Nhìn lại các bài toán vận dụng, vận dụng cao mũ, logarit

Đ}y l| một kỹ thuật cơ bản nhất mà khi gặp các bài toán về cực trị mà ta sẽ luôn nghĩ tới, hầu hết chúng sẽ được giải quyết bằng cách thế một biểu thức từ giả thiết xuống yêu cầu từ đó[r]

(1)

NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO

MŨ - LOGARIT 2020

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Hướng tới kỳ thi THPT Quốc Gia 2020

 Các toán cập nhật

 Định hướng dạng tốn khó

 Phong phú đa dạng

(2)

(3)

NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ – LOGARIT

(4)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

NHÌN LẠI CÁC BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO MŨ - LOGARIT

Biên soạn: Tạp chí tư liệu tốn học

rong đề thi THPT Quốc Gia tốn cực trị nói chung ln

toán mức độ vận dụng vận dụng cao đa phần cảm thấy khó

không nắm đượcnhững phương pháp, kiến thức bất đẳng thức

hay đánh giá thuầntúy Chính lí mà nảy ý tưởng viết số

viết giúp cácbạn hiểu giải dạng toán bất đẳng thức cực

trị đề thi thử vàđề thi THPT Quốc Gia Ở viết giới thiệu cho

bạn dạng toán cực trịcủa hàm số mũ – logarit với mong muốn đọc

hiểu áp dụng chonhững toán khác phức tạp phát triển thêm nhiều

vấn đề khác Để cóthể viết nên viết khơng thể khơng có tham khảo từ

nguồn tài liệu củacác group, khóa học, tài liệu thầy cô mà tiêu biểu

1 Group Nhóm tốn: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/

2 Website Tốn học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/

3 Website Toanmath: https://toanmath.com/

4 Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810

5 Thầy Lã Duy Tiến – Gi{o viên trường THPT Bình Minh

6 Thầy Lê Phúc Lữ - Công tác phịng R&D Cơng ty Fsoft thuộc tập đo|n FPT Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted

8 Thầy Đặng Việt Đông – Gi{o viên trường Nho Quan A Thầy Nguyễn Đăng Ái – Thuận Thành – Bắc Ninh

Trong viết có sáng tác tự sưu tầm nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau:

Nguyễn Minh Tuấn – Đại học FPT

Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt

Bản ebook phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN,

fanpage Tạp chí tư liệu tốn học hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương

mại không cho phép Xin chân thànhcảm ơn bạn đọc

T

(5)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

I MỞ ĐẦU

hư ta biết đề thi mơn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 vừa qua có xuất câu cực trị logarit khơng phải l| b|i to{n khó kh{ l| lạ v| g}y lúng túng cho nhiều học sinh, thực chất mấu chốt toán việc sử dụng bất đẳng thức AM – GM để đ{nh gi{ Trong b|i viết bạn tìm hiểu phát triển b|i to{n cao v| ơn lại dạng toán cực trị xuất nhiều trước đ}y!

Bài toán mở đầu

Cho số thực a 0, b 0  thỏa mãn log4a 5b 1  16a2 b2  1 log8ab 1 4a 5b 1  2 Giá trị biểu thức a 2b bằng?

A B 20

3

C D 27

4

Câu 43 mã đề 105 – Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2018 Nhận xét Với chưa có kiến thức nhiều bất đẳng thức khả cao bỏ số khác sử dụng CASIO tìm mối liên hệ x,y cách cho Y 1000 , nhiên chắn phương trình vơ nghiệm Nếu tinh ý ta nhận thấy đề yêu cầu tìm giá trị biểu thức a 2b có nghĩa l| a,b số x{c định rồi, ta phải nghĩ tới phương ph{p đ{nh gi{! Chú ý thêm l| c{c số lớn giả thiết theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có thêm 16a2b2 8ab Đến đ}y b|i to{n gần coi giải quyết!

Lời giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 16a2 b2 8ab Từ đ}y suy ra:

   

4a 5b 8ab

VT log   8ab 1 log  4a 5b 1  2

Dấu “=” xảy

 

2

8ab

a, b 3

a 27

16a b a 2b

4 b

log  4a 5b 1



  

     

 

     

 Vậy chọn đ{p {n D

Chú ý Ngo|i phép đ{nh gi{ đầu ta sử dụng thêm đ{nh gi{ sau:

a b a a

a a

1

log b log a log b log b

log b log b

     

N

CH

ƯƠNG 1

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

(6)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

(7)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

II CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để làm tốt tốn chun đề cần phải nắm kiến thức lý thuyết bất đẳng thức, điều kiện có nghiệm biến đổi logarit sau

Đ}y l| nội dung chuyên đề mà muốn nhắc tới, dạng tốn lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Trước tiên để làm tốt ta cần có số kiến thức bất đẳng thức nhắc lại kiến thức học sau:

Bất đẳng thức AM – GM

+ Cho số thực dương a,b a b ab  Dấu “=” v| a b

+ Cho số thực dương a,b,c a b c abc   Dấu “=” v| a b c  + Tổng quát với số thực dương

n n

n

i i

x n x

 



  Dấu “=” v| x1 x2   xn + Dạng cộng mẫu số

2 n

n i i

i i

1 n

x x



 



 Dấu “=” v| x1 x2   xn

Khi cho n 2, n 3  ta bất đẳng thức quen thuộc 2

1 3

1

x x x x

1 1

x x x x x x

  

 

 

   

  



Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

+ Cho số x , x , , x1 2 n y , y , , y1 2 n ta có

2

n n n

2

i i i i

i i i

x y x y

  

              

Dấu “=” v| số lập thành số tỉ lệ

Chú ý cho n 2, n 3  ta bất đẳng thức quen thuộc + x12x22y12y22x y1 1x y2 22

+ x12x22x32y12 y22 y32x y1 1x y2 2x y3 32

+ Dạng cộng mẫu Engel tổng quát  



 

 

 

 



2 n

i

n

i i

n i i

i i

a a

b b Trong dạng

 2

2

2 y x y

x

a b a b

  



dạng ta hay gặp

Bất đẳng thức cịn gọi bất đẳng thức Svacxơ

Dấu “=” xảy a1  a2    an

(8)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Bất đẳng thức Minkowski

Tổng qu{t: Cho số thực r 1 v| số dương a ,a , ,a , b , b , , b1 n n ta có:

 

  

      

     

     

1 1

n r n r n r

r r r

i i i i

i i i

a b a b

Ở đ}y xét trường hợp cho số a ,a , ,a1 2 n b , b , , b1 2 n Khi ta có:

 

  

  

n n n

i i i i

i i i

a b a b

Dấu “=” xảy     n

1 n

a a a

b b b

Dạng m| ta hay gặp a2b2  c2d2  a c  2 b d 2 Bất đẳng thức n|y gọi l| bất đẳng thức Vector

Bất đẳng thức Holder

Cho c{c số dương xi ,ji 1,m , j 1, n   Khi với số  1, 2, , n thỏa mãn

  

n i i

1 ta có:



 

    

   

 

  

 j  j

n m m n

i ,j i ,j

j j

i i

x x

Ở đ}y ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm a, b, c ; m, n,p ; x, y,z     Ta có:

a3b3c3x3y3z3m3n3p3axm byn czp  3 Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ

Một bất đẳng thức dạng n|y m| ta hay gặp: 1 a b c     13 abc3

Bất đẳng thức trị tuyệt đỉi

Cho số thực a,b ta có a  b    a b a b

Dấu “=” thứ a,b dấu, dấu “=” thứ a,b trái dấu

Điều kiện có nghiệm phƢơng trình bậc

Cho phương trình ax2bx c a 0     Khi nếu:

+  0 phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái không âm khơng dương +  0 phương trình có nghiệm phân biệt

(9)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Tính chất hàm đơn điệu

1 Nếu hàm số f x  đơn điệu liên tục tập x{c định phương trình f x a có tối đa nghiệm

2 Nếu hàm số f x  đơn điệu không lien tục tập x{c định phương trình  

(10)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

III CÁC DẠNG TOÁN CỰC TRỊ MŨ – LOGARIT

1 KỸ THUẬT RÚT THẾ - ĐÁNH GIÁ ĐIỀU KIỆN ĐƣA VỀ HÀM BIẾN SỈ

Đ}y l| kỹ thuật mà gặp toán cực trị mà ta nghĩ tới, hầu hết chúng giải cách biểu thức từ giả thiết xuống u cầu từ sử dụng cơng cụ đạo hàm, bất đẳng thức để giải Sau đ}y ta v|o c{c ví dụ minh họa

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số thực a, b 1 thỏa mãn log a log b 12   Giá trị lớn biểu thức

3

P log a log b bằng?

A log log 22  B log 32  log 23 C  

1 log log 2

2  D

2

log log 2

Chuyên KHTN Hà Nội – Lần – 2017 – 2018

Lời giải

Biến đổi yêu cầu b|i to{n ta được:

2 2

3

2 3

log a log b log a log a

P log a log b

log log log log



     

Xét hàm số   2    2 

2

log

t

f t log t f ' t t log a

log t log t

      



Ta có   2 22 2

2

1

f ' t t log t t t.log t

1 log

         

  2 3

2

1

f t f log log P log log

1 log

 

       



 

Chọn ý A

Ví dụ 2: Cho số thực dương a,b thỏa mãn 1log a log2 2

2  b Giá trị nhỏ biểu

thức P 4a 3b34 log 4a2 3b3 viết dạng x y log z với x,y,z số thực dương lớn Khi tổng x y z  có giá trị bao nhiêu?

A B C D

Cris Tuấn

Lời giải

Từ giả thiết ta có 1log a log2 2 log a log2 2 42 a 42

2  b   b   b

(11)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

3 3

3 3 3

6 6

256 256 b b 256 b b

t 4a b b 12

b b 2 b 2

        

Khi P 4a 3b34log 4a2 3b3f t  t 4log t2 Ta có f ' t  4 t 12

t ln 12 ln

       Vậy hàm f t  đồng biến 12;

   

P f t f 12 4 log x y 4,z x y z

             

Chọn ý C

Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log 12 a b2  1log a b 22  

2

      Khi

đó gi{ trị nhỏ biểu thức

3

a b 45

P

b a a b

  

   viết dạng

m

n với m,n

là số nguyên dương m

n tối giản Hỏi giá trị m n bao nhiêu?

A 62 B 63 C 64 D 65

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có: log 12 a b2  1log a b 22  

2

     

    

  

2

log 12 a b log a b a b a b 12

     

     

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 12 a b  2 4 a b 2      a b 4  2   a b

Biến đổi tiếp biểu thức    

      

4 3

3 a b 2 a b

a a b a 45 45

P

a b a b a b a b

     

   

     

Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc

 

4

3

1

a b a b

8

a b a b

4

    



    

Từ suy

   

          

4

4 4 3

2

1 a b 2.1 a b

a b a b

45 45 t 4t 45

8

P

a b a b 2 12 a b a b 2 12 t t

      

     

      

Xét hàm số  

    



 

3

4

2 2 2

t t t t 4 4

t 4t 45 45 45

f t f ' t

t t

2 12 t 12 t 12 t 12 12

   



         

    

    61 61

P f t f P m n 65

4

        

(12)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Ví dụ 4: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log x 2y  log x log y , gi{ trị nhỏ biểu thức

2

x y

4 1 2y x

P e  e  viết dạng m

n với m,n số nguyên

dương v| m

n tối giản Hỏi giá trị

2

m n bao nhiêu?

A 62 B 78 C D 91

Sở giáo dục đào tạo tỉnh Hải Phòng

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có:

    x x

log x 2y log x log y log x 2y log xy x 2y xy y y

2

           

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

x y x y x.y

2

  

 

 

  

2

x x x

y y y

2 2

   

         

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu số Engel ta có:

 

2

x y 2

4 1 2y x

x x y

y y

x 2

P e e ln P x

x

4 2y x 2y 1 2. 2 y 1

2

 

    

   

   

      

       

 

 

Đặt  

     

8

5

x t

t y t ln P f t f P e

2 t

         

 Chọn ý C

Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn 0 x, y 1  đồng thời

2

2x 2xy y

x x

y 2xy y

2 5.2

 

  Gọi M,

m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  

x y

2 y

f x, y e x

2

 

    Khi gi{ trị biểu thức T M m  có giá trị bao nhiêu?

A e

2

 B e 1 C e

2

 D Không tồn

Lời giải

Từ giả thiết ta có

2

2x 2xy y y

x x x 2x y

y 2xy y y y x x

2 5.2 4.2 5.2

  

    

Đặt  

x y

y x

a , b a, b 0   ta được:   

4a

a 5b a b 4a 5b a b x y

b

         

Khi    

 

 x y2  x y y2  xx2   

f x, y e x e x g x

(13)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Ta có g ' x ex x 1,g '' x ex 1 g x g 0 0, không tồn giá trị nhỏ

Chọn ý D

Ví dụ 6: Gọi S tập hợp cặp số thực x; y thỏa mãn x  1;1 đồng thời

 x  y 2018

ln x y 2017x ln x y  2017y e Biết giá trị lớn biểu thức

 

2018x

P e y 1 2018x với x, y S đạt x ; y0 0 Mệnh đề n|o đ}y đúng? A x0  1;0 B x0  1 C x0 1 D x00;1

THPT Chuyên Quốc Học – Huế năm 2017-2018

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có

   

         

x y 2018

2018 2018

ln x y 2017x ln x y 2017y e

e

x y ln x y 2017 x y e ln x y 2017 * x y

     

          



Xét      

2018 2018

2

e e

f t ln t 2017 f ' t 0, t f t

t t t

          đồng biến 0; Khi phương trình  *   x y e2018  y x e2018

   

2018x 2018

P e x e 2018x g x

     

   

   

2018x 2018

2018x 2 2018

g ' x e 2019 2018x 2018e 4036x g '' x e 2018.2020 2018 x 2018 e 4036 e 2018.2020 2018 2018 e 4036 0, x 1;1

    

       

Nên g ' x  nghịch biến 1;1 Mà g ' 1 e20182018 0,g ' 0  2019 2018e 2018 nên tồn x0  1;0 cho g ' x 0  0 maxg x1;1  g x 0

Chọn ý A

Ví dụ 4: Cho số thực x,y thỏa mãn 3x2 y 22 log x y2  11 log xy2 

2

     

Giá trị lớn biểu thức P x  3y33xy bao nhiêu?

A 13

2 B

17

2 C 3 D 7

Lời giải

Điều kiện x y;1 xy  Biến đổi giả thiết ta có

   

2

x y

2

x y 2

2

3 log x y log 2xy

3 log x y 2 2xy log 2xy

 

  

      

(14)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 Nếu x2y2  2 VT log 2xy 2  VP

Vậy    

2

2 2 x y

x y x y 2xy xy

2

 

        Do xy 1 x y   2; 2 Khi ta có:

 3   3  2  3 a2 2      13

P x y 6xy x y 3xy 2a 3a a f a a x y f

2



             

Chọn ý A

Ví dụ 8: Cho số thực dương a, x, y,z thỏa mãn 4z y ,a 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S log xy a2 log x ya 3x z2  4z y

A 4 B 25

16

 C 2 D 21

16



Lời giải

Từ giả thiết ta có  

2 2 2

3 3 3 2

y x y x y

z x y x z x y x y xy

4 4

      

Khi    

2

2 2

a a

5 25 25

S log xy log xy log xy

4 16 16

 

       

 

Chọn ý B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho số thực x,y thỏa mãn logx2y 12 2x 4y 1 Tính 

x P

y biểu thức

  

S 4x 3y đạt giá trị lớn A P8

5 B 

9 P

5 C  

13 P

4 D 

17 P

44

Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn xy 4y 1  Tìm giá trị lớn biểu thức

        

6y x 2y

S ln

x y

A 24 ln 6 B 12 ln 4 C 3ln

2 D 3 ln 4

Câu 3: Cho số thực x,y thỏa mãn 2x2y 12 log x3 2y2 13 Biết giá trị lớn biểu thức S  x y x3y3 a

b với a,b số nguyên dương v| a

b phân số tối

giản Tính T a 2b 

(15)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 4: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x log y log x   3y Giá trị nhỏ biểu thức S 2x y  là?

A 2 2 B 3

8 C 4 2 D 3 2

Câu 5: Cho số thực a,b thỏa mãn a2 b2 1 loga2b2a b 1 Giá trị lớn

biểu thức P 2a 4b 3   là? A 10

2 B 10 C 2 10 D

1 10

Câu 6: Cho số thực x,y thỏa mãn xy 4, x  1, y 1

2 Gọi M,m giá trị lớn

và giá trị nhỏ biểu thức P log x 22 log y 12  2 Tính S M 2m  A 10

2 B 10 C 2 10 D

1 10

Câu 7: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log x log x 3y2  2   2 log y2 Biết giá trị lớn biểu thức

2

x y 2x 3y

S

x 2y

x xy 2y

 

 



 

b a

c

 với a,b,c số nguyên dương v| b

c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P a b c  

A 30 B 15 C 17 D 10

Câu 8: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn log2x2 xy 3y211x 20y 40  1 Gọi a,b lần

lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S y

x

 Tính a b ?

A 10 B 2 14 C 11

6 D

7

Câu 9: Cho số thực x,y thỏa mãn log x 3y  log x 3y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y 

A 4

3 B

2

3 C

1

9 D

1

Câu 10: : Cho số thực x,y thỏa mãn log x 3y  log x 3y  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y 1  

A 10 1 B 5

2



C 3

3



D 3

3

(16)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 11: Cho số thực x,y thỏa mãn logx2y22x y 3  1 Tìm giá trị lớn biểu

thức S 3x 4y 6   A 5

2



B 5

2



C 5

2



D 5

2



Câu 12: : Cho x,y hai số thực dương thỏa mãnlog x log y log x y    2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 3y 

A 1 B 3

2 C 9 D

1

Câu 13: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log x log y log x y2   2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 2y2

A 2 43 B 3 C 2 D

Câu 14: Tìm tất giá trị thực tham số m để tồn cặp số thực x, y thỏa mãn logx2y224x 4y 4  1

2

x y 2x 2y m  

A  10 22 B  10 22 C 10 D 10

Câu 15: Cho số thực x,y thỏa mãn 4 3 x 2y 22  4 9 x 2y2 .72y x 2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 2y 

A

4

 B 7

4 C

33

 D

4



Câu 16: Cho số thực x,y thỏa mãn x22y2 1 logx22y22x y 1 Biết giá trị lớn

nhất P x y  a b

c



với a,b,c số nguyên dương v| a

c phân số tối

giản Tính giá trị biểu thức P a b c  

A 17 B 12 C 11 D 16

Câu 17[THTT]: Cho số thực dương thay đổi a,b thỏa mãn điều kiện:

 

ln a ln b ln b ln a

Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ log ab Giá trị M m bằng? A 2 1  B 2 1  C 2 1  2 D  1 2

Câu 18: Cho x,y hai số thực dương thỏa mãn y 4x , giá trị lớn biểu thức

2x 5y 2y 5x P ln

y x

 

  có dạng lnm n

(17)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

A 25 B 24 C 29 D 4

Câu 19: Cho số thực dương thay đổi a,b thỏa mãn log a 12   log b 12  6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a b 

A 12 B 14 C D 16

Câu 20: Cho số thực x thỏa mãn x0;16 Biết giá trị nhỏ biểu thức   4x x 4x 1 x

f x 8.3  9  9

đạt x m

n

 với m, n số nguyên dương v| m

n

phân số tối giản Tính m n

A 17 B 18 C 19 D 20

HƣỚNG DẪN GIẢI

Câu Chọn ý C

Ta có 2x y x  y2 1 x 1 2y 2 2 4 Khi theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

     2 2 2  2

S x 1  3 y 2  7 3 x 1  y 2  7

Dấu “=” xảy

13 y

x x

5

4

4 4x 3y y

5

 

 

  

 

 

      

 

Câu Chọn ý C Theo giả thiết ta có

2

4y

x

t 4

y y y

 



       

 

Khi S 6y ln x ln t 2   f t

x y t

 

         

Đến đ}y xét tính đơn điệu hàm số ta f t   f ln

2

  

Câu Chọn ý B

Ta chuyển toán giải phương trình logarit để tìm mối liên hệ x,y Xét hàm số f t 2t 1 log t 13   đ}y l| h|m đồng biến 0;

Do f t    0 t x2y2  2 xy   1;1 Khi ta

 2  2   2

2 2 512 16

S x y x xy y 2xy xy S

27

          

(18)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 

3 x

xy x y y x x y

x

       

Vì x,y dương nên từ điều kiện ta suy x 1

Khi ta    

3

x

2x y 2x f x f 4

x

       

Câu Chọn ý B Theo giả thiết ta có

2

2 2 1

a b a b a b a b

2 2

   

            

   

Khi theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 2 2

1 1

P a b a b 10

2 2

 

       

              

        

Câu Chọn ý A

Theo giả thiết ta có y x x log x2  1;2

x

         

Khi P log x22 1 log x2 2 1;5 S 2.1

2

 

       

 

Câu Chọn ý D

Theo giả thiết ta có log x2 3xy log 4y2 x2 3xy 4y2 x

y

       

Khi chia tử mẫu cho y ta chuyển b|i to{n xét tính đơn điệu hàm

   

   2  2

2 2 3

t 2t 3t

f t f ' t

t t t

t t 2 t t 2 2

  

       

  

   

   

f t f P 10

3

     

Từ giả thiết ta suy 2x2xy 3y 211x 20y 40 0  

Thế Sx y vào giả thiết ta 4S22 x 20S 11 x 40 0    Sử dụng điều kiện có nghiệm ta có

2 x

55 10 55 10 11

0 240S 440S 199 S ; a b

60 60

   

          

 

Theo giả thiết ta có x 3y x 0;log x 9y2 x2 9y2 10

x 3y

  

         



Khi y x S  8x218xS 9S 210 0

Phương trình phải có nghiệm dương nên ta có x S

S

  

   

(19)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Tương tự c}u Câu 11 Chọn ý D

L|m tương tự câu ta có

 

2

1

x y x y x y

2 2

1 1 5

S x y x y

2 2 2 2

   

           

   

  

       

                 

        

Dấu “=” xảy

3 x

10 y

10

 

  

  

 Câu 12 Chọn ý C

Tương tự câu Câu 13 Chọn ý A

Từ giả thiết ta có  

2

x y

x y xy x y S x y

2



 

          

 

Câu 14 Chọn ý A

Từ giả thiết thứ ta suy x 2 2 y 2 2 2 Đ}y l| hình trịn  C1 có tâm  

1

I 2; R1  Từ giả thiết thứ ta suy     2

x 1  y 1 mm 0 , đ}y l| đường trịn  C2 có tâm I 1;1 ,R2   m

Do yêu cầu toán nên    C , C1 phải tiếp xúc với nhau, suy

 2

1 2

I I R R m 10

Ta đưa việc giải phương trình từ tìm mối liên hệ x,y Từ giả thiết ta có

 

      

2

2 x 2y x 2y

2 2

x 2y 2 x 2y

4 f x 2y 2 f x 2y x 2y 2

7 7

  

  

          

2

S x x

     

Chú ý. Ngồi ta đặt t x 22y sau dùng máy tính để giải phương trình mũ!

Câu 16 Chọn ý C Tương tự câu Câu 17 Chọn ý A

Đặt x ln a, y ln b  x y  y x x    2; 2 Do log ab ln a x x x x2 2;2

ln b y y  

(20)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Theo giả thiết ta có t y

x

  Khi ta

2x 5y 2y 5x 2x 2y 11

P ln ln 5 ln 2t ln 13

y x y x t

 

   

               

 

Theo giả thiết ta có a b 1   64 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta    a b 2

64 a b a b 14 a b 12

2

 

 

           

 

Giá trị nhỏ hàm số l| đạt x

16

(21)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

2 HÀM ĐẶC TRƣNG

Dạng to{n n|y đề cho phương trình h|m đặc trưng từ ta tìm mối liên hệ biến rút vào giả thiết thứ để giải u cầu tốn Nhìn chung dạng tốn ta cần nắm kỹ biến đổi làm xuất h|m đặc trưng kết hợp với kiến thức đạo hàm giải trọn vẹn!

Ta có tính chất sau hàm số

Tính chất Nếu hàm số y f x   đơn điệu chiều miền D tồn u, v D phương trình f u   f v  u v

Ta dùng kiến thức n|y để giải tốn mục này!

Câu 1: Cho số thực không âm x,y thỏa mãn x2 2x y log2 2y

x

    

 Tìm giá trị nhỏ

nhất m biểu thức P e 2x 1 4x2 2y 1 A m 1

B m

2

  C m

e

 D m e 3 

Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn Lời giải

Mấu chốt toán phải làm xuất h|m đặc trưng từ rút mối liên hệ x y Biến đổi giả thiết ta có:

   

            

2

2 2

2

2 2

2

2y 1

x 2x y log x 2x y log 2y log x

x

2x 4x 2 log x log 2y 2y

2 x log x log 2y 2y f x f 2y 1



           



       

           

Xét hàm số f t log t t2  đoạn 0; ta có  

1

f ' t

t ln

   Do f t  hàm đồng biến 0; Vậy phương trình  1 2y x 1    2

Thế vào biểu thức cần tìm ta P e2x 4x2 x 1 2

2



      

Chọn ý B

Chú ý:

 Phần tìm giá trị nhỏ hàm biến xin nhường cho bạn đọc!

 Để tìm hàm đặc trưng ta phải dựa vào biểu thức mũ biểu thức hàm logarit

(22)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 2: Cho số x,y,z thỏa mãn x y z 0   đồng thời log2 x y x z z x 2y 

y z

  

      

 

Khi GTNN biểu thức

2

z 4y

P

4z 2xz 4y

 

  bao nhiêu?

A 1

2 B

2

3 C

1

5 D

3

Nguyễn Minh Tuấn Lời giải

Ý tưởng tốn khơng mới, vấn đề ta phải tìm mối liên hệ biến với nhau, bám sát vào biểu thức dấu logarit để xây dựng hàm đặc trưng Biến đổi giả thiết ta được:

  

     

       

2

x y

log x z z x 2y

y z

log x y log y z z x 2y x z log x y x y log y z y z x y y z x z 2y

     

  

 

       

       

       Thế vào giả thiết ta được:

2 2 2

z 4y x 2xz 2z t 2t x

P t

4z 2xz 4y x 4xz 5z t 4t z

      

      

       

Từ đ}y dẽ d|ng tìm P

2



Chọn ý A

Câu 3: Cho số x, y 0 thỏa mãn x2 y2 1 v| đồng thời

2

1 y

x 2y ln

x y

       

  

Biết giá trị nhỏ biểu thức P x2 24y 2 m n

y x y

  

 với m,n số nguyên dương

Hỏi có số m, n thỏa mãn?

A 1 B 3 C 0 D 2

Nhìn thấy biểu thức logarit viết dạng phân thức ta nghĩ tới hàm đặc trưng Biến đổi gải thiết ta

   

2

2 2 2 2

1 y

x 2y ln

x y

ln y y ln x y x y x 2y

       

  

          

(23)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN



 

4 4

4

3

2 2 2 2 2

x x x x x

27x 3x

1

x y y x y y y y

27 27

     

 



      

4

3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16y 16y 16y 108y 4y 3 3.2y

x y

2y x y x y 2y x x y y x y

27

    



      

Cộng vế theo vế ta P 3 27 

Vậy có số m, n thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý D

Câu 4: Cho phương trình log 2x2 2x 2 2y2 y2x2x Hỏi có cặp số nguyên dương x, y , x 500     thỏa mãn phương trình cho?

