Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.. Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.[r]
(1)ƠN TẬP TỐN 9 ĐƯỜNG TRỊN 1 Định nghĩa
Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn
Cung nằm bên góc cung bị chắn
2 Định lí
Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn
3 Hệ quả
Trong đường tròn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung
b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung
c) Góc nội tiếp ( nhỏ 900900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng
2 Góc tâm
(2)2 Số đo cung
Số đo cung cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn 36003600 trừ số đo cung nhỏ Số đo nửa đường tròn 18001800
3 So sánh hai cung
Hai cung gọi chúng có số đo
Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn
3 Góc tạo tiếp tuyến dây cung Định nghĩa
Góc ˆBAxBAx^ có đỉnh AA nằm đường trịn, cạnh AxAx tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung ABAB Ta gọi ˆBAxBAx^ góc tạo tiếp tuyến dây cung
2 Định lí
Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
3 Hệ quả
Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
(3)Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N, S trung điểm AB, BC CA Chứng minh bốn điểm B, M, S, C nằm đường tròn Tìm tâm
Bài 3: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh bốn điểm M, N, R, S nằm đường tròn
Bài 4:
a/ Cho hai điểm A, B (O) So sánh OA B^ & OB A^
b/ Gọi C, D hai điểm (O; R) cho CD = R Tính góc COD
c/ Cho đường trịn (O; R) hai bán kính OM, ON vng góc Tính góc, cạnh OMN
Bài 5: Trong hình vẽ sau, chứng minh bốn điểm A, B, C, D M, N, P, Q nằm đường tròn:
A C
B
D P Q
M
N
Bài 6: Trong hình bên, chứng minh rằng: OO’ trung trực đoạn AB
O O'
A
B
Bài 7: Gọi A điểm (O) Vẽ đường trịn (S) có đường kính OA Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) B cắt (S) C Chứng minh rằng: SC // OB
Bài 8: Cho đường trịn (O), đường kính AB Gọi M điểm (O) (M
A, B) Vẽ tia Ot // AM (tia Ot nằm hai tia OM OB) Chứng
minh: Ot tia phân giác MOB^
Bài 9: Cho đường tròn (O; 3cm) hai điểm A, B
a/ Tìm độ dài lớn dây AB nói rõ vị trí tương đối A, B lúc
(4)a/ Tính đoạn BC
b/ Xác định tâm bán kính đường trịn (ABC)
Bài 11: Cho ABC ( A^≠90° ) Vẽ đường trịn đường kính BC, cắt hai cạnh
AB, AC D, E Hai đường thẳng CD, BE cắt H
Chứng tỏ H trực tâm Chứng tỏ H trực tâm ABC, suy AH BC
và A, D, E, H thuộc đường tròn
Bài 12: Cho đường tròn (O) hai đường kính AB CD Chứng tỏ ACBD hình chữ nhật Khi hính vng
Bài 13: Trong hình vẽ bên, từ A vẽ đường kính AC (O) đường kính AD (O’) Chứng minh : điểm C, B, D thẳng hàng
O
O' A
B
(5)Bài 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN
Bài 1: Cho đường trịn có đường kính AB, tâm O; CD dây không cắt AB Từ A, B vẽ AE, BF vng góc với đường thẳng CD
a/ Chứng minh CD, EF có trung điểm Suy CE = DF b/ Tính chất cịn khơng lúc dây CD cắt đường kính AB
Bài 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) vẽ OM AB M ON
AC N Chứng minh : MN // BC
Bài 3: Cho đường tròn (O) điểm A, B, C nằm cho tâm O nằm ABC Vẽ hai đường cao BM CN cắt H Gọi I
trung điểm cạnh BC Chứng minh : OI // AH
Bài 4: Cho (O) điểm A, B, C nằm Gọi M trung điểm AB Vẽ Mx song song với BC, cắt AC N Chứng minh : ON AC
Bài 5: Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn Đường thẳng OA cắt (O) B C (B nằm A, C) Gọi M trung điểm AC Vẽ dây HK vng góc AC M chứng minh : AHCK hình thoi Bài 6: Gọi I trung điểm dây AB không qua tâm đường tròn (O; R)
a/ Chứng minh: OI AB
b/ Qua I vẽ dây EF Chứng minh : EF AB Tìm độ dài lớn nhất, nhỏ
nhất dây quay quanh I
Bài 7: Cho đường trịn (O), đường kính AB Chứng minh rằng: hai dây AC BD song song với
Bài 8: Cho điểm P bên (O) Dựng dây AB qua P cho PA = PB
Bài 9: Cho điểm P bên (O) Dựng đường tròn (P) cho (O) chia (P) thành hai nửa đường tròn
Bài 10: Cho điểm A cố định bên (O; R) MN dây quay quanh A Chứng minh rằng: trung điểm I dây MN thuộc đường cố định
Bài 11: Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây AC tạo với AB góc CAB^ =30° .
a/ ABC tam giác đặc biệt gì? Tính cạnh góc?
b/ Gọi I trung điểm dây AC Tính CI theo R
Bài 12: Cho đường trịn (O; R) hai bán kính OC, OD vng góc a/ Hỏi OCD tam giác đặc biệt gì? Tính cạnh góc?
b/ Suy cách vẽ dây R√2 đường tròn (O; R)
Bài 13: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có A^=70° ; C^=63° Hãy
(6)Bài 14: Cho đường tròn (O) hai dây AB CD (AB > CD) kéo dài cắt điểm P bên (O) Gọi trung điểm AB CD H K So sánh PH PK
Bài 15: Cho ABC cân A nội tiếp (O) Chứng minh AO phân
giác BAC^
Bài 16: Từ điểm A ngồi (O) kẻ đường thẳng khơng qua O, cắt (O) M, N Gọi K, I trung điểm AO, MN Tính KI thei OA
Bài 17: Từ điểm A (O) , kẻ đường thẳng cắt (O) M, N Vẽ OI MN Tính AI theo AM AN
Bài 3: GÓC NỘI TIẾP
Bài 1: Hãy so sánh góc ACB^ , AD B^ , AE B^ , AFB^ hình vẽ bên.
