Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó..[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
TRƯỜNG THPT YJUT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 NĂM HỌC 2012-2013 TỔ TOÁN (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1(4đ): cho n số : a a a a1, , , , an
0;1
Chứng minh rằng:(1a1a2a3a4 an)2 4(a12a22a32 a42 a2n)
Bài 2(4đ):Giải phương trình :
2012 2012 2014 2014
3
sin
os
2(sin
os
)
os2
2
x c
x
x c
x
c
x
Bài 3(4đ):
Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1x)ncó hai hệ số liên tiếp có tỉ số7 15
Bài 4(4đ): Cho hình vng ABCD, H trung điểm AB, K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) lấy điểm S khác H CMR:
a) AC(SHK)
b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Bài 5(4đ)
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 – 2013.
Bài Nội dung Điểm
Bài 1 (4đ)
Xét tam thức
2 2 2
1 4
( ) (1 n) ( n)
f x x a a a a a x a a a a a
Ta có
2 2 2
1 4
1 2 3 4
(1) 1
(1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n
f a a a a a a a a a a
f a a a a a a a a a a
Mặt khác a a a a1, , , , an
0;1
nên1 2 3
( 1) ( 1)
( 1) (1)
( 1)
n n
a a a a
a a f
a a
Mà f(0)a12a22a32a42 an2 0 f(1) (0) 0f
Do phương trình f(x)=0 có nghiệm
0;1
vậy2 2 2
1 4
2 2 2
1 4
(1 ) 4( )
(1 ) 4( )
n n
n n
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (4đ)
2012 2012 2014 2014
2012 2012
12 12
2012 2012
2012 20
3
sin
os
2(sin
os
)
os2
2
3
os
(2 cos
1) sin
(1 sin
)
os2
0
2
os2
0(1)
3
os2 ( os
sin
) 0
3
2
os
sin
0(2)
2
* os2
0
(
)
4
2
3
* os
sin
2
x c
x
x c
x
c
x
c
x
x
x
c
x
c
x
c
x c
x
c
x
x
c
x
x
k
k Z
c
x
x
x
120
x
Ta nhận thấy
2012
2012 2012 2012
os
3
* 3 os sin
2 sin
2
c x x R
c x x x R
x x R
Vậy pt(2) vô nghiệm
Phương trình có nghiệm là: x k 2(k Z)
(3)1 1 1 1 Bài 3
(4đ)
0
(1 )n n k k n k
x C x
số hạng liên tiếp C Cnk; nk
ta có
7
7 22 15
15 15
k n k n
C k k
n k n k
C n k
Do n k, ¥ đặt
1
k t
n22 1t đế n số nguyên dương bé t
cũng phải số nguyên dương bé k 0nên
1
7 1
7
t t t
(vì t số nguyên dương bé nhất) n22.1 21
Bài 4: (4đ)
I
A D
B C
S
H
K
a) Cm: AC(SHK)
Vì H, K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK//BD mà ACBD HK AC(1)
Mặt khác SH (ABCD) SH AC(2)từ (1);(2) ta có AC(SHK) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)
Ta có CDK DAH c g c( ) CKD DHA· · mà
· · 900 · · 900 · 90 (0 )
HDA DHA CKD HDA KID CKDH I hay
CK DH(1)mặt khác
( ) (2)
SH ABCD SH CK từ (1); (2) ta có CK (SDH) hay góc CK mặt phẳng (SDH) 900
0.5
0.5
(4)Bài 5: (4đ)
A' D'
B' C'
B C
D A
Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD hình thoi
1
' ( ' ) '
2
'
CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a CB CD
uuuruuur uuur uuur uur uuuruuur uuur uur
Hay A’B’CD hình vng
(5)