Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy... c) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điể[r]
(1)I GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG 1 Góc tâm
Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn đgl góc tâm
Nếu 00a 1800 cung nằm bên góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc đgl cung lớn
Nếu a 1800 cung nửa đường tròn
Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường tròn Ki hiệu cung AB AB.
2 Số đo cung
Số đo cung AB kí hiệu sđAB.
Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung
Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn).
Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600. Cung khơng có số đo 00(cung có mút trùng nhau)
3 So sánh hai cung
Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung đgl chúng có số đo Trong hai cung, cung có số đo lớn đgl cung lớn 4 Định lí
Nếu C điểm nằm cung AB sđAB = sđAC + sđCB.
Bài 1. Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB R 2 Tính số đo hai cung AB. ĐS: 90 ;2700 0.
Bài 2. Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB
2 số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB
ĐS:
R
S
4
.
Bài 3. Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo
HD: 1200.
CHƯƠNG III
(2)II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1 Định lí 1
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây nhau.
b) Hai dây căng hai cung nhau. 2 Định lí 2
Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn hơn.
b) Dây lớn căng cung lớn hơn. 3 Bổ sung
a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau.
b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung ấy.
Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (không qua tâm) đi qua điểm cung bị căng dây ấy.
c) Trong đường tròn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết A500, so sánh các cung nhỏ AB, AC BC
Bài 2. Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A, B Vẽ đường kính AOE, AOF BOC Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh cung nhỏ AB, CD, CE
HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđBM900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng:
a) AB DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O)
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song với Qua O vẽ đường thẳng vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD
III GĨC NỘI TIẾP 1 Định nghĩa
Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn đó.
Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn. 2 Định lí
Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn. 3 Hệ quả
Trong đường trịn:
a) Các góc nội tiếp chắn cung nhau.
(3)c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng.
Bài 1. Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600 a) So sánh góc tam giác ABC
b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB
b) Chứng minh tia AN, BM tia phân giác góc A B.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân A (A900) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh rằng:
a) Tam giác DBE cân b)
CBE 1BAC
Bài 3. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính MN BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC
Bài 4. Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI
a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng
b) Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MAB Bài 5. Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn Vẽ
đường tròn tâm I tiếp xúc với đường trịn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường tròn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng
b) ID MN
c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đường trịn (I) nói Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ
đường kính AF
a) Tứ giác BFCH hình gì?
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM AH
1
HD: a) Chứng minh ABF ACF 900 CE // BF, BD // CF BFCH hình bình hành. b) Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành.
c) Dùng tính chất đường trung bình tam giác AHF.
Bài 7. Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường trịn, C điểm nửa đường trịn kia, CM cắt AB D Vẽ dây AE vng góc với CM F a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân
b) Vẽ CH AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc HCO c) Chứng minh CD AE
1
HD: a) Chứng minh FAC FEM vuông cân F AE = CM; CAE AEM 450
(4)c) HDC ODM
CD CH DH
MD MO DO 1 CD ≤ MD CD CM AE
1
2