lịch sử logarit thpt nguyễn hiền

Các bảng số này liệt kê các giá trị của log bx và b x với mỗi số x nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ số b nhất định (thường là cơ số 10).. Chẳn[r]

(1)

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn] Bài chi tiết: Lịch sử logarit

Trước logarit xuất hiện[sửa | sửa mã nguồn]

Từ kỷ TCN, Người đếm cát, Archimedes quan sát đưa khái niệm "bậc" số tương đương với số mũ lũy thừa số 108 = 100.000.000 Ông nhắc đến quy tắc nhân hai số với cách cộng "bậc" chúng lại với Nguyên lý sau sở dẫn đến đời khái niệm logarit.[20] Khoảng 1000 năm sau

đó, Virasena, nhà tốn học Kỳ Na người Ấn Độ, tìm khái niệm ardhacheda: số lần số chia hết cho Với lũy thừa 2, giá trị nguyên logarit số 2, số khác giá trị khơng logarit chúng Thời điểm đó, ơng phát giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự trakacheda (cơ số 3) caturthacheda (cơ số 4).[21] [22] Năm 1544, Michael Stifel cho xuất Arithmetica Integra có chứa bảng số nguyên

và lũy thừa tương ứng,[23] mà đảo ngược hàng lại xem dạng ban đầu bảng logarit.[24] Đến kỷ 16–17, kỹ thuật prosthaphaeresis (tạm dịch: thuật nhân chia số công thức lượng giác) xuất dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua đẳng thức lượng giác.[25][26]

Từ Napier đến Euler[sửa | sửa mã nguồn]

John Napier, người phát minh logarit

Khái niệm logarit John Napier công bố lần vào năm 1614 sách có tựa đề Mirifici logarithmorum canonis descriptio.[27][28] Nó có liên quan đến điểm chuyển động

thẳng: Napier tưởng tượng điểm thứ P chuyển động đến điểm cuối đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, điểm thứ hai L chuyển động nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau liên hệ khoảng cách P với điểm cuối đoạn thẳng L với điểm đầu nửa đường thẳng để nêu định nghĩa logarit.[29] Phát đánh giá cao nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồm Trung Quốc số nước châu Âu năm sau đó.[30]Jost Bürgi tìm logarit cách độc lập xuất cơng trình sáu năm sau Napier.[31] Từ logarithmorum Napier tiếng

Latinh có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, số biểu thị tỉ số: λόγος (logos) có nghĩa "tỉ số" ἀριθμός (arithmos) có nghĩa "số"

Năm 1647, Grégoire de Saint-Vincent, tu sĩ Dòng Tên người Bỉ sống Prague, xuất cơng trình liên hệ logarit với cầu phương hyperbol Ông diện

(2)

Alphonse Antonio de Sarasa, học trò cộng ơng, sau liên hệ tính chất với logarit để dẫn đến khái niệm logarit hyperbol, tương đương với logarit tự nhiên [32] Logarit tự nhiên lần mô tả Logarithmotechnia Nicholas

Mercator năm 1668.[33] Khoảng năm 1730, Leonhard Euler định nghĩa hàm mũ hàm logarit tự nhiên

Euler chứng minh hai hàm số hai hàm ngược nhau.[34] Cũng khoảng thời gian này, ông lần ký hiệu số logarit tự nhiên chữ e.[35] Trong chương 6, tập I Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler đưa hướng tiếp cận giống với khái niệm logarit Ông nhận thấy hàm

mũ y = az với a số thực dương không đổi hàm số đại số, mà hàm số siêu việt; đồng thời, hàm số tăng a > 1 Khi đó, số a

tương ứng với hàm ngược gọi logarit số a: z = logay.[36]

Bảng logarit, thước loga ứng dụng lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm logarit Encyclopædia Britannica (năm 1797)

