Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

Đề tài đã đặt được một số kết quả sau: Xem xét một kiểu đối xứng tổng quát tương ứng với lớp hàm lồi suy rộng theo cặp tựa trung bình số học và thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér và các tổng quát hóa của nó; cung cấp một phương pháp hiệu quả để thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên; giới thiệu một số áp dụng vào hàm Gamma cũng đã được chỉ ra.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 Phản biện 1: GS TS Đặng Đức Trọng Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 3: TS Đào Văn Dương Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước TM Tập thể hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức Tác giả Nguyễn Ngọc Huề Lời cảm ơn Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn đầy nhiệt tâm nghiêm khắc PGS TS Đinh Thanh Đức TS Lê Quang Thuận Lời đầu tiên, cho tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, tạo điều kiện thuận lợi mặt, hướng dẫn bảo suốt q trình làm việc, nghiên cứu hồn thành Luận án Tơi xin gửi lời cám ơn đến thầy GS TSKH Vũ Kim Tuấn, em Dương Quốc Huy Nguyễn Dư Vi Nhân, có giúp đỡ, đóng góp quan trọng cho tơi việc nghiên cứu khoa học hồn thành luận án Tơi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê tất quý thầy, cô giáo động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Trường Đại học Tây Nguyên, gia đình, anh em bạn bè, người chia sẻ, động viên giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành Luận án i Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn i Danh mục kí hiệu iv Mở đầu Chương Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học áp dụng 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm (Mφ , Mψ )-lồi 13 1.3 Áp dụng vào bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma trung bình đặc biệt Chương Bất đẳng thức kiểu Jensen áp dụng 33 38 2.1 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân 38 2.2 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy 45 2.3 Áp dụng 50 2.3.1 Áp dụng bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân 50 2.3.2 Áp dụng bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy 53 ii Chương Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi khơng gian đo áp dụng 55 3.1 Đặt vấn đề 55 3.2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi không gian đo 57 3.3 Áp dụng vào tích phân bậc khơng ngun 60 3.3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen tích phân bậc khơng ngun 3.3.2 61 Bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard tích phân bậc không nguyên Chương Hàm li suy rng kiu Hă older v ỏp dng 65 69 4.1 Trung bỡnh cú trng kiu Hăolder 69 4.2 Hàm li suy rng kiu Hăolder 74 4.3 Các đặc trưng ca hm li suy rng kiu Hăolder dng 79 4.4 Các bất đẳng thức cho hm li suy rng kiu Hăolder 86 4.4.1 Các bất đẳng thức kiểu Jensen 87 4.4.2 Các bất đẳng thức kiểu Popoviciu Rado 88 Một số áp dụng 92 4.5.1 Tớnh li Hăolder ca hm Gamma v ỏp dng 92 4.5.2 Áp dụng vào chuỗi lũy thừa 93 4.5.3 Áp dụng vào trung bình lũy thừa 96 4.5 Kết luận 98 Danh mục cơng trình liên quan 100 Tài liệu tham khảo 100 Chỉ mục 110 iii Danh mục kí hiệu Rn : khơng gian Euclide n-chiều Rn+ : tập hợp {(x1 , , xn ) : x1 ≥ 0, , xn ≥ 0} R2+ : tập tất (w1 , w2 ) ∈ R2+ cho w1 + w2 = x : (x1 , , xn ) xα : (xα1 , , xαn ) An (x) : A(a, b) : Trung bình số học a b Bnf : Đa thức Bernstein bậc n hàm f epi(f ) Gn (x) : {(x, α) ∈ C × R | f (x) √ : n x1 xn Mφ (a, b; α) : Tựa trung bình φ−1 (αφ(a) + (1 − α)φ(b)) Mφ (a, b) : Mφ (a, b; 12 ) L(t) : Mφ (a, Mφ (a, b; α); t) R(t) : Mφ (b, Mφ (a, b; α); t) F(t) : Mψ (f ◦ L(t), f ◦ R(t); α) G(t) : Mψ (F(1), F(0); t) n (x1 + · · · + xn ) α} M[r] (x1 , x2 ; w1 , w2 ) : Trung bỡnh Hăolder cú trng bc r M(r, x, w) Mn (r, x, w) Mn (0, x, w) Mn (s, f x, w) Wn : Trung bỡnh cú trng kiu Hăolder bc r ( w1 xr + · · · + wn xr )1/r x1 > 0, , xn > 0, Wn Wn n :  −( w1 (−x1 )r + · · · + wn (−xn )r )1/r x1 > 0, , xn > Wn Wn : lim+ Mn (r, x, w) = lim− Mn (r, x, w) r→0 r→0    w1 f s (x1 ) + · · · + wn f s (xn ) 1/s s = 0, Wn Wn :  [f (x1 )]w1 /Wn [f (xn )]wn /Wn s = : n i=1 wi >0 iv ∆k f (0) : Sai phân cấp k hàm f x = Xcp (a, b) : Không gian hàm giá trị phức f thỏa mãn  1/p b   a |tc f (t)|p dtt < ∞ ≤ p < ∞, f Xcp =  ess sup |tc f (t)| < ∞ p = ∞ a≤t≤b r s Λ : {(x , α ) | (x, α) ∈ epi(f )} x∗ : (x∗1 , , x∗n ) f (k) (x) : đạo hàm bậc k f x f k (x) : lũy thừa bậc k giá trị f (x) f (x) : đạo hàm cấp f x f (x) : đạo hàm cấp hai f x t.ư : tương ứng v Mở đầu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard (HH), Hermite [41] nêu lần vào năm 1883 phát lại mười năm sau Hadamard [37], cho ta ước lượng chặn chặn giá trị trung bình tích phân hàm lồi khoảng đóng, liên quan đến trung điểm điểm cuối miền xác định Chính xác hơn, f : [a, b] → R hàm lồi liên tục ta có f b ≤ b−a a+b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) (HH) Phiên có trọng bất đẳng thức (HH) phát triển Fejér [32] vào năm 1906 Cụ thể, f : [a, b] → R hàm lồi w : [a, b] → R hàm mật độ đối xứng qua a+b a+b f ≤ b−a b f (x)w(x)dx ≤ a f (a) + f (b) (FI) Các bất đẳng thức (HH), (FI) công cụ mạnh để ta ước lượng giá trị trung bình tích phân hàm lồi đoạn Một điểm thú vị khái niệm hàm lồi lại đề xuất cách thức muộn Jensen [53] vào cuối năm 1906 Ông sử dụng hạng tử đầu hạng tử cuối (HH) để định nghĩa hàm lồi thông qua bất đẳng thức hàm Cụ thể hơn, I ⊂ R khoảng f : I → R hàm f gọi hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi I f x+y ≤ f (x) + f (y) (JC) với x, y ∈ I Nếu bất đẳng thức (JC) đổi chiều f gọi hàm lõm theo nghĩa Jensen hay J-lõm I Ý tưởng bất đẳng thức hàm (JC) dựa đánh giá giá trị hàm thơng qua trung bình số học Đây đóng góp to lớn Jensen cho phát triển toán học mà ngày dường bao phủ rộng khắp lĩnh vực khác toán học [30] Ngày nay, người ta thường định nghĩa hàm lồi thông qua trung bình số học có trọng Cụ thể hơn, I ⊂ R khoảng f : I → R hàm ta nói f hàm lồi I f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (CF) với λ ∈ [0, 1] x, y ∈ I Nếu bất đẳng thức (CF) đổi chiều f gọi hàm lõm I (xem [75, Chương 1]) Từ định nghĩa hàm lồi J-lồi trên, dễ thấy f hàm lồi khoảng I hàm J-lồi I Tuy nhiên, để hàm J-lồi I trở thành hàm lồi I phải có thêm tính chất liên tục Bất đẳng thức kép (HH) khơng hệ tính lồi mà cịn đặc trưng cho tính lồi Tức là, hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức bên trái bên phải khoảng miền xác định hàm hàm lồi [85, Định lý 1] Bất đẳng thức Hermite-Hadamard thu hút quan tâm nhiều nhà toán học trở thành viên đá móng