Địa động lực bể trầm tích Kainozoi Sông Hồng và triển vọng dầu khí liên quanĐịa động lực bể trầm tích Kainozoi Sông Hồng và triển vọng dầu khí liên quanĐịa động lực bể trầm tích Kainozoi Sông Hồng và triển vọng dầu khí liên quanluận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHAN HOÀNG CHƠN ĐỒNG CẤU CHUYỂN SINGER QUA NGÔN NGỮ ĐẠI SỐ LAMBDA VÀ DÃY PHỔ MAY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 Mục lục Mục lục v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 12 1.1 Đại số Steenrod 12 1.2 Giải thức bar cobar 16 1.3 Dãy phổ 19 1.4 Đồng cấu chuyển đại số 24 Chương Đại số lambda đồng cấu chuyển đại số 30 2.1 Giới thiệu đại số lambda 30 2.2 Đại số lambda lăng kính lý thuyết bất biến modular 33 2.3 Cấu trúc A -môđun đại số lambda 36 2.4 Biểu diễn đồng cấu chuyển đại số đại số lambda 44 2.5 Ứng dụng 49 2.6 Đồng cấu chuyển đại số hạng 52 2.7 Kết luận chương 62 Chương Dãy phổ May đồng cấu chuyển đại số 63 3.1 Dãy phổ May 63 3.2 Đồng cấu chuyển đại số 68 3.3 Hai toán “hit” 73 3.4 Ảnh đồng cấu chuyển hạng 75 v 3.5 Ảnh đồng cấu chuyển hạng cao 83 3.6 Chứng minh Bổ đề 3.4.5 87 3.7 Kết luận chương 91 Kết luận 92 Dự kiến nghiên cứu 93 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 Phụ lục A Cơ sở đơn thức đại số Araki-Kudo- Dyer-Lashof 104 A.1 Giới thiệu đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof 104 A.2 Cơ sở đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof 106 A.3 Kết liên quan 113 vi Mở đầu Bài tốn phân loại kiểu đồng ln khơng gian tôpô vấn đề trọng tâm Tôpô đại số Các hàm tử đồng điều, đối đồng điều kỳ dị bất biến đồng luân thường sử dụng, nhiên chúng chưa đủ mạnh để giải toán Năm 1947, Steenrod [67] xây dựng, với k ≥ 0, toán tử đối đồng điều (được gọi toán tử Steenrod) Sq k : H ∗ (X) → H ∗+k (X), tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị (modulo 2) không gian tôpô X Đại số sinh Sq i (i ≥ 0) gọi đại số Steenrod Đại số thường ký hiệu A Đối đồng điều kỳ dị (mod 2) không gian tôpô X có cấu trúc A -đại số khơng ổn định Trong nhiều trường hợp, cấu trúc bổ sung cho phép nhận biết khác biệt kiểu đồng luân không gian tôpô mà đồng điều đối đồng điều không nhận biết Cấu trúc đại số Steenrod Cartan [88], Adem [3], Serre [92], Milnor [50] nghiên cứu cách sâu sắc Bên cạnh sở cộng tính cổ điển biết (xem Steenrod [68], Serre [92], Milnor [50]), năm gần đây, nhiều sở cộng tính khác đại số Steenrod tác giả Arnon [6], Wall [79], Wood [85, 86], Palmieri-Wang [57] xây dựng nghiên cứu Một tốn quan trọng chương trình phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô xác định nhóm đồng luân, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định, mặt cầu Năm 1958, Adams [1] xây dựng dãy phổ hội tụ thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trang E2 dãy phổ (được gọi dãy phổ Adams) đối đồng điều đại số Steenrod, Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Kể từ đó, việc xác định đối đồng điều đại số Steenrod trở thành toán quan trọng Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm 60 kỷ trước, đáng ý cơng trình Adams [2], Wang [80], May [46, 47], Tangora [74], Lin [37, 38], Lin-Mahowald [39], Bruner [11] Tuy nhiên, toán khó Cho đến Exts,∗ A (F2 , F2 ) xác định hoàn toàn với s ≤ (xem [80], [37, 38], [15]) Từ nghiên cứu Adams [2], Mahowald-Tangora [44], có vài đại số vô hạn Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) i xây dựng đại số Adams, sinh hi ∈ Ext1,2 A (F2 , F2 ) (xem [2]), đại số wedge (xem [44],[45]); nhiên, quan hệ đại số Adams chưa xác định hết Khi s > 5, người ta biết số thông tin rời rạc Exts,∗ A (F2 , F2 ) (xem [11]) Các công cụ chủ yếu để xác định đối đồng điều đại số Steenrod đại số vi phân phân bậc lambda (xem [8], [60], [62], [80], [38], [15]), dãy phổ May (xem [46, 47], [74], [37]) giải thức cực tiểu A (xem [11]) Với ý tưởng nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod công cụ lý thuyết bất biến modular, năm 1989, Singer [63] xây dựng đồng cấu túy đại số, gọi đồng cấu chuyển đại số (hay gọi đồng cấu chuyển Singer): T rs : F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) / Exts,s+∗ (F2 , F2 ) A Ở đây, BVs khơng gian phân loại nhóm cộng không gian véctơ s chiều Vs trường F2 ; ký hiệu PA H∗ (BVs ) dùng để không gian H∗ (BVs ) gồm tất phần tử bị triệt tiêu toán tử Steenrod bậc dương Nhóm tuyến tính tổng qt GLs tác động Vs , tác động đồng điều đối đồng điều BVs Vì tác động GLs đại số Steenrod giao hốn với nên có tác động cảm sinh GLs PA H∗ (BVs ) Đồng cấu T rs xem phiên đại số đồng cấu chuyển hình học π∗S ((BVs )+ ) → π∗S (S0 ) trang E2 dãy phổ Adams (xem [52]) Singer chứng minh T rs đẳng cấu với s ≤ 2; ông đưa giả thuyết T rs đơn cấu với s ≥ [63] Sau đó, đồng cấu chuyển đại số nhiều tác giả nghiên cứu Năm 1993, sử dụng số tính tốn Kameko [34], Boardman [7] chứng minh T r3 đẳng cấu Ảnh T r4 xác định hoàn toàn tác giả: Bruner-Hà-Hưng [13], N H V Hưng [28], L M Hà [25], T N Nam [91], N H V Hưng-V T N Quỳnh [33] Vì T r = ⊕s T rs đồng cấu đại số T r1 đẳng cấu (xem [63]), nên ảnh đồng cấu chuyển đại số chứa đại số Adams sinh hi Sự kiện với tính tốn nói cho đồng cấu chuyển đại số hạng thấp chứng tỏ đồng cấu chuyển đại số có khả phát nhiều phần tử không tầm thường Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Đồng cấu T rs , với s ≥ 5, bước đầu nghiên cứu Singer [63] V T N Quỳnh [61] Bên cạnh đó, dùng tính giao hốn tốn tử Kameko (xem [34]) toán tử Sq cổ điển (xem [40], [48]) thông qua đồng cấu chuyển đại số [51], N H V Hưng [28] chứng minh rằng, s ≥ 5, T rs không đẳng cấu vô hạn bậc Tuy nhiên, bậc xét, việc T rs không đơn cấu hay không toàn cấu chưa biết đến nên giả thuyết Singer cịn mở Dựa vào tính toán F2 ⊗A H ∗ (BVs ), N H V Hưng Kuhn đưa số giả thuyết thú vị cấu trúc đối đồng điều đại số Steenrod (xem [28], [9]) Cụ thể, [58], Peterson đưa giả thuyết F2 ⊗A H d (BVs ) = α(d + s) > s, α(n) số chữ số khai triển nhị phân n Giả thuyết này, sau đó, Wood [84] chứng minh năm 1989 Từ quan sát này, Kuhn [9] đưa giả thuyết Exts,t A (F2 , F2 ) = α(t) > s