Bằng cách đơn giản hóa phép tính phức tạp trước máy tính đời, logarit đóng góp đáng kể cho phát triển khoa học, đặc biệt thiên văn học Nó đóng góp cho tiến khảo sát xây dựng, hàng hải thiên văn nhiều lĩnh vực khác Pierre-Simon Laplace gọi logarit

" [một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ rút ngắn cơng việc từ vài tháng xuống cịn vài ngày, từ nhân đơi đời nhà thiên văn, loại bỏ sai sót chán nản tách rời khỏi phép tính dài lê thê."[37]

Một cơng cụ góp phần lớn việc ứng dụng logarit vào thực tế bảng logarit [38] Bảng Henry Briggs biên soạn năm 1617 sau phát minh Napier, tiếp bảng số với phạm vi độ xác lớn Các bảng số liệt kê giá trị logbx bx với số x nằm giới hạn định, với độ xác định theo số b định (thường số 10) Chẳng hạn, bảng Briggs chứa logarit thập phân tất số nguyên từ đến 1000 xác đến 14 chữ số thập phân Vì hàm f(x) = bx hàm ngược logbx nên cịn gọi antilogarit.[39] Tích thương hai số dương c d thường tính tổng hiệu logarit chúng

Tích cd thương c/d có cách tra cứu antilogarit tổng hiệu thơng qua bảng logarit đó:

và

Đối với phép tính thơng thường yêu cầu độ xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hiệu chúng tra cứu antilogarit nhanh nhiều so với thực phép nhân công cụ trước prosthaphaeresis, vốn phụ thuộc vào đẳng thức lượng giác Phép tính lũy thừa đưa phép nhân phép chia tra cứu theo công thức

(3)

Nhiều bảng số liệt kê giá trị logarit cách cho biết phần đặc số phần định trị x, nghĩa phần nguyên phần thập phân log10x.[40] Đặc số 10 · x cộng cho đặc số x,

và phần định trị chúng giống Tính chất làm mở rộng phạm vi bảng logarit: với bảng liệt kê giá trị log10x với số nguyên x từ đến 1000, logarit số 10 của

3542 tính gần

Một ứng dụng quan trọng khác logarit thước loga, cặp thước chia độ theo logarit sử dụng tính tốn, hình minh họa đây:

Sơ đồ miêu tả thước loga Bắt đầu từ vị trí thước bên dưới, cộng khoảng cách đến thước bên để đạt tích Thước loga hoạt động chia độ cho khoảng cách từ đến x tỉ lệ thuận với logarit x

Tiền thân nó, thước Gunter, phát minh sau cơng bố Napier William Oughtred sau phát triển lên thành thước loga, cặp thước logarit trượt lẫn Các số đặt thước với khoảng cách độ dài tỉ lệ thuận với hiệu logarit chúng Khi trượt thước bên tức ta cộng học logarit với Ví dụ, cộng khoảng cách từ đến thước bên với khoảng cách từ đến thước bên cho tích chúng 6, giá trị đọc thước bên Thước loga công cụ tính tốn thiết yếu nhà khoa học thập niên 1970, cho phép tính toán nhanh nhiều so với kỹ thuật tra bảng số.[41]

Tính chất giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Người ta nghiên cứu sâu logarit thông qua khái

niệm hàm số Hàm số quy tắc cho số từ số cho trước.[42] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc x b từ số thực x với b số viết

Hàm số logarit[sửa | sửa mã nguồn]

Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh phương trình

có nghiệm x với y b số dương b khác Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian giải tích sơ cấp.[43] Theo định lý, hàm số liên

tục cho hai giá trị m n cho giá trị nằm

(4)

thể vẽ mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên

Tính chất chứng minh với hàm f(x) = bx Vì f mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên số y > 0 nằm

giữa f(x0) f(x1) với x0 x1 thích hợp Do đó, định lý giá

trị trung gian đảm bảo phương trình f(x) = y có nghiệm Hơn nữa, nghiệm hàm số f hàm số tăng b > 1 hàm số giảm 0 < b < 1.[44]

Nghiệm x logarit số b y, logby Hàm số gán cho y giá trị logarit gọi hàm số logarit Hàm số logarit y = logb x xác định tập hợp số thực dương, cho giá trị số thực bất kỳ, hàm số tăng thỏa mãn f(b) = 1 f(uv) = f(u) + f(v).[45]

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm logarit logb(x) (màu xanh) đối xứng với đồ thị hàm mũ bx (màu đỏ) theo đường thẳng x = y.