A 4 B 2 C 3 D 1

Biến đổi giả thiết ta được:

 2  y2 2 2  2  2 y2 2

2

log 2x 2x 2 2 y x  x log x   x x   x y

    2  

2

log x x 2 y 2 2 2

2

2   log x x y log x x y

         

Do x 500  y2 log x2 2  x 1 0;18  0 y Vậy ta có giá trị nguyên y thỏa mãn yêu cầu đề b|i đồng nghĩa có cặp số x, y thỏa mãn phương trình cho Chọn ý A

Câu 5: Cho số thực a,b,c thỏa mãn log2 2 a b c2 2 a a 4  b b 4 c c 4

a b c

       

   Giá

trị lớn biểu thức P a 2b 3c

a b c

 



  A 12 30

3



B 4 30

3



C 8 30

3



D 6 30

3



Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn Lời giải

Một toán phát biểu đơn giản khó Trước tiên biến đổi giả thiết ta được

     

         

2 2

2 2 2

2

2 2

a b c

log a a b b c c

a b c

log a b c a b c log a b c a b c a b c a b c a b c 10 C

 

     

  

             

              

(24)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

       

a 2b 3c

P a P b P c P P

a b c

 

       

 

Điều kiện tương giao mặt phẳng  P mặt cầu  C là:  

      26P 12 30

d I; P R I 2;2;2 ,R 10 10 P

3 3P 12P 14

 

     

 

Chọn ý D

Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực dương tham số a thỏa mãn bất đẳng thức

2017 a

a 2017

1

2

     

   

   

A 0 a 1  B 1 a 2017  C a 2017 D 0 a 2017 

THPT Kiến An – Hải Phòng 2017 – 2018 Lời giải

Lấy logarit số vế ta

2017 a

a 2017 a 2017

2

a 2017 a 2017

a 2017

2 a 2017

1 1

2 2017 log a log

2 2

1

log log

2

a 2017

            

       

       

     

   

   

 

Xét hàm số :

         

x

x x x x

2 x

2

2 x

1

log log 4 1 x 4 x.ln 4 4 1 ln 4 1

1

f x f ' x

x x ln x

  

        

   

    



 

 

Suy f x  hàm giảm 0;f a  f 2017 a 2017  Chọn ý D

Nhận xét Qua ví dụ ta phần n|o hiểu ý tưởng v| phương ph{p l|m dạng to{n n|y Sau đ}y l| c{c b|i tập luyện tập cho bạn

Câu 1: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log3 ab 3ab a b

a b

    

nhất biểu thức S a 5b  A. 95

3



B. 95 15

12



C. 95 16

3



D. 95 21

6

(25)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 2: Cho số thực dương x,y thỏa mãn

2 x y

2

x 2018

2017

y 2y 2019

   

  Biết giá trị nhỏ

nhất biểu thức S4x23y 4y 23x25xy a

b tối giản Tính T a b 

A. T 27 B. T 17 C. T 195 D. T 207

Câu 3: Cho số thực dương a,b thỏa mãn log2 ab 2ab a b

a b



   

nhất biểu thức P a 2b  A. 10

2



B. 10

2



C. 10

2



D. 10

2

 Câu 4: Cho số thực x,y thỏa mãn 2

2

x 4y x y x y x

e e y

4

        

Biết giá trị lớn biểu thức P x 2y22x28y x 2  a

b tối giản

Tính T a b 

A. T 85 B. T 31 C. T 75 D. T 41

Câu 5: Cho số thực dương x,y thỏa mãn

x 2y

xy 1

3 2xy 2x 4y

3



        

  Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức P 2x 3y 

A. 7 B. 10

10



C. 15 20 D.

2



Câu 6: Cho số thực dương x,y thỏa mãn x y3 x y log2 x y xy 3 2xy

1 xy



       



Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 3y  A. 15

2



B. 15

2



C. 15 2 D. 15

6

 Câu 7: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log2 y y2 3y x x

2 x 1       Tìm giá trị

nhỏ biểu thức P x 100y 

A. 2499 B. 2501 C. 2500 D. 2490

Câu 8: Cho số thực x,y thỏa mãn log 3 2 x y2 x x 3  y y 3  xy

x y xy



    

   Tìm giá

trị lớn biểu thức P x 2y

x y

  

 

A. 69 249

94



B. 43 249

94



C. 37 249

21



D. 69 249

94

(26)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 9: Cho số thực x,y thỏa mãn log 3 2 x y2 x x 3  y y 3  xy

x y xy



    

   Tìm giá

trị nhỏ biểu thức P x 2y

x y

  

 

A. 69 249

94



B. 43 249

94



C. 37 249

21



D. 69 249

94

 Câu 10: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log3 2x y x 2y

x y

 

 

biểu thức S

x y

 

A. B. 3 C. D. 3

Câu 11: Cho số thực x,y thỏa mãn log2 2 x y2 x x 4  y y 4  xy

x y xy



    

   Biết giá

trị lớn biểu thức P x 2y a b

x y c

  

 

  , với a,b,c số nguyên dương v|

a c

tối giản Tính S a b c  

A. 221 B. 231 C. 195 D. 196

Câu 12: Cho số x,y thỏa mãn   

2

y y

x y x xy y 2 ln

x x

      

  Tìm giá trị nhỏ

nhất biểu thức P 2 2 xy

x y 2xy

  



A. B. C. D.

Câu 13: Cho số thực dương x,y thỏa mãn 20182xy 4x 2y 2x y

xy

    

 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức S x 4y 

A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 Câu 14: Cho x,y số thực thỏa mãn log2 y y x 1 y2 x

2 x 1      Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 

A.

4

 B.

4

 C. 2 D. 1

Câu 15: Cho số thực dương x,y thỏa mãn log3 6x 6y 232 2 9x2 9y2 6x 6y 21

x y

 

    

 Biết

giá trị lớn biểu thức Px y 50 9xy   39x26y2 a

b với a,b số

nguyên dương v| a

b tối giản Tính T a b 

(27)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 16: Cho số thực x,y thỏa mãn x, y 1 log3x y 1   y 1  9 x y 1    Biết giá trị nhỏ biểu thức P x 3y357 x y   số thực có dạng a b 7 với a,b số nguyên Tính T a b 

A. 28 B. 29 C. 30 D. 31

Câu 17: Cho số thực x,y thỏa mãn

2

x y

log x 2y 3xy

3xy x

    

của biểu thức

2

2x xy 2y

P

2xy y

  



A.

2 B.

5

2 C.

1

2 D.

7

Câu 18: Cho số thực a,b thỏa mãn log5 4a 2b a 3b

a b

 

    

  

biểu thức P a 2b2 A.

2 B.

5

2 C.

1

2 D.

7

Câu 19: Cho x,y số thực dương thỏa mãn log2 x 4y 2x 4y

x y

  

     

nhất biểu thức

 

4 2

3

2x 2x y 6x

P

x y

  



A.

4 B.

16

9 C. D.

25

Câu 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn   xy

x 2y x 2y

xy

3

5 x y x

3

          Tìm giá trị nhỏ biểu thức T x 2y 

A. 3 B. 6 C. 6 D. 3

Biến đổi giả thiết ta

       

 

       

     

3

log ab log a b ab a b log ab ab log a b a b

6 a

3 ab a b b 3a a b a 3a

       

       



           



  95 95

S f a f

3

        

 

(28)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

    

   

2 1 y

2 x

2

x 2018 2017 y 2018 2017 x y 191

S 16 x x x x 12 16



      

      

Câu Chọn ý A Tương tự câu Câu Chọn ý A

 

2 2

x 4y x y x

2 2

4e 4e y x 4y

x 4y x 4e y x 4e

x 4y x y x x y 4y

    

    

   

        

         

Đến đ}y vào giả thiết lại khảo sát hàm số đoạn 1;1 ta tìm giá trị lớn P 58

27

 Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có

   

 

1 xy x 2y

1 2 xy 2 x 2y 1 xy x 2y

3

1 x

P f x 2x f

x 2

 

           

   

   

 

 

 

         

   

Câu Chọn ý C Biến đổi giả thiết ta có

           

      

3

2

x y x y log x y xy xy log xy x

2 x

x y xy y x 0; P x 15

2x 2x

          

 

            

 

Câu Chọn ý B Biến đổi giả thiết ta có

 

2

log y y 3y log x x x y x P x 100 x x 50 2501 2501

          

         

Câu Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có

     

 

     

2 2

3

2 2

3

log x y log x y xy x y xy x y

log x y x y log x y xy x y xy

         

           

  2 y 3y2 y 3y

3 x y x y xy x x

2 2

   

              

(29)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 

2

a b

y y 3

x a b 1

2 2

 

          

   

Khi ta

 

     

b 2b

x a , y P x y x 2y

3

b 3b

P a a P a P b 8P

3 3

         

 

             

 

Coi  1 l| phương trình đường trịn  C có tâm gốc tọa độ R 1  2 l| phương trình đường thẳng  d Để  C  d có điểm chung ta có điều kiện:

 

 2  2

8P 69 249 69 249

d O;d R P

94 94

1

P P

3

  

     

  

Câu Chọn ý D Tương tự câu Câu 10 Chọn ý A Biến đổi giả thiết ta có

   

        

 

3

log 2x y log x y x 2y

log 2x y 2x y log x y x y

1

x 2y S f x f

x x

2

     

           

            

Câu 11 Chọn ý A Tương tự câu Câu 12 Chọn ý C Biến đổi giả thiết ta có

  

     

   

2

3 2

2 3

2

y y

x y x xy y 2 ln

x x

x y x y ln y y ln x x ln x x x 2x ln y y y 2y

1

x y P x

x

 

    

 

         

         

     

Câu 13 Chọn ý D Câu 14 Chọn ý B

Đề thi HKI – Chuyên Amsterdam – Hà Nội – 2017 – 2018

(30)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh – Lần – 2017 – 2018

Biến đổi giả thiết ta có   

               

         

 

y

3

3 3

3

log x y x y y log x y x y

9

log x y x log x log y x

y y

9 9

log x x log x x y xy xy

y y y



                          

 

                

  

Khi P 8 xy3 3xy xy  57 xy   f xy f 7  a 83

b 112

            

  

Câu 17 Chọn ý B Biến đổi giả thiết ta có

   

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

x y 2x 2y

log 2x 2y 3xy x log 2x 2y 3xy x

3xy x 3xy x

log 2x 2y 2x 2y log 3xy x 3xy x

 

         

 

       

2 2 2

2

x 2x 2y 3xy x x 3xy 2y

y

x x

2

y y x

P 2x f f

y 2

1 y

          

   

   

   

      

   

 Câu 18 Chọn ý C

Câu 19 Chọn ý B Câu 20 Chọn ý B

 

   

     

xy

x 2y x 2y

xy

x 2y x 2y xy 1 xy

3

5 x y x

3

5 x 2y xy

x 1 xy x y y x x y x

x 2 x

S f x x f 6

x

  

    

      

       



            

 

       

(31)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐỊNH LÝ VIET

Phương ph{p chung toán dạng hầu hết l| đưa giả thiết phương trình logarit dạng tam thức, sau sử dụng định lý viet phép biến đổi logarit để giải b|i to{n Để hiểu rõ ta v|o c{c ví dụ

Ví dụ 1: Cho số nguyên dương a, b 1 thỏa mãn phương trình:

a b a b

11log x log x 8log x 20 log x 11 0   

Biết phương trình có tích nghiệm số tự nhiên nhỏ Tính S 2a 3b 

A. 28 B. 10 C. 22 D. 15

Đề minh họa học sinh giỏi tỉnh cấp THPT tỉnh Phú Thọ

Lời giải

Ta đưa phương trình phương trình bậc theo ẩn log xa ta được:

 2  

b a b a

11log a log x 4 5log a log x 11 0  

Để phương trình có nghiệm   0 400 log a b 2164log a 64 0b   Gọi x , x1 nghiệm phương trình theo định lý Viet ta có

 b 

a a a

b

4 5log a 20

log x log x log b

11log a 11 11



   

  11 118 20

a a

8 20

log x x log b x x b a

11 11

    

Do a,b số nguyên dương đồng thời tích nghiệm số tự nhiên nhỏ nên ta

có đ{nh gi{ sau      

8 20 1

20 18 20

11 11 11 11 11

1

x x b a  a b  b 2 b

Để x x1 2 *2 b9 n11 2 29  n 3, mặt khác 11

n 2n Đến đ}y ta xét c{c trường hợp sau

 Nếu n 4 b8 8192 b

 Nếu n 6 b8 708588 b

 Nếu n 8 b8 708588 b Vậy a 2, b 8 

Chọn ý A

Ví dụ 2: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a ln x b ln x 02    có nghiệm phân biệt x , x1 2 v| phương trình 5log x blog x a 02    có nghiệm x , x3 4 thỏa mãn x x1 x x3 Khi gi{ trị nhỏ biểu thức S 2a 3b 

A 30 B 25 C D 17

(32)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Điều kiện để hai phương trình có hai nghiệm phân biệt x 0, b 220a 0 v| a,b đồng thời số tự nhiên lớn

Xét phương trình a ln x b ln x 02    , đặt t ln x phương trình trở thành at2 bt 0  , giả sử t1 ln x , t1 ln x2 nghiệm phương trình theo Viet ta có:

  ba

1 2 2

b

t t ln x ln x ln x x x x e

a



       

Tương tự phương trình 5log x blog x a 02    ta có

b

x x 10

Mặt khác theo giả thiết ta có:

b b b

a 5

1

b b b ln 10

x x x x e 10 ln 10 ln 10 a

a a a ln 10

  

            

Đồng thời ta lại có a số nguyên dương nên suy a 3 b220a 0, b  *  b Vậy S 2a 3b 2.3 3.8 30    

Chọn ý A

Ví dụ 3: Cho số thực a, b 1 v| phương trình log ax log bxa  b 2018 có nghiệm phân biệt m,n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P4a29b236m n2 1

A 144 B 72 C 68 D 216

Lời giải

Ta đưa phương trình phương trình bậc theo ẩn log xa ta được:

      

   

a b a b

2

a b a b b a b a

log ax log bx 2018 log x log x 2018

log x log x log x log x 2018 log a log x log a log x 2017

    

        

Theo định lý viet ta có

  b

a a a a a

b

1 log a 1

log m log n log b log log mn mn

log a ab ab



         

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

 2 2

2 2

36 36

P 4a 9b 4a 9b 144

a b a b

 

     

 

Dấu “=” xảy

2

4a 9b

a 3, b 36 1

a b

 

   



 

(33)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Ví dụ 4: Cho số thực a,b,c thay đổi lớn 1, thỏa mãn a b c 100   Gọi m,n nghiệm phương trình log xa  2  1 log b 3log c log x 0a  a  a   Tính giá trị biểu thức S a 2b 3c   mn đạt giá trị lớn

A 500

3 B

700

3 C 00 D

600

Lời giải

Với toán giả thiết đưa tam thức bậc sẵn nên ta cần sử dụng tới định lý viet, ta

 3

a a a a a

log m log n log b 3log c log ab c     mn ab c Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

     

 

3

2

6

8

4 3b 3b

mn ab c ab 100 a b 3a 100 a b 100 a b 100 a b

27 2

3b

3a 100 a b

4 2 625.10

27 27

 

            

 

      

 

   

 

 

Dấu “=” xảy 3a 3b 100 a b a 50,b 100,c 150 S 700

2 3 3

         

Chọn ý B

Ví dụ 5: Cho phương trìnhln x2 m ln x n ,ln x      n ln x m 2      Biết phương trình    1 , có nghiệm phân biệt đồng thời có chung nghiệm x1 nghiệm phương trình  1 , x2 nghiệm phương trình  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x 12x22

A B C D

Đề thử nghiệm môn tốn kì thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ GD&ĐT

Lời giải

Điều kiện m n

Gọi x0 nghiệm chung phương trình ta có

 

     

 

2

0

2

0

ln x m ln x n

n ln x m ln x n m

ln x n ln x m

n m ln x m n ln x m n

    

      



    

         

Áp dụng định lý viet cho phương trình ta có



1

0

ln x ln x m

ln x ln x m n

ln x ln x n

   

       



ln x ln x n ln x n

(34)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

2

2 2

1

ln x m

n ln x ln x m n ln x n 1 m n

ln x n

m m

  

 

          

 

  

Khi S x12 x22 e 2m e2m 

    Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

2 2m 2m 2m 2m

1

S x x e e 2 e e 2

Chọn ý B

Câu 1: Cho số thực a, b 1 Biết phương trình a bx x 12 1 có nghiệm phân biệt x , x1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức  

2

1

x x

S x x

x x

 

    

 

A B 3 23 C 3 43 D 34

Câu 2: Cho số nguyên dương a, b 1 Biết phương trình ax 1 bx có nghiệm phân biệt

1

x , x v| phương trình bx 12  9a x có nghiệm phân biệt x , x3 thỏa mãn điều kiện x1x2x3x43 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 3a 2b 

A 12 B 46 C 44 D 22

Câu 3: Xét số nguyên dương a,b cho phương trình a.4xb.2x50 0 có nghiệm phân biệt x , x1 2 v| phương trình 9xb.3x50a 0 có nghiệm phân biệt x , x3 4 thỏa mãn điều kiện x3x4 x1x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 2a 3b 

A 49 B 51 C 78 D 81

Câu 4: Cho số thực a, b 1 thay đổi thỏa mãn a b 10  Gọi m,n nghiệm phương trình log x log xa  b 2 log x 0a   Tìm giá trị nhỏ P mn 9a 

A 279

4 B 90 C

81

4 D

45

Câu 5: : Cho số thực a, b 1 thay đổi thỏa mãn a b 10  Gọi m,n nghiệm phương trình log x log xa  b 2 log x 3log x 0a  b   Tìm giá trị nhỏ P mn A 16875

16 B

4000

27 C 15625 D 3456

Câu 6: Biết m,n số nguyên dương thay đổi lớn phương trình

m n m n

8log x log x log x log x 2017   ln có nghiệm phân biệt a,b Tính S m n  để tích ab số nguyên dương nhỏ

A 20 B 12 C 24 D 48

Câu 7: Biết m,n số dương thay đổi khác thỏa mãn m n 2017  phương trình 8log x log x log x log x 2017 0m n  m  n   ln có nghiệm phân biệt a,b Biết giá trị lớn biểu thức ln ab  3ln c ln d

4 13 18 13

   

   

    với c,d số

(35)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

A 2017 B 66561 C 64544 D 26221

Câu 8: Cho số thực a, b 1 Biết phương trình a bx2 x 1 1 có nghiệm thực Tìm giá trị nhỏ biểu thức a 

a

4 P log ab

log b

 

A 2017 B 66561 C 64544 D 26221

Câu 9: Cho số nguyên dương a, b 1 thỏa mãn phương trình:

a b a b

13log x log x 8log x 20 log x 11 0   

Biết phương trình có tích nghiệm số tự nhiên nhỏ Tính S 3a 4b 

A 52 B 34 C 70 D 56

Câu 10[Minh Tuấn]: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 6   Gọi m,n nghiệm phương trình log x.log xabcb b 712 Biết giá trị nhỏ biểu thức P log 3mn4 10 1 108

mn a b c

   

       

 

  viết dạng i log j với i,j số

nguyên dương Khi gi{ trị biểu thức T i j  bằng?

A B C D

Biến đổi giả thiết đồng thời áp dụng định lý viet ta

1 b

2

b

1

x x log a

x xlog a

x x

   

    

  

2

3

b b b

b b

1

S log a log a log a

log a log a

   

       

   

Với phương trình đầu ta lấy logarit vế ta x2x log b 0a   Phương trình n|y có nghiệm  log ba 2    4 b a2

Tương tự với phương trình ta có x2xlog 9ab    1 log 9ab 2 4 Theo viet ta

     

1 a

a b a

3 b

x x log b

log b.log 9a log 9a a

x x log 9a

 

      

   

Khi ta b 16  b 17 S 46 Câu Chọn ý D

Điều kiện để phương trình có nghiệm dương l| 1

2 2

0;S 0;P

b 200a

0;S 0;P

    

     

(36)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Theo viet ta có

 

1

3

x x

1 2

x x

3

50 50

2 x x log

a a

3 50a x x log 50a

    

 

    



Theo giả thiết ta có x3 x4 x1 x2 log 50a3  log2 50 a b 25 S 81

a

 

           

 

Biến đổi phương trình đầu ta phương trình tương đương  2

b a a

log a log x 2 log x 0 

Theo viet ta có a a a 2

b

2 279

log n log n log b mn b P b 9b 90

log a

         

Câu Chọn ý D

Biến đổi phương trình đầu ta phương trình tương đương

  2 

b a b a

log a log x  3log a log x 0  

Theo Viet ta có a a b a

b

2 3log a

log m log n log b mn a b

log a



     

 2    

S a 10 a f a f 3456

     

L|m tương tự ví dụ minh họa Câu Chọn ý B

Biến đổi phương trình tương đương

  2 

n m n m

8log m log x  log m log x 2017 0   Theo viet ta có

     

7

n

m m

n

6log m 7

log a log b ab m n ln ab ln m ln 2017 m f m

8log m



        

  12102 12102 14119

f m f ln ln S 66561

13 13 13

 

      

 

Câu Chọn ý C Ta có log b 0a 

Lấy logarit vế ta x2 x log b log b 0a  a 

Điều kiện có nghiệm phương trình l|  log ba 24 log b 0a  log b 4a 

   

a a

a

4

P log b f log b f log b

      

Tương tự ví dụ minh họa Câu 10 Chọn ý A

(37)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

   

b b b b b b

2

b b b b

log x.log xabc 712 log x log x log a log c 712 log x log a log c log x 712

     

     

Theo định lý viet ta có log m log n log abcb  b  b mn abc Khi ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức

 

4

10 1

P log 3mn 108 log 3abc 10 ab bc ca 108

mn a b c

   

           

 

Theo bất đẳng thức Schur bậc ta có

      

 

   

2

3 a b c ab bc ca a b c

3abc ab bc ca 36

9

3abc 10 ab bc ca ab bc ca 72

      

    

        

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 2  

1

ab bc ca a b c 12 ab bc ca 72 96

            

 

4 4

P log 96 108 log 12 log

(38)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

4 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI BIỂU THỨC LOG AB

Vấn đề đề cập tới đ}y thực chất toán biến đổi giả thiết theo ẩn b

log a v| đưa khảo sát hàm số biến đơn giản Sau đ}y l| c{c ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho a,b số thực thay đổi thỏa mãn 1 a  b Biết giá trị nhỏ

của biểu thức  

2

a b

a

b P log b log

a

 

   

 

 

3 3

m n p số nguyên Tính giá trị T m n p   ?

A 1 B C 14 D 10

Vted.vn Lời giải

   

2

a b a b

a a

b

P log b log a log b log a a

   

        

   

   

   

2

a a

1

4 log b log b

log b b

log a

 

   

          

   

 

 

Đặt t log b t 1 a            

2 3

3 0;1

t 1

S f t 4t f t f 2

t 2

  

 

             

   

Chọn ý C

Ví dụ 2: Cho số thực x , x , , x1 n thuộc khoảng

1 0;

4

 

 

  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S logx1 x2 logx2 x3 logxn x1

4 4

     

          

     

A 2n B C n D

Lời giải

Trước tiên ta xét tới bất đẳng thức phụ

2

k k k

1

x x x

4

 

     

 

Bất đẳng thức ln đúng, {p dụng vào tốn ta có:

 

1 n n

2 2

x x x x x x

P log x log x   log x 2 log x log x   log x

Théo bất đẳng thức AM – GM ta có:

 x1 x2 xn 1 x1 x2 xn

2 log x log x   log x 2n log x log x log x 2n

(39)

CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN

Ví dụ 3: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn 1 b a

3   Biết giá trị nhỏ biểu

thức a 3 2b

a

3b

P log 12 log a

4a

     

  l| M đạt

m

a b Tính M m ?

A 15 B 12 C 37

3 D

28

Lời giải

Ta có bất đẳng thức phụ sau    

3

3b b

3b 4b 2b b

4a a

        

Mặt kh{c Khi ta b a

3   nên ta

 

2

a a

b 12

P log 12 3log b

b

a log log b 1

a                

       

a a a

a a

12 3 12

3log b log b log b 3.3

2

log b log b

        

 

Dấu “=” xảy  

 

1

3

a a

a

3 12

log b log b b a a b

2   log b 1      

Chọn ý D

Ví dụ 4: Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện 3a b 0   v| đồng thời biểu thức

3

a 3a

b

a

P log log a

4b 16 

 

    

    đạt giá trị nhỏ Tính tổng S 3a b 

A B 13

2 C

25

2 D 14

Đề thi thử trường THPT Kim Sơn A – Ninh Bình lần Lời giải

Ý tưởng tốn khơng cịn tốn trước dồn log ba điều khó, thay

vào tinh ý ta dồn biến theo ẩn

3

4

a a log

b bất đẳng thức AM – GM Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2

3

a 3a a

b

a

2

3

a a

P log log a log

3a

4b 16 4b 16 log

b 2

a a 3

(40)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM lần ta

2

3 3

a a a

a a

2

3

3 a a 3

a

a 3 a a 3

log log log

a a

4b 16 log 4b 4b 16 log

4b 4b

1 a a 3

3 log log

a

2 4b 4b 16 log

4b

   

   

     

       

     

         

   

 

 

   

       

     

 

Dấu “=” xảy a b 2  Chọn ý A

Ví dụ 5: Cho số thực a, b, c1; 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

     

bc ca ab

P log 2a 8a 8 log 4b 16b 16 log c 4c 4

A 3 9

4

289

log log

2  B

11

2 C D

Đề thi thử chuyên Lê Hồng Phong Lời giải

Xét bất đẳng thức phụ x24x x  x x  240 x1; 2 Áp dụng v|o b|i to{n ta được:

     

 

2 2

bc ca ab

3 3

bc ac ab bc ca bc ac ab

P log 2a 8a log 4b 16b 16 log c 4c

log 2a log 4b log c log log log a log b log c

        

       

Mặt khác a, b, c1; 2 nên ta có

   

bc ca

2 4

1 1

log log

log bc log ca log 2.2 log 2.2

     

Lại theo bất đẳng thức Nesbit ta có:

 bc ac ab  a,b,c

cyc

ln a

3 log a log b log c 3

ln b ln c

   

 

Vậy giá trị nhỏ P Chọn ý D

Chú ý: Cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit

Đ}y l| bất đẳng thức tiếng, có 20 c{ch chứng minh cho bất đẳng thức n|y, sau đ}y xin trình b|y cách xét hiệu nhanh cho người tham khảo

Xét số thực dương a,b,c thay đổi, ta có a b c

b c c a a b 2     

Chứng minh: Ta có  

  

2

cyc

a b

a b c 0

b c c a a b 2 a c b c



    

(41)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Bất đẳng thức nên ta có điều phải chứng minh!

Câu 1: Cho số thực a 1, b 1  Tính giá trị biểu thức S log a ab biểu thức

a b

P log b 8log a  đạt giá trị nhỏ nhất?

A 23 B

3

1

2



C 3 D 2 1 34

Câu 2: Cho số thực b a 1  Tính giá trị biểu thức S log a 3ab biểu thức a

a

log b

P log ab

a log

b

 

     

đạt giá trị nhỏ ?

A S 4 B S 11

4

 C S

3

 D S 3 Câu 3: Cho số thực a 1, b 1  Biết giá trị nhỏ biểu thức

4

ab ab

1

S

log a log b

 

m

n với m,n số nguyên dương v| m

n phân số tối giản Tính P 2m 3n 

A 30 B 42 C 24 D 35

Câu 4: Cho số thực a, b1; 2 thỏa mãn a b Biết giá trị nhỏ biểu thức

 

a b

a

P log b 4b 4 log a m n với m,n số nguyên dương Tính S m n 

A B 18 C 54 D 15

Câu 5: : Cho số thực a b 1  , biết

4

b b

a

P log log a

b

    

  đạt giá trị nhỏ

M b a m Tính m M ? A

2 B

37

10 C

17

2 D

35

Câu 6: Cho số thực a b 1  Biết biểu thức a ab

1 a

P log

log a b

  đạt giá trị lớn

khi có số thực k cho b a k Mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A k

2

  B 1 k

2  C

1 k

2

    D k

2

   Câu 7: Cho số thực b a 1  Tìm giá trị lớn 3 2

2

a b

P log log

b a

             ?

A 23 16

2



B 23 16

2



C 23

2



D 23

2

(42)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 8: Cho số thực a b 1  Biết biểu thức a ab

2 a

P log

log a b

  đạt giá trị lớn

là M có số thực m cho b a m Tính M m A 81

16 B

23

8 C

19

8 D

49 16

Câu 9: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn b a

4    Tìm giá trị nhỏ biểu

thức a a

b

1

P log b log b

4

     

  ?

A 0,5 B 1,5 C 4,5 D 3,5

Câu 10: Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện a b 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức  

2

a b

b

a

P log a 3log

b

     

 ?

A 19 B 13 C 14 D 15

Câu 11: Cho số thực thay đổi a,b thỏa mãn 1 b a

6   Tìm giá trị nhỏ biểu

thức 3a 3b

a

1 6b

P log 4log a

8

     

 

A B 12 C 23

2 D

25

Câu 12: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn a b 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

a b

P log 3log

b a

         

   ?

A B 5 C 5 6 D 4

Câu 13: Cho số thực a,b thay đổi thỏa mãn a3  b Tìm giá trị nhỏ biểu thức  

 

3 b

a b

2 a

log ab log a P

3 log b



  ?

A

e B 18 C

1

e D 14

Câu 14: Cho số thực a,b lớn Tìm gi{ trị nhỏ

2

a

ab

a 4b

S log

4 4log b

     

 

A

4 B

9

4 C

13

4 D

7

Câu 15: Cho số thực a b 0   Tìm giá trị lớn 2 

2

b a

P log a b log a

(43)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 16: Cho số thực dương a,b nhỏ Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức  

a b

4ab

P log log ab

a 4b

 

  



 

A 2

2



B 2

2



C 3 2

2



D 5

2

(44)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

5 SỬ DỤNG PHƣƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC

Đ}y l| nội dung chun đề mà muốn nhắc tới, dạng toán lấy ý tưởng từ đề thi THPT Quốc Gia 2018 Ví dụ minh họa đưa phần mở đầu chuyên đề, sau đ}y toán dạng mà muốn đề cập tới

CÁC BÀI TOÁN

Câu 1: Cho x, y 0 thỏa mãn điều kiện 4log 2x.log 2y log 4xy2 2  22 Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 2 sin x 2cosy Biết

1

b

M.n a.2  với

a,b 0 Tính giá trị biểu thức a3b3

A 31 B 32 C 33 D 35

Câu 2: Cho x 2, y 1  thỏa mãn log2 8.log2 x.log 2y 422

x y  Đặt

y x

P 2 2 Mệnh đề sau đ}y đúng?

A P 19 B P 19 C P 19 D Không tồn Câu 3: Cho x, y 0 thỏa mãn điều kiện:

2 2 x

9 log 3y 6log 3y log 3y log 3xy log

2

   

Đặt P x xy y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P11;12 B P12;13 C P10;11 D min P 10 Câu 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 2, y

3

  đồng thời:

  

2 2 2

log x log 3y log 3y 12 log x 4log xlog 3xy  80

Hỏi có số nguyên dương không vượt x 3y ?

A 7 B 8 C 5 D 11

Câu 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x, y 1 đồng thời:

2

2 2 3 2 2

8

log x log y log log x log y log

x y x y

  

    

  

  

Hỏi BCNN a b2 bao nhiêu?

