Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Sở Gd&Đt Nghệ an K thi h c sinh gi i T nh l p 12ỳ ọ ỏ ỉ ớ N m h c 2006 - 2007ă ọ Mơn thi: tốn (bảng A)
Th i gian 150 phút ờ (không k th i gian giao ể ờ đề)
B i 1:à
a) Gi i phả ương trình:
3
3
log 2 2
2
x x
x
b) Ch ng minh phứ ương trình: x5 – 4x2 – 4x = có úng m t nghi m v đ ộ ệ à nghi m ó nh n giá tr dệ đ ậ ị ương.
B i 2à : a) Tìm giá tr l n nh t v giá tr nh nh t c a h m s : ị ớ ấ à ị ỏ ấ ủ à ố
3
yx x b) Cho s th c x; y th a mãn: < x y < ố ự ỏ ≤
Ch ng minh: ứ
3
6 sin sin
x x y y y x
.
B i 3à : Gi i h phả ệ ương trình:
2
3
4
2
3
4
x y x
y z y y
z x z z z
B i 4à :
a) Trong m t ph ng t a ặ ẳ ọ độ Đề vng góc Oxy cho tam giác ABC n i ti pộ ế ng tròn (
đườ C) Bi t (ế C) có phương trình: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 5; ABC = 900; A(2;0) v di n tích tam giác ABC b ng à ệ ằ
Tìm t a ọ độ đỉnh B; C.
b) Trong m t ph ng t a ặ ẳ ọ độ Đề vng góc Oxy cho i m B(-3;0), C(3;0) đ ể i m A di ng m t ph ng Oxy cho tam giác ABC th a mãn:
Đ ể độ ặ ẳ ỏ độ
d i à đường cao k t ẻ đỉnh A t i BC b ng l n bán kính ớ ằ ầ đường trịn tâm I n iộ ti p tam giác ABC Ch ng minh A thay ế ứ đổi (v n th a mãn i u ki n b iẫ ỏ đ ề ệ à tốn) i m I thu c m t đ ể ộ ộ đường cong c ố định.
-H tế
-H v tên thí sinh SBD: ọ à Sở Gd&Đt Nghệ an K thi h c sinh gi i t nh l p 12ỳ ọ ỏ ỉ ớ
N m h c 2006 - 2007ă ọ
đáp án biểu điểm chấm đề thức
chính
Đề
(2)Mơn: Tốn (B ng A)ả
-B ià N i dungộ Đ ểi m
B i 1à :
(5,5đ) a.(2,5 ) - TX : D = [0; +đ Đ ) Đặt x t
PT tr th nh:
2
4
3
2 2 0
2
t t
log t
(1)
Xét f(t) =
2
4
3
2 2
2
t t
log t
v i t ớ 0
Có f '(t) =
2
4
1
2 1 2 2
3 2 2
t t
( t ) .ln
t .ln
Ta có: f '(t) > t 0,
1 0 2
f
pt (1) có m t nghi m nh t t =ộ ệ ấ
1 2 .
