 2 2 16

1

4

− + + =

x y z D.( )2 2 2

1

3

− + + =

x y z

Bài giải:

Đường thẳng( )∆ qua M =(1;1; 2− )và có vectơ phương u=(1;2;1)

Ta có MI =(0; 1;2− )và u MI ,  = (5; 2; 1− − ) Gọi H hình chiếu I (d) Ta có :

( , )  , 

= = =

   u MI IH d I AB

u

Xét tam giác IAB, có 2 15

2 3

= ⇒ = IH =

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là: ( 1)2 2 20.

+ + + =

x y z

Bài tập 9:Cho mặt cầu( ) :S x2+y2+z2−4x−2y−6z+ =5 0 Viết phương trình tiếp tuyến mặt cầu (S) quaA(0;0;5) biết:

a) Tiếp tuyến có vectơ phương u=(1;2;2). b) Vng góc với mặt phẳng (P) : 3x−2y+2z+ =3 Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A(0;0;5)và có vectơ phương u=(1;2;2), có phương trình d: =   =   = + 

x t y t

z t

b) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nP =(3; 2;2− )

I

B

A d

R H

I

B

A d

R

(10)

Đường thẳng d qua A(0;0;5)và vng góc với mặt phẳng (P) nên có vectơ phương (3; 2;2)

= −



P

n , có phương trình d:

2 x t y t z t

=   = − 

 = + 

Bài tập 10: Cho ( ) : S x2+y2+z2−6x−6y+2z+ =3 0 và hai đường thẳng

1: 31 21 21;

+ + −

∆ x = y = z

2

:

2

− −

∆ x y= = z Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với ∆1 ∆2 đồng thời tiếp xúc với (S)

Bài giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3;3; , − ) R=4

Ta có: ∆1 có vectơ phương u1 =(3;2;2)

∆2 có vectơ phương u2 =(2;2;1) Gọi n vectơ pháp mặt phẳng (P)

Do: 1

2

( ) / / ( ) / /

∆ ⊥

 

⇔ ⇒

 ∆  ⊥

 

   

P n u

P n u chọn n=[u u 1, 2]= − −( 2; 1;2)

Lúc đó, mặt phẳng (P) có dạng : − − +2x y 2z m+ =0

Để mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) ( ;( )) +

⇔d I P = ⇔R m =

7

5 12

17 = 

⇔ + = ⇔ 

= − 

m m

m

Kết luận:Vậy tồn mặt phẳng : 2− − +x y 2z+ =7 0, 2− x y− +2 17 0z− =

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2+2x−4y−6z+ =5 0, biết tiếp diện:

a) qua M(1;1;1)

b) song song với mặt phẳng (P) : x+2y−2 0z− = . b) vng góc với đường thẳng :

2

− = + = −

−

x y z

d

Bài giải:

Mặt cầu(S) có tâm I(−1;2;3), bán kính R=3

a) Để ý rằng, M∈( )S Tiếp diện M có vectơ pháp tuyến IM =(2; 1; 2− − ), có phương trình : ( ) (α : x− −1) (y− −1 2) (z− = ⇔1 0) 2x y− −2 0.z+ =

b) Do mặt phẳng ( ) ( )α / / P nên ( )α có dạng : x+2y−2z m+ =0

Do ( )α tiếp xúc với (S) d ,( ( )) 3 12

α −  = −

⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ 

= 

m m

I R m

m

* Với m= −6 suy mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z− =6 * Với m=12 suy mặt phẳng có phương trình : x+2y−2 12 0.z+ = c) Đường thẳng d có vectơ phương ud =(2;1; 2− )

(11)

Do ( )α tiếp xúc với (S) ( ,( )) 6 15

m m

d I R m

m

α −  = −

⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ 

=



* Với m= −3 suy mặt phẳng có phương trình : x+2y−2z− =3 * Với m=15 suy mặt phẳng có phương trình : x+2y−2 15 0.z+ = C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Phương trình sau phương trình mặt cầu ?

A.x2+y2+z2−2x=0. B. x2+y2−z2+2x y− + =1 0. C 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 1.x− D (x y+ )2 =2xy z− −1.

Câu 2. Phương trình sau khơng phảilà phương trình mặt cầu ?

A x2+y2+z2−2x=0. B. 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 1.x− C x2+y2+z2+2x−2y+ =1 0. D. (x y+ )2 =2xy z− + −1 x

A. (x−1) (2+ 2y−1) (2+ −z 1)2 =6 B (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =6 C (2 1x− ) (2+ 2y−1) (2+ 1z+ )2 =6 D (x y+ )2 =2xy z− 2+ −3 x

Câu 4. Cho phương trình sau: (x−1)2+y2+z2 =1; x2+(2y−1)2+z2 =4; 2+ 2+ 2+ =1 0;

x y z (2 1x+ ) (2+ 2y−1)2+4z2 =16. Số phương trình phương trình mặt cầu là:

A.4 B.3 C D.1

Câu 5. Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2)2+z2 =9 có tâm là:

A I(1; 2;0 − ) B I(−1;2;0 ) C I(1;2;0 ) D I(− −1; 2;0 )

Câu 6. Mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−8x+2y+ =1 0 có tâm là:

A I(8; 2;0 − ) B I(−4;1;0 ) C I(−8;2;0 ) D I(4; 1;0 − ) Câu 7. Mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−4 0x+ = có tọa độ tâm bán kính R là:

A I(2;0;0 , ) R= B I(2;0;0 , ) R=3 C I(0;2;0 , ) R= D I(−2;0;0 , ) R=

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2; 3− ), bán kính R=3 là:

A (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 B (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =3

C (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 D (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9

Câu 9. Mặt cầu ( ) (S : x y+ )2 =2xy z− 2+ −1 4x có tâm là:

A I(−2;0;0 ) B I(4;0;0 ) C I(−4;0;0 ) D I(2;0;0 )

Câu 10. Đường kính mặt cầu ( )S x: +y2+ −(z 1)2 =4 bằng:

A.4 B 2. C 8. D 16.

Câu 11. Mặt cầu có phương trình sau có tâm I(−1;1;0 ?)

A x2+y2+z2−2x+2y=0. B. x2+y2+z2+2x−2y+ =1 0. C 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 x− − xy D (x y+ )2 =2xy z− + −1 x

(12)

A

3 . B

2

3 . C

21

3 . D

13

Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu ( )S x: 2+y2+ −(z 2)2 =4 Độ dài OI (O là gốc tọa độ) bằng:

A. 2. B.4 C.1 D. 2.`

Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính tâm giao điểm ba trục toạđộ? A x2+y2+z2−6z=0. B x2 +y2+z2−6y=0.

C x2+y2+z2 =9. D. x2+y2+z2−6x=0.

Câu 15. Mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2 10x+ y+3 0z+ = đi qua điểm có tọa độnào sau đây? A (2;1;9 ) B (3; 2; − − ) C (4; 1;0 − ) D (−1;3; − )

Câu 16. Mặt cầu tâm I(−1;2; 3− ) qua điểm A(2;0;0) có phương trình:

A (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =22 B (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =11 C (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =22 D. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =22

Câu 17. Cho hai điểm A(1;0; 3− ) B(3;2;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A x2+y2+z2−4x−2y+2z=0. B x2+y2+z2+4x−2y+2z=0. C x2+y2+z2−2x y z− + − =6 0. D. x2+y2+z2−4x−2y+2z+ =6 0.

Câu 18. Nếu mặt cầu ( )S qua bốn điểm M(2;2;2 , 4;0;2 , 4;2;0) (N ) (P ) Q(4;2;2) tâm I ( )S có toạđộ là:

A (− −1; 1;0 ) B (3;1;1 ) C (1;1;1 ) D (1;2;1 )

Câu 19. Bán kính mặt cầu qua bốn điểm M(1;0;1 , 1;0;0 , 2;1;0) (N ) (P ) Q(1;1;1) bằng: A.

2 B C 1. D

3.

Câu 20. Cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2− =4 0 và điểm M(1;2;0 , 0;1;0 , ) (N ) P(1;1;1), Q(1; 1;2− ) Trong bốn điểm đó, có điểm khơngnằm mặt cầu ( )S ?

A.2 điểm B 4 điểm C.1 điểm D.3 điểm

Câu 21. Mặt cầu ( )S tâm I(−1;2; 3− ) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P x: +2y+2 0z+ = có phương trình:

A ( 1) (2 2) (2 3)2

− + + + − =

x y z B ( 1) (2 2) (2 3)2

9

+ + − + + =

x y z

C ( 1) (2 2) (2 3)2

+ + − + + =

x y z D ( 1) (2 2) (2 3)2 16

3

+ + − + + =

x y z

Câu 22. Phương trình mặt cầu có tâm I(2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P x: +2y+2z+ =2 0?

A (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =16 B (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =4 C (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =25 D. (x+2) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =9

Câu 23. Mặt cầu ( )S tâm I(3; 3;1− ) qua A(5; 2;1− )có phương trình:

(13)

C.(x−3) (2 + y+3) (2+ −z 1)2 = D.(x−5) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =

Câu 24. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;3;2 , 3;5;0) (B ) là:

A.(x−2) (2+ y−4) ( 1)2+ −z =3. B.(x−2) (2+ y−4) ( 1)2+ −z =2. C.(x+2) (2+ y+4) ( 1)2+ +z =2. D.(x+2) (2+ y+4) ( 1)2+ +z =3.

Câu 25. Cho I(1;2;4) mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ − =1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P , có phươngtrình là:

A.(x−1) (2+ y+2) (2+ −z 4)2 =4 B.(x+1) (2+ y+2) (2+ +z 4)2 =1 C.(x−1) (2+ y−2) (2+ −z 4)2 =4 D.(x−1) (2+ y−2) (2+ −z 4)2 =3.

Câu 26. Cho đường thẳng : 1

1

− +

= =

−

x y z

d điểm A(5;4; 2− ) Phương trình mặt cầu qua điểm A có tâm giao điểm d với mặt phẳng (Oxy) là:

A.( ) (S : x−1) (2+ y+2)2+z2 =64. B.( ) (S : x+1) (2+ y−1)2+z2 =9. C.( ) (S : x+1) (2+ y+1)2+z2 =65. D.( ) (S : x+1) (2+ y−1)2+ +(z 2)2 =65.