A 4 B 8 C 12 D 16

Câu 6: Cho hai số thực x, y 1 thỏa mãn điều kiện:

     

2 2 2

2 x y

log x y log log 4xy

x 4y



   

 

Giá trị lớn biểu thức f x, y 2xy x 2y x  24y2 bằng? A 1

2 B

2

3 C

3

4 D

(45)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 7: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 27

2 y 16

  

  

 đồng thời

   

3 2

3

27 16 36

log log

x y y 2x log x y    log y 2x 1  Đặt P x2  1 2ylog xy   Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 4 B P 4 C P 4 D P 3 Câu 8: Cho hai số thực x y

2

   thỏa mãn điều kiện

   

2 2x 3y

2

2x 3y

log 3x y 3x y

4 log log 3x y

4

   

 

   

Khi biểu thức P 4xy có ước số nguyên?

A B C D

Câu 9: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 2y đồng thời

 

    

4

x 2y

x 2y x y 2

2 e e x y 4e

 

     

Đặt P a b  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 5 B min P 1 C P 3 D max P 4 Câu 10: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn

 

2

x 2y y y x x

2

2 log x y

2  1       Tìm giá trị lớn biểu thức P log x y 1  y x 2  2x 4y A 1

2 B

1

4 C

1

8 D

1 16

Câu 11: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 12 12 2 2 5ln xy

x y x y 2 2

Hỏi có số nguyên dương không vượt a b?

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 12: Cho số x,y thỏa mãn

2

0 x y x, y

     



 



 2  2 x y

sin x y tan x y

y x

1 2 2 2.2

2 4.4 16

  

  

 

  

Tính giá trị biểu thức    

2018

P sin x y cos x y

2

  

      

 

A 1 B 0 C  D 2

(46)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

A P 1 B P 2 C P 3 D P 4; Câu 14: Cho hai số thực x, y 1 thỏa mãn log 2x log y22  22 1 log x 1 22   Tính giá trị biểu thức P log x y 2  

A log 32 B log 52 C 1 D 2

Câu 15: Cho hai số thực dương x y 1  thỏa mãn

   x y    2  

2 2

4log x y 12  1 log x y  5 log x y 2

Đặt P a 3b3 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 2 B P 3 C P 1 D P 1 Câu 16: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện

 3

2

2 2

11 log 2x log 4y log xy

2

   

Đặt P x 3y3 Hỏi P có ước số nguyên?

A 1 B 2 C 5 D 0

Câu 17: Cho số thực dương x,y thỏa mãn x, y

x y

 

  

 đồng thời

x y 2y 2x 2x y

2  2  9.2 

Đặt P x y  Hỏi có số nguyên dương không vượt P?

A 1 B 2 C 5 D 0

Câu 18: Cho số x,y thỏa mãn x y

y

    

 thoả mãn

    x

ln x y ln y ln

2

    

Giá trị nhỏ biểu thức P x 2xy y là? A 1

5 B

1

3 C

1

6 D

1

Câu 19: Cho số x, y 0 thỏa mãn

2

2 2

y log x log y log x log

x

   

Có số ngun dương khơng vượt 8xy?

A 2 B 4 C 6 D 8

Câu 20: Cho số thực x,y thỏa mãn 1 2 x y 1 2 x 2y 1 2 x 3y 1 2 x3

Đặt 2  

2

x y y

P e x x 2y

4



     Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P e 1  B P e C max P e D P e 2  Câu 21: Cho số x, y 0 thỏa mãn điều kiện

(47)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Biết biểu thức

2

x y a

4 b



 với a

b phân số tối giản Tổng a b bằng?

A 5 B 6 C 4 D 7

Câu 22: Cho số x, y 0 thỏa mãn

 

x y

y x

y y

2x 2x

x y e

1

2 2

2 3.4 3.2

 

 



 

Khi x3y4 viết dạng m

n phân số

tối giản Hỏi T m n  có giá trị bao nhiêu?

A 149 B 147 C 160 D 151

Câu 23: Cho số thực a,b,c thỏa mãn 0 a, b, c 1 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1log ba 1log cb 1log a2c

2

  

A 3

4 B

5

4 C

7

4 D

9

y 1

x 4 y

4x

2  2  4 Đặt P x y  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng? A P 1 B 2

C 3

2 D

5

Câu 25: Cho số a,b thỏa mãn b a 1  b a

b log

log a a

2 16 4 Giá trị biểu thức P log2 a

b

 

  

 ?

A 0 B 2 C 3 D 1

Câu 26: Cho số thực x, y 0 thỏa mãn y 2x

x   v| đồng thời điều kiện

2 2

2 2x

log log log xy

x y 16

Đặt P 2 x y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 4; B P 1; C P 2; D P 6;7 Câu 27: Cho số thực x,y thỏa mãn x

2 y

  

  

 Hỏi có số x, y thỏa mãn

phương trình log sin xy2  cos x

6



 

    

 ?

A 4 B 2 C 3 D 1

(48)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

cos x sin x

2 x

1 cos

2

  

 

   

     

   

A 17

5



B 34

5



C 63

5



D 51

5

 Câu 29: Tìm tổng số   2;7 để phương trình sau có nghiệm đoạn  1;

2

5

log sin x cos x

2

          

  

 

A 17

7



B 18

7



C 19

7



D 20

7



Câu 30: Biết tồn a để phương trình 2sin x  sin x cos x sin x a   có nghiệm nhất, hỏi a có tất ước số nguyên

A 2 số B số C Khơng có D Vô số

Câu 31: Cho số thực dương x,y thõa mãn điều kiện

  2

2

xy x y 4 xy

2

xy x

2

1 log x log y 1

4

 

      

        

 

     

 

Hỏi có số ngun dương khơng vượt q a b4

A 13 B 14 C 15 D 16

Câu 32: Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn x y 2    x 2  y 3  Giá trị lớn biểu thức S 3 x y 4  x y 2   x y  3 x 2y2 a

b với a,b số nguyên dương

và a

b tối giản Tính P a b 

A P 8 B P 141 C P 148 D P 151 Câu 33: Cho x,y số tự nhiên khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 36 x 5y

A P 8 B 9 C 10 D 11

Câu 34: Cho số thực dương a,b,c kh{c thỏa mãn log b log c log2a 2b a c logb c

b b

   

Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P log b log c a  b Tính S 2m 3M 

A S

3

 B S

3

 C S 3 D S 2

Câu 35: Cho số thực a,b,c khác thỏa mãn 3a 5b 15c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P a 2b2c24 a b c    là?

(49)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 36: Cho a,b hai số thực thay đổi thỏa mãn b 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2  a 2

P a b  10 log b

A log

ln 10 ln 10

        

  B

1

2 log

ln 10 ln 10

        

 

C log ln 10  D ln

ln 10 ln 10

        

 

Câu 37: Cho số thực a,b,c lớn thỏa mãn log a2 1 log blog c log 2 2  bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 10log a 10log b log c 22  22  22

A  3 log 35 B 4 C  2 D  2 log 53 Câu 38: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P log bc log ca log ab a  b  c

A 6 B 12 C 11 D 10

Câu 39: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P log bc 3log ca log ab a  b  c A 16 B 6 3 C 4 3 D 8 3

Câu 40 [Lê Phúc Lữ]: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn abc a x by cz Tìm giá trị nhỏ P x y 2z  

A 4 B 4 C 6 D 10

Câu 41: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn abc a x by cz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16 16 z2

x y

  

A 20

B 20 33

4

 C 24 D 24 33

4



Câu 42: Cho số thực a,b,c thỏa mãn 0 a, b, c 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

a b c

S log b log c   log a

A 2 B 3 C 5

3 D

3

Câu 43: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b 3log c 62    Biết giá trị lớn biểu thức T log a log b log blog c log clog a  

k Mệnh đề n|o đ}y

đúng?

A k 1 B k33k2 3 C k33k 3 D k

2

(50)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 44: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b log blog c 3log clog a 1   Biết giá trị nhỏ biểu thức P log a log b log c   m n

p

 

với m,n,p số nguyên dương v| m

p phân số tối giản Tính m n p  ?

A 64 B 16 C 102 D 22

Câu 45: Với n số nguyên dương, biết log log2 2018 2017

  

   

 

  mà biểu

thức dấu ngoặc có tất n dấu Tìm giá trị nhỏ n?

A 2021 B 2014 C 2013 D 2020

Câu 46: Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn  a b  

1000

2 2

log log log 0 Giá trị lớn ab là?

A 500 B 375 C 125 D 250

Câu 47: Cho số thực dương a 1 , biết a a bất đẳng thức

a x

x a với số thực x lớn Hỏi mệnh đề n|o đ}y đúng?

A 1 a 2 B e a e2 C 2 a 3 D e2 a0 e3

Câu 48: Cho hàm số f x e a sin x b cos xx   với a,b số thực thay đổi v| phương trình f ' x f '' x 10ex có nghiệm Tìm giá trị lớn biểu thức S a 22ab 3b A 10 10 2 B 20 10 2 C 10 20 2 D 20

Câu 49: Cho số thực a,b thỏa mãn

a n b n

1

1 e

n n

 

      

   

    với số n nguyên dương

Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b ? A

ln 2 B 1 C

1

ln 2 D

1 ln 2

Câu 50: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log x 12   log y 42   log z 42 

A 29 B 23 C 26 D 27

Câu 51[Minh Tuấn]: Cho số thực x,y cho tổng chúng không }m v| đồng thời

 2x 2y  x y x y 2x 2y x y

y x

1 2

2 2

1 4

 

           

   

(51)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Biết giá trị biểu thức P x3 y4 m

n

   với m,n số nguyên dương v| m

n

phân số tối giản Hỏi biểu thức m2 n có tất ước số nguyên?

A 2 B 4 C 6 D

Câu 52: Cho số thực a, b, c 2; Biết giá trị lớn biểu thức

 3

a b c

S 4 a b c

      m

n phân số tối

giản Tính P m 2n 

A P 257 B P 258 C P 17 D P 18 Câu 53: Có tất số thực x; y;z thỏa mãn

   

2 3 2x 3y z2

2

2 4

2 16 128

xy z xy z

 

 

   



A 3 B 4 C 1 D 2

THPT Chuyên Quốc học Huế - Năm học 2017 – 2018

Câu 54: Cho hàm số  

2

m x

f x log

1 x



 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m

sao f a   f b 3 với số thực a,b thỏa mãn ea b e a b   Tính tích phần tử tập hợp S

A 27 B 3 C 3 D 27

Câu 55: Cho hệ phương trình

   

2

m

9x 4y

log 3x 2y log 3x 2y

   

    

 có nghiệm x; y thỏa

mãn 3x 2y 5  Tìm giá trị lớn m?

A 5 B log 53 C 5 D log 35

THPT Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình lần năm 2017 – 2018

Câu 56: Cho hàm số  

x

9 f x

9 m



 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m

sao cho f a   f b 1 với số thực a,b thỏa mãn ea b e a b 12    Tính tích phần tử S

A 81 B 3 C 3 D 9

Câu 57: Cho phương trình 3x  a.3 cos xx   9 Có giá trị thực tham số a thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình cho có nghiệm thực?

(52)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 58 : Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn 0x y  2 y z  2 x z 2 2 Biết giá trị lớn biểu thức P 4x 4y 4z ln x y4 z4 3x y z4

4

         a

b với a,b

các số nguyên dương v| a

b tối giản Tính S 2a 3b 

A 13 B 42 C 54 D 71

Câu 59: Cho hàm số f x  m 6 x 2x 2m 1,h x  x 61 x

6



       Tìm tham số m để

hàm số g x h x f x    có giá trị nhỏ với x 0;1 A m 1 B m

2

 C m 1;1

2

 

   D m 1

Câu 60 : Số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln x 1   x ax2 với số thực x

m

n phân số tối giản Tính T 2m 3n 

A T 5 B T 8 C T 7 D T 11

Câu 61: Cho số thực a, b, c 1; thỏa mãn log a log b log c 132  32  32  Tính giá trị biểu thức S a b c   biểu thức P a 3b3 c3 log a alog b2 blog c2 c đạt giá trị lớn nhất?

A 5 B

1

3.2 C 6 D 4

THPT Chuyên Thái Bình lần năm học 2017 – 2018

Câu 62: Cho số thực x,y phân biệt thỏa mãn x, y0; 2018

Đặt S ln y ln x

y x 2018 y 2018 x

 

   

     Mệnh đề n|o đ}y đúng?

A S

1009

 B S

1009

 C S

1009

 D S

1009



Câu 63: Cho số a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

ac ab

bc

4

P

log a log b 3log c

  

A 20 B 10 C 18 D 12

THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần năm 2017 – 2018

Câu 64: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2 2 2 2 

P a b a b c d c d

A 2 B 4 ln17

16 C

4

17 16

   

  D

17 ln

(53)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 65: Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn 2x4y8z 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y z

6

   A

12 B

4

3 C

1

6 D 1 log 3

Câu 66: Cho số thực a,b,c 1 thỏa mãn a b c 5   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log a log b 3log c   27

A log 53 B 1 C log 153 D

5 log

3

Câu 67: Biết a số thực dương để bất đẳng thức ax 9x 1 nghiệm với

x Mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A a10 ;103 4 B a10 ;102 3 C a0;102 D a10 ;4 

THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018

Câu 68: Gọi a giá trị nhỏ   n

3 i

n

log i f n

9



 với n ,n 2 Có số tự nhiên n để f n a?

A 2 B Vô số C 1 D 4

Câu 69: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn    

x x

2

2  log 14 y 2 y 1 Tính giá trị biểu thức P x 2y2xy 1 ?

A 3 B 1 C 2 D 4

THPT Quãng Xương – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018

Câu 70: Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện 4x9y16z 2x3y4z Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x 1 3y 1 4z 1

A 9 87

2



B 7 87

2



C 5 87

2



D 3 87

2

 Câu 71: Giá trị lớn hàm số

2

ln x

y m

ln x



 

 đoạn

2

1;e

 

  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu?

A 1

2



B

4

 

C

2

 

D 1

4



Câu 72: Biết  số thực lớn thỏa mãn bất đẳng thức

n

1

1 e, n

n





     

 

  Hỏi

mệnh đề n|o sau đ}y đúng?  0;1

(54)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 73: Cho số thực a,b không âm thỏa mãn log ab2  0;1 đồng thời

   

a b

log ab log ab

2 2a 2b

2

log ab log ab

2

  



   



Biết x y4 10 viết dạng m n với a,b số nguyên dương Hỏi có tất số m; n vậy?

A B C D

Câu 74: Có cặp số nguyên a; bthỏa mãn a, b 100  cho đồ thị hàm số y 1x

a b

  y 1x

b a

  cắt điểm phân biệt?

A 9704 B 9702 C 9698 D 9700

Câu 75: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn đẳng thức sau:

 

 2    2 

2 3

log log  x 9y 6xy 2x 6y 2   log log 9x y 6xy 6x 2y 3   Biết xy2 viết dạng m

n với m,n số nguyên không âm m

n phân

số tối giản Hỏi m n có giá trị

A B C 10 D 11

Câu 76: Cho số thực x,y thỏa mãn 0 x y

2



   v| đồng thời

 

 sin x y    cos x y   2 2

2

tan x y   cot x y  log x y Tính giá trị biểu thức sin x y2 x y

4



    

 

 ?

A

2 B 0 C 1 D

3

Câu 77: Cho số thực a,b,c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau

a b c a b c a b c

P 9 16  16 4  16 4 9

A 2 B 3 C 4 D 6

Câu 78: Cho số thực thỏa mãn x 2; ; y 0; ;z 1; Khi gi{ trị lớn biểu thức T x y z25 log x 1 3   log y 15   4log z5  bằng?

A 10 B 11 C 8 14 D 12

Câu 79: Cho số thực x,y,z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau

x y 2z y z 2x z x 2y

P 2011    2011    2011  

A B C D

(55)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e

a b c d e

     

     

     



      

      

Tìm giá trị lớn biểu thức Ma c b d

A 499499 B 500500 C 500499 D 499500 Câu 81: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm :

   

2

3

log x y log xy 2

x y 2xy m

     



   

A 1 B 2 C 3 D 4

  2     

2 2

log x 3 2 log 2 y 3 log y 3 2 log x 2  Giá trị nhỏ biểu thức P x  y215xy là?

A min P 80 B min P 91 C min P 83 D min P 63 Câu 83 : Có tất cặp số thực x; y thỏa mãn đồng thời điều kiện

 

2

3

x 2x log y

2

3

4 y y y

    

 

 

    

 ?

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu 84: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log2 xyz?

 

2 3 3 2

2

P log xy log x y  x z   y xy 2zy 2xz

A 3 B 2 C 1 D 0

Câu 85: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức 12 12 k2

sin x x   với

x 0;



 

  

  Khi gi{ trị k là?

A 5 B 2 C 4 D 6

Câu 86: Cho số thực a, b, c,d cho c d 0  đồng thời thỏa mãn

   

 

2

4

c d c d 2

log a b log a b

2 2 ln c d 2cd 4c 4d 16

   

     

 

       



(56)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Cho số x, y 0 thỏa mãn điều kiện log 2x.log 2y log 4xy2 2  22 Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P 2 sin x 2cosy Biết

1

b

M.n a.2  với a,b số nguyên dương v| a, b 0 Tính giá trị biểu thức a3b3

A 31 B 32 C 33 D 35

Nguyễn Minh Tuấn

Lời giải

 

2

2 2 2 2

2

2 2

4 log 2x.log 2y log 4xy log 2x.log 2y log 2x log 2y log 2x log 2y log 2x log 2y x y

   

      

Thế vào giả thiết ta P h x  2sin x 2cosx t 0;1  Đặt t sin x ta

  t 1 t2   t 1 t2

2

t

f t 2 f ' t ln 2 ln

1 t

 

     

Ta có  

 

2 2

t t t 1 t

2

t 0;1 t

f ' t ln 2 ln 2 2 t

t 1 t

 

  

    



 

 

Xét hàm số   a

2 g a

a

 khoảng  0;1 ta có      

a

2

2 aln

g' a a 0;1

a



   

Do g a  nghịch biến  0;1 ta t t2 t

2

   

Mặt khác ta lại có    

1

2 1

1

min P

f f 3; y

2 max P 2



  

  

     

   

Chọn ý D

Câu 2: Cho x 2, y 1  thỏa mãn log2 8.log2 x.log 2y 422

x y  Đặt

y x

P 2 2 Mệnh đề sau đ}y đúng?

A P 19 B P 19 C P 19 D Không tồn

Lời giải

Nhìn thống qua nhiều bạn cho dạng tốn rút để tìm min, max, nhiên bài ta phải sử dụng đến kiến thức bất đẳng thức Biến đổi giả thiết ta có:

   2

2

2 2 2 2

8 x

log log log 2y log x log x log y log y

x y      

(57)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

   2    2 2

2 2 2 2

4

2

AM GM 2

log y log y log x log x log y log y log x log x log y

2 log y log y

3 log x log x log y

2

4 VP

4



 

      

 

      

 

    

 

 

Dấu “=” xảy

2 2

2

3 log x log x log y log x 2 x 4 log y log y 1 y 1 log x

2

  

    

  



    

   

 Từ suy P 18 19 

Chọn ý A

Câu 3: Cho số thực x, y 1 thỏa mãn điều kiện:

 

2 2 x

9 log 3y log 3y log 3xy log

2

   

Đặt P x xy y Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P11;12 B P12;13 C P10;11 D min P 10

Lời giải

Ý tưởng kiếm điều kiện ràng buộc x,y sau giả thiết chỉ nhận nghiệm Vậy l|m để tìm mối liên hệ n|y? Dưới đ}y l| c{ch giải quyết

 

2 2 x

2 2 2

9 log 3y log 3y log 3xy log

2

8

log x log xlog 3y log 3y log xlog

3xy

   

   

Ta nhận thấy log x log 3y log2 2 2

3xy

  

Để đơn giản ta đặt 2

log x a log 3y b

8 log c

3xy



 

 

 

 



Lúc ta có giả thiết

a b c a ab 2abc

2

   



   



Thế b a c   vào giả thiết ta được:

2c a 2c2 5c a 0

2

     

Coi vế trái tam thức bậc theo biến a với c tham số ta có:

 2 2    2 2 

2c 5c 18 2c 2c c 4c

(58)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Suy  0, điều n|y đồng nghĩa VT 0

Dấu “=” xảy

2 2

3 a log x

x 2 2

b log 3y 2 y 3 c log

2 3xy



   

  



    

  



  

   

 

Từ đ}y suy P 76 12

9





Chọn ý C

Câu 4: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 2, y

3

  đồng thời:

  

2 2 2

log x log 3y log 3y 12 log x 4log xlog 3xy  80

Hỏi có số nguyên dương không vượt x 3y ?

A 7 B 8 C 5 D 11

Lời giải

Giống với b|i ý tưởng l| tìm mối liên hệ x,y nhiên không tinh ý khá vất vả Chú ý với b|i trước ta cần làm xuất biểu thức có dạng log2

a

b xy

Dễ thấy bên biểu thức thứ đặt nhân tử chung ta tìm biểu thức Lời giải b|i to{n sau

  

   

 

5

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

log x log 3y log 3y 12 log x log x log 3xy 80 5log x log 3y log 3y log x log 3xy 80

8

5log x log 3y log 3y log x log 80 3xy

   

    

 

    

 

Đặt log x,log 3y,log2 2 2 a, b, c a b c

3xy

 

    

 

 

Giả thiết lúc trở thành 5a b b  4ac80 Với điều kiện x 2, y a,b,c

3

    từ ta có 5a b a b

2

 

    

  v| đồng thời

 

2 b b

b 4ac b ab bc 4ac a c 2

  

          

  

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  

2

b 2a 2b 2c

P 10 a 2c b 10 80

2

 

   

        

(59)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Dấu “=” xảy

2 2

a log x x 4 b log 3y 1

y c log 1

3xy

 

 

   

    

   

   

  



Do x 3y 5  Vậy có tất số nguyên dương không vượt x 3y Chọn ý C

Câu 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x, y 1 đồng thời:

2

2 2 3 2 2

8

log x log y log log x log y log

x y x y

  

    

  

  

Hỏi BCNN x y2 bao nhiêu?

A 4 B 8 C 12 D 16

Lời giải

Sau tìm hiểu ý tưởng tốn tốn hẳn đơn giản với bạn rồi Biến đổi giả thiết ta được:

2

2 2 3 2 2

2 2 2

8

log x log y log log x log y log x y x y

2

log x log y 3log log x 3log y log

xy xy

  

    

  

  

  

      

  

Đặt ý log x log y log2 2 2 log2 log x log y2 2

xy xy

      

Thế vào giả thiết ta được:

    

2 2 2 2

log y log x log y 4log x log y log x log y log x

2

 

          

 

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

   

2 2

log y

log y 2

2 log x log y log x log y 2

  

 

 

         

   

 

Dấu “=” v| 2

1

log x x 2

y log y

   

 

 

 

  

(60)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 6: Cho hai số thực x, y 1 thỏa mãn điều kiện:

     

2 2 2

2 x y

log x y log log 4xy

x 4y



   

 

Giá trị lớn biểu thức f x, y 2xy x 2y x  24y2 bằng?

A 1

2 B

3 C

4 D

Lời giải

Nhìn hình thức tốn cồng kềnh, thấy tốn có chứa dấu trị tuyệt đối nên ta nghĩ ngay tới bất đẳng thức liên quan tới

Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có:

     

2

2 2 2

2

2 2

2 x y x 4y log x y log log x y 1 log

x 4y x y x 4y

log x y log log x 4y log x 4y x y

  

      

  

 

          



Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có log x2 24y21log 4xy 12  VP

Dấu “=” xảy    

2

x 4y

1 log log x y x y

x 2y

   

  

  

 

  

Thế vào f x, y  ta f x, y g x  2x x Ta có  

1;   

1 1

g ' x 2x x maxg x g

2 2x 

 

        

  Chọn ý C

Câu 7: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x 27

2 y 16   

  

 đồng thời

   

3 2

3

27 16 36 log log

x y y 2x log x y    log y 2x 1  Đặt P x2 1 2ylog xy   Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 4 B P 4 C P 4 D P 3

Lời giải

Sau l|m quen với hướng giải có lẽ kh{ l| đơn giản với bạn rồi, cần sử dụng bất đẳng thức AM – GM để triệt tiêu biểu thức chứa biến

   

3 2

27 16 36

log log

(61)

CH INH PH Ụ C OL YM PIC T O ÁN  

3 log x y3 4 log y 2x 12 2 log x y3  3log y 2x 12  36

          

 

       

 

       

       

3

3 AM GM

3

3 log x y log y 2x log x y 3log y 2x

1 6 log x y 12 3log y 2x 1 2 log x y 3log y 2x 1

6 log x y 12 3log y 2x log x y 3log y 2x 1 36                                       

Dấu “=” xảy  

 

3

2 x log x y x y 3

y 2x log y 2x y

3                             Từ suy P 4

Chọn ý A

Câu 8: Cho hai số thực x y

2

   thỏa mãn điều kiện

   

2 2x 3y

2

2x 3y

log 3x y 3x y

4 log log 3x y

4

   

 

   

Khi biểu thức P 4xy có ước số nguyên?

A 2 B 4 C 5 D 8

Lời giải

   

     

2 2x 3y

2

2x 3y

2x 3y 2x 3y 2x 3y

2 2

log 3x y 4 1 log 3x y log 3x y

4

log 3x y 4 log 3x y log 3x y

                       

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

   2x 3y   2x 3y 2x 3y 2 

2

4 log 3x y 1

log 3x y log 3x y

2

   

    

    

 2x 3y   2x 3y 2  2x 3y 2 

log 3x y 1 log 3x y log 3x y

2

 

           

Cộng vế bất đẳng thức ta VT VP

Dấu “=” xảy

 

2x 3y

3 x 2x 3y 2

2

1 log 3x y 3x y 4 y

2                           Vậy P 4xy 3  có tất ước số nguyên  1,

(62)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 9: Cho hai số x, y

2

 thỏa mãn x 2y đồng thời

 

    

4 x 2y

x 2y x y 2

2 e e x y 4e

 

     

Đặt P x y  Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 5 B min P 1 C P 3 D max P 4

Lời giải

Đ}y l| câu hay hẳn nhiều bạn nghĩ tới phương ph{p đ{nh gi{ đầu tiên, ý tưởng đó l| trước tiên ta cần phải biết tới bất đẳng thức phụ sau

Bất đẳng thức phụ hay gặp: ex  x

Chứng minh: Xét hàm số f x ex   x f ' x ex1, f ' x   0 x

    x

min f x f 0 e x x

      

 

    

 

    

4

2

x 2y x 2y

x 2y x y 2 x 2y x y

2 e e x y 4e e x y

   

             

Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có: ex y 2  x y 2  1 Mặt kh{c theo AM – GM ta có

 

     

4

2

x 2y x 2y

2 2

 

    

Vậy VT 4 Dấu “=” v|  

x 2y

x y x y

  

   



  

Chọn ý C

Câu 10: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện

 

2

x 2y y y x x

2 2 log x y 1  1       Tìm giá trị lớn biểu thức P logx y 1y x 2 2x 4y

  

 

A 1

2 B

4 C

8 D 16

Lời giải

Đến khơng cịn dễ to{n trước nữa, ta cần chút kỹ biến đổi để có thể có thêm định hướng giải toán

    

2

x 2y y y x x x 2y

x y

2

2 log x y

2      log x y y x

 

      

    

   

x 2y x 2y

x y x y

2 2 2

2  log   y x  log   y x

     

     

(63)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Để đơn giản ta đặt a logx yx y 1y x 2 a b 1

b a 2b b

  

   

      

  

 

Thế v|o ta    

2

b b b b P

2b

 

  

Chọn ý C

Câu 11: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn 12 12 2 2 5ln xy

x y x y 2 2

Hỏi có số ngun dương khơng vượt q x y ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải

Với ta sử dụng cách dồn biến đại lượng xy Có thể thấy vế tr{i l| đa thức đối xứng nên ta cho 12 12 2 2 52

2

     



x y

x y x y x xy Vậy toán thêm bớt sau:

   

 

   

 

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

1 1 5ln xy x y x y 2

1 1 5ln xy 5 x y x y 2xy 2xy

1 1 5 ln xy

x y xy x y 2xy 2xy x y x y 5ln xy 5

x y 2xy x y 2xy x y 2x xy 2y 5 1 1 5

ln

2 xy xy 2x y x y

   



      



       



 

    



     

     

   

Xét hàm số f t  t ln t t 0  f ' t  1 ,f ' t  t f t   f

2 t

 

             

 

Vậy VT VP Dấu “=” xảy x y 1  Chọn ý C

Câu 12: Cho số thực x,y thỏa mãn đồng thời điều kiện x2 y2 ,x, y

2



   

 2  2 x y

sin x y tan x y

y x

1 2.2 2

2 4.4 16

  

  

 

  

Tính giá trị biểu thức    

2018

P sin x y cos x y

2

  

      

 

A 1 B 0 C  D 2

(64)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Xét hàm số f t  sin t tan t t f ' t  cos t 12 t 0;

2 cos t

 

   

           

   

    sin x y 2 tan x y2 2

f t f 0 2   

    

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

   

 

    2 y x

y y

x x

y 2

x x y x y

2 4

2.2 2.2 2 4.4 16 4 2 4 4 2 4



    

  

Từ suy VT VP Dấu “=” xảy

2 y x

x y x y

x y P

x 2y 2.2

    

          



 



Chọn ý B

Câu 13: Cho số thực x,y thỏa mãn 4x2x 1 2 2 x1 sin 2  x   y 1 Đặt P sin 2018y 1  x2018 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 1 B P 2 C P 3 D P 4;

Lời giải

   

     

         

 

       

x x x x

2x x x x

2x x x x x x

x x

2

x x x

2 x

4 2 sin y

2 2.2 2 sin y 1

2 2.2 2 sin y sin y cos y sin y 1 sin y cos y

cos y



      

        

             

    



          

  

 Vì cos 22 x y 1 0 sin 2 x  y 1 1

 Nếu sin 2 x y 1 1 2x 0 - Phương trình vơ nghiệm

 Nếu sin 2 x y 1  1 2x    2 x sin y 1   1 Vậy giá trị biểu thức P 2

Chọn ý B

Câu 14: Cho hai số thực x, y 1 thỏa mãn log 2x log y22  22 21 log x 1 22   Tính giá trị biểu thức P log x y 2  

A log 32 B log 52 C 1 D 2

Lời giải

Ý tưởng giống với b|i 12, hình thức đơn giản nhiều

(65)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

    2  2  

2 2 2

2

log x

log 2x log y log x log y

log x 

     



Xét hàm        

       

2 2

2

2 2

t 2t

f t t f ' t , f ' t t f t f t t 1

  

         

 

Từ suy     2

2

log x log x

 

 Mặt khác theo giả thiết ta có:

   

2

2 log y 1 2 log 1 2

Dấu “=” xảy x y 1  Chọn ý C

Câu 15: Cho hai số thực dương x y 1  thỏa mãn điều kiện:

   x y    2  

2 2

4log x y 12  1 log x y  5 log x y 2

Đặt P a 3b3 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 2 B P 3 C P 1 D P 1

Lời giải

Vẫn l| ý tưởng toán 12 14 nhiên với cần chút kiến thức bất đẳng thức giải nhanh nhiều thay c{ch đạo hàm truyền thống

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

  2  2  2   22  

2

log x y log x y

log x y log x y log x y

2

         

   

 

     

2

4 log x y 12

2 log x y log x y

 

 

    

Mặt khác theo giả thiết ta lại có 2x y  1 20 1 Dấu “=” xảy x y 1 

Chọn ý A

Câu 16: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện

 3

2

2 2

11 log 2x log 4y log xy

2

   

Đặt P x 3y3 Hỏi P có ước số nguyên?