Công thức logarit lũy thừa cho thấy với số x bất kỳ,

Lần lượt lấy lũy thừa bậc x b lấy logarit số b, ta lại có x Ngược lại, với số dương y bất kỳ, biểu thức

cho thấy lấy logarit lũy thừa, ta lại có y Như vậy, đồng thời thực phép lũy thừa logarit số, ta có số ban đầu Vì vậy, logarit số b hàm

ngược f(x) = bx.[46]

Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc Đồ thị chúng đối xứng qua đường thẳng x = y hình bên phải:

(5)

ngược lại Như vậy, logb(x)phân kỳ lên vô

hạn (lớn số biết) x tăng đến

vô hạn, với b lớn Trong trường hợp này, logb(x) hàm số tăng Khi b < 1 ngược lại, logb(x) dần âm vô hạn Khi x dần giới hạn logbx âm vơ hạn với b > 1 dương vô hạn với b < 1

Đạo hàm nguyên hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) tiếp tuyến x = 1,5 (màu đen)

Các tính chất giải tích hàm số với hàm ngược chúng.[43] f(x) = bx hàm số liên tục khả vi, logby Thông thường, hàm số liên tục hàm số khả vi đồ thị khơng bị "đứt gãy" điểm Hơn nữa, đạo

hàm f(x) ln(b)bx theo tính chất hàm

mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm logbx tính bằng

tức hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm logarit số b điểm (x, logb(x)) 1/(x

ln(b)).[44][47] Đặc biệt, đạo hàm ln(x) 1/x,

nghĩa nguyên hàm 1/x ln(x) + C Đạo hàm với đối số hàm tổng quát f(x)

Tỉ số vế phải gọi đạo hàm logarit f(x) Việc tính f'(x) đạo hàm ln(f(x)) gọi vi phân logarit.[48] Nguyên hàm hàm logarit tự

nhiênln(x) là:[49]

Từ phương trình này, suy công thức liên quan chẳng hạn nguyên hàm logarit số khác phép đổi số.[50]

(6)

Logarit tự nhiên t diện tích phần hình tơ đậm nằm đồ thị hàm số f(x) = 1/x (nghịch đảo x)

Logarit tự nhiên t tích phân 1/x dx từ đến t:

Nói cách khác, ln(t) diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số 1/x, từ x = 1 đến x = t (hình bên phải) Đó hệ từ việc áp dụng định lý giải tích việc đạo hàm ln(x) 1/x Vế phải phương trình xem khái niệm logarit tự nhiên Các cơng thức mũ tích logarit suy từ khái niệm này.[51] Chẳng hạn, ta có cơng thức tích ln(tu) = ln(t) + ln(u)

Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, đẳng thức (2) phép đổi biến số

(w = x/t) Trong hình đây, phép tách tích phân tức chia hình phẳng thành hai phần màu vàng màu xanh Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến t thu nhỏ lại theo hàng ngang theo tỉ lệ khơng làm thay đổi diện tích Di chuyển phần hình màu xanh cách thích hợp lại khớp với đồ thị hàm số f(x) = 1/x Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức tích phân

(7)

Hình ảnh minh họa cơng thức tích logarit tự nhiên

Chứng minh tương tự, ta có cơng thức lũy thừa ln(tr)

= r ln(t):

Phép biến đổi thứ hai có thay đổi biến số w = x1/r.

