Một số vấn đề lý thuyết và ứng dụng của các mô hình otomat nâng cao

Một số vấn đề lý thuyết và ứng dụng của các mô hình otomat nâng cao Một số vấn đề lý thuyết và ứng dụng của các mô hình otomat nâng cao Một số vấn đề lý thuyết và ứng dụng của các mô hình otomat nâng cao luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cam đoan i Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Toán tử ngẫu nhiên 1.4 Một số kết điểm bất động cho toán tử tất định Phương trình tốn tử ngẫu nhiên 12 16 2.1 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị 16 2.2 Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị 28 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 34 3.1 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đơn trị 35 3.2 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên đa trị 43 3.3 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 48 ii Kết luận kiến nghị 69 Các kết luận án 69 Những nghiên cứu 69 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Chỉ số 81 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a, b] Không gian hàm số liên tục [a, b] L(X) Không gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX (Ω) Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X A⊗F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X CB(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng bị chặn X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Gr(F ) Đồ thị ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn iv MỞ ĐẦU Phương trình tốn tử ngẫu nhiên hướng nghiên cứu lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên Đó mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình tốn tử tất định Trong vòng 60 năm trở lại đây, hướng nghiên cứu nhận quan tâm nhiều nhà toán học thu nhiều kết Tuy nhiên, phần lớn kết đạt lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào trường hợp riêng lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên Các nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên khởi đầu O Hans A Spacek năm 1950 (xem [35, 70]) Họ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, phiên ngẫu nhiên nguyên lý ánh xạ co Banach Sau cơng trình Spacek Hans, phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động tiếng khác chứng minh Lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên điểm bất động ngẫu nhiên thực tiếp thêm sức mạnh sau đời sách Random integral equations (1972) báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) A T Bharucha-Reid (xem [19, 20]) Nhiều tác giả thành công việc mở rộng kết điểm bất động ngẫu nhiên có chứng minh phiên ngẫu nhiên định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]) Vào năm 1990, số tác giả như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, tác giả với số điều kiện đó, quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]) Gần đây, số tác N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng kết tác giả trước sở phiên ngẫu nhiên nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định chứng minh (xem [58, 63, 64, 65]) Nếu lớp toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát rộng rãi việc ngẫu nhiên hóa định lý điểm bất động cho tốn tử tất định khơng cịn nhiều thú vị, việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử ngẫu nhiên thực trở thành việc chứng minh tồn điểm bất động toán tử tất định Tuy nhiên, điều đáng ý là: Trong định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện tác giả đặt lên tốn tử ngẫu nhiên khơng gian thường phức tạp, chí nhiều ta khó tìm ví dụ tốn tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện Khi nghiên cứu phương trình tốn tử ngẫu nhiên, chúng tơi hy vọng đạt kết tương tự trường hợp toán điểm bất động ngẫu nhiên Tức là, đưa điều kiện để phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định có nghiệm ngẫu nhiên Bằng việc sử dụng kết lý thuyết ánh xạ đa trị, chứng minh với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác định không gian metric khả ly đầy đủ, phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định với ω phương trình có nghiệm ngẫu nhiên Chú ý điều kiện đo toán tử ngẫu nhiên yếu, chẳng hạn toán tử ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn điều kiện Áp dụng kết đạt cho toán điểm bất động ngẫu nhiên nhận được, mở rộng kết quả Xu, Tan, Yuan, Shahzad, nhận hầu hết định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát có Theo kết mà chúng tơi đạt được, định lý điểm bất động cho toán tử tất định có phiên tương ứng cho tốn tử ngẫu nhiên Tốn tử ngẫu nhiên xem ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Mỗi phần tử khơng gian metric xem biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Từ cách quan niệm ta coi không gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị LX (Ω) Với f toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X xây dựng X ánh xạ Φ từ LX (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f f có điểm bất động ngẫu nhiên Φ có điểm bất động Dựa thực tiễn với kết điểm bất động ánh xạ không gian metric xác suất, O Hadzic E Pap có liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động toán tử ngẫu nhiên (xem [33, 34]) Từ ý tưởng toán mở rộng miền xác định toán tử ngẫu nhiên kết Hadzic Pap, chúng tơi đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, ánh xạ biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Bước đầu, chứng minh số kết điểm bất động toán tử hồn tồn ngẫu nhiên dựa tính tốn túy xác suất mà không sử dụng công cụ lý thuyết