Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Phạm Hữu Tiệp thầy Đoàn Trung Cường Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm Hữu Tiệp PGS TS Đoàn Trung Cường GS TSKH Phạm Hữu Tiệp người hướng dẫn tơi tìm hướng nghiên cứu, thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giảng giải cho tơi Đồng thời, PGS TS Đồn Trung Cường người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt theo sát tôi, thầy quan tâm động viên suốt trình làm luận văn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy suốt thời gian dài Hơn nữa, xin chân thành cảm ơn thầy cô thuộc phịng Đại số lý thuyết số, Viện Tốn học góp ý tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn PGS TS Nguyễn Duy Tân giúp đỡ dẫn quý báu thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Lời cảm ơn cuối xin gửi đến gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các biểu diễn đặc trưng nhóm 1.2 Đặc trưng hạn chế đặc trưng cảm sinh 17 Bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát 25 2.1.1 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, q) 27 2.1.2 Bảng đặc trưng nhóm GL(3, q) 35 2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 43 2.2.1 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q) 43 2.2.2 Bảng đặc trưng nhóm SL(3, q) 48 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.2 Chứng minh Định lý 3.1.8 nhóm tuyến tính đặc biệt 63 3.3 Một số ví dụ 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Bảng lớp liên hợp GL(2, q) 30 2.2 Bảng lớp liên hợp P(1,1) 33 2.3 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, q) 35 2.4 Bảng lớp liên hợp GL(3, q) 36 2.5 Bảng đặc trưng nhóm GL(3, q) 41 2.6 Bảng lớp liên hợp SL(2, q), q lẻ 45 2.7 Các đặc trưng GL(2, q) hạn chế 45 xuống SL(2, q) 2.8 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q), q lẻ 2.9 Bảng lớp liên hợp SL(2, q), q 48 47 chẵn 2.10 Bảng đặc trưng nhóm SL(2, q), q 48 chẵn 2.11 Bảng lớp liên hợp SL(3, q) 49 2.12 Bảng đặc trưng nhóm SL(3, q) 51 3.1 Bảng đặc trưng nhóm GL(2, 4) 76 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn lĩnh vực Đại số có liên hệ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác Toán học Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều trường F, biểu diễn nhóm G đồng cấu nhóm từ G vào nhóm tự đẳng cấu V Nếu ta cố định sở V tự đẳng cấu V tương ứng với ma trận khả nghịch lấy hệ số F, hay ta có tương ứng phần tử G với ma trận khả nghịch Đặc trưng nhóm định nghĩa ánh xạ tương ứng phần tử G với vết ma trận khả nghịch Nếu ta xét F trường số phức C giá trị đặc trưng nằm vành số nguyên đại số C Trường giá trị đặc trưng mở rộng Q giá trị đặc trưng Cho tới bây giờ, nhiều toán