Download ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 MÔN TOÁN

Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó..[r]

ONTHIONLINE.NET

TRƯỜNG THPT YJUT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 NĂM HỌC 2012-2013 TỔ TOÁN (Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1(4đ): cho n số : a a a a1, , , , an0;1 Chứng minh rằng:

(1a1a2a3a4 an)2 4(a12a22a32 a42 a2n)

Bài 2(4đ):Giải phương trình :

2012 2012 2014 2014 3

sin os 2(sin os ) os2

2

x c x  x c x  c x

Bài 3(4đ):Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển (1x)ncó hai hệ số liên tiếp có tỉ số

7 15

Bài 4(4đ): Cho hình vng ABCD, H trung điểm AB, K trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với (ABCD) lấy điểm S khác H CMR:

a) AC(SHK)

b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH) Bài 5(4đ)

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 – 2013.

Bài Nội dung Điểm

Bài 1 (4đ)

Xét tam thức

2 2 2

1 4

( ) (1 n) ( n)

f x x  a a a a  a x a a a a  a

Ta có

2 2 2

1 4

1 2 3 4

(1) 1

(1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n

f a a a a a a a a a a

f a a a a a a a a a a

             

           

Mặt khác a a a a1, , , , an0;1 nên

1 2 3

( 1) ( 1)

( 1) (1)

( 1)

n n

a a a a

a a f

a a                   

Mà f(0)a12a22a32a42 an2  0 f(1) (0) 0f 

Do phương trình f(x)=0 có nghiệm 0;1vậy

2 2 2

1 4

2 2 2

1 4

(1 ) 4( )

(1 ) 4( )

n n

n n

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

                            0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2 (4đ)

2012 2012 2014 2014

2012 2012

12 12

2012 2012

2012 20

3

sin os 2(sin os ) os2

2 3

os (2 cos 1) sin (1 sin ) os2 0 2

os2 0(1) 3

os2 ( os sin ) 0 3

2 os sin 0(2)

2

* os2 0 ( )

4 2

3

* os sin

2

x c x x c x c x

c x x x c x

c x

c x c x

c x x

c x x k k Z

c x x x                                 12 0 x 

Ta nhận thấy

2012

2012 2012 2012

os

3

* 3 os sin

2 sin

2

c x x R

c x x x R

x x R

                 

Vậy pt(2) vô nghiệm

Phương trình có nghiệm là: x k 2(k Z)

1 1 1 1 Bài 3

(4đ)

0

(1 )n n k k n k

x C x



  

số hạng liên tiếp C Cnk; nk



ta có

7

7 22 15

15 15

k n k n

C k k

n k n k

C  n k

 

         

 Do n k, ¥ đặt

1

k t 

n22 1t đế n số nguyên dương bé t

cũng phải số nguyên dương bé k 0nên

1

7 1

7

t   t  t

(vì t số nguyên dương bé nhất) n22.1 21 

Bài 4: (4đ)

I

A D

B C

S

H

K

a) Cm: AC(SHK)

Vì H, K trung điểm AB, AD nên HK đường trung bình tam giác ABD nên HK//BD mà ACBD HK AC(1)

Mặt khác SH (ABCD) SH AC(2)từ (1);(2) ta có AC(SHK) b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)

Ta có CDK DAH c g c( ) CKD DHA· · mà

· · 900 · · 900 · 90 (0 )

HDA DHA   CKD HDA   KID CKDH I hay

CK DH(1)mặt khác

( ) (2)

SH  ABCD  SH CK từ (1); (2) ta có CK (SDH) hay góc CK mặt phẳng (SDH) 900

0.5

0.5

Bài 5: (4đ)

A' D'

B' C'

B C

D A

Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD hình thoi

1

' ( ' ) '

2

'

CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a CB CD

      

 

uuuruuur uuur uuur uur uuuruuur uuur uur

Hay A’B’CD hình vng