quan trọng giải tích tốn học tối ưu Nhiều kết cổ điển liên quan đến bất đẳng thức tìm thấy chun khảo Peˇcari´c, Proschan Tong [75] Đặc biệt, hai thập kỷ gần đây, nhận nhiều ý Thực tế, có tăng lên đáng kể tài liệu cung cấp chứng minh mới, làm mịn, tổng quát hóa, nội suy khác áp dụng lý thuyết trung bình Chuyên khảo Dragomir Pearce [25] cho nhìn tồn diện lĩnh vực Sự diện áp dụng động lực thúc đẩy việc mở rộng đến trường hợp tổng quát Để tổng qt hóa khái niệm tính lồi, vấn đề tự nhiên thay trung bình số học có trọng bất đẳng thức (CF) cặp trung bình tổng quát Dựa vào ý tưởng này, trước hết, xây dựng khái niệm suy rộng trung bình định nghĩa khoảng thực Sau đó, dựa vào trung bình suy rộng vậy, khái niệm hàm lồi suy rộng giới thiệu nghiên cứu Điều có nghĩa hàm lồi suy rộng hàm Nếu điều kiện (1) (3) thỏa mãn s Wn [(Mn (s, xα , w)) − (Mn (r, x, w))αs ] ≥ Wn−1 [ Mn−1 (s, xα , w) s − (Mn−1 (r, x, w))αs ] r (Mn (t1 , x, w))αs − (Mn (t2 , x, w))αs r (Mn (t2 , x, w))αs − (Mn (t3 , x, w))αs ≤ s (Mn (t1 , x, w))r − (Mn (t2 , x, w))r s (Mn (t2 , x, w))r − (Mn (t3 , x, w))r Ngược lại, điều kiện (2) (4) thỏa mãn bất đẳng thức đổi chiều Trước chứng minh định lý trên, ta nhắc lại định lý sau Định lý 4.5.7 ([70, Định lý 1, trang 76]) Nếu a1 = · · · = an = a0 Mn (t, a, w) = a0 Trong trường hợp lại, hàm Mn (t, a, w) tăng nghiêm ngặt theo t R Chứng minh Định lý 4.5.6 Bất đẳng thức thứ suy trực tiếp từ Ví dụ 4.2.4 Định lý 4.4.4 Sử dụng Định lý 4.5.7, ta thấy hàm f (t) = Mn (t, x, w) tăng nghiêm ngặt R Khi đó, với t1 < t2 < t3 , ta nhận Mn (t1 , x, w) < Mn (t2 , x, w) < Mn (t3 , x, w) Từ đây, sử dụng Ví dụ 4.2.4 Nhận xét 4.3.5, ta bất đẳng thức thứ hai Tóm lại, chương chúng tơi xây dựng mt trung bỡnh suy rng kiu Hăolder mi bc thc số thực không số thực dương (Định nghĩa 4.1.2) Dựa vào trung bình này, chúng tơi định nghĩa lớp hàm lồi suy rng kiu Hăolder v nghiờn cu cỏc c trng (các Định lý 4.3.1 4.3.3) Bên cạnh đó, chúng tơi thiết lập bất đẳng thức kiểu Jensen, Popoviciu Rado cho lớp hàm (các Định lý 4.4.1 4.4.4), đồng thời đưa áp dụng vào hàm Gamma (Định lý 4.5.1), chuỗi lũy thừa (Định lý 4.5.4) trung bình lũy thừa (Định lý 4.5.6) 97 Kết luận Trong luận án này, chúng tơi trình bày số tốn kết mà thu công trình tiền ấn phẩm suốt trình nghiên cứu Kết cụ thể sau: • Xem xét kiểu đối xứng tổng quát tương ứng với lớp hàm lồi suy rộng theo cặp tựa trung bình số học thiết lập bất đẳng thức kiểu Fejér tổng quát hóa (Định lý 1.2.1); Cung cấp phương pháp hiệu để thiết lập bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên; giới thiệu số áp dụng vào hàm Gamma • Trình bày bất đẳng thức Jensen đưa phương pháp cho phép cải tiến bất đẳng thức (Định lý 2.1.1) Đưa số áp dụng vào làm mạnh định lý trội (Định lý 2.3.2) tổng quát bất đẳng thức Andersson (Định lý 2.3.4) • Trình bày số dãy đơn điệu liên quan đến tính đơn điệu dãy hàm suy rộng (các Định lý 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5) • Trình bày số bất đẳng thức tổng quát cho tính lồi không gian đo áp dụng vào việc thiết lập bất đẳng thức cho tích phân bậc khơng ngun (Định lý 3.2.1) • Xây dựng lớp hàm lồi suy rng kiu Hăolder mi; ch cỏc c trng ca lớp hàm (Định lý 4.3.1, 4.3.3), thiết lập bất đẳng thức quan trọng có liên quan (các Định lý 4.4.1 4.4.4) áp