câu hỏi hấp dẫn liên quan đến đặc trưng nhóm Đối với luận văn này, chúng tơi hướng tới việc tìm hiểu số tính chất trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn Trước tiên nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn như: nhóm tuyến tính tổng qt GL(2, q), GL(3, q) nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q), SL(3, q) Tiếp theo chúng tơi tập trung tìm hiểu số kết trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nhóm hữu hạn công bố báo "I.M Isaacs, M.W Liebeck, G Navarro, P.H Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa số ví dụ tính tốn trường giá trị đặc trưng bất khả quy, dựa bảng đặc trưng số nhóm tìm hiểu Nội dung luận văn gồm gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức biểu diễn đặc trưng nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho chương Một số định lý quan trọng chương Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) Định lý thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói mối quan hệ đặc trưng nhóm với nhóm Chương 2: Bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn Chương gồm mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn Trong mục thứ nhất, chúng tơi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng nhóm tuyến tính tổng qt: nhóm GL(2, q), nhóm GL(3, q) Bảng đặc trưng nhóm xây dựng chủ yếu dựa đặc trưng cảm sinh từ nhóm dựa theo kết R Steinberg Ở mục thứ hai, chúng tơi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng nhóm tuyến tính đặc biệt: nhóm SL(2, q), nhóm SL(3, q) Bảng đặc trưng nhóm xây dựng chủ yếu dựa đặc trưng hạn chế từ nhóm GL(2, q), GL(3, q) dựa theo kết Simpson-Frame Chương 3: Trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ Trong chương này, tập trung tìm hiểu số tính chất trường giá trị đặc trưng bất khả quy bậc lẻ nghiên cứu nhóm nhà Tốn học Isaacs-Liebeck-Navarro-Tiệp Một kết độc đáo trường giá trị đặc trưng Định lý 3.1.4 Ở mục thứ hai, chúng tơi trình bày chứng minh Định lý 3.1.8, xét nhóm tuyến tính đặc biệt Định lý 3.1.8 cho ta kết quan trọng, công cụ sử dụng chứng minh Định lý 3.1.4 Trong mục thứ ba, chúng tơi đưa số ví dụ tính toán trường giá trị đặc trưng bất khả quy, dựa nhóm tìm hiểu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày ngắn gọn số kiến thức biểu diễn đặc trưng nhóm hữu hạn, kết Bổ đề Schur, Định lý Clifford Định lý thuận nghịch Frobenius Các kiến thức sử dụng cho chương tham khảo theo tài liệu [1], [2] Trong luận văn này, ta ký hiệu G nhóm hữu hạn 1.1 Các biểu diễn đặc trưng nhóm Ký hiệu GL(n, F) nhóm ma trận khả nghịch cỡ n × n lấy hệ số trường F Nếu F trường hữu hạn chứa q phần tử GL(n, F) ký hiệu GL(n, q) Định nghĩa 