Giả thuyết Kuhn Bruner kiểm chứng xác nhận bậc mà nhóm Exts,t A (F2 , F2 ) xác định Mặt khác, nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số, N H V Hưng [28] chứng minh tác động toán tử Kameko lên F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) lặp lại nhiều s − lần ta nhận đẳng cấu lên ảnh Một giả thuyết tương tự N H V Hưng [28], [9] đưa tồn số r, phụ thuộc vào s, cho (Sq )i−r : Im(Sq )r → Im(Sq )i đẳng cấu, ký hiệu Im(Sq )i ảnh (Sq )i ExtsA (F2 , F2 ) Những giả thuyết này, đúng, cho thấy mối liên hệ mật thiết cấu trúc F2 ⊗GLs PA H∗ (BVs ) Exts,∗ A (F2 , F2 ) thông qua đồng cấu chuyển Singer Vì vậy, đồng cấu chuyển đại số kỳ vọng công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod Các tính tốn Singer [63] thực chủ yếu đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số sau / (F T rs∗ : TorAs,s+t (F2 , F2 ) ⊗A H t (BVs ))GLs Do đó, việc nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod thông qua đồng cấu chuyển đại số có liên quan mật thiết đến toán xác định tập sinh cực tiểu H ∗ (BVs ), xem môđun đại số Steenrod Bài toán gọi toán “hit”, khởi xướng gần đồng thời Peterson [58, 59] Singer [63] từ khía cạnh khác Sau đó, khía cạnh khác tốn ứng dụng nghiên cứu nhiều tác giả như: Wood [84, 86], Kameko [34], Singer [64], Crabb-Hubbuck [22], N H V Hưng-T N Nam [31, 32], T N Nam [90], N Sum [69, 70, 71], v.v Tuy nhiên nay, người ta hồn thành việc giải tốn trường hợp s = (xem [69]) Khi s ≥ 5, việc giải tốn “hit” vấn đề khó, với hỗ trợ máy tính (xem [12]) Đây trở ngại dùng đồng cấu chuyển đại số để nghiên cứu Ext∗,∗ A (F2 , F2 ) Trong luận án này, tập trung nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số lăng kính đại số lambda dãy phổ May Đại số lambda, Λ, xây dựng năm 1966 sáu tác giả Bousfield, Curtis, Kan, Quillen, Rector Schlesinger [8], đại số vi phân kết hợp trường F2 , có đồng điều H s,t (Λ) ∼ = Exts,t (F2 , F2 ) Do đó, Λ xem trang E1 A dãy phổ Adams Ngày nay, Λ công cụ hữu hiệu để tính đối đồng điều đại số Steenrod, sử dụng rộng rãi (xem [80], [39], [38]) Năm 1970, Priddy [60], dùng đối phức Koszul, chứng minh đại số lambda đẳng cấu với thương đối phức cobar đại số Steenrod Một cách túy đại số, Λ đại số vi phân kết hợp trường F2 sinh phần tử λi , i ≥ 0, có song bậc (1, i), thỏa mãn quan hệ Adem: λs λt = j j−t−1 λs+t−j λj , s > 2t 2j − s Hơn nữa, vi phân Λ cho công thức: δ(λs ) = j s−j−1 λj λs−j−1 j+1 Năm 1982, Wellington [81, Định nghĩa 7.9], dùng quan hệ Nishida đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof, xây dựng tác động hình thức đại số Steenrod lên đại số lambda Tác động khơng giao hốn với vi phân, chúng có mối liên hệ thú vị (xem [81, Định lý 7.11]) Năm 1983, Singer [62] xây dựng lại đối ngẫu đại số lambda theo lý thuyết bất biến Gọi Γs địa phương hóa đại số Dickson cách làm nghịch đảo Qs,0 (xem [23]) Singer [62] chứng minh đối ngẫu đại số lambda đẳng cấu với phức dây chuyền, bậc đồng điều s, không gian Γs sinh phần tử thỏa mãn điều kiện chiều Với cách xây dựng