Tổng dãy nghịch đảo số tự nhiên,

được gọi chuỗi điều hòa Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: n tiến đến vơ hạn hiệu

hội tụ số gọi số Euler–

Mascheroni γ = 0,5772 Mối liên hệ có vai trị việc phân tích hoạt động thuật tốn, chẳng hạn xếp nhanh.[52] Ngồi

ra, ln(x) cịn có biểu diễn tích phân suy từ tích phân Frullani f(x) = e−x a = 1, ứng dụng vật lý số trường hợp khác:[53]

(8)

Số

thực số đại số gọi số siêu việt [54]π e hai số vậy, cịn khơng phải số siêu việt Hầu hết số thực số siêu việt Logarit ví dụ hàm số siêu việt Định lý Gelfond– Schneider khẳ ng định logarit thường cho giá trị siêu việt.[55] Tính tốn[sửa | sửa mã nguồn]

Các phím logarit (LOG cho số 10 LN cho số e) máy tính bỏ túi TI-83 Plus

(9)

logarit số trường hợp, chẳng hạn

như log10(10

00) = 3 Tổng qt, logarit tính

bằng chuỗi lũy

thừa tru ng bình hình học–đại số, tra cứu bảng số logarit tính sẵn với độ xác định.[56] [57]Phương

pháp Newton, phương pháp lặp lặp lại để tìm nghiệm gần phương trình, sử dụng để tính logarit, hàm ngược (hàm mũ) tính cách hiệu quả.[58] Thơng qua bảng số, phương pháp tương tự

như CORDIC

có thể dùng để tính logarit qua phép cộng phép dịch số học.[59] [60] Hơn

nữa, thuật tốn logarit nhị

phân tính lb(x

(10)

phương x lặp lặp lại áp dụng biểu thức

Chuỗi lũy thừa[s ửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi Taylor[s ửa | sửa mã nguồn]

Chuỗi Taylor ln(

(11)

hội tụ khoảng cách đơn vị từ tâm

Với số thực z thỏ a mãn 0 < z ≤ 2, ta có:[61][nb 5]

Nói cách ngắn gọn, l n(z) c ó thể tính gần theo dãy biểu thức V í d ụ, v ới z

(12)

ết q u ả 0, 7, lớ n h n k h o ả n g 0, 1 s o v ới

l n ( 1, 5 ) = 0, 4 0 5 4 6 5

C h u ỗi

(13)

n g

l n (

z)

v ới đ ộ c hí n h x c tù y ý, m iễ n rằ n g s ố h n g t đ ủ lớ n T ro n g gi ải tí c h s c ấ p,

(14)

z)

c ò n đ ợ c g ọi

gi ới h n

c ủ a c h u ỗi N ó

c h u ỗi T a yl or

c ủ a

lo g ar it t ự n hi ê n

tạ i z

(15)

bi ệt , n ế u đ ặt z

= 1 +

x th ì c h u ỗi tr ê n đ ợ c vi ết lạ i th n h

c h u ỗi M er c at or

v ới

− 1 <

x

(16)

nà y

Is aa c N e wt on

và

(17)

ni a củ a M er ca to r nă m 16 68 [62] [63]

Ví dụ , kh i x

= 0, 1

(18)

% so v ới kế t qu ả ch ín h xá c

ln (1 ,1 ) = 0, 0 9 5 3 T ch uỗ i T ay lor củ a

ln (1 +

x)

và

ln (1 −

x)

(19)

ay x bằ ng − x t ro ng ch uỗ i M er ca to r), ta su y với −1

< x < 1.[64] C huỗi Ja mes Grego ry phá t năm 1668 áp dụng để tính logarit tự nhiên số dươn g (xem đây) [65]

(20)

thừa khác[ sửa | sửa mã nguồ n] Một chuỗi khác dựa h àm hyper bolic ngược

:

với số thực z > 0.[61][nb 6] Sử

dụng ký hiệu sigma, chuỗi viết lại thành Chuỗi suy từ chuỗi Taylor cách đặt [65] Nó hội tụ nhanh nhiều so với chuỗi Taylor, z gần Chẳng hạn, với z = 1,5, ba hạng tử chuỗi tính gần ln(1,5) v ới sai số khoảng 3×10−6