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A − , B(0;1;6), C(2;0; 1)− , D(4;1;0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A.x2+y2+z2−4x+2y−6z− =3 0. B.x2+y2+z2+4x−2y+6z− =3 0. C.x2+y2+z2−2x y+ −3 0.z− = D.x2+y2+z2+2x y− +3 0.z− =

Câu 28. Cho ba điểm A(2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1) (B ) (C ) mặt phẳng ( )P x y z: + + − =2 Phương trình mặt cầu qua ba điểm A B C, , có tâm thuộc mặt phẳng ( )P là:

A. x2+y2+z2− +x 2 0.z+ = B. x2+y2+z2− −x 2y+ =1 0. C. x2+y2+z2−2x+2y+ =1 0. D. x2+y2+z2−2x−2 0.z+ =

Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;3− ) tiếp xúc với trục Oylà:

A. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 B. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =16 C. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =8 D. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =10

Câu 30. Cho điểm A(−2;4;1 , 2;0;3) (B ) đường thẳng

1

:

2 = +   = + 

 = − + 

x t

d y t

z t

Gọi ( )S mặt cầu qua ,

A B có tâm thuộc đường thẳng d Bán kính mặt cầu ( )S bằng:

A.3 B. C.3. D.2

Câu 31. Cho điểm A(1; 2;3− ) đường thẳng d có phương trình

2 1

+ = − = +

−

x y z Phương trình

mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

(14)

Câu 32. Cho đường thẳng d: 1

3 1

− = + =

x y z và mặt phẳng ( )P : 2x y+ −2z+ =2 0 Phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với ( )P qua điểm A(1; 1;1− ) là:

A.(x+2) (2+ y+2) (2+ +z 1)2 =1 B.(x−4)2+y2+ −(z 1)2 =1. C.(x−1) (2+ y+1)2+z2 =1. D.(x−3) (2+ y−1) (2 + −z 1)2 =1.

Câu 33. Phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là:

A.x2+y2+z2+2x+4y+6 10 0.z− = B. x2+y2+z2−2x−4y−6 10 0.z+ = C. x2+y2+z2−2x−4y+6 10 0.z+ = D.x2+y2+z2+2x+4y+6 10 0.z− =

Câu 34. Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu tâm I(1; 3;2− ) điểm M(7; 1;5− ) có phương trình là: A. 6x+2y+3z+55 0.= B. 3x y z+ + −22 0.=

C. 6x+2y+3 55 0.z− = D.3x y z+ + +22 0.=

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−2x−4y−6z− =2 0 và mặt phẳng ( ) : 4α x+3y−12 10 0z+ = Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S song song với ( )α có phương trình là:

A.4x+3y−12z+78 0.=

B.4x+3y−12z−78 0= 4x+3y−12z+26 0.= C.4x+3y−12z−26 0.=

D.4x+3y−12z+78 0= 4x+3y−12z−26 0.=

Câu 36. Cho mặt cầu ( ) :S (x−2) (2+ y+1)2+z2 =14 Mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A B ( <0)

A

z

Phương trình sau phương trình tiếp diện ( )S B: A. 2x y− −3z+ =9 B. 2x y− −3 0.z− = C. x−2y z− − =3 D. x−2y z+ + =3

Câu 37. Cho điềm A(3; 2; , 3;2;0 , 0;2;1− − ) (B ) (C ) D(−1;1;2) Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

A. (x−3) (2+ y+2) (2+ +z 2)2 = 14 B. (x+3) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 =14

C. (x+3) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 = 14 D. (x−3) (2+ y+2) (2+ +z 2)2 =14

Câu 38. Cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y z+ − =2 Mặt cầu ( )S có tâm I thuộc trục Oz, bán kính

14 tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình: A. 2 ( 3)2

7

+ + − =

x y z 2 ( 4)2 2.

7

+ + − =

x y z

B. 2 ( 1)2

+ + − =

x y z 2 ( 2)2 2.

+ + + =

x y z

C. 2 2

+ + =

x y z 2 ( 4)2 2.

+ + − =

x y z

D. 2 2

+ + =

x y z 2 ( 1)2 2.

+ + − =

x y z

Câu 39. Cho đường thẳng :

2

+ = − =

−

x y z

d điểm I(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S tâm

(15)

A. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =18. B. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =12. C. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =16. D. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =9.

Câu 40. Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình ( )P x: −2y z+ − =1 ( )Q : 2x y z+ − + =3 Mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt phẳng ( )Q điểm M , biết

M thuộc mặt phẳng (Oxy) có hồnh độ xM =1, có phương trình là:

A. (x−21) (2+ y−5) (2+ +z 10)2 =600 B. (x+19) (2+ y+15) (2+ −z 10)2 =600 C. (x−21) (2+ y−5) (2+ +z 10)2 =100 D. (x+21) (2+ y+5) (2+ −z 10)2 =600

Câu 41. Cho hai điểm M(1;0;4), N(1;1;2) mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2x+2y− =2 0. Mặt phẳng ( )P qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( )S có phương trình:

A.4x+2y z+ − =8 4x−2y z− + =8 B. 2x+2y z+ − =6 2x−2y z− + =2

C. 2x+2y z+ − =6

D.2x−2y z− + =2

Câu 42. Cho hai điểm A(1; 2;3 , − ) (B −1;0;1) mặt phẳng ( )P x y z: + + + =4 Phương trình mặt cầu ( )S có bán kính

6

AB có tâm thuộc đường thẳng AB ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

A. ( 4) (2 3) (2 2)2

− + + + − =

x y z

B. ( 4) (2 3) (2 2)2

− + + + − =

x y z ( 6) (2 5) (2 4)2

− + + + − =

x y z

C. ( 4) (2 3) (2 2)2

+ + − + + =

x y z

D. ( 4) (2 3) (2 2)2

+ + − + + =

x y z ( 6) (2 5) (2 4)2

+ + − + + =

x y z

Câu 43. Cho đường thẳng d:

2

− = − = −

x y z và hai mặt phẳng ( )

1 : 2 0;

P x+ y+ z− = ( )P2 : 2x y+ +2 0z− = Mặt cầu có tâm I nằm d tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( )P1 , P2 , có phương trình:

A.( ) (S : x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9

B.( ) (S : x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 ( ): 19 16 15

17 17 17 289

 +  + +  + +  =

     

     

S x y z

C.( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9

D.( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9 ( )

2 2

19 16 15

:

17 17 17 289

 +  + −  + −  =

     

     

S x y z

Câu 44. Cho điểm A(1;3;2), đường thẳng :

2

+ −

= =

− −

x y z

d mặt phẳng ( ) : 2P x−2y z+ − =6 Phương trình mặt cầu ( )S qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

(16)

B.( ) : (S x+1) (2+ y+3) (2+ −z 2)2 =16 hoặc ( ) : 83 87 70 13456.

13 13 13 169

 −  + +  + +  =

     

     

S x y z

C.( ) : ( 1) (S x− 2+ y−3) (2+ +z 2)2 =16 hoặc ( ) : 83 87 70 13456.

13 13 13 169

 +  + −  + −  =

     

     

S x y z

D.( ) :S (x−1) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =16

Câu 45. Cho mặt phẳng ( )P x: −2y−2 10 0z+ = hai đường thẳng 1: 12 1 11

− −

∆ = =

−

x y z ,

2: 12 1 43

− +

∆ x = =y z Mặt cầu ( )S có tâm thuộc ∆1, tiếp xúc với ∆2 mặt phẳng ( )P , có phương trình:

A.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9 hoặc 11 81.

2 2

 −  + −  + +  =

     

x  y  z 

B.(x+1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =9 hoặc 11 81.

2 2

 +  + +  + −  =

     

x  y  z 

C.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9. D.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =3.

Câu 46. Cho mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S có phương trình

( )P : 2x+2y z m+ − 2+4m− =5 0; ( ) :S x2+y2+z2−2x+2y−2z− =6 0 Giá trị m để ( )P tiếp xúc ( )S là:

A.m= −1hoặc m=5 B. m=1 m= −5

C. m= −1 D. m=5

Câu 47. Cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 0 và mặt phẳng ( )P x y: + −2z+ =4 0 Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S A(3; 1;1− ) song song với mặt phẳng ( )P là:

A.

3 = − 

 = − + 

 = + 

x t

y t

z t

B.

1 = + 

 = − − 

 = − − 

x t

y t

z t

C.

3 = + 

 = − − 

 = − 

x t

y t

z t

D.

3 = + 

 = − + 

 = + 

x t

y t

z t

Câu 48. Cho điểm A(2;5;1) mặt phẳng ( ) : 6P x+3y−2z+24 0= , H hình chiếu vng góc A

trên mặt phẳng ( )P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng ( )P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A.(x−8) (2 + y−8) (2+ +z 1)2 =196 B.(x+8) (2+ y+8) (2+ −z 1)2 =196

C.(x+16) (2+ y+4) (2+ −z 7)2 =196 D.(x−16) (2 + y−4) (2+ +z 7)2 =196

Câu 49. Cho mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − + =5 điểm A(0;0;4 , 2;0;0) (B ) Phương trình mặt cầu qua O A B, , tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =6 B.(x+1) (2+ y+1) (2+ +z 2)2 =6

(17)

Câu 50. Cho mặt phẳng ( )P x: +2y−2z+ =2 điểm A(2; 3;0− ) Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán kính Tọa độ điểm B là:

A.(0;1;0 ) B.(0; 4;0 − ) C.(0;2;0) (0; 4;0 − ) D.(0;2;0 )

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+3y z− + =2 0, ( ) : 2Q x y z− − + =2 Phương trình mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại điểmA(1; 1;1− ) vàcótâm thuộc mặt phẳng ( )Q là:

A.( ) :S (x+3) (2+ y+7) (2+ −z 3)2 =56 B.( ) :S (x−3) (2+ y−7) (2+ +z 3)2 =56 C.( ) :S (x+3) (2+ y+7) (2+ −z 3)2 =14 D.( ) :S (x−3) (2+ y−7) (2+ +z 3)2 =14

Câu 52. Cho điểm (0;0;3)I đường thẳng

1

:

2 = − + 

 =   = + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:

A. 2 ( 3)2 3.

+ + − =

x y z B. 2 ( 3)2 8.

3

+ + − =

x y z

C. 2 ( 3)2 2.

+ + − =

x y z D. 2 ( 3)2 4.

3

+ + − =

x y z

1 1

+ −

∆ = =

− −

x y z và mặt cầu (S

): x2 +y2+z2+4x−2y−21 0= Số giao điểm ( )∆ ( )S là:

A 2. B.1. C.0. D.3.

2

+ − +

= =

x y z

d mặt cầu (S) : x2+y2+ +(z 2)2 =9 Tọa độ giao điểm ( )∆ ( )S là:

A. A(0;0;2 , ) (B −2;2; − ) B.A(2;3;2 )

C A(−2;2; − ) D.( )∆ (S) không cắt

Câu 55. Cho đường thẳng ( )

1

:

4 = +   ∆  =

 = − + 

x t y

z t

và mặt cầu ( )S : x2+y2 +z2−2x−4y+6z−67 0= Giao điểm ( )∆ ( )S điểm có tọa độ:

A.( )∆ (S) không cắt B. A(1;2;5 ,) (B −2;0;4 ) C.A(2; 2;5 , 4;0;3 − ) (B ) D.A(1;2; , 2;2;3 − ) (B )

Câu 56. Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng : 1

1

− = − = +

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB=4 là:

A.(x−1)2+y2+z2 =9. B.(x−1)2+y2+z2 =3. C. (x+1)2+y2+z2 =3. D. (x+1)2+y2+z2 =9.

Câu 57. Cho điểm I(1;1; 2− ) đường thẳng :

1

+ − −

= =

x y z

(18)

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =24 D.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =54

1

− − +

= =

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A.(x−1)2+y2+z2 =12. B (x−1)2+y2+z2 =10. C. (x+1)2+y2+z2 =8. D.(x−1)2+y2+z2 =16.

