Xây dựng lược đồ giải số cho bài toán tối ưu dạng với dòng chảy navier stokes và ứng dụng trong thiết kế khí động học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRẦN MINH TÂM XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ GIẢI SỐ CHO BÀI TỐN TỐI ƯU DẠNG VỚI DỊNG CHẢY NAVIER-STOKES VÀ ỨNG DỤNG TRONG THIẾT KẾ KHÍ ĐỘNG HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TẠ THỊ THANH MAI Hà Nội – 2019 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Xây dựng lược đồ giải số cho tốn tối ưu dạng với dịng chảy Navier-Stokes ứng dụng thiết kế khí động học Học viên: Giảng viên hướng dẫn: Trần Minh TÂM TS Tạ Thị Thanh MAI Luận văn thực chương trình Thạc sĩ Khoa học Tốn Tin Viện Toán ứng dụng Tin học i Lời cam đoan Tôi, Trần Minh Tâm, cam đoan luận văn thạc sĩ với tiêu đề “Xây dựng lược đồ giải số cho tốn tối ưu dạng với dịng chảy Navier-Stokes ứng dụng thiết kế khí động học” cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tơi Tơi xin xác nhận rằng: • Luận văn thực chủ yếu chương trình Thạc sĩ Khoa học Toán Tin Viện Toán ứng dụng Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội • Bất kỳ nội dung luận văn sử dụng tài liệu khác nêu rõ ràng • Tất tài liệu sử dụng để tham khảo trích dẫn đầy đủ Ngồi trích dẫn đó, luận văn hồn tồn kết tơi nhóm nghiên cứu • Mọi giúp đỡ trình thực luận văn ghi nhận cảm ơn Chữ ký: Ngày: ii ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Tóm tắt nội dung Viện Toán ứng dụng Tin học Thạc sĩ Khoa học Toán Tin Xây dựng lược đồ giải số cho tốn tối ưu dạng với dịng chảy Navier-Stokes ứng dụng thiết kế khí động học Trần Minh TÂM Từ khóa: Tối ưu dạng, đạo hàm dạng, học chất lỏng, phương trình Navier-Stokes, phương trình Stokes, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp Newton, Freefem++ iii Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Tạ Thị Thanh Mai, người tận tâm hướng dẫn động viên tác giả từ sinh viên đại học suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn ứng dụng Tin học, Phịng đào tạo-Bộ phận quản lý đào tạo sau đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tác giả sớm hoàn thành luận văn Xin cảm ơn thầy cô, bạn sinh viên, bạn, anh chị học viên cao học Viện Toán Ứng dụng Tin học giúp đỡ, động viên trao đổi kinh nghiệm quý báu cho luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh Lê Văn Chiến bạn Hồ Đức Nhân cộng tác giúp đỡ tác giả q trình hồn thành luận văn iv Mục lục Tóm tắt nội dung ii I II PHẦN MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương Giải số cho phương trình dịng chảy Navier-Stokes 1.1 Phương trình Navier-Stokes tổng quát 1.2 Phương pháp lặp Newton 11 1.2.1 Phương pháp lặp Newton cho tốn phi tuyến tính 11 1.2.2 Phương pháp lặp Newton cho phương trình Navier-Stokes ổn định 13 Nghiệm khởi đầu thuật toán lặp 16 Phương pháp Galerkin 18 Xây dựng toán yếu 18 Rời rạc theo không gian 20 Xây dựng hệ phương trình đại số 21 Ví dụ giải số 23 1.3.1 Lid driven cavity 23 1.3.2 Backward facing step 24 1.3.3 Mặt cắt cánh máy bay 25 Kết luận 25 1.2.3 1.3 1.4 Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 29 v 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 