không gian metric xác suất Chúng nhận kết tương tự Hadzic Pap Nội dung luận án liên quan đến kết nghiên cứu phương trình toán tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Luận án gồm chương Chương thống khái niệm trình bày số kết tác giả khác mà sử dụng phần sau luận án Những kết trích dẫn khơng có chứng minh chi tiết Chương trình bày kết nghiên cứu tác giả phương trình tốn tử ngẫu nhiên Nội dung chương định lý tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình tốn tử ngẫu nhiên Chương liên quan đến toán điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Áp dụng kết phương trình toán tử ngẫu nhiên cho toán điểm bất động ngẫu nhiên nhận mở rộng số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên Phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định trình bày Trong chương chúng tơi đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên chứng minh số định lý điểm bất động cho toán tử Luận án hồn thành hướng dẫn GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy quan tâm hướng dẫn bảo suốt nhiều năm qua Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn thầy Khoa Toán - Cơ Tin học cung cấp nhiều giảng giới thiệu cho nhiều tài liệu bổ ích Tác giả xin cảm ơn thầy Hội đồng cấp sở có nhiều ý kiến đóng góp quý báu Tác giả xin cảm ơn thành viên seminar Toán tử ngẫu nhiên, tạo điều kiện cho tác giả trình bày giúp tác giả kiểm tra kết nghiên cứu Tôi xin cảm ơn cấp lãnh đạo, đồng nghiệp quan Học viện Kỹ thuật Quân Đoàn 871 Bộ Quốc Phịng tạo điều kiện cho tơi học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, hỗ trợ kinh phí cho chúng tơi q trình nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thành viên đại gia đình, ln động viên, chia sẻ chỗ dựa vững mặt Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2012 Nghiên cứu sinh Tạ Ngọc Ánh Cho n → ∞ ta nhận P ( θ1 − θ2 > t) = với t > Vì vậy, θ1 = θ2 h.c.c., hay điểm bất động chung Φ Ψ Ta ý điều kiện (3.9) đảm bảo toán tử Φ Ψ có điểm bất động chung mà khơng đảm bảo tính nghiệm phương trình Φu = Ψu Ví dụ sau điều R Ví dụ 3.3.19 Cho Φ, Ψ : LR (Ω) → L0 (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên xác định Φu = |u|, Ψu = |u| + η η biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương Khi đó, Φ Ψ thỏa mãn giả thiết Định lý 3.3.18 với q = 1/2 Các tốn tử Φ Ψ có điểm bất động chung biến ngẫu nhiên η Tuy nhiên, phương trình Φu = Ψu có hai nghiệm ξ1 = η ξ2 = −η Kết luận: Trong chương này, điều kiện đo toán tử ngẫu nhiên đủ để đảm bảo quỹ đạo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động (điểm trùng nhau, điểm xấp xỉ tốt nhất) tốn tử có điểm bất động (điểm trùng nhau, điểm xấp xỉ tốt nhất) ngẫu nhiên Chúng minh họa cho khẳng định việc đưa phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho tốn tử tất định Chúng tơi đưa khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, ngẫu nhiên hóa khái niệm điểm xấp xỉ tốt mở rộng khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên Chúng chứng minh số điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Chúng tơi đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co ln 67 có điểm bất động Điều kiện tồn u0 ∈ LX (Ω) cho quỹ đạo Φ u0 bị chặn theo xác suất moment tuyệt đối cấp p u0 − Φu0 hữu hạn đảm bảo tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất Φ có điểm bất động Từ kết điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, chúng tơi chứng minh số điều kiện đủ để phương trình với tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có nghiệm 68 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết luận án: • Đưa điều kiện đảm bảo phương trình ngẫu nhiên có nghiệm tất định với hầu hết ω có nghiệm ngẫu nhiên Chứng minh số điều kiện đủ để phương trình ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên • Chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng nhiều định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát tác giả trước Đưa phiên ngẫu nhiên số định lý điểm bất động cho toán tử tất định • Đưa khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên chứng minh số định lý điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co, co xác suất Đưa khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt chứng minh số điều kiện đủ để tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt Những nghiên cứu tiếp theo: • Đưa điều kiện đảm bảo tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên, phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên • Tìm kiếm ứng dụng lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên, phương trình tốn tử ngẫu nhiên Nghiên cứu tính chất xác suất thống kê nghiệm phương trình tốn tử ngẫu nhiên • Nghiên cứu phương trình ngẫu nhiên với tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên 69 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng phần II: Quá trình dừng ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [6] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College of Business Administration and Economics, Parkistan 71 [7] Agarwal R P., Meehan M., O’regan D (2004), Fixed point theory and applications, Cambridge university press [8] Al-Thagafi M A., Shahzad N (2007), "Coincidence points, generalized I-nonexpansive multimaps and applications", Nonlinear Anal 67 (7), pp 2180–2188 [9] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38 (2), pp 227–235 [10] Anh T N (2011), "Common random fixed points of random operators", submitted [11] Anh T N (2011), "Random