1.1.1 Một biểu diễn nhóm G F đồng cấu nhóm ρ từ G vào nhóm GL(n, F) với số nguyên n > Số n gọi bậc ρ Ví dụ 1.1.2 Cho G nhóm hữu hạn bất kỳ, đồng cấu nhóm ρ : G → C, g → biểu diễn bậc nhóm G Biểu diễn cịn gọi biểu diễn tầm thường G Nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 có biểu diễn bậc hai ρ : D8 → GL(2, C) thỏa mãn      1 1  ρ(a) =   , ρ(b) =   −1 0 −1 Định nghĩa 1.1.3 Cho V không gian véctơ hữu hạn chiều F Khi V gọi FG-mơđun V có phép nhân G × V → V, (g, v) → vg thỏa mãn điều kiện sau (1) vg ∈ V , (2) v(gh) = (vg)h, (3) v1 = v , (4) (λv)g = λ(vg), (5) (u + v)g = ug + vg Trong đó, u, v ∈ V , g, h ∈ G λ ∈ F Ví dụ 1.1.4 Giả sử V C-không gian véctơ chiều G nhóm hữu hạn Trên V ta định nghĩa phép nhân vg := v với v ∈ V, g ∈ G V với phép nhân định nghĩa lập thành CG-môđun Cho V C-không gian véctơ chiều với sở {v1 , v2 } nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 Trên V định nghĩa phép nhân v1 a := v2 , v2 a := −v1 ; v1 b := v1 , v2 b := −v2 V với phép nhân định nghĩa lập thành CD8 -mơđun 67 Trong δ ∈ O2 (µ) chọn cho g, g ∈ SL(n, q) Ta chứng minh √ −1 ∈ Q(χ(g)) ∪ Q(χ(g )) (3.2.5) Đầu tiên, ta chứng minh g, g nằm nhóm Lxχ˜ ˜ Ta chứng minh điều quy nạp theo r ≥ Trước hết, với x ∈ G ta có nhận xét n = n1 + n2 + + nk với n1 > n2 > > nk ≥ phân tích thực n 2m1 thành phần 2-adic lớn n nên 2m1 phải có mặt phân tích 2-adic n1 m1 −1 2i < 2m1 n2 + n3 + + nk ≤ i=0 Mặt khác, tập hợp giá trị riêng g có F -quỹ đạo có độ dài ˜ đó, phần tử g tác tộng dài 2m1 Giả sử g ∈ Lx với x ∈ G lên Fq Lxχ˜ -môđun V χ ˜ x Fq Lχ˜ -môđun V˜ phép biến đổi tuyến tính tương ứng Tập hợp giá trị riêng hình chiếu g lên thành phần GL(n1 , q) Lxχ˜ lập thành F -quỹ đạo F -quỹ đạo phải có chứa quỹ đạo có độ dài 2m1 F -quỹ đạo có từ khối g2m1 (α) g Do g2m1 (α) tác động lên thành phần Fq Lxχ˜ -môđun Vn1 V Fq Lx -môđun V˜n V˜ Mặt khác, tồn môđun U V tương χ ˜ ứng với khối g2m1 (α) cho môđun bất biến tác động g , nên ta tiếp tục xét V /U áp dụng giả thiết quy nạp với thành phần 2-adic 2mi , ≤ i ≤ r − Khối h2mr (δ) cuối tác động bất biến lên môđun V tương ứng với thành phần GL(ne , q) cịn lại cuối Do đó, ta chứng minh Fq -môđun V Fq -môđun V˜ Lxχ˜ có phân tích bất khả quy bất biến tác động g , hay g thuộc Lxχ˜ Bây giờ, giả sử g nằm nhóm Levi L Hơn nữa, nhờ giả thiết ta có CG˜ (g) = CL (g) (3.2.6) 68 −1 Vì có x ∈ CG˜ (g) \ CL (g) g x = g ∈ L, suy g ∈ Lx Do L = Lx −1 hay x ∈ NG˜ (L) = L hay x ∈ CL (g) (mâu thuẫn) Để tiếp tục chứng minh, ta chấp nhận số kết [9] Do χ ˜= ˜ RLG (ψ) theo [9, Mệnh đề 9.6], tồn đặc trưng φG˜ φL nhóm ˜ , L với φ ˜ , φL nhận giá trị nguyên cho G G ˜ ˜ φG˜ χ˜ = φG˜ RLG (ψ) = (φL ψ) ↑ G (3.2.7) ˜ Hơn