Câu 59. Cho điểm I(1;0;0)và đường thẳng

1

:

2 = +   = + 

 = − + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A.( 1)2 2 20.

x+ +y +z = B ( 1)2 2 20.

3 x− +y +z = C. ( 1)2 2 16.

4

− + + =

x y z D.( 1)2 2 5.

3

− + + =

x y z

Câu 60. Cho điểm I(1;1; 2− ) đường thẳng

1

:

2 = − + 

 = +   = + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =3 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9 C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =9 D.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =36.

1

+ = − = −

x y z

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =24 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =24 C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =18 D.(x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =18

1

+ = − = −

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho IAB=30o là:

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =72 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =36

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =66 D.(x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =46

Câu 63. Phương trình mặt cầu có tâm I(3; 3; 7− ) tiếp xúc trục tung là:

A. (x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =61 B.(x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =58 C. (x+3)2+(y+ 3)2+ −(z 7)2 =58 D.(x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =12

Câu 64. Phương trình mặt cầu có tâm I( 5;3;9) tiếp xúc trục hoành là:

(19)

Câu 65. Phương trình mặt cầu có tâm I(− 6;− 3; 1− ) tiếp xúc trục Oz là:

A.(x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1+ )2 =9 B.(x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1− )2 =9 C. (x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1− )2 =3 D. (x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1+ )2 =3

Câu 66. Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6; 1− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A.(x−4) (2+ y−6) (2+ +z 1)2 =26 B (x−4) (2+ y−6) (2+ +z 1)2 =74 C. (x−4) (2+ y−6) (2+ +z 1)2 =34 D.(x−4) (2+ y−6) (2+ +z 1)2 =104

Câu 67. Phương trình mặt cầu có tâm I( 3;− 3;0) cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A.(x+ 3) (2+ y− 3)2+z2 =8. B.(x− 3) (2+ y+ 3)2+z2 =9. C. (x+ 3) (2+ y− 3)2+z2 =9. D (x− 3) (2+ y+ 3)2+z2 =8.

Câu 68. Phương trình mặt cầu có tâm I(3;6; 4− ) cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng là:

A ( ) (2 ) (2 )2

3 49

− + − + + =

x y z B.(x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =45

C. (x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =36 D.(x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =54

Câu 69. Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 1− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S):

A (2;1;1 ) B. (2;1;0 ) C. (2;0;0 ) D. (1;0;0 )

Câu 70. Gọi (S) mặt cầu có tâm I(1; 3;0− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều Điểm sau không thuộc mặt cầu (S):

A. (− −1; 3;2 ) B. (3; 3;2 − ) C. (3; 3; 2 − − ) D (2; 1;1 − )

Câu 71. Cho điểm I(−1;0;0) đường thẳng : 1

1

− − −

= =

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và tiếp xúc d là:

A (x+1)2+y2+z2 =5. B.(x−1)2+y2+z2 =5. C. (x+1)2+y2+z2 =10. D.(x−1)2+y2+z2 =10.

Câu 72. Cho điểm I(1;7;5)và đường thẳng :

2

− = − =

−

x y z

d Phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d tạihai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 6015 là: A.(x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2018 B (x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2017

C. (x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2016 D.(x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2019

Câu 73. Cho điểm A(1;3;1) B(3;2;2) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz có đường kính là:

(20)

Câu 74. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1) B(0;1;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hồnh có đường kính là:

A 2 B. C. D. 12

Câu 75. Cho điểm A(2;1; 1− ) B(1;0;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là:

A. 2 B 2 C. D.

Câu 76. Cho điểm A(0;1;3) B(2;2;1) đường thẳng :

1

− − −

= =

− −

x y z

d Mặt cầu qua

hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là: A 13 17 12; ;

10 10

 

 

  B.

3 3; ;2 2

 

 

  C.

4 7; ; . 3

 

 

  D.

6 13; ; . 5

 

 

 

2 1

−

= =

x y z

d Mặt cầu  S qua hai điểm A, B tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm  S là:

A. (4;5;2 ) B.(6;6;3 ) C (8;7;4 ) D. (−4;1; − )

1 1

− −

= =

−

x y z

d Mặt cầu  S qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm  S là:

A. 11 23 7; ; 6 −

 

 

  B.

5 23; ; . 6

 

 

  C.

5 25; ; . 6

 

 

  D.

1 19; ; . 6

 

 

 

1 =   = − +   =  x t

d y t

z

Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d và trục Ox là:

A.( 1)2 ( 2)2 1.

− + + − =

x y z B.( 1)2 ( 2)2 1.

4

+ + + + =

x y z

C. ( 1)2 2 1.

− + + =

x y z D 2 1.

3

 −  + + −  =

   

x  y z 

Câu 80. Cho hai đường thẳng

2 : =   =   =  x t d y t

z

và

' ': '

0 x t

d y t

z  =  = −   = 

Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là:

A ( ) (2 ) (2 )2

2

− + − + − =

x y z B. (x−2)2+y2+z2 =4.

C. (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =2 D.(x+2) (2+ y+1)2+z2 =4.

Câu 81. Cho điểm A(−2;4;1) B(2;0;3) đường thẳng :

2

− = + = −

− −

x y z

d Gọi ( )S mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng:

A 1169

(21)

Câu 82. Cho điểm A(2;4; 1− ) B(0; 2;1− ) đường thẳng

1

:

1

= +   = −   = + 

x t

d y t

z t

Gọi ( )S mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu ( )S bằng:

A.2 19 B.2 17 C. 19 D. 17

Câu 83. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình: A. ( ) (2 ) (2 )2

2 16

− + − + − =

x y z B. ( ) (2 ) (2 )2

2 36

− + − + − =

x y z

C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =4 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56

Câu 84. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

A. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =16 B. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =4 C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =36 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56

Câu 85. Phương trình mặt cầu tâm I(2;4;6) sau tiếp xúc với trục Ox:

A. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =20 B. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =40 C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =52 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56

Câu 86. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A ( ) (2 ) (2 )2

2 20

− + − + − =

x y z B. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =40

C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =52 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56

Câu 87. Cho mặt cầu ( )S : (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9 Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

A. (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 B. (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9

C. (x−1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 D. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9

Câu 88. Cho mặt cầu ( )S : (x+1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =4 Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

A ( ) (2 ) (2 )2

1

− + + + − =

x y z B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =4

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =4 D. (x+1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =4

Câu 89. Đường tròn giao tuyến ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =16 cắt mặt phẳng (Oxy) có chu vi :

(22)

D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 8.2

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A A B C A B D A A D A B B A B A C A D A 81 82 83 84 85 86 87 88 89

A A B A C A D A B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Phương trình sau phương trình mặt cầu ?

A.x2+y2+z2−2x=0. B. x2+y2−z2+2x y− + =1 0. C 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 1.x− D (x y+ )2 =2xy z− −1. Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ( )S có hai dạng là: (1) (x a− ) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2;

(2) x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 với a b c d2+ 2+ − >2 0

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

A x2+y2+z2−2x=0. B. 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 1.x− C x2+y2+z2+2x−2y+ =1 0. D. (x y+ )2 =2xy z− + −1 x

Hướng dẫn giải:

Phươngtrình mặt cầu ( )S có hai dạng : (1) (x a− ) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2;

(2) x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 với a b c d2+ 2+ − >2 0

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

Ở đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Tuy nhiên đáp án A phương trình: 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 1x− ⇔ x2+y2+z2−2xy−2 0x+ = khơng dạng phương trình mặt cầu

(23)

C (2 1x− ) (2+ 2y−1) (2+ 1z+ )2 =6 D (x y+ )2 =2xy z− 2+ −3 x Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ( )S có hai dạng là: (1) (x a− ) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2;

(2) x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 với a b c d2+ + − >2 0

Từ ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, thực phép biến đổi đưa phương trình cho trước hai dạng

Phương trình đáp án B, C, D thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu Ví dụ :

C ( ) ( ) ( )

2 2

2 2 1

2 2

     

− + − + + = ⇔ −  + −  + +  =

     

x y z x y z

D (x y+ )2 =2xy z− 2+ −3 6x⇔ x2+y2+z2+6x− =3 0. Lựa chọn đáp án A

Câu 4. Cho phương trình sau: (x−1)2+y2+z2 =1; x2+(2y−1)2+z2 =4; 2+ 2+ 2+ =1 0;

x y z (2 1x+ ) (2+ 2y−1)2+4z2 =16. Số phương trình phương trình mặt cầu là:

A.4 B.3 C D.1

Ta có: (2 1) (2 2 1)2 4 16 2 4

2

x+ + y− + z = ⇔x+  +y−  +z =

   

(x−1)2+y2+z2 =1là phương trình mặt cầu Lựa chọn đáp án A

Câu 5. Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2)2+z2 =9 có tâm là:

A I(1; 2;0 − ) B I(−1;2;0 ) C I(1;2;0 ) D I(− −1; 2;0 ) Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ( )S có dạng (x a− ) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2 có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R

Câu 6. Mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−8x+2y+ =1 0 có tâm là:

A I(8; 2;0 − ) B I(−4;1;0 ) C I(−8;2;0 ) D I(4; 1;0 − )

Phương trình mặt cầu ( )S có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 với 2+ 2+ − >2 0

a b c d , có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R= a b c d2+ 2+ −2 Lựa chọn đáp án A

(24)

Câu 8. Phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2; 3− ), bán kính R=3 là:

A (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 B (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =3 C (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 D (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 Hướng dẫn giải:

Mặt cầu có tâm I(−1;2; 3− ), bán kính R=3 có hương trình : (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 Lựa chọn đáp án A

Câu 9. Mặt cầu ( ) (S : x y+ )2 =2xy z− 2+ −1 4x có tâm là:

A I(−2;0;0 ) B I(4;0;0 ) C I(−4;0;0 ) D I(2;0;0 ) Hướng dẫn giải:

Biến đổi (x y+ )2 =2xy z− 2+ −1 4x⇔x2+y2+z2+4 0x− = Vậy mặt cầu có tâm I(−2;0;0 )

Câu 10. Đường kính mặt cầu ( )S x: +y2+ −(z 1)2 =4 bằng:

A.4 B 2. C 8. D 16.

Mặt cầu ( )S có bán kính R=2 suy đường kính có độ dài: 2R=4

Câu 11. Mặt cầu có phương trình sau có tâm I(−1;1;0 ?)

A x2+y2+z2−2x+2y=0. B. x2+y2+z2+2x−2y+ =1 0. C 2x2+2y2 =(x y+ )2−z2+2 x− − xy D (x y+ )2 =2xy z− + −1 x Hướng dẫn giải:

Câu 12. Mặt cầu ( )S : 3x2+3y2+3z2−6 12x+ y+ =2 0 có bán kính bằng: A

3 . B

2

3 . C

21

3 . D

13

Biến đổi 3 3 3 6 12 2 0 2 2 4 0

x + y + z − x+ y+ = ⇔x +y +z − x+ y+ = có tâm I(1; 2;0− ), bán kính 13

3

R= Lựa chọn đáp án A

Câu 13. Gọi I là tâm mặt cầu ( )S x: 2+y2+ −(z 2)2 =4 Độ dài OI (O là gốc tọa độ) bằng:

(25)

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;0;2)⇒OI=(0;0;2)⇒ OI =2 Lựa chọn đáp án A

Câu 14. Phương trình mặt cầu có bán kính tâm giao điểm ba trục toạđộ? A x2+y2+z2−6z=0. B x2 +y2+z2−6y=0.