(21)

ln(z) với độ xác thấp đặt

logarit z là:

Nếu giá trị y gần giá trị A gần 1, tính logarit cách hiệu A thể tính qua chuỗi lũy thừa

vốn hội tụ nhanh y khơng q lớn Phép tính logarit số z lớn đưa phép tính số nhỏ cách viết z = a · 10

khi ln(z) = ln(

+ b · ln(10) Một phương pháp khác liên quan áp dụng để tính logarit tự nhiên số nguyên dương Khi thay chuỗi trên, ta có

Nếu biết logarit tự nhiên số nguyên

thì chuỗi hội tụ nhanh với tốc độ

Trung bình hình học–đại

số[sửa | sửa mã nguồn]

Phương pháp sử

dụng trung bình hình học– đại số cho phép tính gần logarit tự nhiên

độ xác cao Theo Sasaki & Kanda (1982), phương pháp đặc biệt nhanh với độ xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, phương pháp dùng chuỗi Taylor

(22)

với sai số 2−p theo công thức sau (bởi Carl Friedrich Gauss

Ở M(x,y)

hình học–đại số

được cách thực lặp lặp lại phép tính

bình cộng) (trung bình nhân) lấy hai kết thu làm giá trị

của x y Hai số nhanh chóng hội tụ lại giới hạn, giới hạn giá trị M(x,y) Giá trị

chọn cho

để đảm bảo độ xác cần thiết Nếu m lớn phép

tính M(x,y) cần nhiều bước độ xác cao Các số π ln(2)

tính nhanh qua chuỗi hội tụ

Thuật toán Feynman[sửa nguồn]

Theo Danny Hillis

những cộng

Feynman,

nghiệm Quốc gia Los Alamos

hiện Dự án Manhattan

đã phát triển thuật toán gần giống với phép chia số lớn

toán sau sử dụng máy tính song song

(Connection Machine

dựa sở số thực biểu diễn thành tích thừa số khác dạng với số nguyên Thuật toán lập tích

thay , tăng giá trị

đơn vị hay sai Thuật toán dừng lại

được độ xác cần thiết Vì tổng số hạng dạng ứng với giá trị cho thừa số thuộc tích nên

tính phép cộng đơn giản sử dụng bảng với giá trị số

(23)

Một ốc anh vũ

xoắn ốc logarit

Logarit có nhiều ứng dụng lẫn ngồi tốn học Một vài số có liên quan đến khái niệm tỉ lệ bất biến Chẳng hạn, buồng vỏ ốc anh vũ

giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại số tỉ lệ Đó ví dụ xoắn ốc logarit

Benford tần suất xuất chữ số giải thích qua tỉ lệ bất biến

cũng có liên hệ với tính chất

đồng dạng Chẳng hạn, logarit xuất việc nghiên cứu thuật toán giải toán cách chia thành nhiều toán tương tự gộp kết chúng lại với

các hình khơng gian tự đồng dạng, tức hình mà phần giống hình tổng thể, dựa logarit

đo logarit cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối Hơn nữa, hàm số logarit log(

chậm x ngày lớn nên thang đo logarit sử dụng để "nén" lại liệu khoa học quy mô lớn Logarit xuất nhiều phương trình khoa học phương trình tên lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hay phương trình Fernst

Thang đo logarit[sửa |

(24)

Một biểu đồ logarit thể giá trị goldmark tính papiermark siêu lạm phát Đức vào năm 1920