III Phát biểu toán 29 2.1.1 Bài toán tối ưu dạng 29 2.1.2 Phương pháp Lagrange tăng cường 32 Phương pháp hàm đường mức 34 2.2.1 Các định nghĩa 34 2.2.2 Phương pháp hàm đường mức Freefem++ 36 Đạo hàm dạng 38 2.3.1 Tính khả vi dạng 38 2.3.2 Đạo hàm dạng hàm mục tiêu 39 Thuật toán tối ưu dạng 46 2.4.1 Tính tốn hướng giảm 46 2.4.2 Thuật toán tối ưu dạng 48 Các ví dụ giải số 48 2.5.1 Vật cản dòng chảy chất lỏng 48 2.5.2 Hình dạng phổi người 49 KẾT LUẬN 53 Kết luận chung 54 Danh mục cơng trình liên quan đến luận văn cơng bố 56 vi Danh sách hình vẽ Hình 1.2 Hai cặp phần tử hữu hạn thỏa mãn điều kiện tương thích rời rạc Hình 1.3 Lid-driven cavity: Mơ tả miền tính tốn điều kiện biên Xét miền Ω = [0, 1]2 Hình 1.4 24 Lid-driven cavity: Từ trái qua phải: vận tốc, dòng chảy áp suất trường hợp ν = 0.005 Hình 1.5 21 24 Lid-driven cavity: Từ trái qua phải: vận tốc, dòng chảy áp suất trường hợp ν = 0.002 25 Hình 1.6 Backward facing step: Miền tính toán điều kiện biên 25 Hình 1.7 Backward facing step: Từ xuống dưới: dòng chảy áp suất trường hợp hệ số nhớt ν = 0.005 Hình 1.8 Backward facing step: Từ xuống dưới: dòng chảy áp suất trường hợp hệ số nhớt ν = 0.0005 Hình 1.9 26 27 Sự hội tụ thuật toán Newton: Từ trái sang phải: Sự hội tụ theo chuẩn L2 sai số ví dụ Lid driven cavity Backward facing step trường hợp ν = 0.005 27 Hình 1.10 Mặt cắt cánh máy bay: Miền tính toán điều kiện biên 28 Hình 1.11 Mặt cắt cánh máy bay: Từ trái qua phải: dòng chảy áp suất trường hợp góc α = Hình 1.12 Mặt cắt cánh máy bay: Từ trái qua phải:dòng chảy áp suất trường hợp góc α = 10o Hình 2.1 28 28 Ví dụ biến dạng lưới phương pháp hàm đường mức: Lưới khởi tạo từ hàm đường mức ban đầu 37 vii Hình 2.2 Ví dụ biến dạng lưới phương pháp hàm đường mức: trường vận tốc u1 = 0, u2 = -1, bước thời gian dt = 0.15, sau vòng lặp Hình 2.3 Ví dụ biến dạng lưới phương pháp hàm đường mức: trường vận tốc u1 = -y, u2 = x, bước thời gian dt = 1.0, sau vịng lặp Hình 2.4 49 Vật cản lịng chất lỏng: Biểu diễn kết tính tốn miền dạng Ω bước lặp Hình 2.6 38 Thí nghiệm chướng ngại vật: Mơ hình tốn Phần màu vàng nhạt miền Ω Hình 2.5 38 50 Vật cản lòng chất lỏng: Từ xuống dưới, từ trái qua phải: hội tụ hàm mục tiêu, hàm Lagrange tăng cường, ràng buộc thể tích nhân tử Lagrange Hình 2.7 Hình dạng phổi người: Mơ hình tốn Phần màu vàng nhạt miền dạng Ω, phần màu xám phần bù D \ Ω Hình 2.8 51 Hình dạng phổi người: Biểu diễn kết tính tốn miền dạng Ω bước lặp Hình 2.9 50 51 Hình dạng phổi người: Từ xuống dưới, từ trái qua phải: hội tụ hàm mục tiêu, hàm Lagrange tăng cường, ràng buộc thể tích nhân tử Lagrange 52 viii Danh sách thuật toán Thuật toán Newton cho toán phi tuyến 13 Thuật toán Newton cho toán Navier-Stokes ổn định 17 Thuật toán Lagrange tăng cường 33 Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 48 Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 2.4 46 Thuật tốn tối ưu dạng 2.4.1 Tính tốn hướng giảm Xét toán tối ưu dạng (2.4) Hàm mục tiêu tốn có đạo hàm dạng cho J (Ω)(θ) = Γ wΩ θ · nds (2.27) Để lựa chọn hướng giảm cho thuật toán gradient giải toán tối ưu (2.10), cách đơn giản sử dụng hướng dΩ = − w Ω ( x )n ( x ), (2.28) với