C x2+y2+z2 =9. D. x2+y2+z2−6x=0. Hướng dẫn giải:

Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính R=3 có phương trình: ( )S x: 2+y2+z2 =9. Lựa chọn đáp án A

Câu 15. Mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2x+10y+3 0z+ = đi qua điểm có tọa độnào sau đây? A (2;1;9 ) B (3; 2; − − ) C (4; 1;0 − ) D (−1;3; − ) Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay tọa độ điểm vào phương trình mặt cầu Tọa độ điểm thỏa mãn phương trình điểm thuộc mặt cầu

Câu 16. Mặt cầu tâm I(−1;2; 3− ) qua điểm A(2;0;0) có phương trình:

A (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =22 B (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =11 C (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =22 D. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =22 Hướng dẫn giải:

Ta có : IA=(3; 2;3− )⇒IA= 22

Vậy ( ) (S : x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =22 Lựa chọn đáp án A

Câu 17. Cho hai điểm A(1;0; 3− ) B(3;2;1) Phương trình mặt cầu đường kính AB là: A x2+y2+z2−4x−2y+2z=0. B x2+y2+z2+4x−2y+2z=0. C x2+y2+z2−2x y z− + − =6 0. D. x2+y2+z2−4x−2y+2z+ =6 0. Hướng dẫn giải:

Ta có AB=(2;2;4)⇒AB=2 Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên (2;1; 1− )

I , bán kính

2 AB

R= =

Câu 18. Nếu mặt cầu ( )S qua bốn điểm M(2;2;2 , 4;0;2 , 4;2;0) (N ) (P ) Q(4;2;2) tâm I

của ( )S có toạđộ là:

A (− −1; 1;0 ) B (3;1;1 ) C (1;1;1 ) D (1;2;1 )

Gọi phương trình mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0, (a b c d2+ 2+ − >2 0) Do M(2;2;2) ( )∈ S ⇔ − −4a 4b−4c d+ = −12 (1)

(4;0;2) ( ) 20

N ∈ S ⇔ − −a c d+ = − (2)

(4;2;0) ( )

P ∈ S ⇔ − −8a 4b d+ = −20 (3)

(4;2;2) ( ) 4 24

(26)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a=1, b=2, c=1, d = −8, suy mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1)

Câu 19. Bán kính mặt cầu qua bốn điểm M(1;0;1 , 1;0;0 , 2;1;0) (N ) (P ) Q(1;1;1) bằng: A.

2 B C 1. D

3. Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình mặt cầu ( )S có dạng x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 với 2+ 2+ − >2 0

a b c d Do ( )S qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:

2

2 2

1

2

4 1

2 2 2

2  = 

− − + = −

 

− + = −  =

 ⇔

− − + = − 

 

=

− − − + = − 

 

 = 

a

a c d

a d b

a b d

c

a b c d

d

Vậy

2 2

3 1 2 3.

2 2

     

=   +  +  − =

     

R

Câu 20. Cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2− =4 0 và điểm M(1;2;0 , 0;1;0 , ) (N ) P(1;1;1), Q(1; 1;2− ) Trong bốn điểm đó, có điểm khôngnằm mặt cầu ( )S ?

A.2 điểm B 4 điểm C.1 điểm D.3 điểm Hướng dẫn giải:

Lần lượt thay tọa độcác điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu ( )S , ta thấy có tọa độ điểm Q thỏa mãn

Câu 21. Mặt cầu ( )S tâm I(−1;2; 3− ) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P x: +2y+2 0z+ = có phương trình:

A ( 1) (2 2) (2 3)2

− + + + − =

x y z B ( 1) (2 2) (2 3)2

9

+ + − + + =

x y z

C ( 1) (2 2) (2 3)2

+ + − + + =

x y z D ( 1) (2 2) (2 3)2 16

3

+ + − + + =

x y z

Mặt cầu ( )S tâm I, tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( ;( ))

⇔ = ⇔ =

P d I P R R

( )

⇒ S : ( 1) (2 2) (2 3)2

+ + − + + =

x y z

Câu 22. Phương trình mặt cầu có tâm I(2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng ( )P x: +2y+2z+ =2 0?

A (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =16 B (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =4

C (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =25 D. (x+2) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =9 Hướng dẫn giải:

(27)

( )

⇒ S : (x−2) (2+ y−1) (2 + −z 3)2 =16 Lựa chọn đáp án A

Câu 23. Mặt cầu ( )S tâm I(3; 3;1− ) qua A(5; 2;1− )có phương trình:

A.(x−3) (2 + y+3) (2+ −z 1)2 =5 B.(x−5) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =5 C.(x−3) (2 + y+3) (2+ −z 1)2 = D.(x−5) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 = Hướng dẫn giải:

 Bán kính mặt cầu là: R IA= = 2 02 + +2 = 5

Vậy phương trình mặt cầu là: ( ) (S : x−3) (2+ y+3) (2+ −z 1)2 =5 Lựa chọn đáp án A

Câu 24. Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A(1;3;2 , 3;5;0) (B ) là:

A.(x−2) (2+ y−4) ( 1)2+ −z =3. B.(x−2) (2+ y−4) ( 1)2+ −z =2. C.(x+2) (2+ y+4) ( 1)2+ +z =2. D.(x+2) (2+ y+4) ( 1)2+ +z =3. Hướng dẫn giải:

Trung điểm đoạn thẳng AB I(2;4;1), AB= 22+2 ( 2)2+ − =2 3 Mặt cầu đường kính AB có tâm I(2;4;1), bán kính

2 = AB = R

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−2) (2+ y−4) ( 1)2+ −z =3. [Phương pháp trắc nghiệm]

Ta có: 2R AB= = 2 ( 2)2+ 2+ − =2 3⇔ =R 3. ⇒ Các đáp án B C bị loại

Với đáp án D thì: (1 2) (3 4) (2 1)+ 2+ + 2+ + = ⇔3 67 3= ⇒ ∉A ( )S ⇒ Đáp án D bị loại

Câu 25. Cho I(1;2;4) mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ − =1 Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P , có phương trình là:

A.(x−1) (2+ y+2) (2+ −z 4)2 =4 B.(x+1) (2+ y+2) (2+ +z 4)2 =1 C.(x−1) (2+ y−2) (2+ −z 4)2 =4 D.(x−1) (2+ y−2) (2+ −z 4)2 =3.

Bán kính mặt cầu : ( ,( )) 2.1 2.2 12 2 2 2

R d I= α = + + − =

+ +

Phương trình mặt cầu là: ( 1) (x− 2+ y−2) (2+ −z 4)2 =3 Lựa chọn đáp án A

1

− +

= =

−

x y z

d điểm A(5;4; 2− ) Phương trình mặt cầu qua điểm A có tâm giaođiểm d với mặt phẳng (Oxy) là:

(28)

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z=0

Tâm I giao điểm d với mặt phẳng (Oxy)⇒ ∈ ⇒I d I t( ;1 ; 1+ t − −t)  I∈(Oxy)⇒ − − = ⇒ = − ⇒ − −1 t t I( 1; 1;0)⇒IA=(6;5; 2− )

Bán kính mặt cầu là: R IA= = 6 ( 2)2+ + −2 = 65

Vậy phương trình mặt cầu ( ) (S : x+1) (2+ y+1)2+z2 =65 Lựa chọn đáp án A

Lưu ý : Để làm học sinh phải nhớ phương trình tổng quát mặt phẳng (Oxy) loại đáp án D

Câu 27. Cho ba điểm (6; 2;3)A − , B(0;1;6), C(2;0; 1)− , D(4;1;0) Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A.x2+y2+z2−4x+2y−6z− =3 0. B.x2+y2+z2+4x−2y+6z− =3 0. C.x2+y2+z2−2x y+ −3 0.z− = D.x2+y2+z2+2x y− +3 0.z− = Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2+y2+z2−2Ax−2By−2Cz D+ =0, ta có : (6; 2;3) ( ) 49 12 (1)

(0;1;6) ( ) 37 12 (2)

(2;0; 1) ( ) (3)

(4;1;0) ( ) 17 (4)

− ∈ − + − + =

 

 ∈  − − + =

 ⇔

 − ∈  − + + =

 

 ∈  − − + =

 

A S A B C D

B S B C D

C S A C D

D S A B D

Lấy ( ) ( )1 − ; ( ) ( )2 − ; ( ) ( )3 − ta hệ:

12 6 12

4 14 32

4 2 12

− + + = − =

 

 − − = − ⇔ = − ⇒ = −

 

 + + =  =

 

A B C A

A B C B D

A B C C

Vậy phương trình măt cầu là: x2+y2+z2−4x+2y−6z− =3 0 Lựa chọn đáp án A

Lưu ý : Ở máy tính Casio giúp giải nhanh chóng hệ phương trình bậc ba ấn tạo để tìm hệ số phương trình mặt cầu tổng quát (Ta dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ điểm vào đáp án tìm đáp án đúng)

Câu 28. Cho ba điểm A(2;0;1 , 1;0;0 , 1;1;1) (B ) (C ) mặt phẳng ( )P x y z: + + − =2 Phương trình mặt cầu qua ba điểm A B C, , có tâm thuộc mặt phẳng ( )P là:

A. x2+y2+z2− +x 2 0.z+ = B. x2+y2+z2− −x 2y+ =1 0. C. x2+y2+z2−2x+2y+ =1 0. D. x2+y2+z2−2x−2 0.z+ = Hướng dẫn giải:

Phương mặt cầu ( )S có dạng: x2+y2+z2−2Ax−2By−2Cz D+ =0, ta có : (2;0;1) ( ) (1)

(1;0;0) ( ) (2) (1;1;1) ( ) 2 (3)

( ) (4)

A S A C D

B S A D

C S A B C D

I P A B C

∈ − − + = −

 

 ∈ − + = −

 ⇔

 ∈ − − − + = −

 

 ∈  + + =

 

(29)

2

2 2

2

− − = − =

 

 + = ⇔ = ⇒ =

 

 + + =  =

 

A C A

B C B D

A B C C

Vậy phương trình mặt cầu : x2+y2+z2−2x−2 0z+ = Lựa chọn đáp án A

Lưu ý : Ở câu nhanh trí sử dụng máy tính cầm tay thay tọa độ tâm mặt cầu đáp án vào phương trình mặt phẳng ( )P để loại đáp án có tọa độ tâm khơng thuộc mặt phẳng ( )P

Câu 29. Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;3− ) tiếp xúc với trục Oylà:

A. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 B. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =16 C. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =8 D. (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =10 Hướng dẫn giải:

Gọi M hình chiếu I(1; 2;3− ) lên Oy, ta có M(0; 2;0− )  IM= −( 1;0; 3− ⇒ =) R IM = 10 bán kính mặt cầu cần tìm Vậy phương trình mặt cầu : (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =10 Lựa chọn đáp án A

Câu 30. Cho điểm A(−2;4;1 , 2;0;3) (B ) đường thẳng

1

:

2 = +   = + 

 = − + 

x t

d y t

z t

Gọi ( )S mặt cầu qua ,

A B có tâm thuộc đường thẳng d Bán kính mặt cầu ( )S bằng:

A.3 B. C.3. D.2

Tâm I d∈ ⇒I(1 ;1 ; 2+t + t − +t)

 AI = + − +(3 ; ; 3t t − +t); BI= − +( ;1 ; 5t + t − +t) Vì ( )S qua A B, nên ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2 3 3 2 3 1 1 2 5

4 0 3; 3;

= ⇔ = ⇔ + + − + + − + = − + + + + − +

⇔ = ⇔ = ⇒= − −

IA IB IA IB t t t t t t

t t IA

Vậy bán kính mặt cầu ( )S : R IA= = 32+ −( ) ( )3 2+ −3 =3 3. Lựa chọn đáp án A

Câu 31. Cho điểm A(1; 2;3− ) đường thẳng d có phương trình

2 1

+ = − = +

−

x y z Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d là:

A. (x–1) (2+ y+2) (2+ z– 3)2 = 50 B. (x–1) (2+ y+2) (2+ z– 3)2 =5 C. (x–1) (2+ y+2) (2+ z– 3)2 =50 D. (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =50

 ( , ) , 196 100 1

 

  + +

= = =

+ +  

 BA a d A d

(30)

Phương trình mặt cầu tâm A(1; 2;3− ), bán kính R=5 ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: –1 – 50

S x + y+ + z =

Lựa chọn đáp án C

Câu 32. Cho đường thẳng d: 1

3 1

− = + =

x y z và mặt phẳng ( )P : 2x y+ −2z+ =2 0 Phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm đường thẳng d có bán kính nhỏ tiếp xúc với ( )P qua điểm A(1; 1;1− ) là:

A.(x+2) (2+ y+2) (2+ +z 1)2 =1 B.(x−4)2+y2+ −(z 1)2 =1. C.(x−1) (2+ y+1)2+z2 =1. D.(x−3) (2+ y−1) (2 + −z 1)2 =1. Hướng dẫn giải:

Gọi I tâm (S) (1 ; ; )

I d∈ ⇒I + t − +t t Bán kính R IA= = 11t2− +2 1t Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với ( )S nên ( ,( ))

3

+

= t =

d I P R

⇔ 37t2−24 0t= ⇔

24 77

37 37

= ⇒ =

 

 = ⇒ =



t R

Vì ( )S có bán kính nhỏ nên chọn t=0,R=1 Suy I(1; 1;0− ) Vậy phương trình mặt cầu (S): (x−1) (2+ y+1)2+z2 =1

Câu 33. Phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) là:

A.x2+y2+z2+2x+4y+6 10 0.z− = B. x2+y2+z2−2x−4y−6 10 0.z+ = C. x2+y2+z2−2x−4y+6 10 0.z+ = D.x2+y2+z2+2x+4y+6 10 0.z− = Hướng dẫn giải:

Gọi M hình chiếu I(1;2;3) lên mặt phẳng (Oxz), ta có: M(1;0;3)  IM=(0; 2;0− )⇒ =R IM =2 bán kính mặt cầu cần tìm

Vậy phương trình mặt cầu (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =4 Hay x2+y2+z2−2x−4y−6 10 0.z+ =

Lựa chọn đáp án B

Câu 34. Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu tâm I(1; 3;2− ) điểm M(7; 1;5− ) có phương trình là: A. 6x+2y+3z+55 0.= B. 3x y z+ + −22 0.=

C. 6x+2y+3 55 0.z− = D.3x y z+ + +22 0.= Hướng dẫn giải:

 Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3;2− )

Vì mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt cầu ( )S điểm M nên mặt phẳng ( )P qua M(7; 1;5− ) có vectơ pháp tuyến n IM = =(6;2;3)

(31)

Lưu ý : Vì mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm M(7; 1;5− ) nên điểm M thuộc mặt phẳng cần tìm khoảng cách từ tâm I(1; 3;2− ) đến mặt phẳng cần tìm IM là bán kính mặt cầu Từ nhận xét để tìm đáp án ta làm sau: B1: Thay tọa độ M vào đáp án để loại mặt phẳng không chứa M

B2: Tính IM d I P( ;( )) kết luận

Câu 35. Cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2−2x−4y−6z− =2 0 và mặt phẳng ( ) : 4α x+3y−12 10 0z+ = Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S song song với ( )α có phương trình là:

A.4x+3y−12z+78 0.=

B.4x+3y−12z−78 0= 4x+3y−12z+26 0.= C.4x+3y−12z−26 0.=

D.4x+3y−12z+78 0= 4x+3y−12z−26 0.= Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R= 1 42+ 2+ + =2 Gọi ( )β mặt phẳng tiếp xúc với ( )S song song với ( )α Vì ( ) / /( )β α ⇒( ) : 4β x+3y−12z D+ =0 (D 10)≠

Mặt phẳng ( )β tiếp xúc với mặt cầu ( )S ( ( ))

( )2

2

4.1 3.2 12.3

,

4 12

β + − +

⇔ = ⇔ =

+ + − D

d I R

78 26 52

26 = 

⇔ − = ⇔ 

= − 

D D

D ( thỏa điều kiện)

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4β x+3y−12z+78 0= ( ) : 4β x+3y−12z−26 0= Lựa chọn đáp án D

Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học tốn ta dự đốn có mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề

Câu 36. Cho mặt cầu ( ) :S (x−2) (2+ y+1)2+z2 =14 Mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A B ( <0)

A

z

Phương trình sau phương trình tiếp diện ( )S B: A. 2x y− −3z+ =9 B. 2x y− −3 0.z− = C. x−2y z− − =3 D. x−2y z+ + =3

Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1;0− ) Vì A Oz∈ ⇒A(0;0;zA) (zA <0)

 ( ) (0 2) (2 0 1)2 14 9 3

A A A

A S∈ ⇒ − + + +z = ⇒z = ⇒z = −

Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz A(0;0; 3− ) B(0;0;3) Gọi ( )α tiếp diện mặt cầu ( )S B

Mặt phẳng ( )α qua B(0;0;3) có vectơ pháp tuyến n IB = = −( 2;1;3) Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 2α x y− −3z+ =9

Câu 37. Cho điềm A(3; 2; , 3;2;0 , 0;2;1− − ) (B ) (C ) D(−1;1;2) Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là:

(32)

C. (x+3) (2+ y−2) (2+ −z 2)2 = 14 D. (x−3) (2+ y+2) (2+ +z 2)2 =14 Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (BCD)đi qua B(3;2;0)và có vectơ pháp tuyến n=BC BD , =(1;2;3) ( ) :

⇒ BCD x+ y+ z− =

Vì mặt cầu ( )S có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)nên bán kính

( )

( , ) 2 7( )2 2 ( )2 14

R d A BCD= = + − + − − =

+ +

Vậy phương trình mặt cầu ( ) (S : x−3) (2+ y+2) (2+ +z 2)2 =14 Lựa chọn đáp án D

Câu 38. Cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y z+ − =2 Mặt cầu ( )S có tâm I thuộc trục Oz, bán kính

14 tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình: A. 2 ( 3)2

7

+ + − =

x y z 2 ( 4)2 2.

+ + − =

x y z

B. 2 ( 1)2

+ + − =

x y z 2 ( 2)2 2.

+ + + =

x y z

C. 2 2

+ + =

x y z 2 ( 4)2 2.

+ + − =

x y z

D. 2 2

+ + =

x y z 2 ( 1)2 2.

+ + − =

x y z

Vì tâmI Oz∈ ⇒I(0;0;z)

Mặt cầu ( )S có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P ( ( ))

2 2

2.0 3.0 2 ,

14

β + + −

⇔ = ⇔ =

+ + z

d I R

( )

0 0;0;0 2

4 0;0;4  = ⇒

⇔ − = ⇔ 

= ⇒ 

z I

z

z I

Vậy phương trình mặt cầu ( ): 2 2

+ + =

S x y z ( ): 2 ( 4)2 2.

+ + − =

S x y z

2

+ = − =

−

x y z

d điểm I(4;1;6) Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S tâm

I hai điểm A, B sao cho AB=6 Phương trình mặt cầu ( )S là:

A. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =18. B. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =12. C. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =16. D. (x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =9. Hướng dẫn giải:

 a=(2; 2;1− )là vectơ phương d

Gọi H hình chiếu vng góc I d trung điểm AB⇒HA=3 Ta có :

∈  

= 

H d IH a

( ;7 ;t)

∈ ⇒ − + −

(33)

(2 9;6 ;t 6) ⇒IH = t− − t −

  IH a. = ⇔ = ⇒0 t 4 IH= − − − ⇒( 1; 2; 2) IH =3

Trong ∆IAH vng Hcó: IA2 =IH2+HA2 = + =9 18 Vậy ( ) (S : x−4) (2+ y−1) (2+ −z 6)2 =18

Câu 40. Cho hai mặt phẳng ( )P , ( )Q có phương trình ( )P x: −2y z+ − =1 ( )Q : 2x y z+ − + =3

Mặt cầu có tâm nằm mặt phẳng ( )P tiếp xúc với mặt phẳng ( )Q điểm M , biết M thuộc mặt phẳng (Oxy) có hồnh độ xM =1, có phương trình là:

A. (x−21) (2+ y−5) (2+ +z 10)2 =600 B. (x+19) (2+ y+15) (2+ −z 10)2 =600 C. (x−21) (2+ y−5) (2+ +z 10)2 =100 D. (x+21) (2+ y+5) (2+ −z 10)2 =600 Hướng dẫn giải:

Vì M∈(Oxy) có hồnh độ nên M(1; ;0y )

Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )Q nên M∈( )Q ⇒M(1; 5;0− ) Gọi I a b c( ; ; ) tâm mặt cầu ( )S cần tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp ( )Q M nên IM ⊥( )Q Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến n =(2;1; 1− )

Ta có: ( ) ( )

1

,

= +  

⊥ ⇔ = ∈ ⇔ = − +

 = −   



a t

IM Q MI tn t b t

c t

( ) 2 5( ) 10 (21;5; 10 )

I∈ P ⇔ + − − + − − = ⇔ =t t t t ⇒I − Bán kính mặt cầu R d I Q= ( ;( ))=10

Vậy phương trình mặt cầu ( ) (S : x−21) (2+ y−5) (2+ +z 10)2 =600 Lựa chọn đáp án A

Câu 41. Cho hai điểm M(1;0;4), N(1;1;2) mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2x+2y− =2 0. Mặt phẳng ( )P qua M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( )S có phương trình:

A.4x+2y z+ − =8 4x−2y z− + =8 B. 2x+2y z+ − =6 2x−2y z− + =2

C. 2x+2y z+ − =6

D.2x−2y z− + =2 Hướng dẫn giải:

 Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1; 1;0)− bán kính R=2, MN =(0;1; 2− )

 Gọi n=(A B C, , )với A B C2+ 2+ >0 là vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P  Vì ( )P qua M, N nên n MN ⊥ ⇔n MN  = ⇔ −0 B 2C=0 1( )

 Mặt phẳng ( )P qua M(1;0;4) nhận n=(A B C, , ) vectơ pháp tuyến nên có phương trình

( − +1) ( − +0) ( −4)= ⇔0 + + z− −4 =0

(34)

 Mặt phẳng ( )P tiếp xúc với ( )S ( ( ))

2 2

1

; − + − −

⇔ = ⇔ =

+ +

A B C A C

d I P R

A B C ( )

2 2

4 2

B C A B C

⇔ + = + +

Từ (1) (2) ⇒A2−4C2 =0 (*)

 Trong (*), C=0 A=0, từ ( )1 suy B=0 (vơ lí) Do C ≠0 Chọn C= ⇒ = ±1 A

Với A=2, C =1, ta có B=2 Khi ( )P : 2x+2y z+ − =6 Với A= −2, C=1, ta có B=2 Khi ( )P : 2x−2y z− + =2

Vậy phương trình mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ − =6 ( )P : 2x−2y z− + =2 Lựa chọn đáp án B

Câu 42. Cho hai điểm A(1; 2;3 , − ) (B −1;0;1) mặt phẳng ( )P x y z: + + + =4 Phương trình mặt cầu ( )S có bán kính

6

AB có tâm thuộc đường thẳng AB ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

A. ( 4) (2 3) (2 2)2

− + + + − =

x y z

B. ( 4) (2 3) (2 2)2

− + + + − =

x y z ( 6) (2 5) (2 4)2

− + + + − =

x y z

C. ( 4) (2 3) (2 2)2

+ + − + + =

x y z

D. ( 4) (2 3) (2 2)2

+ + − + + =

x y z ( 6) (2 5) (2 4)2

+ + − + + =

x y z

Ta có AB= −( 2;2; 2− = −) 1; 1;1( − ) Bán kính mặt cầu

6

AB

R= =

Tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng AB nên tọađộ I có dạng I(1 ; ;3+ − −t t +t) Ta có: ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P ( ;( ))

7

6 3

= −

+ 

⇔ = ⇔ = ⇔ 

= − 

t t

AB d I P

t  t= − ⇒ −5 I( 4;3; 2− ) Mặt cầu (S) có phương trình ( 4) (2 3) (2 2)2

3

+ + − + + =

x y z

 t= − ⇒ −7 I( 6;5; 4− ) Mặt cầu (S) có phương trình ( 6) (2 5) (2 4)2

+ + − + + =

x y z

Câu 43. Cho đường thẳng d:

2

− − −

= =

x y z và hai mặt phẳng ( )

1 : 2 0;

P x+ y+ z− = ( )P2 : 2x y+ +2 0z− = Mặt cầu có tâm I nằm d tiếp xúc với mặt phẳng ( ) ( )P1 , P2 , có phương trình:

A.( ) (S : x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9

B.( ) (S : x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 ( )

2 2

19 16 15

:

17 17 17 289

 +  + +  + +  =

     

     

S x y z

(35)

D.( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9 ( )

2 2

19 16 15

:

17 17 17 289

 +  + −  + −  =

     

     

S x y z

I d∈ ⇒I t(2 1;+ t+2;2 3t+ )

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔d I P( ;( )1 )=d I P( ;( )2 ) 9

8 9 18

8 9

17 =  + = +   ⇔ + = + ⇔ ⇔ −  − = − − =   t t t t t

t t t

 t= ⇒0 I(1;2;3 ;) R= ⇒3 ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9

 ( )

2 2

18 19 16 15; ; ; : 19 16 15 .

17 17 17 17 17 17 17 17 289

       

= − ⇒ −  = ⇒  +  + −  + −  =

       

t I R S x y z

Câu 44. Cho điểm (1;3;2)A , đường thẳng :

2

+ = − =

− −

x y z

d mặt phẳng ( ) : 2P x−2y z+ − =6 Phương trình mặt cầu ( )S qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với ( )P là:

A.( ) :S (x−1) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =4

B.( ) : (S x+1) (2+ y+3) (2+ −z 2)2 =16 hoặc ( ) : 83 87 70 13456.

13 13 13 169

 −  + +  + +  =

     

     

S x y z

C.( ) : ( 1) (S x− 2+ y−3) (2+ +z 2)2 =16 hoặc ( ) : 83 87 70 13456.

13 13 13 169

 +  + −  + −  =

     

     

S x y z

D.( ) :S (x−1) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =16 Hướng dẫn giải:

d có phương trình tham số

1 = − +   = −   = −  x t y t z t

Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I(− +1 ;4 ; 2t − −t t) Theo đề bài, (S) có bán kính R IA d I P= = ( ;( ))

( ) (2 ) (2 )2 ( ) ( )

2 2

2

t t t

t t t − + − − − −

⇒ − + − + + =

+ +

2 16

9

3 −

⇔ t − + =t t 9 9( 2 9) (4 16)2 65 110 175 0 35 13 t

t t t t t

t =   ⇔ − + = − ⇔ + − = ⇔  = −  . Với t= ⇒1 I(1;3; ,− ) R= ⇒4 ( ) :S (x−1) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =16

Với 35 83 87 70; ; ; 116

13 13 13 13 13

 

= − ⇒ −  =

 

t I R

2 2

83 87 70 13456

( ) :

13 13 13 169

     

⇒  +  + −  + −  =

     

S x y z

(36)

Câu 45. Cho mặt phẳng ( )P x: −2y−2 10 0z+ = hai đường thẳng 1: 12 1 11

− −

∆ = =

−

x y z ,

2: 12 1 43

− +

∆ x = =y z Mặt cầu ( )S có tâm thuộc ∆1, tiếp xúc với ∆2 mặt phẳng ( )P , có phương trình:

A.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9 hoặc 11 81.

2 2

 −  + −  + +  =

     

x  y  z 

B.(x+1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =9 hoặc 11 81.

2 2

 +  + +  + −  =

     

x  y  z 

C.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9. D.( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =3. Hướng dẫn giải:

 1 : = +   ∆  =  = −  x t y t z t

; ∆2 qua điểm (2;0; 3)A − có vectơ phương =(1;1;4) 

a

Giả sử I(2 ; ;1 )+t t − ∈ ∆t 1 tâm R bán kính mặt cầu ( )S Ta có: AI =( ; ;4 )t t −t ⇒  AI a, 2 = (5 4;4 ;0)t− − t ⇒ ( )

2

, 5 4

;   −   ∆ = =   

AI a t

d I

a 2 2(1 ) 10 10

( ,( ))

3 4

+ − − − + +

= =

+ +

t t t t

d I P

 ( )S tiếp xúc với ∆2 ( )P ⇔ d I( , )∆ =2 d I P( ,( )) ⇔ 4t− = +t 10 ⇔ 72  =   = −  t t •Với

2 =

t ⇒ 11 7; ; 2

 − 

 

 

I ,

2 =

R ⇒( )

2 2

11 81

:

2 2

 −  + −  + +  =

     

     

S x y z

•Với t= −1 ⇒ I(1; 1;2),− R=3 ⇒ ( )S : ( 1) (x− 2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9 Lựa chọn đáp án A

Câu 46. Cho mặt phẳng ( )P mặt cầu ( )S có phương trình

( )P : 2x+2y z m+ − 2+4m− =5 0; ( ) :S x2+y2+z2−2x+2y−2z− =6 0 Giá trị m để ( )P tiếp xúc ( )S là:

A.m= −1hoặc m=5 B. m=1 m= −5

C. m= −1 D. m=5

 ( ) :S x2+y2+z2−2x+2y−2z− =6 0có tâm I(1; 1;1− ) bán kính R=3  ( )P tiếp xúc ( )S ⇔ d I P( ;( ))= R

2

2 2

2.1 2.( 1) 1.1 3 4 4 9

2

+ − + − + −

⇔ = ⇔ − + =

+ +

m m m m

2

4

5

4

 − + =  = −

⇔  ⇔ − − = ⇔  =

− + = − 



m m m

m m

m

m m

(37)

Câu 47. Cho mặt cầu ( )S x: 2+y2+z2−2x+4y+2z− =3 0 và mặt phẳng ( )P x y: + −2z+ =4 0 Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S A(3; 1;1− ) song song với mặt phẳng ( )P là:

A.

3 = −   = − +   = +  x t y t z t B. = +   = − −   = − −  x t y t z t C. = +   = − −   = −  x t y t z t D. = +   = − +   = +  x t y t z t

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− − ⇒) IA=(2;1;2) Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( )S 72

1  =   = −  t

t song song với mặt phẳng ( )P nên đường thẳng d có vettơ phương ad =n IA ( )P , =(4; 6; 1− − )

Vậy phương trình đường thẳng

3

:

1 = +   = − −   = −  x t

d y t

z t

Câu 48. Cho điểm A(2;5;1) mặt phẳng ( ) : 6P x+3y−2z+24 0= , H hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( )P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784π tiếp xúc với mặt phẳng

( )P H, cho điểm A nằm mặt cầu là:

A.(x−8) (2 + y−8) (2+ +z 1)2 =196 B.(x+8) (2+ y+8) (2+ −z 1)2 =196 C.( ) (2 ) (2 )2

16 196

+ + + + − =

x y z D.( ) (2 ) (2 )2

16 196

− + − + + =

x y z

Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( )P Suy

2

:

1 = +   = +   = −  x t

d y t

z t

 Vì H hình chiếu vng góc A ( )P nên H d= ∩( )P Vì H d∈ nên H(2 ;5 ;1 2+ t + t − t)

 Mặt khác, H∈( )P nên ta có: 6( + t) (+3 3+ t) (−2 2− t)+24 0= ⇔ = −t

Do đó, H(−4;2;3)

 Gọi I R, tâm bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu 784π, suy 4πR2 =784π ⇒ =R 14 Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( )P H nên IH ⊥( )P ⇒ ∈I d

Do tọa độ điểm I có dạng I(2 ;5 ;1 2+ t + t − t), với t≠ −1 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

( ) ( ) ( )

2 2

6 2 24 1

14

( ,( )) 14 6 ( 2)

1

14

2

6 14

 + + + − − +  =

= 

=

 ⇔ + + − ⇔ = − ⇔ =

 <  

  − < <

 + + − <



t t t t

d I P

t t

AI

t

(38)

Do đó: I(8;8; 1− )

Vậy phương trình mặt cầu ( ) :S (x−8) (2+ y−8) (2+ +z 1)2 =196 Lựa chọn đáp án A

Câu 49. Cho mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − + =5 điểm A(0;0;4 , 2;0;0) (B ) Phương trình mặt cầu qua O A B, , tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là:

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =6 B.(x+1) (2+ y+1) (2+ +z 2)2 =6 C.( ) (2 ) (2 )2