này, đối ngẫu đại số lambda có cấu trúc tự nhiên A -môđun vi phân; nhiên, mối liên hệ cấu trúc A -môđun Λ quan hệ Nishida chưa hiểu rõ (xem bình luận Wilkerson [83, trang 10]) Sau đó, N H V Hưng [27] dùng phức dây chuyền Singer để xây dựng biểu diễn đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số Dựa ý tưởng Singer [62], xây dựng lại đại số lambda (chứ đối ngẫu lambda [62]) theo lý thuyết bất biến Từ đó, cấu trúc A -môđun đại số lambda xác định cách tường minh (xem Mệnh đề 1, so sánh với công thức (5.1) [62]) Với kết này, chúng tơi rõ mối liên hệ quan hệ Nishida cấu trúc A -môđun đại số Λ Gọi Λs không gian Λ sinh đơn thức có độ dài s Với s ≥ 1, xây dựng đồng cấu ψs : H∗ (BVs ) /Λ s, ánh xạ phần tử PA H∗ (BVs ) thành chu trình Λs , chứng minh ψs cảm sinh đồng cấu chuyển đại số Dùng ψs , kiểm tra lại kết L M Hà [25] d0 ∈ Ext4,18 (F2 , F2 ) e0 ∈ Ext4,21 (F2 , F2 ) nằm A A ảnh T r4 Ngoài ra, chúng tơi cịn đưa chứng minh khác cho việc f0 ∈ Ext4,22 (F2 , F2 ) nằm ảnh đồng cấu chuyển đại số, kết A chứng minh T N Nam [91] Một cơng cụ quan trọng khác để tính đối đồng điều đại số Steenrod dãy phổ xây dựng May [46] năm 1964 Để mô tả dãy phổ này, ta cần giới thiệu vài thuật ngữ ký hiệu Gọi A iđêan A sinh tất phần tử bậc dương, gọi iđêan bổ sung A Lọc bổ sung A định nghĩa cách đặt Fp A = A p ≥ Fp = (A )−p p < Lọc bổ sung A cảm sinh lọc giải thức bar, ta thu dãy phổ (gọi dãy phổ May) hội tụ đồng điều đại số Steenrod có trang E đẳng cấu với đồng điều đại số phân bậc liên kết E A Vì E A đại số Hopf sinh ngun thủy, nên từ cơng trình Priddy [60], phức để tính đồng điều H∗ (E A ) xác định cách tường minh Do đó, dãy phổ hồn tồn tiếp cận Các tính tốn May [46, 47], sau Tangora [74], Lin [37], Bruner [11], sử dụng dãy phổ May, xác định cấu trúc cộng tính cho Exts,t A (F2 , F2 ) với s ≤ 4, t với ≤ s < 40, t − s < 141 Chúng nhận thấy biểu diễn đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số giải thức bar nâng lên thành đồng cấu dây chuyền đồng cấu tương thích với lọc May Nên cảm sinh đồng cấu dãy phổ mà trang E phiên tương tự đối ngẫu đồng cấu chuyển đại số: /F A E ψs : TorEs,s+t (F2 , F2 ) ⊗E0 A E H t (BVs ) = TorE0,t A (F2 , E Ps ) Chúng mô tả cách tường minh đồng cấu E ψs sử dụng để tính ảnh đồng cấu chuyển đại số số bậc Ngồi việc tìm lại hầu hết kết biết ảnh T r4 (xem Mệnh đề Mệnh đề 4), phương pháp chúng tơi cịn cho phép nhận số kết ảnh đồng cấu chuyển đại số hạng cao Cụ thể, chứng minh phần tử hn0 i ∈ Ext7+n,30+n (F2 , F2 ) (0 ≤ n ≤ 5) hn0 j ∈ ExtA7+n,33+n (F2 , F2 ) (0 ≤ n ≤ 2) A không nằm ảnh đồng cấu chuyển đại số (xem Định lý 5) Lưu ý h60 i = h30 j = (xem [11]) nên kết cho đầy đủ thông tin h0 -tháp i j Trong phần phụ lục luận án, nghiên cứu đại số thương quan trọng đại số lambda đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof Đại số xây dựng Araki Kudo [5] trường F2 , sau Dyer Lashof [24] mở rộng lên trường Fp , với p lẻ Cho đơn thức λI = λi1 λis ∈ Λ, số e(λI ) = i1 − · · · − is gọi trội (excess) λI Theo Curtis [21], đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof R, trường F2 , thương đại số lambda iđêan hai phía sinh đơn thức có trội âm Gọi Qi ∈ R ảnh λi ∈ Λ qua ánh xạ thương Các quan hệ Adem đại số lambda cảm sinh quan hệ Adem R Cụ thể, toán tử Qi thỏa mãn quan hệ Adem sau: Qs Qt = j j−t−1 Qs+t−j Qj , s > 2t 2j − s Đại số Araki-Kudo-Dyer-Lashof dùng để mô tả đồng điều (modulo 2) khơng gian vịng lặp, đặc biệt khơng gian vịng lặp vơ hạn (xem [5], [49], [43]) Mặt khác, cơng trình Madsen [42], H Mùi [54], cho thấy không gian R sinh đơn thức có độ dài k đẳng cấu với đối ngẫu đại số Dickson Kết mở đường nghiên cứu đại số Araki-Kudo-DyerLashof công cụ lý thuyết bất biến modular (xem Madsen-Milgram [43], H Mùi [54], Campbell [14], N H V Hưng [26], N H V Hưng-P A Minh [30], N H V Hưng [29]) Kết của phần phụ lục xây dựng sở cho đại số ArakiKudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) liên hệ sở với sở chấp nhận sở Turner (xem Mệnh đề Mệnh đề 8) Ngoài ra, dựa vào phương pháp Arnon [6], chúng tơi tìm kết liên quan đến tính cực tiểu cực đại sở (xem Mệnh đề 9) Luận án chia thành ba chương phụ lục Trong Chương 1, nhắc lại kiến thức dùng hai chương luận án, bao gồm đại số Steenrod, giải thức bar cobar, dãy phổ cách tổng quan đồng cấu chuyển đại số Các kết luận án trình bày Chương 2, Chương Trong Chương 2, chúng tơi trình bày kết cho hướng nghiên cứu thứ Cụ thể, chúng tơi trình bày cách xây dựng đại số lambda theo lý thuyết bất biến Tác động A lên đại số lambda mô tả cách tường minh mệnh đề sau (mệnh đề đánh số Mệnh đề 2.3.3) Mệnh đề Với a, s ≥ λI Λ, tác động phải đại số Steenrod lên đại số lambda xác định công thức (λs λI )Sq a = t s−a λs−a+t (λI Sq t ) a − 2t Với tác động này, đại số lambda trở thành môđun đại số Steenrod, đối ngẫu với cấu trúc A -môđun phức dây chuyền định nghĩa Singer [62] (xem Mệnh đề 2.3.8) Lưu ý hệ số nhị thức n k Mệnh đề xác định với số nguyên n với số nguyên k ≥ 0, quan hệ Nishida có cơng thức tương tự hệ số nhị thức định nghĩa cho trường hợp n k khơng âm Do đó, tác động mơ tả mệnh đề làm sáng tỏ số kết Wellington [81] mối liên hệ vi phân cấu trúc A -môđun đại số Λ Tiếp theo, xây dựng biểu diễn đồng cấu chuyển đại số, ψs (xem Định lý 2.4.2), ứng dụng vào việc khảo sát ảnh đồng cấu chuyển đại số Trong [25], L M Hà xây dựng phần tử d0 ∈ PA H14 (BV4 ), e0 ∈ PA H17 (BV4 ) chứng minh cách gián tiếp phần tử tương ứng nghịch ảnh ... i=0 với x, y ∈ H ∗ (X) xy tích cup vành H ∗ (X) Công thức gọi công thức Cartan 12 Năm 1952, Adem [3] chứng minh tất quan hệ đại số Steenrod sinh từ tập quan hệ, gọi quan hệ Adem (xem (1.2)) Năm... ArakiKudo-Dyer-Lashof (xem Định lý 6) liên hệ sở với sở chấp nhận sở Turner (xem Mệnh đề Mệnh đề 8) Ngoài ra, dựa vào phương pháp Arnon [6], chúng tơi tìm kết liên quan đến tính cực tiểu cực đại sở... đồng cấu chuyển đại số, dùng E ψs , liên quan đến toán xác định tập sinh cực tiểu E H ∗ (BVs ) (môđun phân bậc liên kết H ∗ (BVs )) xem môđun đại số phân bậc liên kết A (được gọi toán “hit” thứ