equations and applications to general random fixed point theorems", New Zealand J Math 41, 17–24 [12] Basha S S (2011), "Best proximity points: global optimal approximate solutions", J Glob Optim 49 (1), pp 15–21 [13] Beg I., Abbas M (2008), "Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains", Math Slovaca 58 (6), pp 755–762 [14] Beg I., Shahzad N (1994), "Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces", J Appl Math Stoch Anal (4), pp 569–580 [15] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), "Random fixed points of set-valued operators", Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831–838 72 [16] Benavides T D., Ramirez P L (2001), "Structure of the fixed point set and common fixed points of asymptotically nonexpansive mappings", Proc Amer Math Soc 129 (12), pp 3549–3557 [17] Berinde V (2007), Iterative approximation of fixed points, Springer [18] Bharucha Reid A T (1964), Lectures on theory of random equations, Madras, Institute of Mathematical Sciences [19] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York and London [20] Bharucha Reid A T (1976), "Fixed point theorems in probabilistic analysis", Bull Amer Math Soc 82 (5), pp 641–657 [21] Browder F E (1963), "The solvability of nonlinear functional equations", Duke Math J 30, pp 557–566 [22] Browder F E (1963), "Nonlinear elliptic boundary value problems", Bull Amer Math Soc 69, pp 862–874 [23] Castaing C., Valadier M (1977), Convex analysis and measurable multifunctions in Lecture notes in matheatics, Edited by A Dold and B Eckmann, Springer-Verlag Berlin - Heidelberg - New York [24] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), "Coincidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps", Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393– 401 73 [25] Chang S S (1983), "Some random fixed point theorems for continous random operators", Pacific J Math 105 (1), pp 21–31 [26] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer [27] Chugh R., Kumar S (2001), "Common fixed points for weakly compatible maps", Proc Indian Acad Sci Math Sci 111 (2), pp 241– 247 [28] Ciric L B (1993), "On some nonexpansive type mappings and fixed points", Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145–149 [29] Ciric L B., Lakshmikantham V (2009), "Coupled random fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces", Stoch Anal Appl 27 (6), pp 1246–1259 [30] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), "On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and single-valued mappings", J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 1–12 [31] Engl H W., Romisch W (1985), "Approximate solutions of nonlinear random operator equations: Convergence in distribution", Pacific J Math 120 (1), pp 55–77 [32] Granas A., Dugundji J (2003), Fixed point theory, Springer [33] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers 74 [34] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), "A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and applications to random equations", Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124–134 [35] Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [36] Hans O (1960), "Random operator equation", Proc 4th Berkely Sympos on Math Statist and Probab., Univ of California Press, Berkely, Calif 2, pp 185–202 [37] Himmelberg C J (1975), "Measurable relations", Fund Math 87, pp 53–72 [38] Itoh S (1977), "A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping", Pacific J Math 68 (1), pp 85–90 [39] Itoh S (1978), "Nonlinear random equations with monotone operators in Banach spaces", Math Ann 236, pp 133–146 [40] Itoh S (1979), "Measurable or condensing multivalued mappings and random fixed point theorems", Kodai Math J 2, pp 293–299 [41] Itoh S., Takahashi W (1978), "The common fixed point theory of singlevalued mappings and multivalued mappings", Pacific J Math 79 (2), pp 493–508 75 [42] Joshi M (1980), "Nonlinear random equations with P -compact operators in Banach spaces", Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791–799 [43] Kaneko H., Sessa S (1989), "Fixed point theorems for compatible multi-valued and single-valued mappings", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 257–262 [44] Karamolegos A., Kravvaritis D (1992), "Nonlinear random operator equations and inequalities in Banach spaces", Internat J Math Math Sci 15 (1), pp 111–118 [45] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), "Coincidence and invariant approximation theorems for generalized f nonexpansive multivalued mappings", Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 1–18 [46] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), "Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation", Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165–1177 [47] Khan A R., Hussain N (2004), "Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications", Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155–167 [48] Kolmogorov A N., Fomin S V (1970), Introductory real analysis, Dover Publications, Inc New York 76 [49] Kumam P (2004), "Fixed point theorem and random fixed point theorem for set-valued non-self mappings", Thai J Math (2), pp 295–307 [50] Kumam P., Plubtieng S (2006), "Some random fixed point theorems for non-self nonexpansive random operators", Turk J Math 30, pp 359–372 [51] Latif A., Al-Mezel S A (2008), "Coincidence and fixed point results for