A 1 B 2 C 5 D 0

Lời giải

Đ}y l| dạng tốn quen thuộc m| ta có hướng giải c{c b|i to{n trước

 

2

(66)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Giả thiết trở thành 11

2 Nhận thấy giả thiết l| đa thức đối xứng theo biến a, b nên

dấu “=” xảy a b x,c y   đến đ}y ta tham số hóa để tìm điểm rơi Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

 

2

2 2 3

3 3

a x 2ax

b x 2bx a b c 2x a b 3y c 2y 2x

c y y 3y c

   

          

    

Đến đ}y ta cần tìm x, y thỏa mãn

2 y

2x 3y

3 2x y x

2

 

  



    

  Vậy P số nguyên nên khơng có ước ngun dương

Chọn ý D

Câu 17: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn điều kiện x y 1  đồng thời x y 2y 2x 2x y

2  2  9.2 

Đặt P x y  Hỏi có số ngun dương khơng vượt P?

A 1 B 2 C 5 D 0

Lời giải

Đ}y l| b|i to{n với c{ch ph{t biểu đơn giản nhiên số bạn dễ bị nhầm {p dụng bất đẳng thức AM – GM Sau đ}y lỗi v|i bạn mắc phải

Với ý tưởng c{c b|i to{n cũ thường có đ{nh gi{ sau:

   

x y 2y 2x x y x y x y

2 3

x y x y

1 1

2 2 2

2

    

 

      

Sau có đ{nh gi{ ta đ{nh gi{ vế tr{i để dấu “=”, nhiên điều n|y l| điểm rơi b|i to{n Để giải ta phải ý thêm tới điều kiện m| đề b|i cho l| x y 1  từ đ}y ta suy

x y

2  2

Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có:

   

x y x y x y x y x y 2y 2x x y

2

x y x y

1 2 3.2 3.2 2

8 4 4

2

   

  

 

         

Mặt kh{c ta lại có x y 2x y 2y y 2 y 2

4

       

      

Vậy VT VP Dấu “=” xảy v| x

y     

Chọn ý A

(67)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 18: Cho số x,y thỏa mãn x y

y     

 thoả mãn điều kiện:

    x

ln x y ln y ln     

Giá trị nhỏ biểu thức P x 2xy y là?

A 1

5 B

3 C

6 D

Lời giải

Thực chất đ}y l| b|i to{n kh{ l| đơn giản, để ý tới yêu cầu b|i to{n l| tìm gi{ trị nhỏ nên chắn từ giả thiết ta phải tìm mối liên hệ x v| y

Đặt x y a x a b

1 y b 2

 

       

 Giả thiết trở th|nh

a b ln a ln b ln

2   

   2

ln a ln b ln a.ln b  2 ln a ln b  ln a ln b

Mặt kh{c lna b ln ab 1ln a ln b 1 ln a ln b2 1 ln a ln b lna b

2 2

 

       

Vậy VT VP Dấu “=” xảy v| a b       x y y x 2y Khi Pmin

4



Chọn ý D

Câu 19: Cho số thực x, y 0 thỏa mãn điều kiện

2 2

x    

Có số nguyên dương không vượt 8xy?

A 2 B 4 C 6 D 8

Lời giải

2 2

x

   

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

log x log y log x 2 log y log x

log x log y log y log x log x log x log y log x

     

(68)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

  2 2 2 2

2 2 2

2

log x log y log x log y log x log x 1

x log y

y log x log y

       

    

 

  

    



Khi 8xy 8 , có tất số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Chọn ý D

Câu 20: Cho số thực x,y thỏa mãn 1 2 x y 1 2 x 2y 1 2 x 3y 1 2 x3

Đặt 2  

2

2 x y y

P e x x 2y

4



     Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P e 1  B P e C max P e D P e 2 

Lời giải

Thực chất c}u n|y để giới thiệu cho c{c bạn bất đẳng thức quen thuộc, đề thi không dạng kiểu n|y Chú ý tới bất đẳng thức Holder m| giới thiệu đầu

Một bất đẳng thức m| ta hay gặp: 1 a b c     13abc3

Có bổ đề sau: Cho số thực dương a, b, c, x, y,z,m, n,p ta ln có:  3 3 3 3 3 3 3 3 3  3

a b c x y z m n p  axm byn czp 

Chứng minh: Theo AM GM ta có:

   

3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

a m x 3axm

a b c m n p x y z  a b c m n p x y z

2

   

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

y 3byn b n

3

   

3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

p 3cpz

c z

Cộng bất đẳng thức có điều phải chứng minh

Quay lại b|i phương trình trở thành: 1 a b c     13abc3

Theo bất đẳng thức Holder ta có    

3

cyc

1

a abc 2

    

   

    

   

 

 



Với toán đặt 2x y a, 2x y b, 2x 3y  c abc 2 x, đ}y l| dạng Dấu “=” xảy 2x y 2x 2y 2x 3y   x y

(69)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 21: Cho số thực x, y 0 thỏa mãn điều kiện

2x y 1  2x 2y 1  23x 4y 3  21 x y  22x 3y Biết biểu thức

2

x y a

4 b



 với a

b phân số tối giản Tổng a b bằng?

A 5 B 6 C 4 D 7

Lời giải

Nhìn chung tốn nhìn cồng kềnh, ta tư theo hướng m| ta hay nghĩ tới l| quy đồng Biến đổi giả thiết ta được:

 x y x 2y 1 3x 4y x y 2x 3y 4x 5y 4x 6y y 2x 3y

2 2 2

2 2

        

    

  

    

2x 2y 2x 3y 2x 2y 2x 3y

2     2  2 

    

Đến đ}y việc trở nên đơn giản phải không nào? Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

2x 2y 2x 2y 2x 3y 2x 3y 2x 2y 2x 2y 2x 3y 2x 3y

2   2  2  2   2   2  2 2     1 VP

Dấu “=” xảy

2

x x y

y 4



 

 

  

Chọn ý A

Câu 22: Cho số thực dương x, ythỏa mãn

 

x y y x y y

2x 2x

x y e

1

2 2

2 3.4 3.2

 

 

 

 



 

Khi x3y4 viết dạng m

n phân số

tối giản Hỏi T m n  có giá trị bao nhiêu?

A 149 B 147 C 160 D 151

Lời giải

Nhìn hình thức cồng kềnh, ý tới đại lượng x y e  x y 3, điều n|y l|m ta liên tưởng tới bất đẳng thức phụ ex  x 1, đến đ}y hướng b|i to{n sau:

 

x y x y x y

x y y

x

y y 2y 2y

2x 2x 2x 2x

x y e

1 2 2 x y e

2 2

2 3.4 3.2 3.2 3.2

 

  



   

      



   

Đặt 2x a, 2y b theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

 

2 a a a b ; b 2b a b a

a b a 3b a 3b a b

a 3b a 3b a 3b

 

      

   

  

2 b b a b ; a 2a a b b

(70)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Cộng hai bất đẳng thức với ta có

y y

x x

2y 2y

2x 2x

2 2

2 3.2 3.2

   

 

Mặt khác theo bất đẳng thức phụ quen thuộc ta có: x y x y

x y e       x y e      3

Vậy VT VP  Dấu “=” xảy

y x

2 x y

 

       



Khi x3 y4 135

16

 

Chọn ý D

Câu 23 Cho số thực a,b,c thỏa mãn a, b, c 1  Khi trị nhỏ biểu thức

a b c

1 1 P log b log c log a

2

   viết dạng m

n , với m,n số nguyên dương

và m

n phân số tối giản Hỏi

3

T m n có giá trị bao nhiêu?

A 171 B 89 C 195 D 163

Lời giải

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

 2

a b c a b c a c

1 1 1

P log b log c log a log blog c log a log c log a

2 4

      

 2

a c a a a a c

1 1 1 log c log a log c log c log c log c log a

4 4 4

     

2

a a a a c

1 1 1

5 log c log c log c log c log a

4 4 4

 

Vậy gi{ trị nhỏ P

4

 , T 189 Chọn ý B

Câu 24: Cho số thực x,y thỏa mãn

y 1

x 4 y 4x

2  2  4 Đặt P x y  Hỏi mệnh đề sau đ}y đúng?

A P 1 B 2

C 3

2 D

Lời giải

y y 1

1 2 x. 2 . x 4 y 4x 4 y

4x

2  2  2 2  4 VP

Dấu “=” xảy v|

1

x P

2 y

 

  

   

(71)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Chọn ý D

Câu 25: Cho số a,b thực a,b thỏa mãn b a 1  b a b log log a a

2 16 4 Giá trị biểu thức P log2 a

b     

 ?

A 0 B 2 C 3 D 1

Lời giải

    

a4 a

b b

b 3

log log b

log a a log a t t

b

2 16 2 f t 2 t log a 0;1

     

   

   

       

Suy    

1

4

t t t t

2

4

f ' t ln 2 ln 2 4.2 ln 2 4.2 ln t

  



  

   

       

 

  t 3t  

f t 2 f VT VP

      

      

Dấu “=” xảy a b P log2 a

b

 

    

  Chọn ý A

Câu 26: Cho số thực x, y 0 thỏa mãn y 2x

x  2

2 2x

log log log xy

x y 16 Đặt

y x

P 2 Hỏi mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A P 4; B P 1; C P 2; D P 6;7

Lời giải

    

2 2

2 2 2

2 2x log log log xy

x y 16

9 log x log x log y log log y

16



     

Để đơn giản ta đặt     

2

a log x 1 a a b a b

b log y 16

 

       



Nếu a 1 VT 0 , vô lý

Để ý thấy y 2x log 2x log2 2 a a a

x    x       2

Nếu a

2

   ta có:

(72)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Dấu “=” xảy

1

1 2

1

a log x x 2

4 P 6,07725 1

b log y y 2 2

    

  

    

  

     



 

 

Chọn ý D

Câu 27: Cho số thực x,y thỏa mãn x

2 y   

  

 Hỏi có số x, y thỏa mãn

phương trình log sin xy2  cos x

6



 

    

 ?

A 4 B 2 C 3 D 1

Lời giải

Thực chất đ}y l| c}u kh{ đơn giản ta l|m quen với phương ph{p đ{nh gi{ rồi, câu 28, 29 l|m tương tự nên trình bày lời giải câu 27

Ta có sin xy 2  log sin xy2  1, mặt khác cos x

6



  

 

  Do phương trình thỏa mãn khi:

 

1 x 2k cos x 6

6 k, n xy n sin xy

2



     

    

  

     

 

Với giả thiết x 3  nên k 1 Với k 1 x 13 y n

6 13



 

      

 

Do  

9 y

6 13

2 y n n 1;

15 13 y

13

    

 

            

   

 Vậy có số thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý B Câu 28 ;9 ;17

5

 

 

   

 

Câu 29 ;12 7

 

 

   

 

Câu 30: Biết tồn a để phương trình 2sin x  sin x cos x sin x a   có nghiệm nhất, hỏi a có tất ước số nguyên

A 2 số B 8 số C Khơng có D Vơ số

Lời giải

(73)

Chọn ý D

Câu 31: Cho số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện

  2

2

xy x y 4 xy

2

xy x

2

1 log x log y 1

4                            

Hỏi có số ngun dương khơng vượt q a b4

A 13 B 14 C 15 D 16

Lời giải

                      2 2 2 2 2

xy x y 4 xy

2

xy x

x y

2

xy 2 xy

xy x

2 xy 2

xy

2 x y

xy

x

xy

2 x y 4

xy

x

xy

2

1 log x log y 1

4

1 log x log y

1 log x 1

2 2 log y 1

1

log x

2 2 log y 1                                                               

  2  x2 y2

x x

1

log y 2   log y 1

 

 

Đến đ}y ta có bổ đề quen thuộc cần phải nhớ

Bổđề Với số thực khơng âm a,b ta ln có

   2   2  

1 1 ab a b

Ta có đẳng thức sau đ}y:

                          2

2 2

ab a b ab

1 1 0

1 ab

a b a b 1 ab Vậy bất

đẳng thức chứng minh

Ta dùng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz chứng minh Ta có:

                                                          2 2 b a

ab 1 a a 1 a b ab 1 b

1 a b

ab 1 b

a b ab a b

Cộng lại có điều cần chứng minh! Áp dụng v|o b|i to{n ta

 xy 2 2  2 xy x x

1 1

2 log y log y

(74)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 x2 y2 4  2xy xy x x

x

1 1

2 log y log y

2   log y  

 

 



Dấu “=” xảy x y  Khi có tất 16 số nguyên dương không vượt a b4

Chọn ý D

Câu 32: Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn x y 2    x 2  y 3  Giá trị lớn biểu thức S 3 x y 4  x y 2   x y  3 x y2 a

b với a,b số nguyên dương

và a

b tối giản Tính P a b 

A P 8 B P 141 C P 148 D P 151

Lời giải

Đ}y l| đề thi THPT Quốc Gia 2016 biến tấu để trở thành câu hỏi trắc nghiệm!

Từ giả thiết ta có x y 1  2 4 x 2   y 3  2 4 x y x y 3      Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số thực không âm ta có:

 2  

2 x y x y 1      x y 1  8 x y 1      1 x y

Mặt khác ta lại có:

 2     x y 3 x y

x y x y x y x y

x y x y

    

 

            

     

 

Nếu x y x y x S 9746

y 243

x y

      

            

 



Nếu x y 7   Đặt t x y t    3;7  Xét hàm số f t 3t 4  t 2 t t 3;7 

   

     

 

   

t t t

t t t t

t 2 t

f ' t ln t ln

f '' t ln ln ln 2 t ln ln t ln 2 ln 2 t 3;7

  

   

 

    

     

      

Vì f ' 3 0, f ' 7 0 nên tồn số a 3;7 cho f ' a 0 Suy f t  nghịch biến  3;a v| đồng biến  a;7 Mặt khác f 3  193;f 7  35 f t   f 193 t  3;7

3

      

Ta chứng minh x2 y2 5 với x y 3,x 2   Nhận thấy khi:

(75)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Vậy x2 y2 5 S 148

3

 

Chọn ý D

Câu 33: Cho x,y số tự nhiên khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 36x5y

A P 8 B 9 C 10 D 11

Lời giải

Đ}y l| câu phát biểu vô đơn giản, thực chất toán làm tự luận khó địi hỏi tới kiến thức số học

Ta có 36m tận 6, 5n tận Nếu 36m 5n P có tận 1, 36m 5n P có tận

Xét P 1 ta có 36m5n  1 36m  1 5n Đẳng thức khơng thể xảy vế trái chia hết cho 35 nên chia hết cho 7, cịn vế phải khơng chia hết cho

Xét P 9 ta có 5n36m 9 5n chia hết cho 9, vơ lí

Xét A 11 , xảy khả n|y chẳng hạn m 1, n 2  Vậy P 11 Chọn ý D

Câu 34: Cho số thực dương a,b,c kh{c thỏa mãn log b log c log2a 2b a c logb c

b b

   

Gọi M,m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P log b log c a  b Tính S 2m 3M 

A S

 B S

3

 C S 3 D S 2

Thầy Đặng Thành Nam – Vted.vn

Lời giải

Đặt x log b, y log c a  b   P x y, giả thiết viết lại thành

2

x y xy x 2y 1   Thế y x P  vào giả thiết ta x2y2 xy x 2y 1   x23 P x   P 1 20 Phương trình có nghiệm 3 P2 P 1 2 P

3

         

Chọn ý C

Câu 35: Cho số thực a,b,c khác thỏa mãn 3a 5b 15c Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P a 2b2c24 a b c    là?

A  3 log 35 B 4 C  2 D  2 log 53

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có 3a 5b 15 c t a log t, b log t, c log t3 15 

       

t t t

1 1 ab

c ab bc ca 1

log 15 log log a b

         

(76)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Khi ta có Pa b c  22 ab bc ca    4 a b c    a b c  24 a b c    4 Chọn ý B

Câu 36: Cho a,b hai số thực thay đổi thỏa mãn b 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  2  a 2

P a b  10 log b

A log ln 10 ln 10    

    

  B

1

2 log

ln 10 ln 10    

    

 

C log ln 10  D ln ln 10 ln 10   

     

 

Lời giải

Xét điểm A a;10 ,B b;log b a  , đồ thị hàm số y 10 , y logx x  đối xứng qua đường thẳng y x khoảng cách điểm A v| B l| P v| đạt giá trị nhỏ A, B đối xứng với qua đường thẳng y x , điểm A,B nằm đường thẳng y  x m

Vì ta có

 a  a a   1

A a;10 ,B a;10 AB P 10 a f a f log log

ln 10 ln 10 ln 10

                  

   

Chọn ý B

Câu 37: Cho số thực a,b,c lớn thỏa mãn log a2 1 log blog c log 2 2  bc Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 10 log a 10 log b log c 22  22  22

A  3 log 35 B 4 C  2 D  2 log 53

Lời giải

 

2 2 bc

2 2 2

log a log blog c log

log a log b log c log blog c log alog b log alog c log blog c

 

   

   

Đặt log a;log b;log c2 2   x, y,z ta cần tìm giá trị nhỏ

2 2

S 10x 10y z

Bây ta cần tìm số k dương cho

 

     

2 2

2 2 2 2 2

10x 10y z 2k xy yz xz

10x 10y z k x y z k x y z 2k xy yz xz

    

           

       

 

2

2 2

2

k 10 x k 10 y k z k x y z y

x z k x y z 1

k 10 k 10 k

        

     

  

(77)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 2

2

2 y x y z

x z

1 1 1 k 10 k 10 k k 10 k 10 k

 

  

 

     

Đến đ}y sử dụng giả thiết ta chọn k cho k k

1 1 k 10 k 10 k

  

 

  

Chọn ý B

Câu 38: Với a,b,c lớn Tìm gi{ trị nhỏ P log bc log ca log ab a  b  c

A 6 B 12 C 11 D 10

Lời giải

Đ}y l| câu sử dụng bất đẳng thức AM – GM kh{ l|

Biến đổi giả thiết áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có

a b c a b a c b c

a b a c b c

P log bc log ca 4log ab log b log a log c 4log a log c 4log b log b.log a 4log c.log a 4log c.log b 10

        

   

Chọn ý D

Tương tự với câu 39 Chọn ý C

Câu 40: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn abc a x by cz Tìm giá trị nhỏ P x y 2z  

A 4 B 4 C 6 D 10

Lê Phúc Lữ

Lời giải

Từ giả thiết ta có ax abc log aabc

x

   tương tự log b,abc log cabc

y  z

 abc abc abc 

1 1

2 log a log b log c x y z

      

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có :

   

4 1 2 x y 4z T 4z 2z f z f 1 6 x y x y       z 2z 1   2z 1     Chọn ý C

Câu 41: Xét số thực dương x,y,z thay đổi cho tồn số thực a,b,c lớn v| thỏa mãn abc a x by cz Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16 16 z2

x y

   A 20

B 20 33

 C 24 D 24 33 

(78)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Tương tự với câu 40 ta có 1 log a log b log c abc abc abc 

x y z

      

   

2 2

1 1 16

P 16 z 16 z 32 z f z f 20

x y z z

   

                

 

Chọn ý A

Câu 42: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a, b, c 1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

a b c

S log b log c   log a

A 2 B 3 C 5

3 D

Lời giải

Đ}y l| c}u tương tự câu 23 ta phải dùng tới bất đẳng thức AM – GM để triệt tiêu biến

a b c a b c a c

a c a c

S log b log c log a log b.log c log a log c log a 2 log c log a 2 log c.log a 2

      

  

Chọn ý A

Câu 43: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b 3log c 62    Biết giá trị lớn biểu thức T log a log b log blog c log clog a  

k Mệnh đề đ}y

đúng?

A k 1 B k33k2 3 C k33k 3 D k



Lời giải

Một c}u ho|n to|n tương tự với câu 37, ta dùng phương ph{p tham số hóa kết hợp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Đặt log ;log ;loga b c  x y z, , x22y23z2 6

Ta có đ{nh gi{    

2

2 2 x y z

6 x 2y 3z 2k xy yz xz 1 1 1 k x y z k k k

           

  

Khi cần tìm k cho k k3 3k2

1 1 k k k

   

 

  

(79)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 44: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn log a log b log blog c 3log clog a 1   Biết giá trị nhỏ biểu thức P log a log b log c   m n

p  

với m,n,p số nguyên dương v| m

p phân số tối giản Tính m n p  ?

A 64 B 16 C 102 D 22

Lời giải

Với toán đặt log ;log ;loga b c  x y z, , xy yz 3xz1 ta áp dụng phương ph{p l|m b|i trên, ta cần phải nghĩ c{ch đặt khác

Đặt log a;log b;log c  ix, j y,k zijxy jkyz 3kixz 1   Tìm m,n,p thỏa mãn ij kj 3ki i k j

3

     Chọn j 3   i k

Khi ta 3xy 3yz 3xz xy yz xz

3

       Bài toán lại quay trở toán

Với c{ch l|m tương tự c{c b|i to{n ta tìm P 17

2   

Chọn ý D

Cách Chú ý giả thiết yêu cầu tốn vai trị biến a,c l| nên dấu “=” xảy a c Khi ta có:

   

2

2 2 2

2

P 2x y

P 3x 2xy 2x y 3P x 2Pyx y

3x 2xy   

         



  

Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc ta tìm đ{p {n toán

Câu 45: Với n số nguyên dương, biết log log2 2018 2017

  

   

 

  mà biểu

thức dấu ngoặc có tất n dấu Tìm giá trị nhỏ n?

A 2021 B 2014 C 2013 D 2020

Lê Phúc Lữ

Lời giải

Từ giả thiết ta có  21n  2 n n

2

2018  2018  2018  log  2018 2 log 2018

 

 

 

n

2 2 2

2

log log 2018 2017 log log log 2018 2017 n log 2020, n 2020, n 2021



  

        

 

(80)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Chọn ý A

Câu 46: Cho a,b số nguyên dương thỏa mãn log log2 2alog2b210000 Giá trị lớn ab là?

A 50 B 375 C. 125 D 250

Lời giải

 

    

 

a b a b

a b

1000 1000

2 2 2 2 2

1000 a 1000 b a

log log log log log log 2 2 b 1000

  

     

Do a,b số nguyên dương nên ta có 1000 2a Mặt khác ta lại có 1000 5 3  a

 Nếu a 3  b 125ab 375

 Nếu a 2  b 250ab 500

 Nếu a 1  b 500ab 500

Vậy giá trị lớn ab 500 Chọn ý A

Câu 47: Cho số thực dương a 1 , biết a a bất đẳng thức

a x

x a với số thực x lớn Hỏi mệnh đề n|o đ}y đúng?

A 1 a 0 2 B e a e2 C. a 3 D

2

0

e a e

Lời giải

Lấy logarit tự nhiên vế ta ln x a ln a x aln x xln a ln a ln x

a x

    

Ta xét f x  ln x f ' x  ln x2 ,f ' x  x e f x   f e ln e

x x e



        

Từ ta suy a e Chọn ý C

Câu 48: Cho hàm số f x e a sin x b cos xx   với a,b số thực thay đổi v| phương trình f ' x f '' x 10ex có nghiệm Tìm giá trị lớn biểu thức S a 2ab 3b

A 10 10 2 B 20 10 2 C. 10 20 2 D 20

Lời giải

Do f x e a sin x b cos xx   nên phương trình f ' x f '' x 10ex tương đương

   

 

   

x x

e a b sin x a b cos x 2bsin x 2a cos x 10e a 3b sin x 3a b cos x 10

     

    

(81)

 2  2    

2

2 2

10 a 2ab 3b 10 a 2ab 3b 10 t 2t a

S a 2ab 3b f t t

10 a b t b

       

         

   

Khảo sát hàm số f t f t f 1  220 10 2 Chọn ý B

Câu 49: Cho số thực a,b thỏa mãn

a n b n

1 1 e

n n

 

      

   

    với số n nguyên

dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức a b ?

A

ln 2 B 1 C.

1 1

ln 2 D

1 3 ln 2

Lời giải

Đ}y l| câu khó khơng phù hợp với kì thi THPT Quốc Gia nên tham khảo

Lấy logarit tự nhiên vế ta có a n b, n *

1 ln n            

Xét hàm số f x  x, x

1 ln x          

ta có    

x x

min a b max f x f x

 

  

Mặt khác  

 

f ' x 0, x

x x

    

 , ta

       

 

   

 

x x x

x x x x 2 1

max f x f x f lim f x lim x ln ln 1

x

1 1

1 x ln ln

1 1 lim x 1 lim x x 1

1

ln ln 1 ln

x x x

1 x x x

1 1 lim 1 lim 2x

ln ln x x

                                                                           

 

x

x x x 2x ln 2



 

 



Vậy mina b

ln 2

  

Chọn ý A

(82)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Cho hai hàm số f x ,g x        x c x c

lim f x lim g x 0      x c

f x lim

g x

 tồn ta

ln có  

     x c x c

f x f ' x lim lim

g x g ' x

   Việc lấy đạo hàm tử số mẫu số thường l|m đơn giản thương số, làm khử dạng vô định

Câu 50: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log x 12   log y 42   log z 42 

A 29 B 23 C. 26 D 27

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Mincowsky ta có

 

     

2

2 2

2

2 2

2

P log x log y log z log x log y log z 16 10

log x log yz 16 log x log 16 x

log x 1 log x 16 log x log x 26

          

 

         

 

          

Đẳng thức xảy x 10 , y z  5100 Chọn ý C

Câu 51: Cho số thực x,y cho tổng chúng không }m v| đồng thời  2x 2y  x y x y 2x 2y x y

y x

1 2

2 2

1 4

 

           

   

 

Biết giá trị biểu thức P x3 y4 m

n

   với m,n số nguyên dương v| m

n

phân số tối giản Hỏi biểu thức m2 n có tất ước số nguyên?

A 2 B 4 C. D 8

Lời giải

Ta có  

 

m b a a a m

T

b b m b b m

 

   

  m a b   Nên  

a a m 1 b b m

 

 Theo giả thiết ta có x y 0  4x y 1 Ta có đ{nh gi{ sau:

y x y y y x y

x x x

0 4 4 2    1 4   1 4 4  Khi sử dụng kết  1 ta có:

 

y y x y

x x

y x

y y x y

x x x y x y x y x y

2 4 4 1 4

1 4 4 4 4 4

 

   

    

  

  

(83)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 

   

x y

2 x y x y

x y

2 2 1 1

1 2

1 4



 



  

      

    



Mặt khác  

   

2

x y x y

2x 2y x y x y

2 4.2

2 1 4.2 2 4 2 4

 

   

  

 

    

  

   

x y x y

2 2

x y x y

4.2 4.2

1

2 2 2

 

   



Vậy VT VP Dấu “=” xảy

1 x

x y 2

P m n 25 x y y 16

2

    

      

   

   

 Chọn ý C

Câu 52 : Cho số thực a, b, c 2; Biết giá trị lớn biểu thức

 3

a b c

S 4 a b c

      m

n phân số tối

giản Tính P m 2n 

A P 257 B P 258 C. P 17 D P 18

Lời giải

Với dạng toán ta xét tới bất đẳng thức phụ 4t mt n, t   2; Thay t 2, t 3  ta hệ phương trình 16 2m n m 48

64 3m n n 80

  

 



     

 

Giờ ta cần bất đẳng thức 4t 48t 80 với t 2;3 toán giải Ta xét f t  4t 48t 80 f ' t  ln 48;f ' tt   t log4 48

ln

        

Nhận thấy f 2   f 0; f log4 48

ln

 

   

  nên bất đẳng thức

Dấu “=” xảy t 2; Khi ta

 3  3

a b c 1

S 4 a b c 48 a a 240 16

4

           

Chọn ý D

Bài tập tương tự

Cho số thực x, y,z 1; Tìm giá trị lớn S 3x 3y 3z 3x y z2

5

     

A 5 B 15 C. D 12

(84)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 53: Có tất số thực x; y;z thỏa mãn

   

2

3 2x 3y z2

2

2 4

2 16 128 xy z xy z

 

 

   



A 3 B C. D 2

THPT Chuyên Quốc học Huế - Năm học 2017 – 2018

Lời giải

Từ giá thiết ta có:

 3x2 3y2 3z2 3x2 3y2 3z2 7 3 2 2 3 2  

2 16 1282 16 2  x 2 y 4 z 7  xy2z42  4 xy2z42 xy z2  1 3x y3 3z4 1 2 

Đặt 3 x ; y ; z3 a, b, c Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 2 2 2 2 2

7 a 2b 4c a b b c c c c 7 a b c 7

Dấu “=” xảy a2 b2 c2 3 x2 3 y2 3 z2 1 Vì x 0 nên có tất số thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý B

Câu 54: Cho hàm số  

2

m x f x log

1 x 

 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số

m f a   f b 3 với số thực a,b thỏa mãn ea b e a b   Tính tích phần tử tập hợp S

A 27 B 3 C. 3 D 27

Lời giải

Theo giả thiết ta có ea b 1    a b ea b 1     1 a b

Mặt khác theo bất đẳng thức phụ m| ta chứng minh tập trước ta ln có ea b 2   1 a b 1   Do dấu “=” xảy a b 1 

Khi ta có

        2 

3

m a m a

f a f b f a f a log log m 27

1 a 1 a



         

  

(85)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 55: Cho hệ phương trình

   

2

m

9x 4y

log 3x 2y log 3x 2y   



    

 có nghiệm x; y thỏa

mãn 3x 2y 5  Tìm giá trị lớn m?