nữa, sử dụng tính L ta chứng minh g G chứa ˜ ˜ \ L Do lớp liên hợp g L L Thật vậy, giả sử có g x ∈ g G ∩ L \ g L với x ∈ G g x ∈ L nên g ∈ Lx −1 = L, suy x−1 ∈ NG (L) = L (mâu thuẫn) Theo [9, Hệ 9.3] nhận xét 3.2.6 ta có φG˜ (g) = |CG˜ (g)|p = |CL (g)|p = φL (g) Áp dụng cơng thức (1.2.13), ta có φG˜ (g)χ(g) = φL (g)ψ(g) Lập luận tương tự với g , ta suy χ(g) = ψ(g), χ(g ) = ψ(g ) (3.2.8) Vì vậy, để chứng minh (3.2.5) ta cần tính tốn ψ(g) ψ(g ), ψ cho công thức (3.2.4) Giả sử 2mi0 2mj0 thành phần 2-adic ni0 nj0 Chú ý đặc trưng S(si , λi ) cơng thức ψ viết thành dạng (3.2.3), S(1, λi ) nhận giá trị nguyên Mặt khác, χ có bậc lẻ nên đặc trưng S(1, λi ) có bậc lẻ (theo Hệ 1.2.12) Do g , g phần tử có cấp lũy thừa nên theo Định lý 1.1.21, giá trị S(1, λi ) g, g số nguyên khác Hơn S(si , (ni )) phân tích (3.2.3) đặc trưng tuyến tính nên giá trị ψ(g) ψ(g ) tích số nguyên khác với đơn vị có bậc lũy thừa Ta 69 có ψ(g) α ˜ [si0 ] α ˜ −[sj0 ] = k −[s ] [s ] = k α ˜ 2([si0 ]−[sj0 ]) i j ψ(g ) α ˜ 0α ˜ (3.2.9) Trong k ∈ Q k = Để ý 2a−2 ([si0 ] − [sj0 ]) |˜ α| = 2a Do giá ψ(g) trị tích số hữu tỷ với đơn vị có bậc lũy thừa ψ(g ) lớn Do đó, giá trị ψ(g) ψ(g ) phải tích số nguyên đơn vị có bậc lũy thừa lớn Từ đó, theo nhận xét (3.2.8) ta có khẳng định (3.2.5) Trường hợp 1b: Giả sử 2mr thành phần 2-adic ni0 Khi ta xét hai phần tử g, g sau g = (g2m1 (α), g2m2 (α), , g2mr−1 (α), h2mr (δ)) , g = g2m1 (α), , g2mj0 −1 (α), g2mj0 (α−1 ), g2mj0 +1 (α), , g2mr−1 (α), h2mr (δα2 ) Trong δ ∈ µ chọn cho g, g ∈ SL(n, q) Ta có lập luận tương tự trường hợp 1a, khẳng định g, g nằm nhóm Lx nhận xét 3.2.8 Tính tốn g, g trường hợp này, ta có ψ(g) =α ˜ 2([sj0 ]−[si0 ]) ψ(g ) Lập luận tương tự ta có điều cần chứng minh (3.2.5) (ii) Trường hợp 2: Giả sử 2a−2 ước [si ] − [sj ] với ≤ i, j ≤ k Tương tự chứng minh Bổ đề 3.2.1(iii), ta giả sử 2a−2 ước [su ] với ≤ u ≤ k Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.1(iii) tồn i0 < j0 cho 2a−1 [si0 ] − [sj0 ] Do đó, ta chia tập hợp số {m1 , m2 , , mr } thành hai phần Cụ thể sau {m1 , m2 , , mr } = {m1 , m2 , , ms } ∪ {m1 , m2 , , mt } , với s + t = r, m1 > m2 > > ms m1 > m2 > > mt Trong đó, tập hợp thỏa điều kiện sau, xét phân tích thực n1 + n2 + + nk 70 n • 2m1 , , 2ms thành phần 2-adic số ni thỏa 2a−1 [si ] ngược lại, số ni cho 2a−1 [si ] có thành phần 2-adic thuộc 2m1 , , 2ms , • 2m1 , , 2mt thành phần 2-adic số nj cho 2a−1 | [sj ] ngược lại Khi đặt GL(nj , q) GL(ni , q) L2 = L1 = i:2a−1 [si ] j:2a−1 |[sj ] ˜ cho Ly = L nên từ bây Đặt L = L1 × L2 Vì chọn phần tử y ∈ G χ ˜ thay xét Lyχ˜ , ta xét L ψ xem đặc trưng L y qua đẳng cấu Lχ˜ ∼ = L = L χ ˜ Để chứng minh biểu thức (3.2.5) ta chứng