non-commuting maps", Tamkang J Math 39 (2), pp 105–110 [52] Lin T C (1988), "Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps", Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [53] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), "Some random coincidence and random fixed point theorems for hybrid contractions", Lobachevskii J Math 18, pp 139–149 [54] Nashed M Z., Engl H W (1979), "Random generalized inverses and approximate solution of random operator equations", in: Approximate solution of random equations, A T Bharucha Reid (ed.), pp 149–210, Elsevier North - Holland, Inc New York [55] Nashed M Z., Salehi H (1973), "Measurability of generalized inverses of random linear operators", SIAM J Appl Math 25 (4), pp 681–692 77 [56] Nashine H K (2008), "Random fixed points and invariant random approximation in non-convex domains", Hacettepe J Math Statist 37 (2), pp 81–88 [57] Nashine H K (2010), "Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces", Random Oper Stoch Equ 18, pp 165–183 [58] O’Regan D., Shahzad N., Agarwal R P (2003), "Random fixed point theory in spaces with two metrics", J Appl Math Stoch Anal 16 (2), pp 171–176 [59] Papageorgiou N S., Kyritsi-Yiallourou S Th (2009), Hanbook of applied analysis, Springer [60] Sehgal V M., Waters C (1984), "Some random fixed point theorems for condensing operators", Proc Amer Math Soc 90 (3), pp 425– 429 [61] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [62] Shahzad N (2002), "Random fixed points of multivalued maps in Frechet spaces", Arch Math (Brno) 38, pp 95–100 [63] Shahzad N (2004), "Some general random coincidence point theorems", New Zealand J Math 33 (1), pp 95–103 [64] Shahzad N (2005), "Random fixed points of discontinuous random maps", Math Comput Modelling 41, pp 1431–1436 78 [65] Shahzad N (2008), "Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps", Indian J Math 50 (2), pp 263– 271 [66] Shahzad N., Latif A (2000), "A random coincidence point theorem", J Math Anal Appl 245, pp 633–638 [67] Shahzad N., Hussain N (2006), "Deterministic and random coincidence point results for f -nonexpansive maps", J Math Anal Appl 323, pp 1038–1046 [68] Shiryaev A N (1996), Probability, Springer [69] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), "Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247–256 [70] Spacek A (1955), "Zufallige Gleichungen" (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462–466 [71] Tan K K., Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119 (3), pp 849–856 [72] Tarafdar E., Watson P., Yuan X Z (1997), "The measurability of caratheodory set-valued mappings and random fixed point theorems", Acta Math Hungar 74 (4), pp 309–319 [73] Thang D H., Anh T N (2010), "On random equations and applications to random fixed point theorems," Random Oper Stoch Equ 18, pp 199–212 79 [74] Thang D H., Anh T N (2010), "Some results on random equations", Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [75] Thang D H., Thinh N (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J Math 58, pp 257–276 [76] Verma R U (1997), "Stochastic approximation-solvability of linear random equations involving numerical ranges", J Appl Math Stoch Anal 10 (1), pp 47–55 [77] Xu H K (1990), "Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators", Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [78] Xu H K (1993), "A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces", Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 1089–1092 [79] Yosida K (1980), Functional analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [80] Yuan X Z., Lou X., Li G (1996), "Random approximations and fixed point theorems", J Approx Theory, 84, pp 172–187 [81] Wagner D H (1977), "Survey of measurable selection theorems", SIAM J Control Optim 15 (5), pp 859–903 80 Chỉ số σ-đại số, Có nghiệm đầy đủ, ngẫu nhiên, 17, 29 Borel, với hầu hết ω, 17, 28 Ánh xạ đa trị đo được, Có tính co, 15 Ánh xạ đo được, Co xác suất, 51 Đồ thị ánh xạ, Giao hoán, 13, 64 Độ đo xác suất, Điểm bất động, 12, 51 Hàm chọn, Điểm bất động chung, 12, 65 Hàm ngẫu nhiên, Điểm bất động ngẫu nhiên, 36, 43 Không giãn, 51 chung, 37, 44 xác suất, 51 Điểm trùng nhau, 13 Không gian ngẫu nhiên, 44 đo được, Điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất, xác suất, 40 xác suất đầy đủ, Điểm xấp xỉ tốt nhất, 15 mẫu, Đo yếu, Không gian Polish, Bị chặn theo xác suất, 56 Khoảng cách Hausdorff, Bản toán tử ngẫu nhiên, 10 Liên tục, 50 Biến ngẫu nhiên, ngẫu nhiên, 50 81 Lipschitz, 50 xác suất, 50 Nghiệm ngẫu nhiên, 18, 29 Nghiệm tất định, 17, 29 Phương trình ngẫu nhiên, 16 đơn trị, 17 đa trị, 28 có nhiễu, 17 Quỹ đạo, 10, 56 Tập đo được, Tương thích, 13 Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, 50 Tốn tử Nemytskij, 49 Toán tử ngẫu nhiên, đa trị, 10 đa trị đo được, 11 đa trị liên tục, 11 đo được, 10 co, 11 liên tục, 11 Lipschitz, 11 Xác suất, 82 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... kết Tuy nhiên, phần lớn kết đạt lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào trường hợp riêng lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên Các nghiên cứu định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu... nhiên cách tồn cục (khơng theo quỹ đạo) Một số định lý điểm bất động cho tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co, co xác suất chứng minh Khác với định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên, định lý điểm