A 5 B log 53 C. D log 35

THPT Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình lần năm 2017 – 2018

Lời giải

Từ phương trình hệ ta có 3x 2y 3x 2y  3x 2y

3x 2y

      

 Từ phương trình hệ ta có

 

  

m 3

3 m

5

log 3log 3x 2y log 2x 2y log 3x 2y log log

 

   



 

    

    m

3

m m

1 log log

log 3x 2y log 3x 2y

1 log log

 

       

 

Giải bất phương trình ta m 1;5 \ 1 

3

 

  Khi hệ phương trình đầu có dạng

  

3 m log log

5 3x 2y 3x 2y 3x 2y

M 3x 2y 3x 2y M

 

      

 

 

     

 

nên ln có nghiệm Vậy giá trị lớn m để hệ có nghiệm

Chọn ý C

Câu 56: Cho hàm số  

x x

9 f x

9 m



sao cho f a   f b 1 với số thực a,b thỏa mãn ea b e a b 12    Tính tích phần tử S

A 81 B 3 C. D 9

Lời giải

Theo giả thiết ta có ea b 2     a b ea b 2   1 a b 2  

Mặt khác theo bất đẳng thức phụ m| ta chứng minh tập trước ta ln có ea b 2   1 a b 2   Do dấu “=” xảy a b 2 

Khi ta có:

    a a 2 2 a2 a 2 2 22 a a a2 a 4

4

162 m 9 9

f a f b

9 m m 81 m 9 m m 81 162 m 81 m

 

 

    

    

(86)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

1. Cho hàm số   t t

4 f t

4 m



 với m 0 tham số thực Biết f x f y 1 với

x,y thỏa mãn    

1

2 1

x y x y 2

    Tìm giá trị f t  đoạn 1;1

2

 

 

 

A 3

4 B

2 C.

4 D

Hướng dẫn

Chú ý từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức AM – GM    

1

2 1

x y x y x y 2

       

Đến đ}y b|i to{n quay toán

Chọn ý B

2 Cho hàm số  

t t

16 f t

16 m



cho f a   f b 1 với số thực a,b thỏa mãn ea b e a b 12    Hỏi S có phần tử?

A 8 B 20 C. 11 D 34

Chọn ý B

Câu 57: Cho phương trình 3x  a.3 cos xx   9 Có giá trị thực tham số a thuộc đoạn 2018; 2018 để phương trình cho có nghiệm thực?

A 1 B 2018 C. D 2

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có :  

x x

3  a.3 cos x 9 9x a.3 cos xx   9 3 x 0 x x  

3  a.cos x

     *

Điều kiện cần Nếu phương trình  * có nghiệm x0 ta thấy x l| nghiệm  * x0  2 x0 x0 1 Thay vào  * ta a 6

Điều kiện đủ Ngược lại a 6 phương trình  * trở thành 3x32 x  6.cos x  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

x x x x

3 3  2 3  6

mà 6.cos x  6 Do 3x32 x  6.cos x 

  x x

3

6 cos x



   

   

  

x x

3

cos x



  

    

  x

(87)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 58 : Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn 0x y  2  y z 2x z 2 2 Biết giá trị lớn biểu thức P 4x 4y 4z ln x y4 z4 3x y z4

4

         a

b với a,b

là số nguyên dương v| a

A 13 B 42 C. 54 D 71

Lời giải

Theo giả thiết 0x y  2  y z 2x z 2  2 2x2   2 x Tương tự ta x, y,z 1  Khi ta có:

 2 2  2 2   2

2 x y z 2 x y z 2 xy yz xz   2 x y z 1

Đồng thời x4y4z4 x2 y2z2ln x 4y4z4ln x y2z20

Xét bất đẳng thức phụ 4t mt n Khi ta cần bất đẳng thức với t 0;1 nên thay t 0, t 1  vào giải hệ ta tìm m 3, n 1  Xét hàm số f t 4t  3t  0;1 ta có f ' t  ln 0t t log4

ln

      Lập bảng biến thiên ta dễ

được bất đẳng thức

Dấu “=” xảy t t 1   Áp dụng vào tốn ta có

  3 4 21

P x y z x y z

4

       

Chọn ý C

Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn 0x y  2 y z  2 x z 2 18 Biết giá trị

lớn biểu thức  

y

x z

4 3

P 4 x y z 108

      a

b với a,b số nguyên

dương v| a

A 13 B 42 C. 54 D 71

Ta giả thiết ta tìm điều kiện biến x,y,z áp dụng y nguyên cách làm c}u để giải toán

Chọn ý C

Câu 59: Cho hàm số f x  m 6 x 2x 2m 1,h x  x 61 x

6



       Tìm tham số m để

hàm số g x h x f x    có giá trị nhỏ với x 0;1

A m 1 B m

 C. m 1;1

2

 

(88)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Ta thấy với m, ta ln có h f 1   0 nên tốn trở th|nh tìm m hàm số g x h x f x     0 x  0;1 Dễ thấy với x 1 bất đẳng thức ln đúng, ta xét 0;1

Ta dễ thấy h x  l| h|m đồng biến 0;1, h 1  0 h x   0 x 0;1 Đến đ}y lại rút gọn toán trở th|nh tìm m để f x   0 x 0;1 Đặt t t x 1;6 ta có

    x   2

x

2 t t

f x m 2m m t 2mt t m

6 t 2t

                



Đến đ}y b|i to{n trở thành toán đơn giản, ta cần

 

2 1;6

t t

m

t 2t

 

 



Chọn ý B

Câu 60 : Số thực a nhỏ để bất đẳng thức ln x 1   x ax2 với số thực x

m

n phân số tối giản Tính T 2m 3n  A T 5 B T 8 C. T 7 D T 11

Lời giải

Đ}y l| c}u kh{ việc ứng dụng đạo h|m tìm điều kiện có nghiệm

Biến đổi giả thiết ta có a x ln x 12 , x

x  

  

Xét hàm số      

 

2

x ln x x

x ln x x 1 f x f ' x

x x

  

  

  

Xét      

     

2

x x

h x ln x x h' x 0, x h x h 0

x x

            

 

Vậy      

x

1 f ' x f x lim f x a

2





     

Chọn ý B

Số thực a nhỏ để bất đẳng thức  

2

x

ln x x ax

2

    với số thực x m

n

với m,n số nguyên dương v| m

n phân số tối giản Tính T 2m 3n  A 8 B 20 C. 11 D 34

Tương tự c}u đ}y l| c}u kh{ việc ứng dụng đạo h|m tìm điều kiện có nghiệm

(89)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 61: Cho số thực a, b, c 1; thỏa mãn log a log b log c 132  32  32  Tính giá trị biểu thức S a b c   biểu thức P a 3b3c33 log a 2 alog b2 blog c2 c đạt giá trị lớn nhất?

A 5 B

3

3.2 C. D 4

THPT Chuyên Thái Bình lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Ý tưởng b|i trước ta phải sử dụng tới bất đẳng thức phụ

Ta có đ{nh gi{ t33t log t log t 12  32  Để chứng minh đơn giản ta đặt log t x2  Khi ta cần chứng minh t33tx x 31 Xét hàm số

         

1

f t t log t, t 1;2 f ' t ;f ' t t f t t ln ln

           

Khi t x 1       t x t3 3tx x 3   1 t x t 2t x 1   x2 x 10 Vậy bất đẳng thức cần chứng minh

Áp dụng vào tốn ta có Pa33a log a2 log a 3 423     Chọn ý D

Cho số thực a, b, c 1; thỏa mãn log a log b log c 232  32  32  Tìm giá trị lớn biểu thức P a 3b3 c3 log a alog b2 blog c2 c?

A 3 B 6 C. 43 D 5

Chọn ý D

Câu 62: Cho số thực x,y phân biệt thỏa mãn x, y0; 2018

Đặt S ln y ln x

y x 2018 y 2018 x

 

   

     Mệnh đề n|o đ}y đúng?

A S 1009

 B S

1009

 C. S

1009

 D S

1009



Lời giải

Một tốn nên tham khảo có sử dụng tới kiến thức khơng chương trình phổ thông bản

Xét hàm số f t  ln t

2018 t

 

  



  tham số u nằm x v| y Theo định lý Lagrange ta có

     

 

AM GM

2

f y f x 2018 2018 S f ' u

y x u 2018 u u 2018 u 1009

 

    

     

 

 

(90)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Định lí Lagrange - Lagrange's Mean Value Theorem

Nếu f x  hàm liên tục đoạn  a; b v| đồng thời có đạo hàm khoảng a; b tồn ca;b cho f ' c     f b f a

b a  



Chứng minh: Xét hàm số F x       f x f b f a x

b a   

 Ta có F x  hàm liên tục đoạn

 a; b , có đạo hàm khoảng a; b F a F b  Theo định lí Rolle tồn ca;b cho F' c 0 Mà F' x  f ' x     f b f a f ' c     f b f a

b a b a

 

   

 

Định lí Rolle hệ định lí Lagrange trường hợp f a   f b

Câu 63: Cho số a, b, c số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3

ac ab

bc

4

P

log a log b 3log c

  

A 20 B 10 C. 18 D 12

THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần năm 2017 – 2018

Lời giải

a b c

bc ab

ac

4

P 1 log bc log ac 8log ab log a log b log c

2

     

a a b b c c

2 log b log c log a log c 8log a 8log b

     

2 log b log aa b  2 log c 8log aa c  2 log c 8log bb c 

     

Vì a, b, c số thực lớn nên: log b,a log a,b log c,a log a,c log c,b log b 0c  Do {p dụng bất đẳng thức AM – GM , ta có:

a b a c b c

P 2 log b.2 log a 2 log c.8log a 2 log c.8log b 8 20      

Dấu “=” xảy

a b

2

a c

2

b c

a b log b log a

log c log a c a a b c log c log b c b

  





       

 

   

 

Chọn ý A

Câu 64: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P1 a b2 a b2 21 c 2d2 c d2 2

A 2 B 4 ln17

16 C.

4

17 16    

  D

17 ln

16

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

 2 2 2 2    

(91)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Ta có đ{nh gi{ sau ln t 21mt n , để tìm hai số m,n ta sử dụng tới bất đẳng thức tiếp tuyến, đ}y l| phương ph{p hay để chứng minh bất đẳng thức đối xứng với biến độc lập

Cơ sở phương pháp

 Nếu đường thẳng y ax b  tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x   điểm  0

A x ; y , A điểm uốn tồn khoảng D chứa x0 cho  

f x ax b f x ax b Đẳng thức xảy x x

 Nếu đường thẳng y ax b  tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x   điểm  0

A x ; y ta ln ph}n tích f x   ax b   x x 0  kg x ,k 2

Sau đ}y ta {p dụng lý thuyết vào toán Chú ý ta có ln a 21 biểu thức đối xứng theo bốn biến a,b,c,d đồng thời giả thiết l| đối xứng nên ta dự đo{n dấu “=” xảy a b c d

4

    Quay lại bất đẳng thức phụ m| ta tìm hệ số

 

ln t 1 mt n , ta tìm m,n cho hai đồ thị hàm số y ln t  21 , y mt n   tiếp xúc điểm có ho|nh độ t

4

 ta

8 m

17

2 17

n ln

17 16

   

    

Vậy ta có bất đẳng thức

phụ ln t 1 t ln17

17 17 16

    , dễ thấy bất đẳng thức n|y ln đúng, {p dụng vào tốn ta có:

  17 17 17

ln P ln a a ln 4ln P 17 17 16 16 16

   

         

   

 

Chọn ý C

Câu 65: Cho số thực x,y,z không âm thỏa mãn 2x 4y8z 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y z

6

  

A

12 B

3 C.

6 D 1 log 3

Lời giải

Chú ý với điều kiện x,y,z khơng âm ta ln có , ,8x y z 1 Theo nguyên lý Dirichlet ta có

  

 

y y y

x x x

y y y

x z x z x z z z

y y

x z z z x z

2 4

2 8 8

                        

(92)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

y y

x z x z

2 8 2 x 2y 3z S

           

Chọn ý C

Nguyên lí Dirichlet

Nguyên lý lồng thỏ biết đến từ l}u Ngay chương trình phổ thông sở l|m quen với phương ph{p giải toán Thực nguyên lý mang tên nhà bác học người Đức Pête Gutxtap Legien Đirichlê (1805-1859) Nguyên lý phát biểu đơn giản: Nếu nhốt thỏ vào lồng mà số lồng số thỏ, thì thể n|o có lồng nhốt hai thỏ Ngun lí Dirichlet có nhiều ứng dụng Tốn Học, điển hình bất đẳng thức Chúng thường áp dụng để giải số toán bất đẳng thức không Hôm đưa số ví dụ để bạn hiểu vấn đề Trong số a,b,c ln có số nằm phía với số m (Hay lớn m bé m) Đ}y l| sở lời giải toán

Câu 66: Cho số thực a, b, c 1 thỏa mãn a b c 5   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log a log b 3log c   27

A log 53 B 1 C. log 153 D

5 log

3

Lời giải

Giả thiết tương đương P log a log b 3log c log a log b log c log abc   27     3  Theo nguyên lý Dirichlet ta có

a b 1    0 ab a b 1   abc c a b 1    ac bc c 

a c b c c a b c

             

3

P log abc log

   

Chọn ý B

Câu 67: Biết a số thực dương để bất đẳng thức ax 9x 1 nghiệm với

x Mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A a10 ;103 4 B a10 ;102 3 C. a0;102 D a10 ;4 

THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018

Lời giải

Bất đẳng thức ax 9x 1 với x phải vớix 1  a 10 Do a 1 nên hàm số y a x đồng biến , đồ thị hàm số có bề lõm quay lên Hay hàm số hàm số lõm

Do hai đồ thị hàm số y a x y 9x 1  qua điểm A 0;1  ất đẳng thức x

a 9x 1 nghiệm với x đường thẳng y 9x 1  tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A 0;1 y' 0 9 y' a ln a  x ln a 9  a e9

(93)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 68: Gọi a giá trị nhỏ   n

3 i

n

log i f n

9



 với n , n 2 Có số tự nhiên n để f n a?

A 2 B Vô số C. D 4

Lời giải

Từ giả thiết ta có f n 1   f n log n 13     ,f n f n log n3

9

 

  

Để f n đạt giá trị nhỏ ta có        

f n f n f n f n   

   

     

3

3 9

3

f n log n

f n log n 1 9

9 3 1 n 3 log n

f n log n

f n

 



   

     

   



  



Vậy có giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề Chọn ý A

Câu 69: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn    

x x

2

2  log 14 y 2 y 1 Tính giá trị biểu thức P x 2y2xy 1 ?

A 3 B C. D 4

THPT Quãng Xương – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Khi l|m quen với dạng tốn dạng tốn trở nên vơ bình thường

1 2 x. x

x x

2  2 4

Mặt khác ta có 14y 2  y 14  y y y 1     Đặt t y 0  Xét hàm số f t    t3 3t 14, f ' t    0 t f t 16log 142 y 2  y 1 4 Dấu “=” xảy x P

y  

   



Chọn ý C

Tính giá trị biểu thức P x 2y2xy 1 biết rằng:

 

2 x

x

2

13

4 log 14 y y x 0, y

2

   

 

          

  

(94)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

THPT Chuyên Lương Văn Ch{nh – Phú Yên năm học 2017 – 2018

Chọn ý D

Câu 70: Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện 4x9y16z 2x3y4z Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x 1 3y 1 4z 1

A 9 87



B 87



C. 87



D 3 87



Lời giải

Đặt 2 ,3 , 4x y z a,b,c a,b,c 02 2 2

a b c a b c

 

  

     

Khi ta có P 2a 3b 4c a b c

2 2

                  

     

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

 2 2 2 9 87

P a b c

2 2 2

       

             

     

 

 

Chọn ý A

Câu 71: Giá trị lớn hàm số

2

ln x

y m

ln x 

 

 đoạn

2

1;e

 

  đạt giá trị nhỏ bao nhiêu?

A 1 2



B

 

C. 2

 

D 1



Lời giải

Ta có

 

2 0;2 2

1;e

t

max y max m

t

   



 

 Xét      2 2

t 1 t

f t m, f ' t t t t 1

 

     

 

Mặt khác ta có

     

   

2 1;e

3 f m 1, f m , f m

5

1

min y m ; m m m

2

   

     

 

        

Chọn ý C

Câu 72: Biết  số thực lớn thỏa mãn bất đẳng thức

n

1

1 e, n n





     

 

  Hỏi

mệnh đề n|o sau đ}y đúng?

A   0;1 B   1; C.    1;0 D   2;

Lời giải

(95)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 

   

n f n

1 1

1 e n f n ln 1 f n n

n n ln 1

n



           

     

    

 

 

Trên khoảng 1; ta xét hàm số f x  x

1 ln

x

 

  

 

 

ta có  

 

1

f ' x 1 x x ln

x

 

 

   

 

Mặt khác ln t 1  t t

t    

 Thật ta có:

     

     

2

1 t t t

g t ln t g ' t t

t t t t t

  

       



    

Nên suy g t  g 0  ln t  t

t     

 Do ta

   

2

1 1

ln x x ln 1 f ' x x

x x 1 x x

          

     

    

 

 

Vậy hàm số f x  đồng biến 1; Do ta suy f n  f 1  1

ln

      

Chọn ý C

Câu 73: Cho số thực a,b không âm thỏa mãn log ab2  0;1 đồng thời

   

a b log ab log ab

2 2a 2b

2

log ab log ab

2

  



   



Biết x y4 10 viết dạng m n với a,b số nguyên dương Hỏi có tất số m; n vậy?

A 1 B C. D 4

Lời giải

Một toán khó nên đưa để bạn tham khảo nhé, đề thi không gặp những toán loại

Trước tiên ta đặt log ab x,1 log ab y2      x y Vế trái viết lại

y x

x y

Ta có bất đẳng thức f x  f y  f x y  *

2

      

  - Bất đẳng thứcJensen

Thật ta giả thiết a b 1   viết bất đẳng thức dạng    

x y x y

f f x f y f

2

         

   

   

   

   

Vế trái bất đẳng thức có dạng f ' y x f ' y x f ''  y x

2 2

  

      

x y

(96)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

          2  

f ' x f x ln x f '' x f x ln x 0, x 0;1 x

 

          

 

Suy f ''  y x

2



    Vậy bất đẳng thức  * Khi {p dụng ta có

 1 x     y

x x

x y x x f x f x 2f 2

  

         

  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có

a b a b 2a 2b 2a 2b

2 2.2

1

2 2 2

  

 

   



Vậy VT VP Dấu “=” xảy x y 42 x y4 10  128 32 8 2   Chọn ý D

Bất đẳng thức Jensen tính chất hàm lồi

Ở b|i to{n ta sử dụng tới tính chất có lẽ gặp bất đẳng thức lạ, phần giới thiệu cho bạn có quan tâm tới

Cho hàm số f x  liên tục đoạn  a; b v| n điểm tùy ý nên  a; b Ta có

 Nếu f '' x 0   n

1 n

i i

x x x f x nf

n



  

 

  

 



 Nếu f '' x 0   n

1 n

i i

x x x f x nf

n



  

 

  

 



Ngoài cần ý thêm

 Nếu hàm số f x  có f '' x   0, x  a; b f x  làm hàm lồi  a; b

 Nếu hàm số f x  có f '' x   0, x  a; b f x  làm hàm lõm  a; b

Câu 74: Có cặp số nguyên a; bthỏa mãn a, b 100  cho đồ thị hàm số y 1x

a b

  y 1x

b a

  cắt điểm phân biệt?

A 9704 B 9702 C. 9698 D 9700

Lời giải

Ta thấy a 1; b 1  , a b đường cong trùng nên có vơ số điểm chung, loại Vì vai trò a,b nên ta cần tìm cặp số nguyên a; b với a b 1  cho phương trình 1x 1x 1x 1x 1

a  b b  a a b   a b có nghiệm phân biệt

Xét hàm số      

x x

1 1 1

f x f ' x ln a , f a b a b a b

   

          

   

Ta có   0 b

a

ln b f ' x x x log

lna        

 , f ' x 0 x x 0, f ' x 0 x x

Nếu 0 b    

a

ln b ln a lnb

x log a;b 4;2

lna a b

 

       

(97)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Chú ý xét hàm số f t  lnt ln ln ln ln ln 100

t 100

      

Khi f x     f x0 f  0 f x  có nghiệm x0 1

Nếu x0 1, vẽ bảng biến thiên cho hàm số ta thấy phương trình f x 0 ln có nghiệm phân biệt

Với b k 2,3, ,99 a k 1, ,100  tức có 100 k cách chọn a

Vậy có  

99 k

100 k 4851



 

 cặp a;b a b 1    loại cặp 4; 2 ta có 4850 cặp Xét tương tự với trường hợp b a 1  ta có tất 9700 cách chọn

Chọn ý D

Câu 75: Cho số thực x,y không âm thỏa mãn đẳng thức sau:

 

 2    2 

2 3

log log  x 9y 6xy 2x 6y 2   log log 9x y 6xy 6x 2y 3  

Biết xy2 viết dạng m

n với m,n số nguyên không âm m

n phân

số tối giản Hỏi m n có giá trị

A 8 B C. 10 D 11

Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương

 

    

 

     

2 2

2 3

2

2 3

log log x 9y 6xy 2x 6y log log 9x y 6xy 6x 2y log log x 3y log log 3x y

           

       

Ta thấy

 

   

 

   

2

2 3

2

3

log log x 3y log log log log 3x y log log

     

 

     



Do VT VP

Dấu “=” xảy x 3y x y xy2

3x y

   

        



Chọn ý A

Câu 76: Cho số thực x,y thỏa mãn x y

2



   v| đồng thời

 

 sin x y    cos x y   2 2

2

tan x y   cot x y  log x y

Tính giá trị biểu thức sin x y2 x y

4



    

 

 ?

A

2 B C. D

(98)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

+ Nếu x y

4



   , áp dụng tính chất lượng giác bất đẳng thức AM – GM ta có

 

 sin x y    cos x y    sin x y    sin x y 

tan x y   cot x y   tan x y   cot x y  2

+ Nếu x y

4

   

, , áp dụng tính chất lượng giác bất đẳng thức AM – GM ta có

 

 sin x y    cos x y    cos x y    cos x y 

tan x y   cot x y   tan x y   cot x y  2

Vậy tan x y  sin x y  cot x y  cos x y   2 Mặt khác log x y2  2log 42 2

Nên dấu “=” xảy 2

xy

sin x y x y x y

4



 

      

     

 Chọn ý C

Câu 77: Cho số thực a,b,c có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau a b c a b c a b c

P 9 16  16 4  16 4 9

A 2 B 3 C. D 6

Lời giải

 a b c a b c a b c

P 4 9 16 16 4 16 4 9

Theo bất đẳng thức Holder ta có

     

 

3

3 3

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

3 9 6 9

4 16 16 16 9 16 16 P 3 3

     

        

      

Chọn ý B

Câu 78: Cho số thực thỏa mãn x 2; ; y 0; ;z 1; Khi gi{ trị lớn biểu thức T x y z2 5 log x 1 3   log y 15   4log z5  bằng?

A. 10 B 11 C. 14 D. 12

Lời giải

Theo Cauchy – Schwarz , ta có:

 2   5 

x y z x y 2z 1 x y 2z x y 2z

2

   

                

 

Dấu " " xảy khi: x  y z   x y 4z 1 

Suy T 5x y 2z log x 1 3  log y 15  4log z5 

2

       

   

 5 

5

T x y 2z log x log y 8log z

(99)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

   

 5 

5

T x y 2z log x log y 8log z

        

 

   5   

5

T x log x y log y z 4log z

2

        

Áp dụng kết quan trọng x a log x 0, x a     1;a Dấu “=” xảy x 1 x a

      

 

3

5

x log x x log x 1 2

y 4log y y 4log y 1

z 4log z z 4log z 1

          

               



T 10

 

Dấu “=” xảy x y 4z 4  

Câu 79: Cho số thực x,y,z Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau x y 2z y z 2x z x 2y

P 2011    2011    2011  

A 4 B C. D 7

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Mincowsky bất đẳng thức AM – GM ta có:

 2 x y 2z y z 2x z x 2y

x y 2z 2 2 2

3 2011 3 2011 2011 2011

     

   

       

 



2 x y 2z y z 2x z x 2y

2 2

27 2011

       

 

   

 

 

Chọn ý C

Câu 80: Cho hai số thực a, b, c, d, e dương thỏa mãn a b c d e 1000    

a b c d e a b c d e a b c d e a b c d e

a b c d e

     

     

     



      

      

Tìm giá trị lớn biểu thức Ma c b d

A 499499 B 500500 C. 500499 D 499500

Lời giải

(100)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Đặt

a b c d e h a b c d e k a b c d e l a b c d e m a b c d e n

     

     

     



      

      

ta thấy h k n m l a b c d e 1000          v| đồng thời

2a h k,2b k l,2c l m,2d m n,2e n h          Từ suy h, k, l, m, n số chẵn Bên cạnh ta suy a c 1h k l m 11000 n ,b d 11000 h

2 2

         

Để Ma c b d đạt giá trị lớn n h có giá trị nhỏ nhất, mà n,h chia hết h n 2  max M 499 499

Đẳng thức xảy  

k 9974 2t l 2, 4, , 2t

t 1, 496 l m 2t

k l m 996

 

  

 

    

    

Chọn ý A

Câu 81: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm :

   

2

3

log x y log xy 2

x y 2xy m

     



   

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải

Đặt log x y2  a, log xy 23  b a b 2 

Lại có: x y 2 4xy 2a 4 3 b2 4 32 a 212a8.3a36 0 Xét hàm g a 12a8.3a 36 đồng biến , g 1   0 a

 3     a 2 a  a  2 a   

m x y 3xy x y 2xy 3  2 2  2 f a

H|m f đồng biến 1; suy m f(1) 1 

Vậy hệ phương trình có nghiệm phương trình thứ có nghiệm

a 1 m 1

Câu 82: Cho số thực x,y thỏa mãn

  2     

2 2

log x 3 2 log 2 y 3 log y 3 2 log x 2  Giá trị nhỏ biểu thức P x  2y215xy là?

A min P 80 B min P 91 C min P 83 D min P 63

Lời giải

Giả thiết tương đương 2  2  2   

2

1

(101)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

   

     

2 2

2

log x log x log y log y x x y y

x x y y x y x y

         

        

              

Ta có x y x 3 y 3 x y2 x y  x y x y  x y

x y   

                  

Mặt khácx y 2   x 3  y 3 2 x y       x y x y  4;8

Xét biểu thức P x  y215xy x y   2 7xy 16 x y   7xy 7x y 3   16y 5x Mà y P 16 x  5x 64 21x

y x   

        



Kết hợp với x y 4   x  3;7 64 21x  83 Vậy gi{ trị nhỏ biểu thức P 83

Câu 83: Có tất cặp số thực x; y thỏa mãn đồng thời điều kiện

 

2

3

x 2x log y

2

3

4 y y y

    

 

 

    

 ?

A. B 2 C 1 D.

Lời giải

Từ giả thiết ta suy      

2

x 2x x 2x

x 2x

y y y

log

3

5 5 y

3

   

 

     

        

         

       

2 2

4 y y y 4y y y 3y y y y y y 4y y y 3y y

                  

                

Dấu “=” xảy y 3 Thế vào giả thiết ta x2 2x x

x         



Vậy tồn số thỏa mãn yêu cầu đề

Câu 84: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log2 xyz?

 

2 3 3 2

2

P log xy log x y  x z   y xy 2zy 2xz

A. B 2 C 1 D.

Lời giải

Ta có P log xy log x y 22  2 3x z3 3  y4 xy22zy22xz

      

2 3 3 2 3 3

2 2

log xy log x y x z 2z y x y log xy log x y x z

        

(102)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 3  

2 2 2

2 2

3

P log xy log x yz log xy log x yz

 

      

 

 Trường hợp 1: y z P log xy 3log xy 122 2

4

      

 Trường hợp 2: y z P log xz 3log xz 122 2

4

      

Vậy P

4

  , dấu “=” xảy x 2, y z log2 xyz

16

     

Câu 85: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức 12 12 k2

sin x x   với

x 0;



 

   Khi gi{ trị k là?