minh tồn phần tử g có cấp ˜ lũy thừa cho với phần tử liên hợp g x g L, x ∈ G hình chiếu g x lên L1 có định thức ≡ α (mod α2 ) (3.2.10) ˜ ), h1 , h2 hình chiếu g x Thật vậy, với g x = h1 h2 ∈ L (x ∈ G lên L1 , L2 Do g x phần tử có cấp lũy thừa nên hình chiều h1 lên thành phần GL(ni , q) L1 có định thức αai với ∈ Z Tương tự, ta có hình chiếu h2 lên thành phần GL(nj , q) L2 có định thức αbj với bj ∈ Z Khi đó, theo biểu thức (3.2.3) g phần tử có cấp lũy thừa nên ψ(g x ) = κ(x)˜ αm(x) , 71 κ(x) số nguyên khác  m(x) :=   i:2a−1 [si ] j:2a−1 |[sj ] i:2a−1 [si ] (mod 2a−1 ), [sj ]bj  ≡ 2a−2 [si ]ai + 2a−2 | [su ] với ≤ u ≤ k 2a−1 [si ] Giả sử ta có khẳng định 3.2.10, nghĩa α i:2a−1 [si ] ≡ α (mod α2 ) √ nên m(x) ≡ 2a−2 (mod 2a−1 ) Hơn nữa, |˜ α| = 2a nên ψ(g x ) = κ(x) −1 với g x ∈ L Do đó, áp dụng biểu thức (3.2.7) cơng thức (1.2.13), ta có √ χ(g) = k −1 với k số hữu tỷ khác Vì ta có điều phải chứng minh, (3.2.5) Trước vào chứng minh 3.2.10, ta có nhận xét rằng, tương tự chứng minh trường hợp 1a, tập giá trị riêng khối g2mi khối g2mi tác động bất biến lên Fq -môđun V˜2mi Fq -môđun V2mi g tác động bất biến lên phân tích bất khả quy ˜ V V˜ , hay g nằm nhóm Levi nhất, g G ∩ L = g L Nói cách khác, thành phần 2-adic 2mi n bị lấp F -quỹ đạo có độ dài 2mi thích hợp, quỹ đạo tập giá trị riêng khối g2mi Như vậy, g có liên hợp g x ∈ L (x ∈ / L) mơđun V2mi V˜2mi giữ bất biến tác động khối g2mi , nghĩa thành phần 2-adic 2mi n bị lấp hai F -quỹ đạo có độ dài 2mi Trường hợp 2a: Ta giữ giả thiết trường hợp giả sử thêm 72 s, t lẻ Xét phần tử g = g1 g2 ∈ SL(n, q), với g1 =(g2m1 (α), g2m2 (α−1 ), g2m3 (α), g2m4 (α−1 ), , g2ms−2 (α), g2ms−1 (α−1 ), g2ms (α)), g2 =(g2m1 (α−1 ), g2m2 (α), g2m3 (α−1 ), g2m4 (α), , g2mt−2 (α−1 ), g2mt−1 (α), g2mt (α−1 )) Tương tự chứng minh trường hợp 1a, ta có g nằm nhóm Lx Rõ ràng detg1 = α Trường hợp 2b: Giả sử s | t Xét phần tử g = g1 g2 ∈ SL(n, q), với g1 , g2 sau g1 =(g2m1 (α), g2m2 (α−1 ), g2m3 (α), g2m4 (α−1 ), , g2ms−2 (α), g2ms−1 (α−1 ), g2ms (α)), g2 =(g2m1 (α−1 ), g2m2 (α), g2m3 (α−1 ), g2m4 (α), , g2mt−3 (α−1 ), g2mt−2 (α), g2mt−1 (α−1 )), g2∗ ) Trong đó, g2∗ =   I m , t ms > mt ,  (g m −1 (α), g m −1 (α−1 )), ms < mt t t Trong trường hợp ms > mt , 2mt thành phần 2-adic nhỏ nên 2mt bị lấp khối I2mt g Ta dùng lập luận tương tự trường hợp 1a để có g nằm nhóm Lx rõ ràng detg1 = α Trong trường hợp mt ≥ ms +1, thành phần 2-adic 2mi với mi > mt −1 lấp F -quỹ đạo có độ dài 2mi tương ứng, tập giá trị riêng khối g2mi tương ứng Nếu mt − = mi với ≤ i ≤ s thành phần 2-adic 2mt lấp hai F -quỹ đạo, quỹ đạo có độ dài 2mt −1 , chúng tập giá trị riêng khối (g2mt −1 (α), g2mt −1 (α−1 )) Do trường