Các đại lượng khoa học thường biểu diễn theo logarit đại lượng khác qua

logarit Chẳng hạn,

vị đo dựa đại lượng liên quan đến logarit Nó dựa logarit thập phân

logarit thập phân tỉ lệ

suất 20 lần logarit thập phân tỉ lệ hiệu điện

dùng để định lượng hao phí mức điện áp truyền tải tín hiệu điện,[73] để miêu tả độ lớn âm âm học

hấp thụ xạ ánh sáng quang học

nhiễu mô tả lượng âm khơng cần thiết so với tín hiệu

bằng decibel.[75]

hiệu cực đại nhiễu

được sử dụng để đánh giá chất lượng âm phương pháp nén ảnh thông qua logarit Độ lớn trận

đo theo logarit thập phân lượng động đất sinh (

độ lớn mô men

Richter) Chẳng hạn, trận động đất 5,0 độ giải phóng lượng gấp 32 lần (101.5

đất 6,0 độ giải phóng lượng gấp 1000 lần (10

động đất 4,0 độ

(25)

dụng khác, dùng để đo độ sáng ngơi qua logarit ví dụ khác

học; pH số đối logarit thập phân hoạt độ ion hydroni (ion

[79] Hoạt độ ion hydroni nước cất 10

pH nước cất Giấm thường có pH khoảng 3, nghĩa hoạt độ ion hydroni giấm khoảng 10

Đồ thị bán logarit

tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: trục (thường trục tung) chia tỉ lệ theo logarit Chẳng hạn, đồ thị bên phải thu nhỏ mức tăng từ triệu lên nghìn tỷ xuống độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ lên triệu Ở đồ thị vậy, hàm mũ dạng

đường thẳng với với logarit b

tỉ lệ hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng f(

đường thẳng có hệ số góc với số mũ k Nó ứng dụng việc nghiên cứu

lũy thừa.[80]

Tâm lý học

nguồn]

Logarit xuất luật liên quan đến tri giác người

[82]Định luật Hick

liên hệ logarit thời gian mà người bỏ để chọn phương án số lựa chọn mà người có.[83]Định luật Fitts đốn thời gian cần để di chuyển nhanh đến vùng mục tiêu hàm logarit qng đường đến vùng kích thước mục tiêu.[84]

học, định luật Weber–

Fechner nhắc đến mối liên hệ logarit kích thích

quan, chẳng hạn khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác vật mà người cầm.[85] (Tuy nhiên "định luật" thiếu thực tế so với mơ hình hơn, chẳng hạn

(26)

Các nghiên cứu tâm lý học cho thấy người giáo dục toán học thường ước lượng đại lượng theo logarit, tức họ đặt số đường thẳng khơng đánh dấu dựa logarit cho 10 gần với 100 100 gần với 1000 Khi đào tạo kỹ hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa 10 lần) số trường hợp, logarit dùng thay số cần đặt lớn

Lý thuyết xác suất thống kê[sửa

nguồn]

Ba hàm mật độ xác suất

ngẫu nhiên phân phối loga chuẩn chúng Tham số vị trí

ba hàm trên, trung bình logarit biến ngẫu nhiên, khơng phải trung bình biến

Biểu đồ thể tần suất xuất chữ số liệu

237 quốc gia giới

(27)

Logarit ứng dụng

thuyết xác suất:

rằng, với đồng tiền hai mặt, số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất mặt ngửa

một nửa Sự biến động tỉ lệ giải thích qua

logarit lặp.[89]

Logarit xuất

phối loga chuẩn

một biến ngẫu nhiên

phối chuẩn, biến gọi có phân phối loga chuẩn

phối loga chuẩn thường gặp nhiều lĩnh vực biến tích nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn nghiên cứu nhiễu loạn

Logarit dùng phép

lý cực đại

kê tham số Với mơ vậy, hàm khả

ít tham số

gần Giá trị lớn hàm khả xảy giá trị tham số với giá trị lớn logarit khả ("hợp lý logarit"), logarit hàm số tăng Giá trị lớn hợp lý logarit dễ tìm đặc biệt với khả nhân cho biến

lập ngẫu nhiên.[92]