A. B 2 C 4 D.

Lời giải

Ta có 12 12 k2 12 12 k2

sin x x   sin x x   Xét f x  12 12

sin x x

  , x 0;

2



 

  

Ta chứng minh f ' x  cos x3 23

sin x x

    , x 0;

2      

 

Thật  

3 3

2 sin x 2x cos x

f ' x

x sin x 

 

3

sin x x cos x

   , x 0;

2



 

  

3

sin x x cos x

  , x 0;

2



 

    

sin x

g x x

cos x

    , x 0;

2



 

  

Ta có      

6

3

2

3

2 cos x cos x cos x

g x

3 cos x cos x cos x cos x

 



   

 2  2

3

cos x cos x cos x cos x

     

   

   

  , x 0;

2



 

  

 

Do đóg x g 0 0 Suy f x 0, x 0;

2      

Vẽ bảng biến thiên ta suy f x  1 k2

 , x 0;2



 

   2

4 k

1 k

     

(103)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 86: Cho số thực a, b, c,d cho c d 0  đồng thời thỏa mãn

   

 

2

c d c d 2

log a b log a b

2 2 ln c d 2cd 4c 4d 16

   

     

 

       



Gọi M m GTNN GTLN biểu thức P a c  2  b d 2 Tính giá trị S M n  ?

A 6 B 8 C 10 D 12

 2 2   2 2     2 2

log a b  1 log a b a b  1 10 a b  a 5  b 5 49

Giả thiết tương đương

    

4 c d

2

c d c d 2 c d

2 2    ln c d 2cd 4c  4d 5 162    ln c d 2  1 16

4

c d 2 4 4 c d

2    2 2 16

Mặt khác ln c d 2   2 1 0 VT 16 Dấu “=” xảy c d  2 Ta sử dụng phương ph{p hình học cho

Xét đường tròn tâm I 5; 5  bán kính R 7 , v| đường thẳng   : x y 0   Gọi điểm    

A a;b ,B c;d Ta có hình vẽ đ}y

Ta có P a c  2 b d 2 AB   max

AB d 0; R AB AB 2R

     

  

   



A

B

(104)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Ta thấy tốn chứa tham số ln câu hỏi quan trọng đề thi, trải dài chương hàm số mũ – logarit, thực chất toán chất giống nhau, khác phép biến đổi, tính chất phép biến đổi Trong chương tìm hiểu tốn chứa tham số liên quan tới mũ – logarit, sau vào kiến thức cần nhớ!

I MỞ ĐẦU

Ứng dụng tam thức bậc hai

t tam thức c hai f x ax2 bx c, a ,     b2 4ac ọi , tổng t ch hai nghi m x , x1 thức i t

1

b S x x

a c P x x

a

     



  



 iều ki n f x 0 c hai nghi m trái ấu P 0

 iều ki n f x 0 c hai nghi m phân i t c ng ấu

P        iều ki n f x 0 c hai nghi m phân i t ương

0 S P

        

 iều ki n f x 0 c hai nghi m phân i t âm

0 S P

        

 hi so sánh hai nghi m với số  0, ta thư ng đ t t x   để chuyển so sánh với số 0, c thể sau

1

1 2 

1

2

2 2

x x

x x x x

         

  

     

          

  

2 1 2 1 1 2 

2 2

x x

x x x x

         

  

     

          

  

3 x1  x2 x1 x2  

CH

ƯƠNG 2

(105)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 ấu f x :         

0 f x 0, x

a 0 f x 0, x

a

  

    

 

 

  

     



 



  

     

  



 

 

    

 

 

Ứng dụng đạo hàm

ài to n . T m m để phương tr nh f x;m 0 c nghi m tr n

 ộc l p m khỏi iến số đưa ng f x A m 

 p ảng iến thi n hàm số f x  D

 ựa vào ảng iến thi n ác đ nh giá tr tham số m để đư ng th ng  

y A m nằm ngang c t đ th hàm số y f x  

 ết lu n nh ng giá tr cần t m m để phương tr nh f x A m  c nghi m tr n

 ếu hàm số y f x   c T T tr n th giá tr m cần t m nh ng m

thỏa m n      

D D

min f x A m max f x

 ếu ài toán y u cầu t m t m tham số để phương tr nh c k nghi m phân i t, ta cần ựa vào ảng iến thi n để ác đ nh cho đư ng th ng y A m   nằm ngang c t đ th hàm số y f x   t i k điểm phân i t

ài to n . T m m để ất phương tr nh f x;m 0 ho c f x;m 0 c nghi m tr n

 c 1. ộc l p m khỏi iến số đưa ng f x A m  ho c f x A m 

 p ảng iến thi n hàm số f x  D

 ựa vào ảng iến thi n ác đ nh giá tr tham số m để ất phương tr nh c nghi m

ới ất phương tr nh f x A m  đ nh ng m cho t n t i phần đ th nằm tr n đư ng th ng y A m ,   tức    

D

A m max f x    

D

khi max f x 

ới ất phương tr nh f x A m  đ nh ng m cho t n t i phần đ th nằm ưới đư ng th ng y A m ,   tức    

D

A m min f x    

D

khi f x 

(106)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 ất phương tr nh f x A m  nghi m     D

x D f x A m

   

 ất phương tr nh f x A m  nghi m     D

x D max f x A m

   

 ác ài toán li n quan h phương tr nh, h ất phương tr nh th ta cần iến đổi chuyển phương tr nh ất phương tr nh

(107)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

II CÁC BÀI TOÁN

Câu 1: Tìm số giá tr nguyên tham số m để phương tr nh

  

x 1 x x x

4  4   m 2  2  16 8m có nghi m  0;1

?

A 2 B C. D 3

THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017-2018

Câu 2: Tìm tất giá tr m để h sau có nghi m

 

2x x x

2

3 2017x 2017 x m x 2m

   

   

 

    



A m 3 B m 3 C. m 2 D. m 2

THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần năm học 2017 – 2018

Câu 3: Có số nguy n ương a để phương tr nh sau c nghi m nhất?

   2 2  2

27 11 11

9 x x

3a 12a 15 log 2x x a 3a log log 2x x log

2 2

    

 

             

     

A 2 B C. Vô số D 1

THPT Cổ Loa – Hà Nội lần năm 2017 – 2018

Câu 4: Gọi S t p hợp tất giá tr m cho 10m phương tr nh

   

mx mx

2 log  2x 5x 4 log  x 2x 6 có nghi m Tìm số phần tử S A 15 B 14 C. 13 D 16

THTT số – 486 tháng 12 năm 2017

Câu 5: Cho tham số thực a Biết phương tr nh ex ex 2 cos ax có nghi m thực phân bi t Hỏi phương tr nh exex 2 cos ax 4 có nghi m thực phân bi t

A 5 B C. 10 D 11

THPT Chuyên Thái Bình – Lần năm học 2017 – 2018

Câu 6: Cho bất phương tr nh m.3x 1 3m 4    7 x 4 7x 0, với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với

 

x ;0

A m 2 3 

 B m 2

3 

 C. m 2

3 

 D. m 2

3   

THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa năm 2017 – 2018

(108)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh lần năm học 2017 – 2018

Câu 8: Số giá tr nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương tr nh

   

6

log 2018x m log 1009x có nghi m là?

A 2020 B 2017 C. 2019 D 2018

Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Câu 9: Cho a, x số thực ương, a 1 thỏa mãn log x log aa   x Tìm giá tr lớn a

A 1 B log 2 e1

C.

ln 10 e

e D

log e e

10

Phổ thông khiếu – Đại học Quốc Gia TP HCM lần năm 2017 – 2018

Câu 10: Có giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh

2

2x mx

log 2x mx x x

   

    

 

  

  có hai nghi m thực phân bi t?

A 3 B C. D.

Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 – 2018

Câu 11: Có giá tr m để giá tr nhỏ hàm số f x  e2x4exm tr n đo n 0 ;ln 4 6?

A 3 B C. D.

THPT Chuyên Ngoại ngữ - Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Câu 12: Có giá tr nguyên thuộc khoảng 9;9 tham số m để bất phương trình 3log x log m x x    1 x x   có nghi m thực?

A 6 B C. 10 D. 11

Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Nam năm học 2017 – 2018

Câu 13: Tìm t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh sau c nghi m

  

3m m 2

e e 2 x x x x  A 0; ln 21

2    

  B

1 ; ln

2  

 

  C.

1 0;

e    

  D.

1ln 2;

 

  

Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 – 2018

Câu 14: ho phương trình log x2  x2 1 log 2017x x2 1log xa  x21

Có giá tr nguyên thuộc khoảng 1; 2018 tham số a cho phương tr nh đ cho c nghi m lớn

(109)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 15: Giả sử t n t i số thực a cho phương tr nh exex 2 cos ax 4 có 10 nghi m thực phân bi t Số nghi m phân bi t phương tr nh exex 2 cos ax là:

A 5 B 20 C. 10 D.

Câu 16: Có số nguyên m để phương tr nh sau c nghi m thực?

 

ln m sin x ln m 3sin x   sin x

A 5 B C. D.

Câu 17: Cho n số tự nhiên thỏa m n phương tr nh 3x 3x 2 cos nx có 2018 nghi m Tìm số nghi m phương tr nh 9x 9x  4 cos 2nx

A. 4036 B 2018 C. 4035 D. 2019

THPT Quảng Xương – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018

Câu 18: Gọi S t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh

2

x x 12 2x x 10 5x

m.3   3  9.3  m

có ba nghi m thực phân bi t Tìm số phần tử S

A. B Vô số C. D.

THPT Trần Hưng Đạo – TP HCM năm học 2017 – 2018

Câu 19: Có giá tr nguyên tham số m để t n t i c p số x; y thỏa mãn 2x y 3x 2y

e   e    x y

, đ ng th i thỏa mãn log 2x y 122    m log x m   2 4

A 3 B C. D.

Sở Giáo dục đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu đề năm 2017 – 2018

Câu 20: Biết a; b khoảng chứa tất giá tr tham số thực m để phương tr nh

   

2

x x x 1

7 5 m 5 2 

c ốn nghi m thực phân bi t Tính M a b 

A M

 B M 16

 C. M 16 

 D. M 

THPT Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh lần năm học 2017 – 2018

Câu 21: Có giá tr nguyên tham số m nhỏ 10 để phương tr nh x x

m m e e có nghi m thực?

A 9 B C. 10 D.

Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018

Câu 22: Cho hàm số f x a2 1 ln 2017x x 2bxsin2018x 2 với a,b số thực Biết f 7 log 6 Tính f 5 log 7

(110)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 23: Cho bất phương trình m.3x 1 3m 4   7 x 4 7x 0, với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với

 

x ;0

A m 2 3 

 B m 2

3 

 C. m 2

3 

 D. m 2

3   

Chuyên Đồng sông Hồng lần năm học 2017 – 2018

Câu 24: Tìm tất giá tr thực tham số m để phương tr nh ln m ln m x    x có nhiều nghi m

A. m 0 B m 1 C. m e D. m 1

THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần – năm học 2017 – 2018

Câu 25: ho phương tr nh em cosx sin x e2 sin x    2 sin x m cos x với m tham số thực Gọi S t p tất giá tr m để phương tr nh c nghi m Khi đ S có d ng

;a  b; Tính T 10a 20b 

A T 10 3 B T 0 C. T 1 D. T 10

THPT Kim Liên – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Câu 26: Có số nguyên m để phương tr nh

2

2 2

3x 3x m

log x 5x m

2x x

        

Có hai nghi m phân bi t lớn

A 3 B Vô số C. D.

THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm học 2017 – 2018

Câu 27: ho phương tr nh log x2  x21 log x 5  x21logmx x2 1  Có giá tr nguy n ương khác m cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn 2?

A. Vô số B C. D.

THPT Chuyên Đại học Vinh – Nghệ An lần năm học 2017 – 2018

Câu 28: Có tất giá tr nguyên tham số a thuộc khoảng 0; 2018 để ta ln có

n n n n a

9

lim

5 2187

 

 

 ?

A 2011 B 2016 C. 2019 D. 2009

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp lần năm học 2017 – 2018

(111)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

A. Khơng có m B m 3  C. m 3 D. m 2

THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Câu 30 : Tìm t p hợp S tất giá tr tham số m để phương tr nh sau c a nghi m phân bi t

x 12   x m  

2

2  log x 2x 3 4  log x m 2 

A. S 1;1;3

2

    

  B

1

S ; 1;

2

    

  C.

1

S ;1;

2

    

  D.

1

S ;1;

2

      

THPT Chu Văn Anh – Hà Nội năm học 2017 – 2018

Câu 31 : Có số nguy n ương m đo n 2018 ; 2018 cho bất phương tr nh sau với x1 ;100:  

11 log x log x

m 10

10

10x  10

A. 2018 B 4026 C. 2013 D. 4036

Câu 32 : Gọi S t p giá tr tham số thực m để hàm số y x 2ln x m 2    đ ng biến t p ác đ nh Biết S   ;a b Tính tổng K a b 

A. K 5 B K 5 C. K 0 D. K 2

Câu 33 : Cho hai số thực a, ba 1, b 1   hương tr nh ax bx  b ax có nhiều nghi m?

A. B C. D.

Câu 34: T p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh

   

x 2x x

27 m.3   m 1   m 1 0

Có nghi m thực phân bi t khoảng a; b Tính giá tr biểu thức S a b 

A. B 1 C. 2 D. 1  Câu 35: Có số nguyên m  2018; 2018 để phương tr nh 2x 3x2 m

2

   

có nghi m thực phân bi t?

A. 2013 B 2012 C. 4024 D. 2014

Câu 36: Cho bất phương tr nh 3a 1  3a 

log 11log x 3ax 10 log   x 3ax 12 0

 

Giá tr thực tham số a để bất phương tr nh tr n c nghi m thuộc khoảng sau

(112)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 37: Có giá tr nguy n ương tham số m để t p nghi m bất phương trình 3x 2  3 x 2m0 chứa không số nguyên?

A. 3281 B 3283 C. 3280 D. 3279 Câu 38: Có số nguyên a  2019; 2019 để phương tr nh

  x

1 x a

ln x 5 3 1 

có hai nghi m phân bi t?

A. 2017 B 2022 C. 2014 D. 2015

Câu 39: Tất giá tr m để bất phương tr nh 3m 12  x 2 m 6  x3x 0 có nghi m với mọix 0 là:

A.  2;  B  ; 2 C. ;

  

 

  D.

1 2;

3

  

 

 

Câu 40: Tìm m để bất phương tr nh 2x 3x 4x  3 mx có t p nghi m

A. Không t n t i m B ln 26 C. ln 26 D. ln

Câu 41: Với a tham số thực để bất phương tr nh 2x3x ax 2 có t p nghi m , đ

A. a  ;0 B a 1; C. a3 ;  D. a 0 ;1

Câu 42: ho phương tr nh 2 log x 3log x 222    3x m 0 (m tham số thực) Có tất

cả giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh đ cho c hai nghi m phân bi t?

(113)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

III HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Tìm số giá tr nguyên tham số m để phương tr nh

  

x 1 x x x

4  4   m 2  2  16 8m có nghi m  0;1

?

A 2 B C. D 3

THPT Lê Hồng Phong – Nam Định lần năm 2017-2018

Lời giải

  

x 1 x x x

4  4   m 2  2  16 8m 4 4 x4x4 m 2   x 2x16 8m t t u x  2x2x,x 0;1 u x 2x2x 0 x 0;1  Suy u 0  t u 1  hay

3 t 0;

2  

   t2 4x 4x 2.2 2x x 4x4x  t2 hương tr nh trở thành :

   

 

    

2

4 t 4t m 16 8m t t m 2m t t m 2m m t t t m t t t

3 m t t 0;

2 t m

    

     

     

    

    

  

     

 

 

  



ể phương tr nh đ cho c nghi m  0;1 th phương tr nh t m 1  phải có nghi m

3 t 0;

2   

  Suy

3

m 0;

2      

 , hay

5 m 1;

2   

 

Chọn ý A

Câu 2: Tìm tất giá tr m để h sau có nghi m

 

2x x x

2

3 2017x 2017 x m x 2m

   

   

 

    



A m 3 B m 3 C. m 2 D. m 2

THPT Chuyên Vĩnh Phúc – lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n x 1

Xét 32x x 1 32 x 1 2017x 2017 3 32x x 1 3 32 x 1 2017 2017x  9x 9 3 x 1 2017 x  

Dễ thấy x 1 nghi m

(114)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 Nếu   1 x VT9x9 3 x 1 0, VP 2017 x   0 Suy 9x 9 3 x 1 2017 x   có nghi m với   1 x

V y bpt 32x x 1 32 x 1 2017x 2017 có nghi m với   1 x

Cách

Xét: f x x2m x 2m 0     Ta có  m24m 8 , để bpt có nghi m   1 x thì:

 Tr ờng hợp 1    0 m 2    , bpt có nghi m   1 x  1

 Tr ờng hợp 2 m

m

  

   

  

 , nghi m bpt ; x1  x ;2  Ta có 1;1  x ; x1 2

   

f 3m

m

m f

 

   

    

    

 



o đ ất phương tr nh có nghi m   1 x m 2

Kết hợp điều ki n ta m 2   2 m 2 2  2 Từ  1  2 suy h đ cho c nghi m m 2

Cách Bài tốn trở thành tìm m để bpt x2 m x 2m 0     có nghi m   1 x Bất phương tr nh tương đương

 

m x 2 x 2x 3 m x2 2x f x  x

 

  

  * (Do   1 x 1)

Ta có  

 

2

x 4x f ' x

x   

 Xét f ' x    0 x 3  1;1

ể bất phương tr nh  * có nghi m  

 

x 1;1

m f x

 

 L p bảng biến thiên hàm số  

f x 1;1 ta có m f 1       f 2.V y m 2 Chọn ý C.

Câu 3: Có số nguy n ương a để phương tr nh sau c nghi m nhất?

     

2 2

27 11 11

9 x x

3a 12a 15 log 2x x a 3a log log 2x x log

2 2

    

 

             

     

A 2 B C. Vô số D 1

THPT Cổ Loa – Hà Nội lần năm 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n x 

(115)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

       

2 2

3 11 11

2 x x a 4a log 2x x 9a 6a log log 2x x log

2

     

           

   

   2  

3 11

2 x a 4a log 2x x 9a 6a log

2

  

        

 

 2  2  2 2 3 2 

3 11

11

log 2x x x 3a

a log 2x x 3a log * 2 a log

2 x



     

         

  

 

   



 

Mà vế trái  * ương với a nguy n ương Vì x  nên x2 2 2 log11 2

2 x x

        

   

o đ từ  * suy log 2x x3  20 2x x  1 x22x 0   không t n t i x y khơng có giá tr tham số a thỏa mãn yêu cầu đề

họn ý B

Câu 4: Gọi S t p hợp tất giá tr m cho 10m phương tr nh

   

mx mx

2 log  2x 5x 4 log  x 2x 6 có nghi m Tìm số phần tử S A 15 B 14 C. 13 D 16

THTT số – 486 tháng 12 năm 2017

Lời giải

Ta có: 2x25x 0  với x n n phương tr nh an đầu tương đương với

2

mx

mx mx

mx 2x 5x

x 2x 5x x 2x

x

  

 



   

  

    

  

      

  

 

hương tr nh c nghi m tương đương với ta nh n nghi m x 2 lo i x 5 ho c nh n nghi m x 5 lo i x 2

 Trư ng hợp 1: Nh n nghi m x 2 lo i x 5

iều tương đương với

5 m 2m 2 2m m 5m m 5m m

  



 

 

   

 

   

 

  

  

 

(vơ lí)

(116)

TẠ P CH Í VÀ TƯ LI ỆU TO ÁN H Ọ C

iều tương đương với

m m

5m 5

6 m 5m m 2

5

6 2m 5 m

m 5

2m 2 m                                               Suy ra: 10m 30 10 10m 25 m 12          

Vì 10m nên 10m11;13;14 ; 25   30 Trong t p hợp có 15 phần tử nên t p hợp S c 15 phần tử Chú ý: m 11 13 14; ; ;25 30

10 10 10 10 10

   

       

Chọn ý A.

Câu 5: Cho tham số thực a Biết phương tr nh ex ex 2 cos ax có nghi m thực phân bi t Hỏi phương tr nh ex ex 2 cos ax 4 có nghi m thực phân bi t

A 5 B C. 10 D 11

THPT Chuyên Thái Bình – Lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Ta thấy phương tr nh ex ex 2 cos ax c nghi m uy phương tr nh

x x

2 x

e e cosa



  c nghi m  * x x

e e 2 cos ax 4 exex  2 cos ax 1  

x x

2

2 ax

e e cos

2              x x 2 x x 2 ax e e cos

2 ax e e cos

2             

 hương tr nh  1 phương trình  2 có nghi m chung x0

ax

cos

2 

0

x x 2

e e



 x0

cos0

 

  

 - vô lý V y    1 , có nghi m khác

 hương tr nh  1 có nghi m ( theo  * ) Nếu x0 nghi m  1 x0 0

0

x x

0

2 ax

e e cos

2



  e 2x0 ex20 2 cosa x0

2



 

     

 

hi đ x0 nghi m  2

(117)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Chọn ý C

Câu 6: Cho bất phương tr nh m.3x 1 3m 4    7 x  4 7x 0, với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với

 

x ;0

A m 2 3 

 B m 2

3 

 C. m 2

3 

 D. m 2

3   

THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa năm 2017 – 2018

Lời giải

Bất phương tr nh tương đương

    x x

x

m.3   3m 4   4 0  

x x

4 3m 2 3m 0

3

     

       

   

t

x

4 t

3

  

  

  , x 0 nên t 1 

Ta cần tìm tham số m cho t23mt 3m 0   , với t 1  Ta có

2

t m

3t   

  

2 0;1

t m max

3t    

 Ta tìm GTLN hàm số  

2

t

f t

3t   

 t 1 

Ta có  

 

2

1 t 2t

f t

3 t 1

     



t t

     

  



L p bảng biến thi n ta

   

2 0;1

t

max f

3t  

   

2 3  

Chọn ý A

Câu 7: hương tr nh 2x 2 3m 3x x36x29x m 2  x 2 2x 1 1 có nghi m phân bi t ma; bđ t T b 2a2 thì:

A T 36 B T 48 C T 64 D T 72

THPT Trần Nhân Tông – Quảng Ninh lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

 

3

x m 3x x x

2     x 6x 9x m 2  2  1

 

3m 3x 3 2 x

2  x m 3x 2 

       

   

3m 3x 2 x

2  m 3x  x

     

(118)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Xét hàm số f x   x3 6x2 9x 8 có f x  3x2 12x 9 ; f x  x

x

 

    



L p bảng biến thiên ta thấy phương tr nh c nghi m phân bi t m 8  Suy a 4; b 8   T b2 a2 48

Chọn ý B

Câu 8: Số giá tr nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương tr nh

   

6

log 2018x m log 1009x có nghi m là?

A 2020 B 2017 C. 2019 D 2018

Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

t log 2018x m6  log 1009x4 t

t t

2018x m 1009x    

 

 

t t

2.4 m

   m 2.4t 6t t f t  2.4t6t Ta có: f t 6 ln 2.4 ln 4t  t

Xét  

t

6

3 ln

f t log 16

2 ln  

     

  32 

t log log 16  

L p bảng biến thiên ta thấy phương tr nh f t m có nghi m

 

3

m f log log 16   2,01

  Mà

m 2018 m

   

 nên ta có:

2 m 2017 m

  

    V y có 2020 giá tr m thỏa mãn yêu cầu toán

Chọn ý A

Câu 9: Cho a, x số thực ương, a 1 thỏa mãn log x log aa   x Tìm giá tr lớn a

A 1 B log 2 e1 C. e ln 10e D

log e e

10

Phổ thông khiếu – Đại học Quốc Gia TP HCM lần năm 2017 – 2018

Lời giải

Ta có: log x log aa   x log x xlog aa  log x xlog a

log a

  log x  2

log a x

 

Giá tr a lớn log a lớn Xét hàm số f x  log x

x

 với x 0 Ta có f x  ln x2

x ln 10 

  ; f x   0 x e

L p bảng biến thiên ta dễ dàng suy log a2 lớn log e

e

hi đ log a2 log e

e

 log a log e e

 

log e e

a 10

(119)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 10: Có giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh

2

2x mx

log 2x mx x x

   

    

 

  

  có hai nghi m thực phân bi t?

A 3 B C. D.

Lời giải

iều ki n: x 02

2x mx

  

   



hương tr nh an đầu tương đương

2

2x mx

log 2x mx x x

   

    

 

  

 

 

2

log 2x mx 2x mx log x x

          f 2x2mx 1 f x 2   1 Xét hàm số f t log t t2  với t0; có f t  1

t ln

    ,  t 0;  

f t

 đ ng biến 0; nên  1  2x2 mx x 2   Từ đ

 2    

2

x x

x m x 2x mx x

   

 

 

     

    

 



ể có hai nghi m thực phân bi t  2 có hai nghi m phân bi t x1, x2 lớn 2

 

   

  

2

1

m 12

x x

     

        

  

1

1 2

m

x x

x x x x

  

   

    

  

m

4 m

3 m

  

   

     

m

9 m 2 m

2

  

  



 mà  

*

m m 1; 2; 3;

Chọn ý B

Câu 11: Có giá tr m để giá tr nhỏ hàm số f x  e2x4exm tr n đo n 0 ;ln 4 6?

A 3 B C. D.

THPT Chuyên Ngoại ngữ - Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

(120)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Giá tr nhỏ f x  e2x4ex m 0 ;ln 4 thuộc Am ; m ; m  

 Xét  

 

m 10 A ;6 ;10 m

m A ;6 ;

   

   

   



Ta thấy m 10 thỏa mãn yêu cầu toán f x 6

 Xét  

 

m A ;6 ;9 m

m A ;6 ;

   

   

   

 (không thỏa mãn)

 Xét  

 

m A ; ;6 m

m A 10 ;9 ;6

   

  

   



Ta thấy m 6 thỏa mãn yêu cầu toán f x 6 V y có hai giá tr m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn ý D

Câu 12: Có giá tr nguyên thuộc khoảng 9;9 tham số m để bất phương trình 3log x log m x x    1 x x   có nghi m thực?

A 6 B C. 10 D. 11

Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Nam năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n

 

2

0 x

m x x x x

   

    

  

0 x

m x x

  

 

  

  

0 x 1 x m

x

   

   

  Bất phương tr nh đ cho tương đương:

 

 2

3

log x log m x x  1 x x x3 m x x  1 x x  2

 

x x m x x x x

       

2

x x x x x x m

1 x x x x

   

   

 

Áp d ng bất đ ng thức AM – GM ta có : x x x x x x

1 x x



        

    

   

Vì v y m x x

Khảo sát hàm số f x  x x  0;1 ta f x  1, 414 V y m nh n giá tr 2, 3, 4, 5,6,7,8

(121)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 13: Tìm t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh sau c nghi m

  

3m m 2

e e 2 x x x x  A 0; ln 21

2    

  B

1 ; ln

2  

 

  C.

1 0;

e    

  D.

1ln 2;

 

  

Lời giải

t

2

1 t t x x

t 2x x

   

    

  

 hi đ  

3m m

e e t t 1 e3m em  t3 t Xét hàm f u u3u f u 3u2 1 Hàm số đ ng biến

e3m em  t3 t em t hương tr nh c nghi m: em 2 m 1ln 2

2   

Chọn ý B

Câu 14: ho phương trình log x2  x2 1 log 2017x x2 1log xa  x21

Có giá tr nguyên thuộc khoảng 1; 2018 tham số a cho phương tr nh đ cho c nghi m lớn

A 20 B 19 C. 18 D. 17

Lời giải

h n thấy với x 3 x2  1 x2 x  x x2 1 x x2  1 Biến đổi phương tr nh tương ương :

     

2 2017 a

log x x 1 log x x 1 log x x 1

     

2 2017 a

log x x log x x log 2.log x x

       

 

2017 a

log x x log

     1 (vì log x2  x210, x 3) Xét hàm số f x log2017x x21 tr n khoảng 3;

Ta có  

1 f ' x

x 1.ln 2017 

 f ' x 0,  x

L p bảng biến thiên ta thấy phương trình  1 có nghi m lớn log a f 32   

 

2 2017

log a log 2

   log a log2  3 2 2017 a 1    a 2log3 2 2017 19,9

L i a nguy n thuộc khoảng 1; 2018 nên a2; 3; ;19

(122)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 15: Giả sử t n t i số thực a cho phương tr nh exex 2 cos ax 4 có 10 nghi m thực phân bi t Số nghi m phân bi t phương tr nh exex 2 cos ax là:

A 5 B 20 C. 10 D.

Lời giải

Đây câu tương tự với câu đề thi thử Chuyên Thái Bình lần

hương tr nh đầu tương đương x x

e e 2 cos ax 4

2 x x 2

e e cosax  

      

2 2

x x

2 ax

e e cos

2



            

    x x

2

x x 2

ax e e cos

2 ax e e cos

2



 

 

  



  



Nh n thấy x 0 không nghi m phương tr nh đ cho Nếu x x nghi m  1 x x0 nghi m  2

o đ số nghi m  1  2 đ ng th i khác đôi uy phương tr nh  1 c nghi m x1; x2; x3; x4; x5

V y phương tr nh exex 2 cos ax c nghi m phân bi t x1

2 ,

2

x ;

3

x ;

4

x ;

5

x

Chọn ý A

Câu 16: Có số nguyên m để phương tr nh sau c nghi m thực?

 

ln m sin x ln m 3sin x   sin x

A 5 B C. D.