hợp 73 g thuộc vào nhóm Lx Tuy nhiên, trường hợp mt − = mi với ≤ i ≤ s đó, khối g2mt −1 (α±1 ) bị thay khối g2mi (α±1 ) Và trường hợp ta có detg1 ≡ α (mod α2 ) Trường hợp 2c: Giả sử | s t Ta xét hai phần tử g1 , g2 sau g1 =(g2m1 (α), g2m2 (α−1 ), g2m3 (α), g2m4 (α−1 ), , g2ms−3 (α), g2ms−2 (α−1 ), g2ms−1 (α), g1∗ ), g2 =(g2m1 (α−1 ), g2m2 (α), g2m3 (α−1 ), g2m4 (α), , g2mt−2 (α−1 ), g2mt−1 (α), g2mt (α−1 )) Trong g1∗ =   (g m −1 (α), g m −1 (α−1 )), m > m , s t s s  I ms , ms < mt Lập luận tương tự trường hợp 2b Trường hợp 2d: Giả sử s, t số chẵn ms > mt Xét hai phần tử g1 , g2 sau g1 =(g2m1 (α), g2m2 (α−1 ), g2m3 (α), g2m4 (α−1 ), , g2ms−3 (α), g2ms−2 (α−1 ), g2ms−1 (α−1 ), g1 ), g2 =(g2m1 (α−1 ), g2m2 (α), g2m3 (α−1 ), g2m4 (α), , g2mt−3 (α−1 ), g2mt−2 (α), g2mt−1 (α−1 )), g2∗ ) Trong (g1 g2∗ ) định nghĩa sau    ((g2ms −1 (α−1 ), g2ms −1 (α3 )) I2mt ),      (diag(1, α2 ) I1 ), ((g  (α), g2mt −1 (α), g2mt −1 (α), g2mt −1 (α−1 ))   2mt −1    (g m −1 (α), g m −1 (α−1 ))), t t ms > mt + 1, ms = mt + = 1, ms = mt + ≥ 74 Ta có thành phần 2-adic 2mi > 2ms lấp F -quỹ đạo tập giá trị riêng khối g2mi (α±1 ) thích hợp Bây ta xét trường hợp sau • Đối với trường hợp ms > mt + 1, 2mt thành phần 2-adic nhỏ n nên thành phần lấp khối I2mt Nếu không tồn mj với ≤ j ≤ t cho ms − = mj hai F quỹ đạo có từ tập giá trị riêng hai khối g2ms −1 (α−1 ) g2ms −1 (α3 ) lấp vào thành phần 2ms Do g thuộc nhóm Levi Lx detg1 = α Mặt khác, tồn ≤ j ≤ t cho mj = ms − thành phần 2-adic 2mj lấp tập giá trị riêng ba khối g2ms −1 (α−1 ), g2ms −1 (α3 ) g m j (α±1 ) Và tập giá trị riêng hai khối lại lấp vào thành phần 2-adic 2ms Còn thành phần 2-adic 2mi (j < i < t) cịn lại thành phần lấp F -quỹ đạo có độ dài 2mi tương ứng Tính tốn trường hợp, ta có det(g1 ) ≡ α (mod α2 ) • Trong trường hợp ms = mt + 1, thành phần 2-adic khác 2ms khác 2mt lấp F -quỹ đạo thích hợp Nếu mt = thành phần 2-adic lấp α2 Các trường hợp cho ta detg1 = α Nếu mt ≥ thành phần 2-adic 2mt lấp hai F -quỹ đạo, quỹ đạo có độ dài 2mt −1 Hai quỹ đạo đến từ tập giá trị riêng khối g2mt −1 (α) g2mt −1 (α−1 ) Và thành phần 2-adic 2ms lại n lấp tập giá trị riêng khối lại Trong trường hợp, ta nhận (3.2.10) 75 3.3 Một số ví dụ Trong phần này, ta tính tốn số ví dụ cụ thể trường giá trị đặc trưng bất khả quy dựa vào bảng đặc trưng số nhóm hữu hạn tìm hiểu Chương Số d Định lý 3.1.4 tính cụ thể ví dụ Nhóm tuyến tính tổng qt GL(2, q) Theo bảng đặc trưng nhóm GL(2, q) (Bảng 2.3), ta có nhận xét sau trường giá trị lớp đặc trưng GL(2, q) Trong = e2πi/q−1 điều kiện a, b cho bảng lớp liên hợp GL(2, q) (Bảng 2.1) (m) (m) χ1 (m,k) χq 0≤m≤q−2 0≤m≤q−2 Bậc Trường Q( m Q( χq−1 ≤ m ≤ q2 − 0≤m