n( x ) định nghĩa theo công thức (2.13) Như ta biết, trường vô hướng wΩ phụ thuộc vào nghiệm hệ phương trình trạng thái (2.3) hệ phương trình liên hợp (2.25) Ta dễ dàng giải phương trình với phương pháp trình bày chương Tuy nhiên, việc lựa chọn hướng giảm theo công thức (2.28) gặp phải số rủi ro Ta nhận thấy đạo hàm dạng hàm mục tiêu có nghĩa biên Γ miền tính tốn Trong đó, trường biến dạng V( x ) định nghĩa tồn miền tính tốn mở rộng D ⊃ Ω (Ω ∈ U ad ) Điều phá vỡ cấu trúc lưới chọn bước giảm không đủ tốt Trường vô hướng wΩ phụ thuộc đạo hàm nghiệm uΩ theo tham số đầu vào phương trình trạng thái (2.3) (và ảnh hưởng tham số phương trình liên hợp (2.25)), tham số đầu vào dạng chấp nhận Ω ∈ U ad Do khơng đủ mịn tồn miền tổng quát D theo lý thuyết lẫn sai số tính tốn Điều ảnh hưởng đến ổn định thuật toán tối ưu dạng Để khắc phục hai vấn đề trên, ta tìm hướng giảm thuật toán tối ưu dạng phương pháp quy hóa Cho tham số quy α > đủ nhỏ định nghĩa Chương Tối ưu dạng cho dịng chảy Navier-Stokes ổn định 47 khơng gian hàm Θ = H (Ω) d (2.29) Ta chọn de hình chiếu dΩ = −wΩ n Θ theo phép chiếu Ω (de θ + α∇de ∇θ) dx = Γ wΩ θ · nds ∀θ ∈ Θ (2.30) Hoặc ta tìm de thơng qua hệ phương trình đạo hàm riêng     de − α∆de    de      α ∂de ∂n = Ω, = Γ D ∪ Γ N , (2.31) = wΩ n Một ví dụ khác phương pháp quy hóa trường biến thiên sử dụng tốn tử Laplace-Beltrami Ω α∇de ∇θdx + (1 − α) Γ ∇Γ de · ∇Γ θds = Γ wΩ θ · nds ∀θ ∈ Θ (2.32) Trong ∇Γ f = ∇ f + ∇ f · n n gradient tiếp tuyến ứng với thành phần biên Γ hàm trơn f Chương Tối ưu dạng cho dịng chảy Navier-Stokes ổn định 2.4.2 48 Thuật tốn tối ưu dạng Thuật toán 4: Thuật toán tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định Khởi tạo: k = 0, lưới T miền Ω0 , hàm đường mức φ0 , nhân tử Lagrange l hệ số phạt b0 hàm Lagrange tăng cường L for n = 1, 2, hội tụ Tìm nghiệm uk , pk hệ Navier-Stokes (2.3) miền dạng Ωk Tìm nghiệm vk , qk hệ phương trình liên hợp (2.25) miền Ωk Tìm đạo hàm dạng hàm Lagrange tăng cường AL(Ωk , l k , bk ) theo định lý 2.2 Giải phương trình (2.31) D để tìm hướng giảm dke AL(Ωk , l k , bk ) Chọn bước giảm gradient tk > đủ nhỏ tính hàm đường mức dịch chuyển theo phương trình (2.15) với trường dịch chuyển dke Khởi tạo lại dạng Ωk từ hàm đường mức φk Tính giá trị hàm mục tiêu J (Ωk ) if hàm mục tiêu giảm then Đặt Ωk+1 = Ωkk k t de else Quay lại bước 5, làm lưới giảm giá trị bước nhảy tk end Cập nhật hệ số l k+1 , bk+1 hàm Lagrange tăng cường ALk+1 end 2.5 2.5.1 Các ví dụ giải số Vật cản dịng chảy chất lỏng Xét vật cản đặt ống có chất lỏng chảy qua mơ tả hình 2.4 Trên bề mặt vật cản có điều kiện biên Dirichlet (u = 0) Trên biên Γin dòng chảy vào ống u = (1, 0) T biên Γout đặt điều kiện biên Neumann σ (u, p)n = Ta tìm hình dạng tối ưu vật cản để tối thiểu lượng tiêu tán Kết dạng thu Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 49 Γin 0.3 Γin Γ Γout Ω Γin 0.3 1.5 HÌNH 2.4: Thí nghiệm chướng ngại vật: Mơ hình tốn Phần màu vàng nhạt miền Ω sau số vòng lặp trình bày hình 2.5 Nhận xét 2.3 Có thể nhận thấy hình dạng tối ưu vật cản thu giống với hình dạng lát cắt cánh máy bay Đây hình dáng khí động học giảm tối đa lực cản dòng chảy