dụng vào hàm Gamma (Định lý 4.5.1), chuỗi lũy thừa (Định lý 4.5.4) trung bình lũy thừa (Định lý 4.5.6) Trên sở kết luận án, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau: 98 • Tính đơn điệu tổng Riemann cho lớp hm li Hăolder v lp hm li sinh bi cp trung bình • Cải tiến điều kiện bất đẳng thức kiểu Jensen để nhận kết tốt cho lớp hàm lồi • Phát triển kết luận án không gian nhiều chiều, nghiên cứu áp dụng vào lý thuyết tối ưu 99 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN D T Duc, N N Hue, Jensen-type inequalities and their applications, J Math Inequal 14 (2), (2020), 319–327 D T Duc, N N Hue, N D V Nhan, V K Tuan, Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities, J Math Anal Appl., 488(1) (2020) Doi: 10.1016/j.jmaa.2020.124059 D T Duc, N N Hue, L Q Thuan, New types of weighted Hă older means, convexity and applications, Submitted to Math Inequal Appl N N Hue, Some integral inequalities and their applications via fractional integrals, East-West J Math 21(2) (2019) 144-157 N N Hue, D Q Huy, Monotonicity of sequences involving generalized convexity function and sequences, Tamkang J Math 46(2) (2015), 121-127 100 Tài liệu tham khảo [1] Abbaszadeh S., Ebadian A., Jaddi M (2018), “Jensen type inequalities and their applications via fractional integrals”, Rocky Mountain J Math., 48(8), pp 2459-2488 [2] Abdeljawad T (2015), “On conformable fractional calculus”, J Comput Appl Math., 279, pp 57-66 [3] Ahmad B., Alsaedi A., Kirane M., Torebek B.T (2019), “Hermite-Hadamard, Hermite-Hadamard-Fejér, Dragomir-Agarwal and Pachpatte type inequalities for convex functions via new fractional integrals”, J Comput Appl Math., 353, pp 120-129 [4] Aleman A (1985), “On some generalizations of convex sets and convex functions”, Anal Numér Théor Approx., 14(1), pp 1-6 [5] Alzer H., Qiu S.-L (2003), Inequalities for means in two variables, Arch Math 80, 201–215 [6] Aljinovi´c A A., Krni´c M., Peˇcari´c J (2014), “Weighted Montgomery identity for the fractional integral of a function with respect to another function”, Georgian Math J., 21(1), pp 1-10 [7] Anderson, D.R (2016), Taylor’s Formula and Integral Inequalities for Conformable Fractional Derivatives, Contributions in Mathematics and Engineering, Springer, New York, pp 25–44 [8] Anderson G D., Vamanamurthy M K., Vuorinen M (2007), “Generalized convexity and inequalities”, J Math Anal Appl., 335(2), pp 1294-1308 101 [9] Andersson B J (1958), “An inequality for convex functions”, Nordisk Mat Tidskr 6, 25–26 [10] Ando T., Hiai F (2011), “Operator log-convex functions and operator means”, Math Ann., 350(2), pp 611-630 [11] Aumann G (1933), “Konvexe Funktionen und die Induktion bei Ungleichungen zwischen Mittelwerten”, Bayer Akad Wiss Math.-Natur Kl S.