1

− + + + − =

x y z D.( ) (2 ) (2 )2

1

− + − + + =

x y z

Gọi ( )S có tâm I a b c( ; ; ) bán kính R

Phương mặt cầu ( )S có dạng: x2+y2+z2−2ax−2by−2cz d+ =0 (S) qua điểm O A B, , , ta có hệ phương trình :

( )2 ( 2 2 2 ) 2

0 0 0

1

8 16 2 2

1

4a+d=-4 1 1

2

2a 0

2 10

4 1

d d

d a

c d c

c b

a a c

b c b b d

R b b

=

  = =

=

 

− + = −   

 = = =

− ⇔ ⇔ ⇔

  =  =  =

 + − +   

 =  + − + = + + −  − + =  =



 + +



Vậy (S): (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =6

Câu 50. Cho mặt phẳng ( )P x: +2y−2z+ =2 điểm A(2; 3;0− ) Gọi B điểm thuộc tia Oy cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bánkính Tọa độ điểm B là:

A.(0;1;0 ) B.(0; 4;0 − ) C.(0;2;0) (0; 4;0 − ) D.(0;2;0 ) Hướng dẫn giải

Vì B thuộc tia Oy nên B(0;b;0) (với b>0)

Bán kính mặt cầu tâm B, tiếp xúc với ( )P ( ,( )) 2

+

= = b

R d B P

Theo giả thiết 2 2 2 2

2

3

+ = =

+  

= ⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔

+ = − = −

 

b b

b

R b

b b

Do b>0⇒ =b Vậy B(0;2;0) Lựa chọn đáp án D

Câu 51. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2P x+3y z− + =2 0, ( ) : 2Q x y z− − + =2 Phương trình mặt cầu ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P tại điểmA(1; 1;1− ) vàcótâm thuộc mặt phẳng ( )Q là:

A.( ) :S (x+3) (2+ y+7) (2+ −z 3)2 =56 B.( ) :S (x−3) (2+ y−7) (2+ +z 3)2 =56 C.( ) :S (x+3) (2+ y+7) (2+ −z 3)2 =14 D.( ) :S (x−3) (2+ y−7) (2+ +z 3)2 =14 Hướng dẫn giải:

Gọi d đường thẳng qua A vng góc với ( )P , ta có :

1

:

1

= + 

 = − + 

 = − 

x t

d y t

z t

(39)

( ) 2( ) ( ) (1 ) 2 ( 3; 7;3)

∈ ⇒ + − − + − − + = ⇔ = − ⇒ − −

I Q t t t t I

 Bán kính mặt cầu R IA= =2 14

 Phương trình mặt cầu ( ) :S (x+3) (2+ y+7) (2+ −z 3)2 =56 Lựa chọn đáp án A

1

:

2 = − + 

 =   = + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A B, cho tam giác IAB vuông là:

A. 2 ( 3)2 3.

+ + − =

x y z B. 2 ( 3)2 8.

3

+ + − =

x y z

C. 2 ( 3)2 2.

+ + − =

x y z D. 2 ( 3)2 4.

3

+ + − =

x y z

Gọi H(− +1 ;2 ;2t t + ∈t) d hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d ( ;2 ; )

⇒IH = − +t t − +t

Ta có vectơ phương d: ad =(1;2;1) IH d⊥

1 2

; ;

3 3

 

⇒ = ⇔ − + + − + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ − 

 

 

d

IH a t t t t t H

2 2

3 3

     

⇒ =   +  +  =

     

IH

Vì tam giác IAB vng Ivà IA IB R= = Suy tam giác IAB vng cân I , bán kính:

0 2

cos 45 2

2 3

= = = = = =

R IA AB IH IH

Vậyphương trình mặt cầu ( ): 2 ( 3)2

+ + − =

S x y z

1 1

+ −

∆ = =

− −

x y z và mặt cầu (S

): x2 +y2+z2+4x−2y−21 0= Số giao điểm ( )∆ ( )S là:

A 2. B.1. C.0. D.3.

Đường thẳng( )∆ qua M = −( 2;0;3)và có VTCP u= −( 1;1; 1− ) Mặt cầu ( )S có tâm I =(1;2; 3− )và bán kính R=9

Ta có MI =(3;2; 6− )và u MI ,  = − − − ( 4; 9; 5)

( ; ) , 366

3

 

 

⇒ ∆ = =

   u MI d I

u

(40)

2

+ − +

= =

x y z

d mặt cầu (S) : x2+y2+ +(z 2)2 =9 Tọa độ giao điểm ( )∆ ( )S là:

A. A(0;0;2 , ) (B −2;2; − ) B.A(2;3;2 )

C A(−2;2; − ) D.( )∆ (S) không cắt Hướng dẫn giải:

Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:

( )

2

2 2

0 2;2;

2

= − + 

 = +

 ⇒ = ⇒ − −

 = − + 

 + + + =



x t

y t

t A

z t

x y z

Câu 55. Cho đường thẳng ( )

1

:

4 = +   ∆  =

 = − + 

x t y

z t

và mặt cầu ( )S : x2+y2 +z2−2x−4y+6z−67 0= Giao điểm ( )∆ ( )S điểm có tọa độ:

A.( )∆ (S) khơng cắt B. A(1;2;5 ,) (B −2;0;4 ) C.A(2; 2;5 , 4;0;3 − ) (B ) D.A(1;2; , 2;2;3 − ) (B ) Hướng dẫn giải:

Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình:

( )

2 2

1

0 1;2;

4 1 2;2;3

2 67 = +



 =  = ⇒ −



⇒ 

 = − +  = ⇒

 

 + + − − + − = 

x t

t A

y

z t t B

x y z x y z

1

− = − = +

x y z

A.(x−1)2+y2+z2 =9. B.(x−1)2+y2+z2 =3. C. (x+1)2+y2+z2 =3. D. (x+1)2+y2+z2 =9. Hướng dẫn giải:

Đường thẳng( )d qua M(1; 1; 2− )và có vectơ phương u=(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên (d) Ta có: = ( ; )=  ,  =

   u MI IH d I AB

u

2 9

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

(41)

1

+ − −

= =

x y z

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =27 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =27 C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =24 D.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =54 Hướng dẫn giải:

Đường thẳng( )d qua M(−1; 3;2)và có vectơ phương u=(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên (d) Ta có : = ( ; )=  ,  = 18

   u MI IH d I AB

u

2 27

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu: (x−1) (2 + y−1) (2+ +z 2)2 =27 Lựa chọn đáp án A

1

− − +

= =

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A.(x−1)2+y2+z2 =12. B (x−1)2+y2+z2 =10. C. (x+1)2+y2+z2 =8. D.(x−1)2+y2+z2 =16. Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua M(1; 1; 2− )và có vectơ phương u =(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên D Ta có : = ( ; )=  ,  =

   u MI IH d I AB

u

2 10

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu : (x−1)2 +y2+z2 =10. Lựa chọn đáp án B

1

:

2 = +   = + 

 = − + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I và cắt đường thẳng d tại haiđiểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A.( 1)2 2 20.

3

x+ +y +z = B ( 1)2 2 20.

3

x− +y +z = C. ( 1)2 2 16.

4

− + + =

x y z D.( 1)2 2 5.

3

− + + =

x y z

(42)

Gọi H là hình chiếu I trên D Ta có : = ( ; )=  ,  =  

 u MI IH d I AB

u

Xét tam giác IAB, có 2 15

2 3

= ⇒ = IH =

IH R R

Vậy phương trình mặt cầu là: ( 1)2 2 20. x− +y +z = Lựa chọn đáp án B

Câu 60. Cho điểm I(1;1; 2− ) đường thẳng

1

:

2 = − + 

 = +   = + 

x t

d y t

z t

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =3 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =9 C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =9 D.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =36. Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua M(−1; 3;2)và có vectơ phương u =(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên D Ta có : = ( ; )=  ,  = 18

   u MI IH d I AB

u

2 36

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =36 Lựa chọn đáp án D

1

+ = − = −

x y z

A.(x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =24 B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =24

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =18 D.(x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =18 Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua M(−1; 3;2)và có vectơ phương u =(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên D Ta có : = ( ; )=  ,  = 18

   u MI IH d I AB

u

3

2

⇒IH R= ⇒ =R IH =

Vậy phươngtrình mặt cầu : (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =24 Lựa chọn đáp án A

1

+ = − = −

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho IAB=30o là:

(43)

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =66 D.(x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =46 Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d qua M(−1; 3;2)và có vectơ phương u =(1;2;1) Gọi H là hình chiếu I trên D Ta có: = ( ; )=  ,  = 18

   u MI IH d I AB

u

2 18 ⇒ =R IA=

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =72 Lựa chọn đáp án A

Câu 63. Phương trình mặt cầu có tâm I(3; 3; 7− ) tiếp xúc trục tung là:

A. (x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =61 B.(x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =58 C. (x+3)2+(y+ 3)2+ −(z 7)2 =58 D.(x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =12 Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(3; 3; 7− ) Oy⇒H(0; 3;0)⇒ =R IH = 58 Vậy phương trình mặt cầu là: (x−3)2+(y− 3)2+ +(z 7)2 =58

Câu 64. Phương trình mặt cầu có tâm I( 5;3;9) tiếp xúc trục hoành là:

A. (x+ 5)2+(y+3) (2+ +z 9)2 =86 B (x− 5)2+(y−3) (2+ −z 9)2 =14 C (x− 5)2+(y−3) (2+ −z 9)2 =90 D (x+ 5)2+(y+3) (2+ +z 9)2 =90 Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I( 5;3;9) Ox⇒H( 5;0;0)⇒ =R IH = 90

Vậy phương trình mặt cầu là: (x− 5)2+(y−3) (2+ −z 9)2 =90 Lựa chọn đáp án C

Câu 65. Phương trình mặt cầu có tâm I(− 6;− 3; 1− ) tiếp xúc trục Oz là:

A.(x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1+ )2 =9 B.(x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1− )2 =9 C. (x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1− )2 =3 D. (x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1+ )2 =3 Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(− 6;− 3; 1− ) Oz⇒H(0;0; 1− )⇒ =R IH =3 Vậy phương trình mặt cầu là: (x+ 6) (2+ y+ 3) (2+ −z 1+ )2 =9

Câu 66. Phương trình mặt cầu có tâm I(4;6; 1− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

(44)

Gọi H là hình chiếu I(4;6; 1− ) Ox⇒H(4;0;0)⇒IH d I Ox= ( ; )= 37

2 37 37 74

2

 

⇒ = +  = + =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu : (x−4) (2+ y−6) (2+ +z 1)2 =74 Lựa chọn đáp án B

Câu 67. Phương trình mặt cầu có tâm I( 3;− 3;0) cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

A.(x+ 3) (2+ y− 3)2+z2 =8. B.(x− 3) (2+ y+ 3)2+z2 =9. C. (x+ 3) (2+ y− 3)2+z2 =9. D (x− 3) (2+ y+ 3)2+z2 =8.