So sánh với dạng tối ưu dòng chảy Stokes [14] nhận thấy khác biệt, gây tính chất dịng chảy Navier-Stokes 2.5.2 Hình dạng phổi người Thí nghiệm cuối xem xét mơ hình đơn giản hóa thí nghiệm cấu trúc phổi người nghiên cứu [14], [32] Mơ hình tốn minh họa hình 2.7 Các dịng chảy vào có dạng parabol đặt đoạn biên đầu vào Γin : uin ( x, y) = −4y2 + , Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 50 k=0 k = 10 k = 50 k = 100 k = 400 k = 700 HÌNH 2.5: Vật cản lịng chất lỏng: Biểu diễn kết tính tốn miền dạng Ω bước lặp 0.3 Jk ALk 0.95 0.28 0.9 0.26 0.85 0.8 0.24 0.75 0.22 0.7 0.2 0.65 0.6 0.18 0.16 0.55 100 200 300 400 500 600 700 800 0.5 100 200 300 400 500 11 1.35 Voltarget Vol 1.3 1.25 600 700 800 lk 10.5 10 9.5 1.2 1.15 8.5 1.1 7.5 1.05 6.5 0.95 0.9 5.5 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 HÌNH 2.6: Vật cản lòng chất lỏng: Từ xuống dưới, từ trái qua phải: hội tụ hàm mục tiêu, hàm Lagrange tăng cường, ràng buộc thể tích nhân tử Lagrange Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định Γout Γ 0.5 0.25 Γin 51 Γ Ω Γ Γout 1.75 0.25 HÌNH 2.7: Hình dạng phổi người: Mơ hình tốn Phần màu vàng nhạt miền dạng Ω, phần màu xám phần bù D \ Ω k=0 k = 10 k = 50 k = 100 k = 400 k = 900 HÌNH 2.8: Hình dạng phổi người: Biểu diễn kết tính tốn miền dạng Ω bước lặp Chương Tối ưu dạng cho dòng chảy Navier-Stokes ổn định 0.0065 Jk 0.006 52 4.5 ALk 0.0055 3.5 0.005 0.0045 0.004 2.5 0.0035 0.003 0.0025 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1.5 100 200 300 400 500 600 11 1.35 Voltarget Vol 1.3 1.25 700 800 900 1000 lk 10.5 10 9.5 1.2 1.15 8.5 1.1 7.5 1.05 6.5 0.95 0.9 5.5 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 HÌNH 2.9: Hình dạng phổi người: Từ xuống dưới, từ trái qua phải: hội tụ hàm mục tiêu, hàm Lagrange tăng cường, ràng buộc thể tích nhân tử Lagrange 53 Phần III KẾT LUẬN 54 Kết luận chung Luận văn trình bày lược đồ giải số toán tối ưu dạng cho phương trình NavierStokes ổn định dựa phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp biến phân Hadamard phương pháp hàm đường mức Cụ thể hơn, luận văn giải quết vấn đề sau: • Trình bày lược đồ giải số cho phương trình Navier-Stokes ổn định dựa phương pháp lặp Newton • Đưa lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng phương trình Navier-Stokes ổn định • Thực số ví dụ giải số minh họa cho lược đồ Lược đồ giải toán tối ưu dạng đưa luận văn có số ưu điểm sau đây: • Có khả thay đổi cấu trúc tơ-pơ miền dạng • Có khả mở rộng mơ hình tốn dịng chảy hai pha, hệ đàn hồi-chất lưu, • Chi phí thuật tốn vừa phải Tuy vậy, lược đồ nhược điểm sau: • Độ xác khơng tốt phương pháp có khả thay đổi cấu trúc tơ-pơ miền dạng • Thời gian tính tốn lâu việc giải phương trình dịch chuyển hàm đường mức 55 Các hướng nghiên cứu Tác giả xin đề xuất số hướng nghiên cứu để phát triển nội dụng luận văn sau: • Mở rộng tốn lên khơng gian ba chiều • Mở rộng cho tốn tối ưu dạng có thay đổi tô-pô miền dạng [25] Đây hướng có tiềm lớn phương pháp hàm đường mức sử dụng luận văn có khả thay đổi cấu trúc tô-pô lưới phần tử hữu hạn • Mở rộng thuật tốn tối ưu dạng kết hợp tìm bước giảm tối ưu • Mở rộng lược đồ giải số cho