-B., pp 403-415 [12] Brenner J L., Alzer H (1991), “Integral inequalities for concave functions with applications to special functions”, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 118, pp 173-192 [13] Budak H (2019), “On Fejér type inequalities for convex mappings utilizing fractional integrals of a function with respect to another function”, Results Math., 74(1), art 74:29, 15 pp [14] Bullen P.S (2003), Handbook of Means and their Inequalities, Springer Science+ Business Media, Dordrecht, The Netherlands [15] Chen H., Katugampola U.N (2017), “Hermite-Hadamard and HermiteHadamard-Fejér type inequalities for generalized fractional integrals”, J Math Anal Appl., 446(2), pp 1274-1291 [16] Chen F., Wu S (2014), “Fejér and Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions”, J Appl Math., 1, pp 1-6 [17] Cloud M.J., Drachman B.C (1998), Inequalities with Applications to Engineering, Springer [18] Day P.W (1973), “Decreasing rearrangements and doubly stochastic operators”, Trans Amer Math Soc., 178, pp 383-392 [19] Dragomir S.S (1992), “Two mappings in connection to Hadamard’s inequalities”, J Math Anal Appl., 167, pp 49-56 102 [20] Dragomir S.S (2001), “Refinements of the Hermite-Hadamard integral inequality for log-convex functions”, Austral Math Soc Gaz., 28(3), pp 129133 [21] Dragomir S.S (2015), “A functional generalization of Ostrowski inequality via Montgomery identity”, Acta Math Univ Comenian., 84(1), pp 63-78 [22] Dragomir S.S (2015), “A functional generalization of trapezoid inequality”, Vietnam J Math., 43(4), pp 663-675 [23] Dragomir S.S (2016), “Integral inequalities for convex functions and applications for divergence measures”, Miskolc Math Notes, 17(1), pp 151-169 [24] Dragomir S.S., Mond B (1998), “Integral inequalities of Hadamard’s type for log-convex functions”, Demonstr Math., 31, pp 354-364 [25] Dragomir S.S., Pearce C.E.M (2002), Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University [26] Dragomir S.S, Peˇcari´c J., Persson L.E (1995), “Some inequalities of Hadamard type”, Soochow J Math., 21(3), pp 335-341 [27] Duc D.T., Hue N.N., “Jensen-type inequalities and their applications”, J Math Inequal 14 (2), (2020), 319–327 [28] Duc D.T., Hue N.N., Nhan N.D.V., Tuan V.K., “Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities”, J Math Anal Appl., 488(1) (2020) Doi: 10.1016/j.jmaa.2020.124059 [29] Duc D.T., Hue N.N., Thuan L.Q., New types of weighted Hăolder means, convexity and applications (submitted to MIA) [30] R Dwilewicz (2009), “A short history of convexity”, Differ Geom Dyn Syst., 11, pp 112-129 [31] Fang Z.B., Shi R (2014), “On the (p, h)-convex function and some integral inequalities”, J Inequal Appl., 45, pp 1-16 103 ă [32] Fejộr L (1906), Uber die Fourierreihen II”, Math Naturwiss Anz Ungar Akad Wiss., 24, pp 369-390 (in Hungarian) [33] Fink A.M (2003), “Andersson’s inequality”, Math Inequal Appl., 6(2), pp 241-245 [34] Gill P.M., Pearce C.E.M., Peˇcari´c J (1997), “Hadamard’s inequality for rconvex functions”, J Math Anal Appl., 215(2), pp 461-470 [35] Godunova E.K., Levin V.I (1985), “Inequalities for functions of a broad class that contains convex, monotone and some other forms of functions”, Numer Math Math Physics, 166, pp 138-142 (in Russian) [36] Guan K (2010), “Multiplicative convexity and its applications”, J Math Anal Appl., 362, pp 156-166 [37] Hadamard J (1893), “Étude sur les propriétés des fonctions entiéres et en particulier d’une fonction considérée par Riemann”, J Math Pures Appl., 58, pp 171-215 [38] Hammer P.C (1958), “The midpoint method of numerical integration”, Math Mag., 31, pp 193-195 [39] Hardy G.H., Littlewood J.E., Pólya G (1929), “Some simple inequalities satisfied by