Luật Benford mô tả xuất chữ số nhiều

liệu, chẳng hạn chiều cao tịa nhà Theo luật xác suất để chữ số liệu liệu đến 9) log

log10(d) đơn vị đo

khoảng 30% liệu bắt đầu chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu chữ số 2, Các kiểm toán viên thường đối chiếu liệu với luật Benford để phát hành vi gian lận kế tốn

Độ phức tạp tính tốn[sửa | sửa mã nguồn

Phân tích thuật tốn

của khoa học máy tính

về hoạt động

(28)

định).[95] Logarit có vai trị việc mơ tả thuật tốn

vấn đề thành nhiều vấn đề hợp kết lại với Chẳng hạn, để tìm số mảng xếp, thuật tốn tìm kiếm nhị phân

phần tử đứng mảng tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước nằm sau phần tử đứng khơng tìm thấy số Thuật tốn cần trung bình log2(N) bước so sánh

với N số phần tử mảng [97] Tương tự, thuật toán

trộn xếp mảng cách chia đôi thành hai mảng xếp chúng trước gộp lại kết Thuật toán xếp trộn thường tốn khoảng thời gian xấp xỉ tỉ lệ thuận với

log(N).[98] Cơ số logarit không nhắc đến cụ thể, kết thay đổi theo số định dùng số khác Người ta không quan tâm đến số phân tích thuật tốn

hình chi phí thống

[99]

Một hàm số f(x) số tăng logarit với logarit x

số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ hàm mũ viết sinh trưởng sinh vật Chẳng hạn,

có thể biểu diễn

nhị phân sử dụng không log2(N) + 1

lượng nhớ cần dùng để lưu trữ N tăng theo logarit

Entropy hỗn loạn[sửa | sửa mã nguồn

Một mơ hình bàn bida

(29)

góc sai khác độ, sau tách di chuyển hỗn loạn

bàn

Entropy phép đo hỗn loạn hệ Trong

thống kê, entropy lý xác định

Tổng lấy tất trạng thái i hệ xét, chẳng hạn vị trí phân tử khí bình chứa, p

nằm trạng thái

Boltzmann Tương tự,

tin mô tả mức độ hỗn loạn thông tin Nếu người nhận thông điệp kỳ vọng nhận

số N thơng điệp với khả giống lượng thơng tin truyền tải thông điệp định lượng log

Lũy thừa Lyapunov

đo mức độ hỗn loạn

động lực Chẳng hạn, chất điểm di chuyển

một thay đổi nhỏ góc làm thay đổi hồn tồn hướng chất điểm Hệ thống

loạn cách tất định

nhỏ điều kiện ban đầu thường dẫn đến kết khác hẳn lũy thừa Lyapunov hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương

Phân dạng

nguồn]

Tam giác Sierpinski (bên phải) tạo nên cách lặp lặp lại việc thay

giác ba tam giác nhỏ

Logarit xuất định nghĩa số chiều phân dạng

đối tượng hình học có cấu trúc

dạng: hình nhỏ trơng giống hình tổng thể

(30)

trúc ln(3)/ln(2) ≈ 1,58

niệm khác số chiều dựa logarit suy việc

vuông đơn vị để bao phủ hết bề mặt phân dạng xét

Âm nhạc[sửa

Bốn quãng tám khác thang đo tuyến tính thang đo logarit

Logarit có liên hệ đến cung quãng

Trong hệ thống âm tự nhiên

chỉ phụ thuộc vào quãng hai

nhạc, không phụ thuộc vào tần số hay cao độ tông cụ thể Chẳng hạn, nốt A

440 Hz nốt B

Quãng nốt A nốt B

cung, giống quãng nốt B nốt B (tần số 493 Hz), tỉ lệ tần số hai quãng gần nhau:

Do đó, logarit dùng để miêu tả quãng: quãng đo theo đơn vị nửa cung cách lấy logarit

số 21/12 tỉ lệ

số 21/1200 đo quãng theo

(31)

