Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và l[r]
(1)A Các kiến thức bản
1 Định nghĩa tính chất luỹ thừa lơgarit Tính chất hàm số mũ, hàm số lơgarit
3 Các phương trình, bất phương trình bản:
Với m > 0, < a thì:
ax = m x = logam
ax > m
log ;( 1) log ;(0 1)
a a
x m a
x m a
ax với x R
Với số thực m < a thì:
logax = m x = am
logax > m
;
0 ;
m m
x a a
x a a
B Một số phương pháp giải phương trình, Hệ phương trình Bất PHươNG TRìNH mũ, lơgarit
1) Phương pháp đưa số Với < a thì:
af(x) = ag(x) f(x) = g(x);
af(x) > ag(x) f(x) > g(x) a > 1 f(x) < g(x) < a <1
logaf(x) = logag(x)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
logaf(x) > logag(x)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
; a > 0
logaf(x) > logag(x)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
; < a < 1.
Ví dụ Giải PT: 2x+1 5x = 2.102x+5 (1)
LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - 5. Ví dụ Giải PT: log3 (2x+1) - 13
log (1 x)
(2)
LG: Đkiện 2x+1 > 1- x >
1
1 x
(2) log3(2x+1) =
2
3
1
log 2
(2)PT có nghiệm x =
Ví dụ Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R
(3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1)
4x -20.2x +64 < < 2x < 16 2< x < Ví dụ Giải BPT:
1
1
( 2) ( 2) x
x x
(4)
LG: Do ( 2) 1, (4)
5 2 11 ( 2)1 1 0 5 1
1 x
x
x x x do
x
x1 -2 x < -1
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = (5)
HD: Chia hai vế PT cho 4x đặt t = 72
7
: log
2 x
KQ x
Ví dụ Giải PT: 5 x
- 53 x
= 20 (6)
LG: Đkiện x 0, phương trình chứa căn, đặt t = x 1
(5) t -
125
t -20 = t2 – 20t -125 = t = - (L), t = 25 (TM) t = 25 5 x 25 5 x 2 x4
Ví dụ Giải BPT: 4x – 2.52x < 10x HD: Chia hai vế cho 10x , ta
2
2
5
x x
, Đặt t =
,
5
x t
BPT
2 2
0
t t
t
Với đkiện t > ta có < t < 25
0 log
5
x
x
, (Chú ý số < 1).
Ví dụ Giải BPT: 2
6
3 log 2xlog x (8)
HD: Đkiện < x 1/2
Đặt t = log2x , t (8)
2 1
3
0
(1 ) 0 2
t
t t
t t t
;
( Chú ý: Giải phương pháp khoảng, không khử mẫu )
Suy tập nghiệm (8) :
1
; 1;
2
(3)Chú ý: Dạng
( )
( )
( )
f x
f x
A a b B a b c
(a+ b )(a- b ) =1, nên đặt t =
( )
f x
a b
Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), đặt t =
( )
f x u v
3) Phương pháp logarit hố Ví dụ Giải PT: 3 8 6
x
x x (9)
LG: Đkiện x -2 Lôgarit số hai vế ta có
3
3
2log
log log ( 1)
2
x
x x
x x
x = x = -(1+log32).
Ví dụ 10 Giải BPT: xlog2x4 32 (10)
LG: Đkiện x > Lấy logarit số hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5,
Đặt t = log2x; PT t2 + 4t-5 < -5 < t < -5 < log2x < 2-5 < x < 2.
4) Phương pháp sử dụng tính chất hàm số
Chú ý : a > 1, af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0 0<a<1, af(x) > ab f(x)<b ; logaf(x) > logab 0<f(x) < b. Ví dụ 11 Giải PT: 3x = – log5x (11)
LG: Ta có x = nghiệm phương trình (11)
Với x > 3x > 31 = - log5x < log51 = 3x > – log5x. Với x < 3x < 31 = - log5x > log51 = 3x < – log5x. Vậy x =1 nghiệm phương trình
Ví dụ 12 GPT: 3x + 2x = 3x +2
LG: Dễ thấy PT có nghiệm x = , x = (PT khơng có nghiệm nhất) Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – 3
f’’(x) = 3xln23+2xln22 > với x R hàm số f’(x) đồng biến R.
Mặt khác hàm số f’(x) liên tục R f(-1).f(1) < PT f’(x) = có nghiệm
duy x0 (-1; 1) Ta có bảng biến thiên sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có khơng q nghiệm Vậy nghiệm phương trình là: x = 0; x =
x - x0 +
f’(x) - +
+ +
(4)5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ lôgarit
Chú ý : Ta dùng phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình hệ hữu tỉ biết kết hợp với phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ lơgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ lơgarit
Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT:
3
1 (1)
3log (9 ) log (2)
x y
x y
LG: Đkiện x > < y
(2) 3(1+ log3x) – 3log3y = log3x = log3y x = y
Thay x = y vào phương trình (1) ta có phương trình (1) (x-1)(2-x) = x = ;
x = Từ HPT có hai nghiệm (1 ; 1) (2; 2)
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT:
3
1
2 (1)
4
(2) 2
x x x
x
y y
y
LG: Từ PT(2) 2x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta PT : y3 -5y2 +4y = y = 0, y = 1, y =
Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4)
6) Các tốn tổng hợp (Hay khó)
Ví dụ 15 (ĐH NT-1996) Tìm nghiệm dương PT:
2
log log 5.
x x x
HD: Biến đổi PT dạng: 2log2x 3log2x 5log2x
Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = x =
Ví dụ 16 (ĐH KA-2002) Cho PT: log32 x log23 x 1 2m 0 (16) (m tham
số)
1 Giải PT m =2
2 Tìm m để PT (16) có nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
HD: Đkiện x > 0, Đặt t = log23 x1 ta có PT t2+t-2m-2 = (*)
(16) có nghiệm thuộc
3
1;3
(*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t2+t [1; 2] ta PT (16) có nghiệm
3
1;3
m [0 ; 2]
(5)Với < a < Lấy lôgarit số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax)
(logax+1)(logax-4) -1 logax a4 x a-1.
Với a > 1, Biến đổi với ý số > ta (logax+1)(logax-4) 0
4
1
log
log a
a
x x
a x
x a
Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: (2 2)log2x x(2 2)log2x 1 x2
HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , ta có PT: (2 2)t 2 (2t 2)t 1 22t Nhân hai vế với (2 2)t sau biến đổi ta có: [(2 2)t-4t][ (2 2)t-1] = 0
t = x = 1.
Ví dụ 19 Giải PT:
2
2
2
log (4 4)
x x
x x
(19)
HD: Ta có 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + log3(4x2-4x+4) 1, VP 8 Mặt khác theo BĐT Cơ-si, ta có: VT
(19)
2
2
2
8
8
log (4 4)
x x
x x
giải hệ ta có nghiệm PT x =
1
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh với a > 0, hệ sau có nghiệm nhất:
ln(1 ) ln(1 ) (1) (2) x y
e e x y
y x a
HD: Đkiện x > -1, y > -1
Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0. hệ có nghiệm (3) có nghiệm x > -1