convex functions”, Messenger Math., 58, pp 145-152 [40] Hardy G.H., Littlewood J.E., Pólya G (1934), Inequalities, Cambridge Univ Press, Cambridge [41] Hermite Ch (1883), “Sur deux limites d’une intégrale dé finie”, Mathesis, 3, p 82 [42] Hoa D.T., Khue V.T.B (2018), “Some inequalities for operator (p, h)-convex functions”, Linear Multilinear A., 66(3), pp 580-592 [43] Hoa D.T., Duc D.T., Khue V.T.B (2018), “A new type of operator convexity”, Act Math Vietnam., 43(4), pp 595-605 104 [44] Hue N.N (2019), “Some integral inequalities and their applications via fractional integrals”, East-West J Math., 21(2), pp 144-157 [45] Hue N.N., Huy D.Q (2015), “Monotonicity of sequences involving generalized convexity function and sequences”, Tamkang J Math., 46(2), pp 121-127 [46] Hsu K.-C., Hwang S.-R., Tseng K.-L (2017), “Some extended Simpson-type inequalities and applications”, Bull Iranian Math Soc., 43(2), pp 409-425 [47] Hudzik H., Maligranda L (1994), “Some remarks on s-convex functions”, Aequationes Math., 48(1), pp 100-111 [48] Hwang D.-Y., Tseng K.-L., Yang G.-S (2007), “Some Hadamard’s inequalities for co-ordinated convex functions in the rectangle from the plane”, Taiwanese J Math., 11, pp 63-73 ˙ scan I ˙ (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically con[49] I¸ vex functions”, Hacet J Math Stat., 43, pp 935-942 ˙ scan I ˙ (2015), “Hermite-Hadamard–Fejér type inequalities for convex func[50] I¸ tions via fractional integrals”, Stud Univ Babe¸s-Bolyai Math., 60, pp 355366 ˙ scan I ˙ (2016), “Hermite-Hadamard type inequalities for p-convex functions”, [51] I¸ Int J Anal Appl., 11, pp 137-145 ˙ scan I., ˙ Wu S (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically [52] I¸ convex functions via fractional integrals”, Appl Math Comput., 238, pp 237244 [53] Jensen J.L.W.V (1906), “Sur les fonctions convexes et les inéqualités entre les valeurs moyennes”, Acta Math., 30, pp 175-193 [54] Jichang K (1999), “Some extensions and refinements of Minc-Sathre inequality”, Math Gaz., 83(496), pp 123-127 105 [55] Jleli M., O’Regan D., Samet B (2016), “On Hermite-Hadamard type inequalities via generalized fractional integrals”, Turkish J Math., 40, pp 1221-1230 [56] Jleli M., Samet B (2016), “On Hermite-Hadamard type inequalities via fractional integrals of a function with respect to another function”, J Nonlinear Sci Appl., 9, pp 1252-1260 [57] Katugampola U.N (2014), “New approach to generalized fractional derivatives”, Bull Math Anal Appl., 6, pp 1-15 [58] Khalil R., Horani M.A., Sababheh M (2014), “A new definition of fractional derivative”, J Comput Appl Math., 264, pp 65–70 [59] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J (2006), “Theory and applications of fractional differential equations”, North-Holland Math Stud., 204, Elsevier Science Publisher B V., Amsterdam ˙ scan I ˙ (2017), “Hermite-Hadamard-Fejér type inequalities for p[60] Kunt M., I¸ convex functions”, Arab J Math Sci., 23, pp 215-230 [61] Liao J., Guan K (2010), “On Alzer’s Inequality and its generalized forms”, J Math Inequal., 4(2), pp 161-170 [62] Liu W (2015), “Ostrowski type fractional integral inequalities for MT-convex functions”, Miskolc Math Notes, 16, pp 249-256 [63] Lorentz G.G (1986), Bernstein Polynomials, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York [64] Lupa¸s A (1976), “A generalisation of Hadamard’s inequalities for convex functions”, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 544-576, pp 115-121 [65] Mohan S.R., Neogy S.K (1995), “On invex sets and preinvex functions”, J Math Anal Appl., 189(3), 901-908 106 [66] Mortici C (2008), “Arithmetic mean of values and value at mean of arguments for convex functions”, ANZIAM J., 50, pp 137-141 [67] Marshall A.W., Olkin I., Arnold B.C (2011), Inequalities: Theory of Majorization and its Applications, Springer Science+Business Media, LLC [68] Mercer A.M (2005), “A generalization of Andersson’s inequality”, J Inequal Pure Appl Math., 6(2), art 57, pp [69] Merkle M (1996), “Logarithmic convexity and inequalities for the Gamma function”, J Math Anal Appl., 203, pp 369-380 [70] Mitrinovi´c D.S., Vasi´c P.M (1970), Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York [71] Niculescu C.P., Persson L.-E (2018), Convex Functions and their Applications: A Contemporary Approach, 2nd ed., Springer International Publishing AG, Part of Springer Nature, Switzerland [72] Noor M.A., Noor K.I., Awan M.U (2016), “Some new estimates of HermiteHadamard inequalities via harmonically r-convex functions”, Matematiche, 71(2), pp 117-127 ˇ [73] Peˇcari´c J.E (1980), “On the Cebyˇ sev inequality”, Bul S¸tiint¸ Tehn Inst Politehn “Traian Vui” Timi¸soara Ser Mat Fiz., 25(39) pp 5-9 ˇ sev’s inequal[74] Peˇcari´c J.E (1984), “On the Ostrowski generalization of Cebyˇ ity”, J Math Anal Appl., 102(2), pp 479-487 [75] Peˇcari´c J.E., Proschan F., Tong Y.C (1992), Convex Functions, Partial Orderings and Statistical Applications, Academic Press, Boston [76] Peng S., Wei W., Wang J.-R (2014), “On the Hermite-Hadamard inequalities for convex functions via Hadamard fractional integrals”, Facta Univ Ser Math Inform., 29, pp 55-75 107 [77] Qi F., Chen C-P (2004), “A complete monotonicity property of the Gamma function”, J Math Anal Appl., 296(2), pp 603-607 [78] Qi F., Guo B.-N (2006), “Monotonicity of sequences involving convex function and sequence”, Math Inequal Appl., 9(2), pp 247-254 [79] Qi F., Xi B.-Y (2014), “Some Hermite–Hadamard type inequalities for geometrically quasi-convex functions”, Proc Indian Acad Sci Math Sci., 124(4), pp 333-342 [80] Raabe J.L (1840), Angenăaherte Bestimmung der Factorenfolge à · · · · · · n = Γ(n + 1) = ∞ n −x x e dx, wenn n eine sehr grosse Zahl ist”, J Reine Angew Math., 25, pp 146-159 [81] Sarikaya M.Z., Budak H (2017), “Generalized Ostrowski type inequalities for local fractional integrals”, Proc Amer Math Soc., 145(4), pp 1527-1538 [82] Sarikaya M.Z., Set E., Yaldiz H., Ba¸sak N (2013), “Hermite-Hadamard’s inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities”, Math Comput Modelling, 57, pp 2403-2407 [83] Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam [84] Toader G., Toader S (2007), “Means and generalized means”, J Inequal Pure Appl Math., 8(2), art 45, pp [85] Trif T (2008), “Characterizations of convex functions of a vector variable via Hermite-Hadamard’s inequality”, J Math Inequal., 2, pp 37-44 [86] Trif T (2003), Convexity of the Gamma function with respect to Hăolder means, In Cho Y.J., Kim J.K., Dragomir S.S (Eds.), Inequality Theory and Applications 3, Nova Science Publishers, New York (pp 189-195) 108 [87] Tseng K.