Gọi H là hình chiếu I( 3;− 3;0) Oz⇒H(0;0;0)⇒IH d I Ox= ( ; )=

3

2

⇒IH R= ⇒ =R IH =

Vậy phương trình mặt cầu : (x− 3) (2+ y+ 3)2+z2 =8. Lựa chọn đáp án D

Câu 68. Phương trình mặt cầu có tâm I(3;6; 4− ) cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng là:

A ( ) (2 ) (2 )2

3 49

− + − + + =

x y z B.(x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =45

C. (x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =36 D.(x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =54 Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(3;6; 4− ) Oz⇒H(0;0; 4− )⇒IH d I Ox= ( ; )= 45

2

4

2 ∆

∆AIB = IH AB⇒ = S AIB =

S AB

IH

2

2 49

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu : (x−3) (2+ y−6) (2+ +z 4)2 =49.

Câu 69. Mặt cầu (S) có tâm I(2;1; 1− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông Điểm sau thuộc mặt cầu (S):

A (2;1;1 ) B. (2;1;0 ) C. (2;0;0 ) D. (1;0;0 ) Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(2;1; 1− ) Ox⇒H(2;0;0)⇒IH d I Ox= ( , )= 2

2 4

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu : (x−2) (2+ y−1) (2+ +z 1)2 =4

(2;1;1) ( )

⇒ ∈ S

(45)

Câu 70. Gọi (S) mặt cầu có tâm I(1; 3;0− ) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều Điểm sau không thuộc mặt cầu (S):

A. (− −1; 3;2 ) B. (3; 3;2 − ) C. (3; 3; 2 − − ) D (2; 1;1 − ) Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(1; 3;0− ) Ox⇒H(1;0;0)⇒IH d I Ox= ( ; )=3

3

2

⇒IH R= ⇒ =R IH =

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−1) (2+ y+3)2+z2 =12 ⇒(2; 1;1− ) ( )∉ S . Lựa chọn đáp án D

Câu 71. Cho điểm I(−1;0;0) đường thẳng : 1

1

− = − = −

x y z

d Phương trình mặt cầu ( )S

có tâm I và tiếp xúc d là: A ( )2 2 2

1

+ + + =

x y z B.(x−1)2+y2+z2 =5.

C. (x+1)2+y2+z2 =10. D.(x−1)2+y2+z2 =10. Hướng dẫn giải:

Đường thẳngdđi qua I(2;1;1)và có vectơ phương : (1;2;1)

= 

u ⇒ ( ); =  ,  =  

 u MI d I d

u

Phương trình mặt cầu là: (x+1)2+y2+z2 =5. Lựa chọn đáp án A

Câu 72. Cho điểm I(1;7;5)và đường thẳng :

2

− = − =

−

x y z

d Phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 6015 là: A.(x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2018 B (x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2017

C. (x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2016 D.(x−1) (2+ y−7) (2+ −z 5)2 =2019 Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu I(1;7;5) d⇒H(0;0; 4− )⇒IH d I d= ( ); =2

8020

2 ∆

∆AIB = IH AB⇒ = S AIB =

S AB

IH

2

2 2017

2

 

⇒ = +  =

 

AB

R IH

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−1) (2+ y−7) (2 + −z 5)2 =2017

Câu 73. Cho điểm A(1;3;1) B(3;2;2) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz có đường kính là:

A. 14 B. 14 C. 10 D.2

Gọi I(0;0;t) trên Oz IA IB= ⇒ = ⇒t I(0;0;3)

14

(46)

Câu 74. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;1) B(0;1;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hồnh có đường kính là:

A 2 B. C. D. 12

Gọi I t( ;0;0) trên Ox Vì IA IB= ⇒ = ⇒t I(2;0;0)

⇒ =R IA= ⇒ đường kính 6. Lựa chọn đáp án A

Câu 75. Cho điểm A(2;1; 1− ) B(1;0;1) Mặt cầu qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là:

A. 2 B 2 C. D.

Gọi I(0; ;0t ) trên Oy IA IB= ⇒ = ⇒t I(0;2;0)

⇒ =R IA= ⇒ đường kính 6. Lựa chọn đáp án A

1

− = − = −

− −

x y z

d Mặt cầu qua

hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là: A 13 17 12; ;

10 10

 

 

  B.

3 3; ;2 2

 

 

  C.

4 7; ; . 3

 

 

  D.

6 13; ; . 5

 

 

 

Gọi I(1 ;2 ;3 2+t −t − t) trên d IA IB= 13 17 12; ; 10 10 10

 

⇒ = ⇒  

 

t I

2 1

−

= =

x y z

A. (4;5;2 ) B.(6;6;3 ) C (8;7;4 ) D. (−4;1; − ) Hướng dẫn giải:

Gọi I t(2 ;3 ;+t t) trên d IA IB= ⇒ = ⇒t I(8;7;4 ) Lựa chọn đáp án C

1 1

− −

= =

−

x y z

A. 11 23 7; ; 6 −

 

 

  B.

5 23; ; . 6

 

 

  C.

5 25; ; . 6

 

 

  D.

1 19; ; . 6

 

 

 

Gọi I t( ;2 ;3−t +t) trên d IA IB= 11 11 23 7; ;

6 6

−

 

⇒ = − ⇒  

 

t I

(47)

Câu 79. Cho đường thẳng : =   = − +   =  x t

d y t

z

Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d và trục Ox là:

A.( 1)2 ( 2)2 1.

− + + − =

x y z B.( 1)2 ( 2)2 1.

4

+ + + + =

x y z

C. ( 1)2 2 1.

− + + =

x y z D

2

1 1.

3

 −  + + −  =

   

x  y z 

Gọi A t( ; ;1− + t )∈d B t; ( ';0;0)∈Ox⇒AB= −(t t' ;1 ; ,− t − ) ud =(1;3;0 , ) i=(1;0;0 ) Ta có: '

3  =  ⇒ = =  =   

 AB ud t t

AB i

2

1 1 1.

2

   

= ⇒ −  + + −  =

   

R x y z

Câu 80. Cho hai đường thẳng

2 : =   =   =  x t d y t

z

và

' ': '

0 x t

d y t

z  =  = −   = 

Phương trình mặt cầu có đường kính đoạn thẳng vng góc chung đường thẳng d d’ là:

A ( ) (2 ) (2 )2

2

− + − + − =

x y z B. (x−2)2+y2+z2 =4.

C. (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =2 D.(x+2) (2+ y+1)2+z2 =4. Hướng dẫn giải:

Gọi A t t(2 ; ;4)∈d B t; ( ';3 ';0−t )∈d'⇒AB= −(t' ;3 ' ; ,t − − −t t ) ud =(2;1;0 , ) ud'=(1; 1;0− )

Ta có: ( )

( )

'

1 2;1;4

' 2;1;0

 =  = ⇒  ⇒   = ⇒ =        d

d

t A

AB u

t B

AB u

(2;1;2)

⇒I R= ⇒2 (x−2) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =4 Lựa chọn đáp án A

Câu 81. Cho điểm A(−2;4;1) B(2;0;3) đường thẳng :

2

− = + = −

− −

x y z

d Gọi ( )S

mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D Bán kính mặt cầu (S) bằng: A 1169

4 B. 873. C. 1169. 16 D. 967. Hướng dẫn giải:

Gọi I(1 ; ;3 2+ t − −t − t) trên d IA IB= 11 1169

4

−

⇒ =t ⇒IA= Lựa chọn đáp án A

Câu 82. Cho điểm A(2;4; 1− ) B(0; 2;1− ) đường thẳng

1 : = +   = −   = +  x t

d y t

z t

Gọi ( )S mặt cầu qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng D Đường kính mặt cầu ( )S bằng:

A.2 19 B.2 17 C. 19 D. 17

(48)

Gọi I(1 ;2 ;1+ t −t +t) trên d IA IB= ⇒ = ⇒ =t R IA= 19 đường kính 19 Lựa chọn đáp án A

Câu 83. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:

A. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =16 B. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =36 C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =4 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56 Hướng dẫn giải:

Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): z=0⇔ =R d I Oxy( ;( ))

6

⇔ =R = Vậy ( ) (S : x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =36 Lựa chọn đáp án B

Câu 84. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:

Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y=0⇔ =R d I Oxz( ;( ))

4

⇔ =R = Vậy ( ) (S : x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =16 Lựa chọn đáp án A

Câu 85. Phương trình mặtcầu tâm I(2;4;6) sau tiếp xúc với trục Ox:

Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R tiếp xúc trục Ox⇔ =R d I Ox( ; )

2 52

⇔ =R yI +zI = Vậy ( ) (S : x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =52

Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải

Câu 86. Mặt cầu tâm I(2;4;6) tiếp xúc với trục Oz có phương trình: A ( ) (2 ) (2 )2

2 20

− + − + − =

x y z B. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =40

C. (x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =52 D. (x−2) (2+ y−4) (2 + −z 6)2 =56

Hướng dẫn giải :

Mặt cầu tâm I(2;4;6), bán kính R tiếp xúc trục Ox⇔ =R d I Oz( ; )

2 20

⇔ =R xI +yI = Vậy ( ) (S : x−2) (2+ y−4) (2+ −z 6)2 =20

Lưu ý : Học sinh hồn tồn sử dụng cơng thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để giải

(49)

A. (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 B. (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 C. (x−1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =9 D. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =9 Hướng dẫn giải:

Mặt cầu ( )S tâm I(1;2;3), bán kính R=3 Do mặt cầu ( )S' đối xứng với ( )S qua mặt phẳng (Oxy) nên tâm I' của ( )S' đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R R'= =3

Ta có : I' 1;2; 3( − ) Vậy ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =9 Lựa chọn đáp án D

Lưu ý: Để ý thấy trung điểm II′ thuộc mặt phẳng (Oxy) II′ ⊥(Oxy) Cả đáp án trên dễ dàng tìm tọa độ I′ nên tinh ý ta tiết kiệm thời gian trong việc tìm đáp án

Câu 88. Cho mặt cầu ( )S : (x+1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =4 Phương trình mặt cầu sau phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

A ( ) (2 ) (2 )2

1

− + + + − =

x y z B. (x+1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =4

C. (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 2)2 =4 D. (x+1) (2+ y−1) (2+ +z 2)2 =4 Hướng dẫn giải:

Mặt cầu ( )S tâm I(−1;1;2), bán kính R=2 Do mặt cầu ( )S' đối xứng với ( )S qua trục Oz nên tâm I' của ( )S' đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R R'= =2

Ta có : I' 1; 1;2( − ) Vậy ( ) (S : x−1) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =4 Lựa chọn đáp án A

Lưu ý: Sẽ vất vả nhiều học sinh khơng nhớ tính chất đối xứng, tọa độ một điểm đối xứng qua trục tọa độ

Câu 89. Đường tròn giao tuyến ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =16 cắt mặt phẳng (Oxy) có chu vi :

A. π B. π C. π D. 14 π

Mặt cầu ( )S tâm I(1;2;3), bán kính R=4 Ta có : d I Oxy( ;( ))= zI =3

Gọi r bán kính đường trịn (C) giao tuyến mặt cầu ( )S mặt phẳng (Oxy), ta suy :

( )

2  ;  7

= −  =

r R d I Oxy Vậy chu vi (C) bằng : 7π Lựa chọn đáp án B

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	0,99 MB