mơ hình tốn có liên quan dịng chảy đối lưu tự nhiên [33], dòng chảy đa pha, hệ đàn hồi-chất lưu, 56 Danh mục cơng trình liên quan đến luận văn công bố Ta Thi Thanh Mai, Ho Duc Nhan, Tran Minh Tam “Numerical simulation of heat transfer equation by Freefem++ software” March 2019 (13th SEATUC Symposium, 2019) 57 Tài liệu tham khảo [1] O Pironneau, “On optimum profiles in Stokes flow”, Journal of Fluid Mechanics, vol 59, no 1, pp 117–128, 1973 [2] ——, “On optimum design in fluid mechanics”, Journal of Fluid Mechanics, vol 64, no 1, pp 97–110, 1974 [3] B Mohammadi and O Pironneau, “Shape optimization in fluid mechanics”, Annual Review of Fluid Mechanics, vol 36, pp 255–279, 2004 [4] S Painchaud-Oullet, C Tribes, J Trepanier, and D Pelletier, “Airfoil shape optimization using a nonuniform rational b-spline parametrization under thickness constraint”, IAAA, vol 44, no 10, pp 2170–2178, 2006 [5] A Quarteroni and G Rozza, “Optimal control and shape optimization of aortocoronaric bypass anastomoses”, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, vol 13, no 12, pp 1801–1823, 2003 [6] V Agoshkov, A Quarteroni, and G Rozza, “A mathematical approach in the design of arterial bypass using unsteady Stokes equations”, Journal of Scientific Computing, vol 28, no 2-3, pp 139–161, 2006 [7] ——, “Shape design in aorto-coronaric bypass anastomoses using perturbation theory”, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol 44, no 1, pp 367–384, 2006 [8] F Alouges, A DeSimone, and L Heltai, “Numerical strategies for stroke optimization of axisymmetric microswimmers”, Math Models Methods Appl Sci., vol 21, no 2, pp 361–387, 2011 Tài liệu tham khảo 58 [9] N Wiker, A Klarbring, and T Borrvall, “Topology optimization of regions of Darcy and Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 69, pp 1374–1404, 2007 [10] A Evgrafov, “Topology optimization of slightly compressible fluids”, ZAMM - Z Angew Math Mech, vol 86, no 1, pp 46–62, 2006 [11] L Olesen, F Okkels, and H Bruus, “A high-level programming-language implementation of topology optimization applied to steady-state Navier-Stokes flow”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 65, no 7, pp 975– 1001, 2006 [12] S Zhou and Q Li, “A variational level set method for the topology optimization of steady-state Navier-Stokes flow”, Journal of Computational Physics, vol 227, pp 10 178–10 195, 2008 [13] X Duan, Y Ma, and R Zhang, “Shape-topology optimization of Stokes flow via variational level set method”, Applied Mathematics and Computation, vol 202, pp 200–209, 2008 [14] T Ta, V Le, and H Pham, “Shape optimization for stokes flows using sensitivity analysis and finite element method”, Applied Numerical Mathematics, vol 129, 2018 [15] P Deuflhard, “PDE boundary value problems”, in Newton Methods for Nonlinear Problems Berlin, Heidelberg: Springer, 2011, pp 369–404, ISBN: 978-3-64223898-7 [16] S Kim, Y Lee, and B Shin, “Newton’s method for the Navier-Stokes equations with finite-element initial guess of Stokes equations”, An International Journal Computers and Mathematics with Applications, vol 51, 2006 [17] G Allaire, C