-L, Hwang S.-R., Dragomir S.S (2010), “Fejér-type inequalities (I)”, J Inequal Appl., art 531976, pp [88] Tseng K.-L, Hwang S.-R., Dragomir S.S (2017), “Fejér-type inequalities (II)”, Math Slovaca, 67, pp 109-120 [89] Varoˇsanec S (2007), “On h-convexity”, J Math Anal Appl., 326(1), pp 303-311 [90] Vasi´c P.M., Lackovi´c I.B (1974), “On an inequality for convex functions”, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 461-497, pp 63-66 [91] Vasi´c P.M., Lackovi´c I.B (1976), “Some complements to the paper: ‘On an inequality for convex functions” ’, Univ Beograd Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 544-576, pp 59-62 [92] Wu S (2009), “On a weighted and exponential generalization of Rado’s inequality”, Taiwanese J Math., 13(1), pp 359-368 [93] Wu S., Debnath L (2008), “Weighted generalization of Rado’s inequality and Popoviciu’s inequality”, Appl Math Lett., 21(4), pp 313-319 [94] Xi B., Qi F (2014), “Hermite-Hadamard type inequalities for geometrically r-convex functions”, Studia Sci Math Hungar., 51(4), pp 530-546 [95] Yang G.S., Hong M.X (1997), “A note on Hadamard’s inequality”, Tamkang J Math., 28, pp 33-37 [96] Yang G.S., Tseng K.L (1999), “On certain integral inequalities related to Hermite-Hadamard inequalities”, J Math Anal Appl., 239, pp 180-187 [97] Zabandan G., Bodaghi A., Kılı¸cman A (2012), “The Hermite-Hadamard inequality for r-convex functions”, J Inequal Appl., art 215, pp [98] Zhang X., Wang G., Chu Y (2009), Convexity with respect to Hăolder mean involving zero-balanced hypergeometric functions”, J Math Anal Appl., 353(1), pp 256-259 109 [99] Zhao C., Cheung W (2011), “On Minkowski’s inequality and its application”, J Inequal Appl., art 71, pp 110 Ch mc kiu Hăolder cú trng w bc bất đẳng thức (r, s), 75 Andersson, 39 Fejér, 12 kiu Hăolder yu bc (r, s), 75 Jensen dng ri rạc, hàm lồi Jensen dạng tích phân, 5, 38 Hăolder bc r, 74 kiu Hermite-Hadamard i vi Hăolder yu bc r, 74 tớch phõn bc khụng nguyờn, kiu Hăolder bc (r, s), 75 12 kiu Hăolder cú trng w bc Popoviciu, 88 (r, s), 75 Rado, 88 kiu Hăolder có trọng w bậc (r, s), 74 hàm (Mφ , M )-lừm, 10 kiu Hăolder yu bc (r, s), 75 (Mφ , Mψ )-lồi, 10 nhân, 12 Mψ -lồi, 10 thơng thường, 11 p-lồi, 12 điều hịa, 11 r-lồi, 11 nguyên lý tương ứng Aczél, 14 r-lồi điều hòa, 11 log-li, 11 trung bỡnh log-li iu hũa, 11 Hăolder cú trng bc r, 71 hm lừm kiu Hăolder bc (r, s), 75 đa thức Bernstein, 40 111 ... lập số bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma công thức tiệm cận Stirling cho hàm Gamma Ngoài bất đẳng thức Hermite-Hadamard bất đẳng thức Fejér, gắn liền với khái niệm hàm lồi bất đẳng thức tiếng... dụng chúng vào việc thiết lập bất đẳng thức cho tích phân bậc khơng ngun, cụ thể bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen tích phân bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard tích phân bậc khơng ngun Chương... 55 3.2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi không gian đo 57 3.3 Áp dụng vào tích phân bậc khơng ngun 60 3.3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen tích phân bậc khơng ngun