A B
C
D E
F
Bài 2: Trong hình vẽ bên tính: a/ PC Q^ biết MA N^ =31°
b/ MA N^ biết PC Q=132^ °
C O
Q
P
N
A M
Bài 3: Cho đường tròn (O) cung AB có số đo 900.
(7)Bài 5: Cho điểm A bên đường trịn (O), đường kính BC Nối AB, AC cắt đường tròn (O) E, D Gọi H giao điểm BD CE Chứng minh AH BC
Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B Lần lượt vẽ hai đường kính AC, AD hai đường tròn
a/ Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b/ Tính BC, BD biết CD = a
Bài 7: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác BAC^ cắt
đường tròn (O) M Chứng tỏ MBC cân OM vuông góc với BC
Bài 8: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường cao AH đường
kính AD Chứng tỏ AB.AC = AH.AD
Bài 9: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Hai đường cao
BD, CE cắt đường tròn (O) M N Chứng tỏ AMN cân
OA vng góc với MN
Bài 10: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Hai đường cao
AD, BE cắt H cắt đường tròn (O) I, K
a/ Chứng minh: CA I^ =CB K^ =CB I^ b/ Chứng minh : CIK
cân
Bài 11: Cho điểm S cố định khơng thuộc đường trịn (O) Qua S vẽ hai cát tuyến SAB, SCD đường tròn (O) Chứng tỏ SA.SB = SC.SD Nêu nhận xét tổng quát
Bài 12: Cho ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Qua A vẽ cát
tuyến cắt dây BC D cắt đường tròn (O) E Chứng tỏ AB2 =
AD.AE
Bài 13: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O), đường kính AB Từ trung điểm
M cung AB vẽ dây MN song song với BC Gọi giao điểm MN AC S Chứng tỏ SA = SN, SC = SM
Bài 14: Cho điểm M thuộc đường trịn (O), đường kính AB Gọi Ax tiếp tuyến A đường trịn (O) C hình chiếu M Ax Chứng minh MA2 = AB.MC.
Bài 15: Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm M cung AC Tiếp tuyến M gặp đường thẳng CD N Chứng minh MN D=^ 2.MB A^
Bài 16: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung BC Trên tia MA đặt MD = MB
a/ Hỏi MBD tam giác gì?
(8)Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Vẽ đường kính BD Tính cạnh, góc BCD Suy độ dài cạnh tam giác nội tiếp
đường trịn (O; R)
Bài 18: Cho góc nhọn xAy, tia Ax lấy điểm B Đường trịn có đường kính AB, tâm O, cắt cạnh Ay C, cắt phân giác Az xA y^ D a/ Chứng tỏ OD AC vng góc với BC
b/ AD BC cắt I, chứng minh IA.ID = IB.IC
c/ Hai đường thẳng BD, AC cắt K Chứng minh ABK cân, có
(9)Bài 4: GÓC TẠO BỞI MỘT TIẾP TUYẾN VÀ MỘT DÂY CUNG
Bài 1: Cho xAy tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cung AB cung có số đo 900.
a/ Tính góc tạo Ax, Ay dây cung AB b/ Chứng tỏ OB // xy tính AB theo R
c/ Lấy M đường trịn (O) (M A, B), tính số đo góc AMB
Bài 2: Cho xAy tiếp tuyến A đường tròn (O; R) AB dây cung tạo góc xA B=^ 30°
a/ Tính AOB^ , suy độ dài dây AB theo R
b/ Lấy điểm M đường trịn (O) khác A, B, tính góc AMB
c/ Đường thẳng OB cắt xy C cắt đường trịn (O) D (D B) Tính
CA, CO theo R, chứng tỏ ACD cân tính diện tích ACD theo R
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) xBy tiếp tuyến B
của đường tròn
a/ Tính góc tạo Bx, By dây cung BC b/ Chứng minh xy // AC
Bài 4: Cho đường trịn (O; R), đường kính BC Vẽ dây AB = R√3 a/ Chứng tỏ ABC tam giác Tính cạnh góc cịn lại
b/ Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC M chứng minh MA2 =
MB.MC =3R2.
Bài 5: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng song song với
tiếp tuyến A đường tròn (O), cắt hai đoạn AB, AC E, D Chứng minh AB.AE = AC.AD
Bài 6: Cho ABC, giả sử tia đối tia BC có điểm I cho IA B=^ AC B^ , chứng minh IA tiếp tuyến đường tròn (ABC) IA2 =
IB.IC
Bài 7: Cho ABC, biết đường thẳng BC ngoại đoạn BC có
điểm I cho IA2 = IB.IC, chứng tỏ IA tiếp tuyến dường tròn
(ABC)
Bài 8: Qua điểm S ngồi đường trịn (O; R) vẽ tiếp tuyến SA (A tiếp điểm) cát tuyến SBC (B, C giao điểm) đường tròn (O)
a/ Chứng minh SA2 = SB.SC = OS2 – R2 Nêu nhận xét tổng quát.
b/ Cho biết SA = 20cm cát tuyến dài qua S 50cm Tính bán kính đường trịn