Dapogny, and P.Frey, “Shape optimization with a level set based mesh evolution method”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 282, 2014 Tài liệu tham khảo 59 [18] M R Hestenes, “Multiplier and gradient methods”, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 4, no 5, pp 303–320, 1969, ISSN: 1573-2878 [19] J Nocedal and S Wright, Numerical Optimization Springer, 2006 [20] F Hecht, “New development in freefem++”, J Numer Math., vol 20, no 3-4, pp 251–265, 2012, ISSN: 1570-2820 [21] A Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, ser MS-A Springer, 2009, vol 2, ch 15 [22] J Shewchuk, An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, 1994 [23] G Yang and P Jiang, “SSOR and ASSOR preconditioners for Block-Broyden method”, Applied Mathematics and Computation, vol 188, pp 194–205, 2007 [24] S.Saxena and R Kumar, “Design of naca 2412 and its analysis at different angle of attacks, Reynolds numbers, and a wind tunnel test”, International Journal of Engineering Research and General Science, vol 3, 2015 [25] G Allaire, F Jouve, and A Toader, “Structural optimization using shape sensitivity analysis and a level-set method”, Journal of Computational Physics, vol 194, pp 363–393, 2004 [26] M Ta, “Modélisation des problèmes bi-fluides par la méthode des lignes de niveau et l’adaptation du maillage : Application l’optimisation des formes”, PhD thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015 [27] J Sokolowski and J.-P Zolesio, Introduction to Shape Optimization; Shape Sensitivity Analysis, ser Series in Computational Mathematics Heidelberg: Springer, 1992, vol 16 [28] F Murat and S Simon, “Etudes de problèmes d’optimal design”, in Springer Verlag, Berlin, 1976, pp 54–62, Lecture Notes in Computer Science 41 Tài liệu tham khảo 60 [29] J Simon, “Differentiation with respect to the domain in boundary value problems”, Numer Funct Anal Optim., vol 2, pp 649–687, 1980 [30] G Allaire, Conception optimale de structures, Mathematiques et Applications Springer, Heidelberg, 2006, vol 58 [31] A Henrot and M Pierre, Shape Variation and Optimization A Geometrical Analysis European Mathematical Society, 2018 [32] X D de La Sabloniere, B Mauroy, and Y Privat, “Shape minimization of the dissipated energy in dyadic trees”, Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B, vol 16, pp 767–799, 2011 [33] A Joe, A Niels, A Schousboe, and S Ole, “Topology optimisation for natural convection problems”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol 76, no 10, pp 699–721, 2014 ... ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Tóm tắt nội dung Viện Tốn ứng dụng Tin học Thạc sĩ Khoa học Toán Tin Xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng với dòng chảy Navier- Stokes ứng dụng thiết kế khí động. ..ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng với dòng chảy Navier- Stokes ứng dụng thiết kế khí động học Học viên: Giảng viên hướng... Khoa học Toán Tin Viện Toán ứng dụng Tin học i Lời cam đoan Tôi, Trần Minh Tâm, cam đoan luận văn thạc sĩ với tiêu đề ? ?Xây dựng lược đồ giải số cho toán tối ưu dạng với dòng chảy Navier- Stokes ứng