Lời giải

iều ki n: m sin x ln m 3sin x 

m 3sin x

   

 

  

hương tr nh đ cho tương đương

  sin x

m sin x ln m 3sin x   e

  sin x

m 3sin x ln m 3sin x   e sin x

 

   

ln m 3sin x ln m 3sin x esin x sin x

e 

     ,  1

Xét hàm số f t ett, t Ta có f t et  1 0,  t Nên hàm số f t  đ ng biến V y  1 fln m 3sin x  fsi xn ln m 3sin x  sin x

(123)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

V y để phương tr nh c nghi m thực g 1 m g 1   e m

e      V y có giá tr nguyên tham số m là:0;1;2;3

Chọn ý B

Câu 17: Cho n số tự nhiên thỏa m n phương tr nh 3x3x 2 cos nx có 2018 nghi m Tìm số nghi m phương tr nh 9x 9x  4 cos 2nx

A. 4036 B 2018 C. 4035 D. 2019

THPT Quảng Xương – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018

Lời giải

Biến đổi giả thiết tương đương x x

9 9  4 cos 2nx 9x9x 2.3 3x x  2 cos 2nx  x x2 2

3 3 cos nx

    

  x x

x x

3 cos nx 3 cos nx



  

 

  



hi đ  1  2 có nghi m chung 3x3x 3x 3x 3x 3x  x

Thay x 0 vào  1 ta 3030 2 cos  0 2, tức  1  2 khơng có nghi m chung M t khác ta thấy x0 nghi m  1 x0 nghi m  2 Mà  1 có 2018 nghi m nên  2 c 2018 nghi m V y phương tr nh đ cho c 4036 nghi m

Chọn ý A

Câu 18: Gọi S t p hợp tất giá tr thực tham số m để phương tr nh

2

x x 12 2x x 10 5x

m.3   3  9.3  m

có ba nghi m thực phân bi t Tìm số phần tử S

A. B Vô số C. D.

THPT Trần Hưng Đạo – TP HCM năm học 2017 – 2018

Lời giải

2

x x 12 2x x 10 5x

m.3   3  9.3  m  x 7x 122  2x x2 x 7x 122 

m    1    1 0

 x 7x 122  2x x2

3   m 

    

2

2 x x 12

2x x

3 m

 



  



  





 

3

x x

2x x log m *

  

 

   



hương tr nh đ cho c a nghi m thực phân bi t, ta c trư ng hợp sau:

 Tr ờnghợp1:  * có nghi m x 3 nghi m l i khác Thay x 3 vào  * ta log m3 m

27    

(124)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

 Tr ờnghợp2:  * có nghi m x 4 nghi m cịn l i khác Thay x 4 vào  * ta log m3   8 m 3 8

hi đ  * trở thành x2 2x x

x

 

       

 (Thỏa yêu cầu)

 Tr ờnghợp3:  * có nghi m kép khác

3

1 log m log m log m



   

 

  

  



 m 3

V y có giá tr m thỏa yêu cầu đề Chọn ý A

Câu 19: Có giá tr nguyên tham số m để t n t i c p số x; y thỏa mãn 2x y 3x 2y

e   e    x y

, đ ng th i thỏa mãn log 2x y 122    m log x m   2 4

A 3 B C. D.

Sở Giáo dục đào tạo Bà Rịa Vũng Tàu đề năm 2017 – 2018

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có e2x y 1  e3x 2y   x y 1e2x y 1  2x y 1  e3x 2y 3x 2y  Xét hàm số f t et t Ta có f t et  1 nên hàm số đ ng biến o đ phương tr nh c ng f 2x y 1    f 3x 2y 2x y 3x 2y      y x Thế vào phương tr nh l i ta log x22 m log x m  2  2 4

t t log x , phương tr nh c ng  

2

t  m t m   4 ể phương tr nh c nghi m  0  3m28m 0 m

3    o đ c số nguyên m thỏa mãn

Chọn ý A

Câu 20: Biết a; b khoảng chứa tất giá tr tham số thực m để phương tr nh

   

2

x x x 1

7 5 m 5 2 

c ốn nghi m thực phân bi t Tính M a b 

A M

 B M 16

 C. M 16 

 D. M 

THPT Hồng Lĩnh – Hà Tĩnh lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

   

2

x x x 1

7 5 m 5 2 

2

x x

7 m

2 2

     

     

   

Vì

2

x x

7 . 1 2

     



   

    n n đ t

2 x

7 t

2

  

  

(125)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

m t

t

  2t2 t 2m 0 2m  2t2 t *  Xét hàm số f t  2t2t, t 1  f t   4t 1, f t  t

4

    Vẽ bảng biến thiên ta thấy để phương tr nh đ cho c ốn nghi m thực phân bi t th phương tr nh

 * phải có hai nghi m phân bi t thỏa mãn t 1  Từ đ ta 2m

8

  m 16

   M 16   

16 

Chọn ý B

Câu 21: Có giá tr nguyên tham số m nhỏ 10 để phương tr nh x x

m m e e có nghi m thực?

A 9 B C. 10 D.

Sở Giáo dục đào tạo Bắc Giang năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n:

x

m e m m e

  

 

  

 t

x

t m e t 0  ta suy ra:

2x

2 x

m t e t m e

   



 



   x   

2x x x x

x

e t e t t e e t e t

e t

  

          

   

hương tr nh  2 vơ nghi m ex  t

hương tr nh  1 tương đương với ex  t ex  m e x m e 2xex  3

hương tr nh m m e x ex  * có nghi m thực phương tr nh  3 có nghi m thực Xét hàm số f x e2xex với x , ta có: f x  2e2x ex ex x ln

2

         L p bảng biến thiên hàm số f x e2xex ta suy phương tr nh  3 có nghi m

1 m

4  

Kết hợp với giả thiết m số nguyên nhỏ 10 ta suy m0,1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9 V y có 10 giá tr thỏa mãn

Chọn ý C

Câu 22: Cho hàm số f x a21 ln 2017x x 2bxsin2018x 2 với a,b số thực Biết f 7 log 6 Tính f 5 log 7

A. f 5 log72 B f 5 log74 C. f 5 log7 2 D. f 5 log76

(126)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

t g x  a21 ln 2017x x 2bxsin2018x có t p ác đ nh t p đối xứng Ta có với x , g x  a21 ln 2017 x x 2bxsin2018 x

  2017 2018 

2

1

a ln bxsin x x x

 

   

 

 

a2 1 ln 2017x 1 x2 bxsin2018 x g x 

       

Suy g x  hàm số lẻ, m t khác 7log 5log7 nên g 5 log7 g 5 log7  g 7 log Theo giả thiết ta có f 7   log g 7log  2 g 7 log 4

o đ f 5 log 7=g 5 log7  2 g 7 log      2 2 Chọn ý C

Câu 23: Cho bất phương trình m.3x 1 3m 4   7 x 4 7x 0, với m tham số Tìm tất giá tr tham số m để bất phương tr nh đ cho nghi m với

 

x ;0

A m 2 3 

 B m 2

3 

 C. m 2

3 

 D. m 2

3   

Chuyên Đồng sông Hồng lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

   x x x

m.3   3m 4   4 0  

x x

4 7 3m 3m

3

     

       

   

t

x

4 t

3

  

  

  Khi x 0 t 1  BPT trở thành:

3m

3m t 0,

t 

    t  0;1 3m t2 2, t    

  t  0;1

t

f t ,

t   

  t  0;1  

2

t 2t

f t t

t    

      

Vẽ bảng biến thiên ta thấy để để bất phương tr nh đ cho nghi m với

 

x ;0 3m 2 m 2

3     

Chọn ý B

(127)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

có nhiều nghi m

A. m 0 B m 1 C. m e D. m 1

THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần – năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n x e mm

t ln m x  y ta eym x Thay vào  1 ta ln m y  x exm y Ta có h

x

y y

x x

y

e m y

e e y x e x e y

e m x

  

         

  

Do hàm số f t et t đ ng biến nên suy x y  x ln x m  ex x m Xét hàm số g x exx; g x ex1; g x   0 x

Vẽ bảng biến thiên cho hàm g x  ta suy phương tr nh c nhiều hai nghi m m 1

Chọn ý B

Câu 25: ho phương tr nh em cosx sin x e2 sin x    2 sin x m cos x với m tham số thực Gọi S t p tất giá tr m để phương tr nh c nghi m hi đ S có d ng

;a  b; Tính T 10a 20b 

A T 10 3 B T 0 C. T 1 D. T 10

Lời giải

Biến đổi phương tr nh đầu tương đương

 

2 sin x m cosx sin x

e  e   2 sin x m cos x

   

2 sin x m cosx sin x

e  m cos x sin x e  sin x

     

Xét hàm số f t et t t , f t et  1 0f t  đ ng biến

   

 

2 sin x mcosx sin x

e m cos x sin x e sin x

m cos x sin x sin x m cos x sin x

 

     

      

hương tr nh c nghi m m2   1 m2 3   S  ; 3   3; V y T 10a 20b  10

(128)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

2

2 2

3x 3x m

log x 5x m

2x x   

     

Có hai nghi m phân bi t lớn

A 3 B Vô số C. D.

THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n: 3x23x m 0   Biến đổi giả thiết tương đương

2

3x 3x m

log x 5x m 2x x

    

      

 

 

2

2 2

3x 3x m

log x 5x m

4x 2x

  

    

 

       

2

log 3x 3x m log 4x 2x 4x 2x 3x 3x m

             

       

2

log 3x 3x m 3x 3x m log 4x 2x 4x 2x

               1

Xét hàm số: f t  t log t2 0;, ta có  

1

f t

t.ln

    ,  t 0; o đ hàm số f t  đ ng biến 0;

hi đ phương tr nh  1 f 4x 22x 2  f 3x2 3x m 1  

2

4x 2x 3x 3x m

       x25x m 1   2 iều với x

Xét hàm số: g x x25x , ta có g x  2x x

2      

Vẽ bảng biến thiên ta thấy phương tr nh  2 có hai nghi m phân bi t lớn 25 m

4

     21 m

     Do m nên m   5; 4 Chọn ý C

Câu 27: ho phương tr nh log x2  x2 1 log x 5  x21logmx x21  Có giá tr nguy n ương khác m cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn 2?

A. Vô số B C. D.

THPT Chuyên Đại học Vinh – Nghệ An lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n ác đ nh: x x2 1  x

t t log x 2  x21

2

x

1 x t

ln x x

  

 

   

2

x x ln x x x

  

  

1

0 x ln



 

(129)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

M t khác ta có x 2  t log 22  3 hương tr nh trở thành

t

5 m t

1 t.log log

2

 t.log 25  log 2m log m5 t   

ể cho phương tr nh đ cho c nghi m x lớn ta cần có

 

5

2

1 log m

log

 



 

2 log

m

 

 

Do m * m 1 nên m 2 Chọn ý D

Câu 28: Có tất giá tr nguyên tham số a thuộc khoảng 0; 2018 để ta ln có

n n n n a

9

lim

5 2187

 

 

 ?

A 2011 B 2016 C. 2019 D. 2009

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Từ giả thiết ta ln có

n n n n a

9 0, n

5

 

  

 Từ đ suy

n n n n n n a n n a

9

lim lim

5 9

 

  

 

n

n a

1

3 lim

5 9

       

      

a

1

 1a

3 

Theo đề ta có

n n n n a

9

lim

5 2187

 

 

 a

1

3 2187

   a

Do a số nguyên thuộc khoảng 0; 2018nên có a7;8;9; ; 2017 nên ta có tất 2011 giá tr a

Chọn ý A

Câu 29: ho phương tr nh 4xm 2  x 1  8 Biết phương tr nh c hai nghi m x1, x2 thỏa mãn x11 x 216 Kh ng đ nh ốn kh ng đ nh ưới

A. Khơng có m B m 3  C. m 3 D. m 2

THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

(130)

iều ki n để phương trình có hai nghi m x1, x2 phương tr nh  1 có hai nghi m ương phân i t t1, t2

0 S P            

m 2m m           

m 2 m 2 m              

m 2

   

hi đ x1

1

t m 1  m 2m 2  , x2

2

t m 1  m 2m 2 

Ta có x x1 2

t t 2  8

1

x x

   , x11 x 216 x x1 2

   

2

log m m 2m log m m 2m

         

 

2 2

8

log m m 2m log

m m 2m

     

   

   

2

log m m 2m log m 1 m 2m 

           

   2

t u log m 1 2   m22m 7   2 trở thành 3u u 2 2 u

u

 

  

 Nếu u 1 m 1  m22m 2   m22m m   th phương tr nh vô nghi m m  1 2

 Nếu u 2 m 1  m22m 4   m22m m   m 2 (nh n) V y m 2 thỏa mãn yêu cầu toán

Chọn ý B

Câu 30 : Tìm t p hợp S tất giá tr tham số m để phương tr nh sau c a nghi m phân bi t

x 12   x m  

2

2  log x 2x 3 4  log x m 2 

A. S 1;1;3

2

    

  B

1

S ; 1;

2

    

  C.

1

S ;1;

2

    

  D.

1 S ;1; 2       

THPT Chu Văn Anh – Hà Nội năm học 2017 – 2018

Lời giải

Xét hàm số f t 2 log t 2t 2  ,   t 2  t  

1

f t ln 2.log t 2 t ln

    

 ,  t

 

f t

 đ ng biến 0; Biến đổi giả thiết tương đương

x 12   x m  

2

2  log x 2x 3 4  log x m 2 

x 12  2  2 x m  

2

2  log x 2  log x m

     

 2

f x 1  f x m

       x 1 2 2 x m  1

(131)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 Tr ờng hợp 1:  2 có nghi m kép x0,  3 có hai nghi m phân bi t khác x0 hi đ m

2

  2 có nghi m x

2

  ,  3 có hai nghi m phân bi t x

2   

 Tr ờng hợp 2:  3 có nghi m kép x0,  2 có hai nghi m phân bi t khác x0 hi đ m

2

  3 có nghi m x

2

  ,  2 có hai nghi m x 2

2   

 Tr ờng hợp 3:  2 (3) có chung nghi m x0

hi đ x0 m m 1 , thử l i m 1 thỏa yêu cầu toán V y

1

S ;1;

2

    

 

Chọn ý B

Câu 31 : Có số nguy n ương m đo n 2018 ; 2018 cho bất phương tr nh sau với x1 ;100:  

11 log x log x

m 10

10

10x  10

A. 2018 B 4026 C. 2013 D. 4036

Lời giải

    

log x 11

m log x log x log x 10m log x 11log x

10 10

         

 

 

 

10m log x log x 10log x

    

Do x1 ;100log x0 ; 2 o đ ta có

  10log x log x2

10m log x log x 10log x 10m

log x       



t t log x , t0 ; 2, xét hàm số  

2

10t t f t

t  



Ta có:  

   

2

10 2t t

f t t ;2

t  

    

 o đ        

16 f f t f f t

3     

ể

2

10log x log x 10m

log x  

 với x1;100

16

10m m

3 15

  

o đ m ;2018

15

 

   hay có 2018 số thỏa mãn Chọn ý A

Câu 32 : Gọi S t p giá tr tham số thực m để hàm số y x ln x m 2    đ ng biến t p ác đ nh Biết S   ;a b Tính tổng K a b 

A. K 5 B K 5 C. K 0 D. K 2

(132)

Cách1.Ta có y 2x

x m   

 

 

2

2x m x x m    

  ,  

2

y  0 2x 2 m x 0  

 Trư ng hợp   m2 4m 0    2 m   2 hi đ y 0    x  m 2; 

 Trư ng hợp m 2

m 2

    

  

 , đ y 0 có hai nghi m phân bi t

 

1

m m 4m

x       ,   2

m m 4m

x

2

     

Vẽ bảng biến thi n ta suy được:

y 0    x  m 2;  x2   m m 2 m2 4m m

2

    

   

2

m 4m m

     

2

m 4m m 4m

m

m 4m

               m m 2 m 2

                

m 2

   

V y S    ; 2  a 2, b 2 nên K a b 0  

Cách2. Ta có y 2x

x m   

 

 

2

2x m x x m    

  ,  

2

y  0 2x 2 m x 0  

 Trư ng hợp   m2 4m 0    2 m   2 2, đ

y 0    x  m 2; 

 Trư ng hợp   m 2

m 2

     

  

 ,  * hi đ phương tr nh c hai nghi m phân bi t x1, x2

Theo Viet ta có

 

1 2

x x m

1 x x         

 Hàm số đ ng biến ; x1 x ;2  đ ta

cần có x1 x2  m 2  Suy ra:

 

11  

x x m

m 2

x m x m

   

    



    



Kết hợp  *  * * có m  2 Hợp hai trư ng hợp có giá tr cần tìm m

100 V y S    ; 2   a 2, 100 nên K a b 0   Chọn ý C

Câu 33 : Cho hai số thực a, ba 1, b 1   hương tr nh axbx  b ax có nhiều nghi m?

A. B C. D.

Lời giải

(133)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Do f '' x a ln a b ln b 0x  x  nên hàm số đ cho c tối đa cực tr o đ phương tr nh đ cho c tối đa hai nghi m Ta chọn số để phương tr nh tr n c nghi m sau Chọn a b e  ta có f x 2exe, f x  x lne

2    

e e

f ln e ln

2

      

  ; xlim f x   

Vì v y phương tr nh đ cho c tối đa nghi m Chọn ý C

Câu 34: T p hợp tất giá tr thực tham số m để phương trình

   

x 2x x

27 m.3   m 1   m 1 0

Có nghi m thực phân bi t khoảng a; b Tính giá tr biểu thức S a b 

A. B 1 C. 2 D. 1 2

Lời giải

t t t 0 x   phương tr nh trở thành t33mt23 m 21 t m  2 1 Ta cần t m điều ki n để phương tr nh c nghi m phân bi t ương

Xét hàm số y t 3 3mt2m2 1 t m  2 1 y' 3x 26mx m  1

Ta có CD

CT

t m x y'

t m x    

      ể phương tr nh c nghi m ương phân i t

       

CD CT

2 2

CD CT

2

m y y m 0

x 0, x m 1 m 3 m 2m 1 0 m y 0

m

  



   



       

      

  

   

 Chọn ý D

Câu 35: Có số nguyên m  2018; 2018 để phương tr nh 2x 3x2 m

2

   

c nghi m thực phân bi t?

A. 2013 B 2012 C. 4024 D. 2014

Lời giải

hương tr nh tương đương với m 2x 3x2

2



   Hàm số f x  2x 3x2

2



  

hàm số chẵn o đ ta cần xét nửa khoảng 0; để suy bảng biến thiên hàm số f x  t p số thực

(134)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

   

 

2 x

x x

2 x

x

3x

2 x g x 2 ln 3x x 2

3 2

f x x f ' x

2 2 8 3x 0 x 2 ln 3x 0 x 2



 



  

    

 

     

    



     



Ta có g ' x 2x 1 ln x 8ln 0, x 2,g 22        8ln 0,g 3   16ln 0  nên phương tr nh g x 0 có nghi m x0 2;3

Vẽ bảng biến thiên cho hàm số f x  ta suy phương tr nh c nghi m thực

   

2 x 0

m

m 7,8, , 2018 3x

m f x

 



  

     

 Chọn ý B

Câu 36: Cho bất phương tr nh 3a 1  3a 

log 11log x 3ax 10 log   x 3ax 12 0

 

Giá tr thực tham số a để bất phương tr nh tr n c nghi m thuộc khoảng sau

A. 1;0 B  1; C.  0;1 D. 2;

THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

iều ki n ác đ nh a

3

 

Biến đổi bất phương tr nh tương đương

   

2

3a 3a

7

2

3a 3a

2

7 3a 3a

log 11 log x 3ax 10 log x 3ax 12

log 11 log x 3ax 10 log x 3ax 12 log x 3ax 10 log x 3ax 12 log 11

 

       

 

       

      

t t x23ax 10 0  x23ax 12 x  3ax 10 t   2 hi đ ất phương tr nh

trở thành 7  3a   

11

1

log t log t *

log 3a

  

 Nếu a log 3a 011

3

    bất phương tr nh  * trở thành

       

7 11 3a 11

log t log 3a log t 2  1 log t log t 2 1

Xét hàm số f t log t log7   11t22 t 0   hàm đ ng biến đ ng th i f 3 1 nên

   

f t f   t x 3ax 0  ể phương tr nh c nghi m ta có a

3

 ,

(135)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 Nếu a log 3a 011

3

   ến t tương tự trư ng hợp ta t m a

3

 Chọn ý C

Câu 37: Có giá tr nguy n ương tham số m để t p nghi m bất phương tr nh 3x 2  3 x2m0 chứa không số nguyên?

A. 3281 B 3283 C. 3280 D. 3279

Lời giải

Ta có m * 2m

9

    hi đ

3x 3 3 x 2m 0 3x 2m

9

        

3

3 x log 2m

   

ể t p nghi m bất phương tr nh chứa khơng q số ngun

 

3

log 2m  8 2m 3 m 3280, 5 Mà m nguy n ương n n ta có m1; 2; ; 3280

V y có 3280 giá tr nguy n ương tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn ý C

Câu 38: Có số nguyên a  2019; 2019 để phương tr nh

  x

1

x a ln x 5 3 1 

có hai nghi m phân bi t?

A. 2017 B 2022 C. 2014 D. 2015

Lời giải

iều ki n ác đ nh

 

x

ln x x x x x

     

     

 

    



Ta có

  x   x

1 x a 1 x a

ln x 5 3 1  ln x 5 3 1 

t hàm số f x  1  x1 x

ln x

  

(136)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Suy      

 

x

2 x

1 ln

f ' x x ln x 3 1



   

   nên f x  ngh ch biến khoảng ác đ nh Ta có   5

x

1 243 lim f x 5

3 242

 

      ; xlim f x4   ; lim f xx4   

   

x x

lim f x ; lim f x

      ;xlim f x   

L p bảng biến thiên ta dễ dàng phương tr nh f x a có hai nghi m phân bi t a 243

242

 

Do  

 

a a

a 2019;2019 a 4;2018



 

 

    

 

 

V y có 2018 2015   giá tr a Chọn ý D

Câu 39: Tất giá tr m để bất phương tr nh 3m 12  x2 m 6  x 3x 0 có nghi m với mọix 0 là:

A.  2;  B  ; 2 C. ;

  

 

  D.

1 2;

3

  

 

 

Lời giải

Bất phương tr nh đầu tương đương

3m 12  x 2 m 6  x3x  0 3m 4  x2 m 2  x 1 0 t 2x t Do x 0  t

hi đ ta c

3m t  22 m t 0, t 1     

  2  

2

t 2t

3t t m t 2t t m t *

3t t   

           



2

t 2t f t

3t t    

  t 1;      

2 2

7t 6t

f ' t t 1; 3t t

 

     



L p bảng biến thiên ta dễ dàng   t

m lim f t



   điều ki n cần t m

Câu 40: Tìm m để bất phương tr nh 2x 3x 4x  3 mx có t p nghi m

A. Không t n t i m B ln 26 C. ln 26 D. ln

Lời giải

t đư ng cong    C : f x 2x3x4x

hương tr nh tiếp tuyến đư ng cong  C t i điểm M 0; 3  là: y x ln 24 3.  Ta cần chứng minh 2x3x4x  3 x ln 24, x 

Xét hàm số g x 2x3x4x 3 x ln 24

  x x x

(137)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

  x  2 x  2 x  2  

g '' x 2 ln 3 ln 4 ln    0, x g ' x đ ng biến hương tr nh g ' x 0 có nghi m x 0

Bảng biến thiên g x 

L p bảng biến thiên g x trên g x   0, x

Câu 41: Với a tham số thực để bất phương tr nh 2x3x ax 2 có t p nghi m , đ

A. a  ;0 B a 1; C. a3 ;  D. a 0 ;1

Lời giải

t trư ng hợp a 0 , bất phương tr nh không nh n giá tr âm x làm nghi m Th t v y, đ 2x 3x 2 mà ax 2 

Suy lo i a 0

t trư ng hợp a 0 Ta có 2x3x ax 2 2x3xax 0  t f x 2x3xax 2 , x

hi đ f ' x 2 ln ln a, xx  x    Ta có f ' x  0 ln ln ax  x   1

t g x 2 ln ln 3, xx  x  g ' x 2 ln ln 0, xx  x    Suy hàm số g x  đ ng biến

L i có  

xlim g x   xlim g x  0

Suy với giá tr a 0 th phương tr nh  1 ln có nghi m xo Ta c phương tr nh f ' x 0 có nghi m xo

Mà  

xlim f ' x   xlim f ' x    a nên f ' x   0, x xo f ' x   0, x xo

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x  đ t giá tr nhỏ t i xo, ta kết hợp với điều ki n đề f x   0, x f 0 0 nên ta suy xo 0 xo0 giá tr để

 

f x 0

Suy xo 0 giá tr để f x o 0 f 0 ln ln a 0   Suy a ln ln ln 6  

(138)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 42: ho phương tr nh  22 

x

2 log x 3log x 2  m 0 (m tham số thực) Có tất giá tr nguy n ương tham số m để phương tr nh đ cho c hai nghi m phân bi t?

A. 80 B 81 C. 79 D. Vô số

Đề thi THPT Quốc Gia mơn tốn 2019 Lời giải

t phương tr nh  22 

x

2 log x 3log x 2  m 0  1

iều ki n: x  

3

x x

x log m m

3 m



 





     

 

Ta có  

2

x

2 log x 3log x

3 m

   

 

 



2

2 x

3

log x x 1 log x x

2 m x lo mg



   



   

 

  

 

   hương tr nh  1 có hai nghi m phân bi t

3

1

4

3

log m 0 m 1

log m 3 m 3



   

 

 

    

 

Do m nguy n ương   

m 3; 4;5; ;8 m

0 



  



(139)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

ồ thị dạng toán thịnh hành năm với dạng toán sáng tạo biến tấu đa dạng, chương tìm hiểu số tốn đồ thị xuất đề thi thử năm vừa số toán mà chúng tơi sáng tác Mấu chốt tốn gần toán tham số, ta phát điểm đặc biệt đồ thị, kết hợp kiến thức mà ta học để giải

CÁC BÀI TỐN

Câu Cho hàm số f x  liên tục có đồ thị hình vẽ đây:

Số giá trị nguyên tham số m không vượt để phương trình  x m2

f

8 

   có hai nghiệm phân biệt

A 5 B 4 C 7 D 6

Lời giải

Đặt t x, t 0. Phương trình cho trở thành

  m2   m2  

f t f t , t

8

 

     Quan sát đồ thị cho hàm số y f x   ta thấy

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2

m

1  m m

          

Đ

1



1

x y

3

2



O 2

CH

ƯƠNG 3

(140)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Mà m m   2; 1;0;1;  Vậy có tất giá trị nguyên m Chọn ý A

Câu Cho hàm số f x  liên tục có đồ thị hình vẽ

Tổng tất giá trị tham số m để bất phương trình

     f     

f x x f x

9.6  f x 9  m 5m

Đúng với x là?

A 10 B 4 C 5 D 9

Lời giải

Đặt t f x   Quan sát đồ thị ta thấy f x       2 x t Bất phương trình cho viết lại sau

    t   2t

t t t 3

9.6 t m 5m , t t m 5m

2

   

                     

Xét hàm số    

t 2t

2

3 g t t

2

   

      

   

Có    

t 2t 2t

2

3 3 3

g ' t .ln 2t t ln 0, t 2 2 2

       

              

       

Từ suy

 ; 2    

max g t g

    

Yêu cầu toán tương đương với m25m 4  1 m 4

Vì m m1; 2; 3; 4 nên tổng tất giá trị tham số m 10 Chọn ý A

O

1

 x

y

2



3



4

(141)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu Cho hàm số f x  có đồ thị hình vẽ

Giá trị nguyên nhỏ tham số m để phương trình sau có nghiệm bao nhiêu?

     

   

3

f x 2f x 7f x

e ln f x m

f x

      

 

  ?