Lý thuyết số

Logarit tự nhiên

việc đếm số nguyên tố

một chủ đề quan trọng Với số nguyên

tố nhỏ

là π(x) Theo định lý số nguyên tố

gần π(

trong "gần đúng" có nghĩa tỉ số π(x) x/ln(

dần vô hạn.[105]

một số chọn ngẫu nhiên nằm x số nguyên tố

của x Một xấp xỉ xác π(x) cho

bùLi(x), định nghĩa

Giả thuyết Riemann

đoán toán học mở lâu đời nhất, phát biểu sở so sánh

Erdős–Kac mô tả số

nhau liên quan đến logarit tự nhiên Logarit n giai thừa

cho

Biểu thức dùng để suy phép phép tính gần

Khái quát hóa

Logarit phức

(32)

Một điểm z = x + iy

góc φ φ' argumen

Mọi nghiệm phức

được gọi logarit phức phức thường có dạng i đơn vị ảo

thể biểu diễn điểm

phức hình bên phải Mặt phẳng phức thường biểu thị số phức z khác khơng theo

là khoảng cách

hồnh thực Re đường thẳng qua gốc tọa độ gọi

Giá trị tuyệt đối

Áp dụng biểu diễn hình học chúng với chu kỳ

dưới dạng

với k số nguyên Rõ ràng argumen φ φ' = φ +

thêm 2kπradian

tọa độ k vịng.[nb 7] hình bên phải với argumen z làm

cái A in hoa, cách giới hạn chẳng hạn

(33)

Miền tô màu logarit phức

giá trị tuyệt đối không Màu sáng hơn, sẫm biểu thị giá trị tuyệt đối lớn Sắc độ màu argumen

Công thức Euler mũ phức:

Áp dụng công thức tính chất tuần hồn, ta có: với ln(r) logarit tự nhiên thực nhất,

một số nguyên Do đó, logarit phức phức ak cho lũy thừa bậc

trị ak thỏa mãn với k số nguyên

Đặt k cho nằm nửa khoảng xác định gọi giá trị

Argumen số thực dương

bằng với logarit tự nhiên thực Tuy vậy, công thức logarit tích hay lũy thừa khơng

Hình bên phải miêu tả miền tô màu

khoảng (-π, π] Có thể thấy nhánh tương ứng logarit phức bị đứt đoạn toàn phần âm trục hồnh thực, sắc độ thay đổi Sự đứt đoạn nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác nhánh qua đường biên (không chuyển qua giá trị

cận) Một quỹ tích gọi

phá vỡ cách loại bỏ điều kiện argumen, argumen logarit trở thành

Hàm ngược hàm mũ khác

Lũy thừa xuất nhiều lĩnh vực toán học hàm ngược thường gọi logarit Chẳng hạn,

(đa trị) hàm mũ ma trận

của hàm mũ p -adic

với số thực Khác với số thực, logarit số p -adic khác

tiếp tuyến điểm

ngược lại với gọi ánh xạ logarit Trong nhóm hữu hạn

(34)

với x phần tử nhóm Phép lũy thừa rời rạc dễ dàng thực được, logarit rời rạc cho khó tính số nhóm Tính bất đối xứng có ứng dụng quan trọng

chẳng hạn đổi khóa mật mã

Zech có liên hệ với logarit rời rạc nhóm nhân phần tử khác không trường hữu hạn

Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gòm

logarit (có dạng gần giống với

W logit Chúng hàm ngược

= wew,[117] hàm logistic

Các khái niệm liên quan

Trong lý thuyết nhóm cấu nhóm

logarit đẳng cấu liên tục nhóm

Haar (độ đo Lebesgue

số thực dương.[120]

một bán vành gọi

thành phép cộng (phép nhân log) chuyển phép cộng thành phép cộng log (LogSumExp), cho

[121] Trong giải tích phức

phân với cực điểm

Hàm đa loga hàm số xác định Nó có liên hệ với

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	398,97 KB