V y pt ã cho có m t nghi m x = ậ đ ộ ệ
1 4
0.25 0.25 0.25
0.5
0.75 0.25
0.25
b.(3 ): Ta có pt đ x5 = (2x + 1)2
N u x l nghi m ế ệ x5 x5 = (2x + 1)2 x 1
V i x xét f(x) = x5 - 4x2 - 4x - 1
Ta có: f '(x) = 5x4 - 8x - 4; f "(x) = 20x3 - > v i ớ x 1
f '(x) đồng bi n [1, +ế ), m f '(1) = -7; xLim f '(x) x0 (1; +) để f '(x0) =
Ta có b ng bi n thiên: ả ế
x x0 +
f'(x) - + f(x)
+ -8
D a v o b ng bi n thiên suy pt: f(x) = có m t nghi m nh t ự ả ế ộ ệ ấ v nghi m ó có giá tr dà ệ đ ị ương pcm.đ
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
(3)B i 2à :
(6 i mđ ể ) a (3 ): TX : D = đ Đ 5 5;
Ta có: f '(x) = +
2
2
5
5
x x
x
=
2
2
3 5 2 5
5
x x
x
f '(x) = 3 5 x2 2x2 5 0; x 5;
2
4
5 2
4 11 20 0
x
x x
2 4 2
2
x x
x
Có f(2) = 8, f(-2) = -8, f 5 3 5, f 5 3 Max f(x) = x = 2; Min f(x) = -8 x = -2
0.25 0.5 0.25 1.0 0.5 0.5
b (3 ) Do < x đ y < sinx > 0, siny >
B t ấ đẳng th c ứ
3 6 6
x x y y
sin x sin y
Xét f(t) =
3 6
t t
sin t
v i t (0; )
Có f '(t) =
2
3t 6 sin t t 6t cos t sin t
Xét g(t) = (3t2 - 6)sint - (t3 - 6t)cost v i t ớ (0; )
Có g'(t) = t3sint > t (0; )
g(t) đồng bi n (0; ế ) g(t) > g(0) =
f'(t) > v i t (0; ) f(t) đồng bi n (0; ế ) m x y f(x) f(y) suy pcm.đ
0.5 0.25 0.25 0.5
0.5 0.5 0.5 B i 3à :
(3 i mđ ể ) TrTrườường h p 1: V i x = h có nghi m x = y = z = 0.ng h p 2: V i x ợợ ớớ để ệ h có nghi m x > 0, y > 0, z > 0ệ ệệ Gi s (x, y, z) l nghi m c a h có:ả ệ ủ ệ
2x2 = y(1 + x2) 2xy x y
3y3 = z(y4 + y2 +1) z.3y2 y z (vì y4 + y2 + 3y2)
4z4 = x(z6+ z4 + z2 +1) x.4z3 z x (vì z6 + z4 + z2 + 4z3)
V y: x ậ y z x x = y = z
Khi ó thay v o h ta có nghi m: x = y = z = 1đ ệ ệ H có nghi m: x = y = z = ho c x= y = z = 1ệ ệ ặ
(4)B i 4à :
(5,5 đ) a (3 ): (đ C) có tâm I(1; -2), bán kính R =
Do ABC 900 C đố ứi x ng v i A qua I C(0; -4) có pt đường th ng AC l : 2x - y - = 0ẳ
Có SABC = kho ng cách t B ả đến AC l : d =
2 4
5
S AC B đường th ng ẳ AC, cách AC m t kho ng b ng dộ ả ằ pt c a ủ có d ng: 2x - y + m = 0.ạ
m à AC kho ng cách t A ả đến b ng dằ
V y ậ
0
4 4
8
5 5
m m
m
+ V i m = pt c a ủ : 2x - y = to độ B l nghi m c a h :à ệ ủ ệ
2 2
2 0
0
1 2 5
y x x
y
x y
ho c ặ
6 5 12
5
x y
+ V i m = -8 Pt c a ủ : 2x-y- = to độ B l nghi m c a h :à ệ ủ ệ
2 2
2 8 2
4
1 2 5
y x x
y
x y
ho c ặ
16 5
8 5
x y
V y to ậ độ C(0; - 4), to độ B l : ho c (0; 0) ho c (à ặ ặ
6 12
5; 5
) ho c (2; -4) ho c (ặ ặ
16 8
5 ; 5)
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.5
0.5
0.25
b (2,5 ): K AH đ ẻ BC, IK BC, đặt AH = h, bán kính đường trịn n i ộ ti p l r v I(x; y).ế à
Có: h = 3r (AB + BC + CA)r = 3BC.r AB + CA = 2BC sinC + sinB = 2sinA cotg2 2
B C
.cot g
= (*)
m cotgà 2 2
B BK C CK
; cot g
IK IK
T (*) BK.CK = 3IK2 (**)
Do I l tâm đường tròn n i ti p ộ ế K thu c o n BCộ đ nên BK.CK = (3 + x)(3 - x), IK2 = y2
Thay v o (**) ta có: xà 2 + 3y2 = 9.
Suy I thu c ộ đường cong có phương trình: x2 + 3y2 = 9
0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Ghi chú: H c sinh gi i cách khác m úng v n cho i m t i a.ọ ả đ ẫ đ ể ố đ
B K H C x I
A y