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải

Quan sát đồ thị ta thấy f x  5, đặt t f x  , giả thiết trở thành

3

t 2t 7t

e ln t m t

      

 

 

Xét: g t  t3 2t2 7t 5,g ' t 3t2 4t t 1    g 1 g t g 5  1 g t 145 Mặt khác h t  t 1,h' t  12 t  1;5 h t  26

t t

         

Vậy hàm u t  et 2t 7t 53 ln t

t

    

    

  đồng biến với x 1;

Để phương trình đầu có nghiệm e ln m e145 ln26

5

   

Vậy giá trị nguyên nhỏ m Chọn ý B

1

17

y



y

O x

(142)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu Cho f x  liên tục có đồ thị hàm số y f x   hình vẽ

Bất phương trình sau nghiệm với x  1; 2 :

     

f x m f x m

3  4  5f x  2 5m

A.  f 1  m f 2    B.f 2 m f 1   

C.f 2 m f 1    D.f 2 m f 1   

Lời giải

Từ đồ thị hàm số suy bảng biến thiên

x 1

 

f ' x 

 

f x

 

f 1

 

f

Từ bảng biến thiên ta suy f 2     f x  f , x   1; 2

       

f m f x m f m, x 1;

         

Đặt t f x  mf 2 m t f 1     m, x   1; 2

Giả thiết tương đương 3t4t 5t 2 3t 4t  5t  1 Xét phương trình 3t 4t 5t t

t         

Dùng phương pháp xét dấu    

     

f m

1 t f m f

f m

  

             

O x

y

2

(143)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu Cho hàm số f x  có đồ thị hình vẽ

Bất phương trìnhf e x m 3e x2019 có nghiệm x 0;1

A m 1011

  B m

3e 2019



 C

2 m

1011

  D m f e 

3e 2019 



Lời giải

Đặtex t t 0   Ta đưa bất phương trình cho thành bất phương trình ẩn t từ lập luận để có phương trình ẩn t có nghiệm thuộc  1;e

Ta ý hàm sốy f x   với y f t   có tính chất giống nên từ đồ thị hàm số cho ta suy tính chất hàm f t 

Sử dụng phương pháp hàm số để tìm m cho bất phương trình có nghiệm Bất phương trình m f x   có nghiệm a; b    

a;b

m f x

Cách giải

Xét bất phương trình f e x m 3e x2019  * Đặt ex t t 0   với x 0;1  t e ;e0 1 t  1;e

Ta bất phương trình f t  m 3t 2019  m f t   1

3t 2019    



Ta xét hàm g t  f t 

3t 2019 

 trênt 1;e   

    

 2

f ' t 3t 2019 3f t g' x

3t 2019   



Thấy đồ thị hàm số y f t   có tính chất giống với đồ thị hàm số y f x   nên khoảng xét f t 0 đồ thị hàm số lên từ trái qua phải hay hàm số đồng biến  1;e nên f ' t 0

Từ g ' t 0 với t 1;e hay hàm số g t  đồng biến  1;e Ta có bảng biến thiên g t   1;e

O

1

4

x

(144)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

t

 

g ' t 

 

g t

2 1011



 

g e

Từ bảng biến thiên ta thấy để m f t 

3t 2019 

 có nghiệm t 1;e

2 m

1011

 

Câu Cho hàm số y f x   liên tục hàm số y f ' x   có đồ thị hình vẽ

Bất phương trình  

   

f x m f x m

2 27m f x

27

    

 nghiệm với x  2; 3

A.f 3 m f 3  1 B.f 2   1 m f 3  

C.f 2   2 m f 3   D.f 3 m f 2   

Lời giải

Ta có với x  2;3 f ' x 0

Ta có f 3     f x  f , x   2; 3 ;f 3 2m f x  m f 2    m Đặt t f x  m f 3 m t f 2     m

Ta có  

   

f x m f x m

2 27m f x

27

     

 f x m  f x m     

2  5   2 27 f x m  0 2t  5t 27t 0  Vế trái có nghiệm t 0; t 2 

Ta có  

 

f m

0 t

f m

  

   

  

 f 2   2 m f 3  

O

2 x

(145)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu Cho hàm số y f x   liên tục có đồ thị hình bên dưới:

Biết trục hồnh tiệm cận ngang đồ thị Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x 4m 2log 2 có hai nghiệm dương phân biệt

A 0 m 2.  B 0 m 1.  C 1 m D m 0.

Lời giải

Ta có f x 4m 2log f x 22m 1

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt  22m 1 2  m 0.

Câu Cho hàm số y f x  có đồ thị hàm số y f ' x 1    hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số 2f(x) 4x

y  

đạt cực tiểu điểm

A x 1 B x 0 C x 1 D x 2

Lời giải

Xét y 2(f(x) 4x) có y' 2 f x 4x  .ln2f ' x 4

O x

2

1

y O

1

2

1 x

(146)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Hàm số đạt cực tiểu điểm xo y ' phải đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm Dựa vào đồ thị, ta thấy có điểm x 1 làm f ' x 2đổi dấu từ âm sang dương khix qua

Vậy hàm đạt cực tiểu x 1

Câu Hình vẽ bên đồ thị hai hàm số y log x a y f x   Đồ thị chúng đối xứng với qua đường thẳng y  x 1.Tính f log 2018 a 

A f log 2018 a  a

2018

   B f log 2018 a  1

2018a

  

C f log 2018 a  a

2018

   D f log 2018 a  1

2018a

  

Lời giải

Gọi    b;c  C : y log x; e;f1  a     C : y f x    Ta có hệ điều kiện

 

   

  e e   e

a

c f b e b c f e b f b c e f c e 1 b e c f

e log f f a  f a  f x a 

    

          

 

        

   

  



                 

Vậy   log 2018 1a a

1 f log 2018 a

2018a

 

     

O x

y

 

y f x

loga

y x

1

(147)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 10 Cho hình vẽ đồ thị hàm số y x ; y x ; y x a  b  c có đồ thị hình bên Khi tìm tổng giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức

 2

2 2

3a 2b a c

T

a 5c 4ac    

  ?

A 31 B 32 C 33 D 34

Lời giải

Nhận thấy x , ta có

 

c b

2 2

a

2

2 clog blog c b log 0.5 a log

a c b

           

     

  

Đến thay vào biểu thức ta hàm biến đặt ẩn đưa khảo sát hàm biến!

Câu 11 Cho hàm sốy f x   có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình2f x x2 4x m có nghiệm với mọix  1; 3

A m 3 B m 10

C m 2 D m 5.

Lời giải

Bất phương trình cho tương đương với 2f x x24x m  

O y

x

2

3

O  x

0,

m

2m

a

x

b

x

c

(148)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Lại cóx2 4xx 2 2  4 4, dấu xảy x 2 Vậy

        

2 1;3

min 2f x x 4x 2 3    4 10

Do bất phương trình có nghiệm với mọix  1; 3 m 10

Câu 12 Cho hàm sốy f x   có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số y 2 f x 3f x 

A 3 B 4 C 5 D 6

Lời giải

Xét hàm sốg x 2f x 3f x g ' x f ' x ln f ' x ln 3; x R.  f x     f x   

Ta có       

 

   

f x f x f x

2

f ' x f ' x f ' x

g ' x 2 ln 3 f x log ln 3 2 ln ln ln 2

3 ln

   



  

    



 

    

Dựa vào đồ thị hàm sốy f x  , ta thấy:

Phương trình 1 có ba nghiệm phân biệt (vì hàm sốy f x   có cực trị) Phương trình 2 vơ nghiệm đường thẳng 2

3

ln y log

ln

   không cắt đồ thị hàm số Vậy phương trìnhg ' x 0 có ba nghiệm phân biệt hay hàm số cho có cực trị

O x

1

(149)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 13 Cho hàm số liên tục đoạn 1;9và có đồ thị đường cong hình vẽ

Có tất giá trị nguyên tham số m để bất phương trình

   2        

f x f x f x

16.3 f x 2f x 8 4  m 3m

Nghiệm với giá trị x  1;9?

A 22 B 31 C 5 D 6

Lời giải

Từ đồ thị suy  4 f x 2   x  2;9 Đặt t f x , t     4; 2

Ta tìm m cho 16.3t t2 2t 4  t m23m 6 t với t  4;2

 

t t t

16.3 t 2t 4   m 3m ,   t  4; 2

 

t

2

t

16 t 2t m 3m

2

 

 

          ,  t  4; 2 Ta có 16t

2  ,  t  4; 2 Dấu xảy t 2

Mà t2 2t 0  ,  t  4; 2 Do

t

2

t 2t

 

      

    ,  t  4; 2

Dấu xảy t 2 Suy

t

16 t 2t 4

2

 

 

        ,  t  4; 2

Vậy  

t

2

t

16 t 2t m 3m

2

 

 

         ,  t  4; 2  m23m    1 m 4

Kết m  1;0;1; 2; 3; 4

O

1

y

4

(150)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Trong đề minh họa THPT Quốc Gia 2018 dạng toán mũ – logarit kết hợp với dãy số gây sốt thời gian với toán trường sở đưa vô phong phú phát biểu nhiều hình thức khác Mặc dù năm vừa dạng tốn khơng cịn phổ biến nữa, nhiên chương ta nhìn lại dạng toán thành trào lưu thời

CÁC BÀI TOÁN

Câu : Cho dãy số  un thỏa mãn log u1 log u 12 log u10 2 log u10 un 1 2un với n 1 Giá trị nhỏ để un 5100

A. 247 B 248 C. 229 D. 290

Đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ Giáo dục Đào tạo

Câu : Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log log              Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây?

A. log 2017;log 2018 B log 2019;log 2020 C. log 2018;log 2019 D. log 2020;log 2021

Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình năm học 2017 – 2018

Câu : Cho dãy số  un thỏa mãn ln u2 6ln u8 ln u4 1 un 1 u e n 1n   Tìm u1

A. e B e2 C. e3 D. e4

THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018

Câu 4: Cho dãy số  un thỏa mãn 18 18 1 u u 4u 4u

e 5 e e e un 1 un 3 với n 1 Giá trị lớn n để log u3 n ln 2018 bằng?

A. 1419 B 1418 C. 1420 D. 1417

Câu 5: Cho dãy số  an thỏa mãn a1 1 an an

3

5

3n

   

 , với n 1 Tìm số

nguyên dương n 1 nhỏ để an số nguyên

A. n 123 B n 41 C. n 39 D. n 49

CH

ƯƠNG 4

CÁC BÀI TOÁN LIÊN

(151)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 6: Cho dãy số  un thỏa mãn

9 9 1

2u u u u u 2u *

n n

4e 2e 4e e e

u u 3, n



      



   

 Giá trị nhỏ

số n để un 1?

A. 725 B 682 C. 681 D. 754

Câu 7: Cho dãy số  un có số hạng u1 1 thỏa mãn đẳng thức sau :

   

2 2

log 5u log 7u log log 7 un 1 7un với n 1 Giá trị nhỏ n để un 1111111

A. 11 B C. D. 10

Câu 8: Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn 0; 2018 cho ba số x 1 x a x x

5 ; ;25 25

2

    

theo thứ tự đó, lập thành cấp số cộng?

A. 2008 B 2006 C. 2018 D. 2007 Câu 9: Cho dãy số  un thỏa mãn 2u 11 u2

2 3

8 2

1

log u 4u 4

   

   

 

 

un 1 2un với

mọi n 1 Giá trị nhỏ n để Sn u1u2  un 5100

A. 230 B 231 C. 233 D. 234 Câu 10: Cho dãy số  un thỏa mãn log 2u3 5632 log u4 n 8n 8 ,  n * Đặt Sn u1u2  un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn n 2n

2n n

u S 148 u S  75

A. 18 B 17 C. 16 D. 19

Câu 11: Cho hàm số    

2

1 1

x x

f x e

  

 Biết        

m n

f f f f 2017 e m, n  với m

n

là phân số tối giản Tính P m n 

A. 2018 B 2018 C. D. 1

Câu 12: Cho cấp số cộng  un có tất số hạng dương thỏa mãn đẳng thức

 

1 2018 1009

u u   u 4 u u   u Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

3 14

P log u log u log u

(152)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Câu 13: Cho cấp số cộng  an , cấp số nhân  bn thỏa mãn a2 a1 0 b2 b11; hàm số f x x33x cho f a 2  2 f a 1 f log b 2 2 f log b 1 Số nguyên dương n nhỏ lớn cho bn 2018an

A. 16 B 15 C. 17 D. 18

THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc lần năm học 2017 – 2018

Câu 14: Cho cấp số nhân  bn thỏa mãn b2 b1 1 hàm số f x x33x cho  

 2   2 1 

f log b  2 f log b Giá trị nhỏ n để bn 5100

A. 234 B 229 C. 333 D. 292

THPT Phan Châu Trinh – Đăk Lăk lần năm học 2017 – 2018

2

4u 6u

1 3

* n n

1

log u u u e e

3 n

u u , n n 3n

 



       

 

  

 



 

    

 

    

 Giá trị lớn số n để  

2018 n

3 n u

n

 





A. 3472 B 3245 C. 3665 D. 3453

Câu 16: Cho f n n2 n 12   1 n N* Đặt             n

f f f 2n u

f f f 2n 



Tìm số n nguyên dương nhỏ cho un thỏa mãn điều kiện n n

10239 log u u

1024 

 

A. n 23 B n 29 C. n 21 D. n 33

THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần năm học 2017 – 2018

Câu 17: Cho dãy số  un xác định    

2

n

u ln 2n  1 ln n  n , n 1  Tìm số

nguyên n lớn cho un  un

3

  Biết  a kí hiệu phần nguyên số a số tự nhiên nhỏ không vượt a

A. 37 B 36 C. 38 D. 40

Câu 18: Cho dãy số  un có tất số hạng dương thỏa mãn un 1 2un đồng thời

2 2

1 n n n

4

u u u u u , n

3

 

         Số tự nhiên n nhỏ để un 5100 là?

(153)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Câu 19: Cho dãy số  un thỏa mãn ln u 12 u2210ln 2u 16u2 đồng thời n n n

u  u 2u    1, n Giá trị nhỏ n để un 5050

A. 100 B 99 C. 101 D. 102

Câu 20: Cho dãy số  un thỏa mãn  

 

2

n *

n 2

391 39 log u log u

40 4 n u n

u , n

n n n 1 1



    

   

    

   



  

    

   



Giá trị nhỏ n để

 

100 n 100

5 n

u

5 n n

  



(154)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu : Cho dãy số  un thỏa mãn log u1 log u 12 log u10 2 log u10 un 1 2un với n 1 Giá trị nhỏ để un 5100

A. 247 B 248 C. 229 D. 290

Đề tham khảo kỳ thi THPT Quốc Gia 2018 – Bộ Giáo dục Đào tạo

Lời giải

Vì un 1 2un nên dễ thấy dãy số  un cấp số nhân có cơng bội q 2 Ta có u10 u q1 2 u9 1 Xét log u1 log u 12 log u10 2 log u10

   

1 1

log u log u log u log u

     

1 1

log u 18log 2 log u log u 18log 2 log u

       

1

log u 18log 2 log u 18log

      

Đặt log u 118log t t 0    Phương trình trở thành  

2 t

t t t t

t L

            



Với t log u1 18log 2 log u1 18log u1 517

2           

Trong trường hợp ta có: un 517 2n 5100 2n 18 599 n 99log 182

2

 

      

Mà n * nên giá trị nhỏ trường hợp n 248 Chọn ý B

Câu : Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log log              Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây?

A. log 2017;log 2018 B log 2019;log 2020 C. log 2018;log 2019 D. log 2020;log 2021

Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình năm học 2017 - 2018

Lời giải

Đặt An log 2017 log 2016 log 2015 log log log            An n A n 1  Ta có

 

2

3

9

0 log A

0 log A log A log

0 log A log A log 10

    

      

(155)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 

11 10

1 log 12 A log 11 A log 13

      

 

997 996

998 997

999 998

2017 2016

2 log 999 A log 997 A log 1000 3 log 1000 A log 998 A log 1001 log 1002 A log 999 A log 1003

3 log 2020 A log 2017 A log 2021

      

      

      

Vậy A2017log 2020;log 2021 Chọn ý D

Câu : Cho dãy số  un thỏa mãn ln u2 6ln u8 ln u41 un 1 u e n 1n   Tìm u1

A. e B e2 C. e3 D. e4

THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa năm học 2017 – 2018

Lời giải

Từ giả thiết suy dãy số  un cấp số nhân với công bội e un   0 n Ta có u6 u e ; u1 8 u e ; u1 4 u e1 Do ta có:

     

         

2

6 1

2

1 1 1

4

1

ln u ln u ln u ln u e ln u e ln u e

ln u ln u ln u ln u ln u 16

ln u u e

      

               

Chọn ý D

Câu 4: Cho dãy số  un thỏa mãn eu18 5 eu18 e4u1 e4u1

n n

u  u 3 với n 1 Giá trị lớn n để log u3 n ln 2018 bằng?

A. 1419 B 1418 C. 1420 D. 1417

Lời giải

Ta có un 1 un3 với n 1 nên  un cấp số cộng có công sai d 3  

18 18 1 18 1 18

u u 4u 4u u 4u 4u u

e 5 e e e 5 e e e e

Đặt t e u18 e4u1t 0  Phương trình  1 trở thành

 

5 t    t t t 0  t t 5  0 t 0  t

Với t 0 ta có u18 4u1

18 1 1

e e u 4u u 51 4u u 17

Vậy un u1n d 17   n 3n 14    Khi ta

ln 2018 ln 2018 ln 2018

3 n n

3 14

log u ln 2018 u 3n 14 n 1419,98

3 

(156)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

Chọn ý A

Câu 5: Cho dãy số  an thỏa mãn a1 1 5an an

3n

   

 , với n 1 Tìm số

nguyên dương n 1 nhỏ để an số nguyên

A. n 123 B n 41 C. n 39 D. n 49

Lời giải

Từ giả thiết ta có 5an an

3n

  

 n n

a a 3n

5

3n

  

 

 n n

3n

a a log

3n



   



Từ suy

 

n n n 5

1 5 5

5 5

3n 3n 3n a a log a log log

3n 3n 3n

8 11 3n 3n a log log log log

5 3n 3n 11 3n 3n 3n

1 log log log 3n 3n 3n

 

  

    

  

 

     

 

  

 

      

 

 

Do an log 3n 25   Vì n 1 nên an log 3n 25  log 15  , đồng thời dễ thấy  an dãy tăng Lại có  

n a n

5

a log 3n n

3     

Lần lượt thử giá trị an 2; 3; 4; ta có an 3 giá trị nguyên, lớn 1, nhỏ nhất, cho giá trị tương ứng n 41

Vậy n 41 Chọn ý B

9 9 1

2u u u u u 2u *

n n

4e 2e 4e e e

u u 3, n



      



   

 Giá trị nhỏ

của số n để un 1?

A. 725 B 682 C. 681 D. 754

Lời giải

Từ giả thiết ta suy  un CSC có cơng sai d 3 u9 u124 Biến đổi giả thiết tương đương

 

    

   

9 9 1

1 1 1

1

2u u u u u 2u

2u 48 u 24 2u 24 u 2u

2

2u 2u

24 24

2u 24

1 24

4e 2e 4e e e

4e 2e 4e e e 2e e 2e e

1 13 13 2e e u ln

2 2e



  

    

      

     

 

     

    



 

(157)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Ta có un u13 n 1  2018 n 681 n 682 Chọn ý B

Câu 7: Cho dãy số  un có số hạng u1 1 thỏa mãn đẳng thức sau :

   

2 2

log 5u log 7u log log 7 un 1 7un với n 1 Giá trị nhỏ

n để un 1111111

A. 11 B C. D. 10

Lời giải

Vì un 1 7un nên dễ thấy dãy số  un cấp số nhân có cơng bội q 7 Biến đổi giả thiết tương đương

   

 

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2 1

1

2 2

log 5u log 7u log log

log log u log log u log log log 5.log u log u log 7.log u

log u u L u log log u log log 35u 35

  

     

   

  



   

   

 

Ta có un u 71 n 1 un 1111111 7n 1111111

35



  7n 1 35.1111111

 

7

n log 35.1111111

   Mà n * nên giá trị nhỏ trương hợp

n 10 Chọn ý D

Câu 8: Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn 0; 2018 cho ba số x 1 x a x x

5 ; ;25 25

2

    

theo thứ tự đó, lập thành cấp số cộng?

A. 2008 B 2006 C. 2018 D. 2007

Lời giải

Ba số 5x 1 51 x ; a

2;

x x

25 25

, theo thứ tự lập thành cấp số cộng  x 1 x  x x

a  5   25 25 2 5x 1 51 x 2 25 25x x

12



Dấu “=” xảy

x 1 x x x

5

x 25 25

 



 

  

 



Như xét a0; 2018 ta nhận a12; 2018 Có 2007 số a thoả đề Chọn ý D

Câu 9: Cho dãy số  un thỏa mãn 2u 11 u2

8  2  

(158)

mọi n 1 Giá trị nhỏ n để Sn u1u2   un 5100

A. 230 B 231 C. 233 D. 234

Lời giải

Theo giả thiết ta có un 1 2un nên  un cấp số nhân với công bội q 2 Suy n

n

u u 

với n *, n 2 Ta lại có :

1

2u u

2 3

8 2

1

log u 4u 4              1 u u 3

8 2.4

1

4 log u u 4

 

   

 

 

 1

Mà

1 u u 2.4

 8

2 3

8

log u u 4         3

log u              

Nên phương trình  1 tương đương 1 u u

3 3

8 2.4 1 u

log u u

4                  

Khi Sn u1u2  un

n 1 u    n 2  

Do đó, Sn 5100 n

2

 100

  log5 2n 100

2 

  n 233 Chọn ý D

Câu 10: Cho dãy số  un thỏa mãn log 2u3 5632 log u4 n 8n 8 ,  n * Đặt Sn u1u2  un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn n 2n

2n n

u S 148 u S  75

A. 18 B 17 C. 16 D. 19

Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Ninh lần năm học 2017 - 2018

Lời giải

Ta có  n *, log 2u3 5632 log u4 n 8n 8  log 2u3 563log u2 n8n 8  Đặt t log 2u 3 563

t

t n

2u 63

u 8n

          t t

2u 63

u 32

         t t

1 2.2

    t

n

u 8n

  

n n

S u u u 4n

     

Do  

 

2 n 2n

2 2n n

8n 16n

u S 148 u S 16n 4n 75



 

  n 19

Chọn ý A

Câu 11: Cho hàm số    

2

1 1

x x

f x e

  

 Biết        

m n

(159)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

m

n phân số tối giản Tính

2

P m n 

A. 2018 B 2018 C. D. 1

Sở Giáo dục Đào tạo Phú Thọ lần năm học 2017 - 2018

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có    2

1 1

x x

f x e

  

  

2

1 1 x x x x

e

          



2

1 2 1 1 x x x x

e

            

   



2 1 1 x x

e

      

 

 e1x x 1 1 1

1 x x

e.e  



Do ta được:   1

2

f e.e  ;  

1

f e.e  ;  

1

f e.e  ;…;  

1 2016 2017

f 2016 e.e  ;  

1 2017 2018

f 2017 e.e         

f f f f 2017

 e2017.e120181

2017 2017 2018

e 



2 2018

2018

e

 

m 2018

   , n 2018 Vậy P 1 Chọn ý D

Câu 12: Cho cấp số cộng  un có tất số hạng dương thỏa mãn đẳng thức

 

1 2018 1009

u u   u 4 u u   u Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

3 14

P log u log u log u

A. 2 B 3 C. D.

Lời giải

     

1 2018 1009

2018 2u 2017d

u u u u u u 2.1009 2u 1008d

2 

         

 

2

2 2

1 n 3

14

3d u

2

d d 3d 5d 9d 3d 9d 27d u u : ; ; ; u P log log log

2 2 2 2 27d

u

2

 

  

         



 

 Chọn ý C

(160)

TẠ

P

CH

Í VÀ

TƯ

LI

ỆU TO

ÁN

H

Ọ

C

A. 16 B 15 C. 17 D. 18

THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Hàm số f x x33x có bảng biến thiên sau:

x  1 

y '  0  0 

y



 2 Theo giả thiết  2  1    2

2

f a f a f a f a

a a a a

  

 

 

     

 

 

Từ suy

1

0 a a a a

  



   

 , f x    2 x Ta xét trường hợp:

 Nếu a a2 1

 

 21   21 21

f a f a a

a

f a f a

   

   

  

   

 

  

 

 Nếu a 1 1 a2

   21

f a

  

 

 điều

Do xảy trường hợp a1 0;a2 1

Từ suy an  n n 1   Tương b2 b1 1 nên log b2 log b2 10, suy

 

2 2 n

n

2 1

log b b

b n log a b



 

 

   

   

 

Xét hàm số g x 2x 2018x khoảng 0;, ta có bảng biến thiên:

x  log2 2018

ln 

 

g ' x  

 

g x



g log2 2018

ln

 

 

(161)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Ta có        

2

2018 g log

ln 2018 log 11

ln g 12 20120 g 13 18042 g 14 11868 g 15 2498

   

 

  



 

 

  



  

  



  



nên số nguyên dương nhỏ n thỏa g n 1  0

làn 15   n 16 Chọn ý A

Câu 14: Cho cấp số nhân  bn thỏa mãn b2 b1 1 hàm số f x x33x cho  

 2   2 1 

f log b  2 f log b Giá trị nhỏ n để bn 5100

A. 234 B 229 C. 333 D. 292

THPT Phan Châu Trinh – Đăk Lăk lần năm học 2017 – 2018

Lời giải

Xét hàm số f x x33x

Có f x 3x23, f x 0   x

x  1 

y '  0  0 

y



 2

Mặt khác, ta có b1 b2 1 Đặt a log b 2 log b2  b Ta có: a33a b  33b  1

 Nếu b 1   a b 1a33a b 33b  1 vô nghiệm

 Nếu b 1    2 b33b 0 a33a 0  a 1  2 a 2 0 Suy a 1  b Khi

0

1

b b 2

  

 

 



n 100 n

b 

     n 100 log 52  n 234

(162)

2

4u 6u

1 3

* n n

1

log u u u e e

3 n

u u , n n 3n

                                  Giá trị lớn số n để  

2018 n

3 n u

n   



A. 3472 B 3245 C. 3665 D. 3453

Lời giải

Biến đổi giả thiết ta có un 1 un un 1 3 un

2 n n n 2 n

               

   

Đặt vn un vn 1 3vn  vn

n 

    

 CSN với công bội

3 q

2



Khi

n n n

n 1 n

3 3 3

v v u u u

2 2 n 2

  

                      



         

Ta có u3 33 9u ,u1 2 13 3u1

8 4

    , thay vào giả thiết ta   6u1 6u 61 1

3

log u 2u 4 e  e  3

Theo bất đẳng thức AM – GM ta có e6 6u 1e6u 61  3 e6 6u 1.e6u 61   3 Mặt khác ta có 1 12 1  1 1 2 

3

log u 2u 4 log u 1 3  1

Do VT VP , đẳng thức xảy

n

1 n

3 u u

n 2

            Để     n 2018 2018 n

3 n 3 n

u n 3453

n n 2 n



     

       

    

Chọn ý D

Câu 16: Cho f n n2 n 12  1 n N* Đặt             n

f f f 2n u

f f f 2n 



Tìm số n nguyên dương nhỏ cho un thỏa mãn điều kiện n n

10239 log u u

1024 

 

A. n 23 B n 29 C. n 21 D. n 33

Lời giải

Từ giả thiết ta có f n n2 n 121 n21n 1 21

Khi ta có       

      

2

2 2 2

n 2 2 2 2 2

1 2n 1 4n u

2 4n 2n 1

(163)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

 2

2

2n 1



 

1

2n 2n



 

Theo đề ta có log u2 n un 10239

1024 

   

2

1 10239

log 2n 2n

2n 2n 1024

      

 

Xét hàm số g n  log 2n2 2n 1 2 10239

2n 2n 1024

     

  với n 1

Ta có  

   2 2

4n 4n

g n

2n 2n ln 2n 2n 1

 

    

    với n 1 g n  nghịch biến

Mà g 2047

2   



 

  nên  

2

1 10239

log 2n 2n

2n 2n 1024

     

  2047

n

2  

  Do n nguyên dương nhỏ thỏa mãn nên n 23 Chọn ý A

Câu 17: Cho dãy số  un xác định    

2

n

u ln 2n  1 ln n  n , n 1  Tìm số

nguyên n lớn cho un  un

3

  Biết  a kí hiệu phần nguyên số a số tự nhiên nhỏ không vượt a

A. 37 B 36 C. 38 D. 40

Lời giải

Ta có    

2

n n

2n

u ln 0;ln u

n n



   

 

  2

n n n 2

2 2n 2n

u u u ln e n 37.462

3 n n n n

   

               

 

Chọn ý A

Câu 18: Cho dãy số  un có tất số hạng dương thỏa mãn un 1 2un đồng thời

2 2

1 n n n

4

u u u u u , n

3

 

         Số tự nhiên n nhỏ để un 5100 là?

A. 232 B 233 C. 234 D. 235

Lời giải

Ta có un 1 2un un 2n 1 u1, đẳng thức với n 1 nên với n 1 nên

2 2

1 1

2

1 1

4

u u u u 4u 4u

3

4 u 2u u u

3 3

        

(164)

Chọn ý C

Câu 19: Cho dãy số  un thỏa mãn     2

1 2

ln u u 10 ln 2u 6u đồng thời

n n n

u  u 2u    1, n Giá trị nhỏ n để un 5050

A. 100 B 99 C. 101 D. 102

Lời giải

 2      2 2

1 2

2

u

ln u u 10 ln 2u 6u u u

u               

Mặt khác ta có un 2 un 2un 1  1 un 2 un 1 un 1 un1 Đặt un 1 un vn 1 vn 1  vn CSC có cơng sai d 1

Khi  

2

n

n n n n

i

n n

u u

u u n n v n u u n u u i

u u n

                            

Vậy để un 5050

 

n n

5050 n 100



   

Chọn ý C

Câu 20: Cho dãy số  un thỏa mãn  

 

2

n *

n 2

391 39 log u log u

40 4 n u n

u , n

n n n 1 1

                                

Giá trị nhỏ n để

 

100 n 100 3

5 n

u

5 n n

  



A. 235 B 255 C. 233 D. 241

Lời giải

Ta có n2 n 12 1 n2 12 2n n 2 1 n2  1 n21n 1 21 Biến đổi giả thiết tương đương

                        2

n n 2 2 n 2 2

n n 2 n n

n n 1 2n n

nu n u n u

n n 1 n n 1

1 1

nu n u n u nu

n n 1 n 1 n

                                          

Đặt vn nun 21 vn 1 1vn  vn

n 

    

 CSN có cơng bội

1 q

2

(165)

CH

INH

PH

Ụ

C

OL

YM

PIC T

O

ÁN

Từ suy

n n

n 1 n n 1

1 1 1

v v u u u

2 2 n n n

 



       

           



       

Thay u2 1u1

40

   vào giả thiết ta

1 1 n n

1 39 39 1

log u log u u u

4 4 n n n

           

    

   

Để

 

100

n 100

5 n

u n 100log n 233

5 n n

 

    



(166)

(167)

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC

MỌI NGƯỜI CĨ THỂ TÌM ĐỌC CUỐN “TẠI SAO NGUN HÀM TÍCH PHÂN LẠI KHÓ” CỦA CÙNG TÁC GIẢ

CHỊU TRÁCH NHIỆM NỘI DUNG VÀ THIẾT KẾ BÌA

NGUYỄN MINH TUẤN

NHĨM CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN Mọi ý kiến thắc mắc, góp ý vui lịng gửi địa sau

0